Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2016/4, стр. 381 - 390

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова
Пенка Рангелова
Елена Тодорова
E-mail: rummav@abv.bg; rangelova_penka@abv.bg; etodorova@uni-plovdiv.bg
Faculty of Mathematics and Informatics
Plovdiv University "Paisiy Hilendarskiy"
236, Bulgaria Blvd.
4003 Plovdiv, Bulgaria

Резюме: В настоящата работа се показва изграждането на хипотеза чрез използване на аналогия и индукция в обучението по математика.

Ключови думи: teaching, hypothesis, analogy, induction

Въведение. На съвременния етап на развитие на обществото се изисква учениците да имат по-задълбочени знания по различни науки. Но в училище не е възможно те да получат всички онези знания, които ще им бъдат необходими в живота. Това налага при обучението им да ги запознаем с различни методи за придобиване на знания. С усвояването на тези методи ученикът ще се приучи сам да придобива нови знания, сам да открива, обобщава, решава и прилага знания, свързани с конкретен проблем.

Един от пътищата за достигане до нови знания е използването на хипотезата. В редица публикации (Vilkeev, 1967), (Nikolov & Mavrova, 1993), (Penev, 1976) и др. през различни периоди от време се обръща внимание на хипотезата в обучението, тъй като тя е постоянен спътник и в живота на хората при тяхната трудова дейност. Затова тя трябва да заеме подобаващо място при обучението в нашето училище.

В (Milev, Bratanov & Nikolov, 1970) се посочва, че думата хипотеза има гръцки произход (hypothesis) и е „научнообосновно предположение, което обосновава някакво явление и трябва да се провери чрез доказателства, за да стане научна теория или научен закон". Пак в този източник поясняват, че хипотезата е предположение, вероятност, догатка.

Можем да отбележим, че хипотезата се явява логическа връзка между старите и новите факти, но не просто ги свързва, а е насочена към тяхното обяснение.

Мeтода на познание, свързан с издигането и проверката на хипотези, някои автори (Milev, Bratanov & Nikolov, 1970) наричат „метод на хипотезите".

Ще отбележим, че всяка хипотеза има характер на относителна истина, т.е. представлява приблизително вярно обяснение (Penev, 1976).

В настоящата работа ще споделим опита си по използването на хипотезите в обучението по математика. Ще посочим и методите на познание, които спомагат за издигането на хипотезите.

Изграждане на хипотеза чрез използване на аналогия

Ще отбележим, че при изграждането на хипотезите много важна роля играе аналогията. Редица автори (Nikolov & Mavrova, 1993), (Poja, 1970), (Portev & Nikolov, 1987) и др. са писали за аналогията.

Един от водещите автори – Д. Пойа, подчертава, че „когато разглеждаме аналогията, стъпваме на по-хлъзгава плоча" (Poja, 1970). Той посочва, че „аналогията е вид подобие", и подчертава, че „тя е подобие на определено и на концептуално ниво". Д. Пойа се опитва да изясни това понятие „по-неточно", както той казва, и уточнява: „Същественото различие между аналогията и другите видове сходство се крие, както ми се струва, в намеренията на мислещия. Сходните обекти се съгласуват един с друг в известно отношение". Ще отбележим, че Д. Пойа (Poja, 1970) счита, че „две системи са аналогични, ако те се съгласуват по ясно определени съотношения на своите съответни части".

Така че аналогията се разглежда като отношение (връзка, релация) между два обекта. В този аспект аналогията е изяснена от Ю. А. Шрейдер (Shreyder, 1971).

Аналогията се разглежда и като умозаключение, при което от сходството на два обекта по отношение на някои техни свойства се прави извод за сходството им по отношение и на други свойства. По този начин се по-лучават нови твърдения за единия от сходните обекти, като се използват знания за другия. В този аспект аналогията се разглежда от А. И. Уемов (Uemov, 1977). Новите твърдения, получени по аналогия, са само вероятни и подлежат на обосноваване, тъй като методът не се основава на правила за извод.

При използването на аналогията обучението по математика се организира така, че да се формира у учениците ориентировъчна основа, чиито ориентири са предоставени в обобщен вид, характерен за редица явления.

При прилагане на аналогията за разкриване на нови твърдения бе използвано следното предприсание от алгоритмичен тип (Mavrova, 1978).

„1. Установяване на сходство:

а) разкриване на общото в определенията или свойствата на двете по-нятия чрез анализиране и сравняване;

б) посочване как едното определение или свойство може да се получи от другото.

2. Разкриване на аналогични свойства."

Това предписание допринася за насочване мисловната дейност на учениците.

