Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2012/3, стр. 238 - 248

ИНДИВИДУАЛНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ТРАЕКТОРИЯ ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЧАСТЕН СЛУЧАЙ

Борислав Лазаров
E-mail: lazarov@math.bas.bg
Associate Professor, Doctor in Pedagogy
Institute of Mathematics and Informatics – BAS
Acad. G. Bonchev Street, bl. 8
1113 Sofia, Bulgaria

Резюме: В статията е представено едно изследване на частен случай: работата по изготвяне и представяне на проект по математика от ученик в горния курс. Разработена е индивидуална образователна траектория, регистрирано е изграждане на компетентност от синтетичен тип. В резултат от образователния процес е наблюдавано значително повишаване на познавателната активност в средносрочен план; изградена е синтетична компетентност, в резултат на което са постигнати самостоятелни математически резултати.

Ключови думи: summarywise numbers, \(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}\)-summarywise numbers, synthetic competence, individual educational trajectory, Socratic style

1. Увод

Индивидуалният подход в обучението по математика е широко спряган и сравнително малко прилаган в масовата педагогическа практика, най-вече поради изключително голямата му ресурсоемкост. Обаче когато все пак се намерят необходимите ресурси, предимно в извънкласни форми, възвращаемостта е впечатляващо висока (Grozdev, 2007).

Понятието траектория на познанието е въведено от Колягин (Колягин, 1977). Възможностите за внасяне на корекции в траекторията на познанието и свързаните с това лоши и добри управляеми процеси са изследвани от Ганчев (Ганчев & Кучинов, 1996) в контекста на урока по математика. Индивидуалната образователна траектория (ИОТ) е проекция на общото понятие върху отделен ученик. Тя задава добър управляем процес (Ганчев & Кучинов, 1996), като включва индивидуален подход, но има по-големи задачи. В контекста на тази статия ИОТ е организация и провеждане на образователен процес в средносрочна или дългосрочна перспектива с отчитане на индивидуалните специфики при обучението и създаване на възможности за максимално развитие на творческия потенциал на личността.

Проектирането и реализацията на индивидуална образователна траектория е комплексен процес, в който се включват следните елементи:

1) Формиране на индивидуално информационно обкръжение.

2) Индивидуализация на обема дидактически ресурси, включително на индивидуален изследователски инструментариум.

3) Индивидуализация на целите на образователния процес, гъвкав подход в преследването им.

4) Индивидуализация на темповете на учене, на изследователските дейности и оформянето на резултатите.

5) Отчитане на индивидуалните рефлексивни умения и възможностите за самоорганизация, търсене на синергичен ефект.

По-нататък ще илюстрираме с конкретни описания на дейности изброените елементи на ИОТ в контекста на един частен случай.

2. Сократовият стил след четвъртата стъпка от модела на Пойа

В четиристъпковия модел на Пойа за решаване на задача четвъртата стъпка е анализ на решението (поглед назад) (Polya, 1945). Тя е абсолютно необходим елемент в обучението, доколкото визира възможността разработените методи в едно решение да се пренасят в следващи задачи. Понякога, обаче, след такава стъпка може да настъпи творческо преосмисляне на задачата, което далеч надхвърля параметрите на образователен процес. Приложените в решението евристични схеми позволяват да се постигнат нови математически резултати, да се разработи ново направление за изследователска дейност. Разбира се, това един ученик не може да постигне самостоятелно, но с помощта на система от насочващи въпроси от страна на учителя, ученикът може да отиде много далеч.

Достигането до определени заключения чрез система от въпроси в педагогиката е известен метод, датиращ от времето на Сократ – сократов модел за обучение (Maxwell, 2011). Парадигмата, в която се прилага сократовият модел, е следната: учителят знае добре накъде води обучаемите; той само подбира дидактическия инструментариум в рамките на контекста на класа; сократовата анкета е ключов елемент в дидактическия сценарий.

