Математика и Информатика
Вход / Регистрация

https://doi.org/10.53656/math2023-5-8-sel

2023/5, стр. 534 - 542

ИЗБОР И ОБОСНОВКА НА ПОКАЗАТЕЛИ ЗА СРАВНИТЕЛЕН АНАЛИЗ НА НИСКОРЕСУРСНИ ШИФРИ

Диляна Димитрова
OrcID: 0000-0001-9950-5620
WoSID: AES-8463-2022
E-mail: di.dimitrova@naval-acad.bg
Nikola Vaptsarov Naval Academy
73 Vasil Drumev St.
Varna Bulgaria

Резюме: Основната цел на статията е подбор на показатели за оценка и анализ на нискоресурсни шифри с различна структура и принцип на работа, които да послужат при последващ сравнителен анализ на избрани шифри, финалисти в конкурса на NIST за нов нискоресурсен криптографски алгоритъм. Използвани методи: сравнителен анализ и обобщение. Въз основа на направеното проучване са подбрани два типа показатели – за оценка на възможностите на шифрите и за оценка на софтуерната им ефективност. Първият тип показатели е приложен върху представители на две семейства нискоресурсни шифри, като се установява кои имат по-добри характеристики.

Ключови думи: нискоресурсни алгоритми; показатели; сравнителен анализ

1. Въведение

Малките устройства от Интернет на нещата (Internet of Things, IoT) навлизат все повече във всекидневния ни живот. С това се появява и проблемът със защитата на предаваната от тях информация. Засиленото им използване води до повишена опасност от кибератаки. Техните слабости крият голям риск за потребителите и опазването на личната им информация. За да бъдат IoT устройствата по-защитени, трябва да се използват подходящи криптографски алгоритми, които да не натоварват устройството допълнително, тъй като то е ограничено откъм ресурси, но в същото време да са достатъчно надеждни.

За решаването на изброените проблеми се налага разработването на нови криптографски алгоритми, които да покриват изискванията на тези устройства. За тази цел NIST (National Institute of Standards and Technology) организира конкурс за нов криптографски алгоритъм. В периода 2019 – 2021 г. се провеждат два кръга. В първия1 участват 57 кандидати, до втория са допуснати 32. Вторият кръг приключва през март 2021 г., когато са обявени финалистите в конкурса. През месец февруари 2023 г. е избрано семейство от нови криптографски алгоритми1 ASCON, което предстои да бъде стандартизирано от NIST. Въпреки това проучването и анализът им са от съществено значение за бъдещи изследвания. Затова трябва да бъдат подбрани подходящи показатели за сравнение.

Настоящото изследване може да бъде полезно на изследователи в областта на криптографията и криптоанализа, на киберспециалисти, може да послужи като референтен източник и информационен ресурс на специалисти в изброените области, както и на хора, занимаващи се със сигурност на IoT.

2. Актуалност на проблема

За настоящото изследване са проучени спецификации на нови нискоресурсни криптографски алгоритми, публикувани на официалния сайт на NIST. Изследвани са научни статии и доклади, публикувани в периода 2018 – 2023 г. Използвани са ключови думи: lightweight algorithms, NIST, comparative analysis, finalists, criteria, IoT.

Терминът, който се използва за новите криптографски алгоритми, приложими в устройствата с ограничени ресурси, на английски език е “lightweight”. В българския език няма наложено понятие, което да съответства на него, затова в настоящата публикация ще бъдат използвани думата „нискоресурсен“ и нейните производни. Тя най-точно описва целите на тези шифри.

Основната цел на проучването е да се подберат показатели за оценка и анализ на нискоресурсни шифри с различна структура и принцип на работа, които да послужат при последващ сравнителен анализ на избрани шифри, финалисти в конкурса на NIST.

В съществуващите литературни източници по темата са правени сравнителни анализи между различни нискоресурсни криптографски алгоритми. В проучването (Sehrawat et al. 2019) са описани показатели за сравнение на такива алгоритми в зависимост от софтуерната и хардуерната им имплементация. В него не са разгледани представители от финалистите в конкурса на NIST. В (Rushad et al. 2022) е представен анализ на някои от по-новите криптографски примитиви. Той се базира на дизайна, сигурността и производителността им. В отчет на NIST (Turan et al. 2023) са представени резултатите от конкурса за нов нискоресурсен криптографски алгоритъм. В (Madushan et al. 2022) са разгледани финалистите, представени са техни спецификации и различни атаки срещу тях. Въпреки направените изследвания могат да бъдат използвани и допълнителни показатели, с които да се направят по-подробен анализ и оценка на възможностите на нискоресурсните шифри.

