Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2017/5, стр. 501 - 514

ERDÖS’ DISTINCT DISTANCES PROBLEM

Houssam Zenati
E-mail: houssam.zenati@centraliens.net
Centrale Supelec (Ecole Centrale)
France

Резюме: In discrete geometry, the Erdös’ distinct distances problem states that between \(n\) distinct points in a plane there are at least \(n^{1-o(1)}\) distinct distances. The problem was posed by Paul Erdös in 1946. In 2010, Larry Guth and Net Hawk Katz claimed to have a solution. The solution was published in 2015 in the Annals of Mathematics. This article aims at popularizing this problem to young students in mathematics, therefore no big background in mathematics is needed to understand it. It is open to every reader and shall be improved with any remarks or questions.

Ключови думи: geometry; the Erdös’ distinct distances problem; young students

I. Introduction

Let’s consider 3 points. We will consider the problem in a plane.

Figure 1. 3 points in a plane

Those 3 points constitute a triangle, and we can wonder how many distinct distances we can make with those 3 points. If the triangle has nothing special and is random, we can find 3 distinct distances.

Figure 2. 3 distinct distances – random (arbitrary) triangle

However, if we consider an isosceles triangle, it has only 2 distinct distances.

Figure 3. 2 distinct distances – isosceles triangle

Besides, if we consider another special type of triangle, we can manage to have only one single distance for each point. This case corresponds to equilateral triangle.

Figure 4. One single distance between all points – equilateral triangle

In that configuration all distances have same value. The minimum number of distinct distances is 1.

Summary:

Given 3 points, the minimum number of distinct distances is 1.

II. Problem formulation and Overview

With this little overview of the problem considering 3 points, we can formulate the following general problem:

Given number \(n\), what is the minimum number of distinct distances between \(n\) points in a plane?

Definition. \(d(n)\) is the minimum number of distinct distances between \(n\) points.

We will consider the problem by dealing with the following points:

– Short biography

– Great dependency on initial points

– Combinatorial geometry

– Asymptotic approximations

The problem is about estimating the minimum number of distinct distances between \(n\) points, where \(n\) is a given number. With the example in (ii), we will see that given a number \(n\), we can have different positioning that give different number of distinct distances.

i – Short Biography \({ }^{1)}\)

Figure 5. Paul Erdös

Paul Erdös (26 March 1913 / 20 September 1996) was a Hungarian mathematician. He was one of the most prolific mathematicians of the 20th century. He was known both for his social practice of mathematics (he engaged more than 500 collaborators) and for his eccentric lifestyle.

Erdös published around 1,500 mathematical papers during his lifetime, a figure that remains unsurpassed. He firmly believed mathematics to be a social activity, living an itinerant life style with the sole purpose of writing mathematical papers with other mathematicians. Erdös’ prolific output with co-authors prompted the creation of the Erdös number, the shortest path between a mathematician and Erdös in terms of co-authorships. Erdös pursued and proposed problems in discrete mathematics, graph theory, number theory, mathematical analysis, approximation theory, set theory, and probability theory.

Ii – Initial Points Dependency

Considering \(n n\) points with coordinates \((k, 0)\) for \(k\) in \(\{1, \ldots, n\}\) :

Figure 6. Regular spacing between n points

The number of distinct distances is \(n-1\).. However, if we consider \(n\) points with coordinates \(\left(2^{k}, 0\right)\) for \(k\) in \(\{1, \ldots, n\}\)

Figure 7. Regular spacing between n points

The number of distinct distances is \(\cfrac{n(n-1)}{2}\). Indeed, we can prove that each distance is different from another. One can observe that these two examples show the dependency on initial points when considering the number of distinct distances. The problem will consist in determining the minimum number of distinct distances, therefore, we may consider changing positions for \(n\) given points.

Iii – Combinatorial Geometry

Combinatorial geometry is a blending of principles from the areas of combinatorics and geometry. It deals with combinations and arrangements of geometric objects and discrete properties of these objects. It is concerned with such topics as packing, covering, coloring, folding, symmetry, tiling, partitioning, decomposition, and illumination problems. Although combinatorial geometry was studied by classical mathematicians such as Euler and Kepler, many advances have been made since the middle of the 20th century. This topic was one which drew the interest of the late prolific mathematician Paul Erdös \({ }^{1}\).

Iv – Asymptotic approximations

For small values of \(n n\), it will be easy to determine the minimum number of different distances. But for larger values, we will need to use estimates of the value we are looking for. Therefore, we will define rapidly useful notations when doing asymptotic approximations. Those notations are popularized for a large public.

