https://doi.org/math2025-3-1-mss Science in Education

2025/3, стр. 237 - 256

МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Резюме: Показани са приложения на вероятностния метод в комби-наторни задачи. В повечето източници конструирането на вероятностнопространство е естествено и тривиално и като следствие се доказва съ-ществуване на определени обекти. Акцентът тук е върху конструиранена подходящо вероятностно пространство. В една от задачите процесъте дори обратен – вероятностни свойства на обекти ни водят до пост-рояване на пример за вероятностно пространство – конструкция, коятовсъщност се търси. Разгледани са три приложения на метода – две за-дачи от тазгодишни български състезания: областен кръг НОМ 2025,задача 10.3 и НЗМС 2025, задача 10.3, която е обобщена, както и зада-ча 5 от МОМ 2023. На авторите не е известно решение на последната,използващо такъв подход.

Ключови думи: комбинаторика; вероятностен метод; вероятностнопространство; олимпиадни задачи; Национална олимпиада по матема-тика; Международна олимпиада по математика

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов, Институт по математика и информатика Българска академия на науките Резюме. Показани са приложения на вероятностния метод в комбинаторни задачи. В повечето източници конструирането на вероятностно пространство е естествено и тривиално и като следствие се доказва съществуване на определени обекти. Акцентът тук е върху конструиране на подходящо вероятностно пространство. В една от задачите процесът е дори обратен – вероятностни свойства на обекти ни водят до построяване на пример за вероятностно пространство – конструкция, която всъщност се търси. Разгледани са три приложения на метода – две задачи от тазгодишни български състезания: областен кръг НОМ 2025, задача 10.3 и НЗМС 2025, задача 10.3, която е обобщена, както и задача 5 от МОМ 2023. На авторите не е известно решение на последната, използващо такъв подход.

Ключови думи: комбинаторика; вероятностен метод; вероятностно пространство; олимпиадни задачи; Национална олимпиада по математика; Международна олимпиада по математика

1. Въведение

В тази статия прилагаме така известния „вероятностен подход“ за решаването на няколко комбинаторни задачи от престижни състезания. Този метод започва системно да се прилага от Пол Ердьош в средата на миналия век (Erd¨os 1961; Erd¨os 1973). Става популярен, тъй като с помощта на методи от теория на вероятностите лесно са били решени някои отворени по онова време проблеми. Така например е получена добра долна граница на числото на Рамзи \(R(k, k) \gt 2^{k / 2-1}\),представена от Ердьош в (Erd¨os 1947).

Основните методи, използвани при прилагане на вероятностния подход в комбинаторни задачи, са два.

• Ако вероятността дадена конфигурация да се случи, е положителна, то има ситуация, в която конфигурацията е налице.

• Ако математическото очакване на случайната величина \(X\) е \(m\), то \(X\) приема както поне една стойност, по-голяма или равна на \(m\), така и поне една стойност, по-малка или равна на \(m\).

Тези два подхода могат да се прилагат, когато искаме да докажем съществуване на обект с определени свойства. При първия подход, ако успеем да интерпретираме комбинаторната ситуация като вероятностно пространство, в което появяването на обекта има положителна вероятност, то това означава, че такъв съществува. При втория подход свойството на обекта е реална величина, която може да бъде измерена. Ако лесно може да намерим ”усреднената” стойност \(m\) на тази величина (математическото очакване), то това доказва съществуване на обекти, за които тази стойност е по-голяма или равна на \(m\), както и такива, за които стойността е по-малка или равна на \(m\).

Има и по-сложни техники, но тези два стохастични подхода са масово използвани. Основното им предимство е неявното конструиране на примери и контрапримери, за разлика от детерминистичните подходи, което често води до по-кратки и елегантни решения на комбинаторните задачи.

За по-обстойно запознаване с прилагането на вероятностния метод в oлимпиадни комбинаторни задачи, бихме препоръчали (Chen, Evan 2014) и (Loh, Po-Shen 2010). За по-напреднали читатели книгата (Alon, N,.

Spencer J. 2008) е едно задълбочено изследване.

Тази статия е предназначена за ученици, които се занимават активно с олимпиадна математика, както и за учители, които водят школи с тази насоченост, защото ще им донесе нов опит. Считаме, че това ще е интересно и на всички, които обичат математика.

Структурата на текста е, както следва. В раздел 2 започваме с някои основни понятия от теория на вероятностите, представяйки накратко необходимата теория. Като илюстрации, в раздел 3 са решени две задачи, давани на национални български състезания през тази година – задача 10.3 от Националното зимно математическо състезание (НЗМС) и задача 10.3. от областния кръг на Националната олимпиада по математика (НОМ), а в раздел 4 е решена задача 5 от Международната олимпиада по математика (МОМ) през 2023.

2. Дефиниции и свойства

За пълнота, тук изброяваме накратко основните понятия, които ще ползваме във втората част на статията. Изчерпателно изложение на темата може да се намери във (Feller 1991).

Дефиниция. Крайно вероятностно пространство е двойката (\(\Omega, P\) където \(\Omega=\cup_{i=1}^{n}\left\{\omega_{i}\right\}\) е множество от краен брой обекти \(\omega_{i}, 1 \leq i \leq n\) наричани елементарни събития, а \(P: \Omega \rightarrow[0,1]\) се нарича вероятностна мярка, за която \(\sum_{i=1}^{n} P\left(\omega_{i}\right)=1\).

Гледаме на \(P(\omega), \omega \in \Omega\) като вероятността да се случи елементарното събитие \(\omega\).

Всяко подмножество \(A\) на \(\Omega\) наричаме събитие. Вероятността да се случи събитието \(A\), е равна на сумата на вероятностите на елементарните събития, от които се състои \(A\), т.е. \(P(A)=\sum_{\omega \in A} P(\omega)\).

Две събития \(A\) и \(B\) се наричат независими, когато

\[ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) . \]

Вероятността да се случи събитието \(B\), при условие че вече се е случило събитието \(A\), наричаме условна вероятност и бележим с \(P(B \mid A)\).

В сила е

\[ P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]

Дефиниция. Нека е дадено крайно вероятностно пространство (\(\Omega, P\) ). Функцията \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) наричаме случайна величина.

В дискретния случай вероятността случайната величина \(X\) да приема определена стойност \(x \in \mathbb{R}\), е равна на

\[ P(X=x)=P(\{\omega: \omega \in \Omega, X(\omega)=x\}) . \]

Да отбележим, че \(X\) приема само краен брой стойности, тъй като елементарните събития в \(\Omega\) са краен брой.

Забележка. Тъй като тук разглеждаме само комбинаторни конфигурации от краен брой обекти, съответните вероятностни пространства са крайни и горната дефиниция напълно ни удовлетворява. В общия случай, възможните събития не са всичките подмножества на \(\Omega\), а само част от тях. Тази фамилия \(\mathcal{F}\) от подмножества на \(\Omega\) трябва да е затворена по отношение на вземане на допълнение на множество в \(\mathcal{F}\), както и по отношение на обединение на изброим брой елементи на \(\mathcal{F}\). Такава фамилия се нарича \(\sigma\) алгебра, а множествата в нея се наричат измерими. Вероятностната мярка е дефинирана само върху измеримите множества. Случайната величина в този случай не е каква да е функция \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\), а трябва да е измерима функция, т.е. \(X^{-1}((a, b)) \in \mathcal{F}\) за всеки отворен интервал \((a, b)\).

Сума и произведение на две случайни величини \(X, Y\),дефинирани в едно и също вероятностно пространство, са случайните величини \(X+Y\) и \(X \cdot Y\), дефинирани по естествен начин като

\[ \begin{aligned} (X+Y)(\omega) & :=X(\omega)+Y(\omega), & & \forall \omega \in \Omega, \\ (X \cdot Y)(\omega) & :=X(\omega) \cdot Y(\omega), & & \forall \omega \in \Omega . \end{aligned} \]

Умножение на случайна величина \(X\) с реално число \(a \in \mathbb{R}\) се дефинира като \((a X)(\omega):=a X(\omega)\).

Дефиниция. Нека е дадена случайната величина \(X\), която приема стойности от множеството \(\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\}\).Математическо очакване на \(X\), означавано с \(\mathbb{E}[X]\), се дефинира по следния начин

\[ \mathbb{E}[X]:=\sum_{j=1}^{n} x_{j} P\left(X=x_{j}\right) \]

Пример. Хвърляме зар. В този случай \(\Omega\) се състои от обединението на 6 елементарни събития, а именно: възможните резултати от хвърлянето. Вероятностната мярка \(P\) приема стойност \(1 / 6\) за всяко от тях. Нека случайната величина \(X\) е равна на броя точки, които се падат. Множеството от стойности, които \(X\) приема, е \(\{1,2, \ldots, 6\}\).Вероятността \(X\) ді приеме стойност \(j, 1 \leq j \leq 6\),е \(1 / 6\). Следователно

\[ \mathbb{E}[X]=\sum_{j=1}^{6} j P(X=j)=\sum_{j=1}^{6} j \frac{1}{6}=\frac{7}{2} \]

Забележете, че ако \(\mathbb{E}(X)=m\), то \(X\) приема стойности, по-големи или равни на \(m\), както и по-малки или равни на \(m\). Това наблюдение има голямо приложение, както ще видим.

Свойство 1. (Линейност на очакването) Нека \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) са случайни величини \(u a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n} \in \mathbb{R}\).Изпблнено \(e\)

\[ \mathbb{E}\left[a_{1} X_{1}+a_{2} X_{2}+\cdots+a_{n} X_{n}\right]=a_{1} \mathbb{E}\left[X_{1}\right]+\cdots+a_{n} \mathbb{E}\left[X_{n}\right] \]

3. Приложения в национални състезания

Задача 3.1 (Областен кръг НОМ 2025, 10.3). Аделина и Борис играят турнир от \(k\) мача по тенис на маса, където \(k\) е естествено число. Всеки мач се състои от по 2025 гейма, номерирани \(1,2, \ldots, 2025\).Във всеки гейм има победител. За всеки мач има картонче, на едната страна на което се записват номерата на геймовете, спечелени от Аделина, а на другата – спечелените от Борис. Да се намери най-малкото \(k\) за което е сигурно, че в края на турнира всички \(k\) картончета могат да се поставят на масата така, че всяко от числата \(1,2, \ldots, 2025\) д присъства върху лицевата страна на поне едно картонче.

Решение. Да заменим в условието 2025 с \(n\) и нека \(X=\{1,2, \ldots, n\}\)

Имаме \(k\) картончета и на едната страна на \(i\)-тото от тях е записано множество \(A_{i} \subseteq X\), а на другата му страна – множеството \(X \backslash A_{i}\). Искаме така да обърнем картончетата, че обединението на множествата на лицевата им страна да е \(X\). Нека \(K\) е най-малкото \(k \in \mathbb{N}\), за което това винаги може да се направи. Ще докажем, че \(K=\left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor+1\).

Първо ще покажем, че \(K \leq\left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor+1\). Нека вземем \(k \in \mathbb{N}\) такова, че \(2^{k} \gt n\). Нека обърнем всяко картонче на една от двете му страни с вероятност \(\frac{1}{2}\)(независимо едно от друго). За всяко \(i=1,2, \ldots, n\) да означим с \(\theta_{i}\) случайната величина, която е 0, когато числото \(i\) се среща на някое картонче, и 1, ако не се среща на никое. Тогава \(\mathbf{P}\left(\theta_{i}=1\right)=2^{-k}\), така че за математическото очакване на \(\theta_{i}\) имаме \(\mathbb{E}\left[\theta_{i}\right]=2^{-k}\).

Нека \(\theta=\sum_{i=1}^{n} \theta_{i}\).От Свойство 1, следва че

\[ \mathbb{E}[\theta]=\sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}\left[\theta_{i}\right]=\frac{n}{2^{k}} \lt 1 \]

Тъй като \(\theta\) приема само цели неотрицателни стойности, значи има събитие (разположение на картончетата), за което \(\theta=0\). При това разположение всяко число от \(X\) се среща на лицeватата страна на някое картонче. Следователно \(K \leq\left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor+1\).

Нека сега покажем, че в случай, когато \(2^{k} \leq n\), съществуват множества \(A_{i} \subset X\), така че \(B_{1} \cup B_{2} \cup \cdots \cup B_{k} \neq X\) за всеки избор на \(B_{i}\) да бъде или \(A_{i}\) или \(X \backslash A_{i}, i=1,2, \ldots, n\).Това е еквивалентно на

(1)\[ B_{1} \cap B_{2} \cap \cdots \cap B_{k} \neq \emptyset \]

за всеки такъв избор на \(B_{i}\). Достатъчно е да докажем, че такива множества \(A_{i}\) съществуват в случая \(n=2^{k}\). Наистина, множествата \(A_{i}\), които вършат работа за \(n=2^{k}\), ще свършат работа и при \(n \gt 2^{k}\), тъй като (1) ще продължава да е в сила.

Да разгледаме множеството от елементарни събития

\[ \Omega:=\left\{\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right): b_{i} \in\{0,1\}, 1 \leq i \leq k\right\} \]

и нека всеки елемент има равна вероятност. Нека разгледаме събитията \(A_{i}:=\left\{b=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{k}\right) \in \Omega: b_{i}=1\right\}\).Очевидно \(\mathbf{P}\left(A_{i}\right)=\mathbf{P}\left(\overline{A_{i}}\right)=1 / 2\) и \(A_{i}, i=1,2, \ldots, k\) са независими. Да вземем събития \(B_{i}\),където за всяко \(i=1,2, \ldots, n, B_{i}\) е или \(A_{i}\), или \(\overline{A_{i}}\).От казаното следва

\[ \mathbf{P}\left(B_{1} \cap B_{2} \cap \cdots \cap B_{k}\right)=\mathbf{P}\left(B_{1}\right) \mathbf{P}\left(B_{2}\right) \cdots \mathbf{P}\left(B_{k}\right)=2^{-k} \neq 0 \]

Това доказва (1), откъдето \(K \gt \left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor\).

Има разнообразни подходи за доказателството на \(K \leq\left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor+1\). Най-ефективният сред тях е навярно използването на лаком (greedy) алгоритъм, където обръщаме карта след карта така, че на всяка стъпка поне половината от липсващите до момента числа да са откъм лицевата страна на последната обърната карта. Също така, има и конструктивен подход \({ }^{1}\) при който в явен вид се дава работещо поставяне на база множествата, изписани от двете страни на картите. Лакомият подход не дава ясни идеи как да се реши \(K \gt \left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor\), докато представеното по-горе решение, както и конструктивният подход помагат за атакуването и на долната граница. И в двата случая извеждането на долната граница \(\boldsymbol{\epsilon}\) чрез допускане на противното, като при конструктивния подход за всяко поставяне явно се извежда номер, който няма да присъства върху лицевата страна на нито една от картите, докато при вероятностния подход това липсва. Последното прави вероятностния подход по-интуитивен, тъй като благодарение на него директно решаваме поставената задача, без да е необходимо да разширяваме фокуса на изследванията и да анализираме допълнителни причинно-следствени връзки от условието.

Да разгледаме още една задача от тази година, която илюстрира ползите от теорията на вероятностите при решаване на олимпийски задачи.

Задача 3.2 (НЗМС 2025, 10.3). Във връзка с формирането на редовно правителство, Президентът поканил всичките 240 депутати на три отделни консултации, като всеки депутат участвал в точно една консултация и на всяка от консултациите присъствал поне един депутат.

Предстои да се проведат разговори между двойки депутати за обсъждане на консултациите. Възможно ли е те да се проведат така, че да съществува цяло неотрицателно число \(k\) такова, че за всеки двама депутати, участвали в различни консултации, да има точно \(k\) депута ти, участвали в останалата консултация, с които всеки от двамата да разговаря, \(u\) точно \(k\) депутати, участвали в останалата консултация, с които никой от двамата да не разговаря?

Да се намерят всички възможни стойности на \(k\).

Ето същата задача, но формулирана с езика на теория на графите.

Задача 3.3 Даден е триделен граф \(G\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right)\),за който е изпълнено условието \(\left|A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right|=240\). За всяка пермутация (\(i_{1}, i_{2}, i_{3}\) ) на числата \((1,2,3)\) и всеки два върха \(x \in A_{i_{1}}, y \in A_{i_{2}}\) е известно, че има точно \(k\) върха в \(A_{i_{3}}\), които са едновременно свързани с \(x\) и \(y\), и точно \(k\) върха в \(A_{i_{3}}\), които едновременно не са свързани с \(x\) и \(y\). Да се намерят всички възможни стойности на \(k\).

Това, което трябва да направим, е да ограничим стойностите на \(k\), за които такъв граф би могъл да съществува, след което да посочим пример, т.е. направим конструкция на граф, удовлетворяващ всички изисквания, посочени в условието. За първата част теория на вероятностите не е нужна, но ще видим, че за примера тя значително улеснява мотивацията какво да търсим.

Нека оцветим всички ребра на \(G\) в червено, след което да прекараме всички останали ребра и да ги оцветим в синьо. Според условието, както и да изберем два върха от два различни дяла, вероятността връх от третия дял да е свързан с червени ребра с първите два върха, е равна на вероятността да е свързан със сини ребра с всеки от тях. Да изберем за вероятностно пространство всевъзможните тройки върхове \(\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), a_{i} \in A_{i}, 1 \leq i \leq 3\),като всяка такава тройка има еднаква вероятност да бъде избрана. Да оценим сега вероятността избрана тройка \(\Delta:=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)\) да е едноцветен триъгълник. Имаме

\[ \begin{aligned} & \mathbf{P}(\Delta \text { е едноцветен })= \\ & =\mathbf{P}\left(a_{1} a_{2} \text { е червен }\right) \mathbf{P}\left(a_{1} a_{3}, a_{2} a_{3} \text { са червени } \mid a_{1} a_{2} \text { е червен }\right) \\ & \quad+\mathbf{P}\left(a_{1} a_{2} \text { е син }\right) \mathbf{P}\left(a_{1} a_{3}, a_{2} a_{3} \text { са сини } \mid a_{1} a_{2} \text { е син }\right) \\ & =\mathbf{P}\left(a_{1} a_{2} \text { е червен }\right) \frac{k}{\left|A_{3}\right|}+\mathbf{P}\left(a_{1} a_{2} \text { е син }\right) \frac{k}{\left|A_{3}\right|}=\frac{k}{\left|A_{3}\right|} \end{aligned} \]

По същия начин се получава, че

\[ \mathbf{P}(\Delta \text { е едноцветен })=\frac{k}{\left|A_{1}\right|}=\frac{k}{\left|A_{2}\right|}, \]

откъдето следва, че \(\left|A_{1}\right|=\left|A_{2}\right|=\left|A_{3}\right|=80\). Да означим \(p:=k /\left|A_{1}\right|\). Тогава вероятността \(\Delta\) да е едноцветен триъгълник, е равна на \(p\), а вероятността да не е едноцветен, е равна на \(1-p\).

Нека сега оценим по друг начин вероятността триъгълникът \(\Delta\) да не е едноцветен. В този случай две от страните са оцветени в цвят, различен от третата страна. Тази „трета“ страна може да бъде всяка от страните \(a_{1} a_{2}, a_{1} a_{3}, a_{2} a_{3}\), като тези три събития са взаимно изключващи се. Вероятността двете ребра \(a_{1} a_{3}\) и \(a_{2} a_{3}\) да са оцветени в цвета, различен от цвета на \(a_{1} a_{2}\), е точно \(p\), така че вероятността триъгълникът \(\Delta\) да не е едноцветен, е равна на \(3 p\).

И така \(3 p=1-p\), което дава \(p=1 / 4\). Следователно \(k=20\).

Остава да дадем пример на граф, удовлетворяващ условията за \(k=20\). Да си представим, че съществува подходящо вероятностно пространство, в което, като вземем произволен триъгълник \(\Delta\), вероятността коя да е от страните да е оцветена в синьо, съответно червено, е равна на \(1 / 2\) и тези три събития са независими. Тогава вероятността две фиксирани страни на \(\Delta\) да са в даден цвят, е \(1 / 4\). Планът е следният:

1) построяваме такова вероятностно пространство;

2) правим го еквивалентно на пълен триделен граф с еднакъв брой върхове във всеки дял, на който ребрата са оцветени в два цвята, като всеки връх на \(\Delta\) се избира от съответния дял еднакво вероятно и независимо от другите.

Нека

\[ \Omega:=\left\{\Delta=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3} ; c_{1}, c_{2}, c_{3}\right): a_{i} \in A_{i}, c_{i} \in\{0,1\}, i=1,2,3\right\} \]

където (\(a_{1}, a_{2}, a_{3}\) ) интерпретираме като триъгълник, а \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\)– като цветовете съответно на страните \(a_{2} a_{3}, a_{1} a_{3}\) и \(a_{1} a_{2}\)(0 – червено, 1 – синьо).

