Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2012/1, стр. 12 - 22

СРАВНИТЕЛЕН АНАЛИЗ НА 8-ма ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев
E-mail: sava.grozdev@gmail.com
Professor, Doctor in Mathematics, DSc in Pedagogy
Institute of Mathematics and Informatics – BAS
Acad. G. Bonchev Street, bl. 8
1113 Sofia, Bulgaria
Кайрош Макишев
E-mail: makishev@mail.ru
Doctor in Physics-Mathematics
Director RSPhMSBS
Buhar Zhirau Street, 36
050040 Almaty, Republic of Kazakhstan

Резюме: В статията се анализират резултатите от 8-ма Жаутиковска международна олимпиада, проведена в Алмати, Казахстан, 15–21 януари 2012 г. Дадени са баловете по математика и информатика на трите най-високо класирани училища от България, Казахстан и Русия. Предложени са решения с методически и евристични детайли за шестте задачи от темата по математика.

Ключови думи: Olympiad, problem solving, achievement, methodology, heuristics

Международната Жаутиковска олимпиада носи името на известния казахстански математик – академик Оримбек Жаутиков (1911–1989). Тя е уникална по рода си. Участниците в нея са училища. Всяко училище се представя с отбор от 7 ученици – трима по математика, двама по физика и двама по информатика. Олимпиадата влючва 3 състезания по посочените 3 предмета, като всяко от тях е много близко по трудност на задачите до съответните международни олимпиади (IMO, IPhO и IOI). Темите се определят от международни журита, в които участват известни специалисти от няколко страни, повечето от които са членове на журитата и на международните олимпиади. Проверката на писмените работи се осъществява от членовете на тези журита. Резултатите от олимпиадата дават възможност да се сравняват качествата на участващите училища от различни държави и да се прави рейтинг. Постоянен домакин е РСФМШИ – Републиканско физико-математическо училище-интернат за даровити деца на името на О. Жаутиков, което се намира в доскорошната столица на Казахстан – гр. Алмати. Вторият автор на настоящата статия е дългогодишен директор на РСФМШИ.

Тази година от 15 до 21 януари се състоя 8-ото издание на Международната Жаутиковска олимпиада. В нея взеха участие 343 ученици от 54 училищни отбора – представители на 17 държави: Азербайджан, Армения, Афганистан, Беларус, България, Грузия, Индия, Индонезия, Казахстан, Киргизстан, Молдова, Монголия, Румъния, Русия, Таджикистан, Туркменистан и Украйна. От България участваха Софийската математическа гимназия (СМГ), Образцова математическа гимназия от гр. Пловдив (ОМГ) и Математическа гимназия “Д-р П. Берон” от гр. Варна (МГ-В). В класирането по училища СМГ зае второ място след Лицея (СУНЦ) към Московския държавен университет “М. В. Ломоносов” (носител на “Гранд-при”) и първия отбор на РСФМШИ (класиран на първо място), ОМГ е на трето място, а 9 училища, между които и МГ-В, бяха отличени с грамоти за много добро представяне. Трябва да отбележим, че МГ-В беше с непълен отбор от 5 ученици, без участници в състезанито по информатика. Домакините от Казахстан регистрираха общо 139 състезатели, разпределени в 17 училищни отбора и 20 индивидуални участници. Бяха раздадени общо 29 златни медала (12 по математика, 10 по физика и 7 по информатика), 58 сребърни \((28+16+14)\) и 84 бронзови \((37+26+21)\). От тях българите спечелиха общо 17 (4 златни, 9 сребърни и 4 бронзови), като само двама се завърнаха без медал. В таблиците по-долу (отделно по математика и информатика) са показани резултатите на трите най-силни отбора. Вижда се, че изоставането на СМГ в сравнение с първия отбор на РСФМШИ се дължи на по-слабите резултати по физика. В същото време СУНЦ са убедително на първо място и по трите дисциплини.

