Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2016/2, стр. 193 - 203

COMPARATIVE ANALYSIS REGARDING THE USE OF COMPLEX NUMBERS IN SECONDARY SCHOOL

Katerina Anevska
E-mail: anevskak@gmail.com
Faculty of Informatics
First Private University – FON
Blvd. Vojvodina bb
1010 Skopje Macedonia
Sava Grozdev
E-mail: sava.grozdev@gmail.com
University of Finance Business and Entrepreneurship
1 Gusla Str.
1618 Sofia Bulgaria
Risto Malčeski
E-mail: risto.malceski@gmail.com
Faculty of Informatics
First Private University – FON
Blvd. Vojvodina bb
1010 Skopje Macedonia

Резюме: The study of Euclidean plane geometry is compulsory for high school students. Practice shows that even the most advanced students face difficulties when learning this material, and especially the content related to the metric characteristics of the geometric figures and their use. On the other hand, the high school syllabus also includes complex numbers, characterized by an analytical apparatus, which is adequate for learning Euclidean plane geometry. This paper presents the results of a comparative analysis of the scores of the students related to the metric characteristics of the geometric figures in the Euclidean plane and their use, when studied with the use of complex numbers (Malcheski, Grozdev & Anevska, 2015), and when studied in a standard way (Mitrović & al., 1998).

Ключови думи: complex number, triangle, circle, test, hypothesis.

1. Introduction

The modern education systems are faced to the challenge of differentiation and integration of the mathematics instruction. As we know, the division of mathematics to numerous scientific, and naturally instructional disciplines is one of the reasons for the existing differentiation of mathematics instruction. This is why there have been tendencies lately both for intra-subject and inter -subject integration of mathematics instruction. There is also a tendency to achieve the integration of mathematics instruction by changing the syllabi, i.e. by revising them, all with the goal to:

– improve inter-subject integration of mathematics instruction,

– stimulate the students to acquire permanent and applicable, operative and structural knowledge, and

– improve the training of the students for successful inclusion in the higher levels of education.

Accomplishing the mentioned goals is a comprehensive and complex task, which requires analysis of the entire material covered in the high school education, and this cannot be realized by a single research. Having in mind that the students have continuously displayed very poor results when dealing with transformations in the Euclidean plane, as well as the metric characteristics of the plane geometric figures and their use, we developed a syllabus which is based on the use of the complex numbers, and can be listed as an elective subject in comprehensive high school, which is the subject matter of the book (Malcheski, Grozdev & Anevska, 2015). Using this syllabus and the existing syllabi (Mitrović & al., 1998), we carried out an experiment with the purpose to fulfill the goals mentioned previously. The results of the experiment and the conclusions which refer to learning transformations in the Euclidean plane are presented in (Anevska, Grozdev & Malcheski, 2015), while (Anevska, Gogovska & Malcheski, 2015)

and (Anevska, 2014) present some views about certain questions related to the application of complex numbers when learning this content. Further on in the paper we present the results from the experiment, which answer the following question:

Compared to the existing syllabi, does acquiring knowledge and skills about the metric characteristics of the geometric figures and their use by applying complex numbers in the high schools stimulate acquiring advanced operative and structural knowledge?

2. Research design

The previously mentioned question defines the subject of the research, which is connected with the scores of the students regarding the metric characteristics of the geometric fi gures and their use by following the experimental syllabus, compared to the scores when the existing syllabi are followed. We set the following hypothesis according to the subject of our research:

The experimental syllabus results in greater knowledge and skills as opposed to the existing syllabi regarding the metric characteristics of the geometric fi gures and their use.

As a result of the inability to get a simple random sample, in the period between January 20 and May 20, 2014, we carried out an experiment with voluntary participation of two groups, a control group and an experimental one, each consisting of 25 students with advanced mathematical knowledge and skills from a high school of science. The experiment had the following stages:

– division of the students in a control and an experimental group, the basic criterion being that the students have approximately equal scores in mathematics in the previous school years,

– the control group, using book (Mitrović & al., 1998) and additional literature, revised material related to the metric characteristics of the plane geometric fi gures, with emphasis on triangles and circles,

– the experimental group, using book (Malcheski, Grozdev & Anevska, 2015), had instruction which used complex numbers to elaborate the topic Geometry of the circle and the triangle, – after the instruction, a test was given to assess the knowledge of the students, resulting in an analysis of the results, including:

i) assessment of the validity of the test, i.e. do the scores of the students from the control and experimental group follow normal distribution, and ii) comparison of the scores of the students from the control and experimental group, carried out by testing the hypotheses referring to the comparison of the mathematical expectations and the distributions of the scores of the students of the control and experimental group.

