Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2014/1, стр. 18 - 33

ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев
E-mail: plampenev@abv.bg
Teacher in Informatics
„Panayot Volov“ School
100, Soedinenie Street
9700 Shumen, Bulgaria

Резюме: В статията се описва методика за решаване на широк кръг от числови уравнения с електронна таблица. Чрез разширяване на експерименталната област на независимата променлива се провежда последователен анализ за локализиране и намиране на корен. В случаите, когато табличният метод се оказва недостатъчен, се добавят макроси, автоматизиращи изчисленията. Водеща роля се отрежда на графичния материал.

Ключови думи: problem solving, equation, numbers, tables, macros

1. Увод

В условията на повсеместна електронизация на обучението евристичните методики намират все по-широко приложение. В математическите списания постоянно излизат материали, посветени на тази тема. В тях като правило се изтъкват предимствата на динамичната геометрична среда. Отбелязва се силният евристичен ефект, получен от онагледяването на идеите в математиката. За средното училище се препоръчват компютърни системи Geonext, GeoGebra, Graph. В същото време, сравнително по-рядко се споменават опасностите, които крият тези нови технологии. Например в статията на Рангелова от 2013, след като се посочват някои песимистични резултати, в заключителната част се казва: „Трябва много да внимаваме какво преоткриват подопечните ни „изследователи“. За целите на настоящата статия ще добавим – и как го преоткриват.

Без съмнение, многото математически преобразувания демотивират, пречат на разбирането на математическите принципи, но не по-малко вредно е и бързото и лесно получаване на готов резултат. Стара истина е, че се цени и запомня това, което е постигнато с труд. В паметта остава не голият резултат, а изминатият път заедно с преодолените препятствия. В този ред на мисли следва по-критично да се отнесем към използването на специализираните математически приложения. Виждаме опасност от поява на странични ефекти, изместващи целта на обучението: учениците или се увличат в „спортна надпревара“, или изучават езика на математиката вместо нейното съдържание. В процеса на търсене на решение средният ученик се нуждае от помощ (насоки) и такъв контрол е налице в традиционната математика. Решението на задачата се разделя на управляеми порции (части) и планът се следва стъпка по стъпка. Понеже в училищния курс се решават предимно числови уравнения, ще припомним най-общата схема за намиране на числов корен:

1. Определяне на областта от допустими стойности на неизвестната величина.

2. Опростяване на уравнението.

3. Изчисления с готови формули и елементарни аритметични действия.

4. Проверка.

Първа и четвърта част се поддават сравнително лесно на алгоритмизация. Втората и третата са специфични за всеки тип задачи, но освобождаването от трудоемките операции би се отразило благоприятно на шансовете за развитие на решението. За възможно най-пълна автоматизация на общата схема е необходима изчислителна среда, в която уравнението да може да бъде представено непосредствено. Такава среда съществува и тя е стара колкото микрокомпютъра – първата сериозна програма, която се появи при 8-битовите компютри, беше Електронна таблица (VisiCalc). Достоен неин наследник е Excel.

По въпроса за изчисления и решаване на задачи с Excel е писано много. Авторът счита, че „старият ветеран“ съдържа още резерви. Тук демонстрираме методика за решаване на широк кръг от задачи с използване най-вече на табличните процесор и графопостроител. Във формулите участват елементарни математически функции. Отказваме се от всякакви надстройки, включително и от Solver. Solver е готов „решател“, който отново връща опасенията, изказани в началото. Неговите функции се поемат от ръчно съставени макроси, които имат това предимство, че работят с обикновени дроби. Въвеждането на макроси създава гъвкава аналитична среда. Ключов момент в експерименталната математика е задаване на начало и стъпка на изменение на независимата променлива. Изборът е от значение за вида и точността на намерения корен. В статията се провежда последователен подход, следващ логическата схема за разширяване на понятието число: от естествените числа към ирационалните, чрез добавяне на нови множества до намиране на решение. Методиката не изключва водене на записки в тетрадка. Посредством забраняване и разрешаване на макроси учителят има възможност да контролира активността на учениците. Водеща роля се отрежда на графичния материал. Именно графиката е този ориентир, по който се сверява посоката на търсене и проверка на резултатите.

2. Решаване на числови уравнения

В основата е заложен добре познатият ни табличен метод: уравнението се нормализира спрямо 0, преобразува се във функция и се търси стойността на \(x\), за която функцията се анулира. С прост пример ще демонстрираме основните моменти:

Пример 1. Да се реши уравнението \(|x-2|+|2 x-7|=3\).

a) Нормализираме уравнението спрямо 0 и обозначаваме лявата страна с \(y\) :

\[ |x-2|+|2 x-7|-3=0 \] б) Конкретизираме областта за експериментиране чрез задаване на интервал и стъпка на изменение на \(x\).

