Математика и Информатика
Вход / Регистрация

https://doi.org/10.53656/math2021-4-4-zap

2021/4, стр. 425 - 437

ЗА ПРИРОДАТА НА МАТЕМАТИКАТА И ЗА МАТЕМАТИКАТА В ПРИРОДАТА – ЕДНА ПРИКАЗКА ЗА СИМЕТРИЯТА С ПРОДЪЛЖЕНИЕ ЗА МАЛКИ И ГОЛЕМИ

Цветелин Андреев
E-mail: cvetelin.andreev@gmail.com
https://publons.com/researcher/4144445
Bulgaria

Резюме: В статията се описват дейности за изграждане на представа за симетрии. В тях участват деца на възраст между 5 и 9 години и родител в ролята на неформален учител. Чрез активни игри и занимания децата изследват симетрията в спорта, архитектурата, биологията, граматиката, литературата, музиката и математиката. Дейностите са проведени на открито сред природата. Демонстрират се методически принципи за работа с деца. Представени са идеи за продължение на изследването на симетрии с компютър. След проведените срещи децата демонстрират способност да разпознават симетрии в области и ситуации, различни от поставените. Това доказва основната теза на статията: същността на математиката, а именно изследването на заобикалящия ни свят, може да бъде уловена успешно в неформална среда на всякаква възраст.

Ключови думи: симетрия; неформално образование; конструкционизъм; теория на множествената интелигентност

Училището може да е всичко, не само сграда или чин.

Защо да не е хълм, тревичка или гнездо върху комин.

Петя Кокудева

Никога не е рано да отворим очите на децата за красотата в математиката (или за математиката в красотата). И не е толкова важно къде става това – дали в класната стая с таблицата за умножение, зад компютъра, вкъщи, или сред природата, а да помислим как и каква „храна за размисъл“ даваме на децата.

Затова сега, когато класните стаи са заключени, е подходящ момент ние, родители и учители, да видим какви други възможности за работа с деца има. В следващия текст показвам как в ролята си на родител и неформален учител заедно с 6 – 8 деца на възраст между 5 и 9 години откриваме едновременно математика в природата и природата на математиката. В няколко срещи на открито чрез игри, занимания с лист и молив и с компютър изследваме симет-рията в различни области от живота. Показвам как идеи от образователните теории на конструкционизма на Сиймър Пепърт и множествената интелигентност на Хауърд Гарднър могат да се приложат в неформална среда и така заедно с децата да открием красотата в математиката и ученето (от гръцки μάθημα (máthema) ─ наука, знание, учене) (Sendova 2017).

А красотата в ученето я има, когато сме в хармония с децата, когато има радост и игри, когато тръгнем от интересите на децата или успеем да ги въвлечем в нашите.

Хармония има там, където се дава възможност на децата да учат по свой уникален начин. Не е задължително всички да минем по един път, за да стигнем до целта. За едни урокът ще е танц, за други – поема, за трети – рисунка, мелодия и т.н. (Chehlarova & Sendova 2010).

Вариация на карикатура за недостатъка на стандартизираното оценяване

Горско училище на тема „симетрия“

Нуждата от движение и разнообразяване на онлайн обучението доведе до идеята да организирам неделни математически разходки на открито за моите две деца и техни приятели. Освен неформален учител и родител през последните години нерядко съм бил в ролята и на „формален“. Водих няколко курса за деца по програмиране, математика, училище по добродетели, музикални занимания. По образование съм информатик, учител по информатика и ИТ, начален учител. Преминал съм през курсове за методите на Мария Монтесори, Валдорфската педагогика, конструкционизъм.

Темата „симетрия“ дойде без много чудене: свързана е с красотата и изкуството, има я навсякъде около нас и ни помага в ежедневието. В много от изследваните обекти в химията, физиката, биологията, медицината и др. симетрията е факт, който позволява съкращаване на експериментите и разсъжденията (Chehlarova & Chehlarova 2015).

В тази статия съм описал срещите и реакциите на децата и последвалите занимания на закрито. Надявам се в нея всеки родител и учител да открие по някоя идея, която може да приложи, промени и обогати в зависимост от обстоятелствата.

