Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2015/4, стр. 403 - 414

АНАЛИЗ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ ОБЛАСТНИЯ КРЪГ НА МЕЖДУНАРОДНОТО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ „ЕВРОПЕЙСКО КЕНГУРУ“ ЗА СТУДЕНТИ

Веселин Ненков
E-mail: vnenkov@mail.bg
Technical College Lovech
31, Sajko Saev Str.
Lovech, Bulgaria
Йордан Петков
E-mail: jr_petkov@ue-varna.bg
University of Economics – Varna
77, Kniaz Boris I Blvd.
9002 Varna, Bulgaria

Резюме: Статията предлага състезателната тема за студенти от областния кръг на международното състезание „Европейско кенгуру“ през 2015 г. Разгледани са методически решения на задачите и е направен анализ на постигнатите резултати.

Ключови думи: mathematics competition, problem solving, university student

Математическите способности се определят от министрите на образованието в Европа като „ключови способности, необходими за лична реализация, активна гражданска позиция, социално приобщаване и годност за работа в общество, основаващо се на знанията“..\(^{1}\) В същото време, както посочват (Николаев \& Станчева, 2013), във все повече сфери от живота (банкова дейност, застраховане, корпоративни финанси, инвестиционна дейност, управление на ресурси, планиране и прогнозиране и др.) постоянно възниква необходимостта от различни по вид и сложност математически изчисления. В посочения контекст считаме, че е необходимо обучението по математика във висшите училища в страната да се развива с цел осигуряване на необходимите математически знания, умения и компетенции на студентите.

Знанията за математическите факти, т.е. декларативните знания (аксиоми, определения, теореми, доказателства, решения), са готови (статични) продукти и тяхното усвояване може да става чрез преподаване и обясняване. От друга страна, уменията за използване на математическите методи, т.е. алгоритмичните знания, са процеси (динамични) и тяхното усвояване предполага „динамизъм“.\({ }^{2}\) В тази връзка смятаме, че участието в различни състезания и олимпиади води до по-добро усвояване на адекватни умения за използване на математически методи.

Математическите олимпиади, безспорно, са сред най-популярните форми на занимания в областта на математиката извън учебния план (Engel, 1999). За студентите от висшите училища в България съществуват различни възможности за изява в тази посока – Национална студентска олимпиада по математика, SEEMOUS и др. Към тях през 2015 г. беше добавена още една, тъй като за първа година бяха предложени задачи и за студенти на най-масовото математическо състезание за ученици – „Европейско кенгуру“.

Целта на настоящата статия е да се представят условията на задачите от темата за студенти на провелия се на 22.03.2015 г. областен кръг на международното математическо състезание „Европейско кенгуру“, както и възможни методически подходи за тяхното решаване.

Условия на задачите

Форматът на състезанието за студенти през 2015 г. включваше 20 задачи, като във всяка от тях следваше да се избере един верен отговор от общо пет. Времето за работа беше 75 минути. Максималният брой точки, които можеха да съберат участниците, беше 100, като верен отговор на всяка от задачите се оценяваше с по 5 точки.

1. Коя от изброените матрици е обратна на матрицата \(\left\|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right\|\) ?

А) \(\left\|\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right\|\) В) \(\left\|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right\|\) C) \(\left\|\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right\|\) D) \(\left\|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right\|\) E) \(\left\|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right\|\) 2. Ако \(A\) и \(B\) са квадратни ненулеви матрици и е в сила \(A^{2}=2 A B\), то със сигурност е изпълнено:

А) A3 = 2A2 B−1 В) A = 2B С) A = B D) A = E

E) нито едно от предходните

3. Дадена е редицата от квадратни \(2 \times 2\) матрици: \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, \ldots\),за която \(A_{1}=\left\|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right\|\) и \(A_{n}=2 A_{n-1}+E\) за \(E\)(\(E\) е единичната матрица). Ма трицата \(A_{2015}\) е равна на:

А) \(\left\|2^{2015} \quad 2^{2015}\right\|\) B) \(\left\|\begin{array}{ll}2^{2015} & 2^{2014} \\ 2^{2014} & 2^{2015}\end{array}\right\|\) C) \(\left\|\begin{array}{cc}2^{2015}-1 & 2^{2014} \\ 2^{2014} & 2^{2015}-1\end{array}\right\|\)