В нашето изследване ние не предлагаме методика за построяване на сократова анкета (една такава методика е дадена от Пойа в цитираната книга), но следваме стила, прокламиран в метода. Това се обуславя от различната парадигма, в която протича образователно-изследователският процес: учителят (научният ръководител) води обучаемите в определено направление без да знае отнапред крайната точка на образователния процес; той разчита предимно на своята ерудиция, като подбира дидактическия инструментариум гъвкаво и динамично, прилагайки сократов стил.

По този начин чрез сократовия стил обучението прераства в интерактивен процес с елементи на изследователско търсене. Дидактическата цел на този процес е изграждането у обучаемия на една амалгама от компетенции, които определяме като синтетична компетенстност (Lazarov, 2010). Психологическа обосновка такъв подход може да намери в гещалтпсихологията, което, обаче, е извън сферата на нашия интерес.

3. Последиците от едно участие в Турнира Черноризец Храбър

Следната задача бе включена в темата за 11.-12. клас на 19-ия турнир Черноризец Храбър през 2010 г.

Задача. Едно число ще наричаме сумарно, ако е едновременно сума на две последователни естествени числа и на три последователни естествени числа. Относно коя операция множеството на сумарните числа е затворено, т.е. резултатът от операцията на всеки две сумарни числа е също сумарно число?

А) събиране

Б) изваждане

В) умножение

Г) деление

Д) никоя от тези

Пролет Лазарова беше ученичка в 11. клас, когато се яви на Турнира. По време на състезанието тя не успя да реши горната задача. Веднага след това тя бе по-дканена от автора отново да обмисли задачата, но тя отново не успя. Тогава ѝ бе предложено да разгледа включените в темите за по-малките класове задачи на тази тема, изискващи намирането на броя на сумарните числа, ненадвишаващи съответно 10 (5.-6. клас) и 2010 (7.-8. клас). Пролет се справи бързо с първата задача. За да реши втората ѝ бе подсказано да потърси общия вид на едно сумарно число. Тя се справи бързо със случая 2010, реши и първоначалната задача.

По време на анализирането на решението бе обсъден важният въпрос с означенията – за множеството на сумарните числа беше избрано означението S. Обърнато беше внимание на възможността получените в решението резултати да се формулират като независимо твърдение:

Теорема 1. Множеството \(\mathbf{S}\) на сумарните числа има вида

\[ \mathbf{S}=\{6 n+3: n \in \mathbf{N}\} . \] (Отговор на задачата: \(\mathbf{S}\) е затворено единствено относно умножението.)

Поглеждайки назад решението на основната задача и двете спомагателни задачи, естествено възникна идеята подобни въпроси да се поставят за числа, които са едновременно сума на 3 и на 4 последователни естествени числа, на 4 и 5 последователни естествени числа и т.н. Пролет бе подканена да разгледа съответните примери. Ето някои от тях.

Множеството на числата, които са едновременно сбор на три последователни естествени числа и сбор на четири последователни естествени числа. Търсенето на означение за това множество доведе до символите \(S_{3,4}\). Съответният на теорема 1 резултат за \(S_{3,4}\) изглежда така: \(S_{3,4}=\{6(2 n+1): n \in \mathrm{~N}\}\) и \(S_{3,4}\) не е затворено относно нито една от аритметичните операции.

Множеството \(S_{3,5}\) на числата, които са едновременно сбор на три по-следователни естествени числа и сбор на пет последователни естествени числа, е затворено както относно събирането, така и относно умножението. Множеството \(S_{2,4}\) на числата, които са едновременно сбор на две последователни естествени числа и сбор на четири последователни естествени числа, е празното множество.

