Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2012/3, стр. 225 - 237

СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова
Professor, DSc in Mathematics
Institute of Mathematics and Informatics – BAS
Acad. G. Bonchev Street, bl. 8
1113 Sofia, Bulgaria
http://www.math.bas.bg/~jeni/

Резюме: Целта на тази статия е да обясним една от основните идеи за оценка на посещаемостта на web страниците. Ще използваме основни програмни средства на езика C++, за да изучим модела на случайното сърфиране. Материалът е достъпен за ученици от средния курс, с базови знания по информатика и езика \(\mathrm{C}++\).

Ключови думи: random surfer, web page ranking, stochastic simulation

Един от най-атрактивните алгоритми за определянето на важността на страниците от интернет мрежата World Wide Web е предложен от Сергей Брин и Лари Пейдж през 1998 г. Алгоритъмът е реализиран в Google, компанията, която те създават. Търсачката на Google подрежда страниците от зададен критерий съобразно тяхната важност (обикновено това са страниците, най-близки до критерия на търсене и най-полезни за потребителя). Естествено е страниците с високи честоти на посещаемост да излизат първи при търсене, защото те се очакват от много повече потребители.

Откъде Google знае честотите на посещаемост на всички web страници? Случайно сърфиране е идеализиран модел на поведение на потребителите на Web, които преминават от една страница към друга донякъде случайно. При това движение се отчитат посещенията в различните страници от мрежата. При дълго сърфиране честотите на посещение се стабилизират и са еквивалентни на ранговете на страници PageRank, които използва Google. Подходът за изложение на идеята в тази статия до голяма степен е взаимстван от [3]. За разбирането и не са необходими някакви специални математически знания, освен понятията вектор и матрица, които учениците знаят от часовете по информатика.

Мрежата. Интернет мрежата се разглежда като множество от страници, които са свързани помежду си чрез (хипер)връзки. Към всяка страница са насочени връзки от други страници и от всяка страница излизат връзки към други страници от мрежата.

Интернет потребителят преминава от една страница към друга като избира връзка от списъка в страницата, в която се намира, или като изпише името на страницата в съответното поле на браузера. При това движение потребителят обхожда мрежата и попада в различни страници. Това обикновено се нарича сърфиране из интернет.

Фигура 1 Web страници

Случайно сърфиране. При случайното сърфиране се предполага, че интернет потребителят избира връзка от списъка на страницата, в която се намира, по случаен начин. Всички връзки се смятат за равновероятни. При много дълго случайно сърфиране могат да се отчетат честотите на посещение в различните страници. Това може да е индикатор за важността на отделните страници, а резултатът е еквивалентен на ранговете на страниците PageRank, въведени от Брин и Пейдж и реализиран в търсачката на Google.

Моделът изглежда съвсем прост, но има някои особености. В интернет мрежата съществуват много страници, от които няма изходящи връзки. Има и такива страници, които създават затворен кръг, от които също не може да се излезе. За да се избегнат тези „дупки’’, в модела се допуска от време на време да се прави скок към произволна страница от мрежата. Ето формалното описание на модела на случайното сърфиране.

Случайното сърфиране по правилото \(90-10\) се определят по следния начин: в 90% от случаите потребителят избира случайно връзка от страницата, в която се намира. В останалите \(10 \%\) от случаите той преминава към случайно избрана страница от мрежата като по този преход всички страници от мрежата се смятат за равновероятни.

Случайното сърфиране за конкретна мрежа може да се симулира и да се отчетат честотите на посещение на отделните страници. Тези честоти ще определят рангове на страниците.

Очевидно, поведението на реалния потребител не е толкова просто. Никой не избира връзките или страниците случайно, а правилото \(90-10\) (или друго зададено) е само хипотетично. Няма реална възможност да се премине директно към произволна страница от мрежата и обикновено са достъпни част от web страниците. Въпреки тези слабости, моделът на случайното сърфиране е достатъчно добър, за да се изследват свойствата на web мрежата.

Фигура 2 Схема на мрежа

Пример. Да построим модел на мрежа, състояща се от страниците на предишната фигура.

Мрежата има четири страници и общо девет връзки между тях. Моделът е представен с граф. Възлите на графа представляватстраниците, (номерирането не е от значение и тук е съответно на реда A-B-C-D). Всяка стрелка означава една връзка от страница към страница. Движението (сърфирането) се извършва от един връх до друг само ако има стрелка в тази посока.

