Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2017/6, стр. 626 - 640

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров
E-mail: mstoimirov@mail.bg
Faculty of Mathematics and Informatics
University of Veliko Tarnovo
3A Arh. G. Kozarev Blvd.
5000 Veliko Tarnovo Bulgaria
Ирина Вутова
E-mail: irinazv@abv.bg
Faculty of Mathematics and Informatics
University of Sofia
5 James Boucher Blvd.
1164 Sofia Bulgaria

Резюме: Предмет на статията е индуктивният подход за решаване на занимателни задачи, свързани с движение на светлинен лъч в правоъгълна галерия с огледални стени, в три от ъглите на която са поставени картини. Разгледани са редица случаи и са представени геометрични решения на три групи задачи. В резултат на геометрични построения са събрани данни (изследвани са галерии с различни размери), установени са закономерности и са формулирани изводи (хипотези). На основа на изведените заключения могат да бъдат прогнозирани траекторията на светлинния лъч, броят на неговите отражения и номерът на осветената картина. В методологическо отношение изследването е продължение на геометричния метод на Перелман за решаване на задачата на Поасон.

Ключови думи: picture; gallery; ray; reflection; rectangle; co-ordinate net; incomplete induction

1. Обща постановка на проблемната ситуация

Както е известно, основният инструмент в метода на Перелман (при решаване на задачата на Поасон) е „проследяване“ на траекторията на светлинен лъч, който се движи по късите диагонали на ромбоидна мрежа и се отразява от страните на успоредник с ъгъл от \(60^{0}\) (Lalchev, Varbanova \(\&\) Stoimirov, 2017). По време на подготовката на цитираната статия възникна любопитна идея (предложена от проф. Върбанова) – вместо в ромбоидна да се изследва траекторията на светлинен лъч в квадратна мрежа. Конкретизацията на идеята доведе до аналогична ситуация, свързана с „осветлението“ на картинна галерия с правоъгълна форма. Изследването на въпросната проблемна ситуация стана предмет на настоящата разработка.

И така, да предположим, че картинна галерия има формата на правоъгълник, чиито дължина и ширина са естествени числа, а страните на правоъгълника са огледални. В три от ъглите на правоъгълника са поставени картини. Галерията се осветява от светлинен лъч, който се пуска в правоъгълника през отвор през върха по ъглополовящата на четвъртия ъгъл. С други думи, лъчът сключва ъгъл от \(45^{0}\) със страните на правоъгълника, излизащи от същия връх. (Подобна ситуация възниква и при движението на топка в правоъгълна билярдна маса – (Jacobs, 1983). За краткост, в настоящото изследване описаната ситуация ще наричаме „Картинна галерия“.

За удобство да предположим, че правоъгълникът, който представя формата на галерията, е ориентиран успоредно на страните на страницата и да означим върховете му по следния начин: 1 – върха на долния ляв ъгъл, 2 – върха на долния десен ъгъл, 3 – върха на горния десен ъгъл, 4 – върха на горния ляв ъгъл. С други думи, правоъгълникът е означен с 1234.

Да предположим, че лъчът „влиза“ в галерията през върха на долния ляв ъгъл (1).

На фиг. 1 е показана траекторията на лъча в правоъгълник с размери \(1 \times 1\), т.е. в квадрат. Виждаме, че лъчът минава през квадрата, има две общи точки с контура (началото и края) и спира във върха на горния десен ъгъл (3).

Фигура 1

Също така да допуснем, че правоъгълникът е покрит с квадратна мрежа, съставена от единични квадрати, ориентирани успоредно на страните, а самият правоъгълник служи за контур на мрежата. Тъй като движението на лъча се определя от физичния закон, според който ъгълът на отражение е равен на ъгъла на падане, то лъчът ще се движи по диагоналите на квадратите на мрежата, при достигане на стена във вътрешна точка ще се отразява от стената под ъгъл \(45^{0}\) и ще спира в някои от върховете 2, 3 или 4.