3. Research results

As we have already mentioned, the test was created with the purpose to assess the knowledge of the students from the control and experimental group regarding the topic Geometry of the circle and the triangle, covered by both syllabi. The test contained 6 tasks and the students were given 90 minutes to complete it. The scores of the students were assessed according to a proportional scale, since it allows the use of the Kolmogorov-Smirnov test that is used to test the hypothesis if the scores of the students have an adequate normal distribution, i.e. it evaluates the quality of the test. Further on, we compared the scores of the students from the control and the experimental group for every task and we gave adequate comments. Below we present the test which was taken by the students from the two groups.

TEST

1. (\(\mathbf{1 5}\) points). If \(A_{1}, B_{1}\) and \(C_{1}\) are the midpoints of the sides \(B C, A C\) and \(A B\) of \(\triangle A B C\), prove that

\[ \begin{array}{lll} A_{1} B_{1} \| A B, & B_{1} C_{1} \| B C, & C_{1} A_{1} \| C A, \\ 2 \overline{A_{1} B_{1}}=\overline{A B}, & 2 \overline{B_{1} C_{1}}=\overline{B C}, & 2 \overline{C_{1} A_{1}}=\overline{C A} . \end{array} \]

2. (\(\mathbf{2 0}\) points). If \(H\) and \(O\) are the orthocenter and center of the circumscribed circle around \(\triangle A B C\), then

\[ \overline{O H}^{2}=9 R^{2}-\left(\overline{A B}^{2}+\overline{A C}^{2}+\overline{B C}^{2}\right), \] where \(R\) is the length of the radius of the circumscribed circle. Prove it!

3. (\(\mathbf{2 0}\) points). \(S\) is the center of the circumscribed circle, and \(H\) is the orthocenter of \(\triangle A B C\). Point \(Q\) is such that it makes \(S\) the midpoint of the segment \(H Q\). \(T_{1}, T_{2}\) and \(T_{3}\) are the centroids of \(\triangle B C Q, \triangle C A Q\) and \(\triangle A B Q\) respectively. Prove that

\[ \overline{A T}_{1}=\overline{B T}_{2}=\overline{C T}_{3}=\tfrac{4}{3} R, \] where \(R\) is the radius of the circumscribed circle of \(\triangle A B C\).

4. (15 points). \(\triangle A B C\) has points \(D\) and \(E\) on sides \(B C\) and \(C A\) respectively, in such a way that \(\overline{B D}=\overline{C E}=\overline{A B}\). We draw a straight line (l) parallel to \(A B\) through point \(D\). If \(M=(l) \cap B E\) and \(F=C M \cap A B\), then \(\overline{A B}^{3}=\overline{A E} \cdot \overline{F B} \cdot \overline{C D}\). Prove it!

5. (15 points). There is a circumscribed circle around the equilateral triangle \(A B C\). The random point \(M\) belongs to the arc \(\overparen{B C}\) to which the point \(M\) does not belong. Prove that \(\overline{B M}+\overline{C M}=\overline{A M}\).

6. (15 points). There is a cyclical quadrilateral \(A B C D\). Points \(P\) and \(Q\) are symmetrical to point \(C\) when compared to the straight lines \(A B\) and \(A D\) respectively. Prove that the straight line \(P Q\) passes through the orthocenter of the triangle \(A B D\).

Table 1 presents the results of the scores of the control group students. Since we do not have information about the arithmetic mean and the mean square deviation, and since this information is required for further analysis, we will calculate them from the data presented in Table 1. The arithmetic mean, i.e. the average number of points scored by the students is \(\bar{x}_{25}=53,8\), , making the mean square deviation \(\bar{s}_{25}=13,51\).