D) \(\left\|\begin{array}{cc}2^{2015} & 2^{2014}+1 \\ 2^{2014}+1 & 2^{2015}\end{array}\right\|\) E) \(\left\|\begin{array}{cc}2^{2015} & 2^{2014}-1 \\ 2^{2014}-1 & 2^{2015}\end{array}\right\|\)

4. Ако \(k\) е цяло число в интервала \([-3,3]\) и стойността на детерминантата \(\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & k \\ k & 2 & 1 \\ 1 & k & 2\end{array}\right|\) се дели на 3, то броят на възможните стойности на \(k\) е:

А) 0 В) 1 С) 3 D) 5 E) 7

5. Колко е броят на точките с целочислени координати във вътрешността на елипсата с уравнение \(5 x^{2}+9 y^{2}=45\) ?

А) 21 В) 25 С) 27 D) 30 E) 32

6. В равнината са дадени успоредните прави \(l_{1}: y=3 x+2\) и \(l_{2}: 3 x-y-5=0\). Коя от изброените точки лежи между двете прави?

A) \((-10,0)\)

В) \((6,-6)\)

C) \((-1,-2)\)

D) \(\left(\cfrac{1}{2}, 5\right)\) Е) \(\left(6, \cfrac{1}{2}\right)\)

7. Намерете вида и лицето \(S\) на фигурата, ограничена от линията с уравнение \(403|x|+5|y|=2015\).

А) Квадрат, S=4030 В) Ромб, S=8060 С) Ромб, S=4030

D) Успоредник, лицето не може да се намери E) Ромб, S=2015 8. В параболата \(x^{2}=2 y\) е вписан равностранен \(\triangle A B C\), единият от върховете на който съвпада с върха на параболата. Да се намери дължината на страната на триъгълника.

A) \(2 \sqrt{3}\) B) \(3 \sqrt{2}\) C) \(4 \sqrt{3}\) D) \(\cfrac{\sqrt{3}}{4}\)

E) 6

9. Кое от защрихованите е множеството от точки \((x, y)\) в равнината, за които

\(\left\lvert\, \begin{aligned} & \cfrac{x^{2}}{9}+\cfrac{y^{2}}{16} \leq 1 \\ & x^{2}-\cfrac{y^{2}}{9} \leq 1\end{aligned}\right.:\)

А)В)С)D)E)

10. Ако \(x f(1-x)-(1+x) f(4+x)=2 x\), то \(f(0)\) е равно на:

А) -6 В) - С) 0 D) 6 E) 12

11. Стойността на \(\arcsin \left(\operatorname{tg} \cfrac{2015 \pi}{4}\right) \mathrm{e}\) :

А) - В) \(-\cfrac{\pi}{4}\) C) \(-\cfrac{\pi}{2}\) D) \(\cfrac{\pi}{2}\)

E) 1

12. Броят на всички двуцифрени числа с четни цифри, които се делят на \(4, \mathrm{e}\) :

А) 8 В) 10 С) 12 D) 14 E) 24

13. Ако \(x\) е корен на уравнението \(x^{2}-8 x+12=0\), то \(6 x+e^{-\ln 0,25}\) със сигурност:

А) не е цяло число В) се дели на 4 С) се дели на 6

D) е отрицателно число E) е просто число

14. Ако \(m(n)\) е най малката стойност на функцията \(f(x)=x^{n}-x^{n-1} \quad(n \in \mathrm{~N})\) в интервала \([0,1]\), то границата \(\lim _{n \rightarrow \infty} n . m(n)\) е равна на:

A) \(-\cfrac{1}{e}\) В) \(\cfrac{1}{e}\)

С) 0 D) \(-\infty\) E) \(+\infty\)

15.Аковероятносттачислото2даекореннауравнението \(3 m x^{4}-12 n x^{3}+4 x-2=0\) е равна на 1, то вероятността \(m\) и \(n\) да са едновременно цели числа е равна на:

А) 1 B) \(\cfrac{1}{2}\)

С) 0 D) \(\cfrac{2}{3}\)

E) \(\cfrac{1}{6}\)

16. Ако \(n \in \mathrm{~N}, a \in \mathrm{R}\) и \(\int_{0}^{a} x e^{n x} d x=\cfrac{1}{n^{2}}\), то зависимостта между \(a\) и \(n\) е:

A) \(a=n\) В) \(a=\cfrac{1}{n}\)

C) \(a=e^{n}\) D) \(a=\cfrac{1}{n^{2}}\) E) \(a=e^{-n}\)

17. Цената на един хладилник е 400 лв., а на една пералня – 300 лв. Разполагате с общ бюджет 8400 лв. Колко е максималният общ брой на уредите от двата вида, които може да закупите, ако са необходими поне 9 хладилника и поне 12 перални?