От направения литературен обзор може да се заключи, че в зависимост от целта на изследването са използвани различни показатели за сравнение. Въпреки това не се наблюдават много проучвания върху финалистите от конкурса за нов нискоресурсен криптографски алгоритъм на NIST. Липсва цялостен сравнителен анализ на възможностите на тези шифри.В настоящото проучване е предложен набор от показатели, който може да се приложи за сравнителен анализ на шифри с различна структура и принцип на работа.

В изследвания период не са открити публикации на български език по темата.

3. Необходимост от използване на нискоресурсни шифри

При използването на IoT устройства конвенционалните криптографски методи, като световния стандарт AES, хеш-функции, като SHA-256, MD5, както и други методи за криптографска сигурност, като RSA, не работят оптимално върху системи с ограничени възможности на изчисленията и капацитет на паметта. Използването на познатите криптографски алгоритми върху IoT или вградени (embedded) устройства не е оптимален вариант, тъй като изискват повече изчислителна мощ. Те заемат твърде много физическо място и консумират прекалено много захранване.

Поради малките си размери и специфичното си приложение повечето IoT устройства не разполагат с изчислителните възможности на сървър или персонален компютър, затова за нискоресурсната криптография се въвеждат специални изисквания и ограничения, свързани с размера, консумацията и скоростта на обработка на данни. Задължителните изисквания, които трябва да се вземат под внимание при проектирането на нискоресурсен криптографски алгоритъм са размер, включващ обем на интегралната схема и количество използвана ROM и RAM памет, мощност, консумация на енергия, скорост на обработка на данни2.

Автентикационно шифриране със свързани данни (AEAD). Много кр иптографски приложения изискват както конфиденциалност, така и автентикация на своите съобщения. Постигането на тази проверка се извършва с добавяне на допълнителни контролни тагове (MAC – Message Authentication Codes), които показват дали данните са били променяни2. Много съвременни приложения използват тези два метода – шифриране и MAC код, за да постигнат конфиденциалност и цялостност на данните. За съвременните шифри се наложи идеята за тяхното комбиниране в един общ модел, който да предоставя необходимата криптографска сигурност. Той цели да се улесни и стандартизира процесът на създаване на нови криптографски алгоритми. Използваният механизъм е известен като Authenticated Encryption with Associated Data (AEAD)2. Той разполага с всички необходими елементи за справяне с проблема, свързан със сигурността и запазване целостта на данните. На български език няма наложен превод на AEAD. В настоящата публикация ще бъде използвано автентикационно шифриране със свързани данни.

Криптографските алгоритми, следващи AEAD схемата за реализация, изпълняват две основни процедури – автентикационно шифриране и автентикационно дешифриране. Процесът по шифриране генерира шифротекст на база подадените му от потребителя секретен ключ – K, уникално число (nonce) – N, открит текст – P, и свързани данни – A (Bozhko 2023). При извършване на обратния процес – дешифриране на шифротекста, въз основа на получените стойности след процедурата по дешифриране AEAD алгоритъмът може да генерира два изходни резултата. Единият е успешно дешифриран текст P, а другият може да бъде специален символ, показващ наличие на грешка, когато са открити компрометирани данни след дешифрирането.

4. Показатели за сравнителен анализ на нискоресурсни шифри

Показателите, които могат да се използват за сравнителен анализ и оценка на един криптографски алгоритъм, могат да обхващат различни аспекти, като софтуерна и хардуерна производителност, устойчивост срещу различни атаки и други. В настоящото проучване са подбрани показатели, целящи оценка на възможностите на новите криптографски алгоритми и софтуерната им ефективност. Те могат да се използват за сравнение на нискоресурсни шифри с различна структура и принцип на работа. По този начин могат да се направят по-обхватно проучване и сравнителен анализ на характеристиките им и да се оцени тяхната приложимост в Интернет на нещата.

Показатели, оценяващи възможностите на криптографските алгоритми

За анализ на възможностите на нискоресурсни криптографски алгоритми се предлагат следните показатели:

AEAD – дали криптографският алгоритъм поддържа автентикационно шифриране със свързани данни;

ниво на сигурност – силата на алгоритъма за криптиране се измерва в битове на базата на анализи, предоставени в спецификациите на всеки криптографски алгоритъм, който е тестван срещу различни видове атаки;

размер на ключа – размер на криптографския ключ, използван от шифъра;

уникално число (nonce) – стойност, която се използва само веднъж при криптиране или подписване на данни; нейната цел е да осигури уникалност и непредсказуемост, което помага за предотвратяване на атаки върху криптографските схеми;

таг – малък блок от данни, който се извлича от открития текст или шифротекста по време на процедурите шифриране и дешифриране, като се използва за целите на удостоверяването и проверката на целостта на данните;

изграждащ блок – примитив, който формира основата на криптографския алгоритъм;

режим на работа – определя как шифърът обработва данните, и задава правила за криптиране и декриптиране.

