Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2015/6, стр. 593 - 603

ИСТОРИЧЕСКИ ПРЕДПОСТАВКИ ЗА СМЯТАНЕТО С ПРЪСТИ И ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА НА УЧЕНИЦИ СЪС СПЕЦИАЛНИ ОБРАЗОВАТЕЛНИ ПОТРЕБНОСТИ

Милен Замфиров
E-mail: milen_zamphirov@abv.bg
Department of Special Education and Speech Therapy
Sofia University
15, Tsar Osvoboditel Blvd.
1504 Sofia, Bulgaria

Резюме: Статията разглежда историческото развитие на смятането с пръсти, като акцентира върху възможностите за приложение в обучението на ученици със специални образователни потребности, особено на ученици с увреден слух. Взети са под внимание и други ученици с нарушения като дискалкулия и аутизъм, а така също и ученици без нарушения.

Ключови думи: finger Math, mathematics education, disability, hearing loss, dyscalculia, autism

Смятането с пръсти в обучението по математика никога не е било приемано еднозначно не само в България, но и по света. Често учениците биват мъмрени, че използват пръстите си за броене или извършване на пресмятания (Kolpas, 2002). Минавайки през масови убеждения, че такъв подход не е математика, че е в контраст с правилната методология и няма как да развие математическо мислене сред учениците, се достига и до положение, при което се допуска и дискусия в тази посока. На какво се дължи това? На първо място, през последните години се приеха закон и наредба, гарантиращи равноправен достъп до общообразователните училища на ученици с различни специални образователни потребности. Така в един клас е възможно да има както ученици без нарушения, така и ученици с увреден слух или зрение, с умствена изостаналост или аутизъм (Замфиров, 2015). Това провокира и търсенето на нови похвати в обучението, особено в тези дисциплини, които по правило се приемат за „трудни“ – математика, физика, химия. А това търсене има съвсем обективни предпоставки. Например не е възможно в клас, в който има двама ученици с тотална слепота, учителят да напише на дъската дадено уравнение и да очаква, че това ще бъде достатъчно дадената задача да бъде решена и от слепите ученици. Тук ще са необходими и допълнителни средства, като брайлово шило и брайлова хартия или пък портативна брайлова машина, за да бъде записана задачата от учениците. За това обаче е необходимо слепият ученик да е овладял и брайловото писмо, при това и допълнително да е усвоил и брайловите знаци, и правилата, свързани с математическия запис, използвани в България.

Затова съвсем не е случайно, че почти навсякъде по света учениците с увредено зрение срещат трудности в обучението по математика. Например Нолан и Ашкрофт (1959) по (Радулов, 2013) установяват, че постиженията по математика на зрително затруднените са с 15% по-ниски от тези на виждащите. Стуров, Шини и Рудолф (1970) по (Радулов, 2013) считат, че слепите ученици имат проблеми с математиката, защото нямат необходимия опит в понятийното развитие. Те срещат трудности в понятия като размер, големина, количество и пр. В България също много активно се работи в посока преодоляване на трудностите в обучението по математика при зрително затруднени, като тук могат да се посочат публикациите на С. Гроздев и Е. Петрова (Гроздев & Петрова, 2013), (Петрова, 2014).

Не по-различно стои въпросът и с други ученици със СОП, обучаващи се в общообразователните училища. Такъв е случаят с учениците с дислексия. Учениците с дислексия често бъркат някои букви с други – например „б“ с „д“ или „н“ с „п“, или пък разместват местата на буквите в думите. В. Иванов твърди, че огледалната форма на дислексия (т.е. четeне от дясно наляво – например думата вода ще се прочете като адов) често е комбинирана от дискалкулия, което представлява разстройство на способността за писмено смятане. Но благодарение на развитието на педагогическата и психологическата диагностика това нарушение вече се диагностицира не толкова трудно както преди години. Все пак диагностицирането му невинаги е лесно, понеже то (дислексията) се покрива с вторични невротични нарушения, които отклоняват вниманието на родителите и учителите в друга посока. От друга страна, учениците с увреден слух често си служат с жестов език, улеснявайки по този начин общуването си. А пластичността на жестовия език, неговото знание от учениците, позволява по-лесното възприемане на насоките и подходите при смятатето с пръсти в часовете по математика.