Казаното по-горе ще илюстрираме с разглеждането на следните примери.

При изучаване на темата „Геометрична прогресия" може да се установи сходство между геометрична прогресия и аритметична прогресия, като се анализират и сравнят определенията на двете понятия.

Определение 1. Аритметична прогресия е числова редица, на която всеки член след първия се получава, като към предходния се прибави едно и също число (Paskalev & Paskaleva, 2001).

Определение 2. Геометрична прогресия е числова редица, на която всеки член след първия се получава, като предходен член се умножи с едно и също число (Paskalev & Paskaleva, 2001).

На учениците се поставя задачата:

1. Да разкрият общото в опреденията.

2. Да посочат как определението за геометрична прогресия се получава от определението за аритметична прогресия.

След анализиране и сравнение на двете определения се установява:

1. Двете определения са сходни. Всяко от тях може да бъде получено от следната обща структура: „Дадена числова редица наричаме прогресия, ако всеки член след първия се получава от предходния чрез извършване на дадена операция с едно и също число".

2. Определението за геометрична прогресия може да се получи от определението за аритметична прогресия чрез заместване на термина „прибавям" с термина „умножавам", т.е. заместваме сбор с произведение.

Учениците са изучили свойствата на аритметична прогресия, а именно (Paskalev & Paskaleva, 2001):

Свойство 1. Една числова редица \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n-1}, a_{n}, a_{n+1}\) е аритметична прогресия тогава и само тогава, когато за всяко \(n \geq 2\) е изпълнено \(a_{n}=\cfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\).

Свойство 2. Във всяка крайна аритметична прогресия \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n-2}, a_{n-1}, a_{n}\) сборът на два члена, равноотдалечени от крайните ѝ членове, е равен на сбора на двата крайни члена т.е. \(a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=\cdots\)

На учениците се задава за самостоятелна работа да разкрият и формулират твърдения за геометрична прогресия, които са аналогични на посочените по-горе свойства.

Така учениците, заменяйки сбора с произведение, получават свойство 1 и свойство 2 (Paskalev & Paskaleva, 2001) на геометрична прогресия. Изказаните свойства 1 и 2 трябва да се докажат. Проблемът за доказателството на хипотезата е свързан и със съвременното методологическо изискване за издигане на множество хипотези. „Изследванията на процеса на познание показват, че когато се използва само една хипотеза, изследователят нагажда несъзнателно за самия себе си начина на своята работа и фактите така, че да ги пригоди към хипотезата. Когато хипотезите са много, проверката им става обективна" (Nikolov & Mavrova, 1993).

Най-голямо е приложението на аналогията в училище при изучаване на стереометрията.

Д. Пойа в (Shreyder, 1971) пише: „Триъгълникът в равнината е аналогичен на тетраедъра в пространството. В равнината две прави линии не могат да заграждат крайна фигура, но три могат да заграждат триъгълник. В пространството три равнини не могат да заграждат крайна фигура, но четири могат да заграждат тетраедър. Отношението на триъгълника към равнината е същото, както това на тетраедъра към пространството дотолкова, доколкото триъгълник и тетраедър са ограничени от минималния брой прости гранични елементи. Оттук и аналогията".

Имайки предвид казаното по-горе, може да се установи сходство между паралелепипеда и успоредника на генетична основа, а именно успоредникът е образуван от пресичането на най-малък брой двойки успоредни прави, а паралелепипедът – от най-малък брой двойки успоредни равнини. Ще посочим и други нови твърдения, които могат да се получат по самостоятелен път по аналогия от познатите им свойства на равнинни фигури.

Например: сходство може да се установи между успоредността на две прави в равнината, от една страна, и успоредността на две прави, на прави и равнина или на две равнини в пространството от друга страна; ъгъл, определен от две прави в равнината, и ъгъл, определен от две равнини в пространството; между окръжност в равнината и сфера в пространството и др. Получените твърдения в пространството имат хипотетичен характер и те трябва да се докажат.

Например: разглеждайки успоредник и паралелепипед от твърденията за успоредник, като:

1. противоположните страни в успоредника са успоредни и равни отсечки.

2. диагоналите на успоредника се пресичат в една точка и се разполовяват от нея.

Можем да издигнем хипотезите, отнасящи се за стереометричната фигура, а именно:

1‘. Противоположните стени на паралелепипеда са успоредни и еднакви многоъгълници.

2‘. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и се разполовяват от нея.

Издигнатите хипотези на базата на аналогията могат да бъдат както верни, така и неверни твърдения. На това трябва да се обърне внимание на учениците.