Трудна, по-трудна, най-трудна симетрия

Много трудна симетрия

Първата математическа разходка с децата започна с игри сред падналите есенни листа и с много тичане. След тях децата имаха нужда да починат, и насядаха по пейките. Тъкмо този момент използвах, за да въведа групата в темата с първата ни игра. Разделих децата на отбори по двойки и дадох указания. От всеки отбор последователно играч 1 трябваше да покаже фигура с тялото си, а играч 2 да направи същата поза, но огледална. Демонстрирах правилата, като влязох в ролята на играч 1 и после на играч 2. Въпреки че децата нямаха изградена представа за понятието осева симетрия, те имаха интуитивна представа за огледален образ и с радост се включиха. Последваха интересни фигури с тела и в края на играта се оказа, че (по техните думи) има по-трудна симетрия, по-малка симетрия, симетрия от сърце.

По-малка и симетрия от сърце

Според Пиаже – основател на конструктивизма, децата са строители на собственото си знание. Конструкционизмът добавя, че това, което „строят“, трябва да е продукт, който може да се споделя (Sendova 2017).

Това се случи и в играта – децата построиха фигури, които споделяха с публиката. Снимахме, за да изследваме симетрията по-късно в домашна обстановка с помощта на компютър.

Симетрията наоколо

Играта премина в търсене на симетрични обекти наоколо. Веднага забелязахме плочките, стадиона, скамейките, листата. Сгънахме едно листо на две, за да проверим дали двете страни съвпадат. Почти съвпадаха! А това „почти съвпадение“ в естествения език означава да има симетрия. Макар скамейките да не бяха разположени симетрично спрямо централната линия на стадиона, всяка от тях е симетрична спрямо гредата в средата си. По време на изследването на симетрията с компютър забелязахме, че с направената от нас снимка на стадиона е трудно да се види симетрията спрямо централната линия. Затова решихме да използваме снимка от сателит.

Листо от явор. Скамейка. Снимка на стадиона от сателит

Игра със срички

Децата бяха насядали по пейките за кратка почивка. Започнаха да играят със сричките на имената си, като си ги разменяха. Забелязаха няколко интересни съвпадения като това, че на няколко от децата имената се запазваха същите след размяната. Този момент беше подходящ да насоча вниманието им към симетрията в думите. Предложих да променим малко играта и вместо да търсим имена, които се запазват след размяна на срички, да потърсим думи, които се запазват, като ги прочетеш отпред назад и отзад напред. Веднага последваха „капак“, „ама“, „радар“. Изследвахме и „аз обичам мач и боза“. Показах къде е симетрията в думите, като „разделим“ думата на две и от двете страни остават симетрични срички. В случая с нечетен брой букви буквата в средата играе роля на ос на симетрията.

За децата този преход беше естествен. Те продължиха да се забавляват, докато усвояват умението да откриват симетрията в естествения език.

Интерес у мен предизвика твърдението на едно от по-малките деца – то каза, че неговата симетрична дума е „огледало“. На пръв поглед погрешното твърдение криеше известна доза истина: огледалото владее симетрията до съвършенство, а самата дума може да стане „симетрична“ ако изменим някои букви, например ако махнем „г“ и заменим „е“ с „а“ се получава „оладало“. Споделих с детето тези наблюдения. То остана доволно, а за мен изводът е да приемам грешките като възможност – в случая бих могъл да поставя въпроса: „Как да променим думата така, че да стане „симетрична“?“, или да изследваме симетрията в отразяването на светлината с огледало. Или както впоследствие направихме, да използваме огледало, за да построим розетки с конструктор.

Изследване на симетрии с конструктор и двойно огледало

Изводът от тази ситуация за мен е, че за да се следва интересът на деца, е нужно водещият да е наблюдателен. Така той може да промени плана в хода на действието. Ако имах строг план, към който непременно се стремя, може би нямаше да забележа връзката на играта на думи и симетрията. Може би щях да я приема като отклонение. Ако бях избързал да отбележа отговора „огледало“ като грешен, щеше да ми е по-трудно да видя в него продължението на темата „симетрия“. И наистина, верността на твърдението дали дадена форма е симетрична, или не, зависи от контекста и гледната точка. Казваме, че човешкото тяло е симетрично, но ако се загледаме внимателно, ще открием разлики в двете половини. Ако го погледнем в профил, тогава липсва ли симетрията? Едно литературно произведение може да е симетрично, но къде точно минава оста на симетрията – това може да не е очевидно. Важно е да сме наясно „в какъв смисъл“ нещо е вярно. Например, ако приемем, че форма в природата е симетрична, когато след трансформация запазва еднаквостта си с допустимо отклонение от 3 мм, тогава повечето пеперуди и цветя ще са симетрични.