И така, оказва се, че има една немалка група ученици със специални образователни потребности (с увреден слух, увредено зрение, дискалкулия), които се обучават в общообразователните училища, но срещат трудности, особено в обучението по математика. Успоредно с това смятането с пръсти не е забранена територия и за учениците без нарушения. Няколко проучвания са показали и ползата от смятането с пръсти като обучително средство за ученици без зрителни нарушения. Използването на смятането с пръсти е проучено от Бенсън (1980) по (Maddux et al, 1983). Той изследва две групи от зрящи деца в I клас и установява, че групата, запозната със смятането с пръсти, достига до 74% на верни отговори, докато групата, която не е била запозната с този метод, отбелязва резултат 30%. Тъй като този подход не е някакъв куриоз, тъкмо обратното – използван е активно през вековете, особено при търговски преговори, тук ще се спрем основно на историческите предпоставки, довели до използването на смятането с пръсти.

Античност и Средновековие

Смятането с пръсти е известно от векове и е било присъщо не само на римляните и гърците. Археолози, историци, етнолози и филолози откриват следи от него във всички епохи и всички райони на света. Например възникването на римските цифри се обосновава като идеограми на различни положения на ръцете (фигура 1).

Фигура 1. Римски цифри (Березнай & Филеп, 1988)

Жорж Ифра прави сравнение на две системи, използвани при смятането с пръсти – на монаха Беда Достопочтени и на Фарханги Джихангири, персийски речник от XVI в., преведен с коментар на френски от Силвестър дьо Саси. Ифра посочва, че съвпадението на две системи, описани с интервал от девет века, в две така отдалечени територии, каквито са Ирландия и Персия, е наистина смайващо (Ифра, 2005). Тези два текста показват как на едната ръка се използвали отделно кутрето, безименният и средният пръст, за да се изразят простите единици, а палецът или показалецът или и двата – за десетиците. След това, с помощта на другата ръка, се изразявали стотиците и хилядните чрез жестове, съответно симетрични на тези за десетиците и единиците. Според ориенталското описание: „За да се посочи 10 000, се свързва цялостно краят на палеца с края на показалеца и част от втората му фаланга (така че нокътят на показалеца да бъде срещу нокътя на палеца, а краят на единия – на едно ниво с края на другия)“.

От своя страна, Беда Достопочтени (673 – 735), който е упражнил значително влияние върху развитието на средновековна Европа чрез своето произведение ,,De ratione temporum“1), казва: „За да се посочи 10 000, поставяш в средата на гърдите обърнатата си лява ръка, като пръстите са огънати назад (откъм горната им част) към врата“1).

Ж. Ифра посочва и техника за броене на пръсти до 10 милиарда, която се е употребявала в Китай през XIX в., но съществува и в наши дни в някои части на Китай. При този начин всяка става, намираща се под фаланга, се подразделя на три части: лява страна на ставата, среда на ставата и дясна страна на ставата. Така всеки пръст съответства на деветте последователни единици от една десетична степен: дясното кутре – на обикновените единици, безименният на същата ръка – на десетиците, средният пръст – на стотиците, показалецът – на хилядите, и десният палец – на десетките хиляди. После левият палец – на стотиците хиляди, показалецът на същата ръка – на милионите, и т.н. На дясното кутре се брои първо от 1 до 3, като се докосват последователно от лявата страна горната, средната и първата става. После се брои от 4 до 6, като последователно се докосват по средата първата, средната и последната става. Накрая се брои от 7 до 9, като се гледа дясната страна от горе надолу на горната, средната и долната става (фигура 2).

На десния безименен пръст се действа по същия начин, като се брои първо от 10 до 30, после от 40 до 60 и накрая от 70 до 90. Пак така се брои на десния среден пръст, за да се преброи от 100 до 900. И така нататък. По този начин, когато се стигне до първата става на лявото кутре, вече сме преброили числата до девет милиарда. Техниката позволява, поне на теория, да се брои до сто хиляди на едната ръка и да се стигне до десет милиарда на двете (фигура 3).

Eдна от многото причини за широкото разпространение на системата на смятането с пръсти е в нейния таен характер. Беда Достопочтени дава обяснение и пример за такова мълчаливо общуване (фигура 4), след като установява съответствие между латинските букви и целите числа: „За да кажете на някой приятел „Caute

Фигура 2. Техника за броене до 10 млрд. Всеки пръст съответства на деветте последователни единици от една десетична степен (по Ж. Ифра, 2005)

Фигура 3. Техника за броене до 10 млрд.

age“ (пази се) в присъствието на недискретни или опасни хора, направи с пръсти (следните последователни жестове) (Ифра, 2005):

Фигура 4. Съответствие между латинските букви и целите числа при Беда Достопочтени (по Ж. Ифра, 2005)

Ако искаш да бъдеш още по-потаен, можеш дори да му изпратиш тези числа в писмен вид“.

