Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2013/5, стр. 409 - 418

ПЕРВЬIЙ ТВОРЧЕСКИЙ КОНКУРС УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ КАЗАХСТАНА

Кайрош Макишев
E-mail: makishev@mail.ru
Doctor in Physics-Mathematics
Director RSPhMSBS
Buhar Zhirau Street, 36
050040 Almaty, Republic of Kazakhstan

Резюме: Первый съезд учителей математики Казахстана, состоявшийся \(10-12\) мая 2011 года, постановил создать Казахстанскую Ассоциацию учителей математики. Ассоциация была создана и официально зарегистрирована 6 июля 2012 года. Согласно Плану мероприятий на 2013 год Казахстанская Ассоциация учителей математики проводила Первый творческий конкурс учителей математики. В данной статье обсуждаются задачия и решения конкурса.

Ключови думи: creative competition, problem solving, teacher, achievement, methodology

Первый творческий конкурс учителей математики Казахстана состоялся 26–28 сентября 2013 года. Инициатором является исполнительный директор Ассоциации, директор РФМШИ, кандидат физико-математических наук Макишев К. Б. Конкурс проводился на базе Республиканской специализированной физико-математической школы–интернат им. О. Жаутыкова для одаренных детей. Он был поддержан Министерством образования Республики Казахстана. Генеральным спонсором конкурса выступил АО Интергаз Центральная Азия.

Основная цель конкурса – повышение престижа учителя, содействие росту их профессионального мастерства, вклад в развитие математического образования в республике, в сельских и городских школах, и повышение качества знаний по математике. Каждая область представила трех участников. Приняли участие 69 человек. Это разные по возрасту, опыту учителя, но одно их объединяет – безграничная любовь к математике, страстное желание решить задачу и одержать победу над ней.

Формат конкурса необычен и прост: только решение задач. Нет открытых уроков, не нужно портфолио учителя. Подготовительная работа членами Ассоциации велась с апреля 2013 года. На первый раз методическую помощь оказывал Московский Центр непрерывного математического образования в лице заслуженного учителя РФ, доцента кафедры методики преподавания математики, кандидата физико-математических наук Блинкова А. Д. Он приглашен в качестве члена жюри. Членом жюри был и профессор Института математики Болгарии Гроздев Сава. Другие члены – это ведущие ученые–математики вузов страны, доктора PhD, участники международных математических олимпиад, молодые учёные Казахстана. Председателем жюри был академик НАН РК Джумадильдаев А. С.

В конкурсе участвовали учителя всех типов школ Казахстана: школа для одаренных детей, гимназия, лицей, казахско-турецкий лицей, школы республиканского научно–методического центра работы с одаренными детьми „Дарын“, частные школы. Разнообразен был возрастной состав участников: от 22 лет до 55. Были кандидаты физико-математических наук, учителя-аспиранты, выпускники мехмата Московского университета им. Ломоносова, Новосибирского университета, национального университета в Китае.

Инициатива была положительно воспринята всеми управлениями образования областей и городов Астаны, Алматы. По отзывам участников, данный конкурс оказался своевременным, нужным. Предложенные задачи вызвали живой интерес, их хотелось решать и доказывать. Стиль языка простой для понимания, лаконичный, „доброжелательный“. Все 8 задач участниками были решены, особое внимание привлекла задача №4 о непрерывности функций. Блинков А. Д., составитель задач, дал глубокий, фундаментальный анализ решениям задач.

Есть задумка в мае организовать дистанционно или заочно олимпиаду для учителей математики. Работу конкурса освещали ведущие СМИ Республики Казахстан. Создан видеофильм об этом конкурсе, который был показан на закрытии. Выводы:

1. Учителя высказали пожелание сделать Конкурс учителей математики традиционным и проводить 1 раз в году;

2. Увеличить число участвующих;

3. Формат конкурса считать приемлемым;

4. Информацию о предстоящих конкурсах и олимпиадах помещать на сайте Ассоциации.

Время показало, что Ассоциация математиков своевременна, необходима, она – для консолидации деятельности математиков высшей и средней школы. У руководства Ассоциации много реальных идей.