4. Първи стъпки в изследователско направление

Разгледаните примери показаха на Пролет (и на автора – нейния ръководител), че въпросите около числата, които имат представяне, аналогично на сумарните числа, са съдържателни. Примерите по естествен начин подсказаха едно непосредствено обобщение на понятието сумарно число:

Нека \(l_{1}\) и \(l_{2}\) са естествени числа, по-големи от 1. Едно число ще наричаме \(l_{1}, l_{2}\)сумарно, ако е едновременно сбор на \(l_{1}\) последователни естествени числа и сбор на \(l_{2}\) последователни естествени числа. Множеството на \(l_{1}, l_{2}\)-сумарните числа ще бележим с \(S_{l_{1}, l_{2}}\). Ясно е, че \(\mathrm{S}=\mathrm{S}_{2,3}\).

Въпросите за затвореност на едно множество относно определена операция са типични за висшата алгебра. Преценено бе, че въвеждането на терминологията на алгебричните структури няма да обогати съдържателно темата, а ще натовари с формализъм и без туй нетривиалната за един ученик материя.

По-нататък обобщенията вървяха по естествен път. Пролет лесно се справи с изследването на множеството от числата, които са едновременно сбор на три, четири и пет последователни естествени числа, за което въведе означението \(S_{3,4,5}\). Така тя стигна до следната обща дефиниция.

Нека \(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{\mathrm{k}}\) са естествени числа,l2,...,lk са естествени числа, по-големи от 1. Едно число наричаме \(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{\mathrm{k}}\)сумарно, ако е едновременно сума на \(l_{i}\) последователни естествени числа за всяко \(i=1,2, \ldots, k\). Множеството на \(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{\mathrm{k}}\)- сумарните числа отбелязваме с \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}\).

Следвайки сократовия стил, на Пролет и бе поставен въпросът да изследва най-примитивните представители на множества от типа \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}\),l2 ,,lk , тези, за които \(k=1\), т.е. от вида \(S_{l}\). Разбира се, започна се с конкретни примери: \(S_{2}\) са нечетните числа, по-големи или равни на \(3 ; S_{3}\) са кратните на 3, по-големи от или равни на 6; \(S_{5}\) са кратните на 5, по-големи от или равни на 15. Тя обобщи примерите в следната

Теорема 2. Множеството \(S_{l}\) се състои от членовете на аритметичната прогресия с първи член \(\cfrac{l(l+1)}{2}\) и разлика \(l\).

По този начин беше направена и връзка с изучавания в училище материал. Понеже тъкмо беше приключен разделът прогресии, Пролет се почувства в свои води – позната материя, но вече изпълнена с допълнително съдържание. Непосредствено следствие от теорема 2 бяха следните резултати, обобщаващи разгледаните примери

Теорема 3. Ако \(l\) е нечетно, то \(S_{l}=\left\{l n: n \in \mathrm{~N}, n \geq \cfrac{l+1}{2}\right\}\).

Теорема 4. Ако \(l\) е четно, то \(S_{l}=\left\{\cfrac{l}{2}(2 n+1): n \in \mathrm{~N}, n \geq \cfrac{l}{2}\right\}\).

Сега Пролет беше насочена към изясняването на съответните въпроси за \(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}\)-сумарните числа: да опише съществуването и структурата на \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}\) и да изследва тези множества за затвореност относно аритметичните операции. Следният резултат, който е равносилен на дефиницията, бе откроен като

Теорема 5. (Основна теорема за \(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}\)-сумарните числа) За произволни естествени числа \(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}\), по-големи от \(1, S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}=S_{l_{1}} \cap S_{l_{2}} \cap \ldots \cap S_{l_{k}}\).

За пълноценното приложение на теореми 2 и 5, които представяха \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}\) като общи членове на аритметични прогресии, Пролет трябваше да установи следния (технически не прост) помощен резултат.

Лема 1. Нека са дадени аритметичните прогресии от естествени числа

Ако съществува общ член на \(A^{\prime}\) и \(A^{\prime \prime}\), то съществуват безбройно много общи членове, които образуват аритметична прогресия с разлика НОД ( \(d^{\prime}, d^{\prime \prime}\) ).

