Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2013/2, стр. 104 - 112

ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев
E-mail: sava.grozdev@gmail.com
Professor Doctor in Mathematics DSc in Pedagogy
Institute of Mathematics and Informatics – BAS
Acad. G. Bonchev Street bl. 8
1113 Sofia Bulgaria
Борислав Лазаров
E-mail: byl@abv.bg
Associated Professor Doctor in Pedagogy
Institute of Mathematics and Informatics – BAS
Acad. G. Bonchev Street bl. 8
1113 Sofia Bulgaria

Резюме: В статията е представен обзор на идеите за мястото и ролята на експеримента в обучението по математика.

Ключови думи: Socratic style, experimental approach, synthetic competence, individual educational trajectory.

1. Някои идеи от Великата дидактика на Коменски

В своя фундаментален труд Великата дидактика Коменски (Comenius, 1638) пише:

У учениците първо се разработват външните чувства (това е най-лесно), после паметта, по-нататък разбирането и, накрая, – съждението. Именно в такава постепенност те следват едно след друго, тъй като знанието започва от чувственото възприятие, с помощта на въображението преминава в памет, а после чрез обобщение на единичното се формира разбиране на общото и накрая за уточнение на знанията за нещата, които са достатъчно понятни, се съставя съждение. (ibid, 28, VII)

Краткият цитат съдържа метод, като дава и когнитивно-психологическа обосновка за начина, по който протича образователният процес в резултат на метода. Тук виждаме ясно очертан план за построяване на образователна система, основана на емпиричното извеждане на познанието. Коменски обвързва образователния процес с ежедневния опит (ibid, 28, VI):

Учебният материал се разполага така, че първо да се усвои това, което е най-близко, след него – не толкова отдалеченото, после по-отдалеченото и накрая – най-отдалеченото. Затова, когато на учениците се предлагат правила (например правилата на логиката, правилата на риториката и др.), те трябва да се разяснят с примери, не далечни от тяхното разбиране – например богословски, политически и пр., а примери, заимствани от ежедневието. Иначе учениците няма да разберат нито правилото, нито приложението му.

Коменски разглежда включването на сензорно-моторния апарат на ученика като решаващ компонент в метода си:

Например слухът постоянно трябва да се съединява със зрението, езикът (речта) с дейност на ръцете. Следователно за това, което трябва да се знае, трябва не само да се разкаже, че да бъде възприето със слуха, но то трябва да се нарисува, за да може чрез зрението предметът да се запечата във въображението. От своя страна нека учениците да се учат незабавно да произнасят на глас наученото и да го изразяват с дейности с ръцете си. Не трябва да се отстъпва нито от един предмет, докато той не се запечата достатъчно в ушите, очите, в ума и паметта. А за тази цел е полезно всичко, което обикновено се изучава във всеки клас, дали теореми или правила ..., да се изобразява нагледно на стената в същата аудитория. (ibid, 42)

Съвременно развитие на идеите на Коменски могат да се проследят в работите на Н. Розов и А. Боровских (Розов & Боровских, 2010). Принципиално важно, определящо и основополагащо според тях е, че за съдържателен анализ на дейността е необходимо тя да се разглежда в нейната цялост, структурирайки я чрез включените в нея функции, а не чрез действията, които се реализират в нея или чрез индивидите, които я осъществяват. Само такъв подход позволява да се разбере и да се осъзнае централният път в педагогиката за въвличане на човека в дейност – не чрез сумиране на факти за едни или други обекти, не чрез старателно колекциониране на операционни знания, а чрез качествено изменение с нейна помощ на социалната й функция и роля. Психологическият механизъм за ефективно придвижване по този път се формира още в предучилищна възраст, в детската игра. И от по-нататъшното развитие на този механизъм зависи в крайна сметка дали младият човек ще се превърне в обществено пълноценна личност или ще получи второстепенна роля. Най-общо казано всяка философия израства в съответна човешка дейност. Различните философски възгледи и идеи се раждат не от абстрактни откровения или мъдри силогизми, а от опитите да се разбере и реши съответна реална задача.

2. Методът на Сократ, представен в диалозите на Платон

До Коменски от векове битуват образователни системи, в които познанието има идеален характер. Исторически такъв стил произтича от Платон, чийто метод е диалектическата беседа. В своите Диалози Платон приписва авторството на диалектическия метод на Сократ (Платон, 382 пр.н.е.). Така до ден днешен е останало названието „сократов метод“. Съгласно Андреев (Андреев (1996), с. 49) методът представлява лекция-беседа, в която учителят предварително премисля и предлага на слушателите както верни, така и неверни идеи, а учениците ги приемат или опровергават, показвайки по този начин своето възприемане на беседата.