Допускане 1: \(x\) е естествено число (\(x \in \mathrm{~N}\) )

В колонка А броим за \(x\) от 1 :

\(\mathrm{A} 2 \leftarrow 1\)

\(\mathrm{A} 3 \leftarrow 2\)

A4.. An \(\leftarrow\) Copy от А2 ... А3 (За експерименти с числа е удобно диапазонът на \(x\) да не надхвърля един екран. Затова приемаме, че \(n\) зависи от възможностите на видеосистемата). Изброяване в колонка може да се получи и чрез разширяване от една клетка при задържан Ctrl.

в) В В2 превеждаме уравнението от математически език на компютърен (Excel) по формулата:

В2 ← =abs(a2-2) + abs(2*a2-7) – 3

В3..Вn←Copy от В2 г) В колонка С наблюдаваме знаците на \(y\) и прехода през 0.

\(\mathrm{C} 2 \leftarrow=\operatorname{IF}(\mathrm{B} 2 \gt 0 ; "++++" ; \operatorname{IF}(\mathrm{B} 2=0 ; " 0 " ; "------"))\)

Възможен е и съкратен вариант, който не затруднява учениците: \(\mathrm{C} 2 \leftarrow\) \(=\operatorname{IF}(\mathrm{B} 2 \gt 0 ;\)"++++";"------"). При втория случай не се фиксира преходът през нула, но за уточняване на решението е достатъчно да се отбележи смяната на знаците.

C3 ... C24←Copy от С2 (увеличеният брой на „+“ и „– “ е за по-добра нагледност).

д) За решение вземаме стойностите на \(x\), които се намират срещу 0 в колонката за \(y\) (фиг.1).

Намираме \(x_{1}=2\) и \(x_{2}=4\).

е) Решенията се потвърждават графично. От насочеността на лъчите следва, че броят на корените е изчерпан.

Пример 2. Да се реши уравнението \((x-1) \sqrt{x^{2}-x-2}=0\).

Изменения в Excel:

\(\mathrm{B} 2 \leftarrow=(\mathrm{A} 2-1)^{*}(\mathrm{~A} 2 * \mathrm{~A} 2-\mathrm{A} 2-2)^{\wedge}(1 / 2)\)

Намираме \(x=2\).

Начинът, по който е разположена XY графиката (неопределеност вляво), ни подсеща да потърсим решение в областта на отрицателните числа.

Фигура 1.

Фигура 2.

Допускане 2: \(x\) е цяло число (\(x \in \boldsymbol{Z}\) ).

А2 ← -10А3 ← - 9A4 ...An ← Copy отA2..A3

Фигура 3.

Отговори: \(x_{1}=2\) и \(x_{2}=-1\). Интервалите на функцията към плюс и минус безкрайност са отворени, откъдето можем да заключим, че няма повече решения. По-долу ще посочим начин за проверка на това твърдение.

Ако XY графиката пресича хоризонталната нулева ос, но в колонката за \(y\) липсва 0, търсим решение в множеството на дробните числа.

Пример 3. Да се реши уравнението \(\cfrac{x-5}{x+5}-\cfrac{x+5}{x-5}=7 \cfrac{7}{8}\).

Нормализация: \(\cfrac{x-5}{x+5}-\cfrac{x+5}{x-5}-7 \cfrac{7}{8}=0\)

В Excel:

\[ \mathrm{B} 2 \leftarrow=(\mathrm{A} 2-5) /(\mathrm{A} 2+5)-(\mathrm{A} 2+5) /(\mathrm{A} 2-5)-(7+7 / 8) \]

Разбиването на интервалите за стойностите на \(x\) около пресечните точки е без перспектива (дробните числа не са броими). От гледна точка на анализа е важно да се определи дали търсеният корен е рационално число (може да се представи като отношение между две цели числа \(p\) и \(q\) ) или няма такава възможност (коренът е ирационално число).

Фигура 4.

Допускане 3: \(x\) е рационално число (\(x \in \boldsymbol{Q}\) ).