Let \(g\) and \(f\) be functions of \(N\) (i.e. \(g(N)\) and \(f(N)\) are two numbers which both depend on \(N\) ).

- \(g(N)=O(f(N))\) if and only if \(|g(N) / f(N)|\) is bounded from above (i.e we can find \(M\) so that \(|g(N) / f(N)| \lt M\) ) when \(N\) becomes "large enough". (We say that \(N \rightarrow+\infty\) )

- \(g(N) \sim f(N)\) if and only if \(|g(N) / f(N)|\) is as close as we want to 1 , when \(N\) becomes "large enough". (We say that \(N \rightarrow+\infty\) )

Those notations will be used after we have seen first examples with small values of \(n\), where \(n\) is the number of given points.

III. Examples for small values of \(n\)

Before trying to determine values for small values of \(n n\), we can make the following observations:

-\(n\) is a positive integer

● For \(n\) points in a plane, we can find \(\cfrac{n(n-1)}{2}\) possible distances. Indeed, it is easy to understand that for each point among \(n\) possible ones, it can be linked to another among \(n-1\) possible ones. But counting this way implies to count each distance twice. Therefore, the result has to be divided by 2. With reference to the problem with \(d(n)\), where \(d(n)\) is the minimum number of distinct distances, we can observe that:

(1) \(d(n) \leq \cfrac{n(n-1)}{2}\)

● We can also easily state that the minimum number of distances is at least 1, knowing that we will consider at least two points \(n \geq 2\), thus \(d(n) \geq 1\)

● Last but not least, if we add one point to a disposition of \(n\) points, the minimum number of different distances is easily larger than the minimum number of different distances with \(n\) points:

(2) \[ d(n) \leq d(n+1) \]

For \(n=2\), there are only two points, therefore \(d(2)=1\).

Figure 8. 2 points

For \(n=3 n\), as we have seen, \(d(3)=1\),

Figure 9. 3 points

For \(n=4\), we know that \(d(4) \geq 1\). But is it possible to have \(d(4)=1\) ?

Proof Reduction Ad Absurdum. Let’s suppose that \(d(4)=1\). Therefore, only one distance is available to set points. Let’s sketch the figure. If we set two points, it will determine the only distance we can use when placing the other points.

It is only possible to place the third point in one of those two intersections (i.e C or D), otherwise one distance between two points among three of those will be different.

Without lost of generality, let’s place it in D, we then obtain the following figure (to obtain the other one, just reverse the figure).

Therefore, we have built the 3 first points, and still have to place the 4th one, i.e the last one. Since only one possible distance is to be used, the 4th point has to be at same distance to A and B, therefore has to be C. But if it is C, then the distance with \(D\) will be different (see the next figure).

Thus, this disposition is impossible, and C is not the 4-th point. We can use same reasoning for E and F, and therefore conclude that we cannot have only one possible distance to set 4 points at same distance to each other. We conclude that \(d(4)=1\) is absurd, and therefore \(d(4) \geq 2\).

We can now find a positioning where we only use two different distances. This positioning is the one using a square, with one distance being the side of the square, and the other one being the diagonal of the square.

Figure 10. 4 points, using two different distances

Since we have \(d(4) \geq 2\) with the previous proof and considering this positioning, we can therefore conclude that for \(n=4, d(4)=2\).

For \(\mathrm{n}=5\), we know that \(d(5) \geq d(4)\) by using equation (2). Can we find a solution with 5 points using only 2 different distances?

Figure 11. 5 points, using two different distances

It is indeed possible with a regular pentagon. One distance is the side, the other one is the diagonal.

For \(n=6,7\) it is left as an exercise to the reader.

Hint: Prove that it is impossible to have \(d(6)=2\) and then find figures where \(d(6)=3, d(7)=3\).

IV. Erdös Conjecture

The popularized principle of Erdös conjecture would be that the number \(d(n)\) is "nearly close" to \(n\) when \(n\) grows.

We will try to popularize the mathematical formulation, though:

Conjecture. For any \(a \lt 1\) we can find \(C \gt 0\) for which \(d(n) \gt C . n^{a}\) for \(n\)“big enough". \((n \rightarrow+\infty)\). Let's first explain what \(n^{a}\) means, where \(a\) is a real number.

i – Real number exponents

Let’s first make a reminder.

Definition. Let \(n\) be a positive integer.

\(a^{n}=a * a \ldots * a\)

\(n\) times

\(a^{-n}=\cfrac{1}{a^{n}}\)

Then, we introduce the following definition.