МАТЕМАТИКА

имеотбор/задачи123456общо точкимедалРафаел РафаиловСМГ77770735златенНиколай КрохмалСУНЦ77777035златенБогдан СтанковСМГ77670229златенАнтон ЗуевСУНЦ77077028златенМихаил СуринСУНЦ77167028златенАлибек СайланбаевРСФМШИ70677027златенСакен ДушаевРСФМШИ72077023златенТемирлан СейловРСФМШИ70173018сребъренМартин МинчевСМГ72070016сребърен

ИНФОРМАТИКА

имеотбор/задача12345678общоточкимедалМаксим АхмедовСУНЦ100100100901001009560745златенГеорги ГеоргиевСМГ10070806010080800570златенДенис КупляковСУНЦ901004060100100024514златенАлександър ЗлатковСМГ605040206560650360сребъренДаулет ЖалпаковРСФМШИ905040205080024354сребъренЙерсин МукайРСФМШИ50104060556000275бронзов

Ето задачите по математика и техни решения:

Задача 1. От точка \(D\) върху страната \(A B\) на остроъгълен \(\triangle A B C\) са спуснати перпендикуляри към страните \(B C\) и \(A C\), като петите им са означени съответно с \(M\) и \(N\). Ако \(H_{1}\) и \(H_{2}\) са ортоцентровете съответно на \(\triangle M N C\) и \(\triangle M N D\), да се докаже, че лицето на четириъгълника \(A H_{1} B H_{2}\) не зависи от положението на \(D\) върху \(A B\). (България)

Решение: От условието следва, че точките \(N, D, M\) и \(C\) лежат на окръжност с диаметър \(C D\). Нека \(O\) е центърът на тази окръжност и \(P\) е проекцията й върху \(N M\). Известно е, че във всеки триъгълник разстоянието от кой да е негов връх до ортоцентъра на триъгълника е два пъти по-голямо от разстоянието от центъра на описаната окръжност до срещуположната на този връх страна (Хитов, 1990). В конкретния случай имаме, че \(C H_{1}=2 O P\) и \(D H_{2}=2 O P\), откъдето \(C H_{1}=D H_{2}\). Но \(C H_{1}\) и \(D H_{2}\) са поотделно перпендикулярни на \(N M\) и следователно \(C H_{1} \| D H_{2}\). Заключаваме, че четириъгълникът \(C H_{1} H_{2} D\) е успоредник и оттук \(H_{1} H_{2}=C D\). Ако сега \(\angle A D C=\varphi\),

то \(\mathrm{S}_{A B C}=\cfrac{1}{2} A B . C D \sin \varphi\) от една страна, а от друга \(\mathrm{S}_{A H_{1} B H_{2}}=\cfrac{1}{2} A B . H_{1} H_{2} \sin \varphi\) и следователно \(S_{A H_{1} B H_{2}}=\cfrac{1}{2} A B \cdot H_{1} H_{2} \sin \varphi=\cfrac{1}{2} A B \cdot C D \sin \varphi=S_{A B C}\), с което доказателството е завършено.

Забележка. Твърдението в задачата остава вярно и когато точка \(D\) е върху правата \(A B\).

Тази задача беше решена пълно от около \(70 \%\) от всички участници в олимпиадата. Прави впечатление голямото богатство от идеи, които могат да се използват при решаването й. Тук няма да се спираме на разнообразието, но ще отбележим, че голяма част от българските ученици не са отчели факта, че става дума за първа задача и би следвало да се предположи, че решението е по-леко. Например Богдан

Станков се е насочил към сложна параметризация и използване на тригонометрия.

Въпреки, че е довел решението докрай, това му е струвало ненужна загуба на време.

Задача 2. Едно разполагане на пионки върху дъска \(n \times n(n \geq 5)\), с не повече от една пионка в единично квадратче, се нарича “удобно”, ако всеки ред и всеки стълб на дъската съдържа поне 2 пионки. Да се намери възможно най-голямото \(m\), за което съществува удобно разполагане така, че при премахване на коя да е от пионките разполагането вече не е удобно.

(Беларус)

Решение: Под кръст ще разбираме обединението на ред и стълб на дъската, ако и редът, и стълбът съдържат поне по 3 пионки от удобно множество \(S\) и общото им квадратче също съдържа пионка от \(S\) (вж. първия чертеж).

