Професионално образование

2018/3, стр. 302 - 308

ИЗСЛЕДВАНИЯ, СВЪРЗАНИ С КОНСТАНТАТА НА КАПРЕКАР

Петко Казанджиев
E-mail: pmgvt@abv.bg
Tsetsa Baycheva, Kinka Kirilova-Lupanova
High School of Mathematics and Natural Science „Vasil Drumev”
10, Vela Blagoeva Str.
5000 Veliko Tarnovo, Bulgaria
Мартин Иванов
Цеца Байчева
Кинка Кирилова-Лупанова

Резюме: Разработката съдържа наблюдения, свързани с Константата на Капрекар. В изследването е обяснен начинът, по които се намират константите за двуцифрени, трицифрени и четирицифрени числа. Търсят се константи при петцифрени, шестцифрени, седемцифрени, осемцифрени и деветцифрени числа. Тези наблюдения водят до някои интересни изводи. Всички представени резултати са получени с помощта на компютърна програма, написана на Java.

Ключови думи: Kaprekar’s constant; research

За Константата на Капрекар

Прочитът на статията (Grozdev & Nenkov, 2014) на проф. С. Гроздев и доц. В. Ненков провокира у нас интерес към темата Константа на Капрекар.

Датарейя Капрекар е индийски математик. Роден е през 1905 година и умира през 1986. Работил е като учител. Занимавал се е в сферата на естествените числа, а най-голямото му откритие е именно константата, наречена на него.

Съществува интересна закономерност, свързана с четирицифрените числа, открита от Капрекар. Изследването, което е направил Капрекар, е свързано с образуването на най-голямото и най-малкото число от цифрите на произволно четирицифрено число. След това се намира тяхната разлика. С полученото число се повтаря същата операция и т.н. Ще наричаме това преобразувание на Капрекар. Оказва се, че след краен брой стъпки винаги се получава числото 6174. След повтаряне на споменатата операция то се превръща в себе си. Това число се нарича Константа на Капрекар. В споменатата публикация (Grozdev & Nenkov, 2014) e доказано, че за всички четирицифрени числа, които имат поне две различни цифри, след повтаряне на операцията най-много седем пъти се получава Константата на Капрекар.

В настоящата разработка се изследва, с помощта на компютърна програма, какво се получава при прилагането на преобразуванието на Капрекар за многоцифрени числа. При преобразуванието на Капрекар две числа с едни и същи цифри се преобразуват в едно и също число. Такива числа наричаме еквивалентни спрямо преобразуванието на Капрекар.

Двуцифрени и трицифрени числа

За двуцифрени числа няма определена константа, тъй като винаги се стига до повторението на редицата 45,9,81, 63, 27, 45,... .

Числото 495 е константа за всички трицифрени числа и се получава след най-много пет стъпки.

Наблюдения От направените наблюдения се установява, че такава константа за числата с брой на цифрите, по-голям от четири и по-малък от десет, няма. Получават се някои интересни ситуации. Стига се до число, което след краен брой стъпки се превръща в себе си. Такова число ще наричаме константа. При петцифрените числа има десет константи, при шестцифрените – девет, при седемцифрените – осем, при осемцифрените – дванадесет, при деветцифрените – шестнадесет. Получават се следните резултати.

Резултати при петцифрени числа

При петцифрените числа се разглеждат 1974 нееквивалентни числа с поне две различни цифри, като при тях се получават десет константи.

На първия ред на таблицата са константите (К). На втория ред е броят на числата, от които се получава съответната константа (Б.Ч).

К1К2К3К4К5К6К7К8К9К1053955599946197462964639547197374943759338296283952802811811845414862820610292КБ.Ч.

След наблюдения се забелязва, че при прилагането на операцията за намиране на константи върху самите константи се получават интересни резултати.

Първите две константи се преобразуват от една в друга след една стъпка, а след две се връщат в себе си. Третата, шестата, осмата и деветата константа след не повече от три преобразувания се превръщат от една в друга. След четири преобразувания се връщат в себе си. Аналогично се получава за константи четири, шест, седем и десет. Това е илюстрирано в следната таблица.

К1К2К3К4К5К6К7К8К9К1053955599946197462964639547197374943759338296283952599945395582962719736197483952629646395475933749435395559994759338395282962749437197361974639546296463954749437593362964839528296261974719736197462964639547197374943759338296283952

Числата, отбелязани в съответните цветове, след съответен брой стъпки се преобразуват от едно в друго, с което константите намаляват до три:

– константа A (59994, 53955).