Изследване на симетрия с „точното око“ на компютъра

Важно е да покажем на децата, че ИТ не са само „информационни технологии“, от които черпим пасивно информация. Информационните технологии са и среда за изследване и творчество с голямото предимство, че получаваме обратна връзка за разсъжденията си почти мигновено. Но колко често това става в училище или вкъщи? Сиймър Пепърт пише преди 40 години в книгата си Mindstorms: Children, Computers, Powerful Ideas: „Има огромна разлика между това, което компютрите могат, и това, което обществото избира да прави с тях...“ (Papert 1980).

Колко точна е симетрията в нашите симетрични пози? Къде точно са оста или центърът на симетрия? На тези въпроси бързо и лесно успяхме да отговорим по време на последвалите домашни занимания с компютър.

В случая използвах средата GeoGebra, но тези изследвания могат да бъдат направени и с други инструменти. Например симетрията да се опише чрез команди на език за програмиране, които могат да се редактират и така да се увеличат възможностите за експериментиране. Тук „да се учиш да програмираш“ или „да програмираш, за да се учиш“, много добре ни подсказва къде да търсим смисъла на училището и да избягваме самоцелното програмиране и следване на предварителни учебни програми.

Но нека преминем към действие (или по-точно „конструиране“). Първо поставяме снимка в GeoGebra. После построяваме предполагаемата ос на симетрия. Описваме едната фигура по един от следните начини: или с точка и симетричната є точка, които оставят следи (децата местят точката по контурите на фигурата), или построяваме многоъгълник около фигурата. Вторият начин ни позволява да преценим дали окомерът ни за ос на симетрия е точен, като местим оста на симетрия. Накрая отразяваме спрямо оста и наблюдаваме.

Изследване на симетрични пози в GeoGebra

Същото упражнение може да се направи и с ротационна симетрия. Децата могат да правят розетки или снежинки с телата си, налягали в кръг, или да изследваме венчелистчета, напречно разрязана ябълка. Още идеи има във Виртуалния училищен кабинет по математика (Chehlarova, Gachev, Kenderov & Sendova 2014) (Chehlarova 2020).

Друга задача е свързана с осева симетрия на графичния образ на думите. Когато с едно от децата изследвахме това, се оказа, че някои думи са не само палиндроми (остават еднакви, ако се четат отпред назад и отзад напред), но са симетрични и по отношение на графичното им представяне. Симетрията ни изненадва отвсякъде, стига да сменим гледната точка!

Изследване на симетрични думи в GeoGebra

Симетрия в литературата

Луис Карол – известният автор на „Алиса в Страната на чудесата“ и математик в Оксфорд, ни дава чудесен пример за симетрия със стихотворението си:

Японското хайку е друг пример за симетрия. По броя на сричките първият и третият (последният) ред са симетрични спрямо втория, съответно с 5, 7 и 5 срички. Следната игра може да се използва за построяване на стихотворение. Първо определяме 3 колони за записване на думи, които отговарят съответно на въпросите: „Кой или какво?“, „Какво прави?“, „Как го прави?“. После децата поред попълват с по 6 думи във всяка колонка. Накрая образуваме изречения, като хвърляме зарче в 3 серии – по една а за всеки ред на стихотворението.

И сякаш по чудо на една от разходките с децата те и зарчето сътвориха следното стихотворение, което след малко редактиране точно пресъздаде атмосферата, която кипеше наоколо: пълна стая с 6 деца със зачервени бузи, които скачат по диваните от радост, че са на топло след игрите в студения есенен ден, докато домакинът спокойно се радва на компанията им.

В първата си версия стихотворението гласеше:

Къщата скача бързо.

Печката тича гъделичкащо.

