Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2015/1, стр. 77 - 85

КОГНИТИВНИ ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ МАТЕМАТИЦИТЕ С УВРЕДЕНО ЗРЕНИЕ

Милен Замфиров
E-mail: milen_zamphirov@abv.bg
Department of Special Education and Speech Therapy
Sofia University “St. Kliment Ohridski“
15, Tsar Osvoboditel Blvd.
1504 Sofia, Bulgaria

Резюме: Историята на математиката познава много слепи математици. Един зрящ математик обикновено работи седнал, драскайки върху лист хартия. Как работят слепите математици? Те не могат да разчитат на стенографирани мисли, хрумнали изведнъж и нахвърляни на листче хартия, или на аргументи, надраскани набързо на ръка, където „това“ се извежда от „там“ и „онова“ не пасва с „тук“. Въпреки всичко в много случаи слепите математици работят по почти същия начин както зрящите.

Ключови думи: blind mathematicians, cognitive process, Boy‘s surface

В днешно време, когато степента на увлечение на зрящите ученици и възрастни хора по математиката постепенно намалява, удивително е какви резултати са по-стигали, постигат и с пълна сигурност ще постигат и занапред онези слепи учени, посветили се на математиката.

През последните десетилетия много изследвания са посветени на проучванията на пространствените умения и способности на слепите хора. Преобладаващото мнение е, че те имат по-слаби и по-малко ефективни пространствени възможности от зрящите. Въпреки това в много случаи се отчитат и доста силни страни на този процес.

В статията се разглеждат някои когнитивни особености в мисловния процеси при слепи математици. Описани са някои трудности в процеса на разбиране, както и силните страни в когнитивните процеси при слепите математици.

Традиционно се смята, че природо-математическите дисциплини са едни от най-трудните за хората с нарушено зрение, понеже в условията на нарушеното зрение са нарушени и представите за форма и пространство. Освен това математическите текстове са трудни за записване на брайловото писмо и ориентирането в тях е по-сложно.

В настоящата статия ще се спрем именно на тези предимства и ще се опитаме да дадем примери, които би могло да се използват за развиването на математическото мислене при слепи ученици.

Слепият математик Б. Морен1 отбелязва, че на зрящите студенти обикновено се преподава по такъв начин, че когато те мислят за пресичането на две равнини, те виждат равнините като двумерни образи, нарисувани върху лист хартия. За тях геометрията са тези образи. Те нямат никаква идея за равнини, съществуващи в естественото им пространство, казва Морен (Sossinski 1999). Тъй като незрящите студенти не използват чертежи, то за тях е естествено да мислят за равнините по абстрактен начин (Гроздев & Петрова 2014).

Б. Морен смята, че има два вида математическо въображение. Единият вид, който той нарича „подобен на времето“, се занимава с информацията чрез преминаване през поредица от стъпки. Това е видът въображение, което позволява да се извършват дълги изчисления. Никога не съм бил добър в изчисленията, отбелязва Морен, а слепотата задълбочава тази трудност (Sossinski, 1999). Това, в което той изпъква, е друг вид въображение, което нарича подобие на пространство и което дава възможност на човека да разбере цялата информация наведнъж.

Трудното при визуализирането на геометрични обекти е, че човек има тенденцията да вижда обектите само отвън, а не отвътре, което може да бъде много сложно. Този вид пространствено въображение изглежда по-малко зависимо от визуалните преживявания, отколкото от тактилните. Нашето пространствено въображение е предопределено от манипулирането с обектите, смята Морен. Извършвате движения с обекти чрез ръцете си, а не с очите си. Така че дали сте отвън, или отвътре, е нещо, което наистина е свързано с действията ви върху обекта (Sossinski, 1999). Тъй като е свикнал много с тактилната информация, Морен може за години напред да запамети формата на даден модел, с който е работил и е държал в ръцете си. Това не е чудно, понеже слепият човек не получава основната си информация за околния свят чрез зрението. За разлика от зрящия, който използва зрението си за опознаване на формата, големината, положението на обкръжаващите го предмети и по този начин не развива способностите ръцете му да дават тези познания, то за слепия тяхното развиване е абсолютна необходимост. Е. Петрова също подчертава, че зрителното четене на графики при зрително затруднени ученици трябва да се замени с тактилно разчитане на релефни изображения (Петрова, 2014).

Разбира се, тактилната информация не е толкова прецизна, колкото визуалната, но пък е по-сигурна, понеже се получава чрез пряк телесен контакт, а не от разстояние, както е при зрението и слуха.