А) 21 В) 22 С) 23 D) 24 E) 25

18. Търговец е закупил даден продукт на цена 1000 лв. На каква цена трябва да го продаде, за да реализира \(20 \%\) печалба от приходите, получени при неговата продажба?

А) 1200 В) 1250 С) 1800 D) 1125 E) 2000

19. В началото на седмицата цената на дадена стока намалява с \(30 \%\).В края на седмицата цената се увеличава с \(40 \%\) спрямо текущата. Да се определи процентът на изменение на цената в края на седмицата спрямо нивото и от началото на седмицата.

А) 2% намаление В) 10% увеличение С) 12% увеличение D) 2% увеличение E) 10% намаление

20. Инвеститор разполага с 10 000 лв. свободен капитал, които трябва да инвестира в два проекта \(-A\) и \(B\). Годишната доходност на а проект \(A\) е \(7 \%\),а на проект \(B-10 \%\).Каква част от сумата следва да инвестира той във всеки от двата проекта, ако желае да си осигури годишен доход 820 лв.?

Забележка. Под доходност следва да се разбира доходът от проекта, изразен като процент от инвестираната в него сума.

А) \(\cfrac{3}{5}\) в \(A\) и \(\cfrac{2}{5}\) в \(B\) В) \(\cfrac{1}{2}\) в \(A\) и \(\cfrac{1}{2}\) в \(B\) C) \(\cfrac{3}{4}\) в \(A\) и \(\cfrac{1}{4}\) в \(B\)

D) \(\cfrac{1}{5}\) в \(A\) и \(\cfrac{4}{5}\) в \(B\) E) \(\cfrac{2}{5}\) в \(A\) и \(\cfrac{3}{5}\) в \(B\)

Възможни подходи за решаване на задачите Авторите не претендират, че предложените решения на задачите са единствени. 1. Отг. D) \(\left.\left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right| \right\rvert\,\).Нека \(A=\| \begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}| |\).Като се използва например формулата за на

миране на обратна матрица,сеполучава \(A^{-1}=\cfrac{1}{\operatorname{det} A}\left\|\begin{array}{ll}A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22}\end{array}\right\|=\cfrac{1}{-1} \|-1\) 0 \(\|-1\) 1 \(\|=\| \begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array} \|\).

Обратната матрица може да бъде намерена и по метода на Гаус-Жордан. Верният отговор може да бъде определен и с непосредствена проверка, като се използва равенството \(E\)(\(E\)– единичната матрица).

2. Отг. E) нито едно от предходните. Очевидно отговори А), С) и D) не са верни. Отговор В) също не е верен, тъй като в условието не е посочено, че матрицата \(A\) е обратима. Според нас тук най-вероятната заблуда по отношение на отговор В) би се дължала на следните разсъждения: \(A^{2}=2 A B \Rightarrow \mathrm{~A}^{2}-2 A B=O\) \(\Rightarrow A(A-2 B)=O \Rightarrow A-2 B=O\)(тъй като \(A\) е ненулева матрица) или \(A=2 B\). Последното съждение е грешно, тъй като произведение на две ненулеви матрици може да е равно на нулевата матрица.

3. Отг. C) \(\left\|2^{2015}-1 \mathrm{c} 2^{2014}\right\| 2^{2014} \mathrm{l} \quad 2^{2015}-1\left\|\quad A_{2}=2 A_{1}+E=\right\| \begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\left\|, \quad A_{3}=2 A_{2}+E=\right\| \begin{array}{ll}7 & 4 \\ 4 & 7\end{array} \|\), \(A_{4}=2 A_{3}+E=\left\|\begin{array}{cc}15 & 8 \\ 8 & 15\end{array}\right\|\). По метода на математическата индукция лесно се намира, че \(A_{n}=2 A_{n-1}+E=\left\|\begin{array}{cc}2^{n}-1 & 2^{n-1} \\ 2^{n-1} & 2^{n}-1\end{array}\right\|\).Тогава \(A_{2015}=\left\|\begin{array}{cc}2^{2015}-1 & 2^{2014} \\ 2^{2014} & 2^{2015}-1\end{array}\right\|\). За решаването на задачата може да се използва и друг подход, представен в (Николаев & Петков, 2014).