– константа B (61974, 63954, 75933, 82962).

– константа C (62964, 71973, 74943, 83952).

Резултати при шестцифрени числа

При шестцифрените числа се разглеждат 4977 нееквивалентни числа с поне две различни цифри, като при тях се получават девет константи.

К1К2К3К4К5К6К7К8К9420876549945631764642654750843840852851742860832862632183930352126135225146471294КБ.Ч

Втората и третата константа се превръщат в себе си. Първата, четвъртата, петата, шестата, седмата и осмата константа след не повече от шест преобразувания се превръщат от една в друга. След седем преобразувания се връщат в себе си.

К1К2К3К4К5К6К7К8К9420876549945631764642654750843840852851742860832862632851742549945631764420876840852860832750843862632642654750843851742860832862632840852642654420876840852750843862632642654860832420876851742860832840852642654420876862632851742750843862632860832420876851742642654750843840852642654862632851742750843420876840852860832420876642654750843840852851742860832862632

Числата, отбелязани в съответните цветове, след съответен брой стъпки се преобразуват от едно в друго, с което константите намаляват до три:

– константа A (420876, 642654, 750843, 840852, 851742, 860832, 862632).

– константа B (549945).

– константа C (631764).

Резултати при седемцифрени числа При седемцифрените числа се разглеждат 11412 нееквивалентни числа с поне две различни цифри, като при тях се получават осем константи.

К1К2К3К4К5К6К7К8К75098437519743761973384296528439552864943287197229529641Б.Ч131610846274324181012204460К1К2К3К4К5К6К7К8750984375197437619733842965284395528649432871972295296419529641842965284395527619733750984375197438649432871972287197227619733750984384395529529641842965275197438649432864943284395529529641750984387197227619733842965275197437519743750984387197229529641864943284395527619733842965284296529529641864943287197227519743750984384395527619733761973387197227519743864943284296529529641750984384395528439552864943284296527519743761973387197229529641750984375098437519743761973384296528439552864943287197229529641

В този случай се получава най-интересният резултат. Всяка константа се преобразува във всяка друга, т.е. има само една константа:

– константа A (7509843, 7519743, 7619733, 8429652, 8439552, 8649432, 8719722, 9529641).

Резултати при осемцифрени числа При осемцифрените числа се разглеждат 24282 нееквивалентни числа с поне две различни цифри, като при тях се получават дванадесет константи.

К1К2К3К4К5К64320876663317664643086546432665475308643832087621983001075318271784К7К8К9К10К11К128430865285317642863086328632663286526432975084216658186043331510174321КБ.ЧКБ.Ч

Втората и дванадесетата константа се превръщат само в себе си. Първата, четвъртата, петата, седмата, осмата, деветата и десетата константа след не повече от шест преобразувания се превръщат от една в друга. След седем преобразувания се връщат в себе си. Третата, шестата и единадесетата константа след не повече от две преобразувания се превръщат от една в друга. След три преобразувания се връщат в себе си.

К1К2К3К4К5К643208766633176646430865464326654753086438320876285317642633176648320876243208766843086528652643275308643865264328531764286308632643086548430865264308654753086438632663283208762863086328430865264326654863266328630863243208766643266548632663285317642432087666432665475308643К7К8К9К10К11К128430865285317642863086328632663286526432975084218630863275308643863266326432665464308654975084218632663284308652643266544320876683208762643266548630863243208766853176428652643243208766863266328531764275308643853176426432665475308643843086527530864343208766843086528630863284308652853176428630863286326632

– константа A (43208766, 64326654, 75308643, 84308652, 85317642, 86308632, 86326632).

– константа B (64308654, 83208762, 86526432).

– константа C (63317664).

– константа D (97508421).

Резултати при деветцифрени числа

При деветцифрените числа се разглеждат 48592 нееквивалентни числа с поне две различни цифри, като при тях се получават шестнадесет константи.

К1К2К3К4К5К6К7К85549994457530986437620987337631976338442965528630986328641975328652964323025289076586442459823885268КБ.Ч

Първата и седмата константа се превръщат само в себе си. Втората, третата, четвъртата, петата, шестата, осмата, деветата, десетата, единадесетата, дванадесетата, тринадесетата, четиринадесетата, петнадесетата и шестнадесетата константа след не повече от тринадесет преобразувания се превръщат от една в друга. След четиринадесет преобразувания се връщат в себе си.

