2018/2, стр. 175 - 189

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Резюме: Разгледано е едно преобразувание в равнината на четириъгълника, което позволява да се получат обобщения на известните прави на Гаус и Гаус-Боденмилер за пълния четириъгълник.

Ключови думи: quadrilateral; notable point; line; circle

В тази статия ще разгледаме едно универсално преобразувание в четириъгълник, което е аналог на преобразуванието изогоналност в триъгълника. Към познатите от триъгълника свойства на това преобразувание се добавят редица нови, характерни само за четириъгълника. Последните са свързани с една забележителна права в четириъгълника (Haimov, 1999) и с някои забележителни точки. Благодарение на тези свойства са получени важни обобщения на теоремите на Гаус и Гаус-Боденмилър за пълния четириъгълник, както и на някои съпътстващи ги твърдения. Разгледана е връзката на това преобразувание с инверсната изогоналност (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2017).

Определение 1. Две прави през върха на даден ъгъл се наричат изогонални, ако сключват равни ъгли с ъглополовящата му.

Определение 2. Две точки в четириъгълника, които лежат на изогонални прави спрямо всеки от ъглите му, се наричат перфектно изогонални.

Примери на перфектно изогонални точки в четириъгълник с перпендикулярни диагонали са брокарианите му \(K_{1}\) и \(K_{2}\) (Haimov, 2005), псевдоцентърът му \(O\) и пресечната точка \(T\) на диагоналите му (Haimov, 2010), (Nenkov,Stefanov \&Haimov,2016).Такивасаивториятмупсевдоцентър \(O_{1}\) и точката на Лемоан \(L\) (Haimov, 2011).

Центърът на вписаната окръжност на описания четириъгълник очевидно е перфектно изогонален сам на себе си.

Ще разгледаме няколко важни критерия две точки в изпъкнал четириъгълник да са перфектно изогонални. Предварително ще докажем една лема.

Лема 1. Дадени са \(∢ X O Y\) и две точки \(P\) и \(Q\) в равнината му. Ако \(H_{1}\) и \(H_{3}\) са ортогоналните проекции на \(P\) съответно върху правите \(O X\) и OY , а \(\mathrm{H}_{2}\) и \(\mathrm{H}_{4}\) са съответните ортогонални проекции на \(Q\) върху същите прави, то точките \(P\) и \(Q\) лежат на изогонални прави спрямо \(∢ X O Y\) тогава и само тогава, когато точките \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) лежат на една окръжност с център средата на отсечката \(P Q\).

Доказателство. Нека точките \(P\) и \(Q\) лежат на изогонални прави спрямо \(∢ X O Y\). За определеност ще предполагаме, че те и двете са от неговата вътрешност. Случаят, когато те не лежат в ъгъла, се разглежда аналогично. От определението имаме \(∢ P O Y=∢ Q O X=\alpha\) (фиг. 1).

Лесно се вижда, че четириъгълникът \(\mathrm{PH}_{1} \mathrm{OH}_{3}\) е вписан в окръжност, откъдето следват равенствата \(∢ O H_{1} H_{3}=∢ O P H_{3}=90^{\circ}-∢ P O H_{3}=90^{\circ}-\alpha\). Аналогично от вписания четириъгълник \(\mathrm{QH}_{2} \mathrm{OH}_{4}\) имаме \(∢ \mathrm{OH}_{4} \mathrm{H}_{2}=∢ O Q \mathrm{H}_{2}=90^{\circ}-∢ Q O H_{2}=90^{\circ}-\alpha\). Следователно \(∢ O H_{1} H_{3}=∢ O H_{4} H_{2}=90^{\circ}-\alpha\). Това означава, че четириъгълникът \(H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}\) е вписан в окръжност. Нейният център е пресечна точка на симетралите на отсечките \(H_{1} H_{2}\) и \(H_{3} H_{4}\). Лесно се съобразява, че тази точка е средата на \(P Q\).

С помощта на същите разсъждения, извършени в обратен ред, се доказва, че ако проекциите \(H_{1}, \quad, H_{3}\) и \(H_{4}\) на точките \(P\) и \(Q\) лежат на една окръжност, то точките \(P\) и \(Q\) лежат на изогонални прави спрямо ъгъла.

Свойство 1. Точките \(X\) и \(Y\) в равнината на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) са перфектно изогонални тогава и само тогава, когато ортогоналните им проекции върху правите \(A B, B C, C D\) и \(D A\) лежат на една окръжност с център средата на отсечката \(X Y\).

