Математика и Информатика
Вход / Регистрация

https://doi.org/10.53656/math2023-5-7-alg

2023/5, стр. 524 - 533

АЛГОРИТЪМ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА С MS EXCEL SOLVER

Мариян Милев
OrcID: 0000-0002-1756-3358
E-mail: m.milev@feb.uni-sofia.bg
Department of Statistics and Econometrics
Faculty of Economics and Business Administration
Sofia University “St. Kliment Ohridski”
Sofia Bulgaria
Велика Кунева
OrcID: 0000-0001-6112-681X
E-mail: kuneva.1977@abv.bg
Departament of Mathematics and Informatics
Faculty of Economics Agricultural University of Plovdiv
12 Mendeleev Blvd.
4000 Plovdiv Bulgaria

Резюме: В настоящата статия е представено приложно решаване на транспортна задача с помощта на софтуер MS Excel (solver). Едно от предимството на алгоритмичните задачи е, че може да се реши чрез подходящ софтуер, който значително разширява практическото им приложение, свързано с обработката на данни и изпълнение на многобройни изчислителни операции.

Ключови думи: транспортна задача; MS Excel Solver

1. Увод

Много математически модели на основни икономически задачи (Eiselt et al. 2002), (Winston 2002), (Tahan 2017), произлизащи от производството (Anderson et al. 2012), (Dvorkin et al. 2023), са свързани с оптимизационни методи като симплекс метод и транспортна задача (Marinov et al. 2016). Последните са известни още като количествени методи в икономиката (Ivanov & Lomev 2008), (Slavkova & Tzenova 2011), (Anderson et al. 2012), но изследването на математическата им основа допринася за изясняване на тяхното значение за практиката (Ivanov 2020), (Faizullin et al. 2022). Голяма част от икономическите задачи могат да бъдат формулирани като линейни математически модели (Ivanov 2004) и е наложително владеенето на съответни математически умения за съставяне на подходящи математически модели, както и знания, свързани с методите за тяхното решаване (Ivanov et al. 1989), (Luenberger & Ye 2008), (Ivanov & Tanov 2018). Най-ефективното от множеството на всички възможни решения сe нарича оптимално.

Между задачите на линейното оптимиране (разпространен е още терминът линейно програмиране) могат да се отделят някои класове задачи, които имат определени структурни особености. За тези задачи общите методи на линейното оптимиране могат съществено да се опростят или да се построят методи, по-ефективни от традиционния за тях симплекс-метод.

Задачата, която разглеждаме тук, е била формулирана през 1939 г. от няколко автори и е известна класическа транспортна задача (Slavkova & Tzenova 2011). В предговора към (Ivanov & Kaltinska 1973) проф. Бл. Сендов отбелязва, че „теорията е сравнително много млада“, но „важността на методите на линейното оптимиране за решаване на производствено-икономически задачи изисква тази теория да се овладее масово“.

Въпреки името си, произхождащо от първоначално решаваната задача, методът, използван за решаване на транспортната задача, се прилага при решаване на разнообразни типове задачи, свързани с определяне, обработка и изразходване на ресурси, управление на запаси, съставяне на работни графици и смени, на маршрути не само в транспорта, а например и в компютърните мрежи. За подготовката на настоящия ръкопис са използвани (Ivanova et al. 2011), (Marinov et al. 2016), (Ivanova et al. 2018) и (Kuneva et al. 2021).

2. Формулировка

Транспортната задача (ТЗ) се формулира по следния начин. В пунктовете \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}\) (наречени производители) се произвежда продукция в количества \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\), съответно. Пунктовете \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}\) (наречени потребители) се нуждаят от същата продукция в количества \(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\) съответно. Между производството и потреблението има баланс, т.е. \(\sum_{i=1}^{m} a_{i}=\sum_{j=1}^{n} b_{j}\). Транспортните разходи за превоза на единица продукция от пункта \(A_{i}, i=1,2, \ldots, m\), до пункта \(B_{j}, j=1,2, \ldots, n\), са \(c_{i j}\). Да се състави план за снабдяването на пунктовете \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}\) с продукция от пунктовете \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}\), така че потребностите на потребителите да бъдат задоволени, стоката на производителите да бъде пласирана и общите транспортни разходи да бъдат минимални.

Тази формулировка на транспортната задача е предложена за първи път от Л. В. Канторович през 1939 г.