Непосредствено следствие от теорема 5 и лема 1 е следната

Теорема 6. Нека \(k \geq 2\) е естествено число и \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}} \neq \emptyset\). Тогава \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}\) е аритметична прогресия с разлика НОД \(\left(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}\right)\).

Резултатите от теорема 1 до теорема 6 в съдържателен план бяха получени за около месец. Разбира се, нито разработката, нито оформянето беше гладък процес – имаше лутания както в евристичната, така и в техническата част. Например някои примери първоначално бяха обявени за теореми, понеже не се виждаха по-общите резултати. Избистрянето на въпросите около означенията също изигра ключова роля за обобщаване на резултатите: първоначално вместо \(S_{l_{1}, l_{2}}\) се използваше означението \(S_{l, m}\), , зад което не прозираше ясно общото понятие \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}\).

Паралелно Пролет се учеше да набира текста на ТеХ, понеже наближаваше срокът за предаване на статия за участие в годишната конференция на Ученическия институт. За самата конференция трябваше да се подготви презентация. Необходимостта да бъдат отделени най-съществените резултати доведе до преосмисляне на формулировките, което постепенно изграждаше у Пролет по-висок стил на изразяване. Това пък даваше възможност да се поставят въпроси, третиращи по-задълбочено материята.

Понеже Пролет нямаше подкрепа в училище, тя прояви инициатива и организира сама съучениците си, за да им представи своята разработка. Това се оказа много полезно за представянето ѝ на националната ученическа конференция. Повишената ѝ познавателна активност доведе до получаването на нови резултати след предаването на статията.

5. Задълбочаване на изследователските търсения

Подготовката за изследователско търсене беше осъществена и Пролет можеше да дискутира определени детайли, да повдига сама въпроси не само от технически, но и от съдържателно естество. Беше ѝ предложено да изследва затвореност на \(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}\)-сумарните числа относно аритметичните операции в светлината на основната теорема. Това доведе до формулирането на следните два резултата.

Теорема 7(8). Ако \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}} \neq \emptyset\), то \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}\) е затворено относно събирането (умножението), точно когато \(S_{l_{i}}\) е затворено относно събирането (умножението) \(\forall i \in\{1,2, \ldots, k\}\).

За доказателството на тези теореми Пролет трябваше да се запознае с релацията сравнение по модул. При това нивото на абстрактност, до което беше стигнала, позволяваше да обединява резултатите за двете операции в обща формулировка, например

Лема 2. Нека е някоя от операциите събиране или умножение и нека \(A A\) е аритметична прогресия с членове естествени числа и разлика \(d\). Ако съществуват \(a, b, c \in A\), такива че \(a \circ b \equiv c(\bmod d)\), то \(a \circ b \equiv c(\bmod d)\) за всички \(a, b, c \in A\).

В по-нататъшните изследователски търсения бяха получени още два съдържателни резултата.

Теорема 9. Ако \(S_{l}\) е затворено относно събирането, то то е затворено и относно умножението.

Теорема 10. За всяко нечетно \(l\) множеството \(S_{l}\) е затворено относно събирането.

Допълнителен стимул за Пролет бе възможността за участие в международната ученическа конференция EUROMATH-2011. Нейният ентусиазъм значително нарасна, което доведе до получаването на нови математически резултати.

Теорема 11. \(S_{2^{k}, q 2^{k+m}}=\varnothing \quad \forall k, m, q \in \mathbf{N}\).

Теорема 12. Ако \(l_{i}, i=1,2, \ldots, k\), i = 1,2,, k, са две по две взаимно прости, то \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}} \neq\) \(\varnothing\).

Теорема 13. Ако \(l_{i}, i=1,2, \ldots, k\), i = 1,2,, k, са нечетни, то \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}} \neq \varnothing\).