Доказателство. Означаваме проекциите на точката \(X\) върху правите \(A B, B C, C D\) и \(D A\) съответно с \(H_{1}, H_{3}, H_{5}\) и \(H_{7}\), а проекциите на точката \(Y\) - съответно с \(H_{2}, H_{4}, H_{6}\) и \(H_{8}\) (фиг. 2). Точките \(X\) и \(Y\) са перфектно изогонални, ако лежат на изогонални прави спрямо всеки от ъглите на четириъгълника \(A B C D\) (по определение 2). Те лежат на изогонални прави спрямо \(∢ A B C\) тогава и само тогава, когато точките \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) лежат на една окръжност с център средата \(O\) на отсечката \(X Y\) (по лема 1 ), т.е. когато са изпълнени равенствата \(O H_{1}=O H_{2}=O H_{3}=O H_{4}\). Аналогично точките \(X\) и \(Y\) лежат на изогонални прави спрямо \(∢ B C D\) тогава и само тогава, когато са изпълнени равенствата \(O H_{3}=O H_{4}=O H_{6}=O H_{5}\) и т.н. Можем да заключим, че точките \(X\) и \(Y\) лежат на изогонални прави спрямо всеки от ъглите на четириъгълника \(A B C D\) тогава и само тогава, когато са изпълнени равенствата \(O H_{1}=O H_{2}=\cdots=O H_{8}\), т.е. когато проекциите \(H_{1}, H_{2}, \ldots, H_{8}\) на точките \(X\) и \(Y\) върху правите \(A B, B C, C D\) и \(D A\) лежат на една окрьжност.

Следващото свойство на перфектно изогоналните точки в четириъгълника се отнася за точки от неговата вътрешност.

Свойство 2. Точките \(X\) и \(Y\) от вътрешността на изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) са перфектно изогонални тогава и само тогава, когато съществува елипса с фокуси \(X\) и \(Y\), вписана в \(A B C D\).

Доказателство. Първо ще докажем, че ако точките \(X\) и \(Y\) са перфектно изогонални, то такава елипса съществува (фиг. 3). Означаваме проекциите на \(X\) върху страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) съответно с \(X_{1}, X_{2}, X_{3}\) и \(X_{4}\), а проекциите на \(Y\)– съответно с \(Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}\) и \(Y_{4}\). Нека \(Y_{1}^{\prime}, Y_{2}^{\prime}, Y_{3}^{\prime}\) и \(Y_{4}^{\prime}\) са симетричните точки на \(Y\) спрямо страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\). Нека още \(X Y_{1}^{\prime} \cap A B=Z_{1}, X Y_{2}^{\prime} \cap B C=Z_{2}, X Y_{3}^{\prime} \cap C D=Z_{3}, X Y_{4}^{\prime} \cap D A=Z_{4}\). Щом точките \(X\) и \(Y\) са перфектно изогонални, то проекциите им върху страните на четириъгълника \(A B C D\) лежат на една окръжност с център средата \(O\) на отсечката \(X Y\) (от свойство 1). Означаваме радиуса на тази окръжност с \(R\). Тогава \(O Y_{1}=O Y_{2}=O Y_{3}=O Y_{4}=R\). Като използваме, че геометричното място на точките \(P\), за които \(X P+Y P=2 R\), е елипса (c) с фокуси \(X\) и \(Y\), ще покажем, че точките \(Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}\) и \(Z_{4}\) лежат на една елипса. От симетрията спрямо \(A B\) имаме \(Y Z_{1}=Y_{1}^{\prime} Z_{1}\). Оттук \(X Z_{1}+Y Z_{1}=X Z_{1}+Y_{1}^{\prime} Z_{1}=X Y_{1}^{\prime}\). Тъй като \(O Y_{1}\) е средна отсечка в \(\triangle X Y_{1}^{\prime} Y\), то \(X Y_{1}^{\prime}=2 O Y_{1}\). Така получаваме \(X Z_{1}+Y Z_{1}=X Y_{1}^{\prime}=2 O Y_{1}=2 R\), което ни убеждава, че точката \(Z_{1}\) принадлежи на елипсата (c) . Аналогично се доказва, че и точките \(Z_{2}, Z_{3}\) и \(Z_{4}\) принадлежат на тази елипса (c) . Остава да покажем, че страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) на четириъгълника се допират до елипсата (c) в точките \(Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}\) и \(Z_{4}\). От симетрията спрямо \(A B\) имаме \(∢ X Z_{1} A=∢ Y_{1}^{\prime} Z_{1} B=∢ Y Z_{1} B\), т.е. правата \(A B\) сключва равни ъгли с фокалните радиуси на елипсата (\(c\) ) в точката \(Z_{1}\). От фокалното свойство на елипсата за допирателните можем да заключим, че правата \(A B\) се допира до елипсата (\(c\) ) в точката \(Z_{1}\). Аналогично се доказва, че и правите \(B C, C D\) и \(D A\) се допират до елипсата. Така се убеждаваме, че ако точките \(X\) и \(Y\) са перфектно изогонални, то съществува елипса с фокуси \(X\) и \(Y\), вписана в четириъгълника \(A B C D\).