Условия, решения, комментарии и критерии проверки Каждое задание оценивается, исходя из 10 баллов

I. Решите задачи.

1. Рыцари и лжецы. Каждому из ста жителей острова, часть жителей которого – рыцари, а остальные – лжецы, был задан вопрос: “Сколько среди вас рыцарей?”. В ответ было названо сто различных чисел. Какое число было названо наверняка? Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.

(Б. Р. Френкин, XII турнир математических боев имени А. П. Савина)

Ответ: наверняка было названо число 1.

Решение. Заметим, что среди жителей острова не могло быть более одного рыцаря, так как в этом случае рыцари назвали бы одинаковые числа, что противоречит условию. Если же на острове – один рыцарь, то он обязательно назвал число 1, а лжецы назвали любые другие 99 различных чисел (возможно, и большие ста). Таким образом, число 1 обязательно было названо, а любое другое число могло быть и не названо.

Критерии проверки. Полное обоснованное решение – 10 баллов. Приведен верный ответ, объяснено, почему другие числа не удовлетворяют условию, но не объяснено, почему число 1 условию удовлетворяет – 7 баллов. Приведен верный ответ и показано, что он удовлетворяет условию, но не объяснено, почему другие числа условию не удовлетворяют – 4 балла. Приведен только верный ответ – 1 балл.

2. Раздел земли. Четырехугольное поле разделено двумя диагоналями на четыре треугольных участка. Стоимость всех участков одинакова. Пьер и Жан купили противоположные участки. Площадь участка Пьера равна сумме площадей трех других участков. Докажите, что цена земли за акр на участке Жана равна сумме цен за акр на остальных трех участках.

(Фольклор)

Решение. Обозначим площади участков Пьера и Жана через \(S_{p}\) и \(S_{g}\) соответственно, а площади двух остальных участков – через \(S_{1}\) и \(S_{2}\). Пусть стоимость каждого участка равна 1, тогда требуется доказать, что

\[ \cfrac{1}{S_{g}}=\cfrac{1}{S_{p}}+\cfrac{1}{S_{1}}+\cfrac{1}{S_{2}} \Leftrightarrow \cfrac{S_{p}-S_{g}}{S_{p} S_{g}}=\cfrac{S_{1}+S_{2}}{S_{1} S_{2}} \]

Докажем, что в последнем равенстве знаменатели дробей равны. Действительно, пусть диагонали четырехугольника \(A B C D\) пересекаются в точке О (см. рис.). Тогда \(\cfrac{S_{\triangle B O C}}{S_{\triangle B O A}}=\cfrac{O C}{O A}=\cfrac{S_{\triangle D O C}}{S_{\triangle D O A}} \quad \begin{aligned} & \text { (отношениеплощадейтреуголь- } \\ & \text { ников с общей высотой равно } \\ & \text { отношению их оснований). }\end{aligned}\) Следовательно, \(\boldsymbol{S}_{\triangle B O C} \cdot \boldsymbol{S}_{\triangle D O A}=\boldsymbol{S}_{\triangle B O A} \cdot \boldsymbol{S}_{\triangle D O C}\).

Равенство числителей полученных дробей следует из условия задачи: \(S_{p}=S_{g}+S_{1}+S_{2}\). Таким образом, рассматриваемые дроби равны.

Критерии проверки. Полное обоснованное решение – 10 баллов. Приведено, в целом, верное рассуждение, но равенство произведений площадей треугольников использовано без доказательства – 7 баллов. Доказываемое утверждение формализовано в виде равенства дробей, но это равенство не доказано – 2 балла. Справедливость утверждения показана только на конкретном примере – 1 балл.

3. Игра навылет. Школьники играли в настольный теннис “на победителя”. Они установили очередь и правила: вначале играют первый и второй, а в дальнейшем каждый очередной участник играет с победителем предыдущей пары. На следующий день те же школьники снова сыграли по тем же правилам, но очередь шла в обратном порядке (вчерашний последний стал первым, предпоследний – вторым, и так далее). Известно, что каждый сыграл хотя бы раз и в первый день, и во второй. Докажите, что найдутся два школьника, которые играли между собой и в первый день, и во второй.