За удобство да предположим, че правоъгълникът е разположен така, че връх 1 е в началото на правоъгълна координатна система О \(x y\), едната страна на правоъгълника е върху оста \(\mathrm{O} x\), а другата страна е върху оста \(\mathrm{O} y\) и правоъгълникът е разположен изцяло в първи квадрант.

На фиг. 2 е показана траекторията на светлинен лъч в правоъгълник с размери \(10 \times 7\).

Фигура 2

Лъчът минава през 70-те квадратчета на мрежата, отразява се 15 пъти от стените на правоъгълника и спира във върха на долния десен ъгъл (2).

На фиг. 3 е показана траекторията на светлинен лъч в правоъгълник с размери \(11 \times 9\).

Фигура 3

Лъчът минава през 99-те квадратчета на мрежата, отразява се 18 пъти от стените на правоъгълника и спира във върха на горния десен ъгъл (3).

На фиг. 4 е показана траекторията на светлинен лъч в правоъгълник с размери \(9 \times 12\).

Фигура 4

Лъчът минава само през 36 от 108-те квадратчета на мрежата, отразява се 5 пъти от „стените“ на правоъгълника и спира във върха на горния ляв ъгъл (4).

От показаните случаи става ясно, че:

1) светлинният лъч спира във връх на някои от трите ъгъла на правоъгълника – долен десен (2), горен десен (3) или горен ляв (4);

2) светлинният лъч може да пресича всичките квадратчета на мрежата или да пресича само част от квадратчетата на мрежата;

3) светлинният лъч се отразява във всяка вътрешна „целочислена“ точка от „стените“ на правоъгълника или само в някои от тях, т.е. в едни от случаите светлинният лъч има толкова отражения, колкото са вътрешните целочислени точки на „стените“, а в други случаи има по-малко отражения.

2. Задачи, породени от ситуацията „Картинна галерия“

След като представихме общата постановка, можем да формулираме по-точно три от задачите (въпросите), които възникват от ситуацията „Картинна галерия“.

1) Ако са известни размерите (дължината и широчината) на картинната галерия, то бихме ли могли да предвидим (без да построяваме траекторията на лъча) коя от картините ще бъде осветена (до кой от ъглите ще достигне лъчът)? Ако това предвиждане е възможно, как то може да бъде направено?

2) Ако са известни размерите (дължината и широчината) на картинната галерия, то бихме ли могли да предвидим (без да построяваме траекторията на лъча) колко пъти лъчът ще се отрази от стените на галерията, докато достигне съответната картината? Ако това предвиждане е възможно, как то може да се направи?

3) Ако си представим картинната галерия като квадратна мрежа, съставена от единични квадратчета (квадратчета с дължина на страната 1), можем ли да предвидим броя на квадратчетата, през които ще премине лъчът, докато достигне съответната картина? Ако това предвиждане е възможно, как то може да се направи?

3. Предварителна подготовка за изследване на ситуацията „картинна галерия“. Елементарен правоъгълник

От случаите, които бяха разгледани в точка 1, се вижда, че в ситуацията „картинна галерия“ траекторията на лъча е доста „непредсказуема“ и отговорите на възникващите въпроси не са „очевидни“. За да достигнем до тях, ще направим експериментално изследване и ще приложим метода на непълната индукция.

Отначало допускаме, че траекторията на лъча зависи от формата на галерията.

Изглежда естествено, че при галерии с различни размери, но с еднаква форма (подобни правоъгълници), траекториите имат също една и съща форма и лъчът спира съответно във връх на един и същ ъгъл.

Да проверим нашето предположение. За целта да разгледаме четири правоъгълника, които са с различни размери, но имат еднаква форма, т.е. правоъгълниците са подобни. Ще използваме, че подобните правоъгълници имат едно и също отношение на широчината и дължината. В случая отношението на мерните числа на размерите \(22: 3\).

Правоъгълниците и траекториите на лъча са представени на фиг. 5.