След падането на Римската империя същата пръстова бройна система била широко прилагана на Запад до края на Средновековието, като дори се явявала един от най-забележителните педагогически инструменти на средновековното образование. При това, преди не повече от четиристотин години, употребата й била така широко разпространена сред европейските интелектуалци, че учебник по аритметика бил считан за достоен единствено ако съдържал подробни обяснения за тази система.

Такова описание например срещаме в труда на известния италиански математик Лука Пачоли – Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita (Всичко за аритметиката, геометрията, пропорциите и пропорционалностите), отпечатана във Венеция през 1494 г. В нея се описва похват за пресмятане с пръсти (фигура 5).

Фигура 5. Пресмятане с пръсти от труда на Л. Пачоли Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita2)

Демонстрация за смятане с пръсти се намира и в друг основополагащ учебник, този на Якоб Леополд – Theatrum arithmetico-geometricum, публикуван в Германия през 1727 г.

Фигура 6. Демонстрация на смятане с пръсти от учебника на Я. Леополд 3)

Фигура 7. Демонстрация на смятане с пръсти от учебника на Я. Леополд 3)

Смятане на пръсти при прабългарите и славяните

М. Бейков прави сериозни изследвания върху математическите познания на българите през VII – XIV в. (2004).

Бейков счита, че смятането с пръсти се владее от славяните още когато се обособяват като самостоятелна етническа група (X в. пр. Р. Хр.). Показателно е обстоятелството, че от всички славянски езици само в българския език съществува терминът „брои“ (броя). Това означава назоваване на числата поред. Когато пръстите започват да се ползват за броене, то придобива значението „смятам, броя“.

М. Бейков описва и броенето, което се е извършвало по вътрешните стави на лявата и дясната ръка. Ставите на лявата ръка са разделени условно на три зони: крайна (външна), средна и вътрешна. За палеца, който има само две стави, условно се приема, че са три. Първата става е тази до дланта, следващата по посока към върха на пръста е втора, в същата посока следващата е трета. С помощта на дясната ръка лесно могат да се подредят числата до 50 върху лявата по следния начин (фигура 8): по външната зона на малкия пръст от долу нагоре по ставите се подреждат числата 1, 2, 3; по средната зона от горе надолу по ставите – 4, 5, 6; по вътрешната зона от долу нагоре – числата 7, 8, 9. Подгъването на малкия пръст до дланта означава числото 10. Аналогично се подреждат (записват) останалите числа – съответно на безименния (11 – 20), на средния (21 – 30), на показалеца (31 – 40) и на палеца (41 – 50).

Фигура 8. Изобразена лява ръка със записване на числата от 1 до 50 върху вътрешните й стави (по М. Бейков).

Фигура 9. Изобразена дясна ръка със записани означените по-горе числа

На дясната ръка на върха на малкия пръст се записва числото 60, на върха на безименния – 70, на върха на средния – 80, на върха на показалеца – 90, и на върха на палеца – 100 (фигура 9). Върху вътрешните стави на дясната ръка се подреждат числата по следния начин: върху първата става на малкия пръст е числото 150, върху втората – 200, върху третата – 250. Подгъването на малкия пръст означава числото 300. Аналогично се подреждат (записват) числата на безименния (350, 400, 450, 500), на средния (550, 600, 650, 700), на показалеца (750, 800, 850, 900). За палеца остават 950 върху реалната става и 1000 при подгъване.

Този начин на означаване на числата, който използват славяни и прабългари, се предава от поколение на поколение и по време на турското робство. Само така можем да обясним факта, че в нашите килийни училища през Възраждането се изучава предметът „смятане ръкам“, което ще рече смятане с помощта на пръстите на ръцете (Бейков, 2004).

Смятането с помощта на ръката е било използвано, а и още се използва, при установяването на броя на дните в даден месец (фигура 10). Христаки Павлович описва в своята „Аритметика или научна числителна“ (1833 г.) този метод, като пише, че „Именува са мьсячна тая рука, защо учи, какво да нахожда человек на своя та рука месецы те, кой кольку дни има“.