(Б. Р. Френкин)

Решение. Пусть школьник А был последним в очереди в первый день и свою первую партию сыграл со школьником Б. Тогда Б – либо предпоследний, либо выиграл у всех, кто стоял в очереди между ним и А. Тем самым, Б сыграл со всеми, кто стоял в очереди после него.

На следующий день все эти школьники (и только они!) окажутся в очереди впереди Б, поэтому свою первую партию он сыграет с кем-то из них.

Критерии проверки. Полное обоснованное решение – 10 баллов. Разобраны только отдельные частные случаи – не более, чем 3 балла.

4. Угол. Около правильного тетраэдра \(A B C D\) описана сфера. На его гранях, как на основаниях, во внешнюю сторону построены правильные пирамиды \(A B C D_{1}\), \(A B D \mathrm{C}_{1}, A C D B_{1}\) и \(B C D A_{1}\), ACDB1 и BCDA1, вершины которых лежат на этой сфере. Найдите угол между плоскостями \(A B C_{1}\) и \(A C D_{1}\).

(ОкружнойтурММО1997г.)

Ответ: \(90^{\circ}\).

Решение. Рассмотрим параллелепипед \(A C_{1} B D_{1} B_{1} D A_{1} C\), описанный около данного тетраэдра и докажем, что его вершины \(A_{1}, B_{1}, \mathrm{C}_{1}\) и \(D_{1}\) являются вершинами заданных пирамид (см. рис.).

Действительно, так как тетраэдр \(A B C D\)– правильный, то описанный параллелепипед является кубом, поэтому его диагонали перпендикулярны соответствующим граням данного тетраэдра и проходят через центры этих граней. Из условия задачи следует, что указанные точки должны ортогонально проектироваться в центры соответствующих граней данного тетраэдра, значит, они лежат на прямых, содержащих диагонали куба. Кроме того, сфера, описанная около тетраэдра \(A B C D\), одновременно является описанной и для куба, поэтому рассматриваемые точки являются вершинами куба.

Таким образом, искомый угол является углом между гранями этого куба и равен \(90^{\circ}\).

Критерии проверки. Полное обоснованное решение – 10 баллов. Указано, но не обосновано, что вершины пирамид являются вершинами куба, и получен верный ответ – 5 баллов. Приведен только верный ответ – 1 балл.

II. Методический блок.

В заданиях № 5 и № 6 могут содержаться математические ошибки (как в условиях “задач”, так и в “ответах” и “решениях”). Если некорректно условие “задачи”, то объясните, почему это так. Если неверно только “решение”, то укажите все ошибки и приведите верное решение.

5. “Задача”. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 119, а разность квадратов – простое число.

“Ответ”: 60 и 59.

“Решение”. Пусть \(a\) и \(b\)– искомые числа, тогда \(a+b=119\) и число \(\mathrm{a}^{2}-b^{2}-\) простое. Так как \(\mathrm{a}^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\), то \(\mathrm{a}-b=1\). Решая систему уравнений \(\left\{\begin{array}{c}a+b=119, \\ a-b=1\end{array}\right.\), получим, что \(\mathrm{a}=60, b=59\). (Фольклор, предложил \(A\). Д. Блинков)

( Фольклор, предло жил \(A\). Д . Блинков)

Комментарий. Таких чисел нет. Если \(\mathrm{a}-b=1\), то \(\mathrm{a}^{2}-b^{2}=\mathrm{a}+b=119=7 \cdot 17\), то есть 119 – составное число. Это можно в равной степени трактовать либо как некорректность условия (сумма чисел должна быть простым числом), либо как ошибку в “решении” и “ответе” (после разложения на множители можно сразу делать вывод, что искомых чисел не существует).

Критерии проверки. Верно указана ошибка и объяснено, из-за чего она произошла (в любой трактовке) – 10 баллов. Указано только, что искомых чисел нет – 3 балла.

6. “Задача”. В шестиугольнике \(A B C D E F\) противолежащие стороны равны и параллельны, а треугольник \(A C E\)– равносторонний. Докажите, что существует такая точка О, что треугольники \(A O B, C O D\) и \(E O F\) также равносторонние.

