Десислава Георгиева

Верица Арсов1)

Toni Chehlarova

1) 1) 1), Erëmirë R. Aliu, Shpëtim Rexhepi, and Egzona Iseni

Dávid Paksi1), Márk Csóka1), Szilárd Svitek2)

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов,

Ивелина Велчева1), Ирина Карталева2)

Младен Вълков1)

kombinatorni zadachi. Mathematics and Informatics, 2, 193 – 202. (In Bulgarian). Valkov, M. (2022). Sinhronno distantsionno obuchenie v obrazovatelnata igra “StruniMa”. Pedagogicheski forum, 1, DOI: 10.15547/PF.2022.005, ISSN:1314-7986. (In Bulgarian).

Dragomir Grozev, Nevena Sybeva

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

Vladislav Natchev

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev1)

Ivaylo Staribratov, Muharem Mollov

Ilias Solakis, Irena Atanasova

Kalinka Kaloyanova1, 2)

Драгомир Грозев

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Георги Гачев

Стефка Анева, Елена Тодорова

Alla Prus, Ivan Lenchuk

Maria Mpitsi

Стоян Мечев

Dalibor Milev,Nadezhda Borisova,Elena Karashtranova

Пеньо Лебамовски1),Марияна Николова2)

Evgeniya Nikolova

Тони Чехларова1),Койя Чехларова2)

Ирена Първанова1),Венцислав Радулов2)

Панка Вълева,Генчо Стоицов,Иван Димитров

Nikolay Kyurkchiev , Tsvetelin Zaevski Anton Iliev , Vesselin Kyurkchiev , Asen Rahnev

Krassimir Manev

Verica Milutinovi´c

Evgeniya Nikolova

Наталия Павлова

Тони Чехларова, Младен Вълков

Shpresa Tuda, Shpetim Rexhepi

Simeon Emanuilov, Aleksandar Dimov

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

Теменужка Зафирова-Малчева, Николина Николова, Пенчо Михнев

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Георги Гачев

Стефка Анева, Елена Тодорова

Ивайло Кортезов

Nikolai Nikolov , Mladen Savov

Elena Karashtranova , Aharon Goldreich , Nadezhda Borisova

2. Компетентностен подход Компетентностният подход се базира на използването на инте- рактивни методи и нови технологии за обучение, които спомагат за

Цветелина Йорданова

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

Dr. Boyko Bantchev, Assoc. Prof.

Диана Петрова

Silvia Gaftandzhieva , Rositsa Doneva , Sadiq Hussain Ashis Talukder , Gunadeep Chetia , Nisha Gohain

Assist. Prof. Stefan Stavrev, Assist. Prof. Ivelina Velcheva

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

Dr. Valentin Bakoev, Assoc. Prof.

Георги Гачев, Петър Кендеров, Тони Чехларова

Dr. Daniela Zubović, Dr. Dina Kamber Hamzić

Надежда Аплакова

Велика Кунева, Мариян Милев

Oleg Mushkarov , Nikolai Nikolov

Prof. Dr. Jasmin Bektešević, Prof. Dr. Vahidin Hadžiabdić, Prof. Dr. Midhat Mehuljić, Prof. Dr. Sadjit Metović, Prof. Dr. Haris Lulić

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

Dr. Margarita Gocheva, Chief Assist. Prof. Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof. Prof. Dr. Elena Somova

Ас. Павлин Цонев

Dr. Desislava Georgieva

Мариян Милев , Велика Кунева

Диляна Димитрова

Dr. Ivaylo Kortezov, Assoc. Prof.

Penko Ivanov, Elitsa Pavlova

Radoslav Božić , Hajnalka Peics , Aleksandar Milenković

Dr. Pohoriliak Oleksandr, Assoc. Prof. Dr. Olga Syniavska, Assoc. Prof. Dr. Anna Slyvka-Tylyshchak, Assoc. Prof. Dr. Antonina Tegza, Assoc. Prof. Prof. Dr. Alexander Tylyshchak

Гл. ас. д-р Борислава Кирилова, доц. д-р Филип Петров

Калин Димитров , проф. д-р Евгения Ковачева „Интелигентният педагогически подход насърчава с инер- гията между технологиите и педагогиката и използва дигиталните игри в учебния процес“. Л. Даниела (Daniela 2020)

Проф. д. н. Наталия Павлова

Проф. д.п.н. Йордан Табов, проф. д-р Веселин Ненков, гл. ас. д-р Асен Велчев, гл. ас. д-р Станислав Стефанов

Росица Георгиева

Гл. ас. д-р Валентина Дянкова, д-р Милко Янков

Assoc. Prof. Dr. Evgeniya Nikolova

Ivan Lenchuk, Alla Prus

Assist. Prof. Dr. Stefan Stavrev Assist. Prof. Dr. Ivelina Velcheva

Prof. DSc. Stoyan Kapralov , Assoc. Prof. Dr.Valentin Bakoev , Kaloyan Kapralov

Митко Кунчев

Dr. Hab. Roman Vernydub, Assist. Prof. Dr. Oxana Trebenko, Prof. DSc. Oleksandr Shkolnyi

Д-р Красимир Манев

Д-р Явор Дечев

Росица Георгиева

Д-р Ивелина Велчева, д-р Христо Христов

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

Assoc. Prof. Dr. Boyko Bantchev

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

Доц. д-р Марияна Николова, ас. Нели Кискинова

Доц. д-р Димитър Атанасов , д-р Красимир Манев , доц. д-р Весела Стоименова , държавен експерт Ралица Войнова

Assoc. Prof. Dr. Krasimir Harizanov

Стоян Мечев

Prof. Dr. Aslanbek Khamidovitch Naziev

Kalin Dimitrov, PhD student, Dr. Eugenia Kovatcheva, Assoc. Prof. “When I wanted to learn something outside of school as a kid, cracking open my World Book encyclopedia was the best I could do. Today, all you have to do is go online.” – Bill Gates

Dr. Ivaylo Kortezov, Assoc Prof.

Гл. ас. д-р Филип Петров

Dr. Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Dr. Elena Somova, Prof.

Ас. Павлин Цонев

Dr. Lilyana Petkova, Dr. Vasilisa Pavlova, Assist. Prof.

Dr. Silvia Gaftandzhieva, Assoc. Prof. , Prof. Dr. Rositsa Doneva , Milen Bliznakov, PhD

Dr. Lasko M. Laskov, Assoc. Prof.

Dr. Alina Voievoda, Assoc. Prof. , Dr. Svitlana Pudova, Assoc. Prof. , Dr. Oleh Konoshevskyi, Assoc. Prof.

Prof. Dr. Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Гл. ас. д-р Филип Петров

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Neli Baeva, Assist. Prof

Тони Чехларова

Доц. д-р Ивайло Кортезов, Мирослав Маринов

Dr. Evgeniya Nikolova, Assoc. Prof., Dr. Mariya Monova-Zheleva, Assoc. Prof., Dr. Yanislav Zhelev, Assoc. Prof.

Dr. Alexander Aleksandrovich Rybanov, Assoc. Prof.

Гергана Карабельова, Гл. ас. д-р Филип Петров

Dr. Nadezhda Borisova, Assist. Prof., Dr. Elena Karashtranova, Assoc. Prof.

Dr. Hristo Hristov, Assist. Prof. , Radka Cherneva

Amra Duraković , Senior Teaching Assistant, Dr. Dina Kamber Hamzić , Assist. Prof.

Веселин Гушев, Данаил Гушев

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof.

Митко Кунчев, д-р Тодор Митев

Prof. Dr. Toni Chehlarova

Dr. Svetlana Mikhaelis, Assoc. Prof., Dr. Vladimir Mikhaelis, Assoc. Prof., Mr. Dmitrii Mikhaelis

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

Емил Келеведжиев

Борислав Лазаров, Веселин Златилов

Prof. Dr. Shkolnyi Oleksandr , Prof. Shvets Vasyl , Dr. Akiri Ion

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Evgeni Andreev, Assist. Prof., Dr. Mariya Nikolova, Assoc. Prof.

Dr. Radoslav Bozic, Assist. Prof. , Prof. Dr. Djurdjica Takaci , Milan Grujin

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

Muharem Mollov, PhD student , Petar Petrov, PhD student

Yulian Ivanov Petkov, PhD student, Dr. Alexandre Ivanov Chikalanov, Assoc. Prof.

Гл. ас. д-р Деян Михайлов

Dr. Ivaylo Staribratov, Assoc. Prof., Nikol Manolova

Доц. д-р Юлия Нинова

Проф. д-р Росен Николаев, доц. д-р Танка Милкова

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

Доц. д-р Маргарита Ламбова, гл. ас. д-р Ваня Стоянова

Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Prof. Dr. Elena Somova

Prof. Dr. Toni Chehlarova

Веселин Златилов

Dr. Lyubka Aleksieva, Assoc. Prof., Prof. Dr. Iliana Mirtschewa, Snezhana Radeva, PhD Student

Dr. Lasko M. Laskov, Assoc. Prof.

Краен срок за изпращане на решения: 20 януари 2022 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg. Скъпи прияте

Задача 1. Число, което е точен квадрат на естествено число, се записва с няколко единици и една двойка. Докажете, че това число се дели на 11. Решение. Нека е такова число. Можем да го запишем като

Dr. Radoslav Bozic, Assist. Prof. , Prof. Dr. Djurdjica Takaci

Dr. Krasimir Harizanov, Assoc. Prof.

Доц. Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

Vehbi Ramaj , Prof. Dr. Sead Rešić , Anes Z. Hadžiomerović , Samira Aganović

Доц. д-р Евгения Горанова, доц. д-р Валентина Войноховска

Prof. Olha Matiash, Dr. Liubov Mykhailenko, Prof.Vasyl Shvets, Prof. Oleksandr Shkolnyi

Гл. ас. д-р Филип Петров

Краен срок за изпращане на решения: 20 ноември 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в електр

Задача 1. Намерете всички взаимно прости естествени числа a и b, за кои- то .

Prof. Dr. Sead Rešić, Vehbi Ramaj, Biljana Petković, Samira Aganović

Dr. Dmitry Igorevich Pavlov Adel Victorovna Kaplan Kirill Viktorovich Butarev

Марин Маринов, Петя Асенова

Assoc. Prof. Silvia Gaftandzhieva, Prof. Rositsa Doneva, Assist. Prof. George Pashev, Mariya Docheva

Цветелин Андреев

Албена Василева

Николай Кънчев

Краен срок за изпращане на решения: 10 октомври 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в елект

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели . Решение. От тъждеството

Dr. Georgi Tsochev, Assist. Prof.

Евгения Сендова

Prof. Dr. Borislav Lazarov, Dr. Ivailo Kortezov, Assoc. Prof.

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

Prof. Dr. Sead Rešić, Prof. Dr. Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

Д-р Севдалина Георгиева

Евгения Сендова

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели .

Задача 1. В равнината са дадени точка A и окръжност k с център O. Наме- рете геометричното място на центровете на описаните окръжности на три- ъгълници ABC, където BC е диаметър на k. Решение. Ако точката A лежи на окръжността k, то всички триъгълници ABC имат център на описаната окръжност точка O. В този случай търсеното множество е точката O. Нека A е външна за окръжността. Да разгледаме диаметър на k, който е перпендикулярен на AO. Центърът на описаната окръжност за е точ- ка S върху

С чувство за голяма загуба съобщаваме на нашите читатели, че на 09.05.2021 година на 69-годишна възраст напусна този свят членът на редакционния съ- вет на списание „Математика и информатика“ проф. д.м.н. Дору Стефанеску. Отиде си един уважаван румънски учен математик, старши заместник-пред- седател на Румънското математическо общество и изпълнителен редактор на Бюлетина на това общество, трикратен президент на Математическото обще- ство на Югоизточна Европа. Математическите способности на

Fateme Moradi

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

Маргарита Ламбова

Bogdana Koneva, Maria Shabanova

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Marieta Atanasova

Evgeniya Nikolova, Yanislav Zhelev, Mariya Monova-Zheleva

Христо Христов, Николай Чочев

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението:

+ += и 2 cos cos cosx y z xy yz zx ++= + + Да се докаже, че от отсечки с дължини x, y и z може да се построи триъгъл- ник с ъгли , и . Решение. От равенството 0 2 cos cos cos sin sin cos cosx y z xy yz zx y z y z x =++− + + = − + + −

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков Елена Киселова

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

Габриела Кирякова, Надежда Ангелова

Любка Алексиева

Alexander Fedosov, Anastasia Karnaukhova

Слави Кадиев, Юлия Нинова

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението: 5 10 2 nn−+= Задача 2. За положителните числа a, b, c и d е изпълнено равенството 1abcd+++ = . Да се докаже, неравенството: 1 18abcd abcd +++ + ≥

Асен Кожухаров, Стоян Мечев

Marina Egupova

Muharem Mollov, Gencho Stoitsov

Lasko M. Laskov

Оксана Федоровна Абрамова, Александр Александрович Рыбанов

Добринка Бойкина

Диана Стефанова

С голямо прискърбие посрещнахме вестта, че известният математик, високо еру- дираният образователен деятел и член на редколегията на българското списание „Ма- тематика и информатика“ проф. Николай Христович Розов вече не е сред нас. Неочак- ваната смърт го застигна на поста декан на

Задача 1. В турнир участвали 799 отбора, като всеки два отбора изиграли по една среща помежду си (всяка среща завършва с победа на единия то двата отбора). Да се докаже, че има 14 отбора, така че всеки от първите 7 отбора е победил всеки от последните 7.

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

Здравко Лалчев, Ирина Вутова

Лъчезар Томов, Георги Дойчинов

Добрин Башев, Пламен Динев

Задача 1. Вписаната в ∆ABC окръжност се допира до страните AB, BC и CA съответно в точки P, Q и R. Ъглополовящата на ъгъла при върха C пресича PQ в точка S. Да се докаже, че правите AS и RQ са успоредни. Задача 2. Естественото число n се нарича хубаво, ако множества {1, 2, 3,..., п} може да се разбие на k непресичащи се множества така, че всяко от множест- вото да съдържа средното аритметично на елементите си. Намерете всички хубави числа за k = 2 и k = 3. Задача 3. Намерете всички функци

Павел Азълов

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Nataliya Pavlova

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Сергей Ларин

Задача 1. Нека . Да се намери сумата на всички ес- тествени числа от интервала , за които се дели на . Росен Николаев и Танка Милкова, Варна

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа , които са решения на уравнението Милен Найденов, Варна Решение: eдно множество от решения на разглежданото уравнение се описва със следните формули: , , където Задача 2. Средите на диагоналите и на изпъкналия четириъгъл- ник са съответно и , а пресечната им точка е . Ако втората пресечна точка на описаните около триъгълниците и окръжнос- ти е и , да се докаже, че правата с

Павел Азълов

Любка Славова, Коста Гъров

Костадин Петлешков

Oleg Zverev, Tatiana Sergeeva

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Костадин Петлешков

Сава Гроздев

Юлия Дончева

Задача 1. Равнобедреният трапец има основи с дължини и , като е такъв, че средите на страните му са върхове на квадрат. Ако дължината на бедрото на е , а разстоянието от пресечната точка на диагоналите му до бедрата е , да се докаже, че . Милен Найденов, Варна

Решение: тъй като , т.е. когато

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Mark Applebaum

А. В. Ястребов, Г. А. Клековкин

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Мухарем Моллов, Генчо Стоицов

Надежда Ангелова

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

Krasimir Yordzhev

Задача 1. По пътя между два града има три тунела с обща дължина 2 ки- лометра и 900 метра. Разликата в дължините на втория и третия е 20 пъти по-малка от дължината на първия тунел. Общата дължина на втория и третия е с 500 метра по-голяма от дължината на първия. Да се намерят дължините на трите тунела, ако третият тунел има най-малка дължина. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. Да се докаже, че във вписан в окръжност четириъгълник е изпълнено неравенството . Хаим Хаи

Adel Kaplan, Dmitry Pavlov, Myrad Myradov

Десислава Георгиева

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

Сава Гроздев, Росен Николаев, Танка Милкова

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа, които са дължи- ни в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с телесен диаго- нал . Христо Лесов, Казанлък Решение. Нека са дължините в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с диагонал . Изпълнено е равен- ството . Оттук имаме . Следо- вателно . Затова , т.е. . От друга страна, , което означава, че . Затова , т.е. . По този начин получихме, че . Като направим необходимите проверки при

Задача 1. Дадени са системите линейни уравнения

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

Христо Христов, Ангел Игнатов

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

Евгений Воронцов, Никита Платонов

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Веселин Ненков, Станислав Стефанов

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Natasa Hoic-Bozic, Darko Lončarić, Martina Holenko Dlab

Lyubka Slavova, Kosta Garov

Muharem Mollov

Gabriela Kiryakova

Христина Костадинова, Марияна Райкова

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Сергей Ларин

Аделина Иванова, Владислав Тодоров

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Иван Попов

Šefket Arslanagić

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Marin Marinov, Lasko Laskov

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Камелия Колева

Radan Miryanov, Katya Chalakova

Hiroshi Okumura

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

Krasimir Yordzhev

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina,Tatyana Shirikova

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Павел Азълов

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

Лариса Удовенко, Мария Шабанова, Магомедхан Ниматулиев

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

Наталия Павлова

Ivaylo Staribratov, Radka Todorova

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

Tanka Milkova

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Павел Азълов

Киселев, Геннадий Михайлович; Червова, Альбина Александровна

Lyubka Slavova, Kosta Garov

Петя Асенова, Марин Маринов

Šefket Arslanagić

Хаим Хаимов

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Александр Луканкин, Ирина Слободская

Sergey Larin, Valeriy Mayer

Румен Тодоров

Роза Атамуратова, Mихаил Aлфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

Милен Замфиров

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Добрина Велинова, Ивелина Шумакова

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казваме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са проти- воположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свързващи и , по които мухата може да мине, когато: а) и n = 6; б) и ; в) m и са произволни естествени числа.

Задача 1. Да се докаже, че: а) се дели на ; б) се дели на . Христо Лесов, Казанлък Решение на Златка Петрова от Ямбол: а) От дефиницията за факториел имаме . Оттук очевидно следва, че разглежданото число се дели на . б) Лесно се проверява, че е просто число. Затова от теоремата на Уилсън следва, че . Сега, като вземем предвид, че , получаваме което доказва твърдение б).

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

Диана Стефанова

Дарья Коптева, Ксения Горская

Веселин Ненков

Веселин Ненков

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението , ако: а) ; б) . Тодор Митев, Русе Решение: а) . Първо да отбележим следните две твърдения: 1) най-големият общ делител на и е или за всяко цяло . Това твърдение следва непосредствено от равенството ; 2) ако е просто число и дели , то дели . Това твърдение се доказва по следния начин. От условието

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Станислав Стефанов

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа , за кои- то е изпълнено равенството: а) ; в) Христо Лесов, Казанлък

Решение: а) 11 1 1 1 1 nx x x x kx x x x ′ ′ − + − +−  −  = = = =   − −   .

Пламен Пенев

Емилия Николова, Даниела Тупарова

Красимир Йорджев

Севдалина Георгиева

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Petya Asenova

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между местата на пър- вата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с по-бавно, то той ще срещне първия мотоциклет след тръгването си, а разстоянието между местата на двете срещи ще бъде . Определете разстоянието , ако скоро

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Ангел Гушев

Румяна Несторова

Пламен Пенев

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

Димитър Опарлаков

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големи- на кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най- много 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество оре- хи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три. Тъй като на Иван му харесало числото с тез

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

Здравко Лалчев, Ирина Вутова

Зара Данаилова-Стойнова, Петър Данчев

Иван Стефанов, Деян Димитров, Борислав Борисов

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

Aldiyar Zhumashov

Здравко Лалчев, Ирина Вутова

Диана Стефанова

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението x )!63(1  , ако: а) ; б) . Тодор Митев – Русе

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което приема най-малка стойност. Христо Лесов – Казанлък Решение: съгласно малката теорема на Ферма за всяко естествено чис- ло и просто число , числото се дели на , т.е. дава оста- тък при деление на . Тъй като е просто число, от тази теорема следва, че дава остатък при деление на и дава остатък

Коста Гъров, Севдалина Георгиева, Елена Ковачева, Ангел Ангелов

Диана Стефанова

Борислав Лазаров

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Houssam Zenati

Radan Miryanov, Velina Yordanova

Слави Харалампиев и Румяна Несторова, Враца

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките

Сава Гроздев

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

Диана Стефанова

Радан Мирянов, Йордан Петков

Росен Николаев, Танка Милкова

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг съответно автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между места- та на първата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едновременно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти, така че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всич- ки редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диа- гоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: прилагаме действието към единия диагонал

Марга Георгиева, Диана Стефанова

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

Станислав Стефанов

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Милен Замфиров

Красимир Харизанов, Наталия Павлова

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Борис Тебиев, Александр Луканкин

Александра Трифонова

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големина кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най-мно- го 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество орехи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един орех, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три ореха. Тъй като на Иван му харесало бро

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния Решение. Нека е дискриминанта- та на квадратното спрямо уравнение . Сле- дователно . Оттук получаваме равенството . Предполагаме, че

Marga Georgieva, Sava Grozdev

Веселин Дзивев

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

Катина Тончева, Маргарита Върбанова

Иван Держански

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Иван Держански, Веселин Златилов

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа n и k, при които стойността на израза 2017 + 3 + 4 e: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък

Задача 1. Редицата на Фибоначи се дефинира с равенствата и . Да се докаже, че всяка от редиците и съдържа безброй много двойки съседни членове, които се де- лят на . Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: в началото ще докажем следната Лема. За всяко числата на Фибоначи притежават свойствата: а) последната цифра на числата и е ; б) последната цифра на числата , , и е ; в) последната цифра на числата , , и е .

Петър Петров

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Диана Стефанова

Веселин Ненков, Даниел Ангелов

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което най-малка стойност. Христо Лесов, Казанлък

Задача 1. За всяко естествено число да се намери растяща редица от естествени числа , , , , , за които е изпълнено равенството Христо Лесов, Казанлък Решение: от условието имаме Затова , , , , и , , .

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

Елена Радованова

Диана Стефанова, Пламен Пенев

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

Reinhard Magenreuter

Reinhard Magenreuter

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките и лежат в една полуравнина спрямо и са такива, че и са равностранни. Ако е петата на перпендикуляра, спуснат от към , да се намери геометричното място на точката , когато описва . Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров – Архангелск, Русия

Задача 1. Целочислените редици и са дефинирани чрез равенствата , , , , при . а) Да се докаже, че за всяко цяло число точно едно от числата , и б) Да се определят целите числа , за които и са взаимно прости числа за всяко естествено число . Христо Лесов – Казанлък Решение: дадените рекурентни равенства представяме по следния на- чин: вателно

Веселин Дзивев

Диана Стефанова, Пламен Пенев

Šefket Arslanagić

Šefket Arslanagić

Sava Grozdev, Deko Dekov

Reinhard Magenreuter

Reinhard Magenreuter

Елена Радованова

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едно- временно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти така, че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всички редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диагоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. В окръжност с център е вписан разност

Задача 1. Дадена е функцията , където m, n, ∈ℕ. Ако и са корените на уравнението и е изпълнено

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Katerina Anevska, Metodi Glavche, Risto Malceski

Сава Гроздев, Десислава Георгиева

Христо Крушков

Мая Стоянова, Даниела Тупарова, Костадин Самарджиев

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията и . Милен Найденов, Варна Решение. Разделяме двете страни на първото уравнение на и полу- чаваме . Полагаме и уравнението добива вида . Тъй като функцията е растяща (лявата графика на чертежа), то уравнението ално решение . С непосредствена проверка се вижда, че това решение е . Оттук намираме, че е единственото решение на първо- то уравнение. След това разделяме двете страни на второто уравнение на

Ярослав Ваграменко, Сава Гроздев, Александр Русаков

Росен Николаев, Йордан Петков

Христо Крушков

Румяна Несторова

Христо Крушков

Хари Алексиев

Сава Гроздев – София, и Веселин Ненков – Бели Осъм

След заместване на намерените две неравенства в дясната страна на . Равенство се достига тогава и само тогава,

Татьяна Буторина

Павел Азълов

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

Диана Стефанова, Пламен Пенев

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Katerina Anevska, Sava Grozdev, Risto Malčeski

Наталия Павлова

Задача 1. За всяко естествено число n да се намери растяща редица

Задача 2. Нека P е произволна точка от описаната окръжност на на . Ако докаже, че точките лежат на една права. Хаим Хаимов, Варна, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение. Ще докажем, че правите ра на описаната около окръжност . Оттук непосредствено следва

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Александр Русаков

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Зара Данаилова-Стойнова, Ивайло Старибратов

Иван Держански

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2n ≥

.

Metodi Glavche, Risto Malčeski, Katerina Anevska

Desislava Georgieva

Милен Замфиров

Šefket Arslanagić

Sava Grozdev, Deko Dekov

Хаим Хаимов

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Задача 1. Дадена е функцията , където ,mn∈ . Ако x и x са корените на уравнението f (x) = 0 и е изпълнено (2) (3)ff t xx xx −− ==∈ +  , да се намерят m и n. Росен Николаев, Варна

Задача 1. Параметрите a и b в уравнението 5x + 2x + 4ax  x + 2bx + 4b  a = 0 са такива, че то има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 1 и 2 са корени на даденото уравнение, то след заместване в уравнението се получават съответно равенствата: 5a+2b = 4 и 31a+8b = 188. След решаване на получената система от две уравнения с две неизвестни се полу- чава: a = 4 и b = 8. Заместваме на

Сава Гроздев

BULGARIAN EDUCATIONAL JOURNAL ANNUAL CONTENTS / ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ

Павел Азълов

Ридван Исуфов

Милен Петров, Камелия Йотовска

Sava Grozdev, Deko Dekov

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Силвия Байчева, Васил Грозданов

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията 3.2 8.3 159000 += и 32.11 56697728 x += . Милен Найденов, Варна

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра k, за които уравнението ( ) ( ) , 10k ≠ притежава цело- числени корени. Милен Найденов, Варна Решение: Ако x и x са корените на уравнението, то 2 21 1 2 10 10 k xx kk - + = =- -- е цяло число. Затова 1 10 p k = - е цяло. Оттук получаваме 10 1p k p + = . За дискри- минантата D на уравнението намираме 6 24p D p -- = . Тъй като D трябва да е точен квадрат, то 6 24pn- -= за някое цяло число n. Последното равен

Павел Азълов

Erich Neuwirth

Alexander Yastrebov, Maria Shabanova

Sava Grozdev, Deko Dekov

Пламен Пенев, Диана Стефанова СОУ „Панайот Волов“ – Шумен ОУ „Никола Йонков Вапцаров“ – Асеновград

Владимир Жук Республиканская специализированная физико-математическая средняя школа-интернат имени О. Жаутыкова

Росен Николаев

Emil Delinov

Тодорка Терзиева

2S SS=

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа uxyv , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна Решение: Събираме почленно равенствата и получаваме . Оттук следва равенството ( ) ( )( ) 1 1 1 12xy uv− −+ − −= . Последното равенство е изпълнено при ( ) 1 11 xy − −= и ( )( ) 1 11uv− −= ; ( ) 1 12xy− −= и ( )( ) 1 10uv− −= ; ( ) 1 10xy− −= и ( )( ) 1 12uv− −= . Оттук лесно се вижда, че търсените числа са: 2222, 5231, 1235, 3152, 3512, 5321, 1325,

Татьяна Буторина

Павел Азълов

Sava Grozdev, Deko Dekov

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Лиляна Каракашева-Йончева

Румяна Маврова, Зара Данаилова

Милен Замфиров

Росен Николаев, Йордан Петков

Иван Держански

Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x + 2x + 4ax - x + 2bx + 4b  a = 0 има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София Веселин Ненков, Бели Осъм

Задача 1. Ако a  3 е нечетно число и k 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: Означаваме с r търсения остатък. При k = 2 е изпълнено равенството . Тъй като , то . Сега от равенството се получава , къ- дето M е цяло число. Ако k = 2l, l k = 2l + 1, l . В този случай получаваме, че . Разглеждаме случая, при който k = 3. От рела- циите и

Сава Гроздев, Деко Деков

Сава Гроздев, Деко Деков

Тихомир Иванов

Šefket Arslanagić

Šefket Arslanagić

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Стефка Димова

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра , за които уравнението притежава це- лочислени корени. Милен Найденов, Варна

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a , и c е изпълне- но неравенството Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Решение: Ако , R и са съответно лицето, радиусът на описа- ната окръжност и полупериметърът на триъгълника, то са изпълнени следните релации: и . От двете равенства лесно се вижда, че разглежданото неравенство е еквивалентно с , което съвпада със споменатото неравенство.

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

Тихомир Иванов

Пламен Пенев СОУ „П. Волов“ – Шумен

Вилислав Радев

Г. Х. Гайдаржи, А. А. Русаков ПГУ им. Т. Г. Шевченко

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Сава Гроздев, Деко Деков

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на a, b и c, при които коре- ните на уравнението 10x a b c x ab bc ca++++ +++= са цели числа. Милен Найденов, Варна

Задача 1. Да се намерят всички реални функции : 1, 1,fx +∞ → +∞ , за които при и 0y > е изпълнено равенството fx fx= . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния Решение: Нека 1 log ln ye x == . Тогава fx fx fe== . Полагаме 1fe a => . От условието получаваме a fe fx== , откъдето fx a = . Освен това . Затова, като положим α , получаваме, че търсените функции са fx x = за всички α .

С. А. Бешенков, А. Х. Дзамыхов

Тихомир Иванов,

Сава Гроздев, Деко Деков

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Risto Malčeski

Šefket Arslanagić

Сава Гроздев, Диана Стефанова

Петя Сярова СОУ „Васил Левски“ – Ямбол

Задача 1. Намерете цифрите , , и в десетична бройна система, ако е изпълнено равенството . Йон Патралику, Крайова, Румъния

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа , за които са изпълнени неравенствата: 2 2 2 28, 6, 3 8.

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова Образцова математическа гимназия „Акад. Кирил Попов” „Колкото човек е по-близо, толкова по-малко вижда“ Зрителна измама, филм на Луи Летерие

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Šefket Arslanagić

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9 3 15xx x+ +≥ . б) Намерете реалните стойности на , при които за всички , , 1,abc∈ − +∞ , е изпълнено неравенството 31a b c a b c kabc + + + + + +≥ ++ . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: а) Разглежданото неравенство е еквивалентно с 13 1 0 xx + −≥ , което е очевидно при . б) От а) следват неравенствата 9 3 15aa a+ +≥ , 9 3 15bb b+ +≥ и 9 3 15cc c+ +≥ . След почленно събиране получаваме 5 31 3 a b c a

Здравко Лалчев

Павел Азълов

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Росен Николаев, Йордан Петков

Сава Гроздев, Елиза Петрова

Ivaylo Staribratov, BistraTaneva High School of Mathematics „Akad. Kiril Popov“

Ваня Бизова-Лалева Национална търговска гимназия

Задача 1. Ако a ³ 3 е нечетно число и k ³ 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с .

24 24 2 2 .2 8. 2 8.1024 8. 1000 1 8.10 . 1 23. 1000 1000     == = = + > + =         557 500 3 8.10 . 1 8.10 . 1 8.10 . 12.10 10.10 10 1000 1000 2  = +> += = > =  

Ангел Ангелов

Пламен Пенев СОУ „Панайот Волов“

Сава Гроздев, Деко Деков

Ирина Вутова

Румяна Несторова Регионален инспекторат по образованието - Враца

Šefket Arslanagić

Сава Гроздев, Веселин Ненков, Деко Деков

Иван Держански Българска академя на науките

Донка Пашкулева

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a, b и c е из- пълнено неравенството (a+b+c) (2b c + 2c a + 2a b - a - b - c ) £ 27a b c . Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Ако M е множеството на всички равнобедрени триъгълници, стра- ните и лицето на които са естествени числа, да се намерят три триъгълника от M, различните страни на които са последователни естествени числа. Милен Найденов, Варна

Задача 1. Реалните числа , , , и са такива, че:

Šefket Arslanagić, Alija Muminagić

Веселин Ненков

Сава Гроздев, Деко Деков

Нина Иванова

Магдалена Петкова

Венцислав Джамбазов

Пламен Пенев

Даниела Димитрова

Задача 1. Да се намерят всички реални функции f (x) : (1, + ) (1, + ), за които при x > 1 и y > 0 е изпълнено равенството f (x ) = (f (x)) . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата 3 cos cos cos 3 1 216 abc abc abc abc ⎡⎤ ++ ++ −≤++< − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ .

ГОДИНА LVI / VOLUME 56, 2013 ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ / ANNUAL CONTENT СТРАНИЦИ / PAGES КНИЖКА 1 / NUMBER 1: 1 – 96 КНИЖКА 2 / NUMBER 2: 97 – 200 КНИЖКА 3 / NUMBER 3: 201 – 296 КНИЖКА 4 / NUMBER 4: 297 – 400 КНИЖКА 5 / NUMBER 5: 401 – 496 КНИЖКА 6 / NUMBER 6: 497 - 608

Кайрош Макишев

Александр Блинков

Евгения Стоименова

Сава Гроздев, Деко Деков

Росен Николаев

Евгения Горанова

Ivan Shotlekov, Vanya Ivanova, Kirina Boykova

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа (x, y, z), за които са изпълнени неравенствата:

Задача 1. За всяко реално число x означаваме с [x] най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на x. Да се намерят всички прости числа p, за които числото е просто.

Mathematics and Informatics Journal publishes scientifi c, scientifi c-popular, review and information materials. Papers of scientifi c character should report original research and ideas inspected through expert evaluation by two anonymous and independent referees. It is recommended that the manuscripts are sent as attachment fi les to the following addresses mathinfo@azbuki.bg and sava.grozdev@gmail.com. Disks or other electronic devices are admissible too and in such a case the postal a

Вячеслав Тепляков, Нина Патронова

Сава Гроздев, Елиза Петрова

Сава Гроздев, Диана Стефанова

Христо Лесов

Пенка Рангелова

Сава Гроздев, Деко Деков

Христо Христов, Христо Крушков

Пламен Матеев

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9315xx x++≥ .

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа x, y и z, за които е изпълнено равенството . Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 13 = 2197, 2.11 = 2662 и 3.9 . 2187, то x 12, y 10 и z 8. Освен това x и z имат различна четност. Така с непосредствена проверка се вижда, че когато z = 1,3,5,7 при x = 2,4,6,8,10,12 и z = 2,4,6,8 при x = 1,3,5,7,9,11, само x = 2, y = 10, z = 1 е решение на даденото уравнение.

чл. кор. Юлиан Ревалски

Елена Скафа

Павел Азълов

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

Филип Петров, Даниела Дурева-Тупарова

Коста Гъров, Елена Тодорова

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Задача 1. Да се сравнят числата Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Точките E и F са среди съответно на диагоналите AC и BD на чети- риъгълника ABCD. Ако BAE ADE= и , да се докаже, че симе- дианите на триъгълниците ABC, BCD, CDA и DAB съответно през върховете B, C, D и A се пресичат в една точка. Хаим Хаимов, Варна Задача 3. Вписаната в окръжност се допира до , и AB съот-

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния Решение: Изпълнени са равенствата ! 1! 1 1! 1 !! np Sp C p np + =− +=− +=

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

Мария Шабанова, Светлана Котова

Сава Гроздев, Деко Деков

Таня Тонова, Николина Николова

Бистра Царева, Радка Тодорова

Пролет Лазарова

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Ваня Бизова – Лалева

Задача 1. Реалните числа , , , и са, такива че:

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa a bb b  , за които е изпълнено равенството aa a bb b aa a bb b=   . Николай Белухов, Стара Загора Решение: Нека A aa a=  и B bb b=  . От условието следва равенството .10 . A B AB+= , откъдето .10 1 . A AB =− . Тъй като , 11AA −= , то 1|10 A − , откъдето 1 1 2 .5 AA− += . Ако числата 1A − и 1A + са едновременно нечетни, то , а 1A − и 1A + са степени на петицата с разлика две, което е невъзможно. Остава само възмо

Навършиха се 70 години от рождението на изтъкнатия български математик проф. дмн Генчо Скордев. Юбилярът е член-кореспондент на БАН и дългогодишен главен редактор на сп. „Математика и информатика“. По този повод е следващият материал, в който авторът разказва свои спомени с исторически характер, свързани с активното му участие в образователните процеси в България по математика и информатика.

Николай Розов

Павел Азълов

Сава Гроздев, Деко Деков

Šefket Arslanagić

Даниела Минковска

Генчо Стоицов, Коста Гъров

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата .

Задача 1. В множеството на реалните числа е дефинирана бинарна опера- ция :⊗ ×→  , където : \0=  , която условно ще наричаме умножение и такава, че за всеки три реални числа , и , където , е в сила ра- венството .ac a bc b ⊗⊗= . Ако е известно, че , да се пресметне 2011 2012 2011 2012⊗⊗⊗ . Живко Желев, Стара Загора Решение: Първи начин (авторско решение). Нека . Тогава .1 11 1 a ata a⊗= ⊗ ⊗ = = . Оттук получаваме 2012. 1 2012 2012 2012 2012 2012 t tt=⊗=⊗ ⊗= =

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Запрян Запрянов, Николай Райков

Борислава Кирилова

Ваня Бизова-Лалева

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Милен Замфиров

Христо Лесов, Казанлък

доц. д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН) Десетата Международна олимпиада по лингвистика (МОЛ) се проведе в Любляна (Словения) от 30 юли до 3 август 2012 г. В нея взеха участие 131 ученици, съставящи 34 отбора от 26 страни. За първи път свои състезатели изпратиха Гърция, Китай, Израел, Унгария и Япония. Бяха представени също Австралия, Бразилия, България, Великобритания, Германия, Естония, Индия, Ирландия, Канада, Латвия, Нидерландия, Полша, Румъния, Русия, САЩ, Сингапур, Словения, Сърбия, Чехи

Gregor Dolinar

Милен Замфиров

Даринка Гълъбова

Юлия Нинова, Веселка Михова

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

Петя Асенова, Сава Гроздев

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа , и , за които е из- пълнено равенството Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм

Задача 1. Да се докаже, че за всяко цяло положително число уравнението има безброй много решения в цели положителни числа

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Сава Гроздев

Hiroshi Okumura

Венцислав Джамбазов

Галя Кожухарова

Димитрина Брънекова

Живко Желев

Борислав Лазаров

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния

Задача 1. Едно цяло положително число n ще наричаме “интересно”, ако може да бъде записано във вида , където са цели поло- жителни числа и , а дели c . Да се докаже, че само краен брой цели положителни числа не са “интересни” и да се намери сумата им. Решение: 1) Нека , то тересно”. Остава да отбележим, че , и не са “интересни”. 2) Нека

Задача 1. На страните AB и на успоредника външно за

Ивайло Старибратов

Георги Дянков През месец май 2012 се проведе финалният кръг на Националния конкурс „Млади таланти”. Състезанието се организира от МОМН и приема разработки на научни проекти от ученици в гимназиален етап и студенти първи курс. Участниците предста- виха свои авторски проекти в различни научни области – естествени науки, социални науки и комуникационни и информационни технологии (ИКТ). Състезанието тази година се отличи с много добри проекти и журито имаше нелеката задача да избере най-добри

Татьяна Сергеева, Сава Гроздев

Людмила Хаймина, Евгений Хаймин

Георги Тупаров, Даниела Тупарова

Евгения Стоименова

Борислав Лазаров

Петя Драганова, ПГЛПИ „Атанас Буров” – гр. Г. Оряховица

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa abb b , за които е изпълнено равенството

Задача 1. Да се определят стойностите на параметъра a, за които уравнението log sin 2011 cos 2011tg x cotg x a x x += + има решение и да се реши уравнението за най-малката от намерените стойности на параметъра. Христо Лесов, Казанлък Решение (Христо Лесов): Изпълнени са следните релации: π αα α за всяко и 2 2 sin 2 tg cotg += ≥ за

Задача 1. Ако , е цяло положително число, да се докаже, че съществуват безброй много цели положителни числа нено равенството . Веселин Ненков, Бели Осъм Решение (Светлозар Дойчев): Като използваме, че за произволно цяло число

Ивайло Старибратов

Bonne chance! Организаторите

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Валя Георгиева

Дарина Гълъбова, Минчо Бейков

Росица Керчева, Румяна Иванова

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Ивайло Старибратов

Сава Гроздев, Кайрош Макишев

Евгения Стоименова

Даниела Дурева (Тупарова)

Галя Кожухарова

І.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕза ученици, ІІ.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕ за учители

Веселина Вълканова

Гинка Бизова, Ваня Лалева

Юлия Кръстева

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Рубриката се води от Светлозар Дойчев, и Веселин Ненков