Домакинът диша бавничко.

С децата преброихме сричките и установихме, че за да постигнем симетричната структура по броя им в редовете, е нужна редакция. След намаляване на сричките и размяна на няколко думи стихотворението зазвуча като едно истинско хайку (е, почти):

Къщата скача.

Печката топли с гъдел.

Дишаме бавно.

Вероятно редактирането би било по-лесно, ако бяхме съобразили броя на сричките, докато попълвахме думите в таблицата, и бяхме определили на кой ред колко срички искаме. Например съществителното да е с 3 срички, глаголът – с 2, наречието – с 2, и за първия и третия ред хвърляме по 2 пъти, а за втория – 3.

Симетрия в музиката

Втората сбирка даде начало и на изследването на симетрията в музиката. Спонтанно едно от децата изсвири мелодията на песента по текст на Асен Разцветников „Над люлката“ симетрично с двете ръце (симетрична спрямо ре, изсвирена в до мажор).

Нямам търпение да ни се удаде възможност да развием темата с импровизации над рачешкия канон на Й.С. Бах, който е музикален палиндром (Hofstadter 2011).

Резултат

Следната ситуация разкрива толкова добре резултата от дейностите на тема „симетрия“, че няма нужда да добавям нищо. Случи се малко след като бяхме разгледали темата за ротационната симетрия с пример с цвете, което, след като се завърти, запазва формата си.

Едно от децата заедно с майка си чистят боб и пеят на два гласа песента „Кавале, кавале“. Изведнъж детето спира и пита: „Мамо, знаеш ли, че цветето е симетрично? Ей така, като го завъртиш, то си остава същото“. Майката се смее. В следващия момент детето обелва едно зърно боб, разцепва го на две и казва: „И бобът е симетричен. Виж. И го ядем, за да станем и ние симетрични… Ама ние сме си симетрични. Линията минава точно през средата на носа“. И посочва.

Симетрия в бобено зърно

В последвалата дискусия едно от децата се вглежда в лицето ми и забелязва, че едното ми око е по-затворено от другото. Договаряме се да снимаме лицата си и да ги изследваме с помощта на компютър.

Задачи за читателите изследователи

Задача 1.

Играта „Боб в тавичка“ се играе по следния начин: две деца слагат последователно бобени зърна в кръгла тавичка. Играта печели този, който сложи последното зърно. При поставянето зърната не трябва да се застъпват. Първият играч има печеливша стратегия, ако започне с бобче точно в центъра. Каква е тя?

Междучасия

Последно, но не по важност, споделям няколко момента от радостта на децата, докато бяха навън. Както в училище, междучасията следват часовете, така и ние имаме ритъм, в който се редуват занимания и време за свободната игра, отпускане и свързване с природата.

Есенни игри

Извод – нужна ли ни е класна стая, за да учим математика?

Макар термини като конструкционизъм и множествена интелигентност (в смисъла на Хауърд Гарднър) да звучат далечно за повечето родители и учители, горният пример потвърждава, че идеите зад тях могат да се прилагат успешно вкъщи, по време на неделната разходка, а защо не и в училище.

Въпросът не е дали ни е нужна класната стая. Въпросът е как да направим такава среда, в която отваряме очите на децата за красотата в математиката и всяко едно от тях да има възможност да учи и да се изразява по свой уникален начин.

Нека видим как можем да превърнем заключените класни стаи във възможност. Защото именно да търсиш възможности в трудностите, е в сърцето на математиката. Не знаем какви ще са проблемите, пред които децата ще се изправят в бъдеще. Това, което можем да направим за тях, е да им помогнем да са гъвкави, да задават въпроси и да търсят отговори.

Или както се пее в песен от детско предаване по БНТ, излъчено преди около 20 години:

„Защо“ е думичка вълшебна,
„защо“ е думичка потребна,
чудесна дума е „защо“
навред по земното кълбо.

Понякога с едно „защо“
ще чуеш отговори 100,
„защо“ не се изтрива с гума,
защото е вълшебна дума.

Благодарности. На децата за техния неуморен труд. На Жени Сендова (ИМИ – БАН), която даде идеята за темата на заниманията, подсказа голяма част от тях, редактира статията и издигна идеите в нея на друго ниво.