Освен при получаване на нови знания по аналогия могат да се разгледат с учениците и аналогични задачи.

Например:

Ако числата \(a\) и \(b\) са положителни, то \(a+b \geq 2 \sqrt{a b}\).

1‘. Ако числата \(a,b,c\) са положителни, то \(a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{a b c}\) .

От всички правоъгълници с даден диагонал най-голямо лице има квадратът.

2‘. От всички правоъгълни паралелепипеди с даден диагонал най-голям обем има кубът.

3. Да се докаже, че за всеки триъгълник е в сила равенството \(\cfrac{1}{r}=\cfrac{1}{h_{a}}+\cfrac{1}{h_{b}}+\cfrac{1}{h_{c}}\), където \(r\) е радиус на вписаната окръжност в триъгълника, а \(h_{a}, h_{b}, h_{c}\) са височините му.

3‘. Да се докаже, че за всеки тетраедър е в сила равенството \(\cfrac{1}{r}=\cfrac{1}{h_{a}}+\cfrac{1}{h_{b}}+\cfrac{1}{h_{c}}+\cfrac{1}{h_{d}}\) , където \(r\), е радиусът на вписаната сфера в тетраедъра, а \(h_{a}, h_{b}, h_{c}\) и \(h_{d}\) са височините му.

4. Ако в правоъгълен \(\triangle A B C h\) е дължина на височината, построена през върха на правия ъгъл, то \(\cfrac{1}{h^{2}}=\cfrac{1}{a^{2}}+\cfrac{1}{b^{2}}\).

4‘. Ако в правоъгълен тетраедър ABCD \(h\) е дължина на височината, построена през върха на правия тристенен ъгъл, aи \(a, b, c\) са дължините на взаимно перпендикулярни рьбове, то \(\cfrac{1}{h^{2}}=\cfrac{1}{a^{2}}+\cfrac{1}{b^{2}}+\cfrac{1}{c^{2}}\).

5. Докажете неравенството \(a+b+c \geq \sqrt{a b}+\sqrt{b c}+\sqrt{c a}\), където \(a, b, c\) са положителни числа.

5‘. Вярно ли е, че \(a+b+c+d\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\) , къдетaо \(a,b,c,d\) са положителни числа.

6. За числата \(a\) и \(b\) е изпълнено неравенството \(a+b \leq \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\).

6‘. За числата \(a,b\) и \(c\) е изпълнено неравенството \(a+b+c \leq \sqrt{3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}\) .

Както споменахме по-горе, получените по аналогия твърдения могат да бъдат както верни, така и неверни. Затова в обучението по математика трябва на учениците да се обръща внимание на допускането на неправилни аналогии.

Например: невярно е твърдението \(\cfrac{a+c}{b+c}=\cfrac{a}{b}\), получено по „аналогия" от \(\cfrac{a c}{b c}=\cfrac{a}{b} ; a \sin b x=b \sin a x\) по „аналогия" с \(a b x=b a x ; \lg (a+b)=\lg a+\lg b\) по"аналогия"с \(a(b+c)=a b+a c\) т.н.

Борбата с тези грешни аналогии може да се осъществи чрез използването на контрапримери, с които се показва неверността на направените изводи.

Например:

\(\lg (1000+10)=\lg 1000+\lg 10\). От \(\lg (1010)=3, \ldots\) и \(\lg 1000+\lg 10=3+1=4\) стигаме до извода, че \(3, \ldots=4\), което отхвърля твърдението, че \(\lg (a+b)=\lg a+\lg b\).

Може да се използва също така и обосноваване на извода чрез използване на доказани твърдения, свойства, определения и т.н.

Изграждане на хипотезата чрез използване на индукцията

Освен аналогията в обучението по математика за издигане на хипотези може да се използва индукцията (непълната).

В (Nikolov & Mavrova, 1993) авторите пишат: „Индукцията (от латински „indyctro" навеждане, насочване) е метод на познание, основаващ се на логически разсъждения, изхождащи от твърдение с по-малко общ характер и насочени към твърдение с по-общ характер. В този случай въз основа на знанията за част от предметите за даден клас се прави извод за класа като цяло. Индукцията винаги е някакво обобщение".

ABCMNЧертеж 1

Като имаме предвид казаното, ще посочим, че индукцията „прави резултатите му вероятни, но тя никога не ги доказва" (Poja, 1970). Тук имаме предвид непълната индукция. Д. Пойа още подчертава, че „грижливото наблюдение на частни случаи, които ни водят до един общ математически резултат, може да подскаже и неговото доказателство".

Ще разгледаме следните примери.