Да започнем с въпроса: Коя страница от фигурата се посещава най-често при случайно сърфиране? Страница \(1,3,0\) или може би 2? Може да се даде интуитивен отговор на този въпрос, а след това да го сравним с резултата от симулирано движение по мрежата.

Входни данни. Форматът на входните данни ще организираме така, че да можем да задаваме информацията за различни мрежи, не само за примера, който имаме. Така ще имаме възможност да изучаваме случайното сърфиране в различни мрежи. Данните ще запишем в масива inpdata[].

Данните е добре да се прочетат от файл като последователни числа, разделени с интервал. Първото число трябва да е броя на страниците. Връзката от една страница до друга представяме с наредена двойка от числа, първото съответно на страницата, която задава връзката, а второто - страницата, към която е насочена.

Фигура 3 Вход за програмата

Да отбележим, че при поточно четене на данни, един или повече интервала се приемат за един, нов ред също е равносилен на интервал. Затова данните могат да се оформят така, че да са удобни за визуално възприемане. В примера, първото число 4 е за броя на страниците, в следващия ред е записана единствената връзка, която има от стр. 0 към стр. 3 и т.н.

Бележка: За нуждитенатазизадача, можеданнитеда зададемчрезприсвояване, вместо да ги четем от файл:

\[ \text { int inpdata[] = }\{4,0,2,1,0,2,0,2,1,2,1,2,3,2,3,3,0,3,1\} \]

Преходна матрица. Движението на потребителя, извършващ случайно сърфиране в мрежата, ще опишем чрез така наречената матрица на преходните вероятности. Ако страниците са \(N\), то матрицата е с размер \(N x N\) и в нея елементът на \(i\)-тия ред и \(j\)-тия стълб съдържа вероятността за преход от страница \(i\) в страница \(j\). Първата задача е на напишем функция, която да създава тази матрица при зададен вход. Ще приложим, освен това, и правилото 90-10. Задачата не е трудна и ще я опишем в три стъпки:

• Четем N и създаваме 3 масива:

btwnlnks[N][N]} - за броя връзките между всеки две страници;

outlnks[N]- за броя на връзките, излизащи от всяка страница; и

P[N][N] - за преходната матрица.

• Четем връзките от входа и натрупваме:

в btwnlnks[i][j]} - броя на връзките от страница \(i\) до страница \(j\);

в outlnks[i]} - броя на връзките, излизащи от страница \(i\).

• Прилагаме правилото \(90-10\), за да изчислим елементите на преходната матрица P[][].

Първите две стъпки са елементарни, третата става по следния начин: умножаваме btwnlnks[i][j] с 0.90/outlnks[i] ако има връзка от \(i\) до \(j\) (избор на връзка от списъка с вероятност 0.9), и прибавяме \(0.10 / \mathrm{N}\) към всеки елемент (преход към случайна страница от мрежата с вероятност 0.1).

За данните от примера двумерният масив btwnlnks[][], представен с матрица, изглежда по следния начин:

\[ \left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \]

Масивът outlnks[] е едномерен и има вида [ 1 1 5 2].

За да получим масива \(P[][]\), трябва първо да умножим елементите на btwnlnks[][] с 0.9. След това елементите от всеки ред, \(i\), да разделим на съответния елемент outlnks[i]. Накрая към всеки елемент от масива да добавим 0.025. (Числото 0.02 се получава като 0.1 от правилото \(90-10\) се раздели по равно между четирите страници.) Това, записано чрез матрици, изглежда така:

\[ \left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0,9 & 0 \\ 0,9 & 0 & 0 & 0 \\ 0,18 & 0,36 & 0 & 0,36 \\ 0,45 & 0,45 & 0 & 0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc} 0,025 & 0,025 & 0,025 & 0,025 \\ 0,025 & 0,025 & 0,025 & 0,025 \\ 0,025 & 0,025 & 0,025 & 0,025 \\ 0,025 & 0,025 & 0,025 & 0,025 \end{array}\right] \]

Така преходната матрица P[][] става:

\[ =\left[\begin{array}{llll} 0,025 & 0,025 & 0,925 & 0,025 \\ 0,925 & 0,025 & 0,025 & 0,025 \\ 0,205 & 0,385 & 0,025 & 0,385 \\ 0,475 & 0,475 & 0,025 & 0,025 \end{array}\right] \]

Функцията Transition изчислява преходната матрица. Тя превръща входен масив от връзки на модела в матрица от преходни вероятности. Масивите btwnlnks, outlnks и P трябва да се инициализират предварително:

int outlnks[20]={0}; // number of links out a pageint btwnlnks[20][20]={0}; // number of links between pagesdouble P[20][20]={0}; // transition matrix

Числото 20 за максималния брой на страници е примерно, то може да се фиксира съобразно големините на мрежите, които ще се анализират.