По-долу ще докажем, че ако за броя \(s\) на елементите на \(S\) е изпълнено \(s \geq 4 n-7\), то на дъската ще има със сигурност кръст. Но тогава общата пионка в кръста може да се отстрани и \(S\) ще остане удобно. Оттук ще следва, че търсеният максимум не надминава \(4 n-7-1=4 n-8\). Ситуация, при която този брой се достига, е показана на втория чертеж при \(n=5\). За по-големи \(n\) примерите са аналогични: например сечението на първите 2 реда отгоре надолу и първите \(n-2\) стълба отляво надясно, както и сечението на останалите редове и последните 2 стълба, се запълват изцяло с пионки.

Нека най-напред \(n=5,6\) или 7. Да разгледаме онзи измежду редовете и стълбовете, който е с най-много пионки от \(S\) и да означим този брой с \(k\). Ясно е, че \(k \geq 3\). В противен случай броят на елементите на \(S\) е \(2 n\), но \(2 n \lt 4 n-8\). За определеност ще считаме, че тези \(k\) пионки са разположени в горния край на най-левия стълб. Можем също да считаме, че произволен ред от най-горните \(k\) реда съдържа не по-вече от 2 пионки, защото в противен случай бихме имали кръст и твърдението ще е доказано. Заключаваме, че общият брой пионки в най-горните \(k\) реда на дъската е най-много \(2 k\). Останалите \(n-k\) реда съдъжат най– k реда съдържат най-много го \(k(n-k)\) пионки от \(S\) и тогава \(4 n-7 \leq s \leq 2 k+k(n-k)\), откъдето \(k^{2}-(n+2) k+4 n-7 \leq 0\). Дискриминантата на полученото квадратно неравенство относно \(k\) е \((n+2)^{2}-4(4 n-7)=(n-4)(n-8)\) и очевидно е отрицателна за \(\mathrm{n}=5,6\) или 7. Заключаваме, че \(k^{2}-(n+2) k+4 n-7 \gt 0\), което е противоречие.

Да допуснем сега, че твърдението е доказано за \(n=k\). Ще го докажем за \(n=k+3\). Да забележим, че съществува ред с поне 3 пионки от \(S\), защото в противен случай ще излезе, че \(s \leq 2 n\) и неравенството \(s \geq 4 n-7\) ще бъде нарушено. По същата причина съществува и стълб с поне 3 пионки от \(S\). Да разгледаме такъв ред и такъв стълб. Без ограничение нека избраният стълб е най-левият и нека пионките от \(S\) в него са в горния му край. Също, нека избраният ред е най-долният и нека пионките от \(S\) в него са в десния му край (вж. чертежа). Ако някой от най-горните 3 реда съдржа поне 3 пионки от \(S\), то този ред заедно с най-левия стълб образува кръст. Следователно можем да предположим, че всеки от най-горните 3 реда, както и всеки от най-десните 3 стълба съдържа най-много по 2 пионки от \(S\). Получаваме, че в шахматно оцветената част от дъската на чертежа се съдържат най-много 12 пионки от \(S\). Тогава от неравенството \(s \geq 4 n-7\) \(=4(k+3)-7=4 k-7+12\) следва, че в оставащата \(k \times k\) дъска (с неоцветените квадратчета) се съдържат поне \(4 k-7\) пионки от \(S\). Съгласно индукционното допускане тук ще има кръст, който очевидно ще бъде кръст и за дъската \(n \times n\). С това задачата е решена.

Задача 3. Полиномите \(P(x), Q(x)\) и \(R(x)\) са с реални коефициенти и за всяко \(x\) е изпълнено равенството \(P(Q(x))+P(R(x))=\) const. Да се докаже, че поне един от полиномите \(P(x)\) и \(Q(x)+R(x)\) е от нулева степен.