– константа A (554999445).

– константа B (864197532).

– константа C (753098643, 762098733, 763197633, 844296552,863098632, 865296432, 865395432, 873197622, 874197522, 883098612, 954197541, 964395531, 965296431, 976494321).

NOTES/БЕЛЕЖКИ

1. http://en.wikipedia.org/wiki/6174_%28number%29

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Grozdev, S. & Nenkov. V. (2014). Konstanta na Kaprekar. Matematika+, 1, 65 – 68. [Гроздев, С. & Ненков. В. (2014). Константа на Капрекар. Математика+, 1, 65 – 68].

2025 година
Книжка 5-6
EARTHQUAKE-RESISTANT INDUSTRIAL WOODEN HOUSING IN TURKEY

Anastasiia Plekhanova, Master’s, Nevnihal Erdoğan

АНАЛИЗ НА ФУНКЦИОНАЛНОСТТА НА TOLANALYST

Петър Горанов, Десислава Георгиева

ИЗСЛЕДВАНЕ НА СТАБИЛНОСТТА НА РАЗХОДОМЕР ТИП IRM 3 DUO

Desislava Koleva, Marieta Yancheva-Popova, Vasil Penchev, Viktor Arsov

ПРОУЧВАНЕ НА ИЗИСКВАНИЯТА ОТНОСНО ОТПАДЪЦИ В ТЕКСТИЛНАТА ПРОМИШЛЕНОСТ

Росица Димитрова, Боряна Илиева-Михайлова, Георги Станчев

Книжка 3-4
DESIGN PRINCIPLES FOR POSITIVE ENERGY DISTRICTS

Peter Kovrig, Dorin Lucian Beu

IMPLEMENTATION OF AN ELECTRONIC HEALTH RECORD FOR OCCUPATIONAL MEDICINE

Sofoklis Christoforidis, Efstathios Titopoulos, Boryana Mihaylova, Athanasios Thomopoulos, Dimitrios Thomopoulos, Eleni Kromitoglou

SOLVING THE JOB SHOP SCHEDULING PROBLEM – DIFFERENT TECHNIQUES AND PROGRAMMING LANGUAGES

Sofoklis Christoforidis, Efstathios Titopoulos, Boryana Mihaylova, Eleni Kromitoglou, Stergios Intzes

Книжка 1-2
2024 година
Книжка 5-6
Книжка 4
Книжка 2-3
Книжка 1
2023 година
Книжка 6
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕКТРОННИТЕ ОБРАЗОВАТЕЛНИ РЕСУРСИ В ИНTЕРДИСЦИПЛИНАРНИТЕ STEM УРОЦИ

Емилия Лазарова, Веселина Иванова, Ирина Костадинова, Анета Кинева, Георги Йорданов

Книжка 5
Книжка 4
SCHOOL LEADERSHIP

Phil Budgell

Книжка 3
ИЗКУСТВЕНИЯТ ИНТЕЛЕКТ В ЗДРАВНИЯ PR

Гергана Дончева Янков

Книжка 2
Книжка 1
2022 година
Книжка 6
Книжка 5
CREATIVE REFLECTION

Janneke Camps

Книжка 4
Книжка 3
ПРИЛАГАНЕ НА PERMA МОДЕЛ В ИНОВАТИВЕН STEM ПРЕДМЕТ „КОСМИЧЕСКИ ИЗСЛЕДВАНИЯ“

Михаил Бориславов Ненов, Севил Юсуф Иванова, Грета Димитрова Стоянова, Таня Маркова Сребрева

ПАНАИР НА НАУКАТА

Грета Стоянова

Книжка 2
THE CURRICULUM

Phil Budgell

Книжка 1
ТРУДНО ЛИ Е ПОРАСТВАНЕТО В ИСТОРИЯТА

Иво Точевски, Бистра Таракова

2021 година
Книжка 6
Книжка 5
ПРОУЧВАНЕ НАГЛАСИТЕ НА УЧИТЕЛИТЕ ОТ НАЧАЛЕН ЕТАП ОТНОСНО ЗДРАВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ НА УЧЕНИЦИТЕ