Топология и слепота

Като се замислим, не е толкова изненадващо, че много слепи математици работят в областта не само на геометрията, но и на топологията. Това е така основно заради специфичната връзка, която се отчита при възприемането на света от слепия, и характеристиките на топологично неразличимите фигури. Например миризмата не може да се изрази количествено, не се дава с число външния облик на тялото, но топологията е намерила начини за количествено изучаване на някои качествени понятия – като например формите на различните тела. Преди всичко телата трябва да се класифицират по своите конфигурации, т.е. кои фигури смятаме за топологично еднакви. Ако чрез деформация една фигура се свежда към друга без каквито и да е разкъсвания, разрези и слепвания, двете фигури са топологично неразличими. Една топка сурова глина може да претърпи на грънчарското колело редица изменения, в които топологът не би видял смяна на формата. Ако натиснем с длан глинената топка отгоре, ще получим елипсоид вместо кълбо. Ако пък натиснем в средата с пръсти и разширим постепенно оформилата се вдлъбнатина, можем да направим чаша. Изтегляйки стените й, ще я превърнем в кана, на която дори можем да издърпаме чучурче. За тополозите всичко това е една и съща фигура. Но ако сега откъснем парченце глина и я залепим за каната като дръжка, ще получим абсолютно нова топологична фигура. Всъщност направили сме наведнъж две забранени операции – откъснали сме материал, а след това сме го залепили на друго място (Тяпкин & Шибанов, 1984).

Топологията характеризира геометричните тела само чрез свойства, които не се изменят при произволни преобразувания, с единственото условие да не се извършват разкъсвания и слепвания. Ето защо нито ъгловите, нито линейните размери на телата спадат към топологичните свойства. Затова пък свойството на фигурата да бъде едно цяло или пък да се състои от определен брой отделни парчета е топологично. Например, за да направим от „осмицата“ „две нули“ или обратно, ще ни се наложи или да разкъсаме едната фигура, или да слепим другите две. Размерността на фигурата е също топологичен признак. Без едновременното слепване на много точки тримерният куб няма как да се превърне в двумерен квадрат.

Точно тук се намира и предимството на един сляп математик – пространствените способности на слепия човек се основават на мозъка, който анализира информацията, получена чрез усещането за допир и чрез слуха, докато пространствените способности на зрящия човек се основават на мозъка, който анализира двумерно изображение, което се проектира върху ретината от триизмерния ни свят.

И в двата случая мозъкът създава гъвкави методи на пространствено представяне на базата на информация от сетивата. Сосински (Sossinski, 1999) отбелязва, че проучванията на слепи хора, които са възвърнали зрението си, показват, че способността да се възприемат някои основни топологични структури, като например колко дупки има даден предмет, е вероятно вродена. Така че един сляп човек, който е възстановил зрението си, в началото не може да направи разлика между квадрат и кръг, пише Сосински. Той просто вижда тяхната топологична равностойност. От друга страна, той веднага забелязва, че торът (фиг. 1) не е сфера (фиг. 2) (Sossinski, 1999).

Фигура 1. Тор2

Фигура 2. Сфера 3

Сферата и торът са добър пример на съществено различни топологични повърхнини. И има топологично свойство, по което те се различават: ако по повърхността на сферата – например по повърхността на топка, нанесем произволна затворена линия и срежем по нея тялото, то неизбежно ще се разпадне на две части. Но направим ли затворен разрез (дори по „екватора“) на един надуваем спасителен пояс, неговата тороидна повърхнина ще си остане цяла (Тяпкин & Шибанов, 1984).

С точно този вид математически дейности, обикновено затрудняващи виждащите хора, един сляп математик добива предимство пред зрящия – успешното търсене на характеристики на геометричните форми, които не се менят при разрешените в топологията преобразувания и които по тази причина се наричат топологични инварианти.

Сосински отбелязва също, че зрящите хора понякога имат и погрешни схващания за триизмерното пространство поради несъответстващата и подвеждаща двумерна проекция върху ретината. Слепият човек (чрез другите си сетива) има недоформирана тримерна интуиция за пространство, казва той (Sossinski, 1999). Затова не е чудно, че именно сляп математик – Б. Морен – за пръв път параметризира повърхнината на Бой (фиг. 3).

Повърхнината на Бой

В началото на 1960 г. Арнолд Шапиро създава начин за обръщане на сфера, но никога не го публикува (George & Morin, 1980). Той обяснява метода си на Морен, който вече бил започнал разработването на собствени подобни идеи.