(Русия)

Решение: Без ограничение можем да считаме, че старшият коефициент на \(P(x)\) е равен на 1. Нека \(P(x)=x^{n}+\mathrm{a}_{l} x^{n-1}+\ldots+a_{n-1} x+a_{n}\), където \(n \geq 1\). Тогава \(P(Q(x))+P(R(x))=Q^{\mathrm{n}}+a_{1} Q^{n-1}+\ldots+a_{n-1} Q+R^{n}+a_{1} R^{n-1}+\ldots+a_{n-1} R=c=\) c const

Ако \(\operatorname{deg} Q \neq \operatorname{deg} R\) и например \(\operatorname{deg} Q \gt \operatorname{deg} R\), то

\[ 1+\cfrac{a_{1}}{Q}+\ldots+\cfrac{a_{n-1}}{Q^{n-1}}+\left(\cfrac{R}{Q}\right)^{n}+a_{1} \cfrac{R^{n-1}}{Q^{n-1}}+\ldots=\cfrac{c}{Q^{n}} \]

Полученото равенство е невъзможно, защото лявата му част клони към 1 при \(x\) клонящо към безкрайност, докато дясната му част клони към 0. Заключаваме, че

\[ \operatorname{deg} Q=\operatorname{deg} R \text { и } \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\left(\cfrac{b}{a}\right)^{n}\right)=0, \]

където \(a\) и \(b\) са старшите коефициенти съответно на \(R\) и \(Q\). Оттук следва, че \(n\) е нечетно число и \(b=-a\). Сега можем да напишем \(Q(x)=a x^{1}+Q_{1}(x)\) и \(R(x)=-\) \(a x^{l}+\mathrm{R}_{1}(x)\), където \(l=\operatorname{deg} Q=\operatorname{deg} R\) и \(\operatorname{deg} Q_{1} \lt 1, R_{1} \lt 1\). Равенството по-горе може да се запише във вида:

\[ \begin{gathered} (Q+R)\left(Q^{n-1}-Q^{n-2} R+\ldots-Q R^{n-2}+R^{n-1}\right)+a_{1}\left(Q^{n-1}+R^{n-1}\right)+\ldots-c=0 \text {, т.e. } \\ \left(Q_{1}+R_{1}\right)\left(Q^{n-1}-Q^{n-2} R+\ldots-Q R^{n-2}+R^{n-1}\right)+a_{1}\left(Q^{n-1}+R^{n-1}\right)+\ldots-c=0 \end{gathered} \]

Да разгледаме събираемото \((-1)^{\mathrm{k}-1} Q^{n-k} R^{k-1}\) от вторите скоби. Старшият коефициент в него е равен на \((-1)^{\mathrm{k}-1} a^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}(-a)^{\mathrm{k}-1} x^{1(\mathrm{n}-1)}\). Старшият коефициент на \(a_{1}\left(\mathrm{Q}^{\mathrm{n}-1}+R^{\mathrm{n}-1}\right)\) е равен на \(a_{1} \cdot 2 a^{\mathrm{n}-1} x^{1(\mathrm{n}-1)}\). По такъв начин разглежданият израз става:

\[ \left(Q_{1}+R_{1}\right)\left(n a^{n-1} x^{1(n-1)}+\ldots\right)+a_{1} \cdot 2 a^{\mathrm{n}-1} x^{1(\mathrm{n}-1)}+\ldots+\ldots-c=0 \]

Последното равенство е невъзможно, ако \(\left(Q_{1}+R_{1}\right) n a^{n-1} \neq-a_{1} .2 \mathrm{a}^{n-1}\). Така заключаваме, че \(Q_{1}+R_{1}=-\cfrac{2 a_{1}}{n}\) и следователно \(Q(x)+R(x)=-\cfrac{2 a_{1}}{n}\) е константа.

Задача 4. Съществуват ли цели числа \(m \leq n\) и функция \(f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}\) така, че \(f(f(x))=2 f(x)-x-2\) за всяко \(\mathrm{x} \in \mathrm{R}\) и \(f(m)=n\) ? (Беларус)

Решение: Ще докажем, че такава функция и такива числа не съществуват едновременно. Нека \(f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}\) е такава функци, че \(f(f(x))=2 f(x)-\mathrm{x}-2\) за всяко \(\mathrm{x} \in \mathrm{R}\). Ще докажем, че не съществуват цели числа \(m\) и \(k \geq 0\), за които \(f(m)=m+k\). Ако \(k=0\), то \(f(m)=m\) и като положим \(x=m\) в дефиниционното равенство за \(f\), получаваме \(m=f(m)=f(f(m))=2 f(m)-m-2=2 m-m-2=m-2\). Оттук \(m=m-\) 2, което е невъзможно. Нека \(k=1\). Сега \(f(m)=m+1\), откъдето \(f(m+1)=f(f(m))\) \(=2 f(m)-m-2=2(m+1)-m-2=m\) и следователно \(f(m+1)=m\). Но тогава \(m\) \(+1=f(m)=f(f(m+1))=2 f(m+1)-(m+1)-2=2 m-m-3=m-3\) и получаваме противоречие. По-нататък нека \(k \geq 2\) е такова, че \(f(m)=m+k\) и да предположим, че \(k\) е възможно най-малкото с това свойство. Имаме:

\[ f(m+k)=f(f(m))=2 f(m)-m-2=2(m+k)-m-2=(m+k)+(k-2) \]