Доц. Ивайло Прокопов, доц. Мирена Легурска, гл. ас. Весела Мирчева

Книжка 4
БЪЛГАРСКА АДАПТАЦИЯ НА ВЪПРОСНИКА ЗА ИЗМЕРВАНЕ НА ДИСТРЕС НА ИДЕНТИЧНОСТТА

доц. д-р Ева Папазова , доц. д-р Маргарита Бакрачева

МОТИВАЦИЯ ЧРЕЗ СЪЗДАВАНЕ НА ЧУВСТВО ЗА ПРИНАДЛЕЖНОСТ

Възможните пътища за успешна реализация Бистра Григорова

Книжка 3
Книжка 2
НАПРЕД КЪМ СЛЕДВАЩАТА МИСИЯ

Милена Маринова-Димитрова

Книжка 1
БИО- И ЕКОПРОДУКТИ

Християна Янкова

2020 година
Книжка 6
БИНАРНИЯТ УРОК РАЗКРИВА ВРЪЗКАТА МЕЖДУ ИСТОРИЯ И ПРАВО

Евдокия Любомирова, Николина Димитрова

Книжка 5
СТАТИСТИЧЕСКА ИЗВАДКА ОТ ПРОВЕДЕНО ИЗСЛЕДВАНЕ ПО НАУЧЕН ПРОЕКТ ЗА ПРОЯВИТЕ НА АГРЕСИВНОСТ И ДЕПРЕСИЯ НА СТУДЕНТИ

Анжелина Янева, Елица Стоянова, Марияна Алберт, Бояна Митрева, Валерия Луканова, Таня Гавраилова

Книжка 4
ЗЛАТНОТО СЕЧЕНИЕ НА ЗЛАТНАТА МАСКА

Денис Сираков, Мариета Сиракова, Николай Сираков

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ПРОФИЛЕН ПОДХОД ПРИ НАСОЧВАНЕ НА УЧЕНИЦИ ЗА ВКЛЮЧВАНЕ В ОБРАЗОВАТЕЛНАТА СИСТЕМА

Мария Георгиева, Мая Рогашка, Петя Йорданова, Деница Русева, Емилия Кожухарова, Златомира Михайлова, Петя Георгиева