Физикът Марсел Фройсарт също се интересува от проблема и предлага ключово улеснение за Морен – благодарение на сътрудничеството си с Фройсарт през

Фигура 3. Повърхнина на Бой4

Фигура 4. Б. Морен и модели на повърхнината на Бой5

1967 г. той първи показва хомотопия, която извършва обръщане на сфера (фиг. 5) (Phillips, 1966).

Самото понятие хомотопия произлиза от гръцки език (homós – еднакъв, подобен, и tópos – място) и се ползва в топологията за означаване на фамилия изображения, при които едно топологично пространство чрез деформация се изобразява в друго, като е налице изискването всяко следващо пространство да е в някаква степен подпространство на предходното.

Но нека се върнем на повърхнината на Бой. Да си представим, че ходим по права линия от едно до безкрайност по равна повърхност. Ако поставим по една точка в двата края на линията и съберем двете точки в една, линията се превръща в кръг.

Вселената може да наподоби това: ако разпръснеш светлина в безкрая, тя може, в крайна сметка, да свети зад теб. Този тип пространство се нарича проективно пространство (и може да е доста трудно човек да си го представи!).

Фигура 5. Хомотопия, която извършва обръщане на сфера6

Що се отнася до добавените точки в безкрайността, колко са те и как се свързват помежду си? Всяка прави линия се довършва (за да образува кръг) чрез добавяне на една точка. Учудващо, повече от една линия може да поделят една и съща добавена точка. За да придобием по-ясна представа, нека да „приближим безкрайността“, за да можем да я разгледаме по-обстойно. За целта ние ще конструираме биекция7 (хомеоморфизъм) от равнината до вътрешността на диска.

И така, моделирали сме равнина от вътрешната страна на диска. Къде да поставим точките на безкрайността? Отговорът е очевиден – ще ги сложим на границата на диска. Но тук има уловка. Знаем, че точките от двата края на линията трябва да са разпознаваеми. Затова, като си припомним двете точки на първоначалното им място – равнината, виждаме, че противоположните точки на границата на диска са всъщност една и съща точка в проективното пространство и трябва да бъдат идентични. За да онагледим точките в края на диска, ще използваме конец. Допираме двата края на конеца един до друг и после усукваме получения кръг така, че да се образува цифрата 8. След това прегъваме по средата така, че двете примки на осмицата да застанат една върху друга. Резултатът отново е кръг – кръгът на безкрайността. Сега нашата конструкция е завършена: всяка първоначална линия сега е кръг, а с добавения в безкрайността кръг създадохме проективна плоскост.

За да направим модел на проективната плоскост, трябва да вземем гумен диск и да свържем по някакъв начин противоположните точки на краищата на диска. Факт е, че това не може да се направи (в триизмерното пространство) без наличието на собствени точки на пресичане; дискът трябва да премине през себе си на някое място. Ето шест етапа на диск, който допира своите краища с цел да направи проективна плоскост (фиг. 6).

Фигура 6. Шестте етапа на диск, който допира своите краища8

В модела, постигнат като резултат от действията, всяко малко парче на диска прилича на леко сгънато парче от повърхност; в резултата няма гънки. Това състояние е познато като имерсия. Така създадохме конкретна имерсия, известна като повърхнината на Бой (Boy‘s surface).

Все още не е достатъчно ясно какво се случва на последните три картинки, затова да погледнем съответните връзки на ръба на диска (фиг. 7).

Фигура 7. Връзки на ръба на диска8

Нека сега погледнем по-отблизо тези точки на безкрайност. Според нашата конструкция има биекция между кръга с противоположни точки, идентифицирани (това е краят на диска) и прави линии през целия източник.

Изниква въпросът: къде са разположени точките на безкрайността, които са в края на правите линии и не преминават през източника? До коя от тези точки стигаме, ако тръгнем от някоя точка, далеч от източника?

Отговорът е, че успоредните линии имат еднакви крайни точки в безкрайността.

Този начин на мислене за проективната плоскост скрива нейната симетрия и хомогенност. Например кръгът в безкрайността произлиза от всички останали кръгове. За да избегнем объркване (или за да създадем такова), правите линии заедно със своите добавени точки и кръгът на безкрайността се наричат просто линии в проективната геометрия. Сега можем да кажем, че „всеки две различни линии се срещат в абсолютно една и съща точка“. По някакъв начин това прави проективната геометрия по-лесна от Евклидовата геометрия, където две линии могат или не могат да се срещнат.

Заключение

В заключение ще изтъкнем, че независимо от трудностите, пред които се изправят незрящите хора у нас, в частност и по отношение на навлизането в света на математиката, в нашата страна също се срещат слепи математици. Например н.с. Пенка Атанасова години е работила в Института по механика на БАН, учителите по математика в двете училища за деца с нарушено зрение във Варна и София д-р Елиза Петрова и Етиен Тодоров, които също са хора с нарушено зрение. Всичко това показва, че не съществуват реални ограничения за човешките възможности. Границите се намират само в съзнанието ни и те, а не физическите или менталните нарушения, поставят непреодолими бариери пред хора, които са талантливи, могат да реализират изумителни постижения и имат дарба в трудни и абстрактни области на познанието като математиката, която за мнозина от „нормалните“ и „здравите“ хора е недостижима.

БЕЛЕЖКИ

1. Историята за личния живот на Б. Морен е доста завладяваща. Роден през 1931 г. в Шанхай, където баща му работи в банка, Морен се разболява от глаукома в ранна възраст и е заведен във Франция за лечение. Завръща се в Шанхай, където на шестгодишна възраст ослепява напълно. И все пак той пази свои снимки от годините, в които е все още зрящ, и си припомня, че като дете е имал силен интерес към оптичните явления. Ранните му визуални спомени са особено живи, защото, докато расте, те не се заменят с други изображения.

След като ослепява, Морен напуска Шанхай и се връща във Франция за постоянно. Там той се обучава в училище за слепи до петнайсетгодишна възраст, когато постъпва в общообразователно учебно заведение. Интересува се oт математика и философия, но баща му, мислейки, че синът му няма да се справи с математиката, го насочва към философията. След като няколко години учи в ‚cole Normale Suprieure, Морен се разочарова от философията и се премества да учи математика. Учи при Анри Картан и се присъединява към Националния център за научни изследвания като изследовател през 1957 г.

2. http://bg.wikipedia.org/wiki/Тор_%28геометрия%29

3. http://bg.wikipedia.org/wiki/Сфера

4. http://en.wikipedia.org/wiki/Boy%27s_surface

5. http://torus.math.uiuc.edu/jms/Photos/MathArt/Maubeuge/dickson-morin/)

6. http://en.wikipedia.org/wiki/Bernard_Morin

7. Биекция е всяко изображение, което е едновременно сюрективно и инективно. С други думи, това е всяко съответствие между две множества Aи B, при което на всеки елемент от множеството A съответства един и само един елемент от множеството B, като всеки елемент от множеството B е образ на точно един елемент от множеството A.

8. http://homepages.warwick.ac.uk/~maaac/proj.pdf

ЛИТЕРАТУРА

Гроздев, С., Петрова, E. (2013). Върху преподаването на математика на ученици със зрителни увреждания, Математика и информатика, т. 56, 4, 314 – 316.

Замфиров, М. (2012). Приносът на слепите математици в алгебрата и геометрията, Годишник на Софийския университет „Св. Климент Охридски“, Факултет по начална и предучилищна педагогика, т. 104, 57 – 66.

Петрова, Е (2014). Формиране на математически умения у ученици 1. – 4. клас с увредено зрение. Автореферат на дисертационен труд: Пловдив.

Тяпкин, А., А. Шибанов (1984). Поанкаре. София: Наука и изкуство.

George, K., B. Morin (1979). Arnold Shapiro’s eversion of the sphere. Mathematical Intelligencer, 4, 145 – 147.

Phillips, A. (1966) Turning a surface inside out. Scientifi c American, v. 214, 5, 30 – 45.

Sossinski, A. (1999) Noeuds: Genese d’une Theorie Mathematique. Paris: Editions du Seuil.

REFERENCES

Grozdev, S., Petrova, E. (2013). Varhu prepodavaneto na matematika na uchenitsi sas zritelni uvrezhdaniya, Matematika i informatika, t. 56, 4, 314 – 316.

Zamfirov, M. (2012) Prinosat na slepite matematitsi v algebrata i geometriyata, Godishnik na Sofiyskiya universitet „Sv. Kliment Ohridski“, Fakultet po nachalna i preduchilishtna pedagogika, t. 104, 57 – 66.

Petrova, E (2014). Formirane na matematicheski umeniya u uchenitsi 1. – 4. klas s uvredeno zrenie. Avtoreferat na disertatsionen trud: Plovdiv

Tyapkin, A., A. Shibanov (1984). Poankare. Sofiya: Nauka i izkustvo

George, K., B. Morin (1979). Arnold Shapiro’s eversion of the sphere. Mathematical Intelligencer, 4, 145 – 147.

Phillips, A. (1966) Turning a surface inside out. Scientifi c American, v. 214, 5, 30 – 45.

Sossinski, A. (1999) Noeuds: Genese d’une Theorie Mathematique. Paris: Editions du Seuil.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.