Да положим \(m_{1}=m+k\) и \(k_{1}==k-2\). Тогава \(f\left(m_{1}\right)=m_{1}+k_{1}\), което противоречи на минималността на \(k\) в случай, че \(k_{1} \geq 2\). Ако \(k_{1} \lt 2\), то \(k_{1}=0\) или \(k_{1}=1\), които случаи бяха отхвърлени по-горе. С това твърдението е доказано.

Задача 5. На диагоналите на изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) са построени равностранни триъгълници \(A C B^{\prime}\) и \(B D C^{\prime}\) така, че върховете В и \(\mathrm{B}^{\prime}\) са в една и съща полуравнина спрямо диагонала AC, a C и \(\mathrm{C}^{\prime}\) са в една съща полуравнина спрямо диагонала \(B D\). Да се намери градусната мярка на \(\angle B A D\) \(+\angle C D A\), ако \(\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=\mathrm{AB}+C D\).

(Армения)

Решение: Построяваме равностранния триъгълник \(B C F\), както е показано на чертежа. Тогава \(\angle F B C=\) \(60^{\circ}=\angle C^{\prime} B D\) и следователно \(\angle F B C^{\prime}=\) \(\angle C B D\). Като използваме, че \(B F=B C\) и \(\mathrm{BC}^{\prime}=B D\), заключаваме, че \(\triangle B F C^{\prime} \cong \triangle B C D\). Оттук \(\mathrm{FC}^{\prime}=C D\) и \(\angle F B C^{\prime}=\angle B C D\). Аналогично, \(B^{\prime} F=A B\) и \(\angle B^{\prime} F C=\angle A B C\). Сега от равенството \(B^{\prime} C^{\prime}=A B+C D\) следва равенството \(B^{\prime} C^{\prime}=B^{\prime} F+F C^{\prime}\) и следователно точката \(F\) лежи на отсечката \(B^{\prime} C^{\prime}\). Но тогава \(\angle B^{\prime} F C+\angle B F C^{\prime}=180^{\circ}+\angle B F C=\) \(240^{\circ}\). Получаваме, че \(\angle B C D+\angle A B C=\angle B F C^{\prime}+\angle B^{\prime} F C=240^{\circ}\) и следоваетлно \(\angle B A D+\angle C D A=120^{\circ}\).

Забележка. Аналогични решения могат да се получат, ако се построят равностранни триъгълници на \(B B^{\prime}, C C^{\prime}\) или \(A D\). Подробностите оставяме за читателите.

Тази задача, макар че се решава със знания за 7 клас, задрудни учениците от СМГ. Тя не беше решена и от останалите български ученици. Единствено Милена Великова от МГ-В заслужи максималните 7 точки. Пълните решения на представителите на СУНЦ и РСФМШИ използват комплексни числа, което става на няколко реда.

Задача 6. Да се реши в цели числа уравнението \(2 x-y^{14}=1\).

(Армения)

Лема 1. Ако \(n \gt 1\) е естествено число, то числото \(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\) не е точен квадрат.