Правоъгълникс размери 2х3х= 2,у= 3Правоъгълникс размери 4х6х= 4,у= 6Правоъгълникс размери 6х9х= 6,у= 9Правоъгълникс размери 8х12х= 8,у= 12

Фигура 5

От фиг. 5 става ясно, че траекториите и в четирите случая са подобни и лъчът спира във връх на един и същ ъгъл. В случая това е долният десен ъгъл (2).

Този опит ни дава основание при търсене на траекторията на лъча и ъгъла на спиране да „редуцираме“ правоъгълника (без да нарушаваме подобността) така, че да получим възможно „най-простия“ правоъгълник, подобен на първоначалния. Този правоъгълник ще наричаме елементарен. Ясно е, че елементарен правоъгълник е правоъгълник, на който дължината и широчината са взаимно прости числа. Всеки правоъгълник може да бъде „редуциран“ (в рамките на подобността) до елементарен. И това може да се постигне, като размерите \(x\) и \(y\) на първоначалния правоъгълник бъдат разделени съответно на техния най-голям общ делител. С други думи, ако \(x\) и \(y\) са размерите на първоначалния правоъгълник, а \(x_{1}\) и \(y_{1}\) са съответно размерите на елементарния правоъгълник, подобен на първоначалния, то

\[ x_{1}=x: \text { НОД }(x, y) \text { и } y_{1}=y: \text { НОД }(x, y) . \]

В случая с правоъгълник \(2 \times 3\) не е възможно „редуциране“, защото числата 2 и 3 са взаимно прости, т.е. НОД \((2,3)=1\), което означава, че правоъгълникът е елементарен.

В случая с правоъгълник 4х6 е възможно „редуциране“, защото числата 4 и 6 не са взаимно прости (НОД \((4,6)=2\) ), което означава, че правоъгълникът не е елементарен. За да се достигне до елементарен, подобен на дадения, е необходимо размерите на правоъгълника да бъдат разделени на числото 2, т.е. размерите на „редуцирания“ правоъгълник ще са съответно 2 и 3.

По аналогичен начин се разсъждава и в случая с правоъгълник \(6 \times 9\), както и в случая с правоъгълник \(8 \times 12\).

Коментар. От горните разсъждения достигаме до извода, че при търсене на решения на задачите за картинната галерия е целесъобразно изследването отначало да се съсредоточи върху множеството на елементарните правоъгълници, т.е. в множеството на правоъгълници, на които широчината и дължината са взаимно прости числа.

4. Траектории на светлинния лъч в елементарни правоъгълници

На фигурите 6а, 6б, 6в, 6г, 6д и 6е са показани траекториите на светлинен лъч в елементарни правоъгълници с размери съответно: \(7 \mathrm{x} 1,7 \mathrm{x} 2,7 \mathrm{x} 3,7 \mathrm{x} 4,7 \mathrm{x} 5\) и 7 x 6.

Правоъгълник с размери 7х1

Фигура 6а

Правоъгълник с размери 7х2

Фигура 6б

Правоъгълник с размери 7х3

Фигура 6в

Правоъгълник с размери 7х4

Фигура 6г

Правоъгълник с размери 7х5

Фигура 6д

Правоъгълник с размери 7х6

Фигура 6е

На фигури 7а, 7б, 7в и 7г са показани траекториите на светлинен лъч в елементарни правоъгълници с размери съответно: \(8 \times 1,8 \times 3,8 \times 5,8 \times 7\).

Правоъгълник с размери 8х1

Фигура 7а

Фигура 7б

Правоъгълник с размери 8х5

Фигура 7в

Правоъгълник с размери 8х7

Фигура 7г

На фигурите 8а, 8б, 8в, 8г, 8д и 8е са показани траекториите на светлинен лъч в елементарни правоъгълници с размери съответно: \(9 \times 1,9 \times 2,9 \times 4,9 \times 5,9 \times 7\) и \(9 \times 8\).