Таблица 1

12…11112…1122122…22………………12…12…

Обикновено един екземпляр на транспортната задача се задава с така наречената транспортна таблица (табл. 1), която е достатъчна за дефинирането на задачата.

Матрицата \(C=\left\|c_{i j}\right\|, i=1,2, \ldots, m ; j=1,2, \ldots, n\), се нарича матрица на транспорт-ните разходи.

Да съставим математическия модел на задачата. За целта с \(x_{i j}\) да означим количеството продукция, изпратена от производителя \(A_{i}, i=1,2, \ldots, m\), до потребителя \(B_{j}, j=1,2, \ldots, n\).

Матрицата \(X=\left\|x_{i j}\right\|, i=1,2, \ldots, m ; j=1,2, \ldots, n\), се нарича матрица на превозите. Ако всеки елемент \(x_{i j}\) от тази матрица поставим в клетката \((i, j)\) на транспортната таблица, получаваме т.нар. разширена матрица на превозите.

Целевата функция, отразяваща общите транспортни разходи, е линейна и има вида:

\[ \begin{gathered} L(X)=c_{11} x_{11}+c_{12} x_{12}+\cdots+c_{1 n} x_{1 n}+ \\ +c_{21} x_{21}+c_{22} x_{22}+\cdots+c_{2 n} x_{2 n}+ \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ +c_{11} x_{11}+c_{12} x_{12}+\cdots+c_{1 n} x_{1 n} \end{gathered} \]

Ограничителните условия, наложени на променливите \(x_{i j}\), също са линейни уравнения.

1. Поради това, че продукцията на всеки производител трябва изцяло да се пласира, са в сила равенствата:

\[ \begin{gathered} x_{11}+x_{12}+\cdots+x_{1 n}=a_{1} \\ x_{21}+x_{22}+\cdots+x_{2 n}=a_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_{m 1}+x_{m 2}+\cdots+x_{m n}=a_{m} \end{gathered} \]

2. Поради това че трябва да бъдат задоволени потребностите на всички потребители, трябва да е изпълнено:

\[ \begin{array}{r} x_{11}+x_{21}+\cdots+x_{m 1}=b_{1} \\ x_{12}+x_{22}+\cdots+x_{m 2}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_{1 n}+x_{2 n}+\cdots+x_{m n}=b_{n} \end{array} \]

Всички превозени количества продукция \(x_{i j}\) трябва да са неотрицателни, т.е. \(\quad x_{i j} \geq 0\). Аналогично, количествата \(a_{i}, i=1,2, \ldots, m\) и \(b_{j}, j=1,2, \ldots, n\), трябва да са положителни. Като имаме предвид, че целта е минимизиране на общите транспортни разходи, получаваме следния математически модел на ТЗ (записан в съкратен вид).

Да се намери минимумът на линейната функция \(L(X)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{i j} x_{i j}\) при следните ограничителни условия: \(\sum_{j=1}^{n} x_{i j}=a_{i}, i=\overline{1, m}, \sum_{i=1}^{m} x_{i j}=\) \(b_{j}, j=\overline{1, n}, x_{i j} \geq 0, i=\overline{1, m}, j=\overline{1, n}\), и при условия за съществуване на баланс между произведена и използвана продукция, т.е. \(\sum_{i=1}^{m} a_{i}=\sum_{j=1}^{n} b_{j}\).

Така формулираната транспортна задача с условието за баланс се нарича затворена транспортна задача.

3. Алгоритъм на решаване на транспортна задача с MS Excel Solver

MS Excel (използвана е версията MS Excel 2016) разполага с модул за решаване на оптимизационни задачи. Модулът се нарича Solver и може да бъде намерен в менюто Data („Данни“). Преди първото му използване модулът трябва да бъде активиран. Това става в следната последователност:

– стартираме MS Excel;

– от меню „Файл“ (File) избираме „Опции“ (Options);

– отваря се диалоговата кутия „Опции„ на Excel;

– от подменюто „Добавки“ (Add-in) намираме падащото меню „Управление“ (фиг. 1), от списъка с възможности избираме „Добавки“ на Excel и натискаме бутона „Почни“…;

– в отворилия се диалогов прозорец поставяме отметка в кутията „Добавка решател“ (Solver) и натискаме бутона ОK;

– затваряме диалоговата кутия с бутона OK.

Фигура 1. Диалогова кутия за активиране на Solver

По този начин вече разполагаме с програмата за решаване на оптимизационни задачи в MS Excel. Отваряме работен лист, в който да въведем данните за транспортната задача, на която търсим оптимално решение. За илюстрация на възможностите на MS Excel ще решим една транспортната задача от затворен тип.