Table 1. Scores of the control group studentsStudentPoints per task1234561. 155001002. 15505553. 15550554. 1550101005. 151555006. 155100557. 1510505108. 1551001509. 15101055010. 151051001011. 15555101012. 155551010
13. 155015101014. 155101015015. 151051051016. 1510105101017. 155101015518. 155101015519. 1510151015020. 1510015101521. 15101010101022. 15101010101523. 1515101515024. 1520015101525. 151510151515

Taking into consideration that the test is valid, objective, reliable and sensitive, i.e. its characteristics are adequate, the scores of the students should follow normal distribution \(\mathrm{N}\left(54 ; 14^{2}\right)\). This is an indicator that we should first test \(H_{0}\) : the function of distribution \(F_{X}\) of the scores of the students is equal to the normal distribution, i.e. the hypothesis \(H_{0}: F_{X}=\mathrm{N}\left(54 ; 14^{2}\right)\). For this purpose, as we have already mentioned, we will use the Kolmogorov-Smirnov test with a level of significance \(\alpha=0,05\), where \(z_{i}=\tfrac{x_{i}-54}{14}\). The calculations are presented in Table 2.

According to the data in Table 2, the greatest value of \(\left|F_{n}(x)-F(x)\right|\) is \(d_{25}=0,09891\) and it is achieved for \(x=45\). Since the level of significance is \(\alpha=0,05\) and the data number is \(n=25\), from Kolmogorov's criterion table, we established that \(d_{25 ; 0,05}=0,2639\). Since

\[ d_{25}=0,09891 \lt 0,2639=d_{25 ; 0,05} \] we have no reason to dismiss the assumption that the distribution of the scores of the students regarding the first test is \(\mathrm{N}\left(54 ; 14^{2}\right)\).

Table 2. Kolmogorov–Smirnov test for the control groupixin() niFx5414ixiz−=() iFx|() () |nFxFx−3010,04-1,710,043630,003633520,12-1,360,086910,033094030,24-1,000,158660,081344530,36-0,640,261090,098915030,48-0,290,385910,09409
5530,600,070,527900,072106030,720,430,666400,053606530,840,790,785240,054767020,921,140,872860,047147510,961,500,933190,0268185112,210,986100,01390

We will use the Kolmogorov-Smirnov test both for the control and the experimental group. Table 3 presents the scores regarding each task by every student from the experimental group individually.

Table 3. Scores of the experimental group studentsStudentPoints per task1234561. 1055010102. 10510101003. 1510105554. 15510101005. 1515550106. 151010010107. 151051010108. 151015105109. 1515101010510. 1510101515011. 1551015101012. 15101015101013. 15101010151014. 1520100151015. 1551015101516. 15101010101517. 1520510101518. 15101510151019. 1515151015520. 15201010151021. 15151010151522. 15151015151523. 15201015101524. 15202015101525. 152020151515

Analogously to the previous cases, the data in Table 3 shows that the arithmetic mean, i.e. the average number of points scored by the students is \(\bar{x}_{25}=68,4\), making the mean square deviation \(\bar{s}_{25}=14,61\). According to this, in order to assess the measuring characteristics of the test, in terms of the experimental group, we need to test the hypothesis \(H_{0}\) : the function of distribution \(F_{X}\) of the scores of the students is equal to the adequate normal distribution, i.e. the hypothesis \(H_{0}: F_{X}=\mathrm{N}\left(68 ; 15^{2}\right)\). For this purpose we will once again use the Kolmogorov-Smirnov test with a level of signifi cance \(\alpha=0,05\), where \(z_{i}=\tfrac{x_{i}-68}{15}\). The calculations are presented in Table 4.

Table 4. Kolmogorov–Smirnov test for the experimental groupixin() niFx6815ixiz−=() iFx|() () |nFxFx−4010,04-1,870,030740,009264510,08-1,530,063010,016995030,2-1,200,115070,084935510,24-0,870,192150,047856010,28-0,530,298060,018066540,44-0,200,420740,019267050,640,130,551720,088287530,760,470,680820,079188020,840,800,788140,051868520,921,130,870760,049249510,961,800,964070,00407100112,130,983410,01659

According to the data in T able 4, the greatest value of \(\left|F_{n}(x)-F(x)\right|\) is \(d_{25}=0,08828\) and it is achieved for \(x=70\). Since the level of signi ficance is \(\alpha=0,05\), and the number of students (data) is \(n=25\), from Kolmogorov's criterion table, we established that \(d_{25 ; 0,05}=0,2639\). Since

\[ d_{25}=0,08828 \lt 0,2639=d_{25 ; 0,05} \] there is no reason to dismiss the assumption that the distribution of the scores of the students regarding the first test is \(\mathrm{N}\left(68 ; 15^{2}\right)\).