С помощта на същите разсъждения, извършени в обратен ред, се доказва, че ако точките \(X\) и \(Y\) са фокуси на елипса, вписана в четириъгълника \(A B C D\), то те са перфектно изогонални.

Нека отбележим, че ако точките \(X\) и \(Y\) не са от вътрешността на изпъкналия четириъгълник, свойство 2 остава в сила с тази разлика, че елипсата се заменя с подходящо конично сечение. Доказателството е аналогично.

Доказаното свойство 2 само по себе си е забележително, но то е важно преди всичко с това, че поражда едно ново свойство на перфектната изогоналност, характерно само за четириъгълника. Правата през средите на диагоналите на четириъгълника е забележителна с интересните си свойства. Някои от тях са разгледани в (Haimov, 1999), където тази права е наречена Гаусова. Сега ще докажем, че центровете на всички вписани елипси в четириъгълника лежат на Гаусовата права.

Свойство 3. Ако \(X\) и \(Y\) са две перфектно изогонални точки в изпъкналия четириъгълник \(A B C D\), то средата \(O\) на отсечката \(X Y\) лежи върху Гаусовата права.

Доказателство. Използвайки предходното свойство, получаваме, че съществува елипса (\(c\) ) с фокуси \(X\) и \(Y\), вписана в четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 4.1). Нека \(A B C D\) лежи в равнина \(\alpha\). Тогава съществува равнина \(\beta\), в която чрез ортогонално проектиране \(h\) елипсата (c) се изобразява в окръжност (\(c_{1}\) ) (според теорията на коничните сечения) (фиг. 4.2).

При проектирането \(h\) образът на центъра \(O\) на елипсата (\(c\) ) съвпада с центъра \(O_{1}\) на окръжността (\(c_{1}\) ) . Нещо повече – четириъгълникът \(A B C D\), който е описан около елипсата (\(c\) ) , се изобразява в четириъгълник \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\), описан около окръжността (\(c_{1}\) ) . Средите \(E\) и \(F\) на диагоналите \(A C\) и \(B D\) се изобразяват в средите \(E_{1}\) и \(F_{1}\) на \(A_{1} C_{1}\) и \(B_{1} D_{1}\). Следователно образ на Гаусовата права на четириъгълника \(A B C D\) е Гаусовата права \(E_{1} F_{1}\) на \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\). От теоремата на Нютон за описания четириъгълник получаваме, че центърьт \(O_{1}\) на вписаната окръжност (\(c_{1}\) ) в четириъгълника \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) лежи на Гаусовата му права \(E_{1} F_{1}\). Следователно центърът \(O\) на елипсата, вписана в четириъгълника \(A B C D\)– прообраз на центъра \(O_{1}\) на окръжността (\(c_{1}\) ) , лежи на Гаусовата права \(E F\) на четириъгълника \(A B C D\)– прообраз на Гаусовата права \(E_{1} F_{1}\) на четириъгълника \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\). С това свойството е доказано.

Други изследвания върху центровете на вписаните в четириъгълник конични сечения и доказателство на последното свойство се съдържат в (Nenkov, 2010).

Нека по-нататък отбележим, че според свойство 1, ако точките \(X\) и \(Y\) са перфектно изогонални, то проекциите им върху страните на четириъгълника \(A B C D\) лежат на една окръжност. В частност, ако точката \(X\) в четириъгълника \(A B C D\) има перфектно изогонална, то проекциите на \(X\) върху страните на четириъгълника лежат на една окръжност. Както ще покажем сега, обратното също е вярно.

Свойство 4. Нека \(X\) е точка в равнината на четириъгълника \(A B C D\), проекциите на която върху страните му лежат на една окръжност (c) . Тогава точката \(X\) има перфектно изогонална точка \(Y\), симетрична на \(X\) спрямо центъра на окръжността (c) .