“Решение”. Докажем сначала, что данный шестиугольник центрально симметричен. Действительно, так как \(A B\) и \(D E\) параллельны и равны, то \(A B D E\)– параллелограмм. Следовательно, его диагонали \(A D\) и \(B E\) пересекаются в некоторой точке О и делятся ею пополам. Аналогично, \(A D\) и \(C F\) пересекают друг друга в серединах. Значит, точка \(O\) является серединой всех трех диагоналей и центром симметрии шестиугольника.

Следовательно, треугольник \(D F B\) симметричен равностороннему треугольнику \(A C E\) относительно точки О, поэтому он также – равносторонний. Значит, центры этих треугольников совпадают с \(O\). Пусть \(A D\) пересекает \(B F\) в точке \(H\). Угол \(\hat{A} H O-\) прямой, так как \(D H\)-высота треугольника \(D B F, \angle H B O=30^{\circ}\), ∠HBO = 30°, так как \(B O\)– биссектриса угла \(B\) в этом же треугольнике. Поэтому \(\angle B O H=60^{\circ}\). Но \(A O=B \mathrm{O}\) (равные части медиан в равных треугольниках \(\mathrm{AC} E\) и \(B D F\) ). Таким образом, треугольник \(A O B\)– равнобедренный с углом \(60^{\circ}\) при вершине, то есть – равносторонний.

Аналогично доказывается, что треугольники \(C O D\) и \(E O F\)– также равносторонние.

(А. В. Шаповалов и Л. Э. Медников (использована задаче Д. А. Калинина из XVIII турнира математических боев имени А. П. Савина))

Комментарий. Условие задачи корректно, а в “решении” есть принципиальная ошибка: из того, что треугольники \(D F B\) и \(A C E\) симметричны, не следует, что точка О – их общий центр. На самом деле, их центры симметричны относительно О, но не совпадают с ней (если данный шестиугольник не является правильным). Следствием этой ошибки, в частности, является полученное равенство \(A O=B O\), равносильное равенству диагоналей \(A D\) и \(B E\), которое в общем случае выполняться не обязано. Понятно также, что искомая точка – другая.

Приведем два способа решения задачи.

Первый способ. Построим внутрь шестиугольника равносторонний треугольник \(A O B\) и докажем, что его вершина \(O\)– искомая. Для этого потребуется доказать, что треугольники \(E O F\) и \(C O D\)– равносторонние (см. рис.).

Из условия задачи следует, что \(A B D E\)– параллелограмм, значит, \(B D \| A E\) и \(\angle C B D=\angle A E F\) (углы с противоположно направленными сторонами).

Рассмотрим поворот с центром А на угол \(60^{\circ}\) по часовой стрелке. Образами точек С и В будут являться точки Е и О соответственно, поэтому образом треугольника \(A B C\) будет треугольник \(A O E\). Значит, эти треугольники равны. Поэтому \(O E=B C=E F\) и \(\angle O E A=\angle B C A\).

Пусть \(A C\) пересекает \(B D\) в точке \(M\). Тогда \(\angle C M D=\angle C A E=60^{\circ}\). Следовательно, \(\angle O E F=\angle O E A+\angle A E F=\angle B C A+\angle C B D=\angle C M D=60^{\circ}\). Таким образом, в равнобедренном треуго ольнике \(O E F\) есть угол \(60^{\circ}\), поэтому этот треугольник– равносторонний.

Аналогично доказывается, что и треугольник \(C O D\)– равносторонний.

Второй способ. Как было показано в начале “решения”, данный шестиугольник центрально симметричен. Пусть \(K\)– центр симметрии. Рассмотрим композицию двух поворотов: на \(120^{\circ}\) против часовой стрелки вокруг центра треугольника \(A C E\) и поворота на \(180^{\circ}\) вокруг точки \(K\). Она является поворотом на \(60^{\circ}\) вокруг некоторой точки \(O\), причем образами вершин \(\mathrm{A}, \mathrm{C}\) и Е являются вершины \(\mathrm{B}, D\) и \(F\) соответственно (см. рис. 6).