Previously, we came to the conclusion that the test scores of the two groups follow normal distribution, which allows us to compare them. As we were able to see, the experimental group students scored 68.4 points on average, and the control group students scored 53.8 points on average. The mean square deviation of the experimental group is approximately 14 points, and the one of the control group is approximately 15 points. This means that the scores of the experimental group students in comparison to the scores of the control group students are higher for \(27.14 \%\). This allows us to conclude that the experimental syllabus results in significantly better results. Hence, we can conclude that the use of the experimental syllabus related to the mentioned material, i.e. solving tasks, which emphasize the metric characteristics of the geometric figures, results in improved inter -subject integration of the mathematics instruction in the high schools, as well as better preparation of the students for inclusion in the higher levels of education. This is confirmed even more with the test for the difference of the mathematical expectations of unknown distributions and large samples. This is possible because in the previous analyses we established that the scores of the students in the two groups follow normal distribution. In this case

\[ \bar{x}_{25}=68,4, \bar{y}_{25}=53,8, n_{1}=n_{2}=25, \bar{s}_{x}=14,61 \text { and } \bar{s}_{y}=13,51 \]

We will test the hypothesis \(H_{0}: m_{1} \leq m_{2}\) as opposed to the alternative hypothesis \(H_{1}: m_{1} \gt m_{2}\), with a level of significance \(\alpha=0,01\) \[ \tfrac{\bar{x}_{n_{1}}-\bar{y}_{n_{2}}}{\sqrt{n_{2} \bar{s}_{x}^{2}+n_{1} \bar{s}_{y}^{2}}} \sqrt{n_{1} n_{2}}=\tfrac{68,4-53,8}{\sqrt{25 \cdot 14,61^{2}+25 \cdot 13,51^{2}}} \sqrt{25 \cdot 25}=3,60 \]

from the table of normal distribution we can establish that \(z_{1-\alpha}=2,33\). The final result is

\[ \tfrac{\bar{x}_{n_{1}}-\bar{y}_{n_{2}}}{\sqrt{n_{2} \bar{s}_{x}^{2}+n_{1} \bar{s}_{y}^{2}}} \sqrt{n_{1} n_{2}}=3,60 \gt 2,33=z_{1-\alpha} \]

This means that we should dismiss the hypothesis \(H_{0}\), i.e. at a level of significance \(\alpha=0,01\) we accept that the mathematical expectations related to the scores of the experimental group students are higher than the mathematical expectations related to the scores of the control group students.

Further on, the mean square deviations \(\bar{s}_{x}=14,61\) and \(\bar{s}_{y}=13,51\) differentiate insignificantly. Nevertheless, before making a final decision about whether to accept or dismiss the set hypothesis, we are going to compare the distribution of the scores of the two groups. For this purpose, we are going to use the test for equality of distribution of the two independent normally distributed markings, i.e. we are going to test the hypothesis \(H_{0}: \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}\) as opposed to the alternative hypothesis \(H_{1}: \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}\) with a level of significance \(\alpha=0,10\). This indicates that \(n_{1}=n_{2}=25, \bar{s}_{x}=14,61\) and \(\bar{s}_{y}=13,51\), therefore \(\tfrac{n_{1}\left(n_{2}-1\right) \bar{s}_{x}^{2}}{n_{2}\left(n_{1}-1\right) \bar{s}_{y}^{2}}=1,169472\). Further on, from the Fisher's distribution table we can see that

\[ F_{n_{1}-1, n_{2}-1 ; \tfrac{\alpha}{2}}=F_{24,24 ; 0,05}=2,66 \text { and } F_{n_{2}-1, n_{1}-1 ; \tfrac{\alpha}{2}}^{\prime}=F_{24,24 ; 0,05}=2,66 \] which means that \(F_{2}=2,66\) and \(F_{1}=\tfrac{1}{2,66}=0,38\). Therefore, since

\[ F_{1}=0,38 \lt \tfrac{n_{1}\left(n_{2}-1\right) \bar{s}_{x}^{2}}{n_{2}\left(n_{1}-1\right) \bar{s}_{y}^{2}}=1,169472 \lt 2,66=F_{2} \] we conclude that there is no reason to dismiss the hypothesis \(H_{0}: \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}\).