За разлика от Коменски, Платон порицавал всякакви позовавания на сетивното. Съгласно Плутарх, когото цитираме по Ван дер Варден (Ван дер Варден, 1968, с. 225):

Сам Платон порицал хората около Евдокс, Архит и Менехъм, които искали да сведат удвояването на куба до механични построения ..., защото по такъв начин се разрушава и унищожава благото на геометрията, защото геометрията се връща обратно към сетивното, вместо да се издигне над него и твърдо да се придържа към вечните, нематериални образи...

Можем да разберем позицията на Платон, доколкото той се е занимавал с елитарно образование. В неговата Академия не се допускал този, който не знаел геометрия. Резултатите от такова обучение обаче са впечатляващи, като вземем предвид даже само един неин випускник – Аристотел. Самият Аристотел критикувал питагорейците, че не правят достатъчна разлика между математическите и материалните неща. (ibid,с219)

Независимо от това, сократовият метод извежда познанието индуктивно, което, както посочихме, е основополагащо в идеите на Коменски. Ясно е, че до Платон стилът в обучението също се е основавал на опита с материалния свят.

В днешно време такъв стил може без усилие да се проследи, например в теориите на В. Давидов.

Согласно диалектико-материалистической философии, деятельность человека связана с творческим преобразованием предмета. Усвоение школьником тех или иных знаний в форме учебной деятельности всегда начинается с творческого преобразования усваиваемого им материала. Своеобразие учебной деятельности состоит в том, что в процессе ее осуществления школьник усваивает теоретические знания. Их содержанием является происхождение, становление и развитие какого-либо предмета. (Давидов,1991)

Приведеният кратък историческия преглед ясно показа лъкатушенето и преплитането на дидактическите идеи. Това става и в днешни дни.

3. Какво е inquiry based education

Терминът inquiry-based science education (IBSE) е въведен в т. нар. докладРокар. Inquiry-Based Science Education is a problem-based approach but goes beyond it with the importance given to the experimental approach. (European Commission,2007, р. 9). В свободен превод, това е метод, основан на решаването на задачи, допълнен с експериментални дейности. Преди това в доклада се прави въвеждащо уточнение:

По определение „inquiry“ (изследване, проучване ) е съзнателен процес за класифициране на проблем, оценяващи експерименти, разграничаване на алтернативи, планиране на проучване, изследване на хипотези, събиране на информация, създаване на модел, обсъждане в екип, професионален кръг и формиране на ясни изводи.

В обучението по математика вместо IBSE се използва изразът Problem-Based Learning (PBL). Всъщност в математическото образование по-лесно се реализира методиката, основана на решаване на задачи, понеже в много случаи използването на експеримент е по-трудно. PBL описва такава среда, в която обучението се реализира чрез задачи, т.е. обучението започва с поставяне на задача за решаване и то по такъв начин, че учениците трябва да добият ново знание преди да решат задачата. Вместо да отбележат правилен отговор те интерпретират задачата, събират нужната информация, идентифицират решения, оценяват възможности, представят заключения. (ibid.)

Напоследък от IBSE отпадна S(cience). Преводът на inquiry based education като изследователски ориентирано обучение беше предложен от втория автор на настоящата статия в негов непубликуван доклад на семинара „Дидактическо моделиране“ от 31 май 2010 г. В доклада се визираше модел за обучение на учители, внедряващи системи за динамична геометрия в преподавателската си практика в горния курс (Lazarov, 2011). Доколко е удачен такъв превод извън контекста на доклада, ще проличи от следващите редове. У нас изразът изследователски подход в определени среди се свързва най-вече с приложение на информационни технологии (предимно динамичен софтуер) в обучението на ученици от прогимназията.

4. Няколко мнения за ефекта от ранно внедряване на експериментални дейности в математическото образование

Както се вижда от определението за IBSE, новаторският елемент е в разширяване на полето за експериментална работа по математика. В тази връзка възникват серия въпроси, основен измежду които е доколко може да се изгражда емпирично математическо познание. Изследванията на Батиста върху учене, основано на приложение на Geometer’s Sketchpad, показват, че при работа с динамични конструкции учениците успяват да доведат до определено ниво на абстракция отделни действия, като интегрират тези абстракции в мисловни модели относно формата на геометрични фигури. Всичко това става в пред-доказателственото изучаване на геометрията. Батиста установява, че работейки с програмата Shape Maker ученическото мислене еволюира от визуално възприятие към мислене, основано на свойствата (property-based thinking). (Battista, 2001)

Това, разбира се, е сериозно движение в посока изграждане на база, върху която да се развива пълноценно математическо образование или поне определени математически знания, умения и компетенции (ЗУК). Друг е въпросът кои от така придобитите ЗУК са преносими в условията на систематичното изграждане на геометрията. В тази връзка Мариоти пише:

Математическите идеи, инкорпорирани в интерактивни системи, получават конкретност, която ги прави обработваеми (manipulable) и в същото време съдържанието им изкристализира от абстрактния процес, вследствие на взаимодействието със системата. В процеса на решаване на задачи учениците са способни да направят решение, което би могло да се разглежда като резултат едновременно на абстракция и обобщение, но такова решение, както и свързаните с него процеси, е строго обвързано с конкретната задача и конкретната среда, в която е поставена задачата. С други думи, подобни абстракции са ситуативни. .. В частност, вербални описания могат да съдържат математически термини, които да са правилно използвани, но независимо от това смисълът им е относителен, отнасят се до ситуативни абстракции. (Mariotti, 2002)

По този начин едно от основните достойнства на математиката – универсалният характер на нейните резултати – остава на заден план в математическото образование. Връщането към египетско-вавилонски модел на математиката, по наше мнение, е сериозно цивилизационно отстъпление. Веднага трябва да по-ясним: не защитаваме тезата, че ранно въвеждане на експериментален подход е вредно; просто трябва да не се фаворизира твърде много ефектът от този подход, докато не се получат убедителни доказателства за предимствата му. Но това, което е ясно със сигурност, е, че изнесените резултати не дават основание да се говори за изследователски подход в ранна възраст в смисъла на inquiry based от доклада Рокар.

5. Развитието на средата за експериментиране

Съвременните интерактивни динамични среди дават широки възможности за експериментиране от най-ранна възраст. На практика математическото образование се обогати със своя лаборатория. Още в началото на 90-е години на миналия век стана ясен големият дидактически потенциал на подобни образователни среди (Laborde&Laborde, 1991). През 1993 г. се появи образователната среда на Geometer’s Sketchpad и непосредствено след това една чудесна методическа разработка на покойния наш колега Любомир Давидов, за която нямаме сведения да е публикувана. 1

Истински разцвет на новаторски подходи и практики настъпи в края на 90-е години, когато компютрите станаха масово достъпни за учениците, а много и качествен компютърен софтуер беше със свободен достъп (Gardiner, 2002). 2 По това време положителният ефект от експерименталната дейност в обучението по математика се оценява и на институционално ниво. Ето какво е написано във френската програма за 10. клас:

Компютрите позволяват квази-експериментален подход в областта на числата и фигурите от равнината и пространството. Те стимулират по-активно отношение и включване на учениците (в учебния процес, б.а.)... Компютърната среда позволява чрез експериментиране едно понятие да бъде разгледано от множество различни гледни точки; средата допринася за развитие на абстракциите, специфични за математиката, и води до по-дълбока рефлексия и по-добро разбиране. Цитираме по (Laborde, 2001).

От многобройните разработки в тази насока ще се спрем на т. нар. проект SINUS на Университета в Байройт (Baptist et al., 2012). Този проект започва с пилотно изследване през 1998 г., а е реализиран като масова педагогическа практика в периода 2003-2007 г. в Германия. Постигнатите впечатляващи резултати оказват влияние в няколко страни в Европа, включително у нас, включително сега. Централно място в декларирания стремеж към ново преподаване на математиката е експерименталният подход, реализиран в комбинирана среда – основно компютърни модули на основата на програмата GEONExT, а също водене на записки в обикновени тетрадки. Към характеристиките на експерименталния подход към математиката се причисляват:

– задачи с отворен отговор, позволяващи активно ангажиране на учениците;

– жива дискусия между учениците относно анализа, решението и интерпретирането на задачите;

– насърчаване на учениците да генерират въпроси и свои обобщения;

– прозрението, че математиката е стимулираща дисциплина, пълна с предизвикателства. (ibid., III, p 6)

В дидактическия инструментариум за експериментален достъп към математиката (experimental access to Mathematics) се набляга на независими подходи към ученето от страна на учениците (ibid.,I, pp 16-17). Изброяват се 8 такива подхода, един от които е 1earning by discovery, което бихме превели като учене чрез преоткриване. Това е подходът (един от осем), съответстващ на изследователски-ориентиран подход в смисъла, който ние влагаме. Искаме да подчертаем, че методическите разработки са за ученици от горния курс. В същото време в долните класове се отделя голямо внимание на използването на манипулативи: кубчета, пръчици и т.н.

6. Преоткриването като подход в математическото образование

Тук ще стане дума за ролята на преоткриването като дидактически прийом. Пръв, по наше сведение, Фройдентал го извежда в явен формат. Той има предвид ученикът да се поставя в ситуации, в които да се чувства откривател, например като се смени стила: вместо „съществува някакво δ“ да се казва „аз търся някакво δ”; вместо „от p следва q“ да се казва „от p аз извеждам q“ (Фройдентал, 1982, с. 86). Ключов похват е сократовият метод, като се има предвид съвременната форма (например, както е описана от Андреев – вж. по-горе). В българската педагогическа практика такъв похват е използван от изявени учители, например чрез подходящи системи от задачи (Савова&Димитрова, 2009). При определени условия преоткриването в рамките на решаването на задачи от висша трудност прераства в евристика с дълготраен положителен ефект, каквито многобройни случаи са описани в (Grozdev, 2007).