Доказателство. Означаваме проекциите на точката \(X\) върху правите \(A B, B C, C D\) и \(D A\) съответно с \(H_{1}, H_{3}, H_{5}\) и \(H_{7}\) (фиг. 2). Тези точки по условие лежат на една окръжност (\(c\) ) . Аналогично означаваме с \(H_{2}, H_{4}, H_{6}\) и \(H_{8}\) проекциите на точката \(Y\), симетрична на \(X\) спрямо центъра \(O\) на (\(c\) ) , върху страните на четириъгълника (фиг. 2). Ще докажем, че точките \(H_{2}, H_{4}, H_{6}\) и \(H_{8}\) също лежат на окръжността (c) . Нека \(E\) е средата на отсечката \(H_{1} H_{2}\). Понеже \(O E\) е успоредна на основите на трапеца \(H_{1} H_{2} Y X\), то \(O E \perp H_{1} H_{2}\). Тогава триъгълникът \(H_{1} O H_{2}\) е равнобедрен, защото \(O E\) съвпада със симетралата на отсечката \(H_{1} H_{2}\). Следователно \(O H_{1}=O H_{2}\). Тъй като \(H_{1} \in(c)\) по условие, то \(H_{2} \in(c)\). Аналогично получаваме \(H_{4}, H_{6}, H_{8} \in(c)\). Имайки предвид, че проекциите на точките \(X\) и \(Y\) върху страните на четириъгълника \(A B C D\) лежат на една окръжност, заключаваме, че точките \(X\) и \(Y\) са перфектно изогонални (от свойство 1).

Доказахме, че необходимото и достатъчно условие една точка \(X\) в равнината на изпъкнал четириъгълник да има перфектно изогонална е проекциите ѝ върху страните на четириъгълника да лежат на една окръжност. На това условие може да се придаде по-удобна форма с помощта на равенство, описващо тези точки.

Лема 2. Проекциите на точката \(X\) от вътрешността на четириъгълника \(A B C D\) върху страните му лежат на една окръжност тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството:

(1)\[ ∢ A X D+∢ B X C=180^{\circ} . \]

Доказателство. Проекциите на точката \(X\) върху страните \(A B, B C\), \(C D\) и \(D A\) означаваме съответно с \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) (фиг. 5).

Първо ще докажем, че ако \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) лежат на една окрьжност, то равенство (1) е изпълнено. Тьй като четириъгълникът \(H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}\) е вписан, получаваме:

(2)\[ \left(∢ H_{4} H_{1} X+∢ H_{2} H_{1} X\right)+\left(∢ H_{4} H_{3} X+∢ H_{2} H_{3} X\right)=180^{\circ} . \]

Същевременно имаме:

(3)\[ \begin{gathered} ∢ H_{4} H_{1} X=∢ H_{4} A X, \quad ∢ H_{2} H_{1} X=∢ H_{2} B X, \quad ∢ H_{4} H_{3} X=∢ H_{4} D X, \\ ∢ H_{2} H_{3} X=∢ H_{2} C X . \end{gathered} \]

От равенства (2) и (3) следва

\[ \begin{gathered} \left(∢ H_{4} A X+∢ H_{2} B X\right)+\left(∢ H_{4} D X+∢ H_{2} C X\right)=180^{\circ} \text { или } \\ \left(∢ H_{4} A X+∢ H_{4} D X\right)+\left(∢ H_{2} B X+∢ H_{2} C X\right)=180^{\circ}, \text { т.е. } \\ \left(180^{\circ}-∢ A X D\right)+\left(180^{\circ}-∢ B X C\right)=180^{\circ} . \end{gathered} \]

Така заключаваме, че равенството (1) е изпълнено.

С помощта на същите разсъждения, извършени в обратен ред, се доказва, че ако равенство (1) е изпълнено, то проекциите на точката \(X\) от вътрешността на четириъгълника \(A B C D\) върху страните му лежат на една окръжност.

Свойство 5. Точката \(X\) от вътрешността на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) има перфектно изогонална тогава и само тогава, когато \(e\) изпълнено равенството \(∢ A X D+∢ B X C=180^{\circ}\).

