2021/6, стр. 634 - 649

INTRODUCTION TO COMPUTER PROGRAMMING THROUGH A SYSTEM OF TASKS

Резюме:

Ключови думи:

Introduction

The formation of notions in the early stages of computer programming course could be a quite challenging task. Notions play a fundamental role in the knowledge formation which by itself has its huge impact on the practical skills that are acquired by the students. At the same time, the relation between the knowledge and practical skills of the students definitely is not one-directional: the practical skills of the students have their huge impact on the capability for notion formation.

The process of notions formation is widely studied in the fields of psychology and pedagogy (Usuva 2011; Vygotsky 1987, 1; Vygotsky 1987, 2; Aleksandrov 1999; Rubinstein 1946; Davydov 1996). From the pedagogical point of view, Usuva (Usova 2011) formulates 11 stages that describe this complex process. The reader can find a detailed description of the 11 stages of Usuva in the context of the notion formation in the discipline of data structures in (Laskov 2020).

The 11 stages of Usuva (Usuva 2011) are used as a goal in development of a system of tasks that provides the formation of the set of notions that are needed to build the knowledge covered in the introductory course of computer programming. For this purpose, during the experiment an approach that is similar to the one described by Assenova and Marinov (Assenova & Marinov 2018; Assenova & Marinov 2019) is followed. Considering specifics of computer programming, the relation between the formation of basic notions and more composite notions is investigated. This relation actually suggests the approach that builds the system of notions starting from more primitive, and developing composite on their basis. A good example here is the introduction of the object-oriented programming paradigm on the basis of the procedural programming paradigm (Laskov 2016). However, due to complicated relation between primitive and composite terms in computer programming, the process of notion introduction is a spiral process, exactly as Usuva suggests. This means that a single notion is introduced multiple times during the curriculum, each time from different point of view, and with different complexity that rely on different preliminary acquired terms. For example, the term “character string” can be introduced as an atomic part needed for the most simple possible program, as an example for a standard library class, as an example of application of mechanism of arrays, and even as an example of application of complex algorithms (Horstmann & Budd 2008) and Cormen at al. 2009).

In his work Vygotsky (Vygotsky 1987, 1) finds the relation between the development of speech and development of thinking. Of course, in this case the subject of research is the process of studying of natural language in the early childhood. Programming languages are an example of formal languages, just like mathematics is, and the process of their studying by adult learners is examined. However, there is a certain parallel between the process of assimilation of natural and formal languages in the fact that learning a programming language actually has an impact on the development of thinking of the students. This impact is clearly observed in the difficulties the students should struggle with in their first course in computer programming.

Something more, Vygotsky (Vygotsky 1987, 2) states that scientific notions are not only a problem of the education itself, but also are a subject of the development of the learner, and the formation of the notion by the process of teaching itself is practically impossible.

The conclusions above are extremely important for the methodology of design of an introductory course in computer programming because of two main features of the subject: (i) the notions are complex and the relation between them is complex as well; (ii) the subject is highly related with the practice, and practical skills of the learner directly affect his capability to form notions. In this way the principles deducted by Vygotsky motivate the structure of the curriculum, proposed here, that adhere to 11 stages of Usova, and which is based on a system of tasks.

Programming environment

The technical background in which the course is conducted is often overlooked, or even worse, assumed to be fixed by default. In order to develop the required notions by a system of tasks, the course should start from the very basis, namely from the programming environment, and the tools to be used during the course should be selected in such manner, that non of the stages of computer program creation will remain hidden or “behind the scenes” from the learner.

For that reasons, it is recommended to avoid using an Integrated Development Environment (IDE) during the process of introduction to programming. Besides the comfort it brings, an IDE actually hides the composite process of program compilation from the student. A student who has passed the whole curriculum using an IDE often does not make the difference between a text editor, compiler and debugger, which can seriously impede the development of notions of computer program, and compilation process. With these arguments, in the presented example the compiler is used directly from a text-base terminal of the operating system (OS) to build the programs, and a simple text editor to enter the texts of the program.

The selection of the compiler, of course, depends on the programming language that is used, in presented case this is C++ (for motivation of language choice see other Laskov’s work (Laskov 2016)). We do not use any closed source code software, and the reason for this decision is to widen the technical vocabulary and increase the practical skills of the students by introducing contemporary tools that are widely used in real-life practice. Hence, a good choice of compiler is the Gnu Compiler Collection (GCC) (Griffith 2002) front-end for C++. Following the same logic, the selection of the OS is a Unix/Linux-based distribution, in particular case this is Ubuntu Linux (Helmke et al. 2016). For many of the participating students this is a new software environment, and during the computer programming course their computer literacy is naturally increased by the knowledge how to use Linux, especially from Bash terminal (Ramey & Fox 2015) which is used to run the compiler and all programs that are implemented.

The notions Operating System and terminal are developed by introducing some of the basic bash commands that are needed to manipulate files, and navigate through the file system.

Task 1. Using the appropriate Bash commands, create a directory in an appropriate location which will be your working directory for this class. Always give meaningful names to your files and directories.

The complete and deep understanding of OS is a subject of the respective courses of computer architectures, operating systems, and Unix-based systems that are taught in the programs.

The development of the notions compiler and program starts by a set of simple tasks.

Task 2. Check whether the GNU Compiler Collection (GCC) is installed on your system by simply typing:

$ gcc --version

If GCC is not present, install it by typing the following command:

$ sudo apt-get install build-essential or alternatively by typing:

$ sudo apt install build-essential

Task 2 starts the development of the notion compiler by showing clearly that it is a differentiated program that is needed in order to be able to build programs with the given programming language. The next step is to demonstrate the purpose of the compiler as a computer program that is used to translate code written in a given programming language to another language, that is interpreted by the system (Griffith 2002). For that purpose we need the very first example that is usually taught – the famous “Hello, World!” program.

Understanding compilation process Compilation process is essential in building notions compiler and program. The learner must enter the text of the program (Listing 1) initially even without understanding the meaning of its components, to start the compiler from the terminal, and to execute the binary code.

Task 3. Open the gedit text editor (you are free to use another, if you prefer). Type the text of the C++ program given in Listing 1 and save it as hello.cpp in your working directory.

Task 4. Compile the program in Listing 1. The command g++ is the front end for C++ of the GCC compiler collection:

$ g++ hello.cpp

It will produce the default binary a.out which can be executed by typing

$ ./a.out

The result of the execution of the program will be the appearing of the message Hello, World! in the terminal. If you would like to specify the name of the binary code, produced by the compiler you have to pass the name to the compiler as an option:

$ g++ -o hello hello.cpp

Then you can run the program by typing:

$ ./hello

Tasks 3 and 4 already clearly show that text editor and compiler are two different programs, which are used for different purposes (Figure 1). Also, the learner observes that the program is written in one form of a computer language, namely the source programming language, and it is transformed to another form, the binary file, that can be interpreted by the system.

Figure 1. Compilation process of a C++ program

Compilation of a C++ program is a complex process (see Figure 1) that is composed by four distinct steps. Its understanding is essential for building of the notions program, source code, library, and, of course, compiler itself. In the proposed approach this process does not remain hidden from the students, but actually it is presented in relative detail using the following Task 5 and Task 6.

Task 5. Examine the compilation process by stopping it after each stage:

– preprocessing: g++ -E hello.cpp

– compile: g++ -Wall -ansi -S hello.cpp

– assembling: g++ -Wall -ansi -c hello.cpp

Task 5 (Listing 2) demonstrates the intermediate steps of the compilation process to the novice programmer. If the standard approach of teaching through some of the standard IDEs was used, the latter would to be hard to demonstrate. The understanding of the individual stages of the compilation process has a huge impact on clear comprehension of the elements even of the simplest possible program. The pragmas (preprocessor directives) are a good example of program elements, which are hard to explain without any knowledge of compilation process.

Task 6. Implement the program from Listing 2. The pragmas used in the code allow to implement the “Hello, World!” program in a way that remind the syntax of another programming language.

Even though the example demonstrated in Task 6 may look redundant, or too complex for a novice learner, it shows both power, and drawback in using the important mechanism of the prepocessor, that was already introduced as a notion in the previous Task 5: (i) the power is in the flexibility of the extended source code; (ii) the drawback is in the fact that pargmas may affect source code readability.

By combining the examples from the latter two tasks, it is demonstrated both the purpose/usage of pragmas and the extended source code. These notions are significant also in more advanced stages of the course – just imagine the hardness of introduction of the term include guards in the context of separate compilation to a learner, who does not already clearly understand prepocessor and pragmas.

Programming paradigm

Object-oriented programming (OOP) is one of the most popular programming paradigms now-a-days (Roy & Haridi 2004). Very often it is adopted as the first imperative programming paradigm used in courses, mainly because of the popularity of Java programming language and platform (Horstmann 2019), and other commercial platforms, like .NET for example. OOP is widely adopted in other languages, that are used for interesting applications like computer games, data science and machine learning like Python, for example (VanderPlas 2016).

When introduced in beginners courses of computer programming, OOP is very often directly taught, starting from the basic terms objects and classes (Horstmann 2019), (Horstmann & Budd 2008). This approach could be effective in the case when learners already are familiar with computer programming in some introductory high-school level, however we assume that our students have no experience in computer programming at all. Also, considering one of the major notions, that must be acquired during the course, abstract data type (ADT) (Laskov 2020): there is a major difference with the concept of “objects” that are the basic term in OOP. While ADT clearly separates values and operations applied on them, objects actually combine them together (see Figure 2, and refer to Roy and Hardi (Roy & Haridi 2004) for more details).

From this point of view, is considered much more appropriate to introduce OOP by initially teaching the procedural programming paradigm (Laskov 2016). The advantage of this approach is that the basic notions variable and function are clearly introduced to learners, and they will have the needed set of programming instruments to perceive the complex notion object latter in the course. From the point of view of the programming language that is used in the course, this transaction is fluent, because C++ is a multi-paradigm language.

Figure 2. The notion object as composed by the notions variable and function

Formation of the notion “variable” The purpose of the following Task 7 is to introduce the learner to the notion variable. The goal is to describe variable as a storage location in computer memory that has a name (identifier), can store values of a particular data type (note that type system of C++ is nominal (Stroustrup 2013)).

Task 8. Write a program that calculates the final grade in points of a student for the course. Read the points for the three exams of practice and three homework assignments, sum them and display the result. Use the code in Listing 3. How many variables do you need using this approach?

Task 9. Rewrite the program from previous exercise using only two integer variables. First create an integer variable that will store the sum of all points, and a variable for the current score. Do not forget to initialize them:

int sum = 0;

int curr = 0;

On each step of the algorithm, read the current score, and add it to the variable sum. cout << “First exam of practice: “;

cin >> curr;

sum += curr; // the same as sum = sum + current

Finally, print the accumulated result, stored in sum.

Task 9 provokes learner to discover the redundancy in the variable usage in the simple example in Listing 3, and puts an accent on one of the main feature of the variables – the value stored by can change during the execution of the program.

Formation of the “function”

The purpose of the following Task 10 is to introduce the learner to the notion function, in the beginning as a black box: the function takes as an argument the given data, performs intrinsic calculations that remain hidden, and returns the result to the caller (see Figure 3).

Task 10. Using #include <cmath> before using namespace std; write a program that calculates the square root of a floating-point variable.

Figure 3. Function as a black box

After this initial development of the notion function, it can be augmented by demonstrating to the student how functions are actually implemented. At this point the term function is used as a synonymous to global function (a function that is not part of a class).

Task 11. Write a program that calculates the distance between two points using the function in Listing 4.

In similar manner, all connected notions are introduced, including function signature, function prototype, passing parameters by value, passing parameters by reference, parameter default value, functions that return no value (void functions), inline functions.

Task 12. Write a program that reads an integer as a string, and then transforms the string to an integer. Use function in Listing 5 that implements Horner’s method:

Task 12 builds the notion default parameter value, and also demonstrates the implementation of the Horner’s method, that is a relatively simple but important algorithm to calculate the value of a polynomial, used in applications like string to integer transformation, transformation between numeral systems of different bases, and many others. Task 13 further demonstrates reference parameters.

Task 14. Implement a function that sorts two integers (Listing 7). Use the function swap(). Implement a function that sorts three integers, using the implementation of the algorithm for sorting two integers (Listing 8).

Task 14 further helps the development of the notion function by showing how function calls form the functions call stack. The task demonstrates how a complex problem may be broken down on simple, easy to implement sub-problems naturally separated in functions whose interconnections form the final program. This a demonstration of the procedural programming paradigm, in which the main building block of a program is function.

Fotmation of the notion object

Having introduced student to the procedural programming paradigm, it is much more natural and fluent to develop the notion object, and to explain the composite mechanism of classes. The goal of this section of the curriculum is to introduce the learners to the four principles of the OOP:

1. Data abstraction.

2. Encapsulation.

3. Inheritance.

4. Polymorphism.

In the introductory part of the curriculum, only the first two principles are developed. Inheritance and polymophism are left for the second part of the course, in which OOP principles are deeply explained, together with more complex programming concepts like pointers and dynamic memory management, streams, recursion, operator overloading, generic programming, exceptions, and introduction to some algorithms and data structures. We start with Task 15 that provokes the learner to discover the need of a mechanism that may unite the concepts of function and variable, and a language mechanism to create new data types in the program (see Figure 5). In this manner Task 15 naturally leads to the principle of data abstraction.

Task 14. Write a program that reads the data for a student and prints it in the standard output. The data is composed by the student’s first name, surname and faculty number (see Listing 9). What if you need to process the data for another student?

Figure 5. Variables needed to represent the data for one student

Task 15. Instead of duplicating the same code a new data type can be defined that will represent the concept. A class is a user-defined type that combines both data and functionalities. Write a program that has a main() function and the definition of the class Student before it. What is the compiler response if you try to crate an object of type Student?

Task 15 introduces the notion class and continues with the next step of the development of the complex notion object. The class is represented as a blueprint to create objects – in this way the mechanism to create objects in the programming language helps to sketch out the notion. Also, an introduction to the notions constructor and member function is given.

In the tasks that are related with Task 15 all the elements of the class in Listing 10 are implemented. Together with the implementation of the member functions, two helper notions are introduced: (i) accessor – a member function that does not change the intrinsic state of the object; (ii) mutator – a member function that modifies the state of the object. Also the usage of public and private sections of the class are clearly explained, which gives introduction to the second principle of OOP, namely encapsulation.

The next step in notion object development is to provide a new abstract concept to the learner, and to incite him to implement the class that realizes the data abstraction. The student must decide which parts of the class must be included in the public, and which parts must be placed in the private sections, which consolidates the notion encapsulation.

Task 16. Design the definition of a class Point . A point is composed by its x- and y-coordinate, which are floating-point numbers (Figure 6).

Figure 6. Class Point encapsulation

The final development of the notion class actually completes the introduction of the notion function by the explanation of member function. Before that, the notion function was actually used to build the notion object. The interrelation between these notions shows the complication of the system of terms that is perceived by the students in the introductory course of computer programming, and the spiral process described by (Usova 2011) of notion formation (see Figure 7).

Conclusion

In this paper we present an approach for development of introductory course of computer programming. Complex notions formation is provided through system of tasks, and the knowledge is developed on the basis of the practical approach, which from pedagogical point of view is highly motivated by the works of Vygotsky (Vygotsky 1987, 1), (Vygotsky 1987, 2) and (Usova 2011).

Figure 7. Formation of the notion function

As technical environment of the course they are adopted the basic tools of simple text editor, compiler (in our case GCC), debugger (GNU Debugger), and the selected OS is a Linux distribution. This approach allows the introduction of the notions starting from the most basic ones, and developing them to the more complex. The individual steps of program compilation are not hidden from the learners, as they would remain in the case an IDE was used, as usually it is done in most of the courses. Thanks to this method, the students clearly understand the purpose of the compiler, the individual stages of compilation process, and thus – individual parts of the C++ program that highly depend on those stages (a good example are preprocessor directives). Also, the technical vocabulary of the learners is increased with contemporary tools that are often used in real practice, and Linux distributions, which are widely used in the curriculum of the university program. The motivation behind this approach relies on the comparison between the process of natural language development described in (Vygotsky 1987, 1) and learning of formal languages such as mathematics and computer programming languages, according to which the formation of the ability to use the language is strictly connected with the development of the thinking of the learner.

Introduction of the concepts of OOP, starting from the procedural programming paradigm relies on the same pedagogical arguments. According to Vygotsky (Vygotsky 1987, 2) the formation of a scientific notion is deeply related with development of the thinking of the learner, and the presented approach allows this development to occur gradually, without huge gaps of incompleteness of the terms that are introduced through the system of tasks. However, it is important to note that the relation between notions in computer programming is complex and because of that, it is impossible to form them in a linear manner.

A good example is the notion function (see Figure 7). Initially it is introduced through the main() function of a C++ program. On the second stage, it is shown as a black box of the library functions used in the examples. The third stage is the demonstration how a global function is implemented. The final stage is given by the tasks that implement class member functions. At the stage of class implementation, the notion function is already adopted in formation of the notion object.

Such relations, as decried above, are inevitable in complex system of notions, as those used in computer programming. On the other hand the bottom up approach, decried in this paper aids the gradual notion formation.

Finally, we would like to point out that the tasks, presented here, are examples that can be used to form a whole family of similar systems, whose complexity may be adjusted according to the level of the learners. In this way the approach can be adapted for the needs of the high-school, or even for the needs of more advanced courses.

REFERENCES

Abelson, H., Sussman, G. J., Sussman, J., 1996. Structure and Interpretation of Computer Programs (2nd ed.), MIT Electrical Endeepgineering and Computer. Science, ISBN-13: 978-0262510875, ISBN-10: 0262510871.

Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Lavrent’ev, M. A., 1999. Mathematics: Its Content, Methods and Meaning, Dover Books on Mathematics Series, Courier Corporation, ISBN 0486409163.

Asenova, P., Marinov, M., 2019. System of tasks in mathematics education. Mathematics and Informatics, 62 (1), 52 – 70.

Asenova, P., Marinov, M., 2018. Teaching mathematics with computer systems, Math. and Education in Math, 47, 213 – 121.

Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., Stein, C., 2009. Introduction to Algorithms (3rd ed.). The MIT Press, ISBN-13: 978-0262033848, ISBN-10: 9780262033848.

Davydov, V. V., 1996. The Theory of Developmental Education, INTOR Moskow. [In Russian].

Griffith, A., 2002. GCC: The Complete Reference (1st. ed.). McGraw-Hill, Inc., USA.

Helmke M., Joseph, E. K., Antonio Rey, J., 2016. The Official Ubuntu Book (9th. ed.). Prentice Hall Press, USA.

Laskov, L. M., 2016. Progrmming in C++, Examples and Solutions, Part One: From Procedural Towards Object-Oriented Paradigm, New Bulgarian University, ISBN 978-954-535-903-3.

Laskov, L. M., 2020. Abstract data types, Mathematics and Informatics, 63(6), 608 – 621.

Horsmann, C., Budd, T. A., 2008. Big C++ (2nd ed.), Wiley, ISBN: 978-0470-38328-5.

Horstmann C., 2019. Big Java: Early Objects, 7th Edition, ISBN: 978-1119-49909-1.

Ramey, Ch. and B. Fox, 2015. Bash 4.3 Reference Manual. Samurai Media Limited, London, GBR.

Roy, P. V., Haridi, S., 2004. Concepts, Techniques, and Models of Computer Programming (1st. ed.). The MIT Press.

Rubinstein, S.L., 1946. Fundamentals of general psychology, State StudyPedagogical Publishing House of the Ministry of Education of Russian Soviet Federative Socialist Republic, Moscow, USSR, 704. [In Russian].

Stroustrup, B., 2013. The C++ Programming Language (4th. ed.). AddisonWesley Professional.

VanderPlas, J., 2016. Python Data Science Handbook: Essential Tools for Working with Data (1st. ed.). O’Reilly Media, Inc.

Vygotsky, L. S., 1987, 1. Thinking and speech. In The collected works of L.S. Vygotsky. Problems of general psychology 1, (37 – 285) (translated by Norris Minick). New York, London: Plenum Press.

Vygotsky, L. S., 1987, 2. Collected works, Problems of psychics development, Pedagogy, 3, Moscow. [In Russion]. Original title: Выготский, Л.С., 1983. Собрание сочинений. Проблемы развития психики. „Педагогика“, 3, Москва.

Usova, A. V., 2011. Some methodological aspects of the problem of scientific notions formation in learners in schools and students in universities, Mir nauki, kulturi, obrazovania, 4(29). [in Russian]. Original title: Усова, А.В., 2011. Некоторые методические аспекты проблемы формирования научных понятий у учащихся школ и студентов вузов. Мир науки, культуры, образования, 4 (29).

2025 година

Книжка 4

A Generalization of the Collinearity of the Stereographic Projection around

КОМПЕТЕНТНОСТНИ МОДЕЛИ ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА ЧИСЛОВИТЕ МНОЖЕСТВА

Десислава Георгиева

УСЪВЪРШЕНСТВАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ КОМПЕТЕНТНОСТИ НА УЧЕНИЦИ OT ТРЕТИ КЛАС ЧРЕЗ ПРОЕКТНО БАЗИРАНА УЧЕБНА ДЕЙНОСТ

Верица Арсов1)

EDUCATIONAL RESOURCES WITH PERCENTAGES FOR THE DEVELOPMENT OF THE VISUAL ESTIMATION

Toni Chehlarova

THE IMPACT OF USING GEOGEBRA ON UNDERSTANDING QUADRATIC FUNCTIONS AND EQUATIONS FOR TENTH-GRADE STUDENTS

1) 1) 1), Erëmirë R. Aliu, Shpëtim Rexhepi, and Egzona Iseni

BRIDGING THE GAP: A PEDAGOGICAL TOOL FOR TEACHING MATHEMATICAL MODELING WITH SPREADSHEETS

Dávid Paksi1), Márk Csóka1), Szilárd Svitek2)

Книжка 3

МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов,

STATISTICAL ANALYSIS OF ACADEMIC ACHIEVEMENT AND INTRINSIC MOTIVATION IN STEM STUDENTS EDUCATED THROUGH A COMPETENCY- BASED APPROACH

ПРИМЕРЕН ПОДХОД ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ НА ИЗКУСТВЕН ИНТЕЛЕКТ И ПРОЕКТНА ДЕЙНОСТ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Ивелина Велчева1), Ирина Карталева2)

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ Комбинаторни задачи върху квадратни и КВАДРАТНИ И ТРИЪГЪЛНИ МРЕЖИ триъгълни мрежи със „СтруниМа“ и Geogebra СЪС „СТРУНИМА“ И GEOGEBRA

Младен Вълков1)

THE IMPACT OF TEACHERS’ GENDER, EDUCATION, AND EXPERIENCE ON FOSTERING MATHEMATICAL CREATIVITY: A QUANTITATIVE STUDY

kombinatorni zadachi. Mathematics and Informatics, 2, 193 – 202. (In Bulgarian). Valkov, M. (2022). Sinhronno distantsionno obuchenie v obrazovatelnata igra “StruniMa”. Pedagogicheski forum, 1, DOI: 10.15547/PF.2022.005, ISSN:1314-7986. (In Bulgarian).

Книжка 1

Уважаеми читатели на списание „Математика и информатика“,

APPLYING DELAUNAY TRIANGULATION IN OLYMPIAD PROBLEMS

Dragomir Grozev, Nevena Sybeva

A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

APOLLONIAN SPHERE AND PROPERTIES OF STEREOGRAPHIC PROJECTION AROUND THE LEMOINE POINT

Vladislav Natchev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev1)

DIGITAL COMPETENCY SELF-ASSESSMENT OF COMPUTER SCIENCE TEACHERS IN BULGARIAN SECONDARY SCHOOLS

Ivaylo Staribratov, Muharem Mollov

UTILIZING GEOGRAPHICAL INFORMATION SYSTEM FOR MAPPING SCHOOLS DISTRIBUTION. CASE STUDY: THE 4TH LOWER SECONDARY SCHOOL IN FLORINA CITY, GREECE

Ilias Solakis, Irena Atanasova

ADDRESSING DATA LITERACY IN INFORMATION SYSTEMS EDUCATION

Kalinka Kaloyanova1, 2)

2024 година

Книжка 6

ВЪРХУ ЗАДАЧА 3 ОТ МЕЖДУНАРОДНАТА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2024 ГОДИНА

Драгомир Грозев

ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

АНАЛИЗ НА РАЗМЕРНОСТИТЕ – НЕОБХОДИМО УСЛОВИЕ ЗА ПРИЛАГАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ

Георги Гачев

МЕТОДЪТ НА СПОМАГАТЕЛНИТЕ УСПОРЕДНИ РАВНИНИ ПРИ ИЗСЛЕДВАНЕ ВИДА НА СЕЧЕНИЯТА НА ТОР С РАВНИНА

ИЗПОЛЗВАНЕ НА VISUAL BASIC FOR APPLICATIONS В EXCEL ЗА РАЗВИТИЕ НА УМЕНИЯТА НА УЧЕНИЦИТЕ В ОБЛАСТТА НА ПРОГРАМИРАНЕТО

Стефка Анева, Елена Тодорова

TEACHING FUTURE MATHEMATICS TEACHERS TO SOLVE PROBLEMS WITH PARAMETERS: UKRAINIAN EXPERIENCE

Alla Prus, Ivan Lenchuk

ARTIFICIAL INTELLIGENCE IN CYBERSECURITY: RIGOROUS CRITICAL REVIEW, METHODOLOGICAL CHALLENGES AND FUTURE RESEARCH DIRECTIONS

Maria Mpitsi

Книжка 5

ПОДХОД ЗА ОТКРИВАНЕ НА ПРОПУСКИ В СИГУРНОСТТА НА УЕББРАУЗЪРИ В ОПЕРАЦИОННИ СИСТЕМИ ЗА МОБИЛНИ УСТРОЙСТВА

Стоян Мечев

FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev,Nadezhda Borisova,Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски1),Марияна Николова2)

DIGITAL EDUCATIONAL PLATFORMS AND THEIR IMPORTANCE FOR VOCATIONAL TRAINING IN MODERN ENTERPRISES

Evgeniya Nikolova

ЗАДАЧИ ЗА ФОРМИРАНЕ НА ПОНЯТИЯ С ДИАГРАМИ НА ВЕН С ПЕТ МНОЖЕСТВА

Тони Чехларова1),Койя Чехларова2)

МЕТОДИ ЗА ПОСТРОЯВАНЕ НА РАВНИННИ СЕЧЕНИЯ НА КРЪГОВ ЦИЛИНДЪР

Ирена Първанова1),Венцислав Радулов2)

ИЗКУСТВЕН ИНТЕЛЕКТ В СЪВРЕМЕННОТО ОБУЧЕНИЕ: ВЪЗМОЖНОСТИ И ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА

Панка Вълева,Генчо Стоицов,Иван Димитров

GUIDE FOR AUTHORS / УКАЗАНИЯ ЗА АВТОРИТЕ

Книжка 4

DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev , Tsvetelin Zaevski Anton Iliev , Vesselin Kyurkchiev , Asen Rahnev

ON THE TIME COMPLEXITY OF AN ALGORITHM

Krassimir Manev

AN ITERATIVE ALGORITHM FOR DETERMINING THE GREATEST COMMON DIVISOR OF TWO OR MORE UNIVARIATE POLYNOMIALS

Verica Milutinovi´c

ARTIFICIAL INTELLIGENCE TOOLS INTO HIGHER MATHEMATICS EDUCATION: OPPORTUNITIES, CHALLENGES, AND STUDENT PERCEPTIONS

Evgeniya Nikolova

НАГЛАСИ НА БЪДЕЩИТЕ УЧИТЕЛИ ЗА ПРИЛАГАНЕ НА ИЗКУСТВЕН ИНТЕЛЕКТ В ОБУЧЕНИЕТО

Наталия Павлова

КОМПЮТЪРНИ МОДЕЛИ НА ЕДНА ОЛИМПИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ЗАДАЧА

Тони Чехларова, Младен Вълков

GEOGEBRA IMPACT IN AVOIDING COMMON MISTAKES STUDENTS MAKE IN HANDLING EXPONENTIAL FUNCTIONS

Shpresa Tuda, Shpetim Rexhepi

Книжка 3

LEXICAL REPRESENTATION OF DENSE NUMERICAL VECTORS: INTRODUCING LANGVEC

Simeon Emanuilov, Aleksandar Dimov

РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

РАЗВИТИЕ НА ДИГИТАЛНИ КОМПЕТЕНТНОСТИ В ЗАДЪЛЖИТЕЛНАТА ПОДГОТОВКА ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В СРЕДНОТО УЧИЛИЩЕ

Теменужка Зафирова-Малчева, Николина Николова, Пенчо Михнев

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

ПРОГРАМНА РЕАЛИЗАЦИЯ НА ИГРАТА „КОМБИНАЦИЯ ДЕВЕТ“

Георги Гачев

РАЗВИТИЕ НА ДИГИТАЛНИ И АЛГОРИТМИЧНИ УМЕНИЯ НА УЧЕНИЦИТЕ ЧРЕЗ ИЗПОЛЗВАНЕ НА VISUAL BASIC FOR APPLICATIONS

Стефка Анева, Елена Тодорова

ДВУКРАТНО БРОЕНЕ И ЧИСЛА НА ФИБОНАЧИ

Ивайло Кортезов

Книжка 2

PROPERTIES AND CONJECTURES REGARDING DISCRETE RENEWAL SEQUENCES

Nikolai Nikolov , Mladen Savov

ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova , Aharon Goldreich , Nadezhda Borisova

ФОРМИРАНЕ НА КОМПЕТЕНТНОСТИ ЧРЕЗ ПРОБЛЕМНО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ

2. Компетентностен подход Компетентностният подход се базира на използването на инте- рактивни методи и нови технологии за обучение, които спомагат за

РАЗВИТИЕ НА ДИГИТАЛНИ КОМПЕТЕНТНОСТИ В ЗАДЪЛЖИТЕЛНАТА ПОДГОТОВКА ПО КОМПЮТЪРНО МОДЕЛИРАНЕ И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В СРЕДНОТО УЧИЛИЩЕ

ИНТЕРАКТИВНИ УЧЕБНИ РЕСУРСИ ЗА ПРЕПОДАВАНЕ НА МЕТОДА НА ИНВЕРСИЯТА ЗА ПОСТРОИТЕЛНИ ЗАДАЧИ

Цветелина Йорданова

ИЗСЛЕДВАНЕ НА ВРЪЗКАТА МЕЖДУ ФОНЕМНИЯ СЪСТАВ И ЕМОЦИОНАЛНАТА ВАЛЕНТНОСТ НА ТЕКСТ

Книжка 1

ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА ПРИ ОБХОЖДАНЕТО НА ИНТЕРНЕТ С ЦЕЛ ИЗВЛИЧАНЕ НА ДАННИ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

AN APPROACH AND A TOOL FOR EUCLIDEAN GEOMETRY

Dr. Boyko Bantchev, Assoc. Prof.

РЕЛЕВАНТНИ ЛИ СА УТВЪРДЕНИТЕ ТАКСОНОМИИ ЗА ОБУЧЕНИЕ В ЕЛЕКТРОННА СРЕДА

Диана Петрова

STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva , Rositsa Doneva , Sadiq Hussain Ashis Talukder , Gunadeep Chetia , Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Assist. Prof. Stefan Stavrev, Assist. Prof. Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година

Книжка 6

MIRROR (LEFT-RECURSIVE) GRAY CODE

Dr. Valentin Bakoev, Assoc. Prof.

ЗАДАЧИТЕ ОТ ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕТО „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“ – РЕСУРС ЗА РАБОТА В STEM ЦЕНТРОВЕТЕ

Георги Гачев, Петър Кендеров, Тони Чехларова

THE CONSTRUCTION OF VALID AND RELIABLE TEST FOR THE DIVISIBILITY AREA

Dr. Daniela Zubović, Dr. Dina Kamber Hamzić

QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

ПРИМЕР ЗА ГРЕШКИ ОТ УЧИЛИЩНАТА МАТЕМАТИКА, КОИТО ВЛИЯЯТ НА ПРЕДСТАВЯНЕТО НА УЧЕНИЦИТЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ СЪСТЕЗАНИЯ

Надежда Аплакова

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Двадесет и седма младежка балканска олимпиада по математика

Книжка 5

AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov , Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD- ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Prof. Dr. Jasmin Bektešević, Prof. Dr. Vahidin Hadžiabdić, Prof. Dr. Midhat Mehuljić, Prof. Dr. Sadjit Metović, Prof. Dr. Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

EVALUATIОN OF CHILDREN’S BEHAVIOUR IN THE CONTEXT OF AN EDUCATIONAL MOBILE GAME

Dr. Margarita Gocheva, Chief Assist. Prof. Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof. Prof. Dr. Elena Somova

ИЗБОР НА ПОДХОДЯЩ МОДЕЛ ЗА ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ НВО ПО МАТЕМАТИКА СЛЕД VII КЛАС СПОРЕД МЕТОДИТЕ НА IRT

Ас. Павлин Цонев

COMPETENCY-BASED MODEL FOR CONDUCTING DISTANCE ONLINE SYNCHRONOUS EDUCATION OF THE STUDENTS

Dr. Desislava Georgieva

АЛГОРИТЪМ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА С MS EXCEL SOLVER

Мариян Милев , Велика Кунева

ИЗБОР И ОБОСНОВКА НА ПОКАЗАТЕЛИ ЗА СРАВНИТЕЛЕН АНАЛИЗ НА НИСКОРЕСУРСНИ ШИФРИ

Диляна Димитрова

Книжка 4

TRIPLES OF DISJOINT PATHS BETWEEN POINTS ON A CIRCLE

Dr. Ivaylo Kortezov, Assoc. Prof.