И така, входът за Transition е масивът inpdata[], изходът - преходната матрица \(P[][N]\). Ето и кода на функцията:

void Transition( int arr[], int btwnlnks[][20], int outlnks[20],
double P[][20] )
{
int N=arr[0]; // number of pages
int n=sizeof(arr)/sizeof(arr[0])-1; // number of links
for (int k=1; k<n; k +=2) {
int i = arr[k];
int j = arr[k+1];
outlnks[i]++;
btwnlnks[i][j]++;
}
for (int i=0; i<N; i++){// Calculate probability for column j.
for (int j = 0; j < N; j++)
P[i][j] = .90*btwnlnks[i][j]/outlnks[i] + .10/N;
}
}

В преходната матрица всички числа са различни от нула, което означава, че всички страници са достижими за един преход. Числата по диагонала са вероятностите за оставане в същото състояние за един ход. Не е ограничение, това че правилото \(90-10\) допуска такава възможност.

Преходната матрица има и други интересни свойства, които са съществени за задачата, която сме си поставили. Едно от тях е, че всеки ред (напр. $i$-тия ред) на матрицата съдържа вероятностите за преход от съответната страница (\(\$ \mathrm{i} \$\)тата) до всяка друга страница за един ход. Другото, което ще използваме е, че сумата на числата по редове е 1.

Симулация. Целта на симулираното движение по мрежата е да получим поредица от страници (номера), които да са посетени при случайното сърфиране. Този изход може да се изведе на печат или визуализира върху графа, но по-съществено е да се преброят колко пъти се среща всяка страница в тази поредица.

За симулацията имаме нужда от преходна матрица и начална страница. Симулацията ще направим с две функции - NextPage и Surfing. Входните аргументи на NextPage са текущата страница и преходната матрица, а изхода е следващата страница за един ход съгласно правилата на случайното сърфиране. Surfing} прави зададен брой (T) прехода чрез NextPage и отчита броя на посещение за различните страници. Този брой се разделя на T и се получават честотите на посещение. При много голямо T честотите ще са много близки до ранговете на страниците PageRank.

Преход за една стъпка (NextPage). Основната стъпка при симулацията на случайното сърфиране е преходът от една страница към друга за един ход.

Променливата Page съдържа номера на текущата страница. Редът от преходната матрица P[Page], съдържа преходните вероятности от страница Page до всичките N страници от мрежата. Тези вероятности трябва да използваме, за да определим следващата страница.

С други думи, когато знаем в коя страница е потребителя, задачата е да се генерира случайно цяло число (страница) между 0 и \(\mathrm{N}-1\), съгласно зададените вероятности за тази страница. Ето как може да стане това.

Използваме функцията rand() за генериране на случайно число и трансформацията rand()/RAND_MAX, за да получим реално число \(r\) в интервала \([0,1]\). Това число ще използваме, за да изберем следващата страница след Page.

Първо разделяме мислено интервала \([0,1]\) на N подинтервала с дължини съответни на големините на вероятностите, от реда P[Page] на преходната матрица. Точките на деление поставяме последователно така: Първата точка след 0 е P[Page][0], следващите са P[Page][0]+P[Page][1]}, P[Page][0]+P[Page][1]+P[Page][2], и т.н.

Всяка точка получаваме от предишната с добавяне на поредната вероятност от реда \(\mathrm{P}[\mathrm{Page}]\}\). Тези точки определят N подинтервала на интервала \([0,1]\). На всеки от тях съпоставяме една страница.

Сега трябва да проверим в кой подинтервал попада генерираното случайно число \(r\) и да изберем страницата, която съответства на този подинтервал. Резултатът е следващата страница след Page. Вероятността \(r\) да принадлежи на всеки от подинтервалите е пропорционална на дължините на тези подинтервали и съответно изборът на страница съответства на желаните вероятности.