КАПСУЛА НА ВРЕМЕТО

Йозлем Искренова

УЧИТЕЛЯТ ДНЕС

Надежда Иванова

Книжка 3
ИГРОВИЗАЦИЯТА – УСПЕШЕН МЕТОД ЗА ОБУЧЕНИЕ В ЧАСОВЕТЕ ПО БИОЛОГИЯ И ЗДРАВНО ОБРАЗОВАНИЕ

Мария Веселинска, Атанасия Илиева, Александра Манасиева, Любен Новоселски

ДОБРИ ПРАКТИКИ

Марияна Великова, Пепа Атанасова

STEM УРОЦИТЕ, КОИТО ПРОВЕЖДАМЕ

Мария Велкова, Тодор Добрев

КРЕАТИВНИЯТ УЧИТЕЛ – НАЙ-ЦЕННАТА ИНОВАЦИЯ

Марияна Великова, Станимира Желязкова

Книжка 2
Книжка 1
ПРИКАЗКА ЗА ЕДНО ГОЛЯМО УЧИЛИЩЕ В ЕДНО МАЛКО ГРАДЧЕ

Ана Боргоджийска, Павлина Плачкова

ПОСТИГАНЕ НА БАЗОВА ГРАМОТНОСТ НА УЧЕНИЦИТЕ ОТ II КЛАС

Даниела Говедарска, Мария Котова, Ивелина Масалджийска

ГОЛЯМОТО ПРИКЛЮЧЕНИЕ, НАРЕЧЕНО ДИКТОВКА

Ангелина Генчева, Мая Драгоева

КАК УЧИЛИЩЕН ДВОР В ГРАД РАКОВСКИ СТАНА ЛЮБИМО МЯСТО ЗА ИГРИ, УЧЕНЕ И ОТДИХ

Ана Боргоджийска, Янка Арлашка, Ивана Лесова, Ани Димитрова

ДОБРИ ПРАКТИКИ В ПРЕПОДАВАНЕТО

Милена Лесова, Моника Даржалиева-Косова

УЧИЛИЩЕ НА РАДОСТТА

Павлина Плачкова, Кремена Алексиева

ПЪТЯТ НА ЕДНА МЕЧТА

Люба Сергева

2019 година
Книжка 6
Книжка 5
ЦЕРН – ЕДНА СБЪДНАТА МЕЧТА

Свежина Димитрова, Зорница Захариева

ДУАЛНОТО ОБУЧЕНИЕ – МИРАЖ ИЛИ РЕАЛНОСТ, РЕАЛНОСТ И ПЕРСПЕКТИВА

Мария Георгиева, Надежда Илиева, Петя Йорданова

ГОРАТА – ОЧАРОВАНИЕТО НА ЖИВОТА

Елена Милчева, Игнат Игнатов, Венетка Илиева, Иринка Христова

БАЛКОНЪТ – МОЯТА ГРАДИНА

Деница Русева, Дарина Кирчева, Емилия Кожухарова, Марина Борисова

ПРОГРАМА „ЕРАЗЪМ+“ – СТИМУЛ ЗА УЧЕНЕ ПРЕЗ ЦЕЛИЯ ЖИВОТ

Даниела Мантарова, Станислава Анастасова

Книжка 4
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ЕКИПИТЕ ЗА ПОДКРЕПА ЗА ЛИЧНОСТНО РАЗВИТИЕ С РОДИТЕЛИ НА УЧЕНИЦИ СЪС СПЕЦИАЛНИ ОБРАЗОВАТЕЛНИ ПОТРЕБНОСТИ

Maрия Стефанова, Пламена Желева, Миглена Стоева Мария Георгиева, Мая Рогашка, Живка Дойчева

КОГАТО УРОКЪТ ЗАПОЧНА…

Ивелина Стамболийска

Книжка 3
СТАТИСТИКА ЧРЕЗ ВЪВЕЖДАНЕ НА ИКТ

Магдалена Каменарова

Книжка 2
Книжка 1
РАЗВИТИЕ НА ТОЛЕРАНТНОСТ ЧРЕЗ СПОРТ

Татяна Янчева, Ина Владова

КАК СЪВРЕМЕННИТЕ РОДИТЕЛИ ОБЩУВАТ С ДЕЦАТА СИ? ПОЗИТИВНИ МЕТОДИ ЗА ВЪЗПИТАНИЕ

Мария Георгиева, Мая Рогашка, Живка Дойчева, Златомира Михайлова

УЧРЕДЯВАНЕ НА КОМИТЕТ „БАБОЛАНДИЯ“

Йоанна Димитрова, Рая Енчева

КУКЕРИ

Йоанна Димитрова, Радина Стоянова

ДЕЦАТА – НАШЕТО БЪДЕЩЕ

Йоанна Димитрова, Мария Кузманова

CONTENT AND LANGUAGE INTEGRATED LEARNING (CLIL)

Надежда Алексиева

2018 година
Книжка 6
НОВИ ПРАКТИКИ В ОБУЧИТЕЛНИЯ ПРОЦЕС

Генка Георгиева, Маргарита Гиргинова

ЩАДЯЩА ПРОЦЕДУРА ПРИ РАЗПИТ НА ДЕЦА

Фахредин Фаредин Молламехмед

Книжка 5
SEO И МЕТОДИ ЗА АНАЛИЗ – ТЕНДЕНЦИИ ПРЕЗ 2018

Ивайло Димитров, Слави Димитров

УСПЕШНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИ ПРАКТИКИ В ОБЛАСТТА НА ИНТЕРКУЛТУРНОТО ОБРАЗОВАНИЕ

(Описание на педагогически практики) Стойна Делчева

Книжка 4
КАДРОВАТА КРИЗА В ОБРАЗОВАНИЕТО

Свежина Димитрова, Мария Нестерова, Галина Германова

ПОЛОВИ РАЗЛИЧИЯ И ПОЛОВИ РОЛИ

Владимира Иванова

УЧЕБНА ПРОГРАМА ЗА ОБУЧЕНИЕ ПО ГЕОГРАФИЯ И ИКОНОМИКА

(Допълнителна подготовка – профил „Икономическо развитие“, VІІІ клас)

ДОБРИ ПРАКТИКИ И НОВИ ФОРМИ ЗА ЗАНИМАНИЯ ПО ИНТЕРЕСИ И ИЗЯВА НА ДЕЦАТА И УЧЕНИЦИТЕ

(Организиране и провеждане на литературен конкурс от ученици)