The above mentioned allows us to conclude that we should accept the set hypothesis, which means that regarding the use of acquired knowledge in solving tasks related to the metric characteristics of the geometric figures, the students who followed the experimental syllabus had better scor es than the students who followed the existing syllabi.

Regarding the scores of the students in terms of each task separately , Tables 5 and 6 allow us to conclude that the students who followed the experimental syllabus had better scores than the students who followed the control syllabus. The poor results in task 1 are the result of calculation errors made by two students, which means that the problem is not the syllabus, but the concentration of the students. In terms of the second task, it is evident that the average scores of the experimental group students are almost \(45 \%\) higher and are the result of the simple analytical apparatus characteristic of the complex numbers for solving this type of tasks. The previously mentioned is especially prominent when it comes to the average scores of the experimental group students in the third task. The average score in this task is almost \(66 \%\) higher in comparison to the score of the control group students. The similar difference of scored points in the second task can also be seen in the sixth task, where the experimental group students scored a result which is \(45 \%\) higher than the one scored by the control group students, while the differences are smaller regarding the fourth and fifth task and range around \(28 \%\) and \(17 \%\) respectively.

Table 5. Points and average score of points per taskTask123456Total number of points375215160195235165Average by student158,66,47,89,46,6
Table 6. Points and average score of points per taskTask123456Total number of points365310265250275245Average by student14,612,410,610119,8

The facts presented so far allow us to conclude that when solving metric problems and problems related to the signi ficant points of the triangle, the experimental group students scored significantly better results in almost all tasks. These scores are, above all, a result of the analytical apparatus characteristic of the complex numbers, which allows an effective study of the Euclidean plane geometry when placed correctly in the coordinate system.

4. Conclusion

One of the goals of mathematics instruction is for the students to acquire comprehensive, applicable and permanent mathematical knowledge. Reaching this goal is not a simple task at all, however, we believe that the good differentiation and integration of mathematics instruction is necessary for this.

In the previous analysis we dealt with the results from an experiment about the integration of the content of Complex numbers and Euclidean geometry . In high school education, during this experiment, this integration was realized by introducing the elective subject Geometry of a complex number, for which an adequate syllabus was created, also used as the basis for book (Malcheski, Grozdev & Anevska, 2015). The results from the research and the structure of the syllabus allow us to conclude that:

– the experimental syllabus increased the inter-subject integration of the mathematics education, and

– by learning about Geometry of the circle and the triangle with the experimental program, the students acquired advanced operative knowledge and structured skills related to the metric characteristics of the circle and the triangle and their use, and

– the realization of the experimental syllabus improved the readiness of the students to include in the higher degrees of education.

ЛИТЕРАТУРА/REFERENCES

Anevska, K., V. Gogovska & R. Malcheski (2015). The role of complex numbers in interdisciplinary integration in mathematics teaching. Procedia – Social and Behavioral Sciences, 191, 2573 – 2577

Anevska, K., S. Grozdev & R. Malcheski (2015). Comparative analysis regarding the study of transformations in the Euclidean plane by applying complex numbers, Mathematics and Informatics, 58 (3) , 261 – 271

Anevska, K. (2014). Methodical approach for introduction of an exponential entry of complex numbers in secondary education, Proceedings of the \(V\) Congress of Mathematicians of Macedonia, September 24 – 27, 2014, Ohrid, pp. 13 – 19

Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska (2015). Geometry of complex numbers. Sofi a: Arhimed.

Mitrović, M., S. Ognjanovi ć, M. Veljković, Lj. Petkovi ć & N. Lazarevi ć (1998). Geometrija za I razred Matematičke gimnazije. Beograd: Krug.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Canatalay, Ashima, Kukkar, Sadiq Hussain, Arun Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa Mahareek, Abeer Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
EDITORIAL / КЪМ ЧИТАТЕЛЯ

Сава Гроздев

STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić, Шефкет Арсланагич

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.