За преодоляване на десетичния запис добавяме макрос Forfor, написан на VBA. Идеята на алгоритъма е следната: колонкатa за \(x\) се замества с променлива клетка А2. Избират се всички възможни комбинации на \(p(p \in \boldsymbol{Z})\) и \(q(q \in \boldsymbol{N})\) в интервала от –N до +N (N се задава ръчно). Отношението на \(p\) и \(q\) се записв ва в А2 – операнд за кодираното в В2 уравнение. Табличният процесор автоматично извършва действията. Ако след изпълнение Y се нулира, \(p / q\) е решение. Проверява се дали дробта е съкратима чрез деление на числителя и знаменателя на най-големия общ делител, намерен по алгоритъма на Евклид. Ако е първо за таблицата, решението се извежда в списъка на резултатите (колони D и E). В режим на получаване „само на брой корени“ се проверява дали има и други решения.

Алгоритъмът е по силите на ученици от десети клас, изучаващи информатика, и може да бъде разглеждан като пример за използване на вложени цикли. Прилагаме съкратен модел на макроса (системен формат на съобщенията, възможни са дублирани решения – несъкратени дроби) (фиг.5).

Пълният програмен код на този и на останалите макроси може да бъде изтеглен от линка:

http://azbuki.creativesolutions.bg/editions/magazines/maths/contents/macros.zip

Фигура 5.

След стартиране на макроса получаваме:

Фигура 6.

Отговори: \(x_{1}=-\cfrac{45}{7}\) и \(x_{2}=\cfrac{35}{9}\).

Работа на интуицията е да подскаже математическо доказателство чрез привеждане към квадратно уравнение.

На базата на Forfor лесно се построява макрос, който открива целочислените корени на система (търси се двойка цели числа в зададен интервал, удовлетворяващи и двете уравнения).

Пример 4: Да се реши системата:

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & \cfrac{4}{x-y}+\cfrac{6}{x+y}=1,6 \\ & \cfrac{8}{x-y}-\cfrac{9}{x+y}=1,1 \end{aligned}\right. \]

След представяне на системата в Excel и стартиране на макрос Forsis:

Фигура 7.

Отговори: \(x=7 ; \mathrm{y}=3\).

И отново интуицията ще помогне за намиране на математическо решение чрез въвеждане на нови неизвестни.

Пример 5: Да се реши уравнението \(x^{3}+x=1\).

Нормализация: \(x^{3}+x-1=0\)

В Excel:

\[ \mathrm{B} 2 \leftarrow=\mathrm{a} 2^{\wedge} 3+\mathrm{a} 2-1 \]

Смяна на знаците в експерименталната област и безрезултатно изпълнение на Forfor означават, че не съществува \(p / q\), което да удовлетворява уравнението в зададения интервал.

Допускане 4: \(x\) е ирационално число (\(x \in \boldsymbol{I}\) ).

В таблицата се забелязва, че уравнението има едно решение и то лежи в областта \([0 ; 1]\). Тук най-простото продължение е раздробяването на интервала за \(x\) около смяната на знаците до получаване на задоволителна точност. За експерименти и намиране на по-точно решение предлагаме модел \(\operatorname{Irra}\) (формули + макрос).

Фигура 8.

Описание на модела:

1. Подбира се двойка цели числа \(p\) и \(q\), които в отношение и вместо \(x\) приближават максимално функцията до нула. Разнообразни отношения се получават, като примерно за \(q\) се вземе някакъв интервал в рамките на един екран, а за \(p\)– обратният на \(q\). Началото на интервала и стъпката се задават ръчно от клавиатурата. Посредством „начало на интервал“ се търси непрекъсната област от значения на функцията, в която има смяна на знака, а чрез стъпката се настройва минималното отклонение от нула. Обикновено \(2-3\) опита са достатъчни за получаване на данни за анализ (със стъпки 2, 1 или 0,5).

2. Разглеждат се отношенията, които се намират непосредствено срещу смяната на знаците. Забелязва се, че съответните функционални стойности лежат несиметрично спрямо „условната нула“ (иначе бихме получили точен корен).

3. Ирационалните числа изразяват отношение на несъизмерими величини. Но без загуба на точност е възможно разширяване на по-близката дроб с цел приближено „уеднаквяване на мерните единици“. Операцията не представлява трудност, понеже коефициентът е известен – това е частното от „ограждащите условната нула“ функционални отклонения, взето по абсолютна стойност.

4. „Уеднаквените“ отношения се сумират механично. Очаква се новото частно да даде по-точно приближение.

Ще демонстрираме казаното дотук върху разглеждания пример. Начало на интервал \(q=50\), стъпка 1.

След стартиране на макроса:

Фигура 9.