Разбира се, пътят до тези резултати беше неравен и лъкатушен. Сократовият стил бе прилаган в пълна степен. Теорема 11 имаше няколко по-слаби предварителни варианта, а за теорема 12 се наложи Пролет да се запознае с китайската теорема за остатъците. Всички тези търсения имаха за цел получаването на критерий за съществуване на \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}\). За да се установи, че нито една от теоремите 12 и 13 не е критериална, трябваше да се дадат съответни контра примери. Съставянето на примери „на ръка” е трудоемко и това наложи привличането на система за компютърна алгебра (СКА). Запознаването със синтаксиса на такава система има съдържателен обучаващ елемент в математически план, който е предмет на наше допълнително изследване. Прилагайки СКА, беше проверено, че \(S_{4,9,12}\) не е празно, а 4, 9 и 12 не са нито две по две взаимно прости, нито нечетни ( \(S_{4,9,12}=\{126+36(n-1): n \in \mathrm{~N}\}\) ). Намирането на критериален резултат за съществуване на \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}\) остана отворен въпрос.

6. Мястото на отворените въпроси

Не всички въпроси, поставени на Пролет, намериха своя отговор. Това не беше пречка работата ѝ да продължи, вече с приложение на СКА. Изказването на правдоподобни хипотези също е част от изследователския процес, доколкото по-строяването на примери и контрапримери е нетривиална дейност. Например една правдоподобна хипотеза, която не бе доказана, нито отхвърлена с контрапример, е, че \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}} \neq \emptyset\), точно когато максималната степен на 2, която дели всеки четен индекс, е една и съща.

Ново направление за изследователски търсения беше вдъхновено от доклада Някои проблеми от теория на числата, като основа на изследователски проекти за ученици на акад. Додунеков на семинара Дидактическо моделиране. За поставянето на задачи в това направление се наложи въвеждането на нови понятия.

Нека е знак за някоя от операциите събиране, която ще цитираме като \(a\), или умножение, която ще цитираме като \(m\). Нека \(S\) е множество от естествени числа, което запазва операцията и нека \(s \in S\). Ще казваме, че елементът \(s\) е -прост в \(S\), ако не може да се разложи във вида \(s=s_{1} \circ s_{2}\) за някакви \(s_{1,2} \in S ; s\) ще наричаме -съставен в \(S\), ако не е -прост. Множеството \(S\) ще наричаме \(\circ-\boldsymbol{u}-\boldsymbol{p}-\boldsymbol{d}-\boldsymbol{p}\) множество, ако притежава свойството: винаги, когато \(s=s_{1}{ }^{\circ} \circ s_{2}{ }^{\prime}=s_{1}{ }^{\prime \prime} \circ s_{2}{ }^{\prime \prime}\) и \(s_{1,2}{ }^{\prime}\), както и \(s_{1,2}{ }^{\prime \prime}\) са -прости в \(S\), следва че \(\left\{s_{1}{ }^{\prime}, s_{2}{ }^{\prime}\right\}=\left\{s_{1}{ }^{\prime \prime}, s_{2}{ }^{\prime \prime}\right\}\) (единственост на разлагането на два -прости елемента). Съкращението -u-p-d-p иде от uniqueprime-decomposition property относно ). В случая, когато е операцията събиране (умножение), говорим за \(a\)-прости (\(m\)-прости) и \(a\)-съставни (\(m\)-съставни) числа в затворено относно събирането (умножението) множество \(S\).

Отворен остана въпросът дали съществува -u-p-d-p множество \(S_{l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{k}}\), в което единствеността на разлагането на -прости елементи е нетривиална, но бяха получени следните резултати:

1) съществува нееднозначно разлагане на \(m\)-прости елементи в множеството \(\mathbf{S}\), например \(4275=15.285=57.75\), т.е. \(\mathbf{S}\) не е \(m-\mathrm{u}-\mathrm{p}-\mathrm{d}-\mathrm{p}\).

2) \(S_{3,5}\) е \(a-\mathrm{u}-\mathrm{p}-\mathrm{d}-\mathrm{p}\), но по тривиален начин – единственият \(a\)-прост елемент на \(S_{3,5}\) е 15.