Definition. Let \(p\) and \(q\) be positive integers.

\(a^{\cfrac{p}{q}}\) is the number \(b\) for which we have:

\(a^{p}=b^{q}\)

It is therefore now comprehensible to \(2,{ }^{167}\) write as \(1,67=\cfrac{167}{100}\) and therefore we can write it \(2^{\cfrac{167}{100}}\). We can also explain that rational numbers (i.e. those which can be written in the form \(\cfrac{p}{q}\) where \(p\) is an integer and \(q\) is a strictly positive integer) are dense among real numbers, and we can "approximate" any real number by a rational one. We now understand the notation \(n^{a}\) in Erdös conjecture.

Ii - Proof for \(\alpha=1 / 2\)

Proof that \(d(n) \geq C \sqrt{n}\). Let's consider \(n n\) points

\(A_{1}, A_{2}, \ldots A_{\mathrm{n}}\) and we will focus on \(A_{1}\) and \(A_{2}\).

Figure 12. n points with A1 and A2

Let’s consider circles with centers \(A_{1}\) or \(A_{2}\) passing through \(A_{3}, \ldots, A_{n}\). Let \(C_{1}\) denote the number of circles thus obtained centered at \(A_{1}\) (i.e. redones) and \(C_{2}\) the number of those centered at \(A_{2}\) (i.e. black ones)

Figure 13. A1 and A2 with circles

We assume, without loss of generality (even if we change the names of the two points), that \(C_{1} \geq C_{2}\). Since two circles with different centers have at most two points of intersection, there are at most \(2 c_{1} c_{2}\) points of intersec1c2 points of intersection in thefigure (\(c_{1}\) choice for the first circle, \(c_{2}\) c2 choice for the second and at most 2 choices for theintersection). Now, by construction, each of the remaining \(n-2\) poin – 2points of our starting set belong both to a circle centered at \(A_{1}\) and to a circle centered at \(A_{2}\), so each of them is a point of the intersection between the two circles. We thus have \(n-2 \leq 2 c_{1} c_{2}\) from which we deduce \(n-2 \leq 2 c_{1}{ }^{2}\). Therefore,

\[ c_{1} \geq \sqrt{\cfrac{n-2}{2}} \]

and we also know that \(d(n) \geq c_{1}\). Thus, \[ d(n) \geq \sqrt{\cfrac{n-2}{2}} \]

Using asymptotic approximations from II.iv, we can show easily that \(n-2 \sim n\), and therefore, when \(n\) is big enough, we eventually have:

\[ d(n) \geq C \sqrt{n} \]

Where \(C=1 / \sqrt{2}\).

Iii-Proof for \(\alpha=2 / 3\)

Proof that \(d(n) \geq C . n^{2 / 3}\). Let’s consider \(n\) points \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{\mathrm{n}}\) such that the minimum distance is reached between \(A_{1}\) and \(A_{2}\). The line (\(A_{1}, A_{2}\) ) separates this cloud of points into two parts. One contains at least \(\cfrac{n-2}{2}\) points, using the pigeon hole principle. From now on, it is limited to those points.

Figure 14. n points separated by (A1,A2)

We now sketch successive half-crowns centered on the midpoint of \(\left[A_{1} A_{2}\right]\) of width \(A_{1} A_{2}\) until we cover all the remaining points.

Figure 15. n points separated by half-crowns

Let us divide these half-crowns modulo 3 into three sets.

Figure 16. Half-crowns modulo 3

At least one of these sets contains \(\cfrac{n-2}{6}\) points, by using pigeonhole principle again. It is now limited to these points.

Note that points belonging to distinct half-crowns (among remaining ones) cannot be at the same distance of \(A_{1}\) (respectively \(A_{2}\) ).

Figure 17. Half-crowns modulo 3, containing \(\cfrac{n-2}{6}\) points

By using same reasoning than the first proof ( \(\alpha=1 / 2\) ) we obtain that the \(n_{i}\) points of the half-crown \(i\) define at least \(\sqrt{n_{i}}\) distances to \(A_{1}\) or \(A_{2}\). Thus, the number of distinct distances \(\tilde{d}(n)\) for this configuration is greater or equal to (the sum relates to the half-crowns chosen) \(\sum_{i} \sqrt{n_{i}}\). Therefore,

\[ \cfrac{n-2}{6} \leq \sum_{i} n_{i} \leq \sqrt{\max \left(n_{i}\right)} \sum_{i} \sqrt{n_{i}} \leq \sqrt{\max \left(n_{i}\right)} \tilde{d}(n) \]

Now we consider the half-crown containing \(\max \left(n_{i}\right)\) points, then half of the crown containing the majority of the points that is to say at least \(\cfrac{1}{2} \max \left(n_{i}\right)\). Let \(P\) be a minimal ordinate point in this zone. A rapid calculation shows that if \(Q\) and \(R\) are equidistant from P in this half-crown, then \( \lt 2 A_{1} A_{2}\).