Правоъгълник с размери 9х1

Фигура 8а

Фигура 8б

Правоъгълник с размери 9х4

Фигура 8в

Правоъгълник с размери 9х5

Фигура 8г

Правоъгълник с размери 9х7

Фигура 8д

Правоъгълник с размери 9х8

Фигура 8е

Да разгледаме представените фигури и да систематизираме резултатите.

На първо място, да потърсим номера на ъгъла, до който светлинният лъч достига. За целта и за по-голяма прегледност нека подредим в таблица точките, в които светлинният лъч спира своето движение.

Таблица за точките на спиране на светлинния лъч

Долен десен ъгъл (2)Горен ляв ъгъл (4)Горен десен ъгъл (3)ФигураРазмериФигураРазмериФигураРазмери7а7б7в7г8х18х38х58х76б6г6е8б8в8е7х27х47х69х29х49х86а6в6д8а8г8д7х17х37х59х19х59х7

От таблицата за точките на спиране на светлинния лъч могат да с направят следните изводи.

1) Светлинният лъч спира в долния десен ъгъл (2) на тогава, когато размерът \(x\) (по оста \(\mathrm{O} x\) ) е четно число и размерът \(y\) (по оста Оу) е нечетно число.

2) Светлинният лъч спира в горния ляв ъгъл (4) на правоъгълника то гава, когато размерът \(y\) (по оста \(\mathrm{O} y\) ) е четно число и размерът \(x\) (по оста \(О x)\) е нечетно число.

3) Светлинният лъч спира в горния десен ъгъл (3) на правоъгълник тогава, когато и двата размера \(x\) и \(y\) (дължината и ширината) са нечетни числа.

На второ място, ще потърсим закономерност за броя \(n\) на квадратчетата, през които минава светлинният лъч, докато достигне точката спиране.

От фигурите се вижда, че във всички случаи лъчът минава през всич ките квадратчета на правоъгълника. Нека тази информация отново таблично.

Таблица за броя на квадратчета, през които минава лъчът

Фигура6а6б6в6г6д6е7а7б7в7г8а8б8в8г8д8еРазмери71727374757681838587919294959798Брой (n)квадратчета71421283542824405691836456372

От таблицата може да се направи извод.

Броят \(n\) на квадратчетата, през които минава лъчът, е равен на произведението на мерните числа \(x\) и \(y\) на правоъгълника, т.е.

\[ n=x . y \]

На трето място, ще потърсим закономерност за броя N на точките, в които лъчът се отразява, докато достигне точката на спиране.

Нека отново представим информацията таблично.

Таблица за броя на точките, в които лъчът се отразява

Фигура6а6б6в6г6д6е7а7б7в7г8а8б8в8г8д8еРазмери71727374757681838587919294959798Брой (N) наотраженията678910117911138911121415

От таблицата може да се направи извод.

Броят N на точките, в които лъчът се отразява, докато достигне до крайната точка, e равен на сбора от мерните единици на размерите на правоъгълника, намален с числото 2, т.е.

\[ \mathbf{N}=x+y-2 . \]

5. Траектории на светлинния лъч в правоъгълници, които не са елементарни

На фигури 9а и 9б са показани траекториите на светлинния лъч съответно в правоъгълник с размери \(12 \times 9\) и в неговия редуциран вариант – елементарен правоъгълник с размери \(4 \times 3\).