Доказателство: Ако допуснем, че числото \(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\) е точен квадрат, то и числото \(256(n+1)^{2}\left(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\right)\) ще бъде точен квадрат. Ще докажем, че това е невъзможно. Тъй като

\[ \begin{aligned} & 256(n+1)^{2}\left(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\right)= \\ & =256(n+1)(n+1)\left(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\right)= \\ & =256(n+1)\left(n^{7}+1\right)=256\left(n^{8}+n^{7}+n+1\right), \end{aligned} \]

достатъчно е да докажем, че \(256\left(n^{8}+n^{7}+n+1\right)\) е заключено между два последователни точни квадрата. При \(n \geq 3\) е изпълнено:

\[ \left(16 n^{4}+8 n^{3}-2 n^{2}+n-1\right)^{2} \lt 256\left(n^{8}+n^{7}+n+1\right) \lt \left(16 n^{4}+8 n^{3}-2 n^{2}+n\right)^{2} \] което се проверява чрез разкриване на скобите. Наистина, лявото неравенство е еквивалентно с \(12 n^{4}+20 n^{3}-5 n^{2}+254 n+255 \gt 0\), за верността на което е достатъчно да се забележи, че \(12 n^{4}-5 n^{2} \gt 10 n^{4}-5 n^{2}=5 n^{2}\left(2 n^{2}-1\right) \gt 0\) (останалите членове на неравенството са положителни). Дясното неравенство е еквивалентно с \(20 n^{4}-4 n^{3}+n^{2}-256 n-256 \gt 0\) и е достатъчно да се докаже, че \(20 n^{4}-4 n^{3}-256 n-256 \gt 0\), което е еквивалентно с \(5 n^{4}-n^{3}-64 n-64 \gt 0\). Тъй като \(n^{4}-n^{3} \gt 0\), остава да се провери, че \(4 n^{4}-64 n-64 \gt 0\), т.е. че \(n^{4}-16 n-16 \gt 0\). Лявата страна на последното неравенство е растяща функция на \(n\), защото производната й \(4 n^{3}-16=4\left(n^{3}-4\right) \gt 0\) при \(n \geq 3\), а самата функция приема положителна стойност \(3^{4}-16.3-16=17\) при \(n=3\).

Сега, когато се върнем към твърдението в лемата, достатъчно е да проверим, че при \(n=2\) имаме \(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1=43\) и следователно лемата е доказана.

Методическа забележка. Естествен подход за доказване, че едно число не е точен квадрат, е да се намерят два последователни точни квадрата, между които това число се намира. Тъй като \(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\) е от 6 6-та степен относно \(n\), ще потърсим два многочлена на \(n\), между квадратите на които \(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\) се намира. Ясно е, че тези многчлени трябва да са от 3-та степен и за намирането им ще използваме метода на неопределените коефициенти. Нека многочленът \(n^{3}+a n^{2}+b n+c\) е такъв, че \(\left(n^{3}+a n^{2}+\right.\) \(b n+c)^{2} \lt n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\). След разкриване на скобите получаваме \(n^{6}+2 a n^{5}+\left(a^{2}+2 b\right) n^{4}+2(a b+c) n^{3}+\left(b^{2}+2 a c\right) n^{2}+2 b c n+c^{2} \lt n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\).

Като приравним коефициентите пред първите три най-високи степени на \(n\) (неизвестните коефициенти \(a, b\) и \(c\) са три на брой и затова ни трябват точно три зависимости), последователно получаваме: \(2 a=-1\), откъдето \(\mathrm{a}=-\cfrac{1}{2} ; \mathrm{a}^{2}+2 b=1\), откъдето \(2 b=1-a^{2}=1-\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}\) и \(b=\cfrac{3}{8} ; 2 c+2 \mathrm{ab}=-1\), откъдето

Сега неравенството \(\left(n^{3}+a n^{2}+b n+c\right)^{2} \lt n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\) става

\[ \left(n^{3}-\cfrac{n^{2}}{2}+\cfrac{3 n}{8}-\cfrac{5}{16}\right)^{2} \lt n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1 \]

което е еквивалентно последователно с

\[ \begin{aligned} n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+\cfrac{29}{64} n^{2}-\cfrac{15 n}{64}+\cfrac{25}{256} & \lt n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1 \\ 0 & \lt \cfrac{35}{64} n^{2}-\cfrac{49}{64} n+\cfrac{231}{256} \text { и } 0 \lt 35 n^{2}-49 n+\cfrac{231}{4} \end{aligned} \]

Последното е изпълнено за всяко \(n\), защото дискриминантата на квадратния тричлен е \(\mathrm{D}=49-35.231 \lt 0\). Аналогично търсим \(d, e\) и \(f\) така, че

\[ n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1 \lt \left(n^{3}+d n^{2}+e n+f\right)^{2} \]

По описания начин намираме \(d=-\cfrac{1}{2}, e=\cfrac{3}{8}\) и \(f=-\cfrac{1}{4}\).