Доказателство. Нека първо точката \(X\) има перфектно изогонална точка \(Y\). Тогава проекциите на точките \(X\) и \(Y\) върху страните на четириъгълника лежат на една окръжност (от свойство 1). В частност, проекциите на \(X\) върху страните лежат на една окръжност. Можем да заключим, че \(∢ A X D+∢ B X C=180^{\circ}\) (по лема 2).

Нека сега равенството \(∢ A X D+∢ B X C=180^{\circ}\) е изпълнено. Тогава проекциите на точката \(X\) върху страните на четириъгълника \(A B C D\) лежат на една окръжност (по лема 2). Така заключаваме, че точката \(X\) има перфектно изогонална (от свойство 4).

Забележка 1. Горното свойство остава в сила и в случая, когато точката \(X\) лежи извън четириъгълника, като условието \(∢ A X D+∢ B X C=180^{\circ}\) се заменя с условията \(∢ A X D=∢ B X C\) и \(∢ A X B=∢ C X D\).

Сега ще се спрем на един важен пример на перфектно изогонални точки, които не са от вътрешността на четириъгълника.

Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, в който \(A D \cap B C=U\), \(A B \cap C D=V\), а \(C\) лежи между \(B\) и \(U\) и между \(D\) и \(V\). Лесно се съобразява, че точките \(U\) и \(V\) са перфектно изогонални (по определение 2).

Повечето от доказаните свойства на вътрешните за четириъгълника перфектно изогонални точки се пренасят (с подразбиращите се промени) и за перфектно изогонални точки, които не са от неговата вътрешност. В частност, свойство 3 остава вярно и за точките \(U\) и \(V\). В този случай то се изказва така: Средата на отсечката \(U V\) и средите на диагоналите \(A C\) и \(B D\) лежат на една права. Става ясно, че свойство 3 е обобщение на теоремата на Гаус за пълния четириъгълник, която е точно изказаното твърдение. Както ще видим сега, има още една класическа теорема за пълния четириъгълник, която може да бъде обобщена благодарение на преобразуванието перфектна изогоналност.

Теорема на Гаус-Боденмилър. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и \(A D \cap B C=U, A B \cap C D=V\). Ортоцентровете на триъгълниците \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\) лежат на една права.

Да забележим, че теоремата съответства на точките \(U\) и \(V\), които са перфектно изогонални. Тогава можем да разгледаме произволна двойка перфектно изогонални точки \(X\) и \(Y\) и да докажем, че теоремата остава вярна и за тях. По подобие ще вземем ортоцентровете на триъгълниците \(A B X, D C X, A D Y\) и \(B C Y\).

Свойство 6. Нека \(X\) и \(Y\) са две перфектно изогонални точки в четириъгълника \(A B C D\). Ортоцентровете на триъгълниците \(A B X, D C X\), \(A D Y\) и BCY лежат на една права, перпендикулярна на Гаусовата права.

Доказателство. Да означим средите на диагоналите \(A C\) и \(B D\) съответно с \(E\) и \(F\), а ортоцентровете на триъгълниците \(A D Y, C D X, B C Y\) и \(A B X\) съответно с \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) (фиг. 6).

Първо ще докажем, че \(H_{1} H_{2} \perp E F\). Точките \(X\) и \(Y\) по условие лежат на изогонални прави спрямо \(∢ A D C\), следователно \(∢ A D Y=∢ C D X=\varphi\). За разстоянията от ортоцентровете \(H_{1}\) и \(H_{2}\) на триъгълниците \(A D Y\) и \(C D X\) до общия им връх \(D\) имаме \(D H_{1}=A Y|\operatorname{cotg} \varphi|, D H_{2}=C X|\operatorname{cotg} \varphi|\), при това \(D H_{1} \perp A Y\) и \(D H_{2} \perp C X\). Построяваме вектор \(\overrightarrow{X Z}\), равен на \(\overrightarrow{A Y}\). Имаме: \(D H_{1}=A Y|\operatorname{cotg} \varphi|=X Z|\operatorname{cotg} \varphi|\) (следователно \(X Z=D H_{1}|\operatorname{tg} \varphi|\) ), \(X Z \perp D H_{1} \quad\) и \(\quad D H_{2}=C X|\operatorname{cotg} \varphi| \quad\) (следователно \(\quad C X=D H_{2}|\operatorname{tg} \varphi|\) ), \(C X \perp \mathrm{DH}_{2}\). Можем да направим извода, че триъгълникът \(X Z C\) е образ на триъгълника \(D H_{1} H_{2}\) при композицията от въртяща хомотетия с център \(D\), ъгъл \(90^{\circ}\) и коефициент \(|\operatorname{tg} \varphi|\) и транслация на вектор \(D X\). Оттук ще заключим, че \(H_{1} H_{2} \perp C Z\). От друга страна обаче, средата \(O\) на отсечката \(X Y\) е среда и на отсечката \(A Z\) (от успоредника \(A X Z Y\) ) и следователно \(C Z \| E O\) (понеже \(E O\) е средна отсечка в \(\triangle A C Z\) ). Но средата \(O\) на отсечката \(X Y\) лежи на отсечката \(E F\) (от свойство 3), което означава, че \(C Z \| E F\). Понеже \(H_{1} H_{2} \perp C Z\) по доказаното по-горе, можем да заключим, че \(H_{1} H_{2} \perp E F\). Аналогично се доказва, че \(H_{2} H_{3} \perp E F\) и \(H_{3} H_{4} \perp E F\), с което се убеждаваме, че точките \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) лежат на една права, перпендикулярна на Гаусовата права \(E F\).