Не по-малко са познатите ни случаи на действително нови резултати, получавани от ученици. Това обаче не може да става в клас. Индивидуалният подход в извънкласни форми е обширна тема, която не е предмет на настоящата статия.

Преоткриване на съдържателни математически резултати в класно-урочни форми не сме регистрирали даже в класове от най-най-най-високо ниво, каквото може да си представим в реално училище. Напротив, забелязване на инварианти, на ГМТ и други съществени елементи от дадена тема са присъщи на изявените ученици при работа в динамична геометрична среда, най-вече в елитни математически гимназии. Много силен евристичен ефект има работата по създаване на динамически устойчиви конструкции, което при работа в клас изисква внимателно формулиране на проблемната ситуация, както и гъвкав подход в сократов стил от страна на учителя.

7. Вместо заключение

Ще приведем резултата от един експеримент, проведен в две групи от по 50 ученици (статистически значима извадка). Едната група е използвала графични калкулатори, другата не е ползвала (друго освен лист и молив). Трябвало е да се пресметне границата на ln x + 10 sin x при x → + . В групата без калкулатори всички ученици отговорили вярно; в групата с графични калкулатори само 10% от учениците са дали верен отговор. (Guin & Trouche, 1999)

С този пример нямаме намерение да хвърлим сянка върху положителния ефект от експерименталния подход в горните курсове. Искаме да подчертаем, че: 1) придобиваните ЗУК са ситуативни; 2) преносът на ЗУК е контекстно обвързан; 3) трябва много да внимаваме какво преоткриват подопечните ни „изследователи“.

ЛИТЕРАТУРА

Андреев, М. (1996). Процесът на обучението. София: УИ „Св. Кл. Охридски“.

Давыдов, В. (1991). Учебная деятельность: состояние и проблемы исследования. Вопросы психологии. № 6, ноябрь-декабрь.

Платон (1986). Диалоги. Москва: Мысль.

Фройденталь, Г. (1982). Математика как педагогическая задача. Часть I. Москва: Просвещение. Москва.

Розов, Н. & Боровских, А. (2010). Деятельностые принципы в педагогике и педагогическая логика. Москва: МАКС Пресс.

Савова, Б. & Димитрова, Н. (2009). Изследователски ориентирано обучение с традиционни средства. Дидактическо моделиране. Том 3.

Baptist, P., Miller, C. & Raab, D. (eds.). (2011). Towards new teaching in Mathematics, Part I, II, III. Bayreuth: University of Bayreuth.

Battista, M. (2001). Shape Makers: A computer environment that engenders students’construction of geometric ideas and reasoning. In: Tooke, J. &Henderson, N. (eds) (2001). Using information technology in Mathematics education. NY: Haworth Press, pp 105-120.

Guin, D. & Trouche, L. (1999). The complex process of converting tool into mathemtical instruments: the case of calculators, International Journal of computer for mathematical learning, 3 (3), pp 195-227.

Grozdev, S. (2007). Fof high achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice) . Sofia: ADE.

Laborde, C. & Laborde, J. M. (1991). Problem solving in geometry: from microworlds to intelligent computer environments, Ponte et al. Mathematical problem solving and new information technologies, Nato ASI series F, vol. 89, pp 177-192.

Laborde, C. (2001). Integration of technology in the design of geometry tasks with cabri-geometry. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6, pp 283–317.

Lazarov, B. (2011). Socratic style teaching and synthetic competence building in extracurricular Mathematics education. Astana: DARYN.

Mariotti, MA. (2002). Influence of technologies advances on students’math learning. In English et al. (eds.) Handbook of International Research in Mathematics Education. Lawrence Erbaum Associates.

БЕЛЕЖКИ

Comenius (1638). Didactica magna. Цитира се по Коменский, Я. Великая дидактика. http://jorigami.ru/PP_corner/Classics/ Komensky/Komensky_Yan_Amos_Velikaya_ didakt_izbr.htm#_Toc237611321

European Commission (2007). Science Education now. http://ec.europa.eu/research/ science-society/document_library/ pdf_06/ report-rocard-on-science-education_ en.pdf (active in Feb 2013)

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Canatalay, Ashima, Kukkar, Sadiq Hussain, Arun Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa Mahareek, Abeer Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
EDITORIAL / КЪМ ЧИТАТЕЛЯ

Сава Гроздев

STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić, Шефкет Арсланагич

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.