Локализиращи решението отношения:

q+p+(p/q)+q-p-(p/q)-76520,6842177510,66233

\(\left(p_{+}+p_{-}\right) /\left(q_{+}+q_{-}\right)=103 / 153 \approx 0,6732\)

Коефициент за корекция: \(\mathrm{f}(\mathrm{p} / \mathrm{q})_{-} / \mathrm{f}(\mathrm{p} / \mathrm{q})_{+}=\mathrm{abs}(-0,0471 / 0,0045) \approx 11\).

След корекцията:

q’+коригиранp’+коригиран836 = 76 * 11572 = 52 * 11

\(\left(p_{+}+p_{-}\right) /\left(q_{+}+q_{-}\right)=(572+51) /(836+77)=623 / 913 \approx 0,6823658\)

Отклонението на функцията от „условната нула“ е \(9,1133.10^{-5}\). Резултатът се различава с 0,00004 в петия знак от по-точното приближение, изчислено по сложната формула на Кардано, съдържаща радикали в радикали (0,682327804). Ролята на макроса в модела е чисто техническа (запълване на колони, позициониране, съкращаване на дроби). Основната работа се върши от табличния процесор. Че това е най-точното решение с тези експериментални данни, се вижда от следната таблица:

Коефициентp/qf (x)100,68219830,00031028110,68236580,000091133120,68250750,000430946

Естествено е да се очаква, че Irra се справя и с рационални корени. Ето рационален корен \(x=\cfrac{1}{7}\), открит от първи опит в уравнението:

\[ \cfrac{x+3}{4}+\cfrac{|x-4|}{9}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{x+5}{36} \]

Фигура 10.

3. Решаване на диофантови уравнения

Пример 6.

Задача на виетнамските селяни. Има сто бивола и сто връзки сено. Всеки прав бивол изяжда пет връзки. Всеки легнал бивол изяжда три връзки. Три стари бивола заедно изяждат една връзка. Колко са правите, легналите и старите биволи?

Нека \(x, y\) и \(z\) са съответно броят на правите, легналите и старите биволи. Тогава:

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & x+y+z=100 \\ & 5 x+3 y+z / 3=100 \end{aligned}\right. \]

След изключване на \(z\) получаваме диофантовото уравнение \(7 x+4 y=100\). При този тип задачи се търси двойка стойности, които удовлетворяват едно уравнение. На базата на Forfor може да бъде построен макрос, който да автоматизира изчисленията. Разликата е, че при изброяването вместо паметови променливи участват стойности на клетки, които, ако са решения, се оцветяват еднакво.

Фигура 11.

Получаваме три варианта:

XYЦвятZ418кафяв78811зелен81124червен84

4. Използване на линията на тренда

Отсъствието на динамична геометрична среда в Excel до голяма степен се компенсира от наличието на механизъм за извеждане на линията на тренда. Това обстоятелство позволява решаване на обратни задачи: от експерименталните данни към аналитичната зависимост.

Пример 7: Да се извършат действията \(\cfrac{x^{3}-3 x^{2}+5 x-6}{x-2}\).

В Excel:

A \(2 \leftarrow 0\)

\(\mathrm{A} 3 \leftarrow 1\)

A4..An←Copy от A2..A3

\(\mathrm{B} 2 \leftarrow=\left(\mathrm{A} 2^{\wedge} 3-3^{*} \mathrm{~A} 2 * \mathrm{~A} 2+5^{*} \mathrm{~A} 2-6\right) /(\mathrm{A} 2-2)\)

В3 ... Вn←Copy от В2

В колонки А и В маркираме непрекъсната област за \(x\) и \(y\).

Построяваме XY графика и изискваме линията на тренда. Избираме модел по-лином, понеже очакваният резултат е многочлен от втора степен.

Фигура 12.

Display equation on chart извежда равенството \(y=x^{2}-x+3\).

Съответно можем да запишем разлагането:

\(x^{3}-3 x^{2}+5 x-6=(x-2)\left(x^{2}-x+3\right)\).

Понякога чертежът и линията на тренда дават полезни насоки за съставяне на план за решение и опростяване на уравнението.

Задача. (П. Рангелова, 2013) (сп. „Математика и информатика“, 56, 4, стр. 344, зад. 2). Да се реши уравнението \(\sqrt{\mathbf{2} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}+\mathbf{2} \sqrt{\mathbf{6}} \boldsymbol{x}+\mathbf{2} \sqrt{\mathbf{1 0}} \boldsymbol{x}+\mathbf{2} \sqrt{\mathbf{1 5}}}=\sqrt{\mathbf{5}}\).