Като приложим току-що доказаното свойство 6 към центъра на вписаната окръжност на описания четириъгълник, който е перфектно изогонален сам на себе си, получаваме следното

Следствие. Нека четириъгълникът \(A B C D\) е описан около окръжност с център \(O\). Ортоцентровете на триъгълниците \(A B O, B C O, C D O\) и \(D A O\) лежат на една права, перпендикулярна на Гаусовата права (върху същата права лежи и пресечната точка на диагоналите \(A C\) и \(B D\) ).

Сега ще разгледаме връзката между перфектната изогоналност и инверсната изогоналност на Микел (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2017).

Свойство 7. Две перфектно изогонални точки \(X\) и \(Y\) спрямо изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) са и инверсно изогонални.

Доказателство. Нека \(A D \cap B C=U, \quad A B \cap C D=V, ∢ A U B=\varphi\), \(∢ A V D=\psi\) (фиг. 7). За определеност ще предполагаме, че точките \(X\) и \(Y\) са вътрешни за \(A B C D\). Първо ще покажем, че за тях са изпълнени равенствата:

(4)\[ ∢ A Y B=∢ D X C+\varphi, ∢ A X D=∢ B Y C+\psi . \]

Щом точките \(X\) и \(Y\) са перфектно изогонални спрямо \(A B C D\), те лежат на изогонални прави спрямо ъглите му \(D A B\) и \(A B C\), откъдето имаме \(∢ Y A B=∢ X A D\) и \(∢ Y B A=∢ X B C\). Като използваме тези равенства, получаваме:

\[ \begin{aligned} & ∢ A Y B=180^{\circ}-∢ Y A B-∢ Y B A=180^{\circ}-∢ X A D-∢ X B C= \\ & =180^{\circ}-(∢ B A D-∢ X A B)-(∢ A B C-∢ X B A)= \\ & =\left[180^{\circ}-(∢ B A D+∢ A B C)\right]+(∢ X A B+∢ X B A)= \\ & =∢ A U B+\left(180^{\circ}-∢ A X B\right) \end{aligned} \] т.е.

(5)\[ ∢ A Y B=\varphi+\left(180^{\circ}-∢ A X B\right) . \]

Понеже точката \(X\) има перфектно изогонална, то \(∢ A X B+∢ D X C=180^{\circ}\) (от свойство 5). Тогава от равенство \((5)\) получаваме: \(∢ A Y B=\varphi+\left(180^{0}-∢ A X B\right)=\varphi+∢ D X C\), т.е. първото от равенства \((4)\) . Аналогично се доказва и второто.

Да означим с \(Y_{1}\) инверсно изогоналната точка на \(X\). Според едно от свойствата на инверсната изогоналност имаме:

(6)\[ ∢ A Y_{1} B=∢ D X C+\varphi, ∢ A X D=∢ B Y_{1} C+\psi . \]

От равенства \((4)\) и \((6)\) следват равенствата \(∢ A Y B=∢ A Y_{1} B\) и \(∢ B Y C=∢ B Y_{1} C\). Можем да заключим, че точките \(Y\) и \(Y_{1}\) лежат на дъга от окръжност с краища точките \(A\) и \(B\) и върху дъга от окръжност с краища точките \(B\) и \(C\). Освен точката \(B\) двете дъги имат само още една обща точка, следователно инверсно изогоналната точка \(Y_{1}\) на точката \(X\) съвпада с перфектно изогоналната ѝ точка \(Y\).