4. Отг. E) 7. Детерминантата е от трети ред и може да се пресметне например по правилото на Сарус: \(\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & k \\ k & 2 & 1 \\ 1 & k & 2\end{array}\right|=k^{3}-7 k+6\). С непосредствена проверка се установява, че за всяко цяло число от интервала \([-3,3]\) стойността на детерминантата се дели на 3.

5. Отг.А) 21.\(5 x^{2}+9 y^{2}=45 \Leftrightarrow \cfrac{x^{2}}{9}+\cfrac{y^{2}}{5}=1\).Точката \((x, y)\) лежи във вътрешността на елипсата, ако координатите й удовлетворяват неравенството \(\cfrac{x^{2}}{9}+\cfrac{y^{2}}{5} \lt 1\). Непосредствено се установява, че броят на тези точки с целочислени координати е 21.

6. Отг. C) (\(-1-2\) ).Правите \(l_{1}\) и \(l_{2}\) са изобразени на следващата фигура. Непосредствено се вижда, че от изброените точки между двете прави лежи точката \((-1,-2)\).

7. Отг. C) Ромб, \(S=4030\).Уравнението на линията \[ 403|x|+5|y|=2015 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 403 x+5 y=2015 \text { при } x \geq 0, y \geq 0 \\ 403 x-5 y=2015 \text { при } x \geq 0, y \leq 0 \\ -403 x+5 y=2015 \text { при } x \leq 0, y \geq 0 \\ 403 x+5 y=-2015 \text { при } x \leq 0, y \leq 0 \end{array}\right. \]

Фигурата, ограничена от нея, е ромб с върхове точките \((-5,0),(0,403),(5,0)\), \((0,-403)\),диагоналите на който имат дължини 10 и 806. Лицето на ромба е

\(S=\cfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 806=4030\).

8. Отг.С) \(4 \sqrt{3}\).Нека точка \(A\) съвпада с върха на параболата \((0,0)\).Точките \(B\) и \(C\) са симетрични относно ординатната ос и имат координати съответно \(\left(-a, \cfrac{a^{2}}{2}\right)\) и

\(\left(a, \cfrac{a^{2}}{2}\right), \mathrm{a} \gt 0\).Тогава дължината на страната \(B C\) е \(2 a\), а на страната ната \(A B\) е \(\sqrt{a^{2}+\cfrac{a^{4}}{4}}\).

Тъй като \(\triangle A B C\) е равностранен, то \(2 a=\sqrt{a^{2}+\cfrac{a^{4}}{4}}\), откъдето намираме \(a=2 \sqrt{3}\).

9. Отг. В). Решения на първото неравенство в системата са всички точки от вътрешността и границата на централна елипса, малката ос на която лежи върху \(O x\), а голямата – върху \(O y\). Решения на второто неравенство са всички точки между двата клона (и по границата) на централна хипербола, реалната ос на която лежи върху \(O x\), а имагинерната – върху \(O y\). Сечението на двете множества от точки е защрихованата област от фиг. В).

10. Отг. В) -12. Ако в уравнението се замести \(x=1\),се получава \(f(0)-2 f(5)=2\), а ако се замести \(x=-4\),се получава \(-4 f(5)+3 f(0)=-8\). От решението на системата \(\left\lvert\, \begin{aligned} & f(0)-2 f(5)=2 \\ & 3 f(0)-4 f(5)=-8\end{aligned}\right.\) намираме, че \(f(0)=-12\).

11. Отг. С) \(-\cfrac{\pi}{2}\).

\(\arcsin \left(\operatorname{tg} \cfrac{2015 \pi}{4}\right)=\arcsin \left(\operatorname{tg}\left(503 \pi+\cfrac{3 \pi}{4}\right)\right)=\arcsin \left(\operatorname{tg} \cfrac{3 \pi}{4}\right)=\arcsin (-1)==-\cfrac{\pi}{2}\).

12. Отг. С) 12. Сред двуцифрените числа, първата цифра на които е \(2,4,6\) или 8, за всяка от тях има точно по три числа, които се делят на 4. Следователно общият им брой е \(4.3=12\).