При изучаване на средна отсечка в триъгълник на учениците се поставя проблемът: какво свойство притежава средната отсечка в триъгълника?

За целта от учениците се изисква всеки от тях да начертае триъгълник и средна отсечка в него (чертеж 1).

След което им се предложи да измерят \(∢ C M N\) и \(∢ C A B\) и да измерят отсечките \(M N\) и в случая \(A B\).

След анализиране и сравняване на големините на ъглите и дължините на отсечките се стигна до извода, че \(M N \| A B\) и \(M N=\cfrac{1}{2} A B\). Тук се обърна внимание на получените конкретни резултати, сравнихме ги и учениците забелязаха „откъслечни" закономерности, след каето се стига до извода, че получените резултати имат вероятен характер, защото се отнасят до фигурите, начертани от тях. Стигна се до извода, че този резултат трябва да се докаже, за да е валиден за всяка средна отсечка в триъгълник.

В този случай използвахме непълната индукция. „Непълната индукция разширява човешките знания, защото в умозаключението се съдъжа повече информация, отколкото в изходните предпоставки. Колкото е по-голяма нейната база, т.е. колкото повече частни случаи съдъжа, толкова по-вероятен е индуктивният извод."

Изводите по метода на непълната индукция могат да се правят не само на основата на количествени измеревания, но и на качествено ниво.

Чрез индуктивното обобщение се установяват не само закономерностите, но се определят съществени признаци на обекти и явления (вписан ъгъл, и успоредник и др.)

AOBC

Чертеж 2

Д. Пойа (Poja, 1970) посочва, че „приот работа със задачи от какъвто и да е тип се нуждаем от определен вид индуктивни разсъждения".

За целта ще разгледаме следната задача.

Дадена е окръжност \(k\) с радиус \(R\) и център \(O\). От точка \(A\), лежаща вън от окръжността, намираща се на разстояние \(a\) от точка \(O\) е построена секуща (чертеж 2). Нека точките \(B\) и \(C\) са пресечните точки на секущата с окръжността. Съединяваме точките \(B\) и \(C\) с центъра \(O\) и нека \(∢ B O A\) и \(∢ C O A\) означим съответно с \(\beta\) и \(\gamma\). Намерете \(\operatorname{tg} \cfrac{\beta}{2} \cdot \operatorname{tg} \cfrac{\gamma}{2}\).

За да подпомогнем решаването на задачата, разглеждаме частен случай, когато \(\beta=\gamma\), т.е. разглеждаме граничното положение на секущата. Получава се следната ситуация (чертеж 3) \(\operatorname{tg} \cfrac{\beta}{2} \cdot \operatorname{tg} \cfrac{\gamma}{2}=\left(\operatorname{tg} \cfrac{\gamma}{2}\right)^{2}=\cfrac{1-\cos \gamma}{1+\cos \gamma}\), \(\operatorname{tg} \cfrac{\beta}{2} \cdot \operatorname{tg} \cfrac{\gamma}{2}=\left(\operatorname{tg} \cfrac{\gamma}{2}\right)^{2}=\cfrac{a-R}{a+R}\).

AOBCE2

Чертеж 3

С направените изводи в помощната задача ще трябва да достигнем до решението на дадената задача.

За целта използваме (чертеж 4), че \(\triangle B E M\) и \(\triangle C E M\) са правоъгълни и \(\operatorname{tg} \cfrac{\beta}{2}=\cfrac{B M}{B E}\), a \(\operatorname{tg} \cfrac{\gamma}{2}=\cfrac{C M}{C E}\).

Тогава \(\operatorname{tg} \cfrac{\beta}{2} \cdot \operatorname{tg} \cfrac{\gamma}{2}=\cfrac{B M}{B E} \cdot \cfrac{C M}{C E}\) (1). От подобните триъгълници \(\triangle A M C\) и \(\triangle A B E(A B . A C=A E . A M)\) следва, че \(\cfrac{C M}{B E}=\cfrac{A M}{A B}=\cfrac{a-R}{A B}\).

От \(C E\) и \(a+R\) са елементи в подобните триъгълници \(\triangle A C E\) и \(\triangle A M B\), откъдето получаваме \(\cfrac{M B}{C E}=\cfrac{A B}{a+R}\). Така, като заместваме в (1), получаваме \(\operatorname{tg} \cfrac{\beta}{2} \cdot \operatorname{tg} \cfrac{\gamma}{2}=\cfrac{a-R}{A B} \cdot \cfrac{A B}{a+R}=\cfrac{a-R}{a+R}\) . По аналогичен начин, т.е. използвайки граничен преход, който води до разглеждане на частни случаи, се постъпва и при решаването на следната задача.