Свойство 7*. Нека \(X\) и \(Y\) са две инверсно изогонални точки в изпъкналия четириъгълник \(A B C D\). За да бъдат те перфектно изогонални, е необходимо и достатъчно да е изпълнено равенството \(∢ A X D+∢ B X C=180^{\circ}\).

Доказателство. Необходимостта на равенството \(∢ A X D+∢ B X C=180^{\circ}\) следва непосредствено от свойство 5. Нека равенството \(∢ A X D+∢ B X C=180^{\circ}\) е изпълнено. Тогава точката \(X\) има перфектно изогонална точка \(Y_{1}\) и съгласно доказаното свойство 7 това е същата инверсно изогонална точка \(Y\), т.е. точките \(X\) и \(Y\) са и перфектно изогонални.

Забележка 2. Горното свойство остава в сила и за точки \(X\) и \(Y\), лежащи извън четириъгълника, като равенството \(∢ A X D+∢ B X C=180^{\circ}\) се заменя с условията \(∢ A X B=∢ C X D\) и \(∢ A X D=∢ B X C\).

Ще се спрем на още едно интересно свойство на перфектно изогоналните точки в четириъгълника.

Свойство 8. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, а \(X_{1}\) и \(X_{2}\) са две перфектно изогонални точки спрямо него. Центровете \(O_{1}, O_{2}, O_{3}\) и \(O_{4}\) съответно на описаните окръжности на триъгълниците \(A B X_{1}, B C X_{2}\), \(C D X_{1}\) и \(A D X_{2}\) лежат на една окръжност.

Доказателство. Ще разгледаме случая, когато точките \(X_{1}\) и \(X_{2}\) са вътрешни за четириъгълника. Случаят, когато те са външни, се разглежда аналогично. Описаните окръжности на триъгълниците \(A B X_{1}, B C X_{2}\), \(C D X_{1}\) и \(A D X_{2}\) се пресичат в една точка \(Y\) (по теорема 4 от (Nenkov, Stefanov \& Haimov, 2017)) (фиг. 8). Понеже точката \(X_{1}\) има перфектно изогонална, то е изпълнено равенството \(∢ A X_{1} B+∢ C X_{1} D=180^{0}\) (от свойство 5). Същевременно имаме \(∢ A Y B=∢ A X_{1} B\) и \(∢ C Y D=∢ C X_{1} D\) (вписани ъгли). Следователно

(7)\[ ∢ A Y B+∢ C Y D=180^{\circ} . \]

От друга страна, е изпълнено \(O_{1} O_{4} \perp A Y \quad\) и \(\quad O_{1} O_{2} \perp B Y\). Тогава ъглите \(∢ O_{4} O_{1} O_{2}\) и \(∢ A Y B\) са с перпендикулярни рамене и \(∢ O_{4} O_{1} O_{2}=180^{\circ}-∢ A Y B\). Аналогично от \(O_{4} O_{3} \perp D Y\) и \(\mathrm{O}_{2} \mathrm{O}_{3} \perp \mathrm{CY} \quad\) следва, че \(\quad ∢ \mathrm{O}_{4} \mathrm{O}_{3} \mathrm{O}_{2}=180^{\circ}-∢ C Y D\). Като вземем предвид равенство \((7)\) , получаваме:

\[ \begin{aligned} & ∢ O_{4} O_{1} O_{2}+∢ O_{4} O_{3} O_{2}=\left(180^{\circ}-∢ A Y B\right)+\left(180^{\circ}-∢ C Y D\right)= \\ = & 360^{\circ}-(∢ A Y B+∢ C Y D)=180^{\circ} . \end{aligned} \]

Така се убеждаваме, че точките \(O_{1}, O_{2}, O_{3}\) и \(O_{4}\) лежат на една окръжност.

Ще завършим със следната

Забележка 3. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, продълженията на страните му \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), тези на страните \(A B\) и \(D C-\) в точка \(V\) (върхът \(C\) лежи между точките \(D\) и \(V\) и между точките \(U\) и \(B\) ) (фиг. 9). Означаваме \(∢ A U B=\varphi, ∢ A V D=\psi\). Правите, на които лежат страните на четириъгълника \(A B C D\), разделят равнината на 11 области, както е показано на фиг. 9.