13. Отг. В) 4. Корените на уравнението \(x^{2}-8 x+12=0\) са \(x_{1}=2\) и \(x_{2}=6\). Ако \(x_{1}=2\),то \(6 x+e^{-\ln 0,25}=6.2+4=16\),което се дели на 4. Ако \(x_{2}=6\), то \(6 x+e^{-\ln 0,25}=6.6+4=40\),което също се дели на 4.

14. Отг. А) \(-\cfrac{1}{e}\).Ако \(n=1\),то \(f(x)=x-1\) и \(m(1)=-1\). Ако \(n \geq 2\),то \(f^{\prime}(x)=n x^{n-1}-(n-1) x^{n-2}=x^{n-2}(n x-(n-1))=0 \Rightarrow x_{1}=0\) и \(x_{2}=\cfrac{n-1}{n} \in(0,1)\). Функцията има единствен екстремум (минимум) в интервала \([0,1]\)(както за четни, така и за нечетни \(n\) ) и \(m(n)=f\left(\cfrac{n-1}{n}\right)=-\cfrac{1}{n}\left(\cfrac{n-1}{n}\right)^{n-1}\). Тогава:

\[ \lim _{n \rightarrow \infty} n .\left(-\cfrac{1}{n}\right)\left(\cfrac{n-1}{n}\right)^{n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[-\left(1-\cfrac{1}{n}\right)^{n}\left(1-\cfrac{1}{n}\right)^{-1}\right]=-\cfrac{1}{e} \]

15. Отг. С) 0. От условието следва, че числото 2 със сигурност е корен на даденото уравнение, откъдето \(48 m-96 n+6=0\) или \(8 m-16 n+1=0\). Последното уравнение няма решения в цели числа, тъй като в този случай разликата \(8 m-16 n\) не би могла да е равна на – 1.

16. Отг. В) \(a=\cfrac{1}{n}\).Като се приложи формулата за интегриране по части, за решението на интеграла се получава \(\int_{0}^{a} x e^{n x} d x=\cfrac{1}{n} a e^{n a}-\cfrac{1}{n^{2}} e^{n a}+\cfrac{1}{n^{2}}\). Тогава \(\cfrac{1}{n} a e^{n a}-\cfrac{1}{n^{2}} e^{n a}+\cfrac{1}{n^{2}}=\cfrac{1}{n^{2}}\) или \(e^{n a}(n a-1)=0\), откъдето \(a=\cfrac{1}{n}\).

17. Отг. Е) 25. Разходите за закупуване на необходимия брой хладилници и перални са равни на \(9.400+12.300=7200\) лв.Лесно се вижда, че с останалите 1200 лв. могат да се закупят най-много още 4 уреда (перални).

18. Отг. В) 1250. Означаваме продажната цена на продукта с \(x\). Печалбата на търговеца е равна на \(x-1000\).От уравнението \(x-1000=\cfrac{20}{100}\) х намираме \(x=1250\) лв.

19. Отг. А) \(2 \%\) намаление. Означаваме с \(x\) началната цена на стоката. След намалението с \(30 \%\) стойността й е \(0,7 x\),а след увеличението с \(40 \%\) стойността й е \(1,4 \cdot 0,7 x=0,98 x\).Следователно цената е намаляла с \(2 \%\) в края на седмицата спрямо нивото й от началото на седмицата.

20.Отг.А) \(\cfrac{3}{5}\) в \(A\) и \(\cfrac{2}{5}\) в \(B\).Означаваме с \(x\) сумата,която трябва да се инвестира

в проект \(A\), а с \(y\)– сумата, която трябва да се инвестира в проект \(B\). От условието следва, че трябва да са изпълнени равенствата \(x+y=10000\) и \(0,07 x+0,1 y=820\). От система а та \(\left\lvert\, \begin{aligned} & x+y=10000 \\ & 0,07 x+0,1 y=820\end{aligned}\right.\) се намира \(x=6000, y=4000\).В проект \(A\) след

ва да се инвестира \(\cfrac{6000}{10000}=\cfrac{3}{5}\) от свободния капитал, а в проект \(B\)– съответно

\(\cfrac{4000}{10000}=\cfrac{2}{5}\) от свободния капитал.