BCAOBEMCЧертеж 422

В четириъгълник \(A B C D\) (чертеж 5) двете страни \(A D\) и \(B C\) не са успоредни. Кое е по-голямо: по-лусумата от тези страни или отсечката \(M N\), съединяваща средите на другите две страни на четириъглника (Mavrova, 2000)?

ABCDMN

Чертеж 5

Използването на хипотезата при обучението по математика изисква повече време, отколкото при обикновеното изложение на учебния материал. За сметка на това по-добре се осъществяват редица образователни и възпитателни цели. Издигането на хипотеза показва на учениците какъв е пътят на научното изследване. Освен това се допринася за:

- съзнателното и трайно усвояване на знанията;

– формиране у учениците на умения самостоятелно да получават правдоподобни твърдения от известните им вече знания;

– повишаване интереса у тях към математиката, тъй като учебната дейност придобива изследователски характер;

– повишаване ефективността на обучението;

– избягване на грешки, допускани поради неправилни аналогии или обобщения чрез използването на индукция.

Учениците трябва да обърнат внимание на това, че хипотезите, които се получават по аналогия и индукция, изискват обосноваване (доказателство), тъй като не се изключва възможността те да бъдат погрешни, защото не се основават на правила за извод.

Накрая ще отбележим, че освен използваната т.нар. „проста аналогия", при която изводът има хипотетичен характер, има и аналогия, която запазва зависимостите на известни съотношения и в математиката се нарича изоморфизъм. Изоморфизмът е един напълно изяснен вид аналогия и в настоящата статия нямаме за цел да го изясняваме.

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Vilkeev, D. (1967). Rol gipotezay v obuchenii. Sovetskaya pedagogiki, 6, 59 – 67 [Вилькеев, Д. (1967). Роль гипотезы в обучении. Совет ская педагогика, 6, 59 – 67]

Mavrova, R. (1978). Analogiyata pri obuchenieto po stereometriya, Nauchni trudove, PU „Paisiy Hilendarski", 16 (6), 581 – 592. [Маврова, Р. (1978). Аналогията при обучението по стереометрия, Научни трудове, ПУ „П. Хилендарски", 16 (6), 581 – 592.]

Mavrova, R. (2000). Pomagalo po problemi na metodikata na obuchenieto po matematika, I chast Obshta metodika. Plovdiv: Makros. [Маврова, Р. (2000).

Помагало по проблеми на методиката на обучението по математика, I част Обща методика. Пловдив: Макрос.]

Milev, Al., Bratkov, I. & Nikolov, B. (1970). Rechnik na chuzhdite dumi v balgarskia ezik. Sofia: Nauka i izkustvo [Милев, Ал., Братков, И. & Николов, Б. (1970). Речник на чуждите думи в българския език. София: Наука и изкуство]

Nikolov, St. & Mavrova, R. (1993). Metodi na nauchnoto poznanie. Plovdiv: Makros [Николов, Ст. & Маврова, Р. (1993). Методи на научното познание. Пловдив: Макрос]

Paskalev, G. & Paskaleva, Zdr. (2001). Matematika 11. klas – parvo ravnishte. Sofia: Arhimed [Паскалев, Г. & Паскалева, Здр. (2001). Математика за XI клас – първо равнище. София: Архимед]

Penev, A. (1976). Hipotezata i neynata rolya pri obuchenieto. Narodna prosveta, 7 \(36-45\) [Пенев, А. (1976). Хипотезата и нейната роля при обучението, Народна просвета, 7, 36 – 45]

Poja, D. (1970). Matematika i pravdopodobnite razsajdeniia, tom I: Indukzia I analogia v matematikata. Sofia: Narodna prosveta. [Пойа, Д. (1970). Математика и правдоподобните разсъждения, том I: Индукция и аналогия в математиката. София: Народна просвета]

Portev, L. & Nikolov, N. (1987). Metodika na obuchenieto po matematika. Plovdiv: Paisiy Hilendarski [Портев, Л. & Николов, Н. (1987). Методика на обучението по математика. Пловдив: Унив. изд. „Паисий Хилендарски"]

Uemov A. I. (1977). Analogia i uchebnay protses, kn. Logika i problemы obuchenia. Moskva: Pedagogika [Уемов А. И. (1977). Аналогия и учебный процесс, кн. Логика и проблемы обучения. Москва: Педагогика]

Shreyder, A. (1971). Ravenstva, shodstva, pаryadak. Moskva: Nauka [Шрейдер, А. (1971). Равенство, сходство, порядок. Москва: Наука]

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.