Това става с цикъл for по следния начин: Променливата sum последователно приема за стойности точките на деление на интервала, проверява дали случайното число r е преди точката в sum и прекъсва цикъла, когато я надхвърли. Кодът на функцията изглежда така:

void NextPage( int page, double P[20][20], int N )
{
double r = rand()/RAND_MAX;
double sum =0.0;
for (int j=0; j<N; j++)
{
sum +=P[page][j];
if (r<sum) { page = j; break;}
}
return page;
}

Да разгледаме пример за действието на функцията NextPage. Нека потребителят се намира в страница 2. Преходните вероятности от преходната матрица са 0,\(205 ; 0,385 ; 0,025\) и 0,385. Променливата sum последователно приема стойностите \(0,0,205 ; 0,59 ; 0,615\) и 1. С тези стойности са определени интервалите:

\[ [0,0,205],[0,205 ; 0,59],[0,59,0.615] ;[0,615 ; 1] \]

- по един за всяка страница. Получаваме делението, изобразено на фигурата. На всеки интервал съответства номер на страница.

Да предположим, че чрез функцията за случайно число сме получили числото 0,43. Цикълът се върти по \(j\) от 0 до 1 и прекъсва там, тъй като числото 0,43 е в втория интервал (0,\(025 ; 0,5\) ). Така следващата страница за потребителя е 1.

Движение по мрежата. Движението по мрежата чрез случайно сърфиране има за цел да се отчетат честотите на посещение в различните страници. При фиксиран брой прехода (напр. 1000), общият брой преходи се разпределя между страниците и се получават относителните честоти на посещение. Ако относителните честоти се разделят на общия брой (в случая 1000), се получават абсолютните честоти на посещение. Така тези честоти не са свързани повече с общия брой преходи, сумата им е 1, и се интерпретират по един и същ начин за различно по време сърфиране.

Функцията Surfing повтаря NextPage T на брой пъти. В масива freq[] се записва броя на посещенията във всяка страница. След T хода, елементът freq[Page] на масива ще съдържа честотата на поява на страницата Page. Масивът freq трябва да се инициализира преди изпълнението на Surfing

int freq[100]={0};// page frequencies

Кодът на функцията изглежда така:

void Surfing(int page, double P[20][20],int N, int T, int freq[20])
{
for (int j=0; j<T; j++)
{
NextPage(p,page,N);
freq[page]++; // Да се раздели на Т някъде !!!!
}
return freq;

}

Смисълът на симулацията с Surfing е да се отчита честотата на посещаемост на отделните страници. За всеки краен брой итерации, тези честоти са приблизителни. При увеличаване на броя на итерациите, се увеличава точността на честотите поради едно от свойствата на преходната матрица. (Свойствата на преходната матрица ще разгледаме специално по-нататък.)

Експеримент. Да разгледаме резултатите от няколко симулации на случайно сърфиране. Започваме примерно от страница 0 и след 1000 прехода честотите на посещение на страниците (закръглени до третия знак след десетичната запетая) са:

НачалнастраницаЧестотинастраниците0123[0][0][0][0][0][0]0,3350,3330,3390,3200,3320,3380,1980,1960,1940,1980,2140,1990,3230,3260,3280,3270,3200,3220,1440,1450,1390,1550,1340,141

Резултатите са подобни когато сърфирането започне от друга страница.

НачалнастраницаЧестотинастраниците0123[1][1][1]0,3350,3230,3330, 2000,2090,1940, 3270,3210,3220, 1330,1470,151[2][2][2]0,3240,3240,3260,2100,2060,2080,3150,3240,3190,1510,1460,147[3][3][3]0,3310,3250,3320,2070,2020,2040,3240,3290,3200,1380,1440,144

След 1000 прехода честотите на посещение на четирите страници не зависят от началната страница! Този феномен може би да изглежда странен, но има обяснение, което отново се крие в свойствата на преходната матрица.

Честотите от отделните симулации са близки, но тяхната точност не е голяма. При 1000000 итерации честотите от една симулация са:

Честотинастраницитестраници0123честоти0,33108290,20453800,32313300,1412460

По-натакък ще разгледаме и едно друго приближение на честотите, следствие от случайното сърфиране, но осигуряващо по-бърза сходимост към истинските рангове. Чрез него могат да се получат следните честоти:

Честотинастраницитестраници0123честоти0,32570490,18481880,31813440,1713418

(Всички цифри са значещи.)

Съответстват ли тези честоти с интуитивното ни предположение за най-често посещаваната страница? Можехме ли да допуснем, че страница 0 и страница 2 са с най-високи и почти равни честоти?

Рангове на страници. Голямата популярност на Google се дължи преди всичко на ефективния алгоритъм за подреждане на web страниците по важност. Този алгоритъм се нарича PageRank и е предложен от Брин и Пейдж през 1998 г.