Показатели за софтуерна ефективност

Метриките, които могат да се използват за оценка на софтуерната производителност (Renner et al. 2023), са:

време за изпълнение – средното време за генериране на тестов вектор; измерва се в микросекунди;

размер на кода – размер на компилирания код в байтове;

използвана RAM памет – измервана в байтове.

5. Приложение на показателите, оценяващи възможностите на криптографските алгоритми

За сравнение в настоящото проучване са избрани ASCON и Elephant, финалисти в конкурса на NIST.

ASCON е семейство от нискоресурсни автентикационни алгоритми за криптиране и хеширане. Избран е за победител в конкурса на NIST през февруари 2023 г. и очаква стандартизация. Разработен е през 2014 г. и е финалист в състезанието CAESAR (Competition for Authenticated Encryption: Security, Applicability, and Robustness)4 през 2019 г. Дизайнът му е базиран на т. нар. „sponge“ конструкция – режим на работа, който се основава на пермутация с фиксирана дължина и на правило, което изгражда функция, преобразуваща вход с променлива дължина в изход с променлива дължина. Семейството ASCON включва 7 криптографски алгоритъма. Някои от тях са шифрите Ascon-128 и Ascon-128a и хеш-функцията Ascon-Hash (Dobraunig et al. 2021). Екипът на ASCON предлага още една разновидност на шифъра – ASCON-80pq, която цели по-голяма устойчивост срещу атаките за квантово възстановяване на ключа. Разгледаните представители от семейство ASCON използват „Duplex“ конструкциятa (Bertoni et al. 2019). Чрез използването ѝ автентикационното шифриране изисква само едно извикване на основната пермутация на блок от съобщението. Входните блокове на конструкцията се използват за въвеждане на ключа и блоковете на съобщението, междинните изходни блокове – като ключов поток, а последният – като MAC.

Elephant е автентикационна схема за криптиране, която използва конструкцията „encrypt-then-MAC“. При нея откритият текст първо се шифрира, след което се създава MAC на базата на получения шифротекст. Тя има три разновидности – Dumbo, Jumbo и Delirium. Размерът на блока на всяка от тях е съответно 160 бита, 176 бита и 200 бита. Първите две се основават на примитива Sponget hashing (Bogdanov et al. 2013). Третата се базира на примитива Keccak (Bertoni et al. 2019). Той предлага паралелен режим на работа, позволяващ ефективна обработка на множество блокове едновременно (Beyne et al. 2021).

Таблица 1. Сравнение между ASCON и Elephant

ФиналистПоказателиASCONElephantAEADДаДаРазновидностиASCON-128ASCON-128aASCON-80pqDumboJumboDeliriumНиво насигурност[битове]128128128112127127Размер наключа [битове]128128160128128128Уникално число(Nonce) [битове]128128128969696Таг [битове]1281281286464128ИзграждащблокASCONPermutationSpongent-π[160]Spongent-π[176]KECCAK-f [200]Режим наработаDuplexEncrypt-then-MAC

В таблица 1 е показано сравнение между шифрите от семействата ASCON и Elephant, финалисти в конкурса за нов нискоресурсен криптографски алгоритъм на NIST. От него се вижда, че всеки един от тях поддържа AEAD схемата на реализация. Нивото на сигурност е в диапазона от 112 до 128 бита. Счита се, че стойност 128 бита осигурява необходимото ниво на сигурност срещу класически атаки. От това може да се заключи, че представителите на ASCON предлагат по-добра защита в сравнение с тези на Elephant и са по-устойчиви срещу тях. От таблицата може да се получи информация за основните параметри на разгледаните шифри – размер на ключа, уникално число и таг. В нискоресурсната криптография те са от ключово значение за постигане на необходимото ниво на сигурност при ограничени ресурси и обмен на данни. Размерът на ключа на всички представители е 128 бита, което покрива минималната препоръчителна дължина на ключа в съвременните шифри. Изключение прави шифърът ASCON-80pq, който използва ключ с дължина 160 бита.

Разглежданите криптографски алгоритми използват различни режими на работа и изграждащи блокове. Режимите включват Duplex и Encrypt-thenMAC и определят как се извършват процедурите за шифриране и дешифриране на всеки шифър. Изграждащите блокове са ASCON Permutation, Spongent-π и KECCAK-f. Те са основни компоненти в дизайна на шифрите и играят важна роля за гарантиране на тяхната сигурност. Може да се заключи, че въпреки различните изграждащи блокове и режими на работа целта им остава една и съща – адаптиране към различни изисквания и цели на използване, докато се оптимизира производителността и се гарантира ефективно и сигурно криптиране на данните в различни среди с ограничени ресурси.