Правоъгълник с размери 12х9Правоъгълник с размери 4х3

Фигура 9а Фигура 9б

От фигурите 9а и 9б се вижда, че:

1) и в двата правоъгълника светлинният лъч има еднакви траектории и спира в една и съща точка (което впрочем се очакваше). В случая крайната точка на лъча е върхът на долния десен ъгъл (2);

2) броят \(n\) на квадратчетата, през които лъчът преминава в правоъгълника \(12 \times 9\), е 36, а \(n_{1}\) на квадратчетата в правоъгълника \(4 \times 3\) е 12. Числото 36 е най-малкото общо кратно на числата 12 и 9 (както и числото 12 е най-малкото общо кратно на числата 4 и 3). С други думи, \(n=\operatorname{HOK(12,~9)~и~}\) \(n_{1}=\operatorname{HOK}(4,3) ;\)

3) броят N на точките на отражение на лъча от страните на правоъгълника \(12 \times 9\) е равен на броя N1 на броя \(\mathrm{N}_{1}\) на точките на отражение на лъча от страните на правоъгълника \(4 \times 3\). С други думи \(\mathrm{N}=\mathrm{N}_{1}\). В случая \(\mathrm{N}=\mathrm{N}_{1}=5\).

(При това \(5=4+3-2\), т.е. \(\mathrm{N}=x_{1}+y_{1}-2\), където \(x_{1}\) и \(y_{1}\) са размерите на елементарния правоъгълник, подобен на първоначалния.)

На фигури 10а и 10б са показани траекториите на светлинния лъч съответно в правоъгълник с размери 20х16 и в неговия редуциран вариант – елементарен правоъгълник с размери \(5 \times 4\).

Правоъгълник с размери 20х16

Фигура 10а

Правоъгълник с размери 5х4

Фигура 10б

От фигурите 10а и 10б се вижда, че:

1) и в двата правоъгълника светлинният лъч има еднакви траектории и спира в една и съща точка (което впрочем се очакваше). В случая крайната точка на лъча е върхът на горния ляв ъгъл (4);

2) броят \(n\) на квадратчетата, през които лъчът преминава в правоъгълника 20х16, е 80, а n16, е 80, а \(n_{1}\) на квадратчетата в правоъгълника 5х4 е 20. Числото 80 е най-малкото общо кратно на числата 20 и 16 (както и числото 20 е най-малкото общо кратно на числата 5 и 4). С други думи \(n=\operatorname{HOK}(20,16)\) и \(n_{1}=\operatorname{HOK}(5,4)\);

3) броят N на точките на отражение на лъча от страните на правоъгълника 20х16 е равен на броя \(\mathrm{N}_{1}\) на точките на отражение на лъча от страните на правоъгълника 5 x 4. С други думи \(\mathrm{N}=\mathrm{N}_{1}\). В случая \(\mathrm{N}=\mathrm{N}_{1}=7\).

(При това \(7=5+4-2\), т.е. \(\mathrm{N}=x_{1}+y_{1}-2\), където \(x_{1}\) и \(y_{1}\) са размерите на елементарния правоъгълник, подобен на първоначалния).

На фигури 11а и 11б са показани траекториите на светлинния лъч съответно в правоъгълник с размери \(14 \times 10\) и в неговия редуциран вариант – елементарен правоъгълник с размери \(7 \times 5\).

От фигурите 11а и 11б се вижда, че:

1) и в двата правоъгълника светлинният лъч има еднакви траектории и спира в една и съща точка (което впрочем се очакваше). В случая крайната точка на лъча е върхът на горния десен ъгъл (3);

2) броят \(n\) на квадратчетата, през които лъчът преминава в правоъгълника \(14 \times 10\), е 70, а \(n_{1}\) на квадратчетата в правоъгълника \(7 \times 5\) е 35. Числото 70 е най-малкото общо кратно на числата 14 и 10 (както и числото 35 е най-малкото общо кратно на числата 7 и 5). С други думи \(n=\operatorname{HOK(14,10)}\) и \(n_{1}=\operatorname{HOK(7,5)}\);

3) броят N на точките на отражение на лъча от страните на правоъгълника \(14 \times 10\) е равен на броя \(\mathrm{N}_{1}\) на точките на отражение на лъча от страните на правоъгълника \(7 \times 5\). С други думи \(\mathrm{N}=\mathrm{N}_{1}\). В случая \(\mathrm{N}=\mathrm{N}_{1}=10\).