А. Попълване на работния лист

На фиг. 2 е показан работен лист в електронна таблица, в който въвеждаме данните на транспортна задача.

1. Въвеждаме стойностите на транспортните разходи в клетките С3:F5, в клетките G3:G5 – константите от матрица \(A\left(A_{i}\right)\), а в клетки C6:F6 – константите от матрица \(B\left(B_{i}\right)\) на задачата.

2. Подготвяме празно копие на таблицата, както е показано на фигурата.

3. В клетка I8 въвеждаме формулата, по която се пресмята стойността на целевата функция, т.е. \(=\) SUMPRODUCT(C3:F5;C11:F13). Препоръчва се преди извикването на Solver текуща да е клетката с целевата функция – в случая клетка I8.

Фигура 2. Електронна таблица с модела на задачата

а.б.

Фигура 3. Сумиране количествата на потребителите (а) и производителите (б) Задължителните условия за неотрицателност се въвеждат по-нататък.

3. В клетка C14 на втората таблица въвеждаме формулата \(=\) SUM(C11:C13) и след щракване с мишката в нея се появява нула. След това разпространяваме формулата и в клетките D14:F14, където също се показват нулеви стойности (фиг. 3а). Аналогично въвеждаме формулата =SUM(C11:F11) в клетка G11 и я разпространяваме в клетките G12 и G13 (фиг. 3б).

Фигура 4. Диалогова кутия Solver Parameters

Б. Решаване на задачата

След въвеждане на входните данни и изписване на формулите поставяме фокуса в клетка I8, където сме въвели формулата за изчисляване стойността на целевата функция от меню „Данни“ (Data) → Solver, с натискане на бутона Solver отваряме диалоговата кутия Solver Parameters. (фиг. 4). В текстовата кутия Set Objective автоматично се изписва адресът I8.

Фигура 5. Диалогова кутия Add Constraint

От радиобутоните To избираме съответния на модела критерий, който в разглежданата задача е Min. В текстовото поле By Changing Variable Cells въвеждаме клетките, в които се намират стойностите на променливите на задачата – в примера това са клетките C11:F13, по които се минимизира целевата функция.

В полето Subject to the Constraints с бутона Add се въвеждат ограниченията, с бутона Change се правят изменения, а с бутона Deleteсе изтриват съществуващи ограничения. При натискане на бутона Add се отваря диалоговата кутия за добавяне на ограничителни условия (фиг. 5).

Чрез диалога Add Constrain едно по едно се попълват ограниченията на задачата, като за всяко ограничение попълваме: клетките от лявата страна на ограничителното условие – в полето Cell Reference; вида на ограничението: int, <=, =, >= и т.н. от списъка на безименната комбинирана кутия;клетките или константите от дясната страна на ограничителното условие в полето Constraint.

Когато приключим въвеждането на текущото ограничение, натискаме бутона Add, ако трябва да въведем ново огрaничение, или бутона OK, ако въвеждането е приключило.

След като се върнем в диалоговата кутия Solver Parameters, поставяме отметка в полето Make Unconstrained Variables Non-Negative, защото всички променливи в задачата трябва да са неотрицателни. От списъка на комбинираната кутия Select a Solving Method избираме Simplex LP (това е най-често използваният алгоритъм за решаване на транспортната задача, известен като симплекс метод). Не се препоръчва промяна на останалите елементи в диалоговата кутия.

Стартираме решаването на задачата, като натиснем бутона Solve в диалоговата кутия Solver Parameters. Резултатът е показан на фиг. 6.

Фигура 6. Диалоговата кутия Solver Results

В диалоговата кутия Solver Results се дава информация за резултата от извършената оптимизация. В конкретния случай се оказва, че за полученото решение всички ограничителни условия и условия за оптималност са удовлетворени. Оптималните решения са показани в клетките C11:F13 на таблицата и както е показано в целевата клетка I8, цената на намерения оптимален план е \(L_{\text {min }}=180\).

В диалоговата кутия Solver Results се дава възможност да се запази в таблицата намереното оптимално решение (с избиране на радиобутона Keep Solver Solution) или да се възстанови първоначалният вид на работния лист (с избиране на радиобутона Restore Original Values). От тази диалогова кутия има възможност да се изработи справка с решението на задачата (Answer в полето Report).