Наличието на отворени въпроси е в пълно съответствие със сократовия стил и е важен елемент в построяването на индивидуална образователна траектория. Отворените въпроси дават възможност ИОТ да бъде продължавана в съответното направление.

7. Заключителни бележки

В представената индивидуална образователна траектория бяха реализирани всички обявени в увода елементи.

Формирането на индивидуално информационно обкръжение беше ключово: поради кратките срокове за навлизане в тематиката, първоначално на Пролет не беше препоръчана никаква литература, доколкото това не бе нужно за решаването на задачата от турнира. Впоследствие тя беше насочвана към съответна литература, за да се запознае с някои свойства на сравненията, китайската теорема за остатъците, основната теорема на аритметиката.

Основен дидактически ресурс беше диалогът в сократов стил. Освен това поставените задачи често бяха настройвани с подходяща декомпозиция (Lazarov, 2006). Например основната задача бе декомпозирана с двете задачи за по-малките класове; теорема 11 имаше няколко по-прости предшественика. В изследователския инструментариум първоначално основен беше индуктивният подход с разработване на примери, включително с използване на система за компютърна алгебра. Впоследствие се прилагаха елементи на програмното обучение.

Тактическите цели на образователния процес се променяха в зависимост от по-стигнатите резултати. Постоянно се отчиташе изменението в ЗАР и се определяше съответен сектор от ЗБР. Като стратегическа цел обаче се визираше изграждането на синтетична компетентност.

Темповете на работа по темата бяха съгласувани с натоварването в училище. Индивидуалната програма отчиташе напредъка по отделни въпроси, при нужда се повтаряха определени детайли, изчистваха се неясноти. Това ставаше както в началните стадии на разработване на конкретен въпрос, така и по време на оформянето му във вид, подходящ за публикуване или докладване.

Много от доказателствата бяха преосмисляни от Пролет след получаването на по-общи резултати. В процеса на работата първоначалната неувереност се преодоляваше, самочувствието се увеличаваше. Постепенно познавателната активност нарастваше и сократовият диалог често преминаваше в интерактивен, в който въпросите се поставяха от Пролет, а отговорите се търсеха съвместно. Всичко това свидетелстваше за нараснали рефлексивни умения и възможности за самоорганизация.

Връзката на отделни въпроси с изучавания в училище материал доведе до синергичен ефект – спечели и усвояването на училищния материал, и работата по темата. Но истински синергичен ефект се постигна при изследователските търсения със СКА.

Осъществяването на пълноценно изследователски ориентирано обучение е нереално в класно-урочните форми (Лазаров & Тодорова, 2011). Разгледаният частен случай показва, че сократов стил (и изследователски-ориентирано обучение) е изключително удачен при извънкласна индивидуална работа или работа в малки групи, където може пълноценно да се разработят ИОТ за изграждане на синтетична компетентност.

ЛИТЕРАТУРА

Ганчев, И.& Кучинов, Й. (1996). Организация и методика на урока по математика. София: Модул.

Колягин, Ю. (1977). Задачи в обучение математике. Часть 2. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. Москва: Просвещение.

Лазаров, Б. (2011). 19. Есенен математически турнир Черноризец Храбър, Математика и информатика, бр. 1.

Лазаров, Б. & Тодорова М. (2011). Организиране на изследователско търсене на учениците в среда на система за динамична геометрия. Образование и технологии. Том 2/2011.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: Association for the Development of Education.

Lazarov, B. (2006). Tuning a math problem. ICMI Study 16, Challenging Mathematics in and beyond the Classroom. http://www.amt.edu.au/icmis16pbullazarov.pdf

Lazarov, B. (2010). Building Mathematics Competence via Multiple Choice Competitions. Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Vol. 14. No. 1

Maxwell, M. (2011) Introduction to the Socratic Method and its Effect on Critical Thinking. http://www.socraticmethod.net

Pólya, G. (1945). How to Solve It. Princeton University Press, 1945.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.