6. Изводи

1. Подбрани са основни показатели, чрез които може да се получи по-подробна представа за възможностите на новите нискоресурсни шифри с различна структура и принцип на работа.

2. Първата група показатели са приложени в сравнителен анализ на шифри от две семейства криптографски алгоритми – ASCON и Elephant. Резултатите от него показват, че представителите на ASCON представят по-добри резултати.

3. AEAD схемите за автентикация предлагат нов модел за проектиране и изграждане на криптографските алгоритми. Възможността за комбиниране на конфиденциалност и автентикация на данните в един криптографски механизъм позволява да се осигурят сигурност, надеждност и бързина при обработката на информация от съвременните криптографски алгоритми.

Благодарности и финансиране

Това изследване е подкрепено от Министерството на образованието и науката по Националната програма „Млади учени и постдокторанти 2“.

Acknowledgments & Funding

This research is supported by the Bulgarian Ministry of Education and Science under the National Program “Young Scientists and Postdoctoral Students 2|.

БЕЛЕЖКИ

1. NIST, 2023. Lightweight Cryptography | CSRC. [online]. July 2023. [Accessed

14 July 2023]. Available from:

https://web.archive.org/web/20230713221829/https://csrc.nist.gov/Projects/lightw eight-cryptography

2. NIST, 2018. Submission Requirements and Evaluation Criteria for the

Lightweight Cryptography Standardization Process. [online], [Accessed 12 January

2023]. Available from: https://csrc.nist.gov/Projects/Lightweight-Cryptography

3. FORTINET, 2023. What Is a Message Authentication Code (MAC)? . [online].

27 March 2023. [Accessed 3 April 2023]. Available from:

https://web.archive.org/web/20230327125230/https://www.fortinet.com/resources /cyberglossary/message-authentication-code

4. CAESAR, 2023. Crypto competitions: CAESAR submissions. [online]. 26 May

2023. [Accessed 1 June 2023]. Available from:

https://web.archive.org/web/20230526184909/https://competitions.cr.yp.to/caesar

-submissions.html

ЛИТЕРАТУРА

BERTONI, G. et al., 2019. Keccak Team. [online]. 2019. [Accessed 5 February 2023]. Available from: https://keccak.team/sponge_duplex.html

BEYNE, T. et al., 2021. Elephant v2 Specification. NIST [online], [Accessed 13 April 2023]. Available from: https://csrc.nist.gov/CSRC/media/Projects/lightweight

cryptography/documents/finalist-round/updated-spec-doc/elephant-spec

final.pdf

BOGDANOV, A. et al., 2013. SPONGENT: The design space of lightweight cryptographic hashing. IEEE Transactions on Computers, vol. 62, no. 10, pp. 2041 – 2053. DOI 10.1109/TC.2012.196.

BOZHKO, A.A., Ed., 2023. Properties of AEAD algorithms. [online]. 10 March 2023. [Accessed 16 June 2023]. Available from: https://www.ietf.org/id/draftirtf-cfrg-aead-properties-01.html#name-aead-algorithms

DOBRAUNIG, Ch. et al., 2021. Ascon v1.2. Submission to NIST. [online], [Accessed 10 May 2023]. Available from: https://ascon.iaik.tugraz.at

MADUSHAN, H. et al., 2022. A Review of the NIST Lightweight Cryptography Finalists and Their Fault Analyses. Electronics, Vol. 11, Page 4199 [online], vol. 11, no. 24, pp. 4199. [Accessed 10 April 2023]. DOI 10.3390/ELECTRONICS11244199.

RENNER, S. et al., 2023. NIST LWC Software Performance Benchmarks on Microcontrollers. [online]. 4 June 2023. [Accessed 5 June 2023]. Available from: https://web.archive.org/web/20230604174109/https://lwc.las3.de/

RUSHAD, M. et al., 2022. Resource-Aware Cryptography: An Analysis of Lightweight Cryptographic Primitives. SN Computer Science [online], vol. 3, no. 1. [Accessed 6 June 2023]. DOI 10.1007/S42979-021-00984Z.

SEHRAWAT, D. et al., 2019. Comparative Analysis of Lightweight Block Ciphers in IoT-Enabled Smart Environment. 6th International Conference on Signal Processing and Integrated Networks, SPIN 2019, pp. 915 – 920. DOI 10.1109/SPIN.2019.8711697.

TURAN, M.S. et al., 2023. NIST Internal Report NIST IR 8454 Status Report on the Final Round of the NIST Lightweight Cryptography Standardization Process. [online], [Accessed 3 July 2023]. DOI 10.6028/NIST.IR.8454.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.