Такъв подход е използван при разработката (Dallev et al. 2021).

4. Заключение

От предложеното описание и представеното решение на транспортна задача в MS Excel, с ползване на възможностите на MS Excel Solver, могат да се направят следните изводи.

Използването на софтуерни приложения значително ускорява изчислителните процедури.

Разгледаната функционалност на добавката Solver може да се използва както за решаване на задачи от транспортен тип, така и за решаване на задачи и в други области.

Предложеният алгоритъм за описание на транспортна задача и нейното последващо решение, чрез ползване на MS Excel Solver, е лесно приложим.

REFERENCES

ANDERSON, D., SWEENEY, D, WILLIAMS, T, CAMM, J, MARTIN, K., 2012. An Introduction to Management Science, Quantitative Approaches to Decision Making, Ninth edition, South-Western Cengage Learning, USA.

DALLEV, M., KUNEVA, V, 2021. Optimization Model for Fertilization Operations, Scientific Papers. Series E-L, Land Reclamation, Earth Observation& Surveying, Environmental Engineering, vol. 10, pp. 85 – 88.

DVORKIN, L., ZHITKOVSKY, V., BORDIUZHENKO, O., RIBAKOV, Y., 2023. High Performance Concrete Optimal Composition Design, ISBN 978100096276-5, 978-103241386-0, DOI 10.1201/9781003357865, 1 – 2001.

EISELT, H.A., SANDNLOM, C.L., 2002. Operations research: A model-based approach. Springer Nature.

FAIZULLIN, R., PAVLOV, I, KONSTANTINOV, P., 2022. Methodology for Optimizing Supply Chains, Proceedings of SPIE – The International Society for Optical Engineering, 12251,122510U.

IVANOV, G., KALTINSKA, R., 1973. Numerical methods (textbook for 10th grade of general education labor polytechnic schools, ed. acad. B. Sendov), Technika, Sofia.

IVANOV, I., KYUCHUKOVA, V., KALTINSKA, R., KARAMITEVA, Z., DONCHEV, A., MITEV, Y., MILANOV, P., KIROV, N., KUNCHEV, O., 1989. Mathematical Optimization Problem Solving Guide, Jusautir, Sofia, 36/9534612431/4805-33289.

IVANOV, I., 2004. Duality in Linear Optimization, Sofia University “St. Kliment Ohridski”, Sofia, ISBN 954-07-2055-9. [In Bulgarian]

IVANOV, I., LOMEV, B., 2008. Applications of Quantitative Methods in Business Management, Sofia, ISBN 978-954-9526-50-9. [In Bulgarian]

IVANOV, I., TANOV, V., 2018. Big Data Analytics Algorithms and Applications. Machine learning. Avangard Prima, Sofia, ISSN 978-619-239-010-5. [In Bulgarian]

IVANOV, I., 2020. Quantitative Analysis of Patterns and Big Data, Avangard Prima, Sofia, ISBN 978-619-239-403-5. [In Bulgarian]

IVANOVA, I., MILANOVA, M., KUNEVA, V., 2011. Handbook on Applied Mathematics. Academic Press AU, Plovdiv. (In Bulgarian).

IVANOVA, I., KUNEVA, V., 2018. Handbook on Optimization Methods. Academic Press AU, Plovdiv. [In Bulgarian]

KUNEVA, V., MILEV, M., GOCHEVA, M., 2021. Modeling The Transportation Assessment with MS Excel Solver, AIP Conference Proceedings, vol. 2333, 15005-1-1500510.

LUENBERGER, D. G., YE, Y., 2008. Linear and Nonlinear Programming, Springer Science+Business Media LLC, New York , \(3{ }^{\text {rd }}\) ed., ISBN 978-0-387745022.

MARINOV, M., MARINOVA, L., 2016. Algorithm for Calculating the Transportation Problem and Its Solution in Excel. Scientific Works in Rousse University, Russe, vol. 55. Issue 3.3, pp. 19 – 24. [In Bulgarian]

SLAVKOVA, M., TZENOVA, Z., 2011. Collection of Tasks on Quantitative Methods and Statistics, First Edition, Technical University Sofia, Simolini, ISBN: 978-954-9493-41-2. [In Bulgarian]

TAHAN, H.A., 2017. Operation Research. An Introduction, Tenth Edition.

WINSTON, W.L., 2004. Operations Research: Applications and Algorithms. Brooks/Cole, Thomson Learning.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.