Представяне в Excel:

Фигура 13.

Разглеждайки графиката, стигаме до извода, че е възможно преобразуване на ирационалното уравнение в модулно. Ако в колонката за Y премахнем квадратния корен, получаваме парабола:

Фигура 14.

Съвпадението на параболата с линията на тренда (модел квадратичен полином) е сигурен индикатор, че от подкоренната величина може да се отдели точен квадрат (в случая на тричлен). Корените на уравнението са \(x_{1}=-\cfrac{\sqrt{6}}{2}\) и \(x_{2}=-\cfrac{\sqrt{6}+2 \sqrt{10}}{2}\).

5. Методически бележки

Тук разглеждаме компютърната математика като допълнение към традиционната. При такъв подход се разчита не на математическата култура (чието изграждане е крайната цел), а на жизнения опит и здравия смисъл на ученика. Получаването на някакъв резултат е въпрос на престиж. Практически работят всички. Създава се благоприятна среда за добавяне на математическо съдържание.

5.1. Първа учебна ситуация: предварително се обяснява как се решава даден тип задачи, извеждат се формулите и се правят упражнения в тетрадка. Средата на Excel служи за проверка на дефиниционната област и намерените корени. В сравнение с динамичната геометрична среда разликата е, че се борави с математически примитиви и се вижда „разгръщането“ на решението. Сценарият е подходящ за всяко числово уравнение.

5.2. Втора учебна ситуация: задачата изцяло се решава на компютър. Евентуално, в процеса на търсене на решение се затвърдяват и/или добавят нови знания. Учителят наблюдава и изчаква предложения от страна на учениците. Технологично се изпълняват следните стъпки:

1. Превеждане на функцията от математически език на езика на Excel.

2. Конкретизиране на експерименталната област на независимата променлива по схема: начално значение – стъпка – чертеж – начално значение (проба – грешка).

3. Анализ на стойностите на \(x\), за които е недопустимо изчисление (изводи за дефиниционната област на \(x\) ).

4. Определяне на вида на търсения корен.

5. Намиране на корен и проверка за брой корени.

6. Анализ на графичния материал. Графично потвърждаване на намерените корени. При определени обстоятелства, откриване на пътища и насоки за математическо доказателство.

6. Заключение

Подбрали сме удобни за демонстрация задачи. Реалната практика е много по-сложна. Но платформата на „добрия, стар“ Excel е „винаги готова“ да поеме предизвикателствата на експерименталния подход. Нещо повече – с прости средства могат да бъдат разглеждани и елементи от висшата математика (производна, сходимост на редици, диференциални уравнения). Заслужава внимание дори идеята да се предложи „кандидатурата“ на Excel за програма, осигуряваща олимпиадите по компютърна математика за ученици. Едва ли има по-добра класическа среда, изравняваща шансовете на всички участници. Този избор би спомогнал и за издигането на състезанията в ранг на международни.

БЕЛЕЖКИ

1. Баптист П., Милер К, Рааб Д.(ред.) www.math.bas.bg/omi/Fibonacci/docs/SINUS_Bg-v.er4.pdf Към нов подход в математическото образование.

2. Илиев М., Николова Я., Димитрова Е. www.tu-plovdiv.bg/content/files/VOL13.11_794.pdf. Опит в използването на Excel в обучението по математика във ВУЗ.

ЛИТЕРАТУРА

Бизова-Лалева В. (2012). Параметри, таблици и динамични графики. Математика и информатика, 55, 6, 549 – 561.

Гроздев, С. & Деков Д. (2013). Математика с компютър. Математика и информатика, 56, 2, 123 – 132.

Гроздев, С. & Лазаров Б.. (2013). Експерименталната математика в училище. Математика и информатика, 56, 2, 105 – 112.

Гроздев, С. & Деков Д. (2013). Екстремални задачи в средното училище с по-мощта на компютърни таблици. Математика и информатика, 56, 4, 351 – 367.

Желев, Ж. (2012). Компютърните евристики и възможностите им за използване в олимпиадната математика. Математика и информатика, 55, 4, 339 – 347.

Рангелова, П. (2013). Свеждане на ирационални и трансцендентни уравнения и системи до модулни. Математика и информатика, 56, 4, 343 – 350.

Столяр, А. (1974). Педагогика математики. Курс лекций. Минск: Вышэйшая школа.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE (ISBN 978-954-92139-1-1), 295 pages.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.