Критерии проверки (баллы суммируются). Указано, что условие “задачи” корректно – 2 балла. Верно указана принципиальная ошибка в “решении” – 3 балла (если указано только следствие этой ошибки – 1 балл). Приведено верное решение – 5 баллов.

7. На уроке в 10 классе была предложена задача: “В круг радиуса \(R\) впишите равнобедренный треугольник наибольшей площади”. Ученик, вызванный к доске, записал решение, приведенное ниже.

Пусть угол при вершине равнобедренного треугольника равен \(\alpha\). Тогда боковая сторона треугольника: \(b=2 R \cos 0,5 \alpha\). Площадь треугольника: \(S=0,5 b^{2} \sin \alpha=\) \(2 R^{2} \sin \alpha \cos ^{2} 0,5 \alpha\). Используем формулу понижения степени, тогда \(S=R^{2}(1+\cos \alpha)\) \(\sin \alpha\). Находя производную, получим: \(S^{\prime}=R^{2}(\cos \alpha+\cos 2 \alpha)=R^{2}\left(2 \cos ^{2} \alpha+\cos \alpha-1\right)\).

Сделаем замену: \(t=\cos \alpha\). Корни получившегося квадратного трехчлена \(2 t^{2}+\) \(t-1\) равны –1 и 0,5. На промежутке (\(-1 ; 0,5\) ) его значения отрицательны, а на промежутке (0,\(5 ;+\infty\) ) – положительны, то есть “при переходе” через 0,5 производная меняет знак с минуса на плюс, значит эта точка является точкой минимума. Таким образом, наибольшего значения площади не существует.

После этого ученик предположил, что в условии задачи опечатка: имеется ввиду не наибольшая площадь, а наименьшая.

1) Оправдано ли заключительное предположение ученика? Обоснуйте.

2) Если в его решении есть ошибки и погрешности, то укажите их и подробно прокомментируйте.

(Е. Б. Гладкова (использована задача № 439 из учебника Н. Я. Виленкин и др.

Алгебра и математический анализ для 10 кл. – М.: “Просвещение”, 1999))

Комментарий. 1) Опечатки в условии задачи нет. Равнобедренного треугольника наименьшей площади, вписанного в данный круг, не существует. Это легко показать, рассматривая вписанный треугольник, близкий к “вырожденному”. Его площадь может быть равна сколь угодно малому положительному числу.

2) Главная ошибка ученика – в заключительной фазе решения: сделан неверный вывод об изменении знака производной, так как ученик “забыл”, что функция \(t=\cos \alpha\) на промежутке \(\left(0 ; \cfrac{\pi}{2}\right)\) убывает. Получив, что производная обращается в ноль при \(t=0,5\), можно было найти соответствующее значение \(\alpha=\cfrac{\pi}{3}\) и убедиться в том, что, на самом деле, “при переходе” через это значение аргумента производная меняет знак с плюса на минус, то есть \(\alpha=\cfrac{\pi}{3}\) является точкой максимума функции.

3) При этом, приведенные рассуждения ученика все равно не позволяют сделать вывод о том, что именно при таком значении \(\alpha\) функция принимает наибольшее значение. Это связано с другими погрешностями его решения, а именно: а) не указан промежуток, на котором рассматривается функция (формально говоря, не указано даже, что \(\alpha\) является ее аргументом), поэтому, в частности, неясно изза чего не рассмотрено значение \(t=-1\); б) не обоснована и даже не упомянута непрерывность функции, без чего ни один из двух стандартных алгоритмов поиска ее экстремальных значений (в том числе и тот, который, видимо, подразумевался в “решении”) не работает.

Устранив эти недочеты “решения”, можно обоснованно получить, что искомый треугольник – равносторонний.

Критерии проверки (баллы суммируются). Обоснована корректность условия задачи – 2 балла. Указана и прокомментирована основная ошибка – 4 балла. Указаны и прокомментированы остальные погрешности – 4 балла.

8. Приведите как можно больше различных способов решения задачи: “Найдите наибольшее значение выражения \(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}\).” (Фольклор, предложили А. Д. Блинков и С. Л. Синякова)

Ответ: 1.

Решение. Указанное значение достигается, например, при \(x=1, y=0\), поэтому достаточно рассмотреть различные способы доказательства неравенства \(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}} \leq 1\). Кроме того, \(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}} \leq|x| \sqrt{1-|y|^{2}}+|y| \sqrt{1-|x|^{2}}\), поэтому указанное неравенство достаточно доказать для случая, когда \(x \geq 0\) и \(y \geq 0\).

Первый способ (“алгебраический”). По неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим \(x \sqrt{1-y^{2}}=\sqrt{x^{2}\left(1-y^{2}\right)} \leq \cfrac{x^{2}+1-y^{2}}{2}\). Аналогично, \(y \sqrt{1-x^{2}} \leq \cfrac{y^{2}+1-x^{2}}{2}\).

Складывая эти неравенства почленно, получим: \(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}} \leq 1\).

Второй способ (“векторный”). Рассмотрим векторы \(\bar{a}\left(x ; \sqrt{1-x^{2}}\right)\) и \(\bar{b}\left(\sqrt{1-y^{2}} ; y\right)\) в декартовой системе координат. Так как \(|\bar{a}|=|\bar{b}|=1\), то \(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}=\bar{a} \cdot \bar{b}\) \(\leq|\bar{a}| \cdot|\bar{b}|=1\).

Отметим, что при этом способе решения не используется, что \(\mathrm{x} \geq 0 u y \geq 0\).

Разновидностью этого способа является применение неравенства Коши-Буняковского \[ \left(\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}\right)^{2} \leq \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2} \cdot \sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2} \text { для } k=2, \text { где } x_{1}=x ; y_{1}=\sqrt{1-y^{2}} ; x_{2}=\sqrt{1-x^{2}} ; y_{2}=y \text {. } \] Третий способ (“тригонометрический”). Из условия задачи и сказанного выше следует, что \(0 \leq x \leq 1\) и \(0 \leq y \leq 1\). Значит, на отрезке [ \(0 ; 90^{\circ}\) ] найдутся такие углы и \(\beta\), что \(x=\sin \alpha, y=\sin \beta\). Тогда \(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}=\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha=\sin (\alpha+\beta) \leq 1\).

При замене переменных можно также использовать и косинусы острых углов.

Четвертый способ (“геометрический”). Заметим, что при \(x=0\) или \(y=0\) доказываемое неравенство, очевидно, выполняется. Аналогично, если \(x=1\) или \(y=1\).

Если \(0 \lt x \lt 1\) и \(0 \lt y \lt 1\), то рассмотрим прямоугольные треугольники АВС и \(A D C\) с общей гипотенузой \(\mathrm{AC}=1\) (точки В и \(D\) лежат в разных полуплоскостях относительно АС, см. рис.). Тогда четырехугольник АВСD является вписанным в окружность диаметра 1.

Пусть \(\mathrm{AB}=\mathrm{x}, A D=y\), тогда \(\mathrm{BC}=\sqrt{1-x^{2}}, \mathrm{CD}=\sqrt{1-y^{2}}\) (см. рис.). По теореме Птолемея \(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{AD}=\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} \leq 1\), так как каждая из диагоналей четырехугольника не больше, чем диаметр описанной окружности.

Критерии проверки. Приведено не менее четырех способов решения – 10 баллов. Приведено три способа решения – 7 баллов. Приведено два способа решения – 4 балла.

Приведен один способ решения – 1 балл. Если приведены, в целом, верные рассуждения, но допущены неточности (не обоснован переход к неотрицательным значениям \(x\) и \(y\), не рассмотрены «крайние» значения \(x\) и y там, где это необходимо, и т. п.), то из общей суммы вычитается по 1 баллу за каждую неточность.

ЛИТЕРАТУРА

Зимняя И. А. (2004). Ключевые компетентности как результативно-целевая основа компетентностного подхода в образовании. Москва: Наука.

Сергеева, Т. Ф., С. Гроздев (2012), Субектность как методологический принцип, Математика и информатика, \(3,201-207\).

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. Theory and Practice. (The Bulgarian Experience). Sofia: ADE. ISBN 978-954-92139-1-1, 295 pages.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.