(При това \(10=7+5-2\), т.е. \(\mathrm{N}=x_{1}+y_{1}-2\), където \(x_{1}\) и \(y_{1}\) са размерите на елементарния правоъгълник, подобен на първоначалния.)

Правоъгълник с размери 14х10

Фигура 11а

Правоъгълник с размери 7х5

Фигура 11б

Коментар

1) От направените разсъждения се достига до извода, че при решаване на задачите за траекторията на светлинния лъч в правоъгълник, който не е елементарен, е целесъобразно отначало правоъгълникът да бъде „редуциран“ до елементарен. По този начин се намират решенията на задачата за крайната точка на лъча и задачата за броя на отраженията – първа и трета задача.

2) Втората задача – за броя на квадратчетата, през които минава лъчът, докато достигне крайната точка, се решава чрез намиране на най-малкото общо кратно на мерните числа на правоъгълника.

6. Още един вариант на алгоритъма за предвиждане на траекторията на светлинния лъч

Крайната точка от траекторията на светлинния лъч в правоъгълник, който не е елементарен, може да бъде предвидена и без да се прави „редукция“ на правоъгълника до елементарен. След като се вземат предвид някои съображения, свързани с четността на мерните числа на дължината и широчината на правоъгълника и удвоения най-голям общ делител на тези числа, се достига до извода, че:

1) лъчът ще достигне върха на долния десен ъгъл (2) тогава и само тогава, когато при делението на числото \(x\) на удвоения НОД(\(\mathrm{x}, \mathrm{y}\) ) се получава цяло число, т.е. числото \(x\) е кратно на удвоения най-голям общ делител на числата \(x\) и \(y\);

2) лъчът ще достигне върха на горния десен ъгъл (3) тогава и само тогава, когато при делението на числото \(x\) и на числото \(y\) на удвоения НОД(\(\mathrm{x}, \mathrm{y}\) ) не се получава цяло число, т.е. числата \(x\) и \(y\) не са кратни на своя удвоен най-голям общ делител. Като частен случай, може да се каже, че ако броят на квадратите по дължина и по широчина са две взаимно прости нечетни числа, то лъчът ще достигне до горния десен ъгъл (3);

3) лъчът ще достигне върха на горния ляв ъгъл (4) тогава и само тогава, когато при делението на числото \(y\) на удвоения НОД \((x, y)\) се получава цяло число, т.е. числото \(y\) е кратно на удвоения най-голям общ делител на числата \(x\) и \(y\).

7. Заключителни бележки

В настоящата разработка учителят може да открие конкретен за дидактическо представяне на метода на непълната индукция при прила гане на изследователски подход в обучението по математика. Темата мо да намери място в курсовете по занимателна математика за студенти – бъ дещи учители.

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Jacobs, H. (1983). For all who think they don’t like mathematics. Sofia: Nauka i Izkustvo. [Джейкъбз, Х. (1983). За всички, които мислят, че не обичат математиката. София: Наука и изкуство].

Grozdev, S. (2013). Synergetic strategies in problem solving. The synergetic approach in Higher education on examples from the Didactics of mathematics. VelikoTarnovo: Slovo. [Гроздев, С. (2013). Синергетични стратегии за решаване на задачи. Синергетичният подход във висшето образование върху примери от „Дидактика на математиката“. Велико Търново: Слово].

Lalchev, Z., Varbanova, M. & Stoimirov, M. (2017). Poisson’s amusing problems and Perelman’s method for their solution and study. Mathematics and Informatics, 1. 17 – 49. [Лалчев, З., Върбанова, М. & Стоимиров, М. (2017). Занимателните задачи на Поасон и методът на Перелман за тяхното решаване и изследване. Математика и информатика, 1. 17 – 49].

Lalchev, Z. (2009). Mathematics in problems and methods. Book I for the primary school teacher. Sofia: St. Climent Ohridski. [Лалчев, З. (2009). Математика в задачи и методи. Книга I за учителя в началните класове. София: Св. Климент Охридски].

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.