Тогава \(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1 \lt n^{6}-n^{5}+n^{4}-\cfrac{7 n^{3}}{8}+\cfrac{25 n^{2}}{64}-\cfrac{3 n}{16}+\cfrac{1}{16}\), което е

еквивалентно последователно с \(0 \lt \cfrac{n^{3}}{8}-\cfrac{39}{64} n^{2}+\cfrac{13}{16} n-\cfrac{15}{16}\) и \(0 \lt n^{2}(8 n-39)+4(13 n-15)\). Последното неравенство очевидно е изпълнено при \(n \geq 4\). Следователно при \(n \geq 4\) имаме

\[ \left(n^{3}-\cfrac{n}{2}+\cfrac{3 n}{8}-\cfrac{5}{16}\right) \lt n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1 \lt \left(n^{3}-\cfrac{n}{2}+\cfrac{3 n}{8}-\cfrac{1}{4}\right) . \]

Оттук \(\left(16 n^{3}-8 n^{2}+6 n-5\right)^{2} \lt 256\left(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\right) \lt \left(16 n^{3}-8 n^{2}+6 n-4\right)^{2}\), което непосредствено се проверява, че е изпълнено също при \(n=2\) и \(n=3\).

Лема 2. Ако \(n\) е естествено число, то най-големият общ делител на \(n+1\) и \(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\) е равен на 1 или 7.

Доказателство: Имаме:

\(n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1-7=\left(n^{6}-1\right)-\left(n^{5}+1\right)+\left(n^{4}-1\right)-\left(n^{3}+1\right)+\left(n^{2}-1\right)-(\mathrm{n}+1)\), което очевидно се дели на \(\mathrm{n}+1\). Оттук непосредствено следва, че ако \(\left(n+1, n^{6}-n^{5}+n^{4}-n^{3}+n^{2}-n+1\right)=d\), то d дели 7.

Решение на задача 6: Нека (\(x ; y\) ) е решение на задачата. Тогава

\(2 x^{2}=y^{14}+1=\left(y^{2}\right)^{7}+1=\left(y^{2}+1\right)\left(\left(y^{2}\right)^{6}-\left(y^{2}\right)^{5}+\left(y^{2}\right)^{4}-\left(y^{2}\right)^{3}+\left(y^{2}\right)^{2}-\left(y^{2}\right)+1\right)=\)

\(=\left(y^{2}+1\right)\left(y^{12}-y^{10}+y^{8}-y^{6}+y^{4}-y^{2}+1\right)\).

Тъй като числото \(y^{2}+1\) не се дели на 7 (за да докажем този факт, достатъчно е да разгледаме различните възможности за \(y\) по модул 7), то съгласно лема 2

\(\left(y^{2}+1, y^{12}-y^{10}+y^{8}-y^{6}+y^{4}-y^{2}+1\right)=1\).

От друга страна числото \(y^{12}-y^{10}+y^{8}-y^{6}+y^{4}-y^{2}+1\) е нечетно и следователно трябва да съществуват естествени числа \(u\) и \(v\) така, че \(y^{2}+1=2 u^{2}\) и \(y^{12}-y^{10}+y^{8}-\) \(y^{6}+y^{4}-y^{2}+1=v^{2}\). Сега от лема 1 следва, че \(y=1\), а значи и \(x=1\). Следователно единственият отговор на задачата е \((x ; y)=(1 ; 1)\).

За разлика от СУНЦ и РСФМШИ, учениците от СМГ са справиха сравнително добре върху задача 6. Да отбележим, че всички участници в олимпиадата постигнаха общо 47 точки върху тази задача, като повече от половината (24 точки) са на българските ученици. Освен Рафаел Рафаилов от СМГ, задачата беше решена от Николай Каракехайов от ОМГ и Йордан Йорданов от МГ-В, а Виктор Радивчев от МГ-В постигна частичен успех по подобие на Богдан Станков от СМГ.

ЛИТЕРАТУРА

Хитов, Х. (1990). Геометрия на триъгълника. София: Народна просвета.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.