Фигура 10. Установяване броя на дните в даден месец с помощта на пръстите на ръката (Павлович, 1833)

Заключение

Безспорно, смятането с пръсти се явява атрактивна възможност за усвояването на даден материал по математика. Убедени сме, че този начин може да подпомогне далеч по-успешно обучението по математика на учениците с различни нарушения, отколкото традиционните методи, използвани в училище, които обикновено забраняват използването на пръсти при извършването на различни аритметични операции. Успехът в това начинание дава увереност и удоволствие от уроците. Например при учениците с увреден слух използването на жестове е нещо напълно естествено, а смятането с пръсти идеално се вписва в тази система. При зрително затруднените ученици тактилните свойства на смятането с пръсти ги правят привлекателни за тях, тъй като развиването и използването на тактилността е един от основните похвати и методи при тях.

В допълнение, смятането с пръсти не се нуждае от специално оборудване, а това го прави винаги достъпно. Друго предимство е, че може да се упражнява математика, без да се привлича вниманието на другите.

БЕЛЕЖКИ

1. http://www.nabkal.de/beda/beda_01.html

2. http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasures-paciolis-summa

3. http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/mpiwg/online/permanent/library/ XCXD9TX1/pageimg&start=221&viewMode=images&pn=222&mode=imagepath

ЛИТЕРАТУРА

Бейков, М. (2004). Математическите познания на българите през VII – XIV в. В. Търново.

Березнай, Г. & Л. Филеп (1988). История на цифрите. София.

Гроздев, С. & Петрова, E. (2013). Върху преподаването на математика на ученици със зрителни увреждания, Математика и информатика, т. 56, 4, 314 – 316.

Замфиров, М. (2015). Специфични форми на работа по математика и информатика за деца и ученици със специални образователни потребности. София: УИ „Св. Климент Охридски“.

Ифра, Ж. (2005). Енциклопедична история на цифрите, т.1. София.

Радулов, Вл. (2013). Ресурсно подпомагане на интегрираните зрително затруднени ученици. Обучение и рехабилитация на зрително затруднени, т. 3, 1 – 2, 9 – 20.

Павлович, Хр. (1833). Аритметика или научна числителна. Белград.

Петрова, Е (2014). Формиране на математически умения у ученици I – IV клас с увредено зрение. Автореферат на дисертационен труд. Пловдив: ПУ „П. Хилендарски“.

Kolpas, S. (2002). Let Your Fingers Do the Multiplying, Mathematics Teacher, vol. 95, Issue 4, 246 – 251.

Maddux, Cl., Cates, D. & V. Sowell (1983). Abacus or Fingermath: How Do We Decide?

Journal of Visual Impairment and Bindness, v. 77, 5, 210 – 213.

REFERENCES

Beykov, M. (2004). Matematicheskite poznaniya na balgarite prez VII – XIV v. V. Tarnovo.

Bereznay, G. & L. Filep (1988). Istoriya na tsifrite. Sofiya

Grozdev, S. & Petrova, E. (2013). Varhu prepodavaneto na matematika na uchenitsi sas zritelni uvrezhdaniya. Matematika i informatika. (56) 4, 314 – 316.

Zamfirov, M. (2015). Spetsifichni formi na rabota po matematika i informatika za detsa i uchenitsi sas spetsialni obrazovatelni potrebnosti. Sofiya: UI „Sv. Kliment Ohridski“.

Ifra, Zh. (2005). Entsiklopedichna istoriya na tsifrite, t.1. Sofiya.

Radulov, Vl. (2013). Resursno podpomagane na integriranite zritelno zatrudneni uchenitsi. Obuchenie i rehabilitatsiya na zritelno zatrudneni, t. 3, 1 – 2, 9 – 20.

Pavlovich, Hr. (1833). Aritmetika ili nauchna chislitelna. Belgrad.

Petrova, E (2014). Formirane na matematicheski umeniya u uchenitsi I – IV klas s uvredeno zrenie. Avtoreferat na disertatsionen trud. Plovdiv: PU „P. Hilendarski“.

Kolpas, S. (2002). Let Your Fingers Do the Multiplying, Mathematics Teacher, vol. 95, Issue 4, 246 – 251.

Maddux, Cl., Cates, D. & V. Sowell (1983). Abacus or Fingermath: How Do We Decide? Journal of Visual Impairment and Bindness, v. 77, 5, 210 – 213.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.