Книжка 3
ИЗСЛЕДВАНИЯ, СВЪРЗАНИ С КОНСТАНТАТА НА КАПРЕКАР

Петко Казанджиев, Мартин Иванов, Цеца Байчева, Кинка Кирилова-Лупанова

Книжка 2
АНАЛИЗ НА ЕПИЧЕСКА ТВОРБА

Марияна Георгиева

УЧИЛИЩЕ НА РАДОСТТА

Веселина Тонева

ЕКОЛОГИЧНА ЕКСПЕДИЦИЯ „ДА ПАЗИМ ПРИРОДАТА!“

Татяна Болградова Красимира Мишкова

Книжка 1
ОБУЧЕНИЕТО КАТО ВЪЗМОЖНОСТ

Диана Илиева-Атанасова

КЪМ РОДИТЕЛИТЕ

(Из педагогическите търсения на една майка)

ДЕТСКА ЕКОАКАДЕМИЯ

Диана Димитрова

ЕДИН ОБИКНОВЕН ДЕН В УЧИЛИЩЕ

Диана Димитрова, Светлана Бозова, Кина Невенова

ДРЕВНИ ОБРЕДИ И СЪВРЕМЕННИ ПУБЛИЧНИ ПРАКТИКИ

Диана Димитрова, Мариана Чаушева, Силвия Кейванова

СЪХРАНИ БЪЛГАРСКОТО

Мариана Чаушева

АНЕКДОТИ ОТ УЧИЛИЩНИЯ ЖИВОТ

Педагогически екип

2017 година
Книжка 6
ТЮТЮНОПУШЕНЕ ИЛИ ЗДРАВЕ – ИЗБЕРЕТЕ САМИ

Ученически съвет и XII„в“ клас

ЩАСТЛИВИ И ЗДРАВИ ЗАЕДНО

Гергана Петрова, Анета Русева

ЕК ПРИЕМА ИНИЦИАТИВА ЗА НАСЪРЧАВАНЕ НА ЧИРАКУВАНЕТО В ЕВРОПА

Генерална дирекция „Заетост, социални въпроси и приобщаване“

Книжка 5
УПРАВЛЕНИЕ НА ПРОМЕНИТЕ

Диана Димитрова

ПЕДАГОГИЧЕСКИ ЕТЮДИ

Диана Димитрова

ТРУДНО Е ДА БЪДЕШ РАЗЛИЧЕН

Стефанка Пампорова

ЛИДЕР В ИНОВАЦИИТЕ

Гергана Петрова

КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА В МАТЕМАТИЧЕСКА ГИМНАЗИЯ

Румен Манолов, Ваня Шипчанова

Книжка 4
ГРАФИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ

Информационните технологии – инструментариум за решаване на математически проблеми

Книжка 3
УЧИЛИЩЕН МЕДИАТОР – ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВО И РЕАЛНОСТ

Марина Николова Бисерка Михалева

ТЕМАТА ЗА ПРИЯТЕЛСТВОТО И ОБЩУВАНЕТО

Детелина Георгиева Христова

Книжка 2
СЪЩНОСТ И ПОЛЗИ ОТ CLIL ОБУЧЕНИЕТО

Иванка Пукнева, Людмила Рижук

СТЪПАЛАТА

Митко Кунчев

НЕ САМО С ЛИНИЙКА И ПЕРГЕЛ

Боряна Куюмджиева

Книжка 1
2016 година
Книжка 6
СПОРТ ЗА КРАСОТА И ЗДРАВЕ

Маргарита Врачовска, Мария Маркова

„БРЕЗИЧКА“ ДИША

Иванка Харбалиева

ДА ИГРАЕМ ЗАЕДНО

Маруся Обретенова

ПОСЛАНИЦИ НА ЗДРАВЕТО

Ученически съвет и IX , IX , X клас Консултанти: Валерия Димова и Цецка Вълкова – учители по биология и здравно образование и география и икономика

ЗАЩО МЕДИАЦИЯ?