Има основания да се смята, че е в сила следното твърдение: ако една точка в равнината на \(A B C D\) има перфектно изогонална, то тя лежи в една от защрихованите области I – V. По-точно, ако точката \(X_{1}\) лежи в областта I и перфектно изогоналната ѝ точка \(Y_{1}\) съществува, то тя лежи в областта III и са изпълнени равенствата \(∢ A X_{1} B=∢ C Y_{1} D+\varphi, ~ ∢ B X_{1} C=∢ A Y_{1} D+\psi, ~ ∢ C X_{1} D=∢ A Y_{1} B+\varphi\) и \(∢ D X_{1} A=∢ B Y_{1} C+\psi\). Обратно, ако точката \(Y_{1}\) лежи в областта III и има перфектно изогонална, то последната лежи в областта I и са изпълнени същите равенства. Ако точката \(X_{2}\) е от областта II, то перфектно изогоналната ѝ точка \(Y_{2}\) (ако последната съществува) лежи в областта IV и са изпълнени равенствата \(∢ A X_{2} B=∢ C Y_{2} D+\varphi, \quad ∢ B X_{2} C=∢ A Y_{2} D-\psi, \quad ∢ C X_{2} D=∢ A Y_{2} B+\varphi \quad\) и \(∢ D X_{2} A=∢ B Y_{2} C-\psi\). Обратно, ако точката \(Y_{2}\) е от областта IV, то перфектно изогоналната й точка \(X_{2}\) (ако последната съществува) лежи в областта II и са изпълнени същите равенства. Накрая, ако точката \(X\) лежи в областта V (т.е. вътре в четириъгълника), то перфектно изогоналната ѝ точка \(Y\) (ако последната съществува) лежи също в областта V и са изпълнени равенствата \(∢ A X B=∢ C Y D+\varphi\), \(∢ B X C=∢ A Y D-\psi, ∢ C X D=∢ A Y B-\varphi\) и \(∢ D X A=∢ B Y C+\psi\).

Към това ще добавим, че една точка \(X\) от областта V има перфектно изогонална тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството \(∢ A X B+∢ C X D=180^{\circ}\), а една точка \(X_{1}\) от областите I – IV – тогава и само тогава, когато са изпълнени равенствата \(∢ A X_{1} B \quad ∢ C X_{1} D\) и \(∢ A X_{1} D=∢ B X_{1} C\).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Haimov, H. (1999). Gauss line in the quadrilateral, Mathematics, 1, 11 – 16. [Хаимов, Х. (1999). Гаусова права на четириъгълник, Математика, 1, 11 – 16.]

Haimov, H. (2005). Brocardians of the quadrilateral. Mathematics and Informatics, 5, 15 – 22. [Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълника, Математика, 5, 15 – 22.]

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral, Mathematics Plus, 2, 28 – 50. [Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника, Математика плюс, 2, 28 – 51.]

Haimov, H. (2011). Lemoin point, Mathematics, 6, 4 – 13. [Хаимов, Х. (2011). Точка на Лемоан, Математика, 6, 4 – 13.]

Nenkov, V. (2010). The set of the centers of inscribed conics in a quadrilateral, Mathematics and Informatics, 4, 24 – 30. [Ненков, В. (2010). Множество на центровете на вписаните в четириъгълник конични сечения, Математика и информатика, 4, 24 – 30.]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2016). The pseudocenter and the orthocenter – notabler points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 6,

614 – 625. [Ненков, В., Ст. Стефанов & Х. Хаимов. (2016). Псевдоцентърът и ортоцентърът – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6, 614 – 625.]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2017). Geometry of the quadrilateral. Miquel point. Inverse isogonality, Mathematics and Informatics, 1, 81 – 94. [Ненков, В., Ст. Стефанов & Х. Хаимов. (2017). Геометрия на четириъгълника, точка на Микел, инверсна изогоналност, Математика и информатика, \(1,81-94\).]

Stefanov, S. (2017). Second peudocenter of quadrilateral, Mathematics and Informatics, 3, 261 – 270. [Стефанов, Ст. (2017). Втори псевдоцентър на четириъгълник, Математика и информатика, 3, 261 – 270.]

Georgieva, M. & S. Grozdev (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4^{\text {th }}\) ed.). Sofia: Publ. House “Iztok-Zapad”. (ISBN 978-619-152-8691). 327 pages [Георгиева, М. & С. Гроздев (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект (4-то изд.). София: Изток – Запад. (ISBN 978-619-152-869-1). 327 стр.]

Sergeeva, T., M. Shabanova & S. Grozdev (2014). Foundations of Dynamic Geometry. Moscow: ASOU. [Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE.