Математика и Информатика
Вход / Регистрация

https://doi.org/10.53656/math2025-1-4-edu

2025/1, стр. 51 - 62

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova
OrcID: 0000-0001-8472-5217
WoSID: AAW-7402-2021
E-mail: toni.chehlarova@math.bas.bg
Institute of Mathematics and Informatics
Bulgarian Academy of Sciences
Bl. 8 Acad. G. Bonchev St.
1113 Sofia Bulgaria
Neda Chehlarova
E-mail: nedachehlarova@ir.bas.bg
Georgi Gachev
OrcID: 0000-0002-7297-0888
E-mail: gachev@math.bas.bg
Institute of Mathematics and Informatics
Bulgarian Academy of Sciences
Bl. 8 Acad. G. Bonchev St.
1113 Sofia Bulgaria

Резюме: Some educational resources for teaching mathematics in the study of midsegments of triangles and trapezoids are described. Variants of dynamic constructions are considered, in support of characterization studies, as well as for the development of the eye-based proportion estimation. Files for 3D printing models when studying midsegments of triangles and trapezoids are presented. The 3D printed models can be used when working with people with visual impairments.

Ключови думи: digital competence; mathematical competence; educational computer models; additive manufacturing; 3D models; inquiry-based learning

1. Introduction

Already in preschool education in mathematics, it is appropriate to create conditions for carrying out research in forming an idea of basic geometric figures, for discovering properties and formulating hypotheses, for revealing regularities. Computer models facilitate much of this research, and in some cases are a hard-to-substitute tool when implementing inquiry-based learning. However, the use of computer models for such a purpose is still not a widespread practice, despite the activities of international and national educational projects and programs such as InnoMathEd, Fibonacci, DynaMat, KeyCoMath, MaSciL, STEM PD Net, Scientix, VIVA Cognita, Education with Science (Chehlarova et al. 2021).

In Bulgaria, at the moment, the VIIIth grade is the first high school grade, and the majority of students start studying in newly formed classes. Therefore, it is important to provide, whenever possible, conditions for research work using dynamic software in the teaching of mathematics in VIII grade. This will provide an opportunity for those students who have not worked with similar resources in previous years to get closer to others who already have experience of researching with dynamic constructions.

In the curriculum for general educational preparation in mathematics in the VIII grade on the topic “Triangle and trapezoid”, the following competences are formulated as expected learning outcomes: “knows the concept of midsegment in a triangle, its properties and knows how to use them, ..., knows how to apply the properties of an isosceles trapezoid, knows the concept of midsegment in a trapezoid, its properties and knows how to use them, knows how to discover and create situations related to midsegments, knows how to distinguish statements from the topic as necessary and sufficient conditions, knows how to form the negation of statements, substantively related to the topic, is able to analyze the condition of a statement and choose appropriate means of proof”1. Several practical activities that can be implemented in the classroom are also indicated, for example using dynamic software to demonstrate the properties of geometric figures, building simple geometric constructions with a ruler and compass or with appropriate software products. And for the establishment of cross-curricular connections with informatics and information technologies, the use of specific dynamic software is recommended - “where a better visualization of the learning process or the formation of certain practical skills is needed”1.

The existence of a STEM center is a fact in many Bulgarian schools. 3D printers are available in a large part of them, which provides opportunities both for their use by teachers for the preparation of educational resources, and for conducting mathematics classes using a 3D printer for printing models created by students.

Here we are going to present two types of educational resources for VIII grade Mathematics education on the topics of “Midsegment of a triangle” and “Midsegment of a trapezoid”.

2. Dynamic computer models

The presented computer models were developed with GeoGebra (Hohenwarter et al. 2008) and are freely accessible in the Virtual Mathematics Laboratory (Chehlarova 2020), developed at the Institute of Mathematics and Informatics of the Bulgarian Academy of Sciences.

Model 2.1. Triangle with midsegment

A triangle and one of its midsegments is constructed. The lengths of the midsegment and the corresponding side of the triangle are shown to the nearest hundredth. The vertices of the triangle are movable points, and by changing their position, different triangles are obtained (fig. 1). This makes it possible to observe multiple triangles in a short amount of time in order to discover properties of a triangle’s midsegment.

Figure 1. Midsegment study of a triangle

When using computer models, the measurements of the objects are displayed with specified accuracy, in this case – with accuracy to hundredths. Sometimes, due to rounding, an error may occur (with the corresponding precision). For example, in the following fig. 2, the length of the side AB of triangle ABC is 17.35 units to the nearest hundredth, and the length of the corresponding midsegment DE is 8.67 units, i.e. the length of the corresponding midsegment to the nearest hundredth is slightly less than half the length of the corresponding side. Students should know that such results should not prevent the formulation of the hypothesis that the following midsegment of a triangle is twice the corresponding side of the triangle. By changing the precision with which the numbers are displayed, for example to ten thousandths, you can see where the error is coming from.

Figure 2. Different display accuracy of numerical values

It is further expected to notice that the midsegment is parallel to the respective side. The degree measures of two angles can be deduced to check the validity of this hypothesis for various specific cases before proceeding to the proof.

When using the GeoGebra file, students can observe the step-by-step construction of the dynamic structure used, as well as to observe the construction protocol (fig. 3).

Figure 3. Construction protocol

Model 2.2. Triangle with the three midsegments

The lengths of the three sides and the lengths of the midsegments (fig. 4) of triangle ABC are deduced. Additionally, we recommend constructing the lines that divide each of the sides of triangle ABC from its midpoint, for example lines BE and CE, and derive their lengths as well. Thus, a complete perception of the figure is obtained and there is an opportunity to discover other properties related to it.

Figure 4. Study with the three midsegments of a triangle

Model 2.3. A quadrilateral and figure whose vertices are the midpoints of its sides

Fig. 5 presents a construction that can be considered both for the study of the figure whose vertices are the midpoints of the sides of a quadrilateral, and as a construction with two triangles with a common side that are in different half-planes about their common side.

Figure 5. Study of the figure whose vertices are the midpoints of the sides of a quadrilateral

Model 2.4.

Triangle with midsegment and their centrally symmetric images with respect to end of the midsegment. Model 2.5. A model for construction of a midsegment of a triangle

Figure 6. Triangle and midsegment, and their centrally symmetric images

A triangle has been built, a midsegment is expected to be built. This can be implemented as a construction task using elementary and basic constructions, as well as by using available tools from the GeoGebra toolbar. In this case, it is appropriate to use the tools for constructing a migsegment and for constructing a section. The construction protocol of fig. 3 can help those who have no experience working with GeoGebra.

Model 2.6. Game for the development of the eyesight

One side of a triangle is colored red. Its corresponding midsegment of the triangle should be sketched (fig. 7). For this purpose, an auxiliary section has been built, the ends of which are movable. Self-checking is done by a hide/show check box, in the case of the midsegment.

Figure 7. Game for the development of the eyesight

A button is used for a new example. Numbers are randomly selected from specific sets, which are used to determine the coordinates of the vertices of the next triangle. The built-in Refresh button can also be used to get a new example. In a variant of this game to develop the eyesight, a pencil is also used to draw the midsegment.

Models 2.7. Models for the midsegment of a trapezoid

The models for the midsegment of a trapezoid are similar. We believe that analogy is a powerful teaching tool and there are many opportunities for its use in mathematics education that should not be missed, especially when implementing inquiry-based learning. To aid research, it is sometimes appropriate to give additional help or direct students to additional constructions. For example, in the first of the files in fig. 8 shows the sum of the lengths of the trapezoidal bases after using the hide/show checkmark.

Figure 8. Computer models for trapezoid midsegment studies

3. 3D printed models

Additive technologies can complement learners’ knowledge of mathematics; modeling with 3D shape and solid software; variants of filaments used for 3D printers (Kozhuharov 2022), (Kostova et al. 2020), (Ralchev et al. 2021). The preparation of the 3D printer and the printing process will expand their skills to work with a specialized technique (Borgianni et al. 2022), (To et al. 2024). Fig. 9 and fig. 10 present files for 3D printing models of midsegments of triangle and trapezoid models and the corresponding printed models.

Models 3.1 3D printed models connected to a triangle's midsegment Models 3.2 3D printed models connected to a trapezoid midsegment They can be used in class, as well as when working with people with visual impairments (Chehlarova 2024).

Figure 9. 3D printed model files for studies about midsegment in triangle and corresponding printed models

Figure 10. Files for 3D printed models for studies about midsegment in trapezoid and corresponding printed models

4. Discussion

Students who have even a little experience working with dynamic structures like the ones presented in the article can quickly handle with making research and formulating hypotheses. For the rest of the VIII grade students, doing research with the suggested files is a suitable step towards the formation of research skills with mathematical objects.

In the Virtual Mathematics Laboratory, there is a large number of auxiliary materials with dynamic constructions, including some with applied problems, with contest problems, etc., but to provide conditions for conducting research and rediscovering properties of mathematical objects by a large number of VIII grade students, including those without a focus on mathematics (Chehlarova & Valkov 2024), it is appropriate to work with tasks of little complexity and related to the curriculum for general education.

When learning about the midsegment of a triangle and the midsegmant of a trapezoid, the 3D printed models make it easier to work with students with visual impairments, but can also help to understand and remember other students, who struggle with math learning.

Didactic games have proven to be a powerful educational tool for teaching mathematics as well (Nikolova & Tuparova 2018), (Pavlova & Toncheva 2020), (Chehlarova 2021), (Gachev 2024). And in this case, a short game for the development of the eyesight with midsegment has its educational effect.

One of the goals of the online competition “VIVA Mathematics with a computer”, organized by the Institute of Mathematics and Informatics of the Bulgarian Academy of Sciences and distributed with the help of the Union of Mathematicians in Bulgaria, is precisely the distribution of computer tools for mathematical research and solving mathematical and applied tasks with sufficient accuracy (Kenderov 2022), (Kenderov et al. 2021). Resources from past competitions can be stimulating for VIII graders to expand their competence in using computer models to solve a variety of tasks.

For all students, working with ready-made 3D printed models can be a motivation to independently create 3D printed models. The study of mathematics in the context of STEAM through such resources and the creation of new ones in the available STEM centers in Bulgaria can be defined as STEAM(5) (Chehlarova 2024a), denoting the number of subject areas it covers.

Acknowledgements

Supported by the National Programme “Education with science” (Contract of the Ministry of education and Science of Bulgaria with the Bulgarian Academy of Sciences D01-172/18.09.2024).

NOTES

1. Mathematics curriculum for Grade VIII (general education) from the academic year 2024/2025.

2. https://cabinet.bg/index.php?contenttype=viewarticle&id=521

3. https://cabinet.bg/index.php?contenttype=viewarticle&id=523

REFERENCES

BORGIANNI, Y., PRADEL, P., BERNI, A., OBI, M., BIBB, R., 2022. An Investigation into the Current State Of Education In Design For Additive Manufacturing. Journal of Engineering Design, vol. 33, no. 7, pp. 461 – 490. doi: 10.1080/09544828.2022.2102893

CHEHLAROVA, N., 2024. Didactic Resources for Counting Rectangular Trapezoids. Electronic journal “Pedagogical forum”, Iss. 3, pp. 59 – 66, ISSN: 1314-7986, doi: 10.15547/PF.2024.019

CHEHLAROVA, T., 2020. Resources for Self-Assessment in the Virtual Mathematics Laboratory. Pedagogika – Pedagogy, vol. 92, no. 2, pp. 168 – 179 (in Bulgarian). ISSN: 0861–3982 (Print), 1314–8540 (Online).

CHEHLAROVA, T., 2021, Game with Center of Central Symmetry in the Plane. Symmetry: Culture and Science, Symmetrion. vol. 32, no. 2, pp. 277 – 280. ISSN: 0865-4824 (print), ISSN: 2226-1877 (electronic). doi: 10.26830/symmetry_2021_2_277

CHEHLAROVA, T., 2024a. Visualization of STEAM with Venn Diagrams. Symmetry: Culture and Science. Symmetrion. vol. 35, no. 2, pp. 119 – 125. ISSN:0865-4824. doi: 10.26830/symmetry_2024_2_119

CHEHLAROVA, T., IVANOVA, KR., KENDEROV, P., SENDOVA, E., 2021. IMI-BAS as a Catalyst for the Scientix Support to the Bulgarian STEM Teachers. Mathematics and Education in Mathematics. vol. 50, pp. 349 – 355, UMB. ISSN:1313-3330.

CHEHLAROVA, T., VALKOV, M., 2024. Computer Models of One Mathematical Olympiad Problem. Mathematics and informatics. vol. 67, no. 4, pp. 433 – 442, doi: 10.53656/math2024-4-6-com

GACHEV, G., 2024. Program Implementation of The Game “Combination Nine”. Mathematics and informatics. vol. 67, no. 3, pp. 305 – 313. ISSN: 1310–2230. doi: 10.53656/math2024-3-5-int

HOHENWARTER, M., HOHENWARTER, J., KREIS, Y., LAVICZA, Z., 2008. Teaching and Learning Calculus with Free Dynamic Mathematics Software GeoGebra. 11th International Congress on Mathematical Education. ICME, Monterrey, Nuevo Leon, Mexico. p. 1 – 11. https://orbilu.uni.lu/bitstream/10993/47219/1/ICME11-TSG16.pdf

KENDEROV, P., 2022. Mathematics competitions: an integral part of the educational process. ZDM – International Journal on Mathematics Education, vol. 54, no. 5, pp. 983 – 996. doi: 10.1007/s11858-022-01348-4

KENDEROV, P., CHEHLAROVA, Т., GACHEV, G., 2021. Online Competition “VIVA Mathematics With Computer”. Mathematics and Informatics, vol. 64, no. 1, pp. 36 – 51 (In Bulgarian). ISSN:1310–2230.

KOSTOVA, S., CHAVDAROV, I., LEKOVA, A., DIMITROVA, M., KRASTEV, A., 2020. Acquiring Digital Skills and New Qualifications By Introducing Modern Technologies In Education. In: IEEE Workshop on Information and Communication Technologies II. Complex Control Systems, vol. 2, no. 1, pp. 7 – 13. ISSN: 2603-4697. http://ir.bas.bg/ccs/2019/2_kostova.pdf

KOZHUHAROV, M., 2022. Basic Aspects of 3D Printing and its Application in Education. Electronic journal Pedagogical Forum, vol. 4, pp. 64 – 69 (In Bulgarian). ISSN: 1314-7986. doi: 10.15547/PF.2022.026

NIKOLOVA, Е., TUPAROVA, D., 2018. Creating of Games in the Informatics Classes by Using a Generator of Random Numbers. Mathematics and Informatics, vol. 61, no. 3, pp. 232 – 259 (In Bulgarian). ISSN:1310–2230.

PAVLOVA, N., TONCHEVA, M., 2022. Types of Solutions in The Didactic Game ”Logical Monsters“. Mathematics and Informatics vol. 65, no. 5, pp. 484 – 493, ISSN:1310–2230.

RALCHEV, M., MATEEV, V., MARINOVA, I., 2021. 3D Printed Electrically Conductive Composites by FFF/FDM Technology. 13th Electrical Engineering Faculty Conference, BulEF 2021, pp. 1 – 6. doi: 10.1109/BulEF53491.2021.9690776.

TO, T.T., AL MAHMUD, A., RANSCOMBE, C., 2024. A Framework for Integrating Additive Manufacturing into Engineering Education: Perspectives of Students And Educators. European Journal of Engineering Education. pp. 1 – 22. doi: 10.1080/03043797.2024.2358368.

ЛИТЕРАТУРА

ЧЕХЛАРОВА, T., 2020. Ресурси за самопроверка във виртуалния училищен кабинет по математика. Педагогика, т. 92, №. 2, стр. 168 – 179. ISSN: 0861–3982 (Print), 1314–8540 (Online).

КЕНДЕРОВ, П., ЧЕХЛАРОВА, Т., ГАЧЕВ, Г., 2021. Онлайн състезание „VIVA математика с компютър“. Математика и информатика, т. 64, № 1, стр. 36 – 51. ISSN:1310–2230.

КОЖУХАРОВ, М., 2022. Основни аспекти на 3D принтирането и приложението му в образованието. Педагогически форум, т. 4, стр. 64 – 69. ISSN: 1314-7986. doi: 10.15547/PF.2022.026

НИКОЛОВА, Е., ТУПАРОВА, Д., 2018. Създаване на игри в часовете по информатика чрез използване на генератор на случайни числа. Математика и информатика, т. 61, № 3, стр. 232 – 259. ISSN:1310–2230.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.