ENRICHING LARGE DOCUMENT STORES WITH INTELLIGENT METADATA: A FRAMEWORK FOR EFFECTIVE KNOWLEDGE MANAGEMENT AND APPLIED ANALYTICS

Penko Ivanov, Elitsa Pavlova

MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić , Hajnalka Peics , Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Dr. Pohoriliak Oleksandr, Assoc. Prof. Dr. Olga Syniavska, Assoc. Prof. Dr. Anna Slyvka-Tylyshchak, Assoc. Prof. Dr. Antonina Tegza, Assoc. Prof. Prof. Dr. Alexander Tylyshchak

РЕКУРЕНТНИТЕ РЕДИЦИ В УЧИЛИЩНИЯ КУРС ПО МАТЕМАТИКА И МЕЖДУПРЕДМЕТНИТЕ ИМ ВРЪЗКИ С ИНФОРМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Гл. ас. д-р Борислава Кирилова, доц. д-р Филип Петров

РЕЗУЛТАТИ ОТ ИЗПОЛЗВАНЕТО НА ВИДЕОИГРИ В ОБРАЗОВАНИЕТО: ПРЕГЛЕД НА НЯКОИ ОСНОВНИ ИЗСЛЕДВАНИЯ ОТ ПОСЛЕДНИТЕ ДЕСЕТ ГОДИНИ

Калин Димитров , проф. д-р Евгения Ковачева „Интелигентният педагогически подход насърчава с инер- гията между технологиите и педагогиката и използва дигиталните игри в учебния процес“. Л. Даниела (Daniela 2020)

четете В новите книжки на научните списания на издателство четете

Книжка 3

ОБЗОР И РАЗВИТИЕ В ПРОФЕСИОНАЛНИТЕ ИНТЕРЕСИ НА СТУДЕНТИТЕ ДИПЛОМАНТИ

Проф. д. н. Наталия Павлова

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Проф. д.п.н. Йордан Табов, проф. д-р Веселин Ненков, гл. ас. д-р Асен Велчев, гл. ас. д-р Станислав Стефанов

ИГРОВО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАМИРАНЕ ЗА НАЧИНАЕЩИ В РЕЖИМ НА PYGAME ZERO – ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ НА PYTHON. ЧАСТ II – БИБЛИОТЕКА PYGAME

Росица Георгиева

УПРАВЛЕНИЕ НА ЗНАНИЯТА ПО СТРУКТУРИ ОТ ДАННИ ЧРЕЗ СМЕСЕНО ОБУЧЕНИЕ

Гл. ас. д-р Валентина Дянкова, д-р Милко Янков

FLIPPED CLASSROOM AND TRADITIONAL METHOD IN TEACHING MATHEMATICS IN BULGARIAN SCHOOL

Assoc. Prof. Dr. Evgeniya Nikolova

GRAPHIC CULTURE OF CONSTRUCTIVE MODELING OF FIGURES IN METRIC STEREOMETRY

Ivan Lenchuk, Alla Prus

USING SENSORS TO DETECT AND ANALYZE STUDENTS’ ATTENTION DURING ROAD SAFETY TRAINING IN PRIMARY SCHOOL

Assist. Prof. Dr. Stefan Stavrev Assist. Prof. Dr. Ivelina Velcheva

Книжка 2

ALGORITHMS FOR CONSTRUCTION, CLASSIFICATION AND ENUMERATION OF CLOSED KNIGHT’S PATHS

Prof. DSc. Stoyan Kapralov , Assoc. Prof. Dr.Valentin Bakoev , Kaloyan Kapralov

ПОСТРОЯВАНЕ НА ОСТА НА КРЪСТОСАНИ ПРАВИ

Митко Кунчев

DUAL FORM OF OBTAINING EDUCATION IN THE MATHEMATICS TEACHERS TRAINING SYSTEM: EMPLOYERS’ POSITION

Dr. Hab. Roman Vernydub, Assist. Prof. Dr. Oxana Trebenko, Prof. DSc. Oleksandr Shkolnyi

АЛГОРИТМИЧНИТЕ ЗАДАЧИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО ПРОФИЛИРАЩ ПРЕДМЕТ ИНФОРМАТИКА ЗА 2022 Г.

Д-р Красимир Манев

ИЗСЛЕДВАНЕ НА ВЛИЯНИЕТО НА ОНЛАЙН ОБУЧЕНИЕТО ВЪРХУ ОТДЕЛНИТЕ СТИЛОВЕ НА УЧЕНЕ

Д-р Явор Дечев

ИГРОВО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАМИРАНЕ ЗА НАЧИНАЕЩИ В РЕЖИМ НА PYGAME ZERO – ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ С TURTLE ГРАФИКА НА PYTHON

Росица Георгиева

ПОДХОД НА ПРОФИЛИРАНО ОБУЧЕНИЕ ПО УЕБ ДИЗАЙН В ГИМНАЗИАЛЕН ЕТАП НА СРЕДНОТО ОБРАЗОВАНИЕ

Д-р Ивелина Велчева, д-р Христо Христов

и информатика Number 2, 2023 and Informatics ЗА АВТОРИТЕ Настоящите Указания са разработени в съответствие с желанието на списанието да представя в максимална степен публикуваните текстове в международни наукометрични бази. Указанията са подготвени в съответствие със стандарт БДС ISO 690-2021. Уводни думи Списание Математика и информатика (Mathematics and Informatics) разглежда ръко- писи, които с

Книжка 1

НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

THE POWER OF A POINT — A VECTOR PERSPECTIVE

Assoc. Prof. Dr. Boyko Bantchev

ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦАТА НА НЯКОИ ВИДОВЕ МНОГОЪГЪЛНИЦИ И ПРИЛОЖЕНИЕТО ИМ ЗА ДОКАЗВАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ В ТЯХ

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

ЗАДЪЛЖЕНИЯ И ИЗИСКВАНИЯ КЪМ КВАЛИФИКАЦИЯТА И УНИВЕРСИТЕТСКАТА ПОДГОТОВКА НА РЪКОВОДИТЕЛ НАПРАВЛЕНИЕ „ИНФОРМАЦИОННИ И КОМУНИКАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ“ В БЪЛГАРСКОТО УЧИЛИЩЕ

Доц. д-р Марияна Николова, ас. Нели Кискинова

ТЕСТОВИТЕ ЗАДАЧИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ЗА ПРОФИЛИРАЩ УЧЕБЕН ПРЕДМЕТ „ИНФОРМАТИКА“ ПРЕЗ УЧЕБНАТА 2021/2022 ГОДИНА

Доц. д-р Димитър Атанасов , д-р Красимир Манев , доц. д-р Весела Стоименова , държавен експерт Ралица Войнова

SEVERAL OPPORTUNITIES FOR IMPLEMENTING THE TRAINING IN “COMPUTER MODELING AND INFORMATION TECHNOLOGIES” IN THE 7

Assoc. Prof. Dr. Krasimir Harizanov

КЪМ ВЪПРОСА ЗА ПУБЛИЧНО ДОСТЪПНИ НАЦИОНАЛНИ БАЗИ ОТ ДАННИ, СЪДЪРЖАЩИ ОПИСАНИЯ НА УЯЗВИМОСТИ ЗА ОПЕРАЦИОННИ СИСТЕМИ ЗА МОБИЛНИ УСТРОЙСТВА

Стоян Мечев

и информатика Number 1, 2023 and Informatics ЗА АВТОРИТЕ Настоящите Указания са разработени в съответствие с желанието на списанието да представя в максимална степен публикуваните текстове в международни наукометрични бази. Указанията са подготвени в съответствие със стандарт БДС ISO 690-2021. Уводни думи Списание Математика и информатика (Mathematics and Informatics) разглежда ръко- писи, които с

2022 година

Книжка 6

COMPLEX SOLUTIONS TO QUADRATIC INEQUALITIES AND THEIR MODELING BY MEANS OF

Prof. Dr. Aslanbek Khamidovitch Naziev

BEST E-LEARNING PLATFORMS FOR BLENDED LEARNING IN HIGHER EDUCATION

Kalin Dimitrov, PhD student, Dr. Eugenia Kovatcheva, Assoc. Prof. “When I wanted to learn something outside of school as a kid, cracking open my World Book encyclopedia was the best I could do. Today, all you have to do is go online.” – Bill Gates

SETS OF NON-SELF-INTERSECTING PATHS CONNECTING THE VERTICES OF A CONVEX POLYGON

Dr. Ivaylo Kortezov, Assoc Prof.

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИЯ ПОДХОД В ОБРАЗОВАНИЕТО ПО ИНФОРМАТИКА ЧРЕЗ ЕДИН ПОПУЛЯРЕН МАТЕМАТИЧЕСКИ ФОКУС (НОВ ПОГЛЕД КЪМ СТАРИ ИДЕИ)

Гл. ас. д-р Филип Петров

MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Dr. Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Dr. Elena Somova, Prof.

НЯКОИ ИЗВОДИ ВЪРХУ РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА ЗА VII КЛАС

Ас. Павлин Цонев

Книжка 5

SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Dr. Lilyana Petkova, Dr. Vasilisa Pavlova, Assist. Prof.

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Dr. Silvia Gaftandzhieva, Assoc. Prof. , Prof. Dr. Rositsa Doneva , Milen Bliznakov, PhD

ERROR MANAGEMENT TRAINING IN COMPUTER PROGRAMMING COURSES THROUGH A SYSTEM OF TASKS

Dr. Lasko M. Laskov, Assoc. Prof.

READINESS OF UKRAINIAN MATHEMATICS TEACHERS TO USE COMPUTER GAMES IN THE EDUCATIONAL PROCESS

Dr. Alina Voievoda, Assoc. Prof. , Dr. Svitlana Pudova, Assoc. Prof. , Dr. Oleh Konoshevskyi, Assoc. Prof.

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Prof. Dr. Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

ИЗУЧАВАНЕТО НА МЕРНИ ЕДИНИЦИ ЗА БИНАРНА ИНФОРМАЦИЯ – УЧУДВАЩО УПОРСТВАЩ ПРОБЛЕМ ЗА БЪЛГАРСКАТА ОБРАЗОВАТЕЛНА СИСТЕМА

Гл. ас. д-р Филип Петров

Книжка 4

Introduction

A COMPARATIVE ANALYSIS OF ASSESSMENT RESULTS FROM FACE-TO-FACE AND ONLINE EXAMS

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Neli Baeva, Assist. Prof

НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В IV КЛАС ПРЕЗ 2022 ГОДИНА

Тони Чехларова

ДВАДЕСЕТ И ШЕСТА МЛАДЕЖКА БАЛКАНСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Доц. д-р Ивайло Кортезов, Мирослав Маринов

PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Dr. Evgeniya Nikolova, Assoc. Prof., Dr. Mariya Monova-Zheleva, Assoc. Prof., Dr. Yanislav Zhelev, Assoc. Prof.

ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКИХ ЗАПРОСОВ ДЛЯ РЕЛЯЦИОННЫХ БАЗ ДАННЫХ

Dr. Alexander Aleksandrovich Rybanov, Assoc. Prof.

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ИГРАТА „АЗ ИМАМ…, КОЙ ИМА…?“ ПРИ ПРЕГОВОРНИ УРОЦИ ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОГИМНАЗИАЛЕН И ГИМНАЗИАЛЕН ЕТАП

Гергана Карабельова, Гл. ас. д-р Филип Петров

Книжка 3

CONVERTING NUMERAL TEXT IN BULGARIAN INTO DIGIT NUMBER USING GATE

Dr. Nadezhda Borisova, Assist. Prof., Dr. Elena Karashtranova, Assoc. Prof.

RECOGNITION OF PROBLEMATIC EDUCATIONAL SITUATIONS IN COMPUTER MODELING TRAINING

Dr. Hristo Hristov, Assist. Prof. , Radka Cherneva

EFFECTS OF SHORT-TERM STEM INTERVENTION ON THE ACHIEVEMENT OF 9

Amra Duraković , Senior Teaching Assistant, Dr. Dina Kamber Hamzić , Assist. Prof.

ДИНАМИЧНИЯТ СОФТУЕР В ПОМОЩ НА ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЗАДАЧИ ОТ ПРАКТИКАТА

Веселин Гушев, Данаил Гушев

HOW TO IMPROVE THE FIRST-YEAR STUDENTS MOTIVATION IN LEARNING MATRICES

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof.

ПРИЛОЖЕНИЕ НА УСПОРЕДНО ПРОЕКТИРАНЕ ЗА ПОСТРОЯВАНЕ СЕЧЕНИЕТО НА ПРИЗМА С РАВНИНА

Митко Кунчев, д-р Тодор Митев

Книжка 2

COMPUTER MODELS FOR PLAYING BILLIARDS USING FRONTAL SHOT

Prof. Dr. Toni Chehlarova

VOCABULARY ENRICHMENT IN COMPUTER SCIENCE FOR INTERNATIONAL STUDENTS AT THE PREPARATORY DEPARTMENT OF THE UNIVERSITY

Dr. Svetlana Mikhaelis, Assoc. Prof., Dr. Vladimir Mikhaelis, Assoc. Prof., Mr. Dmitrii Mikhaelis

STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

УЧАСТИЕТО НА БЪЛГАРСКИТЕ УЧЕНИЦИ В СЪСТЕЗАНИЯТА ПО ИНФОРМАТИКА ПРЕЗ 2021 Г.

Емил Келеведжиев

ЗАДАЧИ ОТ СЪСТЕЗАНИЯТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКА ЛИНГВИСТИКА В КОНТЕКСТА НА НВО-Х КЛАС

Борислав Лазаров, Веселин Златилов

PROBLEMS OF CASCADE TYPE AND THEIR USE FOR ASSESSMENT OF STUDENTS’ ACADEMIC ACHIEVEMENTS IN MATHEMATICS

Prof. Dr. Shkolnyi Oleksandr , Prof. Shvets Vasyl , Dr. Akiri Ion

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Evgeni Andreev, Assist. Prof., Dr. Mariya Nikolova, Assoc. Prof.

Книжка 1

THE INFLUENCE OF COLLABORATIVE LEARNING ON STUDENTS’ ACHIEVEMENT IN EXAMINING FUNCTIONS WITH PARAMETERS IN DYNAMIC SOFTWARE ENVIRONMENT

Dr. Radoslav Bozic, Assist. Prof. , Prof. Dr. Djurdjica Takaci , Milan Grujin

CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

DEVELOPING PROBLEM SOLVING COMPETENCY USING FUNCTIONAL PROGRAMMING STYLE

Muharem Mollov, PhD student , Petar Petrov, PhD student

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, PhD student, Dr. Alexandre Ivanov Chikalanov, Assoc. Prof.

КРИПТОГРАФИЯ И КРИПТОАНАЛИЗ С MS EXCEL

Гл. ас. д-р Деян Михайлов

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Dr. Ivaylo Staribratov, Assoc. Prof., Nikol Manolova

КОНТЕКСТУАЛНО ПРЕКОДИРАНЕ

Доц. д-р Юлия Нинова

ДВУПАРАМЕТРИЧНА ЗАДАЧА ЗА ОПТИМАЛНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА РЕСУРСИ

Проф. д-р Росен Николаев, доц. д-р Танка Милкова

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година

Книжка 6

КРИВОРАЗБРАНИТЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ ТЕСТОВЕ ЗА НАЛИЧИЕ НА ЗАРАЗА

Доц. д-р Маргарита Ламбова, гл. ас. д-р Ваня Стоянова

E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Prof. Dr. Elena Somova

“THE SOURCE OF LIFE” IN BISHOP’S BASILICA OF PHILIPPOPOLIS IN THE CONTEXT OF STEAM

Prof. Dr. Toni Chehlarova

НЕФОРМАЛНИ ЛИНГВИСТИЧНИ ТУРНИРИ НА РАБОТИЛНИЦА ЗА ЗНАНИЕ

Веселин Златилов

PRESCHOOL TEACHERS’ KNOWLEDGE, PERSPECTIVES AND PRACTICES IN STEM EDUCATION: AN INTERVIEW STUDY

Dr. Lyubka Aleksieva, Assoc. Prof., Prof. Dr. Iliana Mirtschewa, Snezhana Radeva, PhD Student

INTRODUCTION TO COMPUTER PROGRAMMING THROUGH A SYSTEM OF TASKS

Dr. Lasko M. Laskov, Assoc. Prof.

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 януари 2022 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg. Скъпи прияте

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Задача 1. Число, което е точен квадрат на естествено число, се записва с няколко единици и една двойка. Докажете, че това число се дели на 11. Решение. Нека е такова число. Можем да го запишем като

Книжка 5

THE BENEFITS OF COLLABORATIVE LEARNING IN EXAMINING FUNCTIONS WITH PARAMETERS IN DYNAMIC SOFTWARE ENVIRONMENT

Dr. Radoslav Bozic, Assist. Prof. , Prof. Dr. Djurdjica Takaci

SOME METHODOLOGICAL GUIDELINES ON THE CREATION OF EDUCATIONAL GAMES ON “COMPUTER MODELING”

Dr. Krasimir Harizanov, Assoc. Prof.

ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Доц. Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj , Prof. Dr. Sead Rešić , Anes Z. Hadžiomerović , Samira Aganović

ДОБАВЕНА РЕАЛНОСТ ПРИ ОНЛАЙН ОБУЧЕНИЕТО НА УЧИТЕЛИ ЗА ПРИДОБИВАНЕ НА ДИГИТАЛНА КОМПЕТЕНТНОСТ

Доц. д-р Евгения Горанова, доц. д-р Валентина Войноховска

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Prof. Olha Matiash, Dr. Liubov Mykhailenko, Prof.Vasyl Shvets, Prof. Oleksandr Shkolnyi

ОРГАНИЗАЦИОНЕН МОДЕЛ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ХОСПИТИРАНЕ И ТЕКУЩА ПЕДАГОГИЧЕСКА ПРАКТИКА ПО ИНФОРМАТИКА И ИТ

Гл. ас. д-р Филип Петров

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 5/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 ноември 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в електр

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4, 2021 Г.

Задача 1. Намерете всички взаимно прости естествени числа a и b, за кои- то .

Изследване на магнитните полета на жилищни сгради и влиянието им върху здравето на хората / Радка Костадинова Целта на описания проект е да се измерят магнитните полета в различни по своята конструкция и височина жилищни сгради; да се установи имат ли отношение промяната на магнитното поле и евентуални магнитни аномалии към здравното състояние на хората. 4/2021: сп. „Чуждоезиково обучение“ Рекламн

пред международната научна общност. Персоналният ID номер се посочва във визит- ката на автора. Решение за публикуване или отхвърляне на ръкописа се взима въз основа на ста- новищата на анонимни и независими рецензенти. Списанието информира автора за взетото решение. Подготовка на ръкописа Общи указания (1) Ръкописите могат да бъдат написани на български, английски или руски език в зависимост от ж

Книжка 4

FINANCIAL PROJECTS AND LOANS WITH DIFFERENT, DECURSIVE ANNUITIES, INTEREST RATES AND CAPITALIZATION PERIODS WITH THE USE OF EXCEL

Prof. Dr. Sead Rešić, Vehbi Ramaj, Biljana Petković, Samira Aganović

THE DEVELOPMENT OF METHODICAL APPROACHES TO THE IMPLEMENTATION OF THE PROPEDEUTIC COURSE OF INFORMATICS IN PRIMARY SCHOOL BY MEANS OF KODU GAME LAB

Dr. Dmitry Igorevich Pavlov Adel Victorovna Kaplan Kirill Viktorovich Butarev

ПРЕДСТАВЯНЕ НА ПОНЯТИЕТО КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ С КОМПЮТЪР

Марин Маринов, Петя Асенова

LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Assoc. Prof. Silvia Gaftandzhieva, Prof. Rositsa Doneva, Assist. Prof. George Pashev, Mariya Docheva

ЗА ПРИРОДАТА НА МАТЕМАТИКАТА И ЗА МАТЕМАТИКАТА В ПРИРОДАТА – ЕДНА ПРИКАЗКА ЗА СИМЕТРИЯТА С ПРОДЪЛЖЕНИЕ ЗА МАЛКИ И ГОЛЕМИ

Цветелин Андреев

ГОДИШНИ НАГРАДИ ЗА УЧИТЕЛИ ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Албена Василева

В Q4 НА JCI ИНДИКАТОРА НА WEB OF SCIENCE

Николай Кънчев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 10 октомври 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в елект

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИТЕ ЗАДАЧИ БРОЙ 3, 2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели . Решение. От тъждеството

Книжка 3

SOME PROBLEMS IN ENGINEERING EDUCATION WITH COMPUTER SCIENCE PROFILE DURING COVID-19

Dr. Georgi Tsochev, Assist. Prof.

МАТЕМАТИКАТА КАТО МУЗИКА ЗА ДУШАТА

Евгения Сендова

CHALLENGING THE STUDENTS‘ SENSE OF MATHEMATICS VIA DECODING PROBLEMS IN CHERNORIZEC HRABAR TOURNAMENT

Prof. Dr. Borislav Lazarov, Dr. Ivailo Kortezov, Assoc. Prof.

THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Prof. Dr. Sead Rešić, Prof. Dr. Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Д-р Севдалина Георгиева

КЪДЕ Е ГРЕШКАТА В РЕШЕНИЕТО МИ? ─ РАЗГОВОР ПРЕД БЯЛАТА ДЪСКА С ОЛЕГ МУШКАРОВ

Евгения Сендова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 3/2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели .

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2, 2021 Г.

Задача 1. В равнината са дадени точка A и окръжност k с център O. Наме- рете геометричното място на центровете на описаните окръжности на три- ъгълници ABC, където BC е диаметър на k. Решение. Ако точката A лежи на окръжността k, то всички триъгълници ABC имат център на описаната окръжност точка O. В този случай търсеното множество е точката O. Нека A е външна за окръжността. Да разгледаме диаметър на k, който е перпендикулярен на AO. Центърът на описаната окръжност за е точ- ка S върху

В ПАМЕТ НА ПРОФ. ДОРУ СТЕФАНЕСКУ

С чувство за голяма загуба съобщаваме на нашите читатели, че на 09.05.2021 година на 69-годишна възраст напусна този свят членът на редакционния съ- вет на списание „Математика и информатика“ проф. д.м.н. Дору Стефанеску. Отиде си един уважаван румънски учен математик, старши заместник-пред- седател на Румънското математическо общество и изпълнителен редактор на Бюлетина на това общество, трикратен президент на Математическото обще- ство на Югоизточна Европа. Математическите способности на

Книжка 2

COMPUTER AND INFORMATION LITERACY ASSESSMENT OF MATHEMATICS PROFESSORS AND LECTURES, CASE STUDY OF ISLAMIC AZAD UNIVERSITY BRANCHES IN TEHRAN

Fateme Moradi

MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

СТАТИСТИЧЕСКАТА ЗНАЧИМОСТ – ПАНАЦЕЯ ИЛИ ПРЕПЪНИКАМЪК?

Маргарита Ламбова

BOARD GAME “MAKING FINANCIAL DECISIONS” IN THE SYSTEM OF TEACHING THE MATHEMATICAL FOUNDATIONS OF FINANCIAL LITERACY

Bogdana Koneva, Maria Shabanova

IMPLEMENTING COMPUTATIONAL THINKING IN IT TRAINING: AN INVARIANT FRAMEWORK FOR IT KNOWLEDGE FEATURES

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Marieta Atanasova

ADDING VALUE TO HEIGHT EDUCATION THROUGH MAINSTREAMING OF TRAINING IN STANDARDIZATION INTO UNIVERSITY CURRICULA

Evgeniya Nikolova, Yanislav Zhelev, Mariya Monova-Zheleva

КАЧЕСТВЕНО ИЗСЛЕДВАНЕ НА КОНФЕРЕНТНО ОНЛАЙН ОБУЧЕНИЕ ПРИ СТУДЕНТИ ПО УЕБ ДИЗАЙН

Христо Христов, Николай Чочев

at least one more swap, and if it is between A and C, the original state is re- stored, hence E(3)=4. Concerning E(4), four people form 6 unordered pairs, so E(4)≥6. To see that E(4)=6, we proceed as follows, starting with the initial state Aa, Bb, Cc, Dd: – Swap AB, then CD; the state is now Ab, Ba, Cd, Dc. – Swap AC, then BD; the state is now Ad, Bc, Cb, Da. – Swap AD, then BC; the state is now

as on the basis of the author’s statistical experiment we draw conclusions about its quality and suggest possible ways to improve this system. Regarding standardized tests in mathematics, we focused on written nationwide final examinations for basic and senior school courses and on entrance examina- tions to the country’s universities. These trials have a great importance in society of all countri

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението:

Задача 3. Положителните числа x, y, z, α , β и γ удовлетворяват равен- ствата:

+ += и 2 cos cos cosx y z xy yz zx ++= + + Да се докаже, че от отсечки с дължини x, y и z може да се построи триъгъл- ник с ъгли , и . Решение. От равенството 0 2 cos cos cos sin sin cos cosx y z xy yz zx y z y z x =++− + + = − + + −

Био- и екопродукти / Християна Янкова В тази тема ще разгледаме как се произвеждат био- и екопродуктите и защо са важна част от хранителната ни верига. Храните от растителен и животински произход се наричат биологични, когато са произведени от лица, притежаващи сертификат за биологично производство, при спазване на правилата за биологично производство и осъществен контрол. 1/2021: сп. „Чуждоезиков

(5) В резюмето се указва целта на изследването, използваната методология и се очертават новостите и резултатите. Резюмето трябва да съответства на заглавието, ключовите думи и текста на научното произведение. Препоръчителен обем на резюмето – 100 – 150 думи. (6) Фигурите (илюстрациите) и техните надписи освен в основния текст се представят и отделно в допълнителен файл. По изключение, когато обемъ

Книжка 1

Уважаеми автори, читатели, колеги, С повечето от Вас се познаваме, а с някои сме работили заедно.Днес бих искал да се обърна към Вас в качест- вото си на главен редактор на научно списание „Математика и информатика“, списвано и отпечатвано от Национално издателство за образование и наука „Аз- буки“. Стремежът на Редакционната колегия е списанието да бъде форум за научно знание, за критично обсъжда

СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

ГОТОВИ ЛИ СА СЪВРЕМЕННИТЕ ОБУЧАЕМИ ЗА ИНОВАТИВНИ ФОРМИ НА ОБУЧЕНИЕ?

Габриела Кирякова, Надежда Ангелова

ЕЛЕКТРОННИ РЕСУРСИ ЗА ОНЛАЙН ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА В НАЧАЛНИТЕ КЛАСОВЕ – СЪЩНОСТ, ВИДОВЕ, КАЧЕСТВО

Любка Алексиева

THE PROBLEM OF ENSURING THE INFORMATION SECURITY OF CHILDREN AND ADOLESCENTS IN THE CONTEXT OF EDUCATIONAL INTERNET PROJECTS IMPLEMENTATION

Alexander Fedosov, Anastasia Karnaukhova

ДИДАКТИЧЕСКИ МОДЕЛ ЗА СЪСТАВЯНЕ НА СИСТЕМА ОТ ЗАДАЧИ НА БАЗАТА НА ТЕХНОЛОГИЧНИЯ ПОДХОД

Слави Кадиев, Юлия Нинова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 1/2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението: 5 10 2 nn−+= Задача 2. За положителните числа a, b, c и d е изпълнено равенството 1abcd+++ = . Да се докаже, неравенството: 1 18abcd abcd +++ + ≥

2020 година

Книжка 6

ОТЧЕТНОСТ НА ПУБЛИКАЦИОННАТА ДЕЙНОСТ С ИЗПОЛЗВАНЕ НА MICROSOFT OFFICE ACCESS ПО ОПИТА НА ВИСШЕТО ВОЕННОМОРСКО УЧИЛИЩЕ „НИКОЛА Й. ВАПЦАРОВ“

Асен Кожухаров, Стоян Мечев

PRACTICE-ORIENTED TASKS FOR SCHOOLS: METHODOLOGY FOR FUTURE MATHEMATICS TEACHERS

Marina Egupova

G SUITE FOR EDUCATION – THE CHALLENGE THAT HAS BECOME A REALITY IN A BULGARIAN SCHOOL

Muharem Mollov, Gencho Stoitsov

ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ РАБОТ ВНЕУЧЕБНЫХ КОНКУРСНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ, ПРОВОДИМЫХ В ДИСТАНЦИОННОМ ФОРМАТЕ

Оксана Федоровна Абрамова, Александр Александрович Рыбанов

НЕЕДНОЗНАЧНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ЗАДАЧИ

Добринка Бойкина

ТРИГОНОМЕТРИЧНИ СУБСТИТУЦИИ ПРИ НЯКОИ АЛГЕБРИЧНИ ЗАДАЧИ

Диана Стефанова

В ПАМЕТ НА НИКОЛАЙ ХРИСТОВИЧ РОЗОВ 20.02.1938 – 02.11.2020

С голямо прискърбие посрещнахме вестта, че известният математик, високо еру- дираният образователен деятел и член на редколегията на българското списание „Ма- тематика и информатика“ проф. Николай Христович Розов вече не е сред нас. Неочак- ваната смърт го застигна на поста декан на

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6

Задача 1. В турнир участвали 799 отбора, като всеки два отбора изиграли по една среща помежду си (всяка среща завършва с победа на единия то двата отбора). Да се докаже, че има 14 отбора, така че всеки от първите 7 отбора е победил всеки от последните 7.

Книжка 5

GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ЧЕТВЪРТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Ирина Вутова

∑

АБРАХАМ ВАЛД И СТАТИСТИЧЕСКИТЕ ИЗСЛЕДВАНИЯ ВЪРХУ САМОЛЕТНИТЕ БРОНИ

Лъчезар Томов, Георги Дойчинов

АНАЛИЗ НА НАЦИОНАЛНОТО ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ ПО ИНФОРМАТИКА „Д-Р МЛАДЕН МАНЕВ“

Добрин Башев, Пламен Динев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Вписаната в ∆ABC окръжност се допира до страните AB, BC и CA съответно в точки P, Q и R. Ъглополовящата на ъгъла при върха C пресича PQ в точка S. Да се докаже, че правите AS и RQ са успоредни. Задача 2. Естественото число n се нарича хубаво, ако множества {1, 2, 3,..., п} може да се разбие на k непресичащи се множества така, че всяко от множест- вото да съдържа средното аритметично на елементите си. Намерете всички хубави числа за k = 2 и k = 3. Задача 3. Намерете всички функци

Книжка 4

ЗА ДАННИТЕ И ПЪТЯ КЪМ НАУКАТА ЗА ДАННИТЕ

Павел Азълов

TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

DIDACTIC GAME “POSSSIBLE CROSS SECTIONS”

Nataliya Pavlova

НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИНАНСОВА ГРАМОТНОСТ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПОЛИНОМИ С КОРЕНИ В ЧЕТИРИ СПЕЦИАЛНО РАЗПОЛОЖЕНИ КОЛИНЕАРНИ ТОЧКИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ КАК АНИМАЦИОННО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОЛИНОМОВ

Сергей Ларин

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека . Да се намери сумата на всички ес- тествени числа от интервала , за които се дели на . Росен Николаев и Танка Милкова, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2019

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа , които са решения на уравнението Милен Найденов, Варна Решение: eдно множество от решения на разглежданото уравнение се описва със следните формули: , , където Задача 2. Средите на диагоналите и на изпъкналия четириъгъл- ник са съответно и , а пресечната им точка е . Ако втората пресечна точка на описаните около триъгълниците и окръжнос- ти е и , да се докаже, че правата с

Книжка 3

ЗА ДАННИТЕ И ПЪТЯ КЪМ ГОЛЕМИТЕ ДАННИ

Павел Азълов

СЪВРЕМЕННИ СРЕДСТВА И МЕТОДИ ЗА ОБУЧЕНИЕ, ИЗПОЛЗВАЩИ ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ

Любка Славова, Коста Гъров

ИНТЕГРАТИВЕН УРОК ПО ПРЕДМЕТА „МАТЕМАТИЧЕСКА ТЕХНОЛОГИЧНОСТ“ В УСЛОВИЯ НА ДИСТАНЦИОННО ОБУЧЕНИЕ

Костадин Петлешков

DESIGNING A PROFESSIONAL TRAINING PROGRAM FOR WORKING WITH GIFTED CHILDREN USING SOFTWARE OFFICE 365

Oleg Zverev, Tatiana Sergeeva

MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНФИГУРАЦИИ ОТ ПЕДАЛНИ ОКРЪЖНОСТИ НА ПРОИЗВОЛНА ТОЧКА В РАВНИНАТА НА МНОГОЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

ОТНОСНО ПОЛИНОМИТЕ С КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА ЕДИН КЛАС ИЗПЪКНАЛИ ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

АНАЛИЗ НА АНКЕТНО ПРОУЧВАНЕ НА УЧИТЕЛИ ПО ТЕХНОЛОГИИ И ПРЕДПРИЕМАЧЕСТВО

Костадин Петлешков

ПОВИШАВАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ КОМПЕТЕНЦИИ С ДИНАМИЧНА ГЕОМЕТРИЯ

Сава Гроздев

РЕФЛЕКСИВЕН МОДЕЛ ЗА ПРЕПОДАВАНЕ НА КОМПЮТЪРНО МОДЕЛИРАНЕ В НАЧАЛНИЯ ЕТАП НА ОБУЧЕНИЕ

Юлия Дончева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Равнобедреният трапец има основи с дължини и , като е такъв, че средите на страните му са върхове на квадрат. Ако дължината на бедрото на е , а разстоянието от пресечната точка на диагоналите му до бедрата е , да се докаже, че . Милен Найденов, Варна

( ) ( ) ( ) 2sin 2019 2 cos 2019 2 2 3 10, 25x x xx + = −+

Решение: тъй като , т.е. когато

Книжка 2

ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

SOME NEW QUESTIONS ABOUT SEQUENCES OF SEMI-PRIME AND PRIME NUMBERS

Mark Applebaum

СТАТЬЯ-МАТРИЦА КАК ФОРМА РЕАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ СЕТЕВОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПРОЕКТА «ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ: ПИШЕМ САМИ» (О РАБОТЕ МОДЕРАТОРА ПРОЕКТА)

А. В. Ястребов, Г. А. Клековкин

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВОТО – НАЦИОНАЛНА ПРОГРАМА „ОБУЧЕНИЕ ЗА ИТ КАРИЕРА“

Мухарем Моллов, Генчо Стоицов

ИЗПОЛЗВАНЕ НА ОБРАЗОВАТЕЛНИ МОБИЛНИ ТЕХНОЛОГИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ – ЕДНО ПРОУЧВАНЕ В ТРАКИЙСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ

Надежда Ангелова

IMPACT ON RESEARCH VISIBILITY USING STRUCTURED DATA AND SOCIAL MEDIA INTEGRATION

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

ON SOME RANDOMIZED ALGORITHMS AND THEIR EVALUATION

Krasimir Yordzhev

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. По пътя между два града има три тунела с обща дължина 2 ки- лометра и 900 метра. Разликата в дължините на втория и третия е 20 пъти по-малка от дължината на първия тунел. Общата дължина на втория и третия е с 500 метра по-голяма от дължината на първия. Да се намерят дължините на трите тунела, ако третият тунел има най-малка дължина. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. Да се докаже, че във вписан в окръжност четириъгълник е изпълнено неравенството . Хаим Хаи

AB BC CD

Книжка 1

Драги читатели, В началото на 2020 г., когато стартира но- вото десетилетие, не може да не се отбележи последователната политика на Министерство- то на образованието и науката за превръщане на учителската професия в желана. Основен елемент на тази политика е увеличението на учителските възнаграждения. С оптимизъм за своето бъдеще се изпълват не само дейст- ващите учители и тези, които се подготвят

FEATURES OF USING KODU GAME LAB IN TEACHING PROGRAMMING IN ELEMENTARY SCHOOL

Adel Kaplan, Dmitry Pavlov, Myrad Myradov

ИНТЕГРИРАН ДИДАКТИЧЕСКИ МОДЕЛ ЗА ФОРМИРАНЕ И РАЗВИВАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ УМЕНИЯ В ПРОГИМНАЗИАЛЕН ЕТАП НА ОСНОВНАТА ОБРАЗОВАТЕЛНА СТЕПЕН

Десислава Георгиева

GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

АНАЛИЗ НА ЗАДАЧИТЕ И ПРЕДСТАВЯНЕТО НА УЧЕНИЦИТЕ ОТ XI И XII КЛАС НА XIX МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР „ПЕРПЕРИКОН“

Сава Гроздев, Росен Николаев, Танка Милкова

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2019

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа, които са дължи- ни в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с телесен диаго- нал . Христо Лесов, Казанлък Решение. Нека са дължините в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с диагонал . Изпълнено е равен- ството . Оттук имаме . Следо- вателно . Затова , т.е. . От друга страна, , което означава, че . Затова , т.е. . По този начин получихме, че . Като направим необходимите проверки при

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадени са системите линейни уравнения

2019 година

Книжка 6

DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

АВТОМАТИЗИРАНО УПРАВЛЕНИЕ НА МРЕЖОВА ИНФРАСТРУКТУРА

Христо Христов, Ангел Игнатов

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

ОБОБЩЕНИЕ НА ТОЧКИТЕ НА ФЕРМА В РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИКА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ДРУГИ ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5

PREPARING PRIMARY JUNIOR GRADE TEACHERS TO TEACH COMPUTATIONAL TEACHING: EXPERIENCES FROM THE GLAT PROJECT

Natasa Hoic-Bozic, Darko Lončarić, Martina Holenko Dlab

CLOUD TECHNOLOGIES IMPLEMENTATION IN SECONDARY EDUCATION

Lyubka Slavova, Kosta Garov

GOOGLE CLASSROOM – AN INNOVATIVE APPROACH TO A MORE EFFICIENT ORGANIZATION OF LEARNING

Muharem Mollov

TO READ OR INTERACT WITH TEXTBOOKS – WHAT IS BETTER FOR LEARNERS?

Gabriela Kiryakova

ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

ПОЛИНОМИ С КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА МЕДИТАНГЕНЦИАЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ УЛИТОК ПАСКАЛЯ ПОРЯДКА n

Сергей Ларин

ПРОУЧВАНЕ МНЕНИЕТО НА СТУДЕНТИТЕ ЗА КАЧЕСТВОТО НА ТЯХНАТА ПОДГОТОВКА ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Аделина Иванова, Владислав Тодоров

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4

НОВАЯ СЕРИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ С ШАХМАТНОЙ ТЕМАТИКОЙ: ШАХМАТНАЯ ДОСКА, ЛАДЬИ И ЧИСЛА

Иван Попов

THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ПОЛИНОМИ С КРАТНИ КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА УСПОРЕДНИК

Сава Гроздев, Веселин Ненков

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3

МАТЕМАТИЧЕСКИТЕ СОФИЗМИ И ИЗПОЛЗВАНЕТО ИМ В УЧИЛИЩНИЯ КУРС ПО АЛГЕБРА

Камелия Колева

ONE TYPE OF PROBLEMS WITH INFINITE NUMBER OF CUBE ROOTS

Radan Miryanov, Katya Chalakova

∑

A NOTE ON THE ARBELOS IN WASAN GEOMETRY: SATOH’S PROBLEM AND A CIRCLE PATTERN

Hiroshi Okumura

ФОРМУЛИ ЗА РАЗСТОЯНИЯТА ОТ БРОКАРИАНИТЕ И ТОЧКАТА НА МИКЕЛ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ДО ВЪРХОВЕТЕ И ДО СРЕДИТЕ НА СТРАНИТЕ И ДИАГОНАЛИТЕ МУ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

ON THE CONCEPT OF BITWISE OPERATIONS IN THE PROGRAMMING COURSES

Krasimir Yordzhev

RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina,Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

∫

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

и информатика Number 3, 2019 and Informatics

Книжка 2

АРХИВИТЕ ГОВОРЯТ: МЕЖДУНАРОДНИ СЪСТЕЗАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКА

Павел Азълов

ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА КАК ОБЛАСТЬ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ФОРМАТЕ “SCIENCE 2.0”

Лариса Удовенко, Мария Шабанова, Магомедхан Ниматулиев

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ИДЕИ ЗА ГЕОМЕТРИЧНО МОДЕЛИРАНЕ ПРИ РЕШАВАНЕ НА КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ

Наталия Павлова

ONE GENERALIZATION OF THE GEOMETRIC PROBLEM FROM 19TH JUNIOR BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD

Ivaylo Staribratov, Radka Todorova

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

SOME SIMPLE INTEREST MODELS

Tanka Milkova

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

2019 cm

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

университета от всички континенти на света на това състезание. Поради

Книжка 1

Драги читатели, През м. октомври 1998 г. в Париж, в цен- тралата на ЮНЕСКО, се проведе междуна- родна конференция по висше образование. Участниците в нея приеха „Всеобща декла- рация за висшето образование през XXI век: подходи и практически мерки“. В нея се ут- върждава необходимостта от широко прила- гане на трансдисциплинарния подход както при решаването на сложните социално-ико- номически проб

АРХИВИТЕ ГОВОРЯТ: НАЦИОНАЛНИ СЪСТЕЗАНИЯТА ПО ИНФОРМАТИКА

Павел Азълов

МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ФОРМИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ КУЛЬТУРЫ ПЕДАГОГОВ- ПСИХОЛОГОВ В ИНФОРМАЦИОННОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ

Киселев, Геннадий Михайлович; Червова, Альбина Александровна

INCREASING THE DIGITAL COMPETENCES OF STUDENTS

Lyubka Slavova, Kosta Garov

СИСТЕМА ОТ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Петя Асенова, Марин Маринов

EULER-GERGONNE’ S THEOREM AND ITS APPLICATIONS

Šefket Arslanagić

ЕДНО ТВЪРДЕНИЕ ЗА КОНКУРЕНТНОСТ НА ПЕДАЛНИ ОКРЪЖНОСТИ НА ТОЧКА В РАВНИНАТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Хаим Хаимов

POLYNOMIALS OF FOURTH DEGREE WITH COLINEAR CENTRAL SYMMETRIC ROOTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година

Книжка 6

ГРАФИЧЕСКИЕ КАЛЬКУЛЯТОРЫ CASIO КАК СРЕДСТВО ПРОФЕССИОНАЛИЗАЦИИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Александр Луканкин, Ирина Слободская

THE ROLE OF COMPUTER ANIMATION IN MATHEMATICS TEACHING

Sergey Larin, Valeriy Mayer

УПРАВЛЕНИЕ НА СОФТУЕРНО ДЕФИНИРАНИТЕ МРЕЖИ С FLOODLIGHT CONTROLLER

Румен Тодоров

„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Mихаил Aлфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

ИДЕНТИФИЦИРАНЕ НА НАДАРЕНИ УЧЕНИЦИ ПО МАТЕМАТИКА ЧРЕЗ ФЕНОМЕНИТЕ НА ЖАН ПИАЖЕ

Милен Замфиров

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

ЕФЕКТЪТ ОТ ПРИЛАГАНЕТО НА ИНТЕРАКТИВНО ЛИЧНОСТНО ОРИЕНТИРАНО ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА ВЪРХУ УСПЕХА НА УЧЕНИЦИТЕ ПРИ ЗАВЪРШВАНЕ НА ПРОГИМНАЗИАЛНА ОБРАЗОВАТЕЛНА СТЕПЕН И НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ

Добрина Велинова, Ивелина Шумакова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казваме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са проти- воположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свързващи и , по които мухата може да мине, когато: а) и n = 6; б) и ; в) m и са произволни естествени числа.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2018

Задача 1. Да се докаже, че: а) се дели на ; б) се дели на . Христо Лесов, Казанлък Решение на Златка Петрова от Ямбол: а) От дефиницията за факториел имаме . Оттук очевидно следва, че разглежданото число се дели на . б) Лесно се проверява, че е просто число. Затова от теоремата на Уилсън следва, че . Сега, като вземем предвид, че , получаваме което доказва твърдение б).

506 – 517: Комбинаторни задачи, свързани с триъгълник [Combinatorial 596 – 602: A New Meaning of the Notion “Expansion of a Number” / Rosen 603 – 613: Ефектът от прилагането на интерактивно личностно 506 – 517: Комбинаторни задачи, свързани с триъгълник [Combinatorial Problems Related to Triangles] / Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова / Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Katya Chalakova 596

и информатика Number 6, 2018 and Informatics

Книжка 5

ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

ПОКАЗАТЕЛНИ, ЛОГАРИТМИЧНИ И ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ В ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ (IV ЧАСТ)

Диана Стефанова

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОНСТРУИРАНЕ НА ЕДИН ВИД АЛГЕБРИЧНИ КРИВИ В РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков

ПОЛИНОМИ С КОРЕНИ В ТРИ КОЛИНЕАРНИ ТОЧКИ

Веселин Ненков

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2017

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението , ако: а) ; б) . Тодор Митев, Русе Решение: а) . Първо да отбележим следните две твърдения: 1) най-големият общ делител на и е или за всяко цяло . Това твърдение следва непосредствено от равенството ; 2) ако е просто число и дели , то дели . Това твърдение се доказва по следния начин. От условието

и информатика Number 5, 2018 and Informatics

Книжка 4

ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ПОЛИНОМИ С КРАТНИ КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА ТРИЪГЪЛНИК

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

МНОЖЕСТВА ОТ ТОЧКИ, ПОРОДЕНИ ОТ ДВОЙКИ РАВНОБЕДРЕНИ ТРИЪГЪЛНИЦИ СЪС СПЕЦИАЛНО РАЗПОЛОЖЕНИЕ НА ОСНОВИТЕ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИ НОВИ ДОКТОРСКИ ДИСЕРТАЦИИ ПО МЕТОДИКА НА ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа , за кои- то е изпълнено равенството: а) ; в) Христо Лесов, Казанлък

∑

Решение: а) 11 1 1 1 1 nx x x x kx x x x ′ ′ − + − +−  −  = = = =   − −   .

и информатика Number 4, 2018 and Informatics

Книжка 3

ИЗПОЛЗВАНЕ НА ЛИНЕЕН ТРЕНД ПРИ РЕШАВАНЕ НА РАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ

Пламен Пенев

СЪЗДАВАНЕ НА ИГРИ В ЧАСОВЕТЕ ПО ИНФОРМАТИКА ЧРЕЗ ИЗПОЛЗВАНЕ НА ГЕНЕРАТОР НА СЛУЧАЙНИ ЧИСЛА

Емилия Николова, Даниела Тупарова

КАК КОМПЮТЪРЪТ РЕШАВА СУДОКУ – МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ НА АЛГОРИТЪМА

Красимир Йорджев

ПОСТИГАНЕ НА ТВОРЧЕСКИ ЦЕЛИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА В VI КЛАС, РАЗДЕЛ „СТЕПЕНУВАНЕ“

Севдалина Георгиева

ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПОЛИНОМИ ОТ ЧЕТВЪРТА СТЕПЕН С КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА УСПОРЕДНИК

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

TWO NEW PHD DISSERTATIONS IN METHODOLOGY OF INFORMATICS TEACHING

Petya Asenova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2017 Г.

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между местата на пър- вата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с по-бавно, то той ще срещне първия мотоциклет след тръгването си, а разстоянието между местата на двете срещи ще бъде . Определете разстоянието , ако скоро

Книжка 2

Уважаеми читатели, С удоволствие ви информирам за ново значимо признание за българската научна периодика. Съгласно писмо, получено на 23.03.2018 г., списание „Ма- тематика и информатика“ вече се реферира и индексира в Web of Science. Това става факт след продължил близо две години процес на оценяване. Други шест списания, също издавани от Национално издателство „Аз- буки“, част от Министерството н

A POSSIBILITY TO TEACH AND LEARN MATHEMATICS BY THEATRE TECHNOLOGY

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

МАТЕМАТИЧЕСКИ ПРОЕКТИ В ДИНАМИЧНИ СРЕДИ

Ангел Гушев

ПРАКТИКОПРИЛОЖНИ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Несторова

РЕШАВАНЕ НА ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ С EXCEL

Пламен Пенев

TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: AN ALTERNATIVE CONSTRUCTION OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

ДВЕ ТРАНСФОРМАЦИИ В РАВНИНАТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК И ТЯХНОТО ПРИЛОЖЕНИЕ

Димитър Опарлаков

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2017

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големи- на кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най- много 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество оре- хи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три. Тъй като на Иван му харесало числото с тез

Книжка 1

„Децата не разбират това, което четат, и

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ДИАГОНАЛНИ ТОЧКОВИ КОНФИГУРАЦИИ. ПРАВИЛО НА ТРИЪГЪЛНИКА. ИНВАРИАНТИ

Здравко Лалчев, Ирина Вутова

ОСЪЩЕСТВЯВАНЕ НА ВЪТРЕШНОПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА – ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ И ПРОГРЕСИИ

Зара Данаилова-Стойнова, Петър Данчев

РАВНОЛИЦЕВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ДВЕ ПРЕОБРАЗУВАНИЯ В РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИК

Иван Стефанов, Деян Димитров, Борислав Борисов

ε

ТРОЙКИ ЦЕНТРАЛНИ КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ ПРЕЗ ПОСТОЯННА ТОЧКА ВЪРХУ ПОСТОЯННО КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015! 2016! 2017++

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

GUIDE FOR AUTHORS

2017 година

Книжка 6

A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2.

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДАЧУ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

ЕЛЕМЕНТАРНИ ТОЧКОВИ КОНФИГУРАЦИИ. ДИАГОНАЛЕН ПРИНЦИП. ИНВАРИАНТИ

Здравко Лалчев, Ирина Вутова

ЛОГАРИТМИЧНИ И ПОКАЗАТЕЛНИ ФУНКЦИИ В ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ (III ЧАСТ)

Диана Стефанова

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението x )!63(1  , ако: а) ; б) . Тодор Митев – Русе

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2017

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което приема най-малка стойност. Христо Лесов – Казанлък Решение: съгласно малката теорема на Ферма за всяко естествено чис- ло и просто число , числото се дели на , т.е. дава оста- тък при деление на . Тъй като е просто число, от тази теорема следва, че дава остатък при деление на и дава остатък

Книжка 5

ИНТЕГРАТИВНИ ВРЪЗКИ В КОМПЕТЕНТНОСТНИЯ ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИИ

Коста Гъров, Севдалина Георгиева, Елена Ковачева, Ангел Ангелов

НЯКОИ НАЧИНИ ЗА РЕШАВАНЕ НА АЛГЕБРИЧНИ ЗАДАЧИ

Диана Стефанова

ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

ДИДАКТИЧЕСКИ СЦЕНАРИЙ ВЪРХУ ЕДНА ЗАДАЧА ОТ XXI МЛАДЕЖКА БАЛКАНСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ОЛИМПИАДА

Борислав Лазаров

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ДОКАЗАТЕЛСТВА И УТОЧНЕНИЯ НА ЕКСПЕРИМЕНТАЛНО ПОЛУЧЕНИТЕ ТВЪРДЕНИЯ ЧРЕЗ ПРИНЦИПА ЗА ДУАЛНОСТ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ERDÖS’ DISTINCT DISTANCES PROBLEM

Houssam Zenati

OPTIMIZING THE POSITIONING OF SERVING UNITS IN THE TOURISM BUSINESS

Radan Miryanov, Velina Yordanova

∑

Слави Харалампиев и Румяна Несторова, Враца

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2016

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките

Книжка 4

ЗА ДНЕВНИЯ РЕД В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев

ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

ЛОГАРИТМИЧНИ И ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ В ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ (II ЧАСТ)

Диана Стефанова

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ВРЪЗКАТА МЕЖДУ СРЕДНО АРИТМЕТИЧНО И СРЕДНО ГЕОМЕТРИЧНО ЗА РАЦИОНАЛНО ДОКАЗВАНЕ НА НЯКОИ НЕРАВЕНСТВА

Радан Мирянов, Йордан Петков

ОПРЕДЕЛЯНЕ БРОЯ НА КОРЕНИТЕ НА ЕДИН КЛАС ПАРАМЕТРИЧНИ АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН

Росен Николаев, Танка Милкова

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

НЯКОЛКО КОНСТРУКЦИИ, ПОРОДЕНИ ОТ ПРИНЦИПА ЗА ДУАЛНОСТ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг съответно автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между места- та на първата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2016

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едновременно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти, така че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всич- ки редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диа- гоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: прилагаме действието към единия диагонал

Книжка 3

ВЪРХУ ЕДИН МОДЕЛ НА ДОМАШНА РАБОТА В КОНТЕКСТА НА САМОСТОЯТЕЛНАТА РАБОТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Марга Георгиева, Диана Стефанова

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

ВТОРИ ПСЕВДОЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов

НЯКОЛКО ЗАДАЧИ ЗА ОКРЪЖНОСТИ, ДОПИРАЩИ СЕ ДО КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕДИН НОВ ПОДХОД ПРИ МОДЕЛИРАНЕ НА ОБРАЗОВАТЕЛЕН СОФТУЕР

Милен Замфиров

ОБРАЗОВАТЕЛНИ ПЛАТФОРМИ В ОРГАНИЗАЦИЯТА НА ПЕДАГОГИЧЕСКИТЕ ПРАКТИКИ НА БЪДЕЩИТЕ УЧИТЕЛИ

Красимир Харизанов, Наталия Павлова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

БЕЛЕЖКА ВЪРХУ ЕДНА ОТ ЗАДАЧИТЕ ЗА VII КЛАС – 22 МАЙ 2017 Г.

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ГЕННАДИЙ ЛУКАНКИН: СКРОМНЫЙ ПОРТРЕТ В ИНТЕРЬЕРЕ ЭПОХИ (К 80-летию со дня рождения)

Борис Тебиев, Александр Луканкин

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големина кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най-мно- го 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество орехи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един орех, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три ореха. Тъй като на Иван му харесало бро

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2016 Г.

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния Решение. Нека е дискриминанта- та на квадратното спрямо уравнение . Сле- дователно . Оттук получаваме равенството . Предполагаме, че

Книжка 2

NDM-PHILOSOPHY OF EDUCATION IN THE 21

Marga Georgieva, Sava Grozdev

ИНФОРМАЦИОННАТА ГРАМОТНОСТ – СЪЩНОСТ, ПРОБЛЕМИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПОВИШАВАНЕ НА ИНФОРМАЦИОННАТА ГРАМОТНОСТ ЧРЕЗ ИЗПОЛЗВАНЕ НА ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В УЧИЛИЩЕ

Веселин Дзивев

ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

НЯКОИ ИДЕИ ЗА ПРОПЕДЕВТИКА НА ПОНЯТИЕТО ФУНКЦИЯ В НАЧАЛНИТЕ КЛАСОВЕ

Катина Тончева, Маргарита Върбанова

ЧЕТИРИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански

ВЕТРИЛА ОТ ОКРЪЖНОСТИ ВЪВ ВПИСАНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

БЕЛЕЖКА ВЪРХУ ТЕОРЕМАТА ЗА СТЕПЕННИТЕ СРЕДНИ И ОБУЧАВАЩИЯ ХАРАКТЕР НА ОЛИМПИАДИТЕ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа n и k, при които стойността на израза 2017 + 3 + 4 e: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2016

Задача 1. Редицата на Фибоначи се дефинира с равенствата и . Да се докаже, че всяка от редиците и съдържа безброй много двойки съседни членове, които се де- лят на . Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: в началото ще докажем следната Лема. За всяко числата на Фибоначи притежават свойствата: а) последната цифра на числата и е ; б) последната цифра на числата , , и е ; в) последната цифра на числата , , и е .

Книжка 1

Драги читатели, Наскоро бяха публикувани резултатите от международните изследвания TIMSS (шесто поред) и PISA на ученическите умения по ма- тематика и природни науки, организирани съ- ответно от IEA (Международна асоциация за оценяване на постиженията в образованието) и ОECD (Организация за сигурност и сътруд- ничество в Европа). Изследването TIMSS (Trends in International Mathematics and Science

РАЗВИТИЕ НА МЕТОДИКАТА НА ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Петър Петров

ЗАНИМАТЕЛНИТЕ ЗАДАЧИ НА ПОАСОН И МЕТОДЪТ НА ПЕРЕЛМАН ЗА ТЯХНОТО РЕШАВАНЕ И ИЗСЛЕДВАНЕ

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров

ВЕКТОРНО ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЛИЦА НА СТЕНИ И СЕЧЕНИЯ В НЯКОИ МНОГОСТЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПОКАЗАТЕЛНИ И ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ В ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ (I ЧАСТ)

Диана Стефанова

ОЙЛЕРОВА ПРАВА И ОЙЛЕРОВА КРИВА НА ВПИСАН МНОГОЪГЪЛНИК В КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ

Веселин Ненков, Даниел Ангелов

ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което най-малка стойност. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2016

Задача 1. За всяко естествено число да се намери растяща редица от естествени числа , , , , , за които е изпълнено равенството Христо Лесов, Казанлък Решение: от условието имаме Затова , , , , и , , .

2016 година

Книжка 6

ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ДОМАШНАТА РАБОТА – НЕДЕЛИМА ЧАСТ ОТ УЧЕБНИЯ ПРОЦЕС

Елена Радованова

НЯКОИ ГРУПИ ЛОГАРИТМИЧНИ УРАВНЕНИЯ С ПОМОЩТА НА EXCEL

Диана Стефанова, Пламен Пенев

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

SHA ,,

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките и лежат в една полуравнина спрямо и са такива, че и са равностранни. Ако е петата на перпендикуляра, спуснат от към , да се намери геометричното място на точката , когато описва . Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров – Архангелск, Русия

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1/2016

Задача 1. Целочислените редици и са дефинирани чрез равенствата , , , , при . а) Да се докаже, че за всяко цяло число точно едно от числата , и б) Да се определят целите числа , за които и са взаимно прости числа за всяко естествено число . Христо Лесов – Казанлък Решение: дадените рекурентни равенства представяме по следния на- чин: вателно

GUIDE FOR AUTHORS

Книжка 5

БАЗИТЕ ДАННИ КАТО СРЕДСТВО ЗА ПО-КАЧЕСТВЕНО ОБУЧЕНИЕ ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Веселин Дзивев

ЕXCEL В ПОМОЩ ПРИ РЕШАВАНЕ НА НЯКОИ ПОКАЗАТЕЛНИ УРАВНЕНИЯ

Диана Стефанова, Пламен Пенев

AN IMPROVEMENT OF THE GERRETSEN’S INEQUALITY FOR NON-OBTUSE TRIANGLES

Šefket Arslanagić

THREE INEQUALITIES FOR THE ALTITUDES OF A TRIANGLE

Šefket Arslanagić

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: ORTHOLOGY CENTERS OF THE EULER TRIANGLES

Sava Grozdev, Deko Dekov

FORECASTING OF TIME-SERIES FOR FINANCIAL MARKETS

Reinhard Magenreuter

NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

АКАДЕМИЧНАТА ЛЕКЦИЯ – ТРАДИЦИОННА ФОРМА НА ОБУЧЕНИЕ ВЪВ ВУЗ С ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИНОВАЦИОННО РАЗВИТИЕ НА ПОЗНАВАТЕЛНИЯ ПОТЕНЦИАЛ

Елена Радованова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едно- временно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти така, че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всички редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диагоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. В окръжност с център е вписан разност

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2015

Задача 1. Дадена е функцията , където m, n, ∈ℕ. Ако и са корените на уравнението и е изпълнено

Книжка 4

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ДРОЗ-ФАРНИ, ОПРЕДЕЛЕНО ОТ ОПИСАНО КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

COMPARATIVE ANALYSIS OF THE STUDENTS’ SCORES IN SOLVING CONSTRUCTIVE TASKS WHEN GEOMETRY IS STUDIED IN A STANDARD WAY AND WITH THE USE OF COMPLEX NUMBERS

Katerina Anevska, Metodi Glavche, Risto Malceski

ПРАКТИЧЕСКА ЗАДАЧА ОТ ТИП PISA, ИЗСЛЕДВАНА С ПОМОЩТА НА СОФТУЕР ЗА ОБЩО ПРИЛОЖЕНИЕ

Сава Гроздев, Десислава Георгиева

ОТ СТРУКТУРНО КЪМ ОБЕКТООРИЕНТИРАНО ПРОГРАМИРАНЕ

Христо Крушков

КОМПЮТЪРНИТЕ ИГРИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА – ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА И ВЪЗМОЖНОСТИ

Мая Стоянова, Даниела Тупарова, Костадин Самарджиев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2015

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията и . Милен Найденов, Варна Решение. Разделяме двете страни на първото уравнение на и полу- чаваме . Полагаме и уравнението добива вида . Тъй като функцията е растяща (лявата графика на чертежа), то уравнението ално решение . С непосредствена проверка се вижда, че това решение е . Оттук намираме, че е единственото решение на първо- то уравнение. След това разделяме двете страни на второто уравнение на

Книжка 3

ХАРАКТЕР СОВРЕМЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ ПОСТРОЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

Ярослав Ваграменко, Сава Гроздев, Александр Русаков

АНАЛИЗ НА ЗАДАЧИТЕ И ПРЕДСТАВЯНЕТО НА УЧЕНИЦИТЕ ОТ XI И XII КЛАС НА ОБЛАСТНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР КЪРДЖАЛИ’2015

Росен Николаев, Йордан Петков

МЕТОДИ ЗА АКТИВНО ОБУЧЕНИЕ НА КАНДИДАТ-СТУДЕНТИ ПО ИНФОРМАТИКА

Христо Крушков

ЧЕВИАНА И СИМЕДИАНА В ТРИЪГЪЛНИК. ТЕОРЕМА НА СТЮАРТ

Румяна Несторова

() ()

КОМПЮТЪРНАТА ЛИНГВИСТИКА: АТРАКТИВНО СРЕДСТВО ЗА АКТИВНО ОБУЧЕНИЕ

Христо Крушков

ЕДНА ПАРАДИГМА ЗА ОБРАЗОВАНИЕТО

Хари Алексиев

{}

Сава Гроздев – София, и Веселин Ненков – Бели Осъм

()

След заместване на намерените две неравенства в дясната страна на . Равенство се достига тогава и само тогава,

Книжка 2

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РОСИИ XVIII ВЕКА

Татьяна Буторина

ПРОГРАМНИ ЕКСПЕРИМЕНТИ СЪС ЗАДАЧИ ОТ ТИП HERON

Павел Азълов

ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОЩЕ ЕДНА ИДЕЯ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИ УРАВНЕНИЯ

Диана Стефанова, Пламен Пенев

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

COMPARATIVE ANALYSIS REGARDING THE USE OF COMPLEX NUMBERS IN SECONDARY SCHOOL

Katerina Anevska, Sava Grozdev, Risto Malčeski

МЕТОДИЧЕСКА И ТЕХНОЛОГИЧНА РЕАЛИЗАЦИЯ НА ДИДАКТИЧЕСКО ПРОЕКТИРАНЕ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Наталия Павлова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. За всяко естествено число n да се намери растяща редица

()

Задача 2. Нека P е произволна точка от описаната окръжност на на . Ако докаже, че точките лежат на една права. Хаим Хаимов, Варна, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение. Ще докажем, че правите ра на описаната около окръжност . Оттук непосредствено следва

Книжка 1

Драги читатели, Последната новина, която долетя от Ка- захстан, е, че Софийската математическа гим- назия (СМГ) е обявена за най-доброто учили- ще в съревнование между 58 отбора с общо над 400 участници. Ежегодно в гр. Алмати – старата столица на Казахстан, се провежда Международната Жаутиковска олимпиада по математика, физика и информатика. Олим- пиадата носи името на известния казахстан- ски мат

АРИТМЕТИЧЕН ИЛИ АЛГЕБРИЧЕН МЕТОД ПРИ РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

РЕАЛИЗАЦИЯ ДИДАКТИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ИНФОРМАЦИОННЫХ И КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В РАЗВИТИИ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ И ФОРМИРОВАНИИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ НАВЫКОВ

Александр Русаков

()

ОБЩ ПОДХОД ЗА УСТАНОВЯВАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РАДИУСИ НА ДОПИРАЩИ СЕ ОКРЪЖНОСТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗВЪНКЛАСНИТЕ ДЕЙНОСТИ ПО МАТЕМАТИКА – РАЗЛИЧНАТА ФОРМА ЗА МОТИВИРАНЕ НА УЧЕНИЦИТЕ

Зара Данаилова-Стойнова, Ивайло Старибратов

ТРИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

{}

2n ≥

()()

Когнитивната лингвистика в лингвистиката / Майя Пенчева Статията се опитва да постави когнитивната лингвистика в общия контекст на линг- вистиката и да формулира нейните постижения в широка перспектива. 6/2015: сп. „Професионално образование“ Спортните дейности като социална платформа за приобщаване, промяна и развитие / Иван Сандански Статията разглежда участието в спортни дейности като средство

2015 година

Книжка 6

ERRORS RELATED TO TOPICS IN GEOMETRY, DATA REPRESENTATION AND ANALYSIS MADE BY FIFTH GRADE STUDENTS IN THE REPUBLIC OF MACEDONIA

Metodi Glavche, Risto Malčeski, Katerina Anevska

MATHEMATICAL SKILLS ARE REQUIRED IN THE CHANGING WORLD

Desislava Georgieva

ИСТОРИЧЕСКИ ПРЕДПОСТАВКИ ЗА СМЯТАНЕТО С ПРЪСТИ И ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА НА УЧЕНИЦИ СЪС СПЕЦИАЛНИ ОБРАЗОВАТЕЛНИ ПОТРЕБНОСТИ

Милен Замфиров

ONE MORE PROOF FOR THE DISTANCE BETWEEN THE INCENTRE AND THE ORTHOCENTRE OF THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: PEDAL CORNER PRODUCTS

Sava Grozdev, Deko Dekov

EДНО ОБОБЩЕНИЕ НА ОРТОЦЕНТРИЧНИЯ ТРИЪГЪЛНИК

Хаим Хаимов

ТЕОРЕМАТА НА ФОНТЕНЕ ПО ОТНОШЕНИЕ НА ОПИСАНИ ЦЕНТРАЛНИ КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадена е функцията , където ,mn∈ . Ако x и x са корените на уравнението f (x) = 0 и е изпълнено (2) (3)ff t xx xx −− ==∈ +  , да се намерят m и n. Росен Николаев, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2015

Задача 1. Параметрите a и b в уравнението 5x + 2x + 4ax  x + 2bx + 4b  a = 0 са такива, че то има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 1 и 2 са корени на даденото уравнение, то след заместване в уравнението се получават съответно равенствата: 5a+2b = 4 и 31a+8b = 188. След решаване на получената система от две уравнения с две неизвестни се полу- чава: a = 4 и b = 8. Заместваме на

ГЕНИЙ С БЪЛГАРСКИ ПРОИЗХОД Сава Гроздев

Сава Гроздев

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА MATHEMATICS AND INFORMATICS

BULGARIAN EDUCATIONAL JOURNAL ANNUAL CONTENTS / ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ

Книжка 5

ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИ КЪМ КОМПЮТЪРНИ ИГРИ

Павел Азълов

ЧЕТИРИЧЛЕННАТА РЕЛАЦИЯ „ОПЕРАЦИИ – ПРОЦЕДУРИ – ДЕЙНОСТИ – ДЕЙСТВИЯ“ В СИСТЕМАТА „ОППРОДЕЙ“ И ПРИНОСЪТ Ѝ ЗА ЕФЕКТИВНО ИЗПЪЛНЕНИЕ НА ИНФОРМАЦИОННИТЕ ПРОЦЕСИ В ЕЛЕКТРОННИТЕ ДОКУМЕНТИ

Ридван Исуфов

СТАНДАРТИ И СПЕЦИФИКАЦИИ В ОБЛАСТТА НА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Милен Петров, Камелия Йотовска

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: ANTIPEDAL CORNER PRODUCTS

Sava Grozdev, Deko Dekov

ПЪЛНО ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ГРИФИТС С КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ГЕНЕЗИС И РАЗВИТИЕ НА ТЕОРИЯТА НА РАВНОМЕРНОТО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

Силвия Байчева, Васил Грозданов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията 3.2 8.3 159000 += и 32.11 56697728 x += . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2014

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра k, за които уравнението ( ) ( ) , 10k ≠ притежава цело- числени корени. Милен Найденов, Варна Решение: Ако x и x са корените на уравнението, то 2 21 1 2 10 10 k xx kk - + = =- -- е цяло число. Затова 1 10 p k = - е цяло. Оттук получаваме 10 1p k p + = . За дискри- минантата D на уравнението намираме 6 24p D p -- = . Тъй като D трябва да е точен квадрат, то 6 24pn- -= за някое цяло число n. Последното равен

Книжка 4

ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИ КЪМ КОМПЮТЪРНИ ИГРИ

Павел Азълов

− Кои са условията, при които може да се формулира печеливша стратегия? − Ако няма печеливша стратегия, възможно ли е да се формулира стратегия, при която да се постига равен резултат? − Единствена ли е печелившата стратегия? Това, както се вижда, са типични математически въпроси. Най-общо може да се приеме, че текущата позиция в една партия се характе- ризира с броя и/или текущата позиция на обек

Елементарни аритметични задачи. Структура и математически

Използване на формативно оценяване в домашната работа [Using

Comparative Analysis Regarding the Study of Transformations in the

Проектно базирани подходи за формиране и развитие на

Педагогически и ергономичен подход при разработване на

Мотивационните задачи в обучението по математика [Motivational

Възможности за съгласуваност на обучението по математика в

Конкурсни задачи на броя [Contest Problems of the Issue]

Решения на конкурсните задачи от брой 4, 2014 [Solutions of the

READ IN THE LATEST ISSUES OF „AZ BUKI“ JOURNALS /

GUIDE FOR AUTHORS / УКАЗАНИЕ ЗА АВТОРИТЕ

Книжка 2

SPREADSHEETS AS TOOLS FOR CONSTRUCTING MATHEMATICAL CONCEPTS

Erich Neuwirth

EDUCATION OF A MATHEMATICIAN – EXPERIMENTALIST, OR SOFT MANIFESTO OF EXPERIMENTAL MATHEMATICS

Alexander Yastrebov, Maria Shabanova

COMPUTER-DISCOVERED MATHEMATICS: LALESCO PRODUCTS

Sava Grozdev, Deko Dekov

САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова СОУ „Панайот Волов“ – Шумен ОУ „Никола Йонков Вапцаров“ – Асеновград

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ ВЬIЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЬIМИ

Владимир Жук Республиканская специализированная физико-математическая средняя школа-интернат имени О. Жаутыкова

ОБОБЩЕНИЯ ЗА НЯКОИ КЛАСОВЕ НЕОПРЕДЕЛЕНИ ИНТЕГРАЛИ, СВЕЖДАЩИ СЕ ДО РЕКУРЕНТНА ЗАВИСИМОСТ

Росен Николаев

APPLYING CLOUD COMPUTING FOR A MORE EFFICIENT EVALUATION OF PRACTICAL PROJECTS

Emil Delinov

ПОДХОДИ ПРИ РАЗРАБОТВАНЕ НА ГРАФИЧЕН ИНТЕРФЕЙС ЗА РАБОТА С НЯКОЛКО ДОКУМЕНТА

Тодорка Терзиева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ Задача 1. Естествените числа a и b удовлетворяват равенството 9

2S SS=

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2014

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа uxyv , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна Решение: Събираме почленно равенствата и получаваме . Оттук следва равенството ( ) ( )( ) 1 1 1 12xy uv− −+ − −= . Последното равенство е изпълнено при ( ) 1 11 xy − −= и ( )( ) 1 11uv− −= ; ( ) 1 12xy− −= и ( )( ) 1 10uv− −= ; ( ) 1 10xy− −= и ( )( ) 1 12uv− −= . Оттук лесно се вижда, че търсените числа са: 2222, 5231, 1235, 3152, 3512, 5321, 1325,

Книжка 1

М. В. ЛОМОНОСОВ И ТРАДИЦИИ УНИВЕРСИТЕТСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Татьяна Буторина

XML МОДЕЛ ЗА АВТОМАТИЧНО ГЕНЕРИРАНЕ НА ПРОГРАМНИ ТЕКСТОВЕ

Павел Азълов

THE COMPUTER IMPROVES THE STEINER’S CONSTRUCTION OF THE MALFATTI CIRCLES

Sava Grozdev, Deko Dekov

ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

СТИМУЛИРАНЕ АКТИВНОСТТА НА СТУДЕНТИТЕ В ПРОЦЕСА НА ОБУЧЕНИЕ ЧРЕЗ ИЗПОЛЗВАНЕ НА ИНТЕРАКТИВНИ МЕТОДИ

Лиляна Каракашева-Йончева

РОЛЯТА НА ЕМОЦИИТЕ НА УЧЕНИЦИТЕ ПРИ МОТИВАЦИЯТА ИМ В ОБУЧЕ НИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Зара Данаилова

КОГНИТИВНИ ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ МАТЕМАТИЦИТЕ С УВРЕДЕНО ЗРЕНИЕ

Милен Замфиров

АНАЛИЗ НА ЗАДАЧИТЕ И ПРЕДСТАВЯНЕТО НА УЧЕНИЦИТЕ ОТ XII КЛАС НА ОБЛАСТНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР В КЪРДЖАЛИ – 2014 Г.

Росен Николаев, Йордан Петков

ДВАНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански

Contest Problems Конкурсни задачи Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x

Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x + 2x + 4ax - x + 2bx + 4b  a = 0 има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2014

Задача 1. Ако a  3 е нечетно число и k 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: Означаваме с r търсения остатък. При k = 2 е изпълнено равенството . Тъй като , то . Сега от равенството се получава , къ- дето M е цяло число. Ако k = 2l, l k = 2l + 1, l . В този случай получаваме, че . Разглеждаме случая, при който k = 3. От рела- циите и

2014 година

Книжка 6

КОМПЮТЪРНО ГЕНЕРИРАНА МАТЕМАТИКА: БЕЛЕЖКА ЗА ТРИЪГЪЛНИКА НА ХАИМОВ

Сава Гроздев, Деко Деков

УЧЕНЕ ЧРЕЗ ОТКРИТИЯ – НОВ ЕФЕКТИВЕН ПОДХОД В УЧЕНЕТО ЧРЕЗ ЕКСПЕРИМЕНТИРАНЕ

Сава Гроздев, Деко Деков

МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ НА РЕАЛНИ ПРОЦЕСИ И ПРИЛОЖЕНИЯ НА СИСТЕМИТЕ ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА ЗА ТЯХНОТО ИЗСЛЕДВАНЕ Част втора

Тихомир Иванов

A REFINEMENT OF AN INEQUALITY WITH RADICALS

Šefket Arslanagić

AN INEQUALITY FOR A RIGHT TRIANGLE AND ITS GENERALIZATION

Šefket Arslanagić

КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПЕДАЛНА КРИВА НА ТОЧКА СПРЯМО ФОЙЕРБАХОВА КОНФИГУРАЦИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЕВРОПЕЙСКИ ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ ГРУПИ С ИНДУСТРИЯТА – ТРАДИЦИИ И ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА

Стефка Димова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра , за които уравнението притежава це- лочислени корени. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2014

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a , и c е изпълне- но неравенството Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Решение: Ако , R и са съответно лицето, радиусът на описа- ната окръжност и полупериметърът на триъгълника, то са изпълнени следните релации: и . От двете равенства лесно се вижда, че разглежданото неравенство е еквивалентно с , което съвпада със споменатото неравенство.

Книжка 5

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ НА РЕАЛНИ ПРОЦЕСИ И ПРИЛОЖЕНИЯ НА СИСТЕМИТЕ ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА ЗА ТЯХНОТО ИЗСЛЕДВАНЕ

Тихомир Иванов

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „П. Волов“ – Шумен

ИЗПОЛЗВАНЕ НА ГРАФИЧНИЯ КОНСТРУКТОР НА КОМБИНАЦИОННИ СХЕМИ LC ПРИ ИЗУЧАВАНЕ НА ПЪЛНИ МНОЖЕСТВА ОТ БУЛЕВИ ФУНКЦИИ

Вилислав Радев

ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНЦЕПЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Г. Х. Гайдаржи, А. А. Русаков ПГУ им. Т. Г. Шевченко

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

МАШИНЕН ПОДХОД КЪМ ЕВКЛИДОВАТА ГЕОМЕТРИЯ: ТРИЪГЪЛНИЦИ НА ОЙЛЕР, ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ОЙЛЕР И ТРАНСФОРМАЦИИ НА ОЙЛЕР

Сава Гроздев, Деко Деков

ФОРМИРАНЕ НА ЗНАНИЯ ВЪРХУ КРИВИТЕ ОТ ВТОРА СТЕПЕН

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на a, b и c, при които коре- ните на уравнението 10x a b c x ab bc ca++++ +++= са цели числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2013

Задача 1. Да се намерят всички реални функции : 1, 1,fx +∞ → +∞ , за които при и 0y > е изпълнено равенството fx fx= . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния Решение: Нека 1 log ln ye x == . Тогава fx fx fe== . Полагаме 1fe a => . От условието получаваме a fe fx== , откъдето fx a = . Освен това . Затова, като положим α , получаваме, че търсените функции са fx x = за всички α .

Книжка 4

ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА В КОНТЕКСТЕ МЕТАПРЕДМЕТНОСТИ

С. А. Бешенков, А. Х. Дзамыхов

КРАТКО РЪКОВОДСТВО ЗА СИСТЕМАТА ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА WOLFRAM MATHEMATICA

Тихомир Иванов,

КОМПЮТЪРНО ГЕНЕРИРАНА МАТЕМАТИКА: ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА КОСНИТА В ЕВКЛИДОВАТА ГЕОМЕТРИЯ

Сава Гроздев, Деко Деков

ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

НЯКОЛКО СВОЙСТВА НА ЕДИН ВИД КРИВИ, ПОРОДЕНИ ОТ ТОЧКА НА НАГЕЛ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

HONEYCOMB – A GENIUS CREATION OF NATURE

Risto Malčeski

THREE SOLUTIONS OF A PROBLEM WITH FOUR CIRCLES

Šefket Arslanagić

МОТИВАЦИЯ ПРИ РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ЧРЕЗ ПРЕФОРМУЛИРОВКА НА УСЛОВИЯТА

Сава Гроздев, Диана Стефанова

УРОК ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ НА ФУНКЦИИ В ЗАДАЧИ ПО ИКОНОМИКА

Петя Сярова СОУ „Васил Левски“ – Ямбол

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете цифрите , , и в десетична бройна система, ако е изпълнено равенството . Йон Патралику, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2013

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа , за които са изпълнени неравенствата: 2 2 2 28, 6, 3 8.

Книжка 3

ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова Образцова математическа гимназия „Акад. Кирил Попов” „Колкото човек е по-близо, толкова по-малко вижда“ Зрителна измама, филм на Луи Летерие

КРИВА НА ЧЕВА ЗА ТОЧКА ОТ РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИК

Сава Гроздев, Веселин Ненков

AN INTERESTING ALGEBRAIC INEQUALITY AND SOME APPLICATIONS

Šefket Arslanagić

НЯКОИ МЕТОДИЧЕСКИ ПОДХОДИ ЗА СЪСТАВЯНЕ НА ЗАДАЧИ ЗА ОЛИМПИАДИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2013

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9 3 15xx x+ +≥ . б) Намерете реалните стойности на , при които за всички , , 1,abc∈ − +∞ , е изпълнено неравенството 31a b c a b c kabc + + + + + +≥ ++ . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: а) Разглежданото неравенство е еквивалентно с 13 1 0 xx + −≥ , което е очевидно при . б) От а) следват неравенствата 9 3 15aa a+ +≥ , 9 3 15bb b+ +≥ и 9 3 15cc c+ +≥ . След почленно събиране получаваме 5 31 3 a b c a

Книжка 2

ЗА СЪВРЕМЕННИТЕ МЕТОДИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев

ДВУМЕРНИ МАСИВИ: АЛГОРИТМИ ЗА ТЪРСЕНЕ И ЕКСПЕРИМЕНТИ

Павел Азълов

ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

ХОМОТЕТИЧНИ КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ В РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИК

Сава Гроздев, Веселин Ненков

НЯКОИ МЕТОДИЧЕСКИ ОБОБЩЕНИЯ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЕДИН ТИП ЗАДАЧИ ОТ ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА

Росен Николаев, Йордан Петков

СЪСТЕЗАНИЕТО „ЕВРОПЕЙСКО КЕНГУРУ“ ЗА УЧЕНИЦИ СЪС ЗРИТЕЛНИ УВРЕЖДАНИЯ

Сава Гроздев, Елиза Петрова

ANALYSIS OF PROBLEM SOLVING IN INFORMATICS FOR 12 – 13 YEAR OLD STUDENTS IN BULGARIA

Ivaylo Staribratov, BistraTaneva High School of Mathematics „Akad. Kiril Popov“

МОДЕЛ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЕДИН КЛАС ЗАДАЧИ ЗА ПОСТРОЕНИЕ С ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Ваня Бизова-Лалева Национална търговска гимназия

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако a ³ 3 е нечетно число и k ³ 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с .

Contest Problems Конкурсни задачи РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2013

24 24 2 2 .2 8. 2 8.1024 8. 1000 1 8.10 . 1 23. 1000 1000     == = = + > + =         557 500 3 8.10 . 1 8.10 . 1 8.10 . 12.10 10.10 10 1000 1000 2  = +> += = > =  

Книжка 1

ИНТЕГРИРАНЕ НА ПРИЛОЖЕНИЯ – ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ

Ангел Ангелов

ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „Панайот Волов“

КОМПЮТЪРНО ГЕНЕРИРАНА МАТЕМАТИКА: РАЗРАБОТВАНЕ НА ТЕМА ОТ ЕВКЛИДОВАТА ГЕОМЕТРИЯ

Сава Гроздев, Деко Деков

ТЕОРЕТИКО-ПРИЛОЖНИ ОСНОВИ НА ВЕКТОРНО-АЛГЕБРИЧНО МОДЕЛИРАНЕ В ОБУЧЕНИЕТО ПО ГЕОМЕТРИЯ

Ирина Вутова

ЕДНО ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ПИТАГОР В ИЗВЪНКЛАСНАТА РАБОТА ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Несторова Регионален инспекторат по образованието - Враца

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

НЯКОЛКО ХОМОТЕТИЧНО ПОРОДЕНИ СВОЙСТВА НА ФОЙЕРБАХОВИТЕ КОНФИГУРАЦИИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков, Деко Деков

ЕДИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански Българска академя на науките

ЕДИН КЛАСИЧЕСКИ УЧЕБНИК ПО АЛГЕБРА

Донка Пашкулева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a, b и c е из- пълнено неравенството (a+b+c) (2b c + 2c a + 2a b - a - b - c ) £ 27a b c . Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Ако M е множеството на всички равнобедрени триъгълници, стра- ните и лицето на които са естествени числа, да се намерят три триъгълника от M, различните страни на които са последователни естествени числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2013

Задача 1. Реалните числа , , , и са такива, че:

2013 година

Книжка 6

FIVE NEW PROOFS OF ONE TRIGONOMETRIC INEQUALITY IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Alija Muminagić

ЕДНО НЕРАВЕНСТВО ЗА ТРАПЕЦ

Веселин Ненков

∑

ГРАФИЧНО И ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ОТНОСНО НЯКОИ ИЗХОДНИ ПОЛОЖЕНИЯ ПРИ КОНСТРУИРАНЕТО НА ЕДНА ЕВРИСТИЧНО ОРИЕНТИРАНА СИСТЕМА ОТ ГЕОМЕТРИЧНИ ЗАДАЧИ

Нина Иванова

ИНТЕГРИРАНЕ НА ГЕОМЕТРИЧНИ ФРАКТАЛНИ КОНСТРУКЦИИ ЧРЕЗ GEOGEBRA ЗА ХИБРИДЕН УЧЕБЕН ПРОЦЕС

Магдалена Петкова

СТРАТЕГИИ НА ПРЕПОДАВАНЕ В СРЕДА ЗА ЕЛЕКТРОННО ОБУЧЕНИЕ

Венцислав Джамбазов

МАШИННА АРИТМЕТИКА В ЧАСОВЕТЕ ПО ИНФОРМАТИКА

Пламен Пенев

КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНКА НА ПРОЕКТИ ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В ПЛАТФОРМАТА E-TWINNING

Даниела Димитрова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални функции f (x) : (1, + ) (1, + ), за които при x > 1 и y > 0 е изпълнено равенството f (x ) = (f (x)) . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2013

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата 3 cos cos cos 3 1 216 abc abc abc abc ⎡⎤ ++ ++ −≤++< − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ .

MATHEMATICS AND INFORMATICS

ГОДИНА LVI / VOLUME 56, 2013 ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ / ANNUAL CONTENT СТРАНИЦИ / PAGES КНИЖКА 1 / NUMBER 1: 1 – 96 КНИЖКА 2 / NUMBER 2: 97 – 200 КНИЖКА 3 / NUMBER 3: 201 – 296 КНИЖКА 4 / NUMBER 4: 297 – 400 КНИЖКА 5 / NUMBER 5: 401 – 496 КНИЖКА 6 / NUMBER 6: 497 - 608

Книжка 5

ПЕРВЬIЙ ТВОРЧЕСКИЙ КОНКУРС УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ КАЗАХСТАНА

Кайрош Макишев

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

ВЕРИГИ НА МАРКОВ И ПРИЛОЖЕНИЕТО ИМ В GOOGLE

Евгения Стоименова

НЯКОИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА КОМПЮТЪРНАТА ПРОГРАМА „ОТКРИВАТЕЛ“

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕДНО ИНТЕРЕСНО СВОЙСТВО ЗА НЯКОИ КЛАСОВЕ РЕАЛНИ ФУНКЦИИ

Росен Николаев

СИНЕРГЕТИЧЕН ПОДХОД КЪМ ПРОЦЕСА НА ОБУЧЕНИЕ ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Евгения Горанова

BOOSTING EFFICIENCY OF PROJECT-ORIENTED TEACHING AND LEARNING THROUGH CLASSROOM MANAGEMENT AND ONLINE TESTING

Ivan Shotlekov, Vanya Ivanova, Kirina Boykova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа (x, y, z), за които са изпълнени неравенствата:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2012

Задача 1. За всяко реално число x означаваме с [x] най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на x. Да се намерят всички прости числа p, за които числото е просто.

GUIDE FOR AUTHORS

Mathematics and Informatics Journal publishes scientifi c, scientifi c-popular, review and information materials. Papers of scientifi c character should report original research and ideas inspected through expert evaluation by two anonymous and independent referees. It is recommended that the manuscripts are sent as attachment fi les to the following addresses mathinfo@azbuki.bg and sava.grozdev@gmail.com. Disks or other electronic devices are admissible too and in such a case the postal a

Книжка 4

ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ – УДОБНЫЙ ПОВОД ОБСУДИТЬ ТОНКОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ

Вячеслав Тепляков, Нина Патронова

ВЪРХУ ПРЕПОДАВАНЕТО НА МАТЕМАТИКА НА УЧЕНИЦИ СЪС ЗРИТЕЛНИ УВРЕЖДАНИЯ

Сава Гроздев, Елиза Петрова

ЗА ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА НА РОМИ (5. – 7. КЛАС)

Сава Гроздев, Диана Стефанова

РАЗПОЛОЖЕНИЯ НА ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И ПРАВИ В ТРИЪГЪЛНИКА

Христо Лесов

СВЕЖДАНЕ НА ИРАЦИОНАЛНИ И ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ДО МОДУЛНИ

Пенка Рангелова

ЕКСТРЕМАЛНИ ЗАДАЧИ В СРЕДНОТО УЧИЛИЩЕ С ПОМОЩТА НА КОМПЮТЪРНИ ТАБЛИЦИ

Сава Гроздев, Деко Деков

АРХИТЕКТУРА „МОДЕЛ-ИЗГЛЕД-КОНТРОЛЕР“ В ПОМОЩ НА ПРЕПОДАВАНЕТО НА УЕБТЕХНОЛОГИИ

Христо Христов, Христо Крушков

ПЪРВИЯТ БЪЛГАРСКИ УЧЕБНИК ПО ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ

Пламен Матеев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9315xx x++≥ .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2012

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа x, y и z, за които е изпълнено равенството . Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 13 = 2197, 2.11 = 2662 и 3.9 . 2187, то x 12, y 10 и z 8. Освен това x и z имат различна четност. Така с непосредствена проверка се вижда, че когато z = 1,3,5,7 при x = 2,4,6,8,10,12 и z = 2,4,6,8 при x = 1,3,5,7,9,11, само x = 2, y = 10, z = 1 е решение на даденото уравнение.

Книжка 3

АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ В СИСТЕМЕ ЕВРИСТИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ

Елена Скафа

ПЛАВЕН ПРЕХОД ОТ ЗАДАЧИ КЪМ ПРОЕКТИ В УВОДНИТЕ КУРСОВЕ ПО ПРОГРАМИРАНЕ

Павел Азълов

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

ПРАКТИЧЕСКИ ПРИМЕР НА ТЕХНОЛОГИЧНИ СРЕДСТВА ЗА РЕАЛИЗИРАНЕ НА УЕБ 2.0 ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА

Филип Петров, Даниела Дурева-Тупарова

УЧЕБНАТА ДЕЙНОСТ „РАЗБИРАНЕ“ ПРИ ИЗУЧАВАНЕ НА ТЕМАТА „ЕЛЕКТРОННИ ТАБЛИЦИ” В ОБУЧЕНИЕТО ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В 7. КЛАС

Коста Гъров, Елена Тодорова

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се сравнят числата Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Точките E и F са среди съответно на диагоналите AC и BD на чети- риъгълника ABCD. Ако BAE ADE= и , да се докаже, че симе- дианите на триъгълниците ABC, BCD, CDA и DAB съответно през върховете B, C, D и A се пресичат в една точка. Хаим Хаимов, Варна Задача 3. Вписаната в окръжност се допира до , и AB съот-

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2012

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния Решение: Изпълнени са равенствата ! 1! 1 1! 1 !! np Sp C p np + =− +=− +=

Книжка 2

ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

„ВЫХОД В ПРОСТРАНСТВО“ С ИНТЕРАКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СРЕДОЙ

Мария Шабанова, Светлана Котова

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ИНФОРМАЦИОННИТЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА: СРЕДСТВО ЗА ИЛИ БАРИЕРА ПРЕД ФОРМИРАНЕТО НА АБСТР АКТН О МИСЛЕНЕ

Таня Тонова, Николина Николова

ИНТЕРАКТИВНО ИЗУЧАВАНЕ НА ОПИСАНИ ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ В ДИНАМИЧНА СРЕДА

Бистра Царева, Радка Тодорова

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

ТРИ СВОЙСТВА НА ТРИЪГЪЛНИКА, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ВИСОЧИНИТЕ МУ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

МАРКЕТИНГОВИ ПРОУЧВАНИЯ С УЧИЛИЩНИ ЗНАНИЯ

Ваня Бизова – Лалева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Реалните числа , , , и са, такива че:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2012

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa a bb b  , за които е изпълнено равенството aa a bb b aa a bb b=   . Николай Белухов, Стара Загора Решение: Нека A aa a=  и B bb b=  . От условието следва равенството .10 . A B AB+= , откъдето .10 1 . A AB =− . Тъй като , 11AA −= , то 1|10 A − , откъдето 1 1 2 .5 AA− += . Ако числата 1A − и 1A + са едновременно нечетни, то , а 1A − и 1A + са степени на петицата с разлика две, което е невъзможно. Остава само възмо

Книжка 1

70-ГОДИШЕН ЮБИЛЕЙ

Навършиха се 70 години от рождението на изтъкнатия български математик проф. дмн Генчо Скордев. Юбилярът е член-кореспондент на БАН и дългогодишен главен редактор на сп. „Математика и информатика“. По този повод е следващият материал, в който авторът разказва свои спомени с исторически характер, свързани с активното му участие в образователните процеси в България по математика и информатика.

ЧТО БОЛЬШЕ: π% от e или e% от π?

Николай Розов

ИНФОРМАТИЧНИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ МАТЕМАТИЧЕСКИ РЕБУСИ... ИЛИ ЕМПИРИЧЕН ПОДХОД ЗА ОЦЕНКА НА ВРЕМЕТО ЗА ИЗПЪЛНЕНИЕ НА ПРОГРАМИ

Павел Азълов

ПО ПЪТЯ КЪМ ПЪРВАТА КОМПЮТЪРНО-ГЕНЕРИР АНА ЕНЦИКЛОПЕДИЯ

Сава Гроздев, Деко Деков

SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić

ВИРТУАЛНАТА РЕАЛНОСТ – ЕДИН НОВ ПОГЛЕД КЪМ СЪВРЕМЕННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Минковска

ИЗПОЛЗВАНЕ НА ДИНАМИЧНИ И ИНТЕРАКТИВНИ МОДЕЛИ ЗА ПРЕДСТАВЯНЕ НА УЧЕБНОТО СЪДЪРЖАНИЕ ПО ДИСЦИПЛИНАТА „КОМПЮТЪРНИ МРЕЖИ И КОМУНИКАЦИИ“

Генчо Стоицов, Коста Гъров

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2012

Задача 1. В множеството на реалните числа е дефинирана бинарна опера- ция :⊗ ×→  , където : \0=  , която условно ще наричаме умножение и такава, че за всеки три реални числа , и , където , е в сила ра- венството .ac a bc b ⊗⊗= . Ако е известно, че , да се пресметне 2011 2012 2011 2012⊗⊗⊗ . Живко Желев, Стара Загора Решение: Първи начин (авторско решение). Нека . Тогава .1 11 1 a ata a⊗= ⊗ ⊗ = = . Оттук получаваме 2012. 1 2012 2012 2012 2012 2012 t tt=⊗=⊗ ⊗= =

2012 година

Книжка 6

КОМЮНИКЕ LE-MATH ИЗУЧАВАНЕ НА МАТЕМАТИКА С НОВИ СРЕДСТВА ЗА КОМУНИКАЦИЯ

ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

НЯКОИ НЕСТАНДАРТНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМИ

Запрян Запрянов, Николай Райков

ИЗПОЛЗВАНЕ НА МАТРИЦИ В УЧИЛИЩНИЯ КУРС НА ОБУЧЕНИЕ

Борислава Кирилова

ПАРАМЕТРИ, ТАБЛИЦИ И ДИНАМИЧНИ ГРАФИКИ

Ваня Бизова-Лалева

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ СПРЕГНАТИ ПРАВИ И ЧЕВИАНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Използване на Visual Basic for Applications при решаването на практически

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

АНАЛИЗ НА ВЪНШНОТО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА ЗА ЧЕТВЪРТИ КЛАС ЗА 2012 Г. В БЪЛГАРИЯ

Милен Замфиров

Конкурсни задачи на броя

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2012

Христо Лесов, Казанлък

I N M E M O R I A M

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Книжка 5

ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

доц. д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН) Десетата Международна олимпиада по лингвистика (МОЛ) се проведе в Любляна (Словения) от 30 юли до 3 август 2012 г. В нея взеха участие 131 ученици, съставящи 34 отбора от 26 страни. За първи път свои състезатели изпратиха Гърция, Китай, Израел, Унгария и Япония. Бяха представени също Австралия, Бразилия, България, Великобритания, Германия, Естония, Индия, Ирландия, Канада, Латвия, Нидерландия, Полша, Румъния, Русия, САЩ, Сингапур, Словения, Сърбия, Чехи

MATHEMATICAL COMPETITIONS AND STUDENTS‘ SELF-ESTEEM

Gregor Dolinar

АНАЛИЗ НА ВЪНШНОТО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА ЗА ЧЕТВЪРТИ КЛАС ЗА 2011 Г. В БЪЛГАРИЯ

Милен Замфиров

СИНЕРГЕТИЧЕН МОДЕЛ „ПРОБУЖДАЩО МАТЕМАТИЧЕСКО ОБУЧЕНИЕ”

Даринка Гълъбова

ЕДНА ЗАДАЧА – НЯКОЛКО „ЕЛЕМЕНТАРНИ“ РЕШЕНИЯ

Юлия Нинова, Веселка Михова

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПР ОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

ДИСЕРТАЦИИ В ПРОФЕСИОНАЛНО НАПРАВЛЕНИЕ “ПЕДАГОГИКА”

Петя Асенова, Сава Гроздев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа , и , за които е из- пълнено равенството Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2011

Задача 1. Да се докаже, че за всяко цяло положително число уравнението има безброй много решения в цели положителни числа

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

година в България [External Evaluation Analysis of Mathematics

Книжка 4

АНАЛИЗ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ НАЦИОНАЛНАТА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

АНАЛИЗ НА ДВЕ ЗАДАЧИ ОТ МЕЖДУНАРОДНАТА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев

UBIQUITOUS ARCHIMEDEAN CIRCLES

Hiroshi Okumura

СОФТУЕРНО ОБОНОВЯВАНЕ НА СИСТЕМА ЗА ЕЛЕКТРОННО ОБУЧЕНИЕ С ОТВОРЕН КОД

Венцислав Джамбазов

ИЗПИТЪТ ЗА ЧЕТВЪРТА ПРОФЕСИОНАЛНО- КВАЛИФИКАЦИОННА СТЕПЕН ПО МАТЕМАТИКА

Галя Кожухарова

ПОДГОТОВКА НА УЧИТЕЛИТЕ ЗА ПРИДОБИВАНЕ НА ПЕТА И ЧЕТВЪРТА ПРОФЕСИОНАЛНО- КВАЛИФИКАЦИОННА СТЕПЕН ПО ИНФОРМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Димитрина Брънекова

КОМПЮТЪРНИТЕ ЕВРИСТИКИ И ВЪЗМОЖНОСТИТЕ ИМ ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ В ОЛИМПИАДНАТА МАТЕМАТИКА

Живко Желев

ДВЕ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИ ИНИЦИАТИВИ

Борислав Лазаров

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2011

Задача 1. Едно цяло положително число n ще наричаме “интересно”, ако може да бъде записано във вида , където са цели поло- жителни числа и , а дели c . Да се докаже, че само краен брой цели положителни числа не са “интересни” и да се намери сумата им. Решение: 1) Нека , то тересно”. Остава да отбележим, че , и не са “интересни”. 2) Нека

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2011

Задача 1. На страните AB и на успоредника външно за

МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР „РУМЕН ГРОЗДАНОВ“ НА 10 ГОДИНИ

Ивайло Старибратов

Книжка 3

НАЦИОНАЛЕН КОНКУРС „МЛАДИ ТАЛАНТИ” 2012

Георги Дянков През месец май 2012 се проведе финалният кръг на Националния конкурс „Млади таланти”. Състезанието се организира от МОМН и приема разработки на научни проекти от ученици в гимназиален етап и студенти първи курс. Участниците предста- виха свои авторски проекти в различни научни области – естествени науки, социални науки и комуникационни и информационни технологии (ИКТ). Състезанието тази година се отличи с много добри проекти и журито имаше нелеката задача да избере най-добри

СУБЕКТНОСТЬ КАК МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ИНФОРМАТИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ

Татьяна Сергеева, Сава Гроздев

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ КАК ИННОВАЦИОННОЕ НАПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

Людмила Хаймина, Евгений Хаймин

ТЕХНОЛОГИЧНИ СРЕДСТВА ЗА РАЗРАБОТВАНЕ И РАЗПРОСТРАНЕНИЕ НА ЕЛЕКТРОННО УЧЕБНО СЪДЪРЖАНИЕ И СЪЗДАВАНЕ И ПОДДЪРЖАНЕ НА КУРСОВЕ ЗА ЕЛЕКТРОННО ОБУЧЕНИЕ

Георги Тупаров, Даниела Тупарова

СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

ИНДИВИДУАЛНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ТРАЕКТОРИЯ ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЧАСТЕН СЛУЧАЙ

Борислав Лазаров

ТЕХНОЛОГИЧЕН МОДЕЛ НА СЪЗДАВАНЕ НА МУЛТИМЕДИЙНИ ПРЕЗЕНТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКА ОТ УЧЕНИЦИ В ОСМИ КЛАС ПРИ РАБОТА В ЕКИП

Петя Драганова, ПГЛПИ „Атанас Буров” – гр. Г. Оряховица

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa abb b , за които е изпълнено равенството

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2011

Задача 1. Да се определят стойностите на параметъра a, за които уравнението log sin 2011 cos 2011tg x cotg x a x x += + има решение и да се реши уравнението за най-малката от намерените стойности на параметъра. Христо Лесов, Казанлък Решение (Христо Лесов): Изпълнени са следните релации: π αα α за всяко и 2 2 sin 2 tg cotg += ≥ за