На всеки елемент на \(\Omega\) присвояваме една и съща вероятност. Забележете, че \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) са обвързани със страните на триъгълника, а не с върховете му. За да ги обвържем с върховете, ще въведем ново множество от елементарни събития,

\[ \Omega^{\prime}:=\left\{\Delta=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3} ; \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right): a_{i} \in A_{i}, \varepsilon_{i} \in\{0,1\}, i=1,2,3\right\} . \]

В този случай считаме, че \(a_{i} a_{j}\) е оцветен в червено, ако \(\varepsilon_{i}=\varepsilon_{j}\), и в синьо, ако \(\varepsilon_{i} \neq \varepsilon_{j}\). Горният запис може да бъде и във вида:

\[ \Omega^{\prime}:=\left\{\Delta=\left(a_{1}, \varepsilon_{1} ; a_{2}, \varepsilon_{2} ; a_{3}, \varepsilon_{3}\right): a_{i} \in A_{i}, \varepsilon_{i} \in\{0,1\}, i=1,2,3\right\} \]

Това ни навежда на мисълта, че на елементите от \(\Omega^{\prime}\) може да гледаме като на двоични низове, единият бит на които е предназначен да определя цвета. Сега трябва да съобразим, че този бит за съответните елементи от \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\) не може да бъде на една и съща позиция, защото тогава от \(\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}\) и \(\varepsilon_{2}=\varepsilon_{3}\) следва \(\varepsilon_{1}=\varepsilon_{3}\), т.е. ако \(a_{1} a_{2}\) и \(a_{2} a_{3}\) са от един и същи цвят, то и \(a_{1} a_{3}\) ще е в същия цвят и съответните събития няма да са независими.

Нека \(A:=\{(x, y, z): x, y, z \in\{0,1\}\}\) и \(A_{1}=A_{2}=A_{3}=A\). Два елемента \(a_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \in A_{1}\) и \(a_{2}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \in A_{2}\) са свързани с червено ребро, ако \(z_{1}=z_{2}\), а в противен случай са свързани със синьо ребро. Аналогично, \(a_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \in A_{1}\) и \(a_{3}=\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right) \in A_{3}\) са свързани с червено ребро само ако \(y_{1}=y_{3}\); и накрая \(a_{2}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \in A_{2}\) и \(a_{3}=\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right) \in A_{3}\) с. свързани с червено ребро само ако \(x_{2}=x_{3}\).

Избора на \(a_{i} \in A_{i}, i=1,2,3\) дефинираме да е равновероятен и независим. Да разгледаме така дефинираното вероятностно пространство.

За произволна пермутация (\(i_{1}, i_{2}, i_{3}\) ) на (\(1,2,3\) ) и фиксирани \(a_{i_{1}} \in A_{i_{1}}\) \(a_{i_{2}} \in A_{i_{2}}\) нека с \(X_{i_{1}, i_{3}}\left(a_{i_{1}}, a_{i_{2}}\right)\) означим събитието реброто \(a_{i_{1}} a_{i_{3}}\) да е червено, a с \(X_{i_{2}, i_{3}}\left(a_{i_{1}}, a_{i_{2}}\right)\)– събитието реброто \(a_{i_{2}} a_{i_{3}}\) да е червено. Лесно се проверява, че всички тези събития са независими и с вероятност \(1 / 2\)

Тогава пълният триделен граф \(G\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right)\) с така дефинираното оцветяване изпълнява условието на задачата и \(\left|A_{i}\right|=8, i=1,2,3\). Ако всеки връх на този граф мултиплицираме по 10, ще получим търсения пример на граф с \(\left|A_{i}\right|=80, i=1,2,3\).

Коментар 1. Разгледаният вероятностен подход при конструирането на примера е приложим винаги когато броя депутати \(N\) се дели на 24.

Официалното решение (виж Кортезов, И.) на задачата прилага конструкция, работеща в по-общия случай, когато \(N\) се дели на 12, и доказваща, че \(k=N / 12\) винаги се реализира. Така, предложеното в статията решение не покрива числата от вида \(N \equiv 12(\bmod 24)\), но е приложимо за конкретната стойност \(N=240\) в условието на задачата.

Коментар 2. Идеята за доказателството на първата част може да се разглежда, в известен смисъл, като дискретен вариант на следната класическа задача: Каква е вероятността да получим остроъгълен триъгълник, когато разположим по случаен начин три точки върху окръжност \(\Gamma\) ?

Наистина, лесно се съобразява, че вероятността триъгълникът да е правоъгълен, е равна на нула. Нека сега сме поставили три точки \(A, B, C\) върху Γ, така че \(\triangle A B C\) е остроъгълен.

Да построим диаметрално противоположните точки \(A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\) съответно на \(A, B, C\). Триъгълниците \(A B C\) и \(A^{\prime} B C\) нямат общи вътрешни точки, а споделят единствено отсечката \(B C\). Тъй като \(\triangle A B C\) е остроъгълен, то центърът \(O\) на \(\Gamma\) не лежи върху \(B C\), а е вътрешна точка за него. Следователно точката \(O\) е извън \(\triangle A^{\prime} B C\) и той е тъпоъгълен. Аналогично, триъгълниците \(A B^{\prime} C\) и \(A B C^{\prime}\) също са тъпоъгълни. Конфигурацията \(\left\{A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\right\}\) е еднозначно определена които и три две по две недиаметрално противоположни точки да изберем от нея (ако първоначално избраният \(\triangle A B C\) е тъпоъгълен, то първо взимаме диаметрално противоположната точка на върха при тъпия ъгъл и построяваме останалите два триъгълника спрямо получения остроъгълен такъв). Произволен триъгълник \(A B C\) участва в точно една от горните конфигурации. За всяка от конфигурациите е в сила отношението \(1: 3\) на остроъгълни към тъпо-ъгълни триъгълници. Следователно и в общия случай е вярно, че

\[ \begin{aligned} & \mathbf{P}(\triangle A B C \text { е остроъгълен }): \mathbf{P}(\triangle A B C \text { е тъпоъгълен })=1: 3 \quad \Longrightarrow \\ & \mathbf{P}(\triangle A B C \text { е остроъгълен })=\frac{1}{4}, \quad \mathbf{P}(\triangle A B C \text { е тъпоъгълен })=\frac{3}{4} . \end{aligned} \]

Да се върнем към първата част на Задача 3.3. Да наречем едноцветните триъгълници остроъгълни, а разноцветните – тъпоъгълни, като тъпият ъгъл е между двете едноцветни ребра в триъгълника. За всяко ребро \(e_{i j}\) в \(G\) съществува биекция между множествата от върхове от третата компонента на графа, които \(e_{i j}\) вижда съответно под остър и тъп ъгъл. Съгласно по-горния резултат, можем да разбием всички триъгълници в \(G\) на непресичащи се конфигурации от по 4 триъгълника, три от които са разноцветни, а един – едноцветен. Наистина, нека разгледаме произволен едноцветен триъгълник \(a_{1} a_{2} a_{3}, a_{1} \in A_{1}, a_{2} \in A_{2}, a_{3} \in A_{3}\) и нека \(a_{1}^{\prime} \in A_{1}, a_{2}^{\prime} \in A_{2}\) и \(a_{3}^{\prime} \in A_{3}\) са съответните1 2 3 1 биективни1 2 образи2 3 на \(a_{1}\), \(a_{2}\) и \(a_{3}\) спрямо ребрата \(a_{2} a_{3}, a_{1} a_{3}\) и \(a_{1} a_{2}\). Аналогично на горното, конфигурацията \(\left\{a_{1}, a_{1}^{\prime}, a_{2}, a_{2}^{\prime}, a_{3}, a_{3}^{\prime}\right\}\) е еднозначно определена при произволен избор на три от върховете в нея, лежащи в трите различни компоненти на \(G\). Следователно \(k=20\).

Забележете, че решението на задачата от Коментар 2 е по-сложно и по-общо от това за Задача 3.3, но стъпва върху класически резултати, които, ако са известни на решаващия, ще му помогнат бързо да се ориентира и да сведе Задача 3.3 до познати конструкции.

3.1. Анализ на работещите в Задача 3.2 конфигурации

В конструирания в последния параграф на Задача 3.2 (или задача 3.3) пример за работеща конфигурация от всеки връх на графа излизат равен брой червени и сини ребра, т.е. ребрата, инцидентни с произволен връх, са балансирани. Интересен е въпросът дали има пример, в който това не е така. Както ще видим по-долу, това е невъзможно даже и при по-обща ситуация.

Да видим първо как да интерпретираме червените и сините ребра, така че това да позволява обобщаване. За всеки връх \(x \in A_{1}\) да означим \(f_{1,2}^{b}(x)\) и \(f_{1,2}^{r}(x)\) подмножествата от върхове на \(A_{2}\), които са съседи на \(x\) пь съответно сините и червените ребра. Ясно е, че \(f_{1,2}^{b}(x)=A_{2} \backslash f_{1,2}^{r}(x)\).П аналогичен начин, за произволна пермутация \(i_{1}, i_{2}, i_{3}\) на \(1,2,3\) може да дефинираме функциите \(f_{i_{1}, i_{2}}^{b}(x)\) и \(f_{i_{1}, i_{2}}^{r}(x)\),които на връх \(x \in A_{i_{1}}\) съпоставят подмножество в \(A_{i_{2}}\). Тези функции имат определени свойства, генерирани от условията на задача 3.3. Знаем също, че множествата \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) има равен брой елементи. Искаме да покажем, че \(m\left(f_{i_{1}, i_{2}}^{b}(x)\right)=m\left(f_{i_{1}, i_{2}}^{r}(x)\right)\) където с \(m(A)\) сме означили броя на елементите на крайното множество A. Да се абстрахираме от факта, че базовите множества са крайни. Ще докажем едно по-общо твърдение, което се отнася за измерими множества, като \(m(A)\) вече означава мярката на множеството \(A\).

Нека \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) са три копия на едно и също измеримо множество с мярка 1. Върху всяко от множества \(A_{i}\) има дефинирана сигма алгебра \(\mathcal{F}\left(A_{i}\right)\), за \(i=1,2,3\). Означаваме с \(\mu_{i}(A)\) мярката на \(A \in \mathcal{F}\left(A_{i}\right)\). Тъй като имаме копия на една и съща сигма алгебра и мярка върху нея, вместо \(\mu_{i}(\cdot)\) ще използваме просто означението \(\mu(\cdot)\), стига да не възникват недоразумения. Това ще ни избави от излишно усложняване на означенията.

Читателят, който не е запознат с теория на мярката, може или да пропусне параграф 3.1, или навсякъде по-долу да счита, че \(A_{i}\) са крайни множества с един и същ брой елементи \(m\) и \(\mu(A):=\#(A) / m\).

За всяко \(i_{1}, i_{2} \in\{1,2,3\}, i_{1} \neq i_{2}\) нека \(E_{i_{1}, i_{2}}^{b}\) и \(E_{i_{1}, i_{2}}^{r}\) бъдат измерими подмножества на \(A_{i_{1}} \times A_{i_{2}}\)(което е измеримо пространство с мярка, генерирана от мерките на \(A_{i_{1}}, A_{i_{2}}\) ). Множествата \(E_{i_{1}, i_{2}}^{r}, E_{i_{1}, i_{2}}^{b}\) са всъщност интерпретация на множествата от съответно червените и сините ребра, свързващи върхове от \(A_{i_{1}}\) и \(A_{i_{2}}\). За \(x \in A_{i_{1}}\) дефинираме множествата \(f_{i_{1}, i_{2}}^{b}, f_{i_{1}, i_{2}}^{r} \subset A_{i_{2}}\) по следния начин:

\[ \begin{aligned} & f_{i_{1}, i_{2}}^{b}(x):=\left\{y \in A_{i_{2}} \mid(x, y) \in E_{i_{1}, i_{2}}^{b}\right\}, \forall x \in A_{i_{1}} . \\ & f_{i_{1}, i_{2}}^{r}(x):=\left\{y \in A_{i_{2}} \mid(x, y) \in E_{i_{1}, i_{2}}^{r}\right\}, \forall x \in A_{i_{1}} . \end{aligned} \]

Множествата \(f_{i_{1}, i_{2}}^{b}(x)\) и \(f_{i_{1}, i_{2}}^{r}(x)\) интерпретираме като подмножествата на върховете в \(A_{i_{2}}\), които са съседи на \(x \in A_{i_{1}}\) по съответно сините и червените ребра.

Забележете, че така дефинираните множества са измерими в \(A_{i_{2}}\), т.е. \(f_{i_{1}, i_{2}}^{b}, f_{i_{1}, i_{2}}^{r}: A_{i_{1}} \rightarrow \mathcal{F}\left(A_{i_{2}}\right)\).Нека допуснем, че функциите \(f_{i_{1}, i_{2}}^{b}, f_{i_{1}, i_{2}}^{r}\) удовлетворяват свойствата:

i) \(f_{i_{1}, i_{2}}^{b}(x)=A_{i_{2}} \backslash f_{i_{1}, i_{2}}^{r}(x), \forall x \in A_{i_{1}}\);

ii) \(y \in f_{i_{1}, i_{2}}^{b}(x) \Longleftrightarrow x \in f_{i_{2}, i_{1}}^{b}(y) ; y \in f_{i_{1}, i_{2}}^{r}(x) \Longleftrightarrow x \in f_{i_{2}, i_{1}}^{r}(y)\);

iii) \(\mu\left(f_{i_{1}, i_{3}}^{r}(x) \cap f_{i_{2}, i_{3}}^{r}(y)\right)=1 / 4, \quad \forall x \in A_{i_{1}}, \forall y \in A_{i_{2}}\); iv) \(\mu\left(f_{i_{1}, i_{3}}^{b}(x) \cap f_{i_{2}, i_{3}}^{b}(y)\right)=1 / 4, \quad \forall x \in A_{i_{1}}, \forall y \in A_{i_{2}}\).

Теорема 2. При горните условия следва, че за всяка пермутация \(\left(i_{1}, i_{2}, i_{3}\right)\) на \((1,2,3)\) е в сила \(\mu\left(f_{i_{1}, i_{2}}^{r}(x)\right)=\mu\left(f_{i_{1}, i_{2}}^{b}(x)\right)=1 / 2 \quad \forall x \in A_{i_{1}}\).

Доказателство. Да допуснем противното. Като имаме предвид i), нека за определеност съществува \(x_{1} \in A_{1}\) такова, че

\[ \mu\left(f_{1,3}^{r}\left(x_{1}\right)\right)=\mu_{1} \gt 1 / 2 \]

Нека \(y \in A_{2}\). От i), iii) и iv) следва \[ \begin{aligned} f_{2,3}^{b}(y) & =\left(f_{2,3}^{b}(y) \cap f_{1,3}^{r}\left(x_{1}\right)\right) \cup\left(f_{2,3}^{b}(y) \cap f_{1,3}^{b}\left(x_{1}\right)\right) \\ & \left.=\left(f_{1,3}^{r}\left(x_{1}\right)\right) \backslash\left(f_{2,3}^{r}(y) \cap f_{1,3}^{r}\left(x_{1}\right)\right)\right) \cup\left(f_{2,3}^{b}(y) \cap f_{1,3}^{b}\left(x_{1}\right)\right) \end{aligned} \]

От тук получаваме, че \[ \mu\left(f_{2,3}^{b}(y)\right)=\mu_{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\mu_{1} \gt \frac{1}{2}, \quad \forall y \in A_{2} \] От (2) пък, със същия аргумент, но приложен обратно към \(f_{1,3}^{r}\), следва \(\mu\left(f_{1,3}^{r}(x)\right)=\mu_{1} \quad \forall x \in A_{1}\).

Съгласно теоремата на Фубини имаме:

\[ \mu\left(E_{1,3}^{r}\right)=\int_{A_{1}} \mu\left(f_{1,3}^{r}(x)\right) d \mu(x)=\mu_{1} \gt \frac{1}{2} \]

Тук индуцираните мерки в \(A_{i_{1}} \times A_{i_{2}}\) за простота отново бележим с \(\mu\). От ii) следва \(E_{1,3}^{r}=E_{3,1}^{r}\),което дава

\[ \frac{1}{2} \lt \mu_{1}=\mu\left(E_{3,1}^{r}\right)=\int_{A_{3}} \mu\left(f_{3,1}^{r}(z)\right) d \mu(z) \]

Следователно съществува \(z_{0} \in A_{3}\), за което \(\mu\left(f_{3,1}^{r}\left(z_{0}\right)\right) \geq \mu_{1}\),откъдето
(3)

Със същия аргумент, приложен за \(E_{2,3}^{b}\) и \(E_{3,2}^{b}\), получаваме

(4)\[ \mu\left(f_{1,2}^{r}(x)\right) \geq \mu_{1} \gt \frac{1}{2}, \quad \forall x \in A_{1} \]

От ii) имаме \(E_{1,2}^{b}=E_{2,1}^{b}\) и \(E_{1,2}^{r}=E_{2,1}^{r}\),а от i) следва \(E_{1,2}^{b} \cup E_{1,2}^{r}=A_{1} \times A_{2}\)

и (4) получаваме \(\mu\left(E_{1,2}^{b}\right)=\mu\left(E_{2,1}^{b}\right) \gt 1 /\) s и \(\mu\left(E_{1,2}^{r}\right)=\mu\left(E_{2,1}^{r}\right) \gt 1 / 2\),к оето противоречи на факта,че \(\mu\left(E_{1,2}^{b}\right)+\)

И така, доказахме, че всички работещи конфигурации са балансирани. Интересен е въпросът колко на брой са всички различни неизоморфни работещи конфигурации. Да отбележим, че представената в статията конфигурация за \(N=3 \cdot 4 \cdot 2=24\) е различна от тази в брошурата от НЗМС (виж [5]), тъй като при втората има сдвояване на двойки върхове във всяка от компонентите на триделния граф \(G\), докато при първата всеки връх от \(A_{1}\) има различно множество от съседи. Така основният въпрос е дали броят на конфигурациите монотонно расте с \(N=12 k\), дали може да се запише в явен вид като функция на \(k\) и дали тази функция е полиномиална, или експоненциална.

4. Приложение в международни състезания

Ще разгледаме задача 5 от Международната олимпиада по математика (МОМ 2023), за която, за разлика от предишните задачи, мотивацията да използваме вероятности, е по-голяма.

Задача (MOM 2023, зад. 5). Дадено е естествено число n. Японски триъгълник се състои от \(1+2+\cdots+n\) кргга,които са подредени във формата на равностранен триъгълник, така че за всяко \(i=1,2, \ldots, n\) \(i\)-тият ред съдържа точно \(i\) кргга,точно един от които е оцветен ветен в червено. Нинджа-път в японски триъгълник ще наричаме редица от \(n\) кръга, която започва от първия ред, последователно преминава от кръг към един от двата кръга, непосредствено под него, и завършва в последния ред. На фигурата по-долу е показан пример за японски триъгълник при \(n=6\), заедно с нинджа-път, съдържащ два червени кръга. В зависимост от \(n\) да се намери най-голямото \(k\), за което във всеки японски триъгълник има нинджа-път, съдържащ поне \(k\) червени кръга.

Фигура 1.

Задачи от този тип предполагат следната аргументация:

1) намираме оценка отдолу за \(k\);

2) даваме пример, при който не можем да минем през по-голям брой червени кръгове.

В тази статия ще разгледаме само оценката отдолу, тъй като там се прилага вероятностният подход. Очакванията са отговорът да е от порядъка на \(k=\log _{2} n\). Както ще видим, търсената стойност е \(k=\left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor+1\). Да разсъждаваме грубо и не съвсем строго. Да вземем един произволен нинджа-път \(p\). Вероятността той да уцели червената топка в \(i\)-тия ред, би следвало да е \(1 / i\), тъй като там има \(i\) топки и само една е червена (това, разбира се, е наивно разсъждение и не е вярно). Нека \(1_{i}\) е случайната величина, която приема стойност 1, ако пътят \(p\) минава през червената топка на \(i\)-тия ред, а в противен случай приема стойност 0. Такива случайни величини се наричат индикатори – те вдигат флаг 1, ако определено събитие се случва, и 0, ако не се случва. В сила е \(\mathbb{E}\left[1_{i}\right]=1 / i\) и като сумираме по \(i\), виждаме, че средният брой червени топки по пътя е \(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \approx \ln n\).

Нека „изправим“ тази идея. По-долу са дадени два опита за това. При първия получената оценка за \(k\) е по груба и не е точната, но пък

конструкцията е по-проста и виждаме как работи методът. При втория опит прецизираме нещата и получаваме точната оценка.

Първи опит. Нека вероятностното ни пространство се състои от всички възможни нинджа-пътища, като на всеки от тях ще съпоставим определена вероятност. Искаме така да направим това, че свойството по-долу да е изпълнено.

Свойство 1. Вероятността нинджа-път да мине през кой да е кръг на \(i\)-тия ред, е точно \(\frac{1}{i}\), без значение от положението на кръга в реда.

Да предположим, че това е осъществимо. Да означим с \(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{r}\) червените точки, като \(r_{i}\) е на \(i\)-тия ред. Нека \(1_{r_{i}}, i=1,2, \ldots, n\) е случайната величина, която приема стойност 1, ако нинджа-път минава през \(r_{i}\) и стойност 0 в противен случай. Тогава \(\mathbb{P}\left(1_{r_{i}}=1\right)=\frac{1}{i}, i=1,2, \ldots, n\) откъдето

\[ \mathbb{E}\left[1_{r_{i}}\right]=\frac{1}{i}, i=1,2, \ldots, n \]

Да разгледаме случайната величина \(N:=\sum_{i=1}^{n} 1_{r_{i}}\).Тя брои червените точ

ки, през които минава случайно избран нинджа-път (под „случайно избран” разбираме избран в съгласие със съответното вероятностно пространство). Имаме \(\mathbb{E}[N]=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \gt \ln n\).И така, математическото очакване на броя на уцелените червени точки от случаен нинджа-път е поне \(\ln n\). Следователно съществува път, минаващ през поне толкова червени точки.