***

В състезанието през 2015 г. участваха няколко студенти (всички от Икономически университет – Варна). На първо място се класира Виктория Станчева, V курс, с 95 точки, второто място си поделиха първокурсниците Калоян Жеков и Петър Даскалов с 50 точки, а трето място зае първокурсникът Адриан Калчев с 40 точки.

По наше мнение задачите в предложената тема са балансирани и дават възможност на участниците в състезанието да покажат своите знания, като се има предвид, че обхващат основни области на математиката, изучавани от студентите във висшите училища в България. Освен това по-голямата част от тях предполагат кратки решения, а при някои верният отговор може да се определи непосредствено чрез проверка. Въпреки това трима от споменатите четирима студенти са събрали половината или по-малко от половината точки. Причината може да се търси както в самата тема, така и в нивото на математическа подготовка и опит на участниците в състезанието.

В заключение ще си позволим да изразим мнение, че малкият брой студенти, които взеха участие в международното състезание „Европейско кенгуру“, се дължи не толкова на слаб интерес към подобен вид състезания, а по-скоро на недостатъчна информираност и разгласяване на инициативата. Поради това считаме, че са необходими действия за по-широко популяризиране не само на това състезание, но и на всички извънаудиторни прояви по математика и останалите дисциплини.

БЕЛЕЖКИ:

1. „Mathematics Education in Europe: Common Challenges and National Policies“– Доклад на Европейската комисия, достъпен на http://eacea.ec.europa.eu/ education/eurydice/documents/thematic_reports/132EN.pdf към 28.05.2015г.

2. Лалчев, Здр. & М. Върбанова & И. Здравкова. Концепция за съвременното обучение по математика на студенти – бъдещи начални учители, достъпен на http://fmi-plovdiv.org/GetResource?id=665 към 28.05.2015г.

ЛИТЕРАТУРА

Николаев, Р. & В. Станчева (2013). Проблеми и перспективи пред развитието на магистърското обучение по математика за икономисти и връзката му с практиката (сс. 98 – 108). В: Сб. с доклади от Кръгла маса с международно участие „Магистърското обучение – проблеми и визия за бъдещето“, изд. „Наука и икономика“.

Engel, Arthur (1999). Problem-solving strategies. New York: Springer, 1999, p.1.

Николаев, Р. & Й. Петков (2014). Някои методически обобщения за решаване на един тип задачи от линейната алгебра. Математика и информатика, 2, 155 – 165.

Николаев, Р. (2015). Едно интересно свойство за някои класове реални функции. Математика и информатика, 5, 456 – 462.

Гроздев, С. & В. Ненков (2014), Някои методически подходи за съставяне на задачи за олимпиади, Математика и информатика, 57 (3), 309 – 316.

Гроздев, С. (2010). Математика за икономисти. София: ВЗФ.

Гроздев, С. (2005). Европейско кенгуру. София: СМБ.

Grozdev, S. (Grozdev), (2007). For high achievements in mathematics. The Bulgarian experience (theory and Practice). Sofia: Association for the Development of

Education.

REFERENCES

Nikolaev, R. & V. Stancheva (2013). Problemi i perspektivi pred razvitieto na magistarskoto obuchenie po matematika za ikonomisti i vrazkata mu s praktikata (pp. 98-108). In: Sb. s dokladi ot Kragla masa s mezhdunarodno uchastie Magistarskoto obuchenie–problemi i viziya za badeshteto, izd. Nauka i ikonomika, 2013.

Nikolaev, R. & Y. Petkov (2014). Nyakoi metodicheski obobshteniya za reshavane na edin tip zadachi ot lineynata algebra. Matematika i informatika, 2, 2014, 155–165.

Nikolaev, R. (2015). Edno interesno svoystvo za nyakoi klasove realni funktsii. Matematika i informatika, 5, 456–462.

Grozdev, S. & V. Nenkov (2014), Nyakoi metodicheski podhodi za sastavyane na zadachi za olimpiadi, Matematika i informatika, 57 (3), 309–316.

Grozdev, S. (2010). Matematika za ikonomisti. Sofiya: VZF.

Grozdev, S. (2005). Evropeysko kenguru. Sofiya: SMB.

Grozdev, S. (Grozdev), (2007). For high achievements in mathematics. The Bulgarian experience (theory and Practice). Sofia: Association for the Development of Education.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.