Татяна Дронзина, Бисерка Михалева

АСТРОПАРТИ

Радка Костадинова

ДА СИ УЧИТЕЛ

Катя Димитрова

Книжка 5
ПЕТ МИНУТИ СТИГАТ ДА СТАНЕШ ЖУРНАЛИСТ

Дарина Стайкова Хаджийска

ИНДИЙСКИ ПРИКАЗКИ

Марияна Хаджийска

ЧИТАЛИЩЕТО КАТО КЛАСНА СТАЯ

Станимира Никова

Книжка 4
Книжка 3
ПРЕДПРИЕМАЧЕСКИ УМЕНИЯ

Албена Вуцова, Емил Митов

КАНИМ ТЕАТЪРА НА УРОК ПО РУСКИ ЕЗИК

Розалина Димитрова, Румяна Тодорова

Книжка 2
КЛАСНА СТАЯ НА БЪДЕЩЕТО

Даниела Самарджиева, Тихомира Нанева

В ПОДКРЕПА НА EPALE В БЪЛГАРИЯ

Валентина Дейкова

ENTER INTERNATIONAL STUDY WEEK IN VIENNA, AUSTRIA

Daniela Atanasova, Nedyalka Palagacheva

THE SCHOOL IN THE GLOBAL VILLAGE

Svetlana Kalapisheva, Nikolina Koinarska

Книжка 1
2015 година
Книжка 6
СКОКОВЕ НА БАТУТ – ЗАБАВНО И ПОЛЕЗНО

Ирена Тенева, Виолета Дряновска

Книжка 5
MODEL OF FOLK HIGH SCHOOL PEDAGOGY FOR ORGANIC AGRICULTURE EDUCATION

Ivan Manolov, Dimo Atanasov, Ewa Stratenwerth, Paweł Kulpa, Martin Nobelmann, Reto Ingold, Henrike Rieken, Hristina Yancheva, Atanaska Stoeva, Peter Mogensen, Sulisława Borowska

Книжка 4
Книжка 3
РАЗЛИЧНИТЕ ВИДОВЕ ОЦЕНЯВАНЕ

Станислава Базитова

Книжка 2
ДА ПОДГОТВИШ ПЧЕЛАР

Петър Петров

Книжка 1
2014 година
Книжка 6
ЕЛЕКТРОННО ОБУЧЕНИЕ И КОМПЮТЪРЕН ДИЗАЙН (CAD) НА ПОДВЪРЗИИ

Росен Петков, Елица Личева, Даниела Атанасова

ПРАЗНИК НА СЛОВОТО

Трудни са времената, в които живеем. Увлечени в борбата за насъщния, притиснати от неизвестността и несигурното, утре забравяме за онази, друга- та храна, която е необходима за духа, която храни душата. Децата ни също но- сят своя кръст, лутат се, търсейки път, а ние, възрастните, често не можем да им помогнем . Не искам да влизам в полемиката с философите кое e по-важно

Книжка 5
ACTIVATING METHODS AND SOCRATIC DIALOGUE

Jan-Willem Noom, Ard Sonneveld

Книжка 4
LEARNING TO GIVE POWER TO THE PEOPLE: COMPETENCES FOR STUDENTS AND YOUNG PROFESSIONALS*

Jeroen de Vries, Frans van den Goorbergh 1. Public Participation in Planning Projects Public participation in the Netherlands is a crucial issue because the public is becoming more aware of their right to infl uence policies, design, management and maintenance. Furthermore the national and local governments have a policy to stimulate public participation to enhance maintenance and development of urban open space. In the aftermath of the credit crunch local authorities and project developers

ЦЕРН – ЕДНА СБЪДНАТА МЕЧТА

Свежина Димитрова

Книжка 3
Книжка 2
ENVIRONMENT AND INNOVATION

Tonya Georgieva

ENTER IN BULGARIA - DIFFERENT APPROACH AND NEW HORIZON

An interview with Jan-Willem Noom, Vice-President of ENTER

Книжка 1
2013 година
Книжка 6
THE NEW EU PROGRAMME ERASMUS+

Androulla Vassiliou Doris Pack

Книжка 5
ECO BUILDING BECOMES A WINDOW TO KNOWLEDGE

To know not only how to grow a fl ower, but also – where to place it

Книжка 4
Книжка 3
Книжка 2
Книжка 1
2012 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
АСПЕКТИ НА ПРОДЪЛЖАВАЩО ОБРАЗОВАНИЕ НА УЧИТЕЛИ ПО ПРИРОДНИ НАУКИ

(резултати от проучване мнението на учители за интегриране на ин- формационни и комуникационни технологии в обучението)

ПРОФЕСИОНАЛНА ГИМНАЗИЯ ПО СТРОИТЕЛСТВО И АРХИТЕКТУРА ГРАД ПАЗАРДЖИК

Професионална гимназия по строителство и архитектура – град Пазар-

Книжка 3
Книжка 2
Книжка 1