Остава да конструираме вероятностно пространство, удовлетворяващо Свойство 1. Стартираме от горе надолу и на всеки разклон ще присвоим вероятност да поемем надолу-наляво или надолу-надясно. На първия разклон, под най-горната точка, двете вероятности са \(1 / 2\). Т.е. вероятността нинджа-път да мине през коя да е от двете точки на втория ред, е \(1 / 2\). Да предположим, че сме на \(j\)-тия ред и вероятността нинджа-път да уцели коя да е точка на него, е \(\frac{1}{j}\). Искаме да определим какви трябва да са вероятностите за разклоненията надолу, така че същото да е в сила и за \(j+1\)-тия ред. Правим това, както е показано на фиг. 2.

Фигура 2. Пренасяне на вероятности от горе надолу

На \(i\)-тия разклон под \(j\)-тия ред определяме вероятността да вземем левия/десния път съответно да е \(\left(\frac{j+1-i}{j+1}\right)\) и \(\left(\frac{i}{j+1}\right), i=1,2, \ldots, j\). Лесно се пресмята, че вероятността да уцелим произволна точка на \(j+1\)вия ред, е \(\frac{1}{j+1}\). Продължаваме да правим това, докато не стигнем до последния ред.

Втори опит. Сега ще прецизираме оценката (Grozev, 2025), като построим по-точно вероятностно пространство и с негова помощ установим точната оценка отдолу: \(k \geq\left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor+1\). Да означим \(m:=\left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor\). Вероятностното пространство, което ще конструираме, ще зависи от положението на червените точки, за разлика от това, което построихме по-горе. И така, считаме, че конфигурацията на червените точки е фиксирана. Идеята пак е да разгледаме всички възможни нинджа-пътища, като на всеки от тях присвоим определена вероятност, така че следното свойство да е в сила.

Свойство 2. За \(i=0,1, \ldots, m-1\), вероятността да минем през червената точка на ред \(\ell\), където \(2^{i} \leq \ell \leq 2^{i+1}-1\), е точно \(2^{-i}\).

Да предположим, че имаме вероятностно пространство, удовлетворяващо горното свойство. Нека означим червените точки с \(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\), като \(r_{\ell}\) се намира на \(\ell\)-тия ред. Да въведем случайната величина \(1_{r_{\ell}}\), \(\ell=1,2, \ldots, n\), която има стойност 1, ако случайно избран път минава през \(r_{\ell}\), и 0 в противен случай. За тази индикаторна случайна величина имаме

\[ \mathbb{P}\left(1_{r_{\ell}}=1\right)=\frac{1}{2^{i}}, 2^{i} \leq \ell \leq 2^{i+1}-1, i=0,1, \ldots, m-1, \]

което дава

\[ \mathbb{E}\left[1_{r_{\ell}}\right]=\frac{1}{2^{i}}, \forall \ell, 2^{i} \leq \ell \leq 2^{i+1}-1, i=0,1, \ldots, m-1, m:=\left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor . \]

Да разгледаме случайната величина \(N:=\sum_{\ell=1}^{n} 1_{r_{\ell}}\).Тя „брои“ червените точки, през които минава случайно избран път (в съответствие с вероятностното пространство, което удовлетворява Свойство 2). Получаваме

\[ \begin{gathered} \mathbb{E}[N]=\sum_{i=0}^{m-1} \sum_{2^{i} \leq \ell \leq 2^{i+1}-1} \mathbb{E}\left[1_{r_{\ell}}\right]+\sum_{2^{m} \leq \ell \leq n} \mathbb{E}\left[1_{r_{\ell}}\right] \\ \mathbb{E}[N]=\sum_{i=0}^{m-1} 1+\sum_{2^{m} \leq \ell \leq n} \mathbb{E}\left[1_{r_{\ell}}\right] \gt m \end{gathered} \]

(5)

И така, очакваният брой червени точки, през които преминава избраният път, е по-голям от \(m=\left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor\). Това означава, че съществува път който минава през поне \(\left\lfloor\log _{2} n\right\rfloor+1\) червени точки.

Нека сега видим как да конструираме вероятностно пространство, за което Свойство 2 е изпълнено.

На всяко разклонение на нинджа-път ще присвоим двойка вероятности \(\left(p_{1}, p_{2}\right), p_{1}+p_{2}=1\),като \(p_{1}\) е вероятността да тръгнем надолу и наляво, а \(p_{2}\)– вероятността да поемем надолу и надясно. За всеки разклон ще изберем \(\left(p_{1}, p_{2}\right)\),така че \(\left(p_{1}, p_{2}\right) \in\{(0,1),(1,0),(1 / 2,1 / 2)\}\). Вероятностното пространство ще се състои от всички възможни нинджа-пътища, като вероятността да изберем определен път (теглото му), ще е равна на произведението на всички вероятности, асоциирани с разклоненията му.

Еквивалентно, на всеки възел ще присвоим вероятност, равна на вероятността нинджа-път да мине през този възел.

Фигура 3. Пренасяне на вероятности от долу нагоре

Тези присвоявания ще направим в обратен ред – от долу нагоре, като използваме следната идея. Да предположим, че на точките на \(j+1\)-вия ред вече са присвоени някакви вероятности и даден възел има присвоена вероятност \(p\). Ние „пренасяме” нагоре тази вероятност или цялата нагоре вляво, или цялата нагоре вдясно, или \(p / 2\) наляво и \(p / 2\) надясно (фиг. 3).

По този начин, движейки се нагоре, подходящо ще присвоим на всички възли определени вероятности, така че да изпълним Свойство 2. Фигура 4 показва как работи това за \(n=8\).

Фигура 4. Пример за пренасяне на вероятности при n = 8

Така извършената процедура на фиг. 4 беше, за да постигнем следния ефект. Ако сега тръгнем от горе надолу, на всеки разклон има присвоени вероятности 0, 1 или \(1 / 2\) да продължим надолу-наляво или надолунадясно, които са подбрани така, че Свойство 2 да е в сила. Детайлите следват.

Да се фокусираме върху \(2^{i+1}-1\)-вия ред. Да присвоим на червената точка вероятност \(2^{-i}\) и на всички останали възли – вероятност \(2^{-i-1}\). Последователно ще определим вероятността на всеки възел нагоре, ред по ред, до \(2^{i}\)-тия ред да бъде или \(2^{-i}\), или \(2^{-i-1}\), така че на всеки червен възел да бъде присвоена вероятност \(2^{-i}\).

Да допуснем, че сме направили това за всички редове до \(j+1\)-вия включително, като на възлите му сме присвоили от ляво надясно вероятности \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{j+1}\).Трябва да определим вероятностите \(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{j}\), които ще присвоим на \(j\)-тия ред. Нека червената точка в \(j\)-тия ред бъде на позиция \(k\). Да разгледаме поотделно възможностите за (\(p_{k}, p_{k+1}\) ).

Първи случай: \(p_{k}=p_{k+1}=2^{-i-1}\). В този случай полагаме \(q_{k}=2^{-i}\), \(q_{s}=p_{s}, s=1,2, \ldots, k-1\) и \(q_{s}=p_{s+1}, s=k+1, \ldots, j\).

Втори случай: \(p_{k}=2^{-i}, p_{k+1}=2^{-i-1}\). При тази опция, в \(j+1\)-вия ред има друга точка с вероятност \(2^{-i-1}\), освен \(p_{k+1}\), защото \(\sum_{s=1}^{j+1} p_{s}=1\).Т.е., \(p_{s}=2^{-i-1}\) за някое \(s\), което е или по-малко от \(k\), или е по-голямо от \(k+1\).

Да разгледаме първо случая, когато съществува \(s \lt k\) с \(p_{s}=2^{-i-1}\). Тогава полагаме \(q_{k}=2^{-k}, q_{s}=p_{s+1}, s=k+1, \ldots, j\).Нека \(r\) да е най-големият индекс, по-малък от \(k\), за който \(p_{r}=2^{-i-1}\). Полагаме \(q_{s}=p_{s}, s=1,2, \ldots, r-1, q_{s}=2^{-i}, s=r, \ldots, k-1\).

Да разгледаме сега случая, когато \(p_{s}=2^{-i}, s=1,2, \ldots, k\).Нека \(r\) е най-малкият индекс, по-голям от \(k+1\), за който \(p_{r}=2^{-i-1}\). Тоест, \(p_{s}=2^{-i}, s=k+2, k+3, \ldots, r-1\).Сега полагаме \(q_{s}=p_{s}, s=1,2, \ldots, k\), \(q_{s}=2^{-i}, s=k+1, \ldots, r-1\) и \(q_{s}=p_{s+1}, s=r, \ldots, j\).

Трети и четвърти случай: случаите (\(p_{k}=2^{-i-1}, \quad p_{k+1}=2^{-i}\) ) и (\(p_{k}=\) \(p_{k+1}=2^{-i}\) ) са подобни.

Следвайки този план, стигаме до \(2^{i}\)-тия ред, всеки възел на който ще бъде с присвоена вероятност \(2^{-i}\). Забележете, че с конструкцията, която правим, ако се движим надолу по някой нинджа-път, вероятността на всеки разклон да хванем долния ляв, респективно долния десен път, е 1, 0 или \(1 / 2\). Конструкцията също гарантира, че така определеното вероятностно пространство удовлетворява Свойство \(2 . \square\)

5. Заключение и бъдеща работа

В тази статия бе илюстрирана ползата от прилагането на вероятностния подход при решаването на състезателни задачи. Бяха разгледани три задачи от национални и международни ученически олимпиади по математиката. Макар предложените решения да не са най-елегантните и най-кратките като запис, те демонстрират основното качество на подхода, а именно – директното атакуване на задачите при правилно дефиниране на подходящо дискретно вероятностно пространство. Бе показано, че подходът работи не само за доказателство, че съществува работеща конструкция, но дори и за нейното експлицитно намиране.

Бе формулиран и отворен въпрос относно броя на неизоморфните различни конфигурации, удовлетворяващи Задача 3.2. Бъдещата работа на авторите е да изследват дали при различен избор на вероятностното пространство получените конфигурации ще са различни, както и каква е връзката между броя депутати \(N\) и броя на различните конфигурации.

БЕЛЕЖКИ

1. НОМ 2025, Областен кръг (Брошура МОН):

https://dgrozev.wordpress.com/2025_bgr_nmo_regional/

ЛИТЕРАТУРА

КОРТЕЗОВ, И., ДЕЛЧЕВ, К., МАРИНОВ, М., Национално зимно математическо състезание 2025, Математика, бр. 1/2025, стр. 20 38

REFERENCES

ALON, N., SPENCER, J., 2008. The Probabilistic Method, 3-rd edition,

John Wiley & Sons, Inc.

CHEN, E., 2014. Expected Uses of Probability https://web.evanchen.cc/handouts/ProbabilisticMethod/ProbabilisticMethod.pdf ERD P., 1947. Some remarks on the theory of graphs. Bulletin of the

Amer. Math. Soc., no. 53, pp. 292 – 294.

˝ no. 13, pp. 346 – 352.

ERD P., 1973. The Art of Counting: Selected writings. J. Spencer (edt.), Mathematicians of our Time, vol. 5, xxiii p. 742. The MIT Press,

Cambridge, Mass.-London.

FELLER, W., 1991. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 3-rd edition, vol. 1. Wiley. ISBN: 978-0-471-25708-0 GROZEV D., 2025. IMO 2023 Problem 5 Revisited https://dgrozev.wordpress.com/2025/02/25/imo-2023-problem-5-revisited/ KORTEZOV, I., DELCHEV, K., MARINOV, M., 2025 National Winter

Mathematical Competition, Matematika, 1/2025, pp. 20-38 (In Bulgarian)

LOH, PO-SHEN 2010. The Probabilistic Method https://www.math.cmu.edu/ ploh/docs/math/mop2010/prob-comb-soln.pdf

MODELS OF SAMPLE SPACES IN OLYMPIAD PROBLEMS

Abstract. Applications of the probabilistic method in combinatorial problems are shown. In most sources, the construction of the corresponding sample space is natural and trivial and as a result, the existence of certain objects is proven. The emphasis here is on constructing an appropriate sample space. In one of the problems, the process is even reversed – probabilistic properties of objects lead us to construct an example of a probability space – a construction that is actually sought. Three applications of the method are considered – two problems from this year’s Bulgarian competitions: problem 10.3 from the Bulgarian National Olympiad 2025 (Regional Round), and problem 10.3 from the Bulgarian winter math competition 2025 (a generalization of the latter is discussed). We end with problem 5 from 2023 International Math Olympiad. The authors are not aware of a solution to the latter using such an approach.

Keywords: combinatorics; probabilistic method; sample space; probability space; olympiad math problems; Bulgarian National Math Olympiad; International Math Olympiad

 Dragomir Grozev
ORCID iD: 0009-0004-6365-2388
Institute of Mathematics and Informatics
Bulgarian Academy of Sciences
Sofia, Bulgaria
E-mail: drago.grozev@gmail.com

 Dr. Stanislav Harizanov, Assoc. prof.

ORCID iD: 0000-0002-7109-7247
Institute of Mathematics and Informatics
Bulgarian Academy of Sciences
Sofia, Bulgaria
E-mail: sharizanov@gmail.com

2025 година

Книжка 4

A Generalization of the Collinearity of the Stereographic Projection around

КОМПЕТЕНТНОСТНИ МОДЕЛИ ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА ЧИСЛОВИТЕ МНОЖЕСТВА

Десислава Георгиева

УСЪВЪРШЕНСТВАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ КОМПЕТЕНТНОСТИ НА УЧЕНИЦИ OT ТРЕТИ КЛАС ЧРЕЗ ПРОЕКТНО БАЗИРАНА УЧЕБНА ДЕЙНОСТ

Верица Арсов1)

EDUCATIONAL RESOURCES WITH PERCENTAGES FOR THE DEVELOPMENT OF THE VISUAL ESTIMATION

Toni Chehlarova

THE IMPACT OF USING GEOGEBRA ON UNDERSTANDING QUADRATIC FUNCTIONS AND EQUATIONS FOR TENTH-GRADE STUDENTS

1) 1) 1), Erëmirë R. Aliu, Shpëtim Rexhepi, and Egzona Iseni

BRIDGING THE GAP: A PEDAGOGICAL TOOL FOR TEACHING MATHEMATICAL MODELING WITH SPREADSHEETS

Dávid Paksi1), Márk Csóka1), Szilárd Svitek2)

Книжка 3

МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов,

STATISTICAL ANALYSIS OF ACADEMIC ACHIEVEMENT AND INTRINSIC MOTIVATION IN STEM STUDENTS EDUCATED THROUGH A COMPETENCY- BASED APPROACH

ПРИМЕРЕН ПОДХОД ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ НА ИЗКУСТВЕН ИНТЕЛЕКТ И ПРОЕКТНА ДЕЙНОСТ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Ивелина Велчева1), Ирина Карталева2)

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ Комбинаторни задачи върху квадратни и КВАДРАТНИ И ТРИЪГЪЛНИ МРЕЖИ триъгълни мрежи със „СтруниМа“ и Geogebra СЪС „СТРУНИМА“ И GEOGEBRA

Младен Вълков1)

THE IMPACT OF TEACHERS’ GENDER, EDUCATION, AND EXPERIENCE ON FOSTERING MATHEMATICAL CREATIVITY: A QUANTITATIVE STUDY

kombinatorni zadachi. Mathematics and Informatics, 2, 193 – 202. (In Bulgarian). Valkov, M. (2022). Sinhronno distantsionno obuchenie v obrazovatelnata igra “StruniMa”. Pedagogicheski forum, 1, DOI: 10.15547/PF.2022.005, ISSN:1314-7986. (In Bulgarian).

Книжка 1

Уважаеми читатели на списание „Математика и информатика“,

APPLYING DELAUNAY TRIANGULATION IN OLYMPIAD PROBLEMS

Dragomir Grozev, Nevena Sybeva

A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

APOLLONIAN SPHERE AND PROPERTIES OF STEREOGRAPHIC PROJECTION AROUND THE LEMOINE POINT

Vladislav Natchev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev1)

DIGITAL COMPETENCY SELF-ASSESSMENT OF COMPUTER SCIENCE TEACHERS IN BULGARIAN SECONDARY SCHOOLS

Ivaylo Staribratov, Muharem Mollov

UTILIZING GEOGRAPHICAL INFORMATION SYSTEM FOR MAPPING SCHOOLS DISTRIBUTION. CASE STUDY: THE 4TH LOWER SECONDARY SCHOOL IN FLORINA CITY, GREECE

Ilias Solakis, Irena Atanasova

ADDRESSING DATA LITERACY IN INFORMATION SYSTEMS EDUCATION

Kalinka Kaloyanova1, 2)

2024 година

Книжка 6

ВЪРХУ ЗАДАЧА 3 ОТ МЕЖДУНАРОДНАТА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2024 ГОДИНА

Драгомир Грозев

ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

АНАЛИЗ НА РАЗМЕРНОСТИТЕ – НЕОБХОДИМО УСЛОВИЕ ЗА ПРИЛАГАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ

Георги Гачев

МЕТОДЪТ НА СПОМАГАТЕЛНИТЕ УСПОРЕДНИ РАВНИНИ ПРИ ИЗСЛЕДВАНЕ ВИДА НА СЕЧЕНИЯТА НА ТОР С РАВНИНА

ИЗПОЛЗВАНЕ НА VISUAL BASIC FOR APPLICATIONS В EXCEL ЗА РАЗВИТИЕ НА УМЕНИЯТА НА УЧЕНИЦИТЕ В ОБЛАСТТА НА ПРОГРАМИРАНЕТО

Стефка Анева, Елена Тодорова

TEACHING FUTURE MATHEMATICS TEACHERS TO SOLVE PROBLEMS WITH PARAMETERS: UKRAINIAN EXPERIENCE

Alla Prus, Ivan Lenchuk

ARTIFICIAL INTELLIGENCE IN CYBERSECURITY: RIGOROUS CRITICAL REVIEW, METHODOLOGICAL CHALLENGES AND FUTURE RESEARCH DIRECTIONS

Maria Mpitsi

Книжка 5

ПОДХОД ЗА ОТКРИВАНЕ НА ПРОПУСКИ В СИГУРНОСТТА НА УЕББРАУЗЪРИ В ОПЕРАЦИОННИ СИСТЕМИ ЗА МОБИЛНИ УСТРОЙСТВА

Стоян Мечев

FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev,Nadezhda Borisova,Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски1),Марияна Николова2)

DIGITAL EDUCATIONAL PLATFORMS AND THEIR IMPORTANCE FOR VOCATIONAL TRAINING IN MODERN ENTERPRISES

Evgeniya Nikolova

ЗАДАЧИ ЗА ФОРМИРАНЕ НА ПОНЯТИЯ С ДИАГРАМИ НА ВЕН С ПЕТ МНОЖЕСТВА

Тони Чехларова1),Койя Чехларова2)

МЕТОДИ ЗА ПОСТРОЯВАНЕ НА РАВНИННИ СЕЧЕНИЯ НА КРЪГОВ ЦИЛИНДЪР

Ирена Първанова1),Венцислав Радулов2)

ИЗКУСТВЕН ИНТЕЛЕКТ В СЪВРЕМЕННОТО ОБУЧЕНИЕ: ВЪЗМОЖНОСТИ И ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА

Панка Вълева,Генчо Стоицов,Иван Димитров

GUIDE FOR AUTHORS / УКАЗАНИЯ ЗА АВТОРИТЕ

Книжка 4

DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev , Tsvetelin Zaevski Anton Iliev , Vesselin Kyurkchiev , Asen Rahnev

ON THE TIME COMPLEXITY OF AN ALGORITHM

Krassimir Manev

AN ITERATIVE ALGORITHM FOR DETERMINING THE GREATEST COMMON DIVISOR OF TWO OR MORE UNIVARIATE POLYNOMIALS

Verica Milutinovi´c

ARTIFICIAL INTELLIGENCE TOOLS INTO HIGHER MATHEMATICS EDUCATION: OPPORTUNITIES, CHALLENGES, AND STUDENT PERCEPTIONS

Evgeniya Nikolova

НАГЛАСИ НА БЪДЕЩИТЕ УЧИТЕЛИ ЗА ПРИЛАГАНЕ НА ИЗКУСТВЕН ИНТЕЛЕКТ В ОБУЧЕНИЕТО

Наталия Павлова

КОМПЮТЪРНИ МОДЕЛИ НА ЕДНА ОЛИМПИЙСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ЗАДАЧА

Тони Чехларова, Младен Вълков

GEOGEBRA IMPACT IN AVOIDING COMMON MISTAKES STUDENTS MAKE IN HANDLING EXPONENTIAL FUNCTIONS

Shpresa Tuda, Shpetim Rexhepi

Книжка 3

LEXICAL REPRESENTATION OF DENSE NUMERICAL VECTORS: INTRODUCING LANGVEC

Simeon Emanuilov, Aleksandar Dimov

РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

РАЗВИТИЕ НА ДИГИТАЛНИ КОМПЕТЕНТНОСТИ В ЗАДЪЛЖИТЕЛНАТА ПОДГОТОВКА ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В СРЕДНОТО УЧИЛИЩЕ

Теменужка Зафирова-Малчева, Николина Николова, Пенчо Михнев

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

ПРОГРАМНА РЕАЛИЗАЦИЯ НА ИГРАТА „КОМБИНАЦИЯ ДЕВЕТ“

Георги Гачев

РАЗВИТИЕ НА ДИГИТАЛНИ И АЛГОРИТМИЧНИ УМЕНИЯ НА УЧЕНИЦИТЕ ЧРЕЗ ИЗПОЛЗВАНЕ НА VISUAL BASIC FOR APPLICATIONS

Стефка Анева, Елена Тодорова

ДВУКРАТНО БРОЕНЕ И ЧИСЛА НА ФИБОНАЧИ

Ивайло Кортезов

Книжка 2

PROPERTIES AND CONJECTURES REGARDING DISCRETE RENEWAL SEQUENCES

Nikolai Nikolov , Mladen Savov

ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova , Aharon Goldreich , Nadezhda Borisova

ФОРМИРАНЕ НА КОМПЕТЕНТНОСТИ ЧРЕЗ ПРОБЛЕМНО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ

2. Компетентностен подход Компетентностният подход се базира на използването на инте- рактивни методи и нови технологии за обучение, които спомагат за

РАЗВИТИЕ НА ДИГИТАЛНИ КОМПЕТЕНТНОСТИ В ЗАДЪЛЖИТЕЛНАТА ПОДГОТОВКА ПО КОМПЮТЪРНО МОДЕЛИРАНЕ И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В СРЕДНОТО УЧИЛИЩЕ

ИНТЕРАКТИВНИ УЧЕБНИ РЕСУРСИ ЗА ПРЕПОДАВАНЕ НА МЕТОДА НА ИНВЕРСИЯТА ЗА ПОСТРОИТЕЛНИ ЗАДАЧИ

Цветелина Йорданова

ИЗСЛЕДВАНЕ НА ВРЪЗКАТА МЕЖДУ ФОНЕМНИЯ СЪСТАВ И ЕМОЦИОНАЛНАТА ВАЛЕНТНОСТ НА ТЕКСТ

Книжка 1

ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА ПРИ ОБХОЖДАНЕТО НА ИНТЕРНЕТ С ЦЕЛ ИЗВЛИЧАНЕ НА ДАННИ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

AN APPROACH AND A TOOL FOR EUCLIDEAN GEOMETRY

Dr. Boyko Bantchev, Assoc. Prof.

РЕЛЕВАНТНИ ЛИ СА УТВЪРДЕНИТЕ ТАКСОНОМИИ ЗА ОБУЧЕНИЕ В ЕЛЕКТРОННА СРЕДА

Диана Петрова

STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva , Rositsa Doneva , Sadiq Hussain Ashis Talukder , Gunadeep Chetia , Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Assist. Prof. Stefan Stavrev, Assist. Prof. Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година

Книжка 6

MIRROR (LEFT-RECURSIVE) GRAY CODE

Dr. Valentin Bakoev, Assoc. Prof.

ЗАДАЧИТЕ ОТ ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕТО „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“ – РЕСУРС ЗА РАБОТА В STEM ЦЕНТРОВЕТЕ

Георги Гачев, Петър Кендеров, Тони Чехларова

THE CONSTRUCTION OF VALID AND RELIABLE TEST FOR THE DIVISIBILITY AREA

Dr. Daniela Zubović, Dr. Dina Kamber Hamzić

QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

ПРИМЕР ЗА ГРЕШКИ ОТ УЧИЛИЩНАТА МАТЕМАТИКА, КОИТО ВЛИЯЯТ НА ПРЕДСТАВЯНЕТО НА УЧЕНИЦИТЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ СЪСТЕЗАНИЯ

Надежда Аплакова

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Двадесет и седма младежка балканска олимпиада по математика

Книжка 5

AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov , Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD- ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Prof. Dr. Jasmin Bektešević, Prof. Dr. Vahidin Hadžiabdić, Prof. Dr. Midhat Mehuljić, Prof. Dr. Sadjit Metović, Prof. Dr. Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

EVALUATIОN OF CHILDREN’S BEHAVIOUR IN THE CONTEXT OF AN EDUCATIONAL MOBILE GAME

Dr. Margarita Gocheva, Chief Assist. Prof. Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof. Prof. Dr. Elena Somova

ИЗБОР НА ПОДХОДЯЩ МОДЕЛ ЗА ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ НВО ПО МАТЕМАТИКА СЛЕД VII КЛАС СПОРЕД МЕТОДИТЕ НА IRT

Ас. Павлин Цонев

COMPETENCY-BASED MODEL FOR CONDUCTING DISTANCE ONLINE SYNCHRONOUS EDUCATION OF THE STUDENTS

Dr. Desislava Georgieva

АЛГОРИТЪМ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА С MS EXCEL SOLVER

Мариян Милев , Велика Кунева

ИЗБОР И ОБОСНОВКА НА ПОКАЗАТЕЛИ ЗА СРАВНИТЕЛЕН АНАЛИЗ НА НИСКОРЕСУРСНИ ШИФРИ

Диляна Димитрова

Книжка 4

TRIPLES OF DISJOINT PATHS BETWEEN POINTS ON A CIRCLE

Dr. Ivaylo Kortezov, Assoc. Prof.

ENRICHING LARGE DOCUMENT STORES WITH INTELLIGENT METADATA: A FRAMEWORK FOR EFFECTIVE KNOWLEDGE MANAGEMENT AND APPLIED ANALYTICS

Penko Ivanov, Elitsa Pavlova

MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić , Hajnalka Peics , Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Dr. Pohoriliak Oleksandr, Assoc. Prof. Dr. Olga Syniavska, Assoc. Prof. Dr. Anna Slyvka-Tylyshchak, Assoc. Prof. Dr. Antonina Tegza, Assoc. Prof. Prof. Dr. Alexander Tylyshchak

РЕКУРЕНТНИТЕ РЕДИЦИ В УЧИЛИЩНИЯ КУРС ПО МАТЕМАТИКА И МЕЖДУПРЕДМЕТНИТЕ ИМ ВРЪЗКИ С ИНФОРМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Гл. ас. д-р Борислава Кирилова, доц. д-р Филип Петров

РЕЗУЛТАТИ ОТ ИЗПОЛЗВАНЕТО НА ВИДЕОИГРИ В ОБРАЗОВАНИЕТО: ПРЕГЛЕД НА НЯКОИ ОСНОВНИ ИЗСЛЕДВАНИЯ ОТ ПОСЛЕДНИТЕ ДЕСЕТ ГОДИНИ

Калин Димитров , проф. д-р Евгения Ковачева „Интелигентният педагогически подход насърчава с инер- гията между технологиите и педагогиката и използва дигиталните игри в учебния процес“. Л. Даниела (Daniela 2020)

четете В новите книжки на научните списания на издателство четете

Книжка 3

ОБЗОР И РАЗВИТИЕ В ПРОФЕСИОНАЛНИТЕ ИНТЕРЕСИ НА СТУДЕНТИТЕ ДИПЛОМАНТИ

Проф. д. н. Наталия Павлова

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Проф. д.п.н. Йордан Табов, проф. д-р Веселин Ненков, гл. ас. д-р Асен Велчев, гл. ас. д-р Станислав Стефанов

ИГРОВО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАМИРАНЕ ЗА НАЧИНАЕЩИ В РЕЖИМ НА PYGAME ZERO – ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ НА PYTHON. ЧАСТ II – БИБЛИОТЕКА PYGAME

Росица Георгиева

УПРАВЛЕНИЕ НА ЗНАНИЯТА ПО СТРУКТУРИ ОТ ДАННИ ЧРЕЗ СМЕСЕНО ОБУЧЕНИЕ

Гл. ас. д-р Валентина Дянкова, д-р Милко Янков

FLIPPED CLASSROOM AND TRADITIONAL METHOD IN TEACHING MATHEMATICS IN BULGARIAN SCHOOL

Assoc. Prof. Dr. Evgeniya Nikolova

GRAPHIC CULTURE OF CONSTRUCTIVE MODELING OF FIGURES IN METRIC STEREOMETRY

Ivan Lenchuk, Alla Prus

USING SENSORS TO DETECT AND ANALYZE STUDENTS’ ATTENTION DURING ROAD SAFETY TRAINING IN PRIMARY SCHOOL

Assist. Prof. Dr. Stefan Stavrev Assist. Prof. Dr. Ivelina Velcheva

Книжка 2

ALGORITHMS FOR CONSTRUCTION, CLASSIFICATION AND ENUMERATION OF CLOSED KNIGHT’S PATHS

Prof. DSc. Stoyan Kapralov , Assoc. Prof. Dr.Valentin Bakoev , Kaloyan Kapralov

ПОСТРОЯВАНЕ НА ОСТА НА КРЪСТОСАНИ ПРАВИ

Митко Кунчев

DUAL FORM OF OBTAINING EDUCATION IN THE MATHEMATICS TEACHERS TRAINING SYSTEM: EMPLOYERS’ POSITION

Dr. Hab. Roman Vernydub, Assist. Prof. Dr. Oxana Trebenko, Prof. DSc. Oleksandr Shkolnyi

АЛГОРИТМИЧНИТЕ ЗАДАЧИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО ПРОФИЛИРАЩ ПРЕДМЕТ ИНФОРМАТИКА ЗА 2022 Г.

Д-р Красимир Манев

ИЗСЛЕДВАНЕ НА ВЛИЯНИЕТО НА ОНЛАЙН ОБУЧЕНИЕТО ВЪРХУ ОТДЕЛНИТЕ СТИЛОВЕ НА УЧЕНЕ

Д-р Явор Дечев

ИГРОВО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ ПО ПРОГРАМИРАНЕ ЗА НАЧИНАЕЩИ В РЕЖИМ НА PYGAME ZERO – ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ С TURTLE ГРАФИКА НА PYTHON

Росица Георгиева

ПОДХОД НА ПРОФИЛИРАНО ОБУЧЕНИЕ ПО УЕБ ДИЗАЙН В ГИМНАЗИАЛЕН ЕТАП НА СРЕДНОТО ОБРАЗОВАНИЕ

Д-р Ивелина Велчева, д-р Христо Христов

и информатика Number 2, 2023 and Informatics ЗА АВТОРИТЕ Настоящите Указания са разработени в съответствие с желанието на списанието да представя в максимална степен публикуваните текстове в международни наукометрични бази. Указанията са подготвени в съответствие със стандарт БДС ISO 690-2021. Уводни думи Списание Математика и информатика (Mathematics and Informatics) разглежда ръко- писи, които с

Книжка 1

НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

THE POWER OF A POINT — A VECTOR PERSPECTIVE

Assoc. Prof. Dr. Boyko Bantchev

ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦАТА НА НЯКОИ ВИДОВЕ МНОГОЪГЪЛНИЦИ И ПРИЛОЖЕНИЕТО ИМ ЗА ДОКАЗВАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ В ТЯХ

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

ЗАДЪЛЖЕНИЯ И ИЗИСКВАНИЯ КЪМ КВАЛИФИКАЦИЯТА И УНИВЕРСИТЕТСКАТА ПОДГОТОВКА НА РЪКОВОДИТЕЛ НАПРАВЛЕНИЕ „ИНФОРМАЦИОННИ И КОМУНИКАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ“ В БЪЛГАРСКОТО УЧИЛИЩЕ

Доц. д-р Марияна Николова, ас. Нели Кискинова

ТЕСТОВИТЕ ЗАДАЧИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ЗА ПРОФИЛИРАЩ УЧЕБЕН ПРЕДМЕТ „ИНФОРМАТИКА“ ПРЕЗ УЧЕБНАТА 2021/2022 ГОДИНА

Доц. д-р Димитър Атанасов , д-р Красимир Манев , доц. д-р Весела Стоименова , държавен експерт Ралица Войнова

SEVERAL OPPORTUNITIES FOR IMPLEMENTING THE TRAINING IN “COMPUTER MODELING AND INFORMATION TECHNOLOGIES” IN THE 7

Assoc. Prof. Dr. Krasimir Harizanov

КЪМ ВЪПРОСА ЗА ПУБЛИЧНО ДОСТЪПНИ НАЦИОНАЛНИ БАЗИ ОТ ДАННИ, СЪДЪРЖАЩИ ОПИСАНИЯ НА УЯЗВИМОСТИ ЗА ОПЕРАЦИОННИ СИСТЕМИ ЗА МОБИЛНИ УСТРОЙСТВА

Стоян Мечев

и информатика Number 1, 2023 and Informatics ЗА АВТОРИТЕ Настоящите Указания са разработени в съответствие с желанието на списанието да представя в максимална степен публикуваните текстове в международни наукометрични бази. Указанията са подготвени в съответствие със стандарт БДС ISO 690-2021. Уводни думи Списание Математика и информатика (Mathematics and Informatics) разглежда ръко- писи, които с

2022 година

Книжка 6

COMPLEX SOLUTIONS TO QUADRATIC INEQUALITIES AND THEIR MODELING BY MEANS OF

Prof. Dr. Aslanbek Khamidovitch Naziev

BEST E-LEARNING PLATFORMS FOR BLENDED LEARNING IN HIGHER EDUCATION

Kalin Dimitrov, PhD student, Dr. Eugenia Kovatcheva, Assoc. Prof. “When I wanted to learn something outside of school as a kid, cracking open my World Book encyclopedia was the best I could do. Today, all you have to do is go online.” – Bill Gates

SETS OF NON-SELF-INTERSECTING PATHS CONNECTING THE VERTICES OF A CONVEX POLYGON

Dr. Ivaylo Kortezov, Assoc Prof.

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИЯ ПОДХОД В ОБРАЗОВАНИЕТО ПО ИНФОРМАТИКА ЧРЕЗ ЕДИН ПОПУЛЯРЕН МАТЕМАТИЧЕСКИ ФОКУС (НОВ ПОГЛЕД КЪМ СТАРИ ИДЕИ)

Гл. ас. д-р Филип Петров

MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Dr. Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Dr. Elena Somova, Prof.

НЯКОИ ИЗВОДИ ВЪРХУ РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ НАЦИОНАЛНОТО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА ЗА VII КЛАС

Ас. Павлин Цонев

Книжка 5

SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Dr. Lilyana Petkova, Dr. Vasilisa Pavlova, Assist. Prof.

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Dr. Silvia Gaftandzhieva, Assoc. Prof. , Prof. Dr. Rositsa Doneva , Milen Bliznakov, PhD

ERROR MANAGEMENT TRAINING IN COMPUTER PROGRAMMING COURSES THROUGH A SYSTEM OF TASKS

Dr. Lasko M. Laskov, Assoc. Prof.

READINESS OF UKRAINIAN MATHEMATICS TEACHERS TO USE COMPUTER GAMES IN THE EDUCATIONAL PROCESS

Dr. Alina Voievoda, Assoc. Prof. , Dr. Svitlana Pudova, Assoc. Prof. , Dr. Oleh Konoshevskyi, Assoc. Prof.

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Prof. Dr. Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

ИЗУЧАВАНЕТО НА МЕРНИ ЕДИНИЦИ ЗА БИНАРНА ИНФОРМАЦИЯ – УЧУДВАЩО УПОРСТВАЩ ПРОБЛЕМ ЗА БЪЛГАРСКАТА ОБРАЗОВАТЕЛНА СИСТЕМА

Гл. ас. д-р Филип Петров

Книжка 4

Introduction

A COMPARATIVE ANALYSIS OF ASSESSMENT RESULTS FROM FACE-TO-FACE AND ONLINE EXAMS

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Neli Baeva, Assist. Prof

НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА В IV КЛАС ПРЕЗ 2022 ГОДИНА

Тони Чехларова

ДВАДЕСЕТ И ШЕСТА МЛАДЕЖКА БАЛКАНСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Доц. д-р Ивайло Кортезов, Мирослав Маринов

PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Dr. Evgeniya Nikolova, Assoc. Prof., Dr. Mariya Monova-Zheleva, Assoc. Prof., Dr. Yanislav Zhelev, Assoc. Prof.

ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКИХ ЗАПРОСОВ ДЛЯ РЕЛЯЦИОННЫХ БАЗ ДАННЫХ

Dr. Alexander Aleksandrovich Rybanov, Assoc. Prof.

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ИГРАТА „АЗ ИМАМ…, КОЙ ИМА…?“ ПРИ ПРЕГОВОРНИ УРОЦИ ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОГИМНАЗИАЛЕН И ГИМНАЗИАЛЕН ЕТАП

Гергана Карабельова, Гл. ас. д-р Филип Петров

Книжка 3

CONVERTING NUMERAL TEXT IN BULGARIAN INTO DIGIT NUMBER USING GATE

Dr. Nadezhda Borisova, Assist. Prof., Dr. Elena Karashtranova, Assoc. Prof.

RECOGNITION OF PROBLEMATIC EDUCATIONAL SITUATIONS IN COMPUTER MODELING TRAINING

Dr. Hristo Hristov, Assist. Prof. , Radka Cherneva

EFFECTS OF SHORT-TERM STEM INTERVENTION ON THE ACHIEVEMENT OF 9

Amra Duraković , Senior Teaching Assistant, Dr. Dina Kamber Hamzić , Assist. Prof.

ДИНАМИЧНИЯТ СОФТУЕР В ПОМОЩ НА ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЗАДАЧИ ОТ ПРАКТИКАТА

Веселин Гушев, Данаил Гушев

HOW TO IMPROVE THE FIRST-YEAR STUDENTS MOTIVATION IN LEARNING MATRICES

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof.

ПРИЛОЖЕНИЕ НА УСПОРЕДНО ПРОЕКТИРАНЕ ЗА ПОСТРОЯВАНЕ СЕЧЕНИЕТО НА ПРИЗМА С РАВНИНА

Митко Кунчев, д-р Тодор Митев

Книжка 2

COMPUTER MODELS FOR PLAYING BILLIARDS USING FRONTAL SHOT

Prof. Dr. Toni Chehlarova

VOCABULARY ENRICHMENT IN COMPUTER SCIENCE FOR INTERNATIONAL STUDENTS AT THE PREPARATORY DEPARTMENT OF THE UNIVERSITY

Dr. Svetlana Mikhaelis, Assoc. Prof., Dr. Vladimir Mikhaelis, Assoc. Prof., Mr. Dmitrii Mikhaelis

STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

УЧАСТИЕТО НА БЪЛГАРСКИТЕ УЧЕНИЦИ В СЪСТЕЗАНИЯТА ПО ИНФОРМАТИКА ПРЕЗ 2021 Г.

Емил Келеведжиев

ЗАДАЧИ ОТ СЪСТЕЗАНИЯТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКА ЛИНГВИСТИКА В КОНТЕКСТА НА НВО-Х КЛАС

Борислав Лазаров, Веселин Златилов

PROBLEMS OF CASCADE TYPE AND THEIR USE FOR ASSESSMENT OF STUDENTS’ ACADEMIC ACHIEVEMENTS IN MATHEMATICS

Prof. Dr. Shkolnyi Oleksandr , Prof. Shvets Vasyl , Dr. Akiri Ion

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Evgeni Andreev, Assist. Prof., Dr. Mariya Nikolova, Assoc. Prof.

Книжка 1

THE INFLUENCE OF COLLABORATIVE LEARNING ON STUDENTS’ ACHIEVEMENT IN EXAMINING FUNCTIONS WITH PARAMETERS IN DYNAMIC SOFTWARE ENVIRONMENT

Dr. Radoslav Bozic, Assist. Prof. , Prof. Dr. Djurdjica Takaci , Milan Grujin

CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

DEVELOPING PROBLEM SOLVING COMPETENCY USING FUNCTIONAL PROGRAMMING STYLE

Muharem Mollov, PhD student , Petar Petrov, PhD student

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, PhD student, Dr. Alexandre Ivanov Chikalanov, Assoc. Prof.

КРИПТОГРАФИЯ И КРИПТОАНАЛИЗ С MS EXCEL

Гл. ас. д-р Деян Михайлов

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Dr. Ivaylo Staribratov, Assoc. Prof., Nikol Manolova

КОНТЕКСТУАЛНО ПРЕКОДИРАНЕ

Доц. д-р Юлия Нинова

ДВУПАРАМЕТРИЧНА ЗАДАЧА ЗА ОПТИМАЛНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА РЕСУРСИ

Проф. д-р Росен Николаев, доц. д-р Танка Милкова

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година

Книжка 6

КРИВОРАЗБРАНИТЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ ТЕСТОВЕ ЗА НАЛИЧИЕ НА ЗАРАЗА

Доц. д-р Маргарита Ламбова, гл. ас. д-р Ваня Стоянова

E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Prof. Dr. Elena Somova

“THE SOURCE OF LIFE” IN BISHOP’S BASILICA OF PHILIPPOPOLIS IN THE CONTEXT OF STEAM

Prof. Dr. Toni Chehlarova

НЕФОРМАЛНИ ЛИНГВИСТИЧНИ ТУРНИРИ НА РАБОТИЛНИЦА ЗА ЗНАНИЕ

Веселин Златилов

PRESCHOOL TEACHERS’ KNOWLEDGE, PERSPECTIVES AND PRACTICES IN STEM EDUCATION: AN INTERVIEW STUDY

Dr. Lyubka Aleksieva, Assoc. Prof., Prof. Dr. Iliana Mirtschewa, Snezhana Radeva, PhD Student

INTRODUCTION TO COMPUTER PROGRAMMING THROUGH A SYSTEM OF TASKS

Dr. Lasko M. Laskov, Assoc. Prof.

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 януари 2022 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg. Скъпи прияте

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Задача 1. Число, което е точен квадрат на естествено число, се записва с няколко единици и една двойка. Докажете, че това число се дели на 11. Решение. Нека е такова число. Можем да го запишем като

Книжка 5

THE BENEFITS OF COLLABORATIVE LEARNING IN EXAMINING FUNCTIONS WITH PARAMETERS IN DYNAMIC SOFTWARE ENVIRONMENT

Dr. Radoslav Bozic, Assist. Prof. , Prof. Dr. Djurdjica Takaci

SOME METHODOLOGICAL GUIDELINES ON THE CREATION OF EDUCATIONAL GAMES ON “COMPUTER MODELING”

Dr. Krasimir Harizanov, Assoc. Prof.

ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Доц. Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj , Prof. Dr. Sead Rešić , Anes Z. Hadžiomerović , Samira Aganović

ДОБАВЕНА РЕАЛНОСТ ПРИ ОНЛАЙН ОБУЧЕНИЕТО НА УЧИТЕЛИ ЗА ПРИДОБИВАНЕ НА ДИГИТАЛНА КОМПЕТЕНТНОСТ

Доц. д-р Евгения Горанова, доц. д-р Валентина Войноховска

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Prof. Olha Matiash, Dr. Liubov Mykhailenko, Prof.Vasyl Shvets, Prof. Oleksandr Shkolnyi

ОРГАНИЗАЦИОНЕН МОДЕЛ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ХОСПИТИРАНЕ И ТЕКУЩА ПЕДАГОГИЧЕСКА ПРАКТИКА ПО ИНФОРМАТИКА И ИТ

Гл. ас. д-р Филип Петров

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 5/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 ноември 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в електр

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4, 2021 Г.

Задача 1. Намерете всички взаимно прости естествени числа a и b, за кои- то .

Изследване на магнитните полета на жилищни сгради и влиянието им върху здравето на хората / Радка Костадинова Целта на описания проект е да се измерят магнитните полета в различни по своята конструкция и височина жилищни сгради; да се установи имат ли отношение промяната на магнитното поле и евентуални магнитни аномалии към здравното състояние на хората. 4/2021: сп. „Чуждоезиково обучение“ Рекламн

пред международната научна общност. Персоналният ID номер се посочва във визит- ката на автора. Решение за публикуване или отхвърляне на ръкописа се взима въз основа на ста- новищата на анонимни и независими рецензенти. Списанието информира автора за взетото решение. Подготовка на ръкописа Общи указания (1) Ръкописите могат да бъдат написани на български, английски или руски език в зависимост от ж

Книжка 4

FINANCIAL PROJECTS AND LOANS WITH DIFFERENT, DECURSIVE ANNUITIES, INTEREST RATES AND CAPITALIZATION PERIODS WITH THE USE OF EXCEL

Prof. Dr. Sead Rešić, Vehbi Ramaj, Biljana Petković, Samira Aganović

THE DEVELOPMENT OF METHODICAL APPROACHES TO THE IMPLEMENTATION OF THE PROPEDEUTIC COURSE OF INFORMATICS IN PRIMARY SCHOOL BY MEANS OF KODU GAME LAB

Dr. Dmitry Igorevich Pavlov Adel Victorovna Kaplan Kirill Viktorovich Butarev

ПРЕДСТАВЯНЕ НА ПОНЯТИЕТО КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ С КОМПЮТЪР

Марин Маринов, Петя Асенова

LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Assoc. Prof. Silvia Gaftandzhieva, Prof. Rositsa Doneva, Assist. Prof. George Pashev, Mariya Docheva

ЗА ПРИРОДАТА НА МАТЕМАТИКАТА И ЗА МАТЕМАТИКАТА В ПРИРОДАТА – ЕДНА ПРИКАЗКА ЗА СИМЕТРИЯТА С ПРОДЪЛЖЕНИЕ ЗА МАЛКИ И ГОЛЕМИ

Цветелин Андреев

ГОДИШНИ НАГРАДИ ЗА УЧИТЕЛИ ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Албена Василева

В Q4 НА JCI ИНДИКАТОРА НА WEB OF SCIENCE

Николай Кънчев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 10 октомври 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в елект

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИТЕ ЗАДАЧИ БРОЙ 3, 2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели . Решение. От тъждеството

Книжка 3

SOME PROBLEMS IN ENGINEERING EDUCATION WITH COMPUTER SCIENCE PROFILE DURING COVID-19

Dr. Georgi Tsochev, Assist. Prof.

МАТЕМАТИКАТА КАТО МУЗИКА ЗА ДУШАТА

Евгения Сендова

CHALLENGING THE STUDENTS‘ SENSE OF MATHEMATICS VIA DECODING PROBLEMS IN CHERNORIZEC HRABAR TOURNAMENT

Prof. Dr. Borislav Lazarov, Dr. Ivailo Kortezov, Assoc. Prof.

THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Prof. Dr. Sead Rešić, Prof. Dr. Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Д-р Севдалина Георгиева

КЪДЕ Е ГРЕШКАТА В РЕШЕНИЕТО МИ? ─ РАЗГОВОР ПРЕД БЯЛАТА ДЪСКА С ОЛЕГ МУШКАРОВ

Евгения Сендова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 3/2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели .

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2, 2021 Г.

Задача 1. В равнината са дадени точка A и окръжност k с център O. Наме- рете геометричното място на центровете на описаните окръжности на три- ъгълници ABC, където BC е диаметър на k. Решение. Ако точката A лежи на окръжността k, то всички триъгълници ABC имат център на описаната окръжност точка O. В този случай търсеното множество е точката O. Нека A е външна за окръжността. Да разгледаме диаметър на k, който е перпендикулярен на AO. Центърът на описаната окръжност за е точ- ка S върху

В ПАМЕТ НА ПРОФ. ДОРУ СТЕФАНЕСКУ

С чувство за голяма загуба съобщаваме на нашите читатели, че на 09.05.2021 година на 69-годишна възраст напусна този свят членът на редакционния съ- вет на списание „Математика и информатика“ проф. д.м.н. Дору Стефанеску. Отиде си един уважаван румънски учен математик, старши заместник-пред- седател на Румънското математическо общество и изпълнителен редактор на Бюлетина на това общество, трикратен президент на Математическото обще- ство на Югоизточна Европа. Математическите способности на

Книжка 2

COMPUTER AND INFORMATION LITERACY ASSESSMENT OF MATHEMATICS PROFESSORS AND LECTURES, CASE STUDY OF ISLAMIC AZAD UNIVERSITY BRANCHES IN TEHRAN

Fateme Moradi

MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

СТАТИСТИЧЕСКАТА ЗНАЧИМОСТ – ПАНАЦЕЯ ИЛИ ПРЕПЪНИКАМЪК?

Маргарита Ламбова

BOARD GAME “MAKING FINANCIAL DECISIONS” IN THE SYSTEM OF TEACHING THE MATHEMATICAL FOUNDATIONS OF FINANCIAL LITERACY

Bogdana Koneva, Maria Shabanova

IMPLEMENTING COMPUTATIONAL THINKING IN IT TRAINING: AN INVARIANT FRAMEWORK FOR IT KNOWLEDGE FEATURES

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Marieta Atanasova

ADDING VALUE TO HEIGHT EDUCATION THROUGH MAINSTREAMING OF TRAINING IN STANDARDIZATION INTO UNIVERSITY CURRICULA

Evgeniya Nikolova, Yanislav Zhelev, Mariya Monova-Zheleva

КАЧЕСТВЕНО ИЗСЛЕДВАНЕ НА КОНФЕРЕНТНО ОНЛАЙН ОБУЧЕНИЕ ПРИ СТУДЕНТИ ПО УЕБ ДИЗАЙН

Христо Христов, Николай Чочев

at least one more swap, and if it is between A and C, the original state is re- stored, hence E(3)=4. Concerning E(4), four people form 6 unordered pairs, so E(4)≥6. To see that E(4)=6, we proceed as follows, starting with the initial state Aa, Bb, Cc, Dd: – Swap AB, then CD; the state is now Ab, Ba, Cd, Dc. – Swap AC, then BD; the state is now Ad, Bc, Cb, Da. – Swap AD, then BC; the state is now

as on the basis of the author’s statistical experiment we draw conclusions about its quality and suggest possible ways to improve this system. Regarding standardized tests in mathematics, we focused on written nationwide final examinations for basic and senior school courses and on entrance examina- tions to the country’s universities. These trials have a great importance in society of all countri

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението:

Задача 3. Положителните числа x, y, z, α , β и γ удовлетворяват равен- ствата:

+ += и 2 cos cos cosx y z xy yz zx ++= + + Да се докаже, че от отсечки с дължини x, y и z може да се построи триъгъл- ник с ъгли , и . Решение. От равенството 0 2 cos cos cos sin sin cos cosx y z xy yz zx y z y z x =++− + + = − + + −

Био- и екопродукти / Християна Янкова В тази тема ще разгледаме как се произвеждат био- и екопродуктите и защо са важна част от хранителната ни верига. Храните от растителен и животински произход се наричат биологични, когато са произведени от лица, притежаващи сертификат за биологично производство, при спазване на правилата за биологично производство и осъществен контрол. 1/2021: сп. „Чуждоезиков

(5) В резюмето се указва целта на изследването, използваната методология и се очертават новостите и резултатите. Резюмето трябва да съответства на заглавието, ключовите думи и текста на научното произведение. Препоръчителен обем на резюмето – 100 – 150 думи. (6) Фигурите (илюстрациите) и техните надписи освен в основния текст се представят и отделно в допълнителен файл. По изключение, когато обемъ

Книжка 1

Уважаеми автори, читатели, колеги, С повечето от Вас се познаваме, а с някои сме работили заедно.Днес бих искал да се обърна към Вас в качест- вото си на главен редактор на научно списание „Математика и информатика“, списвано и отпечатвано от Национално издателство за образование и наука „Аз- буки“. Стремежът на Редакционната колегия е списанието да бъде форум за научно знание, за критично обсъжда

СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

ГОТОВИ ЛИ СА СЪВРЕМЕННИТЕ ОБУЧАЕМИ ЗА ИНОВАТИВНИ ФОРМИ НА ОБУЧЕНИЕ?

Габриела Кирякова, Надежда Ангелова

ЕЛЕКТРОННИ РЕСУРСИ ЗА ОНЛАЙН ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА В НАЧАЛНИТЕ КЛАСОВЕ – СЪЩНОСТ, ВИДОВЕ, КАЧЕСТВО

Любка Алексиева

THE PROBLEM OF ENSURING THE INFORMATION SECURITY OF CHILDREN AND ADOLESCENTS IN THE CONTEXT OF EDUCATIONAL INTERNET PROJECTS IMPLEMENTATION

Alexander Fedosov, Anastasia Karnaukhova

ДИДАКТИЧЕСКИ МОДЕЛ ЗА СЪСТАВЯНЕ НА СИСТЕМА ОТ ЗАДАЧИ НА БАЗАТА НА ТЕХНОЛОГИЧНИЯ ПОДХОД

Слави Кадиев, Юлия Нинова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 1/2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението: 5 10 2 nn−+= Задача 2. За положителните числа a, b, c и d е изпълнено равенството 1abcd+++ = . Да се докаже, неравенството: 1 18abcd abcd +++ + ≥

2020 година

Книжка 6

ОТЧЕТНОСТ НА ПУБЛИКАЦИОННАТА ДЕЙНОСТ С ИЗПОЛЗВАНЕ НА MICROSOFT OFFICE ACCESS ПО ОПИТА НА ВИСШЕТО ВОЕННОМОРСКО УЧИЛИЩЕ „НИКОЛА Й. ВАПЦАРОВ“

Асен Кожухаров, Стоян Мечев

PRACTICE-ORIENTED TASKS FOR SCHOOLS: METHODOLOGY FOR FUTURE MATHEMATICS TEACHERS

Marina Egupova

G SUITE FOR EDUCATION – THE CHALLENGE THAT HAS BECOME A REALITY IN A BULGARIAN SCHOOL

Muharem Mollov, Gencho Stoitsov

ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ РАБОТ ВНЕУЧЕБНЫХ КОНКУРСНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ, ПРОВОДИМЫХ В ДИСТАНЦИОННОМ ФОРМАТЕ

Оксана Федоровна Абрамова, Александр Александрович Рыбанов

НЕЕДНОЗНАЧНИ ГЕОМЕТРИЧНИ ЗАДАЧИ

Добринка Бойкина

ТРИГОНОМЕТРИЧНИ СУБСТИТУЦИИ ПРИ НЯКОИ АЛГЕБРИЧНИ ЗАДАЧИ

Диана Стефанова

В ПАМЕТ НА НИКОЛАЙ ХРИСТОВИЧ РОЗОВ 20.02.1938 – 02.11.2020

С голямо прискърбие посрещнахме вестта, че известният математик, високо еру- дираният образователен деятел и член на редколегията на българското списание „Ма- тематика и информатика“ проф. Николай Христович Розов вече не е сред нас. Неочак- ваната смърт го застигна на поста декан на

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6

Задача 1. В турнир участвали 799 отбора, като всеки два отбора изиграли по една среща помежду си (всяка среща завършва с победа на единия то двата отбора). Да се докаже, че има 14 отбора, така че всеки от първите 7 отбора е победил всеки от последните 7.

Книжка 5

GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ЧЕТВЪРТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Ирина Вутова

∑

АБРАХАМ ВАЛД И СТАТИСТИЧЕСКИТЕ ИЗСЛЕДВАНИЯ ВЪРХУ САМОЛЕТНИТЕ БРОНИ

Лъчезар Томов, Георги Дойчинов

АНАЛИЗ НА НАЦИОНАЛНОТО ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ ПО ИНФОРМАТИКА „Д-Р МЛАДЕН МАНЕВ“

Добрин Башев, Пламен Динев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Вписаната в ∆ABC окръжност се допира до страните AB, BC и CA съответно в точки P, Q и R. Ъглополовящата на ъгъла при върха C пресича PQ в точка S. Да се докаже, че правите AS и RQ са успоредни. Задача 2. Естественото число n се нарича хубаво, ако множества {1, 2, 3,..., п} може да се разбие на k непресичащи се множества така, че всяко от множест- вото да съдържа средното аритметично на елементите си. Намерете всички хубави числа за k = 2 и k = 3. Задача 3. Намерете всички функци

Книжка 4

ЗА ДАННИТЕ И ПЪТЯ КЪМ НАУКАТА ЗА ДАННИТЕ

Павел Азълов

TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

DIDACTIC GAME “POSSSIBLE CROSS SECTIONS”

Nataliya Pavlova

НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИНАНСОВА ГРАМОТНОСТ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПОЛИНОМИ С КОРЕНИ В ЧЕТИРИ СПЕЦИАЛНО РАЗПОЛОЖЕНИ КОЛИНЕАРНИ ТОЧКИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ КАК АНИМАЦИОННО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОЛИНОМОВ

Сергей Ларин

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека . Да се намери сумата на всички ес- тествени числа от интервала , за които се дели на . Росен Николаев и Танка Милкова, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2019

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа , които са решения на уравнението Милен Найденов, Варна Решение: eдно множество от решения на разглежданото уравнение се описва със следните формули: , , където Задача 2. Средите на диагоналите и на изпъкналия четириъгъл- ник са съответно и , а пресечната им точка е . Ако втората пресечна точка на описаните около триъгълниците и окръжнос- ти е и , да се докаже, че правата с

Книжка 3

ЗА ДАННИТЕ И ПЪТЯ КЪМ ГОЛЕМИТЕ ДАННИ

Павел Азълов

СЪВРЕМЕННИ СРЕДСТВА И МЕТОДИ ЗА ОБУЧЕНИЕ, ИЗПОЛЗВАЩИ ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ

Любка Славова, Коста Гъров

ИНТЕГРАТИВЕН УРОК ПО ПРЕДМЕТА „МАТЕМАТИЧЕСКА ТЕХНОЛОГИЧНОСТ“ В УСЛОВИЯ НА ДИСТАНЦИОННО ОБУЧЕНИЕ

Костадин Петлешков

DESIGNING A PROFESSIONAL TRAINING PROGRAM FOR WORKING WITH GIFTED CHILDREN USING SOFTWARE OFFICE 365

Oleg Zverev, Tatiana Sergeeva

MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНФИГУРАЦИИ ОТ ПЕДАЛНИ ОКРЪЖНОСТИ НА ПРОИЗВОЛНА ТОЧКА В РАВНИНАТА НА МНОГОЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

ОТНОСНО ПОЛИНОМИТЕ С КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА ЕДИН КЛАС ИЗПЪКНАЛИ ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

АНАЛИЗ НА АНКЕТНО ПРОУЧВАНЕ НА УЧИТЕЛИ ПО ТЕХНОЛОГИИ И ПРЕДПРИЕМАЧЕСТВО

Костадин Петлешков

ПОВИШАВАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ КОМПЕТЕНЦИИ С ДИНАМИЧНА ГЕОМЕТРИЯ

Сава Гроздев

РЕФЛЕКСИВЕН МОДЕЛ ЗА ПРЕПОДАВАНЕ НА КОМПЮТЪРНО МОДЕЛИРАНЕ В НАЧАЛНИЯ ЕТАП НА ОБУЧЕНИЕ

Юлия Дончева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Равнобедреният трапец има основи с дължини и , като е такъв, че средите на страните му са върхове на квадрат. Ако дължината на бедрото на е , а разстоянието от пресечната точка на диагоналите му до бедрата е , да се докаже, че . Милен Найденов, Варна

( ) ( ) ( ) 2sin 2019 2 cos 2019 2 2 3 10, 25x x xx + = −+

Решение: тъй като , т.е. когато

Книжка 2

ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

SOME NEW QUESTIONS ABOUT SEQUENCES OF SEMI-PRIME AND PRIME NUMBERS

Mark Applebaum

СТАТЬЯ-МАТРИЦА КАК ФОРМА РЕАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ СЕТЕВОГО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПРОЕКТА «ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ: ПИШЕМ САМИ» (О РАБОТЕ МОДЕРАТОРА ПРОЕКТА)

А. В. Ястребов, Г. А. Клековкин

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВОТО – НАЦИОНАЛНА ПРОГРАМА „ОБУЧЕНИЕ ЗА ИТ КАРИЕРА“

Мухарем Моллов, Генчо Стоицов

ИЗПОЛЗВАНЕ НА ОБРАЗОВАТЕЛНИ МОБИЛНИ ТЕХНОЛОГИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ – ЕДНО ПРОУЧВАНЕ В ТРАКИЙСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ

Надежда Ангелова

IMPACT ON RESEARCH VISIBILITY USING STRUCTURED DATA AND SOCIAL MEDIA INTEGRATION

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

ON SOME RANDOMIZED ALGORITHMS AND THEIR EVALUATION

Krasimir Yordzhev

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. По пътя между два града има три тунела с обща дължина 2 ки- лометра и 900 метра. Разликата в дължините на втория и третия е 20 пъти по-малка от дължината на първия тунел. Общата дължина на втория и третия е с 500 метра по-голяма от дължината на първия. Да се намерят дължините на трите тунела, ако третият тунел има най-малка дължина. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. Да се докаже, че във вписан в окръжност четириъгълник е изпълнено неравенството . Хаим Хаи

AB BC CD

Книжка 1

Драги читатели, В началото на 2020 г., когато стартира но- вото десетилетие, не може да не се отбележи последователната политика на Министерство- то на образованието и науката за превръщане на учителската професия в желана. Основен елемент на тази политика е увеличението на учителските възнаграждения. С оптимизъм за своето бъдеще се изпълват не само дейст- ващите учители и тези, които се подготвят

FEATURES OF USING KODU GAME LAB IN TEACHING PROGRAMMING IN ELEMENTARY SCHOOL

Adel Kaplan, Dmitry Pavlov, Myrad Myradov

ИНТЕГРИРАН ДИДАКТИЧЕСКИ МОДЕЛ ЗА ФОРМИРАНЕ И РАЗВИВАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ УМЕНИЯ В ПРОГИМНАЗИАЛЕН ЕТАП НА ОСНОВНАТА ОБРАЗОВАТЕЛНА СТЕПЕН

Десислава Георгиева

GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

АНАЛИЗ НА ЗАДАЧИТЕ И ПРЕДСТАВЯНЕТО НА УЧЕНИЦИТЕ ОТ XI И XII КЛАС НА XIX МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР „ПЕРПЕРИКОН“

Сава Гроздев, Росен Николаев, Танка Милкова

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2019

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа, които са дължи- ни в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с телесен диаго- нал . Христо Лесов, Казанлък Решение. Нека са дължините в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с диагонал . Изпълнено е равен- ството . Оттук имаме . Следо- вателно . Затова , т.е. . От друга страна, , което означава, че . Затова , т.е. . По този начин получихме, че . Като направим необходимите проверки при

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадени са системите линейни уравнения

2019 година

Книжка 6

DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

АВТОМАТИЗИРАНО УПРАВЛЕНИЕ НА МРЕЖОВА ИНФРАСТРУКТУРА

Христо Христов, Ангел Игнатов

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

ОБОБЩЕНИЕ НА ТОЧКИТЕ НА ФЕРМА В РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИКА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ДРУГИ ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5

PREPARING PRIMARY JUNIOR GRADE TEACHERS TO TEACH COMPUTATIONAL TEACHING: EXPERIENCES FROM THE GLAT PROJECT

Natasa Hoic-Bozic, Darko Lončarić, Martina Holenko Dlab

CLOUD TECHNOLOGIES IMPLEMENTATION IN SECONDARY EDUCATION

Lyubka Slavova, Kosta Garov

GOOGLE CLASSROOM – AN INNOVATIVE APPROACH TO A MORE EFFICIENT ORGANIZATION OF LEARNING

Muharem Mollov

TO READ OR INTERACT WITH TEXTBOOKS – WHAT IS BETTER FOR LEARNERS?

Gabriela Kiryakova

ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

ПОЛИНОМИ С КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА МЕДИТАНГЕНЦИАЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ УЛИТОК ПАСКАЛЯ ПОРЯДКА n

Сергей Ларин

ПРОУЧВАНЕ МНЕНИЕТО НА СТУДЕНТИТЕ ЗА КАЧЕСТВОТО НА ТЯХНАТА ПОДГОТОВКА ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Аделина Иванова, Владислав Тодоров

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4

НОВАЯ СЕРИЯ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ С ШАХМАТНОЙ ТЕМАТИКОЙ: ШАХМАТНАЯ ДОСКА, ЛАДЬИ И ЧИСЛА

Иван Попов

THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ПОЛИНОМИ С КРАТНИ КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА УСПОРЕДНИК

Сава Гроздев, Веселин Ненков

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3

МАТЕМАТИЧЕСКИТЕ СОФИЗМИ И ИЗПОЛЗВАНЕТО ИМ В УЧИЛИЩНИЯ КУРС ПО АЛГЕБРА

Камелия Колева

ONE TYPE OF PROBLEMS WITH INFINITE NUMBER OF CUBE ROOTS

Radan Miryanov, Katya Chalakova

∑

A NOTE ON THE ARBELOS IN WASAN GEOMETRY: SATOH’S PROBLEM AND A CIRCLE PATTERN

Hiroshi Okumura

ФОРМУЛИ ЗА РАЗСТОЯНИЯТА ОТ БРОКАРИАНИТЕ И ТОЧКАТА НА МИКЕЛ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ДО ВЪРХОВЕТЕ И ДО СРЕДИТЕ НА СТРАНИТЕ И ДИАГОНАЛИТЕ МУ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

ON THE CONCEPT OF BITWISE OPERATIONS IN THE PROGRAMMING COURSES

Krasimir Yordzhev

RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina,Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

∫

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

и информатика Number 3, 2019 and Informatics

Книжка 2

АРХИВИТЕ ГОВОРЯТ: МЕЖДУНАРОДНИ СЪСТЕЗАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКА

Павел Азълов

ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА КАК ОБЛАСТЬ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ К ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ФОРМАТЕ “SCIENCE 2.0”

Лариса Удовенко, Мария Шабанова, Магомедхан Ниматулиев

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ИДЕИ ЗА ГЕОМЕТРИЧНО МОДЕЛИРАНЕ ПРИ РЕШАВАНЕ НА КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ

Наталия Павлова

ONE GENERALIZATION OF THE GEOMETRIC PROBLEM FROM 19TH JUNIOR BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD

Ivaylo Staribratov, Radka Todorova

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

SOME SIMPLE INTEREST MODELS

Tanka Milkova

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

2019 cm

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

университета от всички континенти на света на това състезание. Поради

Книжка 1

Драги читатели, През м. октомври 1998 г. в Париж, в цен- тралата на ЮНЕСКО, се проведе междуна- родна конференция по висше образование. Участниците в нея приеха „Всеобща декла- рация за висшето образование през XXI век: подходи и практически мерки“. В нея се ут- върждава необходимостта от широко прила- гане на трансдисциплинарния подход както при решаването на сложните социално-ико- номически проб

АРХИВИТЕ ГОВОРЯТ: НАЦИОНАЛНИ СЪСТЕЗАНИЯТА ПО ИНФОРМАТИКА

Павел Азълов

МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ФОРМИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ КУЛЬТУРЫ ПЕДАГОГОВ- ПСИХОЛОГОВ В ИНФОРМАЦИОННОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ

Киселев, Геннадий Михайлович; Червова, Альбина Александровна

INCREASING THE DIGITAL COMPETENCES OF STUDENTS

Lyubka Slavova, Kosta Garov

СИСТЕМА ОТ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Петя Асенова, Марин Маринов

EULER-GERGONNE’ S THEOREM AND ITS APPLICATIONS

Šefket Arslanagić

ЕДНО ТВЪРДЕНИЕ ЗА КОНКУРЕНТНОСТ НА ПЕДАЛНИ ОКРЪЖНОСТИ НА ТОЧКА В РАВНИНАТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Хаим Хаимов

POLYNOMIALS OF FOURTH DEGREE WITH COLINEAR CENTRAL SYMMETRIC ROOTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година

Книжка 6

ГРАФИЧЕСКИЕ КАЛЬКУЛЯТОРЫ CASIO КАК СРЕДСТВО ПРОФЕССИОНАЛИЗАЦИИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Александр Луканкин, Ирина Слободская

THE ROLE OF COMPUTER ANIMATION IN MATHEMATICS TEACHING

Sergey Larin, Valeriy Mayer

УПРАВЛЕНИЕ НА СОФТУЕРНО ДЕФИНИРАНИТЕ МРЕЖИ С FLOODLIGHT CONTROLLER

Румен Тодоров

„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Mихаил Aлфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

ИДЕНТИФИЦИРАНЕ НА НАДАРЕНИ УЧЕНИЦИ ПО МАТЕМАТИКА ЧРЕЗ ФЕНОМЕНИТЕ НА ЖАН ПИАЖЕ

Милен Замфиров

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

ЕФЕКТЪТ ОТ ПРИЛАГАНЕТО НА ИНТЕРАКТИВНО ЛИЧНОСТНО ОРИЕНТИРАНО ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА ВЪРХУ УСПЕХА НА УЧЕНИЦИТЕ ПРИ ЗАВЪРШВАНЕ НА ПРОГИМНАЗИАЛНА ОБРАЗОВАТЕЛНА СТЕПЕН И НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ

Добрина Велинова, Ивелина Шумакова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казваме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са проти- воположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свързващи и , по които мухата може да мине, когато: а) и n = 6; б) и ; в) m и са произволни естествени числа.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2018

Задача 1. Да се докаже, че: а) се дели на ; б) се дели на . Христо Лесов, Казанлък Решение на Златка Петрова от Ямбол: а) От дефиницията за факториел имаме . Оттук очевидно следва, че разглежданото число се дели на . б) Лесно се проверява, че е просто число. Затова от теоремата на Уилсън следва, че . Сега, като вземем предвид, че , получаваме което доказва твърдение б).

506 – 517: Комбинаторни задачи, свързани с триъгълник [Combinatorial 596 – 602: A New Meaning of the Notion “Expansion of a Number” / Rosen 603 – 613: Ефектът от прилагането на интерактивно личностно 506 – 517: Комбинаторни задачи, свързани с триъгълник [Combinatorial Problems Related to Triangles] / Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова / Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Katya Chalakova 596

и информатика Number 6, 2018 and Informatics

Книжка 5

ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

ПОКАЗАТЕЛНИ, ЛОГАРИТМИЧНИ И ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ В ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ (IV ЧАСТ)

Диана Стефанова

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОНСТРУИРАНЕ НА ЕДИН ВИД АЛГЕБРИЧНИ КРИВИ В РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков

ПОЛИНОМИ С КОРЕНИ В ТРИ КОЛИНЕАРНИ ТОЧКИ

Веселин Ненков

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2017

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението , ако: а) ; б) . Тодор Митев, Русе Решение: а) . Първо да отбележим следните две твърдения: 1) най-големият общ делител на и е или за всяко цяло . Това твърдение следва непосредствено от равенството ; 2) ако е просто число и дели , то дели . Това твърдение се доказва по следния начин. От условието

и информатика Number 5, 2018 and Informatics

Книжка 4

ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ПОЛИНОМИ С КРАТНИ КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА ТРИЪГЪЛНИК

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

МНОЖЕСТВА ОТ ТОЧКИ, ПОРОДЕНИ ОТ ДВОЙКИ РАВНОБЕДРЕНИ ТРИЪГЪЛНИЦИ СЪС СПЕЦИАЛНО РАЗПОЛОЖЕНИЕ НА ОСНОВИТЕ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИ НОВИ ДОКТОРСКИ ДИСЕРТАЦИИ ПО МЕТОДИКА НА ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа , за кои- то е изпълнено равенството: а) ; в) Христо Лесов, Казанлък

∑

Решение: а) 11 1 1 1 1 nx x x x kx x x x ′ ′ − + − +−  −  = = = =   − −   .

и информатика Number 4, 2018 and Informatics

Книжка 3

ИЗПОЛЗВАНЕ НА ЛИНЕЕН ТРЕНД ПРИ РЕШАВАНЕ НА РАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ

Пламен Пенев

СЪЗДАВАНЕ НА ИГРИ В ЧАСОВЕТЕ ПО ИНФОРМАТИКА ЧРЕЗ ИЗПОЛЗВАНЕ НА ГЕНЕРАТОР НА СЛУЧАЙНИ ЧИСЛА

Емилия Николова, Даниела Тупарова

КАК КОМПЮТЪРЪТ РЕШАВА СУДОКУ – МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ НА АЛГОРИТЪМА

Красимир Йорджев

ПОСТИГАНЕ НА ТВОРЧЕСКИ ЦЕЛИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА В VI КЛАС, РАЗДЕЛ „СТЕПЕНУВАНЕ“

Севдалина Георгиева

ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПОЛИНОМИ ОТ ЧЕТВЪРТА СТЕПЕН С КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА УСПОРЕДНИК

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

TWO NEW PHD DISSERTATIONS IN METHODOLOGY OF INFORMATICS TEACHING

Petya Asenova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2017 Г.

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между местата на пър- вата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с по-бавно, то той ще срещне първия мотоциклет след тръгването си, а разстоянието между местата на двете срещи ще бъде . Определете разстоянието , ако скоро

Книжка 2

Уважаеми читатели, С удоволствие ви информирам за ново значимо признание за българската научна периодика. Съгласно писмо, получено на 23.03.2018 г., списание „Ма- тематика и информатика“ вече се реферира и индексира в Web of Science. Това става факт след продължил близо две години процес на оценяване. Други шест списания, също издавани от Национално издателство „Аз- буки“, част от Министерството н

A POSSIBILITY TO TEACH AND LEARN MATHEMATICS BY THEATRE TECHNOLOGY

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

МАТЕМАТИЧЕСКИ ПРОЕКТИ В ДИНАМИЧНИ СРЕДИ

Ангел Гушев

ПРАКТИКОПРИЛОЖНИ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Несторова

РЕШАВАНЕ НА ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ С EXCEL

Пламен Пенев

TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: AN ALTERNATIVE CONSTRUCTION OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

ДВЕ ТРАНСФОРМАЦИИ В РАВНИНАТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК И ТЯХНОТО ПРИЛОЖЕНИЕ

Димитър Опарлаков

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2017

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големи- на кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най- много 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество оре- хи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три. Тъй като на Иван му харесало числото с тез

Книжка 1

„Децата не разбират това, което четат, и

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ДИАГОНАЛНИ ТОЧКОВИ КОНФИГУРАЦИИ. ПРАВИЛО НА ТРИЪГЪЛНИКА. ИНВАРИАНТИ

Здравко Лалчев, Ирина Вутова

ОСЪЩЕСТВЯВАНЕ НА ВЪТРЕШНОПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА – ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ И ПРОГРЕСИИ

Зара Данаилова-Стойнова, Петър Данчев

РАВНОЛИЦЕВИ ТРИЪГЪЛНИЦИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ДВЕ ПРЕОБРАЗУВАНИЯ В РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИК

Иван Стефанов, Деян Димитров, Борислав Борисов

ε

ТРОЙКИ ЦЕНТРАЛНИ КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ ПРЕЗ ПОСТОЯННА ТОЧКА ВЪРХУ ПОСТОЯННО КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015! 2016! 2017++

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

GUIDE FOR AUTHORS

2017 година

Книжка 6

A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2.

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДАЧУ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

ЕЛЕМЕНТАРНИ ТОЧКОВИ КОНФИГУРАЦИИ. ДИАГОНАЛЕН ПРИНЦИП. ИНВАРИАНТИ

Здравко Лалчев, Ирина Вутова

ЛОГАРИТМИЧНИ И ПОКАЗАТЕЛНИ ФУНКЦИИ В ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ (III ЧАСТ)

Диана Стефанова

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението x )!63(1  , ако: а) ; б) . Тодор Митев – Русе

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2017

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което приема най-малка стойност. Христо Лесов – Казанлък Решение: съгласно малката теорема на Ферма за всяко естествено чис- ло и просто число , числото се дели на , т.е. дава оста- тък при деление на . Тъй като е просто число, от тази теорема следва, че дава остатък при деление на и дава остатък

Книжка 5

ИНТЕГРАТИВНИ ВРЪЗКИ В КОМПЕТЕНТНОСТНИЯ ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИИ

Коста Гъров, Севдалина Георгиева, Елена Ковачева, Ангел Ангелов

НЯКОИ НАЧИНИ ЗА РЕШАВАНЕ НА АЛГЕБРИЧНИ ЗАДАЧИ

Диана Стефанова

ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

ДИДАКТИЧЕСКИ СЦЕНАРИЙ ВЪРХУ ЕДНА ЗАДАЧА ОТ XXI МЛАДЕЖКА БАЛКАНСКА МАТЕМАТИЧЕСКА ОЛИМПИАДА

Борислав Лазаров

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ДОКАЗАТЕЛСТВА И УТОЧНЕНИЯ НА ЕКСПЕРИМЕНТАЛНО ПОЛУЧЕНИТЕ ТВЪРДЕНИЯ ЧРЕЗ ПРИНЦИПА ЗА ДУАЛНОСТ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ERDÖS’ DISTINCT DISTANCES PROBLEM

Houssam Zenati

OPTIMIZING THE POSITIONING OF SERVING UNITS IN THE TOURISM BUSINESS

Radan Miryanov, Velina Yordanova

∑

Слави Харалампиев и Румяна Несторова, Враца

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2016

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките

Книжка 4

ЗА ДНЕВНИЯ РЕД В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев

ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

ЛОГАРИТМИЧНИ И ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ В ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ (II ЧАСТ)

Диана Стефанова

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ВРЪЗКАТА МЕЖДУ СРЕДНО АРИТМЕТИЧНО И СРЕДНО ГЕОМЕТРИЧНО ЗА РАЦИОНАЛНО ДОКАЗВАНЕ НА НЯКОИ НЕРАВЕНСТВА

Радан Мирянов, Йордан Петков

ОПРЕДЕЛЯНЕ БРОЯ НА КОРЕНИТЕ НА ЕДИН КЛАС ПАРАМЕТРИЧНИ АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН

Росен Николаев, Танка Милкова

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

НЯКОЛКО КОНСТРУКЦИИ, ПОРОДЕНИ ОТ ПРИНЦИПА ЗА ДУАЛНОСТ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг съответно автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между места- та на първата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2016

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едновременно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти, така че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всич- ки редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диа- гоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: прилагаме действието към единия диагонал

Книжка 3

ВЪРХУ ЕДИН МОДЕЛ НА ДОМАШНА РАБОТА В КОНТЕКСТА НА САМОСТОЯТЕЛНАТА РАБОТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Марга Георгиева, Диана Стефанова

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

ВТОРИ ПСЕВДОЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов

НЯКОЛКО ЗАДАЧИ ЗА ОКРЪЖНОСТИ, ДОПИРАЩИ СЕ ДО КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕДИН НОВ ПОДХОД ПРИ МОДЕЛИРАНЕ НА ОБРАЗОВАТЕЛЕН СОФТУЕР

Милен Замфиров

ОБРАЗОВАТЕЛНИ ПЛАТФОРМИ В ОРГАНИЗАЦИЯТА НА ПЕДАГОГИЧЕСКИТЕ ПРАКТИКИ НА БЪДЕЩИТЕ УЧИТЕЛИ

Красимир Харизанов, Наталия Павлова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

БЕЛЕЖКА ВЪРХУ ЕДНА ОТ ЗАДАЧИТЕ ЗА VII КЛАС – 22 МАЙ 2017 Г.

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ГЕННАДИЙ ЛУКАНКИН: СКРОМНЫЙ ПОРТРЕТ В ИНТЕРЬЕРЕ ЭПОХИ (К 80-летию со дня рождения)

Борис Тебиев, Александр Луканкин

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големина кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най-мно- го 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество орехи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един орех, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три ореха. Тъй като на Иван му харесало бро

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2016 Г.

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния Решение. Нека е дискриминанта- та на квадратното спрямо уравнение . Сле- дователно . Оттук получаваме равенството . Предполагаме, че

Книжка 2

NDM-PHILOSOPHY OF EDUCATION IN THE 21

Marga Georgieva, Sava Grozdev

ИНФОРМАЦИОННАТА ГРАМОТНОСТ – СЪЩНОСТ, ПРОБЛЕМИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПОВИШАВАНЕ НА ИНФОРМАЦИОННАТА ГРАМОТНОСТ ЧРЕЗ ИЗПОЛЗВАНЕ НА ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В УЧИЛИЩЕ

Веселин Дзивев

ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

НЯКОИ ИДЕИ ЗА ПРОПЕДЕВТИКА НА ПОНЯТИЕТО ФУНКЦИЯ В НАЧАЛНИТЕ КЛАСОВЕ

Катина Тончева, Маргарита Върбанова

ЧЕТИРИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански

ВЕТРИЛА ОТ ОКРЪЖНОСТИ ВЪВ ВПИСАНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

БЕЛЕЖКА ВЪРХУ ТЕОРЕМАТА ЗА СТЕПЕННИТЕ СРЕДНИ И ОБУЧАВАЩИЯ ХАРАКТЕР НА ОЛИМПИАДИТЕ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа n и k, при които стойността на израза 2017 + 3 + 4 e: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2016

Задача 1. Редицата на Фибоначи се дефинира с равенствата и . Да се докаже, че всяка от редиците и съдържа безброй много двойки съседни членове, които се де- лят на . Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: в началото ще докажем следната Лема. За всяко числата на Фибоначи притежават свойствата: а) последната цифра на числата и е ; б) последната цифра на числата , , и е ; в) последната цифра на числата , , и е .

Книжка 1

Драги читатели, Наскоро бяха публикувани резултатите от международните изследвания TIMSS (шесто поред) и PISA на ученическите умения по ма- тематика и природни науки, организирани съ- ответно от IEA (Международна асоциация за оценяване на постиженията в образованието) и ОECD (Организация за сигурност и сътруд- ничество в Европа). Изследването TIMSS (Trends in International Mathematics and Science

РАЗВИТИЕ НА МЕТОДИКАТА НА ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Петър Петров

ЗАНИМАТЕЛНИТЕ ЗАДАЧИ НА ПОАСОН И МЕТОДЪТ НА ПЕРЕЛМАН ЗА ТЯХНОТО РЕШАВАНЕ И ИЗСЛЕДВАНЕ

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров

ВЕКТОРНО ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ЛИЦА НА СТЕНИ И СЕЧЕНИЯ В НЯКОИ МНОГОСТЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПОКАЗАТЕЛНИ И ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ФУНКЦИИ В ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ (I ЧАСТ)

Диана Стефанова

ОЙЛЕРОВА ПРАВА И ОЙЛЕРОВА КРИВА НА ВПИСАН МНОГОЪГЪЛНИК В КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ

Веселин Ненков, Даниел Ангелов

ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което най-малка стойност. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2016

Задача 1. За всяко естествено число да се намери растяща редица от естествени числа , , , , , за които е изпълнено равенството Христо Лесов, Казанлък Решение: от условието имаме Затова , , , , и , , .

2016 година

Книжка 6

ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ДОМАШНАТА РАБОТА – НЕДЕЛИМА ЧАСТ ОТ УЧЕБНИЯ ПРОЦЕС

Елена Радованова

НЯКОИ ГРУПИ ЛОГАРИТМИЧНИ УРАВНЕНИЯ С ПОМОЩТА НА EXCEL

Диана Стефанова, Пламен Пенев

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

SHA ,,

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките и лежат в една полуравнина спрямо и са такива, че и са равностранни. Ако е петата на перпендикуляра, спуснат от към , да се намери геометричното място на точката , когато описва . Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров – Архангелск, Русия

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1/2016

Задача 1. Целочислените редици и са дефинирани чрез равенствата , , , , при . а) Да се докаже, че за всяко цяло число точно едно от числата , и б) Да се определят целите числа , за които и са взаимно прости числа за всяко естествено число . Христо Лесов – Казанлък Решение: дадените рекурентни равенства представяме по следния на- чин: вателно

GUIDE FOR AUTHORS

Книжка 5

БАЗИТЕ ДАННИ КАТО СРЕДСТВО ЗА ПО-КАЧЕСТВЕНО ОБУЧЕНИЕ ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Веселин Дзивев

ЕXCEL В ПОМОЩ ПРИ РЕШАВАНЕ НА НЯКОИ ПОКАЗАТЕЛНИ УРАВНЕНИЯ

Диана Стефанова, Пламен Пенев

AN IMPROVEMENT OF THE GERRETSEN’S INEQUALITY FOR NON-OBTUSE TRIANGLES

Šefket Arslanagić

THREE INEQUALITIES FOR THE ALTITUDES OF A TRIANGLE

Šefket Arslanagić

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: ORTHOLOGY CENTERS OF THE EULER TRIANGLES

Sava Grozdev, Deko Dekov

FORECASTING OF TIME-SERIES FOR FINANCIAL MARKETS

Reinhard Magenreuter

NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

АКАДЕМИЧНАТА ЛЕКЦИЯ – ТРАДИЦИОННА ФОРМА НА ОБУЧЕНИЕ ВЪВ ВУЗ С ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИНОВАЦИОННО РАЗВИТИЕ НА ПОЗНАВАТЕЛНИЯ ПОТЕНЦИАЛ

Елена Радованова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едно- временно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти така, че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всички редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диагоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. В окръжност с център е вписан разност

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2015

Задача 1. Дадена е функцията , където m, n, ∈ℕ. Ако и са корените на уравнението и е изпълнено

Книжка 4

ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ДРОЗ-ФАРНИ, ОПРЕДЕЛЕНО ОТ ОПИСАНО КОНИЧНО СЕЧЕНИЕ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

COMPARATIVE ANALYSIS OF THE STUDENTS’ SCORES IN SOLVING CONSTRUCTIVE TASKS WHEN GEOMETRY IS STUDIED IN A STANDARD WAY AND WITH THE USE OF COMPLEX NUMBERS

Katerina Anevska, Metodi Glavche, Risto Malceski

ПРАКТИЧЕСКА ЗАДАЧА ОТ ТИП PISA, ИЗСЛЕДВАНА С ПОМОЩТА НА СОФТУЕР ЗА ОБЩО ПРИЛОЖЕНИЕ

Сава Гроздев, Десислава Георгиева

ОТ СТРУКТУРНО КЪМ ОБЕКТООРИЕНТИРАНО ПРОГРАМИРАНЕ

Христо Крушков

КОМПЮТЪРНИТЕ ИГРИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА – ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА И ВЪЗМОЖНОСТИ

Мая Стоянова, Даниела Тупарова, Костадин Самарджиев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2015

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията и . Милен Найденов, Варна Решение. Разделяме двете страни на първото уравнение на и полу- чаваме . Полагаме и уравнението добива вида . Тъй като функцията е растяща (лявата графика на чертежа), то уравнението ално решение . С непосредствена проверка се вижда, че това решение е . Оттук намираме, че е единственото решение на първо- то уравнение. След това разделяме двете страни на второто уравнение на

Книжка 3

ХАРАКТЕР СОВРЕМЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ ПОСТРОЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

Ярослав Ваграменко, Сава Гроздев, Александр Русаков

АНАЛИЗ НА ЗАДАЧИТЕ И ПРЕДСТАВЯНЕТО НА УЧЕНИЦИТЕ ОТ XI И XII КЛАС НА ОБЛАСТНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР КЪРДЖАЛИ’2015

Росен Николаев, Йордан Петков

МЕТОДИ ЗА АКТИВНО ОБУЧЕНИЕ НА КАНДИДАТ-СТУДЕНТИ ПО ИНФОРМАТИКА

Христо Крушков

ЧЕВИАНА И СИМЕДИАНА В ТРИЪГЪЛНИК. ТЕОРЕМА НА СТЮАРТ

Румяна Несторова

() ()

КОМПЮТЪРНАТА ЛИНГВИСТИКА: АТРАКТИВНО СРЕДСТВО ЗА АКТИВНО ОБУЧЕНИЕ

Христо Крушков

ЕДНА ПАРАДИГМА ЗА ОБРАЗОВАНИЕТО

Хари Алексиев

{}

Сава Гроздев – София, и Веселин Ненков – Бели Осъм

()

След заместване на намерените две неравенства в дясната страна на . Равенство се достига тогава и само тогава,

Книжка 2

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РОСИИ XVIII ВЕКА

Татьяна Буторина

ПРОГРАМНИ ЕКСПЕРИМЕНТИ СЪС ЗАДАЧИ ОТ ТИП HERON

Павел Азълов

ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОЩЕ ЕДНА ИДЕЯ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИ УРАВНЕНИЯ

Диана Стефанова, Пламен Пенев

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

COMPARATIVE ANALYSIS REGARDING THE USE OF COMPLEX NUMBERS IN SECONDARY SCHOOL

Katerina Anevska, Sava Grozdev, Risto Malčeski

МЕТОДИЧЕСКА И ТЕХНОЛОГИЧНА РЕАЛИЗАЦИЯ НА ДИДАКТИЧЕСКО ПРОЕКТИРАНЕ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Наталия Павлова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. За всяко естествено число n да се намери растяща редица

()

Задача 2. Нека P е произволна точка от описаната окръжност на на . Ако докаже, че точките лежат на една права. Хаим Хаимов, Варна, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение. Ще докажем, че правите ра на описаната около окръжност . Оттук непосредствено следва

Книжка 1

Драги читатели, Последната новина, която долетя от Ка- захстан, е, че Софийската математическа гим- назия (СМГ) е обявена за най-доброто учили- ще в съревнование между 58 отбора с общо над 400 участници. Ежегодно в гр. Алмати – старата столица на Казахстан, се провежда Международната Жаутиковска олимпиада по математика, физика и информатика. Олим- пиадата носи името на известния казахстан- ски мат

АРИТМЕТИЧЕН ИЛИ АЛГЕБРИЧЕН МЕТОД ПРИ РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

РЕАЛИЗАЦИЯ ДИДАКТИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ИНФОРМАЦИОННЫХ И КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В РАЗВИТИИ ТВОРЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ И ФОРМИРОВАНИИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ НАВЫКОВ

Александр Русаков

()

ОБЩ ПОДХОД ЗА УСТАНОВЯВАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ РАДИУСИ НА ДОПИРАЩИ СЕ ОКРЪЖНОСТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗВЪНКЛАСНИТЕ ДЕЙНОСТИ ПО МАТЕМАТИКА – РАЗЛИЧНАТА ФОРМА ЗА МОТИВИРАНЕ НА УЧЕНИЦИТЕ

Зара Данаилова-Стойнова, Ивайло Старибратов

ТРИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

{}

2n ≥

()()

Когнитивната лингвистика в лингвистиката / Майя Пенчева Статията се опитва да постави когнитивната лингвистика в общия контекст на линг- вистиката и да формулира нейните постижения в широка перспектива. 6/2015: сп. „Професионално образование“ Спортните дейности като социална платформа за приобщаване, промяна и развитие / Иван Сандански Статията разглежда участието в спортни дейности като средство

2015 година

Книжка 6

ERRORS RELATED TO TOPICS IN GEOMETRY, DATA REPRESENTATION AND ANALYSIS MADE BY FIFTH GRADE STUDENTS IN THE REPUBLIC OF MACEDONIA

Metodi Glavche, Risto Malčeski, Katerina Anevska

MATHEMATICAL SKILLS ARE REQUIRED IN THE CHANGING WORLD

Desislava Georgieva

ИСТОРИЧЕСКИ ПРЕДПОСТАВКИ ЗА СМЯТАНЕТО С ПРЪСТИ И ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА НА УЧЕНИЦИ СЪС СПЕЦИАЛНИ ОБРАЗОВАТЕЛНИ ПОТРЕБНОСТИ

Милен Замфиров

ONE MORE PROOF FOR THE DISTANCE BETWEEN THE INCENTRE AND THE ORTHOCENTRE OF THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: PEDAL CORNER PRODUCTS

Sava Grozdev, Deko Dekov

EДНО ОБОБЩЕНИЕ НА ОРТОЦЕНТРИЧНИЯ ТРИЪГЪЛНИК

Хаим Хаимов

ТЕОРЕМАТА НА ФОНТЕНЕ ПО ОТНОШЕНИЕ НА ОПИСАНИ ЦЕНТРАЛНИ КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадена е функцията , където ,mn∈ . Ако x и x са корените на уравнението f (x) = 0 и е изпълнено (2) (3)ff t xx xx −− ==∈ +  , да се намерят m и n. Росен Николаев, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2015

Задача 1. Параметрите a и b в уравнението 5x + 2x + 4ax  x + 2bx + 4b  a = 0 са такива, че то има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 1 и 2 са корени на даденото уравнение, то след заместване в уравнението се получават съответно равенствата: 5a+2b = 4 и 31a+8b = 188. След решаване на получената система от две уравнения с две неизвестни се полу- чава: a = 4 и b = 8. Заместваме на

ГЕНИЙ С БЪЛГАРСКИ ПРОИЗХОД Сава Гроздев

Сава Гроздев

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА MATHEMATICS AND INFORMATICS

BULGARIAN EDUCATIONAL JOURNAL ANNUAL CONTENTS / ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ

Книжка 5

ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИ КЪМ КОМПЮТЪРНИ ИГРИ

Павел Азълов

ЧЕТИРИЧЛЕННАТА РЕЛАЦИЯ „ОПЕРАЦИИ – ПРОЦЕДУРИ – ДЕЙНОСТИ – ДЕЙСТВИЯ“ В СИСТЕМАТА „ОППРОДЕЙ“ И ПРИНОСЪТ Ѝ ЗА ЕФЕКТИВНО ИЗПЪЛНЕНИЕ НА ИНФОРМАЦИОННИТЕ ПРОЦЕСИ В ЕЛЕКТРОННИТЕ ДОКУМЕНТИ

Ридван Исуфов

СТАНДАРТИ И СПЕЦИФИКАЦИИ В ОБЛАСТТА НА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Милен Петров, Камелия Йотовска

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: ANTIPEDAL CORNER PRODUCTS

Sava Grozdev, Deko Dekov

ПЪЛНО ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ГРИФИТС С КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ГЕНЕЗИС И РАЗВИТИЕ НА ТЕОРИЯТА НА РАВНОМЕРНОТО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ

Силвия Байчева, Васил Грозданов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията 3.2 8.3 159000 += и 32.11 56697728 x += . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2014

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра k, за които уравнението ( ) ( ) , 10k ≠ притежава цело- числени корени. Милен Найденов, Варна Решение: Ако x и x са корените на уравнението, то 2 21 1 2 10 10 k xx kk - + = =- -- е цяло число. Затова 1 10 p k = - е цяло. Оттук получаваме 10 1p k p + = . За дискри- минантата D на уравнението намираме 6 24p D p -- = . Тъй като D трябва да е точен квадрат, то 6 24pn- -= за някое цяло число n. Последното равен

Книжка 4

ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИ КЪМ КОМПЮТЪРНИ ИГРИ

Павел Азълов

− Кои са условията, при които може да се формулира печеливша стратегия? − Ако няма печеливша стратегия, възможно ли е да се формулира стратегия, при която да се постига равен резултат? − Единствена ли е печелившата стратегия? Това, както се вижда, са типични математически въпроси. Най-общо може да се приеме, че текущата позиция в една партия се характе- ризира с броя и/или текущата позиция на обек

Елементарни аритметични задачи. Структура и математически

Използване на формативно оценяване в домашната работа [Using

Comparative Analysis Regarding the Study of Transformations in the

Проектно базирани подходи за формиране и развитие на

Педагогически и ергономичен подход при разработване на

Мотивационните задачи в обучението по математика [Motivational

Възможности за съгласуваност на обучението по математика в

Конкурсни задачи на броя [Contest Problems of the Issue]

Решения на конкурсните задачи от брой 4, 2014 [Solutions of the

READ IN THE LATEST ISSUES OF „AZ BUKI“ JOURNALS /

GUIDE FOR AUTHORS / УКАЗАНИЕ ЗА АВТОРИТЕ

Книжка 2

SPREADSHEETS AS TOOLS FOR CONSTRUCTING MATHEMATICAL CONCEPTS

Erich Neuwirth

EDUCATION OF A MATHEMATICIAN – EXPERIMENTALIST, OR SOFT MANIFESTO OF EXPERIMENTAL MATHEMATICS

Alexander Yastrebov, Maria Shabanova

COMPUTER-DISCOVERED MATHEMATICS: LALESCO PRODUCTS

Sava Grozdev, Deko Dekov

САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова СОУ „Панайот Волов“ – Шумен ОУ „Никола Йонков Вапцаров“ – Асеновград

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ ВЬIЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЬIМИ

Владимир Жук Республиканская специализированная физико-математическая средняя школа-интернат имени О. Жаутыкова

ОБОБЩЕНИЯ ЗА НЯКОИ КЛАСОВЕ НЕОПРЕДЕЛЕНИ ИНТЕГРАЛИ, СВЕЖДАЩИ СЕ ДО РЕКУРЕНТНА ЗАВИСИМОСТ

Росен Николаев

APPLYING CLOUD COMPUTING FOR A MORE EFFICIENT EVALUATION OF PRACTICAL PROJECTS

Emil Delinov

ПОДХОДИ ПРИ РАЗРАБОТВАНЕ НА ГРАФИЧЕН ИНТЕРФЕЙС ЗА РАБОТА С НЯКОЛКО ДОКУМЕНТА

Тодорка Терзиева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ Задача 1. Естествените числа a и b удовлетворяват равенството 9

2S SS=

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2014

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа uxyv , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна Решение: Събираме почленно равенствата и получаваме . Оттук следва равенството ( ) ( )( ) 1 1 1 12xy uv− −+ − −= . Последното равенство е изпълнено при ( ) 1 11 xy − −= и ( )( ) 1 11uv− −= ; ( ) 1 12xy− −= и ( )( ) 1 10uv− −= ; ( ) 1 10xy− −= и ( )( ) 1 12uv− −= . Оттук лесно се вижда, че търсените числа са: 2222, 5231, 1235, 3152, 3512, 5321, 1325,

Книжка 1

М. В. ЛОМОНОСОВ И ТРАДИЦИИ УНИВЕРСИТЕТСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Татьяна Буторина

XML МОДЕЛ ЗА АВТОМАТИЧНО ГЕНЕРИРАНЕ НА ПРОГРАМНИ ТЕКСТОВЕ

Павел Азълов

THE COMPUTER IMPROVES THE STEINER’S CONSTRUCTION OF THE MALFATTI CIRCLES

Sava Grozdev, Deko Dekov

ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

СТИМУЛИРАНЕ АКТИВНОСТТА НА СТУДЕНТИТЕ В ПРОЦЕСА НА ОБУЧЕНИЕ ЧРЕЗ ИЗПОЛЗВАНЕ НА ИНТЕРАКТИВНИ МЕТОДИ

Лиляна Каракашева-Йончева

РОЛЯТА НА ЕМОЦИИТЕ НА УЧЕНИЦИТЕ ПРИ МОТИВАЦИЯТА ИМ В ОБУЧЕ НИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Зара Данаилова

КОГНИТИВНИ ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ МАТЕМАТИЦИТЕ С УВРЕДЕНО ЗРЕНИЕ

Милен Замфиров

АНАЛИЗ НА ЗАДАЧИТЕ И ПРЕДСТАВЯНЕТО НА УЧЕНИЦИТЕ ОТ XII КЛАС НА ОБЛАСТНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР В КЪРДЖАЛИ – 2014 Г.

Росен Николаев, Йордан Петков

ДВАНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански

Contest Problems Конкурсни задачи Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x

Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x + 2x + 4ax - x + 2bx + 4b  a = 0 има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2014

Задача 1. Ако a  3 е нечетно число и k 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: Означаваме с r търсения остатък. При k = 2 е изпълнено равенството . Тъй като , то . Сега от равенството се получава , къ- дето M е цяло число. Ако k = 2l, l k = 2l + 1, l . В този случай получаваме, че . Разглеждаме случая, при който k = 3. От рела- циите и

2014 година

Книжка 6

КОМПЮТЪРНО ГЕНЕРИРАНА МАТЕМАТИКА: БЕЛЕЖКА ЗА ТРИЪГЪЛНИКА НА ХАИМОВ

Сава Гроздев, Деко Деков

УЧЕНЕ ЧРЕЗ ОТКРИТИЯ – НОВ ЕФЕКТИВЕН ПОДХОД В УЧЕНЕТО ЧРЕЗ ЕКСПЕРИМЕНТИРАНЕ

Сава Гроздев, Деко Деков

МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ НА РЕАЛНИ ПРОЦЕСИ И ПРИЛОЖЕНИЯ НА СИСТЕМИТЕ ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА ЗА ТЯХНОТО ИЗСЛЕДВАНЕ Част втора

Тихомир Иванов

A REFINEMENT OF AN INEQUALITY WITH RADICALS

Šefket Arslanagić

AN INEQUALITY FOR A RIGHT TRIANGLE AND ITS GENERALIZATION

Šefket Arslanagić

КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ПЕДАЛНА КРИВА НА ТОЧКА СПРЯМО ФОЙЕРБАХОВА КОНФИГУРАЦИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЕВРОПЕЙСКИ ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ ГРУПИ С ИНДУСТРИЯТА – ТРАДИЦИИ И ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА

Стефка Димова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра , за които уравнението притежава це- лочислени корени. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2014

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a , и c е изпълне- но неравенството Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Решение: Ако , R и са съответно лицето, радиусът на описа- ната окръжност и полупериметърът на триъгълника, то са изпълнени следните релации: и . От двете равенства лесно се вижда, че разглежданото неравенство е еквивалентно с , което съвпада със споменатото неравенство.

Книжка 5

ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ НА РЕАЛНИ ПРОЦЕСИ И ПРИЛОЖЕНИЯ НА СИСТЕМИТЕ ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА ЗА ТЯХНОТО ИЗСЛЕДВАНЕ

Тихомир Иванов

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „П. Волов“ – Шумен

ИЗПОЛЗВАНЕ НА ГРАФИЧНИЯ КОНСТРУКТОР НА КОМБИНАЦИОННИ СХЕМИ LC ПРИ ИЗУЧАВАНЕ НА ПЪЛНИ МНОЖЕСТВА ОТ БУЛЕВИ ФУНКЦИИ

Вилислав Радев

ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНЦЕПЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Г. Х. Гайдаржи, А. А. Русаков ПГУ им. Т. Г. Шевченко

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

МАШИНЕН ПОДХОД КЪМ ЕВКЛИДОВАТА ГЕОМЕТРИЯ: ТРИЪГЪЛНИЦИ НА ОЙЛЕР, ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ОЙЛЕР И ТРАНСФОРМАЦИИ НА ОЙЛЕР

Сава Гроздев, Деко Деков

ФОРМИРАНЕ НА ЗНАНИЯ ВЪРХУ КРИВИТЕ ОТ ВТОРА СТЕПЕН

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на a, b и c, при които коре- ните на уравнението 10x a b c x ab bc ca++++ +++= са цели числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2013

Задача 1. Да се намерят всички реални функции : 1, 1,fx +∞ → +∞ , за които при и 0y > е изпълнено равенството fx fx= . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния Решение: Нека 1 log ln ye x == . Тогава fx fx fe== . Полагаме 1fe a => . От условието получаваме a fe fx== , откъдето fx a = . Освен това . Затова, като положим α , получаваме, че търсените функции са fx x = за всички α .

Книжка 4

ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА В КОНТЕКСТЕ МЕТАПРЕДМЕТНОСТИ

С. А. Бешенков, А. Х. Дзамыхов

КРАТКО РЪКОВОДСТВО ЗА СИСТЕМАТА ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА WOLFRAM MATHEMATICA

Тихомир Иванов,

КОМПЮТЪРНО ГЕНЕРИРАНА МАТЕМАТИКА: ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА КОСНИТА В ЕВКЛИДОВАТА ГЕОМЕТРИЯ

Сава Гроздев, Деко Деков

ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

НЯКОЛКО СВОЙСТВА НА ЕДИН ВИД КРИВИ, ПОРОДЕНИ ОТ ТОЧКА НА НАГЕЛ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

HONEYCOMB – A GENIUS CREATION OF NATURE

Risto Malčeski

THREE SOLUTIONS OF A PROBLEM WITH FOUR CIRCLES

Šefket Arslanagić

МОТИВАЦИЯ ПРИ РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ЧРЕЗ ПРЕФОРМУЛИРОВКА НА УСЛОВИЯТА

Сава Гроздев, Диана Стефанова

УРОК ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ НА ФУНКЦИИ В ЗАДАЧИ ПО ИКОНОМИКА

Петя Сярова СОУ „Васил Левски“ – Ямбол

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете цифрите , , и в десетична бройна система, ако е изпълнено равенството . Йон Патралику, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2013

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа , за които са изпълнени неравенствата: 2 2 2 28, 6, 3 8.

Книжка 3

ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова Образцова математическа гимназия „Акад. Кирил Попов” „Колкото човек е по-близо, толкова по-малко вижда“ Зрителна измама, филм на Луи Летерие

КРИВА НА ЧЕВА ЗА ТОЧКА ОТ РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИК

Сава Гроздев, Веселин Ненков

AN INTERESTING ALGEBRAIC INEQUALITY AND SOME APPLICATIONS

Šefket Arslanagić

НЯКОИ МЕТОДИЧЕСКИ ПОДХОДИ ЗА СЪСТАВЯНЕ НА ЗАДАЧИ ЗА ОЛИМПИАДИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2013

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9 3 15xx x+ +≥ . б) Намерете реалните стойности на , при които за всички , , 1,abc∈ − +∞ , е изпълнено неравенството 31a b c a b c kabc + + + + + +≥ ++ . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: а) Разглежданото неравенство е еквивалентно с 13 1 0 xx + −≥ , което е очевидно при . б) От а) следват неравенствата 9 3 15aa a+ +≥ , 9 3 15bb b+ +≥ и 9 3 15cc c+ +≥ . След почленно събиране получаваме 5 31 3 a b c a

Книжка 2

ЗА СЪВРЕМЕННИТЕ МЕТОДИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев

ДВУМЕРНИ МАСИВИ: АЛГОРИТМИ ЗА ТЪРСЕНЕ И ЕКСПЕРИМЕНТИ

Павел Азълов

ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

ХОМОТЕТИЧНИ КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ В РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИК

Сава Гроздев, Веселин Ненков

НЯКОИ МЕТОДИЧЕСКИ ОБОБЩЕНИЯ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЕДИН ТИП ЗАДАЧИ ОТ ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА

Росен Николаев, Йордан Петков

СЪСТЕЗАНИЕТО „ЕВРОПЕЙСКО КЕНГУРУ“ ЗА УЧЕНИЦИ СЪС ЗРИТЕЛНИ УВРЕЖДАНИЯ

Сава Гроздев, Елиза Петрова

ANALYSIS OF PROBLEM SOLVING IN INFORMATICS FOR 12 – 13 YEAR OLD STUDENTS IN BULGARIA

Ivaylo Staribratov, BistraTaneva High School of Mathematics „Akad. Kiril Popov“

МОДЕЛ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЕДИН КЛАС ЗАДАЧИ ЗА ПОСТРОЕНИЕ С ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Ваня Бизова-Лалева Национална търговска гимназия

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако a ³ 3 е нечетно число и k ³ 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с .

Contest Problems Конкурсни задачи РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2013

24 24 2 2 .2 8. 2 8.1024 8. 1000 1 8.10 . 1 23. 1000 1000     == = = + > + =         557 500 3 8.10 . 1 8.10 . 1 8.10 . 12.10 10.10 10 1000 1000 2  = +> += = > =  

Книжка 1

ИНТЕГРИРАНЕ НА ПРИЛОЖЕНИЯ – ПРИМЕРНИ ЗАДАЧИ

Ангел Ангелов

ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „Панайот Волов“

КОМПЮТЪРНО ГЕНЕРИРАНА МАТЕМАТИКА: РАЗРАБОТВАНЕ НА ТЕМА ОТ ЕВКЛИДОВАТА ГЕОМЕТРИЯ

Сава Гроздев, Деко Деков

ТЕОРЕТИКО-ПРИЛОЖНИ ОСНОВИ НА ВЕКТОРНО-АЛГЕБРИЧНО МОДЕЛИРАНЕ В ОБУЧЕНИЕТО ПО ГЕОМЕТРИЯ

Ирина Вутова

ЕДНО ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ПИТАГОР В ИЗВЪНКЛАСНАТА РАБОТА ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Несторова Регионален инспекторат по образованието - Враца

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

НЯКОЛКО ХОМОТЕТИЧНО ПОРОДЕНИ СВОЙСТВА НА ФОЙЕРБАХОВИТЕ КОНФИГУРАЦИИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков, Деко Деков

ЕДИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански Българска академя на науките

ЕДИН КЛАСИЧЕСКИ УЧЕБНИК ПО АЛГЕБРА

Донка Пашкулева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a, b и c е из- пълнено неравенството (a+b+c) (2b c + 2c a + 2a b - a - b - c ) £ 27a b c . Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Ако M е множеството на всички равнобедрени триъгълници, стра- ните и лицето на които са естествени числа, да се намерят три триъгълника от M, различните страни на които са последователни естествени числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2013

Задача 1. Реалните числа , , , и са такива, че:

2013 година

Книжка 6

FIVE NEW PROOFS OF ONE TRIGONOMETRIC INEQUALITY IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Alija Muminagić

ЕДНО НЕРАВЕНСТВО ЗА ТРАПЕЦ

Веселин Ненков

∑

ГРАФИЧНО И ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ОТНОСНО НЯКОИ ИЗХОДНИ ПОЛОЖЕНИЯ ПРИ КОНСТРУИРАНЕТО НА ЕДНА ЕВРИСТИЧНО ОРИЕНТИРАНА СИСТЕМА ОТ ГЕОМЕТРИЧНИ ЗАДАЧИ

Нина Иванова

ИНТЕГРИРАНЕ НА ГЕОМЕТРИЧНИ ФРАКТАЛНИ КОНСТРУКЦИИ ЧРЕЗ GEOGEBRA ЗА ХИБРИДЕН УЧЕБЕН ПРОЦЕС

Магдалена Петкова

СТРАТЕГИИ НА ПРЕПОДАВАНЕ В СРЕДА ЗА ЕЛЕКТРОННО ОБУЧЕНИЕ

Венцислав Джамбазов

МАШИННА АРИТМЕТИКА В ЧАСОВЕТЕ ПО ИНФОРМАТИКА

Пламен Пенев

КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНКА НА ПРОЕКТИ ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В ПЛАТФОРМАТА E-TWINNING

Даниела Димитрова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални функции f (x) : (1, + ) (1, + ), за които при x > 1 и y > 0 е изпълнено равенството f (x ) = (f (x)) . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2013

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата 3 cos cos cos 3 1 216 abc abc abc abc ⎡⎤ ++ ++ −≤++< − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ .

MATHEMATICS AND INFORMATICS

ГОДИНА LVI / VOLUME 56, 2013 ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ / ANNUAL CONTENT СТРАНИЦИ / PAGES КНИЖКА 1 / NUMBER 1: 1 – 96 КНИЖКА 2 / NUMBER 2: 97 – 200 КНИЖКА 3 / NUMBER 3: 201 – 296 КНИЖКА 4 / NUMBER 4: 297 – 400 КНИЖКА 5 / NUMBER 5: 401 – 496 КНИЖКА 6 / NUMBER 6: 497 - 608

Книжка 5

ПЕРВЬIЙ ТВОРЧЕСКИЙ КОНКУРС УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ КАЗАХСТАНА

Кайрош Макишев

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

ВЕРИГИ НА МАРКОВ И ПРИЛОЖЕНИЕТО ИМ В GOOGLE

Евгения Стоименова

НЯКОИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА КОМПЮТЪРНАТА ПРОГРАМА „ОТКРИВАТЕЛ“

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕДНО ИНТЕРЕСНО СВОЙСТВО ЗА НЯКОИ КЛАСОВЕ РЕАЛНИ ФУНКЦИИ

Росен Николаев

СИНЕРГЕТИЧЕН ПОДХОД КЪМ ПРОЦЕСА НА ОБУЧЕНИЕ ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Евгения Горанова

BOOSTING EFFICIENCY OF PROJECT-ORIENTED TEACHING AND LEARNING THROUGH CLASSROOM MANAGEMENT AND ONLINE TESTING

Ivan Shotlekov, Vanya Ivanova, Kirina Boykova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа (x, y, z), за които са изпълнени неравенствата:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2012

Задача 1. За всяко реално число x означаваме с [x] най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на x. Да се намерят всички прости числа p, за които числото е просто.

GUIDE FOR AUTHORS

Mathematics and Informatics Journal publishes scientifi c, scientifi c-popular, review and information materials. Papers of scientifi c character should report original research and ideas inspected through expert evaluation by two anonymous and independent referees. It is recommended that the manuscripts are sent as attachment fi les to the following addresses mathinfo@azbuki.bg and sava.grozdev@gmail.com. Disks or other electronic devices are admissible too and in such a case the postal a

Книжка 4

ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ – УДОБНЫЙ ПОВОД ОБСУДИТЬ ТОНКОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ

Вячеслав Тепляков, Нина Патронова

ВЪРХУ ПРЕПОДАВАНЕТО НА МАТЕМАТИКА НА УЧЕНИЦИ СЪС ЗРИТЕЛНИ УВРЕЖДАНИЯ

Сава Гроздев, Елиза Петрова

ЗА ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА НА РОМИ (5. – 7. КЛАС)

Сава Гроздев, Диана Стефанова

РАЗПОЛОЖЕНИЯ НА ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И ПРАВИ В ТРИЪГЪЛНИКА

Христо Лесов

СВЕЖДАНЕ НА ИРАЦИОНАЛНИ И ТРАНСЦЕНДЕНТНИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ДО МОДУЛНИ

Пенка Рангелова

ЕКСТРЕМАЛНИ ЗАДАЧИ В СРЕДНОТО УЧИЛИЩЕ С ПОМОЩТА НА КОМПЮТЪРНИ ТАБЛИЦИ

Сава Гроздев, Деко Деков

АРХИТЕКТУРА „МОДЕЛ-ИЗГЛЕД-КОНТРОЛЕР“ В ПОМОЩ НА ПРЕПОДАВАНЕТО НА УЕБТЕХНОЛОГИИ

Христо Христов, Христо Крушков

ПЪРВИЯТ БЪЛГАРСКИ УЧЕБНИК ПО ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ

Пламен Матеев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9315xx x++≥ .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2012

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа x, y и z, за които е изпълнено равенството . Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 13 = 2197, 2.11 = 2662 и 3.9 . 2187, то x 12, y 10 и z 8. Освен това x и z имат различна четност. Така с непосредствена проверка се вижда, че когато z = 1,3,5,7 при x = 2,4,6,8,10,12 и z = 2,4,6,8 при x = 1,3,5,7,9,11, само x = 2, y = 10, z = 1 е решение на даденото уравнение.

Книжка 3

АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ В СИСТЕМЕ ЕВРИСТИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ

Елена Скафа

ПЛАВЕН ПРЕХОД ОТ ЗАДАЧИ КЪМ ПРОЕКТИ В УВОДНИТЕ КУРСОВЕ ПО ПРОГРАМИРАНЕ

Павел Азълов

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

ПРАКТИЧЕСКИ ПРИМЕР НА ТЕХНОЛОГИЧНИ СРЕДСТВА ЗА РЕАЛИЗИРАНЕ НА УЕБ 2.0 ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА

Филип Петров, Даниела Дурева-Тупарова

УЧЕБНАТА ДЕЙНОСТ „РАЗБИРАНЕ“ ПРИ ИЗУЧАВАНЕ НА ТЕМАТА „ЕЛЕКТРОННИ ТАБЛИЦИ” В ОБУЧЕНИЕТО ПО ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В 7. КЛАС

Коста Гъров, Елена Тодорова

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се сравнят числата Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Точките E и F са среди съответно на диагоналите AC и BD на чети- риъгълника ABCD. Ако BAE ADE= и , да се докаже, че симе- дианите на триъгълниците ABC, BCD, CDA и DAB съответно през върховете B, C, D и A се пресичат в една точка. Хаим Хаимов, Варна Задача 3. Вписаната в окръжност се допира до , и AB съот-

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2012

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния Решение: Изпълнени са равенствата ! 1! 1 1! 1 !! np Sp C p np + =− +=− +=

Книжка 2

ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

„ВЫХОД В ПРОСТРАНСТВО“ С ИНТЕРАКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СРЕДОЙ

Мария Шабанова, Светлана Котова

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ИНФОРМАЦИОННИТЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА: СРЕДСТВО ЗА ИЛИ БАРИЕРА ПРЕД ФОРМИРАНЕТО НА АБСТР АКТН О МИСЛЕНЕ

Таня Тонова, Николина Николова

ИНТЕРАКТИВНО ИЗУЧАВАНЕ НА ОПИСАНИ ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ В ДИНАМИЧНА СРЕДА

Бистра Царева, Радка Тодорова

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

ТРИ СВОЙСТВА НА ТРИЪГЪЛНИКА, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ВИСОЧИНИТЕ МУ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

МАРКЕТИНГОВИ ПРОУЧВАНИЯ С УЧИЛИЩНИ ЗНАНИЯ

Ваня Бизова – Лалева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Реалните числа , , , и са, такива че:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2012

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa a bb b  , за които е изпълнено равенството aa a bb b aa a bb b=   . Николай Белухов, Стара Загора Решение: Нека A aa a=  и B bb b=  . От условието следва равенството .10 . A B AB+= , откъдето .10 1 . A AB =− . Тъй като , 11AA −= , то 1|10 A − , откъдето 1 1 2 .5 AA− += . Ако числата 1A − и 1A + са едновременно нечетни, то , а 1A − и 1A + са степени на петицата с разлика две, което е невъзможно. Остава само възмо

Книжка 1

70-ГОДИШЕН ЮБИЛЕЙ

Навършиха се 70 години от рождението на изтъкнатия български математик проф. дмн Генчо Скордев. Юбилярът е член-кореспондент на БАН и дългогодишен главен редактор на сп. „Математика и информатика“. По този повод е следващият материал, в който авторът разказва свои спомени с исторически характер, свързани с активното му участие в образователните процеси в България по математика и информатика.

ЧТО БОЛЬШЕ: π% от e или e% от π?

Николай Розов

ИНФОРМАТИЧНИ ЗАДАЧИ ВЪРХУ МАТЕМАТИЧЕСКИ РЕБУСИ... ИЛИ ЕМПИРИЧЕН ПОДХОД ЗА ОЦЕНКА НА ВРЕМЕТО ЗА ИЗПЪЛНЕНИЕ НА ПРОГРАМИ

Павел Азълов

ПО ПЪТЯ КЪМ ПЪРВАТА КОМПЮТЪРНО-ГЕНЕРИР АНА ЕНЦИКЛОПЕДИЯ

Сава Гроздев, Деко Деков

SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić

ВИРТУАЛНАТА РЕАЛНОСТ – ЕДИН НОВ ПОГЛЕД КЪМ СЪВРЕМЕННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Минковска

ИЗПОЛЗВАНЕ НА ДИНАМИЧНИ И ИНТЕРАКТИВНИ МОДЕЛИ ЗА ПРЕДСТАВЯНЕ НА УЧЕБНОТО СЪДЪРЖАНИЕ ПО ДИСЦИПЛИНАТА „КОМПЮТЪРНИ МРЕЖИ И КОМУНИКАЦИИ“

Генчо Стоицов, Коста Гъров

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2012

Задача 1. В множеството на реалните числа е дефинирана бинарна опера- ция :⊗ ×→  , където : \0=  , която условно ще наричаме умножение и такава, че за всеки три реални числа , и , където , е в сила ра- венството .ac a bc b ⊗⊗= . Ако е известно, че , да се пресметне 2011 2012 2011 2012⊗⊗⊗ . Живко Желев, Стара Загора Решение: Първи начин (авторско решение). Нека . Тогава .1 11 1 a ata a⊗= ⊗ ⊗ = = . Оттук получаваме 2012. 1 2012 2012 2012 2012 2012 t tt=⊗=⊗ ⊗= =

2012 година

Книжка 6

КОМЮНИКЕ LE-MATH ИЗУЧАВАНЕ НА МАТЕМАТИКА С НОВИ СРЕДСТВА ЗА КОМУНИКАЦИЯ

ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

НЯКОИ НЕСТАНДАРТНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМИ

Запрян Запрянов, Николай Райков

ИЗПОЛЗВАНЕ НА МАТРИЦИ В УЧИЛИЩНИЯ КУРС НА ОБУЧЕНИЕ

Борислава Кирилова

ПАРАМЕТРИ, ТАБЛИЦИ И ДИНАМИЧНИ ГРАФИКИ

Ваня Бизова-Лалева

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ СПРЕГНАТИ ПРАВИ И ЧЕВИАНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Използване на Visual Basic for Applications при решаването на практически

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

АНАЛИЗ НА ВЪНШНОТО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА ЗА ЧЕТВЪРТИ КЛАС ЗА 2012 Г. В БЪЛГАРИЯ

Милен Замфиров

Конкурсни задачи на броя

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2012

Христо Лесов, Казанлък

I N M E M O R I A M

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Книжка 5

ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

доц. д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН) Десетата Международна олимпиада по лингвистика (МОЛ) се проведе в Любляна (Словения) от 30 юли до 3 август 2012 г. В нея взеха участие 131 ученици, съставящи 34 отбора от 26 страни. За първи път свои състезатели изпратиха Гърция, Китай, Израел, Унгария и Япония. Бяха представени също Австралия, Бразилия, България, Великобритания, Германия, Естония, Индия, Ирландия, Канада, Латвия, Нидерландия, Полша, Румъния, Русия, САЩ, Сингапур, Словения, Сърбия, Чехи

MATHEMATICAL COMPETITIONS AND STUDENTS‘ SELF-ESTEEM

Gregor Dolinar

АНАЛИЗ НА ВЪНШНОТО ОЦЕНЯВАНЕ ПО МАТЕМАТИКА ЗА ЧЕТВЪРТИ КЛАС ЗА 2011 Г. В БЪЛГАРИЯ

Милен Замфиров

СИНЕРГЕТИЧЕН МОДЕЛ „ПРОБУЖДАЩО МАТЕМАТИЧЕСКО ОБУЧЕНИЕ”

Даринка Гълъбова

ЕДНА ЗАДАЧА – НЯКОЛКО „ЕЛЕМЕНТАРНИ“ РЕШЕНИЯ

Юлия Нинова, Веселка Михова

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПР ОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

ДИСЕРТАЦИИ В ПРОФЕСИОНАЛНО НАПРАВЛЕНИЕ “ПЕДАГОГИКА”

Петя Асенова, Сава Гроздев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа , и , за които е из- пълнено равенството Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2011

Задача 1. Да се докаже, че за всяко цяло положително число уравнението има безброй много решения в цели положителни числа

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

година в България [External Evaluation Analysis of Mathematics

Книжка 4

АНАЛИЗ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ НАЦИОНАЛНАТА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

АНАЛИЗ НА ДВЕ ЗАДАЧИ ОТ МЕЖДУНАРОДНАТА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев

UBIQUITOUS ARCHIMEDEAN CIRCLES

Hiroshi Okumura

СОФТУЕРНО ОБОНОВЯВАНЕ НА СИСТЕМА ЗА ЕЛЕКТРОННО ОБУЧЕНИЕ С ОТВОРЕН КОД

Венцислав Джамбазов

ИЗПИТЪТ ЗА ЧЕТВЪРТА ПРОФЕСИОНАЛНО- КВАЛИФИКАЦИОННА СТЕПЕН ПО МАТЕМАТИКА

Галя Кожухарова

ПОДГОТОВКА НА УЧИТЕЛИТЕ ЗА ПРИДОБИВАНЕ НА ПЕТА И ЧЕТВЪРТА ПРОФЕСИОНАЛНО- КВАЛИФИКАЦИОННА СТЕПЕН ПО ИНФОРМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Димитрина Брънекова

КОМПЮТЪРНИТЕ ЕВРИСТИКИ И ВЪЗМОЖНОСТИТЕ ИМ ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ В ОЛИМПИАДНАТА МАТЕМАТИКА

Живко Желев

ДВЕ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИ ИНИЦИАТИВИ

Борислав Лазаров

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2011

Задача 1. Едно цяло положително число n ще наричаме “интересно”, ако може да бъде записано във вида , където са цели поло- жителни числа и , а дели c . Да се докаже, че само краен брой цели положителни числа не са “интересни” и да се намери сумата им. Решение: 1) Нека , то тересно”. Остава да отбележим, че , и не са “интересни”. 2) Нека

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2011

Задача 1. На страните AB и на успоредника външно за

МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР „РУМЕН ГРОЗДАНОВ“ НА 10 ГОДИНИ

Ивайло Старибратов

Книжка 3

НАЦИОНАЛЕН КОНКУРС „МЛАДИ ТАЛАНТИ” 2012

Георги Дянков През месец май 2012 се проведе финалният кръг на Националния конкурс „Млади таланти”. Състезанието се организира от МОМН и приема разработки на научни проекти от ученици в гимназиален етап и студенти първи курс. Участниците предста- виха свои авторски проекти в различни научни области – естествени науки, социални науки и комуникационни и информационни технологии (ИКТ). Състезанието тази година се отличи с много добри проекти и журито имаше нелеката задача да избере най-добри

СУБЕКТНОСТЬ КАК МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ИНФОРМАТИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ

Татьяна Сергеева, Сава Гроздев

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ КАК ИННОВАЦИОННОЕ НАПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

Людмила Хаймина, Евгений Хаймин

ТЕХНОЛОГИЧНИ СРЕДСТВА ЗА РАЗРАБОТВАНЕ И РАЗПРОСТРАНЕНИЕ НА ЕЛЕКТРОННО УЧЕБНО СЪДЪРЖАНИЕ И СЪЗДАВАНЕ И ПОДДЪРЖАНЕ НА КУРСОВЕ ЗА ЕЛЕКТРОННО ОБУЧЕНИЕ

Георги Тупаров, Даниела Тупарова

СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

ИНДИВИДУАЛНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ТРАЕКТОРИЯ ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЧАСТЕН СЛУЧАЙ

Борислав Лазаров

ТЕХНОЛОГИЧЕН МОДЕЛ НА СЪЗДАВАНЕ НА МУЛТИМЕДИЙНИ ПРЕЗЕНТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКА ОТ УЧЕНИЦИ В ОСМИ КЛАС ПРИ РАБОТА В ЕКИП

Петя Драганова, ПГЛПИ „Атанас Буров” – гр. Г. Оряховица

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa abb b , за които е изпълнено равенството

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2011

Задача 1. Да се определят стойностите на параметъра a, за които уравнението log sin 2011 cos 2011tg x cotg x a x x += + има решение и да се реши уравнението за най-малката от намерените стойности на параметъра. Христо Лесов, Казанлък Решение (Христо Лесов): Изпълнени са следните релации: π αα α за всяко и 2 2 sin 2 tg cotg += ≥ за