Figure 18. Quarter-crown containing \(\cfrac{1}{2}\max (n_i)\) ) points, with Q and P

There are thus at most two points of the zone at the same distance from P , which gives us at least \(\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{1}{2} \max \left(\mathrm{n}_{\mathrm{i}}\right)-1\right)\) distinct distances. Hence, \(\max \left(n_{i}\right) \leq 4 \tilde{d}(n)+2\).

By deferring to previous inequality:

\(\cfrac{n-2}{6} \leq \sqrt{\max \left(n_{i}\right)} \tilde{d}(n)\) we now obtain:

\[ \cfrac{n-2}{6} \leq \tilde{d}(n) \sqrt{4 \tilde{d}(n)+2} \]

We now use asymptotic approximations knowing that \(\tilde{d}(n) \rightarrow+\infty\), when \(n\) becomes big enough, the left term of the inequality is equivalent to \(n\) and the right term is equivalent to \(2 \tilde{d}(n)^{3 / 2}\), therefore, we have:

\(C n^{2 / 3} \leq \tilde{d}(n)\)

and eventually with general configuration:

\[ d(n) \geq C \cdot n^{2 / 3} . \] where \(C=1 / 3^{\cfrac{2}{3}}\)

V. Latest results

We will now give an overview of the latest results, with firstly a popularization of logarithm:

i-Logarithm

Logarithm is a function which takes only strictly positive real numbers as arguments.

-We remember that 2.2.2 \(=8\), therefore \(2^{3}=8\). The number 3 is actually called common logarithm of 8 in base 2 .

- Likewise, 10.10.10.10=10000

\(10^{4}=10000\)

The number 4 is called common logarithm of 10000 in base 10 .

-e is a special number, \(\mathrm{e}=2,718 \ldots\)

– Denition. \(\ln (n)\) is number \(x\) for which \(e^{x}=n\).

\(-x=\ln (n)\) may not be an integer, and can be negative ii – Latest results

Notation. We write \(f(n)=\Omega(g(n))\) when we can nd \(C\gt 0\) 0 for which \(f(n)\gt Cg(n)\) for \(n\)

"big enough".

Paul Erdös' 1946 lower bound of \(d(n)=\Omega\left(n^{\cfrac{1}{2}}\right)\) was successively improved to:

- \(d(n)=\Omega\left(n^{\overline{3}}\right)\) (Leo Moser, 1952)

- \(d(n)=\Omega\left(n^{\cfrac{5}{7}}\right) \quad(\) Chung 1984)

- \(d(n)=\Omega\left(n^{\cfrac{4}{5}} \ln (n)\right)\) (Chung, Szemerédi and Trotter 1992)

- \(d(n)=\Omega\left(n^{\cfrac{4}{5}}\right) \quad\) (Székely 1993)

- \(d(n)=\Omega\left(n^{\cfrac{6}{7}}\right) \quad\) (Solymosi and Tóth 2001)

- ...

- \(d(n)=\Omega\left(\cfrac{n}{\ln (n)}\right) \quad\) (Guth and Katz 2015)

Note that the latest result is interesting because it is commonly known that for any \(a \gt 0\) we have:

\[ \cfrac{\ln (n)}{n^{\alpha}} \rightarrow 0 \]

\(\ln (n)\) is "weaker" than any \(n^{a}\) and we thus obtain the sharp exponent in the problem of Erdös.

NOTES

1. Paul Erdös Biography, Wikipedia.

2. Combinatorial Geometry, accessible at: http://mathworld.wolfram.com/ CombinatorialGeometry.html

REFERENCES

Erdös, P. (1986). On some metric and combinatorial geometric problems. Discrete Mathematics, 60, 147 – 153.

Mansuy, R. (2014). Les distances d’ Erdös. Images des Mathématiques, CNRS.

Mansuy, R. (2013). Le probléme des distances d’Erdös.Erdös, P. (1946). On sets of distances of \(n\) points. The American Mathematical Monthly, 53, 248 – 250.

Guth, L. & N. H. Katz (2015). On the Erdös distinct distance problem in the plane. ArXiV.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.