БЕЛЕЖКИ

Споделям няколко полезни връзки към интернет ресурси:

1. Виртуален учебен кабинет по математика. https://cabinet.bg/ (последно по-сещение 06.01.2021).

2. За детерминанти, поеми и симетрия. On Matrix Determinants, Poems, and Symmetry https://irthoughts.wordpress.com/2018/11/18/on-matrixdeterminants-poems-and-symmetry/ (последно посещение 06.01.2021).

3. Визуализация на рачешки канон в „Музикално приношение“ от Й. С. Бах. Jos Leys. J.S. Bach – Crab Canon on a Möbius Strip.https://www.youtube.com/ watch?v=xUHQ2ybTejU (последно посещение 06.01.2021).

ЛИТЕРАТУРА

Чехларова, Н. & Чехларова, К., 2015. Проверка и подобряване на дигиталната компетентност и общата култура чрез симетрии. В: Инструменти за привлекателно образование. София: Сдружение „Център за творческо обучение“ , 52 – 56..

Кендеров, П., Чехларова, Т. & Гачев, Г., 2021. Онлайн състезание „VIVA Математика с компютър“. Математика и информатика, 64(1) , 36 – 51

Сендова, Е., 2017. Конструкционизмът като образователна философия и култура в български контекст — в памет на Сиймър Пепърт. В: Математика и математическо образование – 46-а пролетна математическа конференция. Боровец: Съюз на българските математици.

Пепърт, С., 1980. Mindstorms: Children, Computers, Powerful Ideas. The Harverster press.

Чехларова, Т., 2020. Ресурси за самопроверка във Виртуалния училищен кабинет по математика. Педагогика, 92(2) , 168 – 179.

Хофстатър, Д., 2011. Гьодел, Ешер, Бах: Една гирлянда към безкрайността. София: Изток-Запад.

REFERENCES

Chehlarova, T. & Sendova, E., 2010. Stimulating different intelligences in a congruence context. In: Constructionist approaches to creative learning, thinking and education: Lessons for the 21st century. Proceedings for Constructionism 2010. The 12th EuroLogo conference. 16 – 20 August, Paris, France. ISBN 978-80-89186-65-5 (Proc) ISBN 978-80-89186-66-2.

Chehlarova, N. & Chehlarova, К., 2015. Proverka i podobryavane na digitalnata kompetentnost I obshtata kultura chrez simetrii – Assessment and improvement of digital competences and general knowledge trough symmetries. In: Instrumenti za privlekatelno obrazovanie – Instruments for attractive education. Sofia: Center for creative training, 52 – 56. [In Bulgarian].

Chehlarova, N. & Gachev, G., 2021. Online contest “Mathematics and art” for the development of key competencies. Pedagogika-Pedagogy, 93(1), 87 – 99. Sofia: Az-buki.

Kenderov, P., Chehlarova, T. & Gachev, G., 2021. Onlayn sastezanie „VIVA Matematika s kompyutar“ – Online competition “VIVA Mathematics with computer ”. Mathematics and Informatics, 64(1), 36 – 51. Sofia: Az-buki. [In Bulgarian].

Chehlarova, N., 2021. Axes of symmetry dominoes. In: Symmetry: Culture and Science, 32(1), 103 – 111.

Sendova, E., 2017. Constructionism as an educational philosophy and a culture – a tribute to Seymour Papert. In: Mathematics and education in mathematics – proceedings of the 46th Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians. Borovets. [In Bulgarian].

Papert S., 1980. Mindstorms: Children, Computers, Powerful Ideas. The Harverster press.

Chehlarova, T., Gachev, G., Kenderov, P. & Sendova, E., 2014. A Virtual School Mathematics Laboratory. In: V-th National Conference on eLearning. Ruse: University of Ruse, 146 – 151.

Chehlarova, Т., 2020. Resursi za samoproverka vav Virtualnia uchilishten kabinet po matematika – Resources for self assessment in the Virtual

School Mathematics Laboratory. Pedagogika-Pedagogy, 92(2), 168 – 179. Sofia: Az-buki. [In Bulgarian].

Hofstadter D., 1999. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Basic Books.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.