Ранговете на PageRank се определят напълно от структурата на хипервръзките в интернет мрежата World Wide Web. Те се преизчисляват непрекъснато и не са свързани със съдържанието на страниците или с определени критерии на търсене. За всяко конкретно търсене Google намира страниците, отговарящи на критерия, и ги подрежда съобразно техния PageRank.

PageRank е свързан с връзките, които са насочени към една страница. Ясно е, че страниците, които имат повече връзки, сочещи към тях, се посещават по-често и съответно имат по-висок ранг. Освен това страници, които се цитират в много популярни страници, би трябвало също да имат по-предни позиции в списъците на търсачката. PageRank е отражение на тези две желани свойства за подреждане на резултатите от търсене. Останалото е рекурсивно изчисляване на теглата на страниците като се използва структурата на хипервръзките между страниците.

Ще дадем формалната дефиниция на PageRank, а повече подробности могат да се намерят в статиите [1] и [2].

Нека \(u\) е произволна страница. Всички страници, които имат връзка към \(u\), допринасят за нейния ранг. Нека \(B_{u}\) е множеството от тези страници. Рангът на една страница \(v\) от \(B_{u}\) се разпределя към страница \(u\) и към другите страници, които са цитирани в \(v\). Ако означим с \(N_{v}\) броят на връзките, които са в \(v\), то приносът на \(v\) към ранга на \(u\) е \(\cfrac{R(v)}{N_{v}}\).

Така рангът на страницата \(u\) се формира чрез ранговете настраниците, които имат връзки към нея:

\[ R(u)=c \sum_{v \in B_{u}} \cfrac{R(v)}{N_{v}}, \] където сумата е по всички страници от множеството \(B_{u}\) на страниците, които имат връзки към \(u\). Нормализиращият множител \(c\) осигурява общият ранг на всички страници да е константа.

В тази дефиниция са включени всички страници от мрежата. Тя съответства на случайното сърфиране, в което не се допуска случаен скок към произволна страница от мрежата.

Има няколко особености при прилагането на тази формула на практика в реалната мрежа World Wide Web. Един съществен проблем идва от това, че страниците, от които не излизат връзки, не могат да участват във формулата, защото за тях \(N_{u}\) е нула. Определянето на PageRank в www става в две итерации. При първата итерация, от множеството на всички страници се изключват тези, от които не излизат връзки и се определят ранговете на останалите страници. При второто итерация участват всички страници, изчисляват се рангове на пропуснатитестраници и се коригират ранговете на останалите страници.

Друг проблем е, че в реалната мрежа съществуват групи от страници към някои от които има връзки отвън, но от никоя от тях не излизат връзки извън групата. Тези страници са нещо като капани и с опростената формула тези страници получават безкраен ранг.

Схема на прост капан

Прост капан. За да се избегнат такива проблеми, формулата се коригира подобно на правилото \(90-10\) по следния начин. Нека \(E(u)\) е вектор с дължина броя на страниците в мрежата и елементи, съответни на някакви базови рангове на страниците (може и да са равни). Тогава PageRank на това множество от web страници удовлетворява уравнението

\[ R^{\prime}(u)=c \sum_{v \in B_{u}} \cfrac{R^{\prime}(v)}{N_{v}}+c E(u) . \]

Ранговете на страниците са свойство на самите страници, а не на начина за изчисляването. Рангът на една страница е отражение на поведението на потребителите на WWW и е равен на вероятността тя да се бъде посетена при случайно сърфиране.

За изчисляването на PageRank не е задължително да се извършва продължително случайно сърфиране. Има по-ефективен метод за изчисляването на PageRank, който се основава на алгебричните свойства на преходната матрица и на така наречените Вериги на Марков. По-нататък ще разгледаме подробно този метод.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brin, S., Page, L. (1998). The anatomy of a large-scale hypertextual web search engine. Computer Networks and ISDN Systems, 30, 107-117.

2. Page, L., Brin, S., Motwami, R, Winograd, T. (1998). The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web. Technical report. Stanford Digital Library Technologies Project.

3. Langville, A.N., Meyer, C.D. (2006). Google’s PageRank and beyond, Princeton: Princeton University Press.

4. Baldi, P., Frasconi, P., Smyth, P. (2003). Modeling the Internet and the Web. Probabilistic Methods and Algorithms. NYSE: JohnWiley & Sons Inc.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.