Математика и Информатика

https://doi.org/10.53656/math2024-2-4-dev

2024/2, стр. 155 - 176

РАЗВИТИЕ НА ДИГИТАЛНИ КОМПЕТЕНТНОСТИ В ЗАДЪЛЖИТЕЛНАТА ПОДГОТОВКА ПО КОМПЮТЪРНО МОДЕЛИРАНЕ И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В СРЕДНОТО УЧИЛИЩЕ

Теменужка Зафирова-Малчева
OrcID: 0000-0001-7090-6682
E-mail: tzafirova@fmi.uni-sofia.bg
Faculty of Mathematics and Informatics
Sofia University “St. Kliment Ohridski”
5 James Bourchier Blvd.
Sofia Bulgaria
Николина Николова
OrcID: 0000-0003-4530-8685
E-mail: nnikolova@fmi.uni-sofia.bg
Faculty of Mathematics and Informatics
Sofia University “St. Kliment Ohridski”
5 James Bourchier Blvd.
Sofia Bulgaria
Пенчо Михнев
OrcID: 0000-0002-2348-4453
E-mail: pmihnev@fmi.uni-sofia.bg
Faculty of Mathematics and Informatics
Sofia University “St. Kliment Ohridski”
5 James Bourchier Blvd.
Sofia Bulgaria

Резюме: Представеното изследване има за цел да идентифицира нуждите от актуализация на учебната документация и учебното съдържание по компютърно моделиране и информационни технологии (КМИТ) в прогимназиален етап на образование. За постигането първо са идентифицирани очакваните нива на дигитални компетентности според Рамката за дигитални компетентности DigComp 2.2. чрез съпоставка с нивата на компетентност според Националната квалификационна рамка. Чрез сравнителен анализ между Държавните образователни стандарти и учебните програми, от една страна, и DigComp 2.2., от друга, са изведени основни препоръки за осъвременяване на учебните програми и учебното съдържание за задължителна подготовка по КМИТ в средното училище. Изводите сочат, че учебната документация дава възможност за гъвкавост и актуализация в процеса на ползването в практиката. Основните насоки за актуализация включват интегрирането на компетентности, свързани с ролята на изкуствения интелект, работа в сътрудничество, приобщаване и безопасност.

Ключови думи: дигитални компетентности; DigComp 2.2; учебни програми; компютърно моделиране и информационни технологии

1. Увод

Дигиталната компетентност е посочена като една от ключовите компетентности за учене през целия живот (European Commission 2019). Самите дигитални компетентности са обособени в пет области и описани в Рамката за дигитална компетентност на гражданите DigComp 2.2 (Vuorikari et al. 2022). Предвид бързото развитие на дигиталните технологии и влиянието им върху всички сфери на живота, Рамката периодично се актуализира, като настоящото издание датира от 2022 г. В допълнение и в отговор на нарастващата дигитална сегрегация, през 2020 г. Европейският съюз публикува обновен Digital Education Action Plan (2021 – 2027), в който един от приоритетите е подобряване на цифровите умения и компетентности за цифровата трансформация (European Commission 2020).

Нуждата от развитие на дигиталните компетентности в училищна възраст води до редица научни изследвания и дори образователни реформи, в областта. В свое изследване Pettersson формулира препоръка към изследователите да се включат в разработката на нови подходи, които да подобрят дигиталните компетентности в образователен контекст (Pettersson 2018). Godhe проследява концептуализацията на развитието на дигитална грамотност и дигитални компетентности в учебните програми за задължително обучение в скандинавските страни (Швеция, Дания, Финландия и Норвегия). Тя забелязва, че в прегледаните учебни програми се говори основно за мултиграмотност при обучението, програмите не са компетентностно ориентирани, а дигиталните умения се развиват в рамките на интердисциплинарни теми или като допълнителни (незадължителни) предмети (Godhe 2019).

България е една от страните с традиции в развитието на дигитални компетентности у ученици в рамките на посветени на това учебни предмети. В средното училище това става по задължителните предмети компютърно моделиране и информационни технологии (КМИТ) в прогимназиалния етап на основната образователна степен и по информационни технологии (ИТ) в първи гимназиален етап. Действащите учебни програми са разработвани в съгласие с Рамката на дигиталните компетентности на гражданите. Проблемът е в бързо променящите се изисквания относно нивото на дигитални компетентности, което се очаква от младите хора. Това води до нужда от своевременна актуализация на учебната документация, учебно-помощна литература и промени в практиката на преподаване в училище.

Настоящото изследване има за цел да идентифицира нуждите от актуализация на учебната документация — учебни програми и учебници, така че съвременното задължително обучение по КМИТ и ИТ да подготвя дигитално компетентни млади хора, отговарящи на актуалните изисквания на 21-ви век. В резултат авторите формулират препоръки към Министерството на образованието и науката (МОН), авторите на учебно-помощна литература и учителите за осъвременяване на обучението по тези предмети.

В тази статия са представени въпросите и резултатите от първата част на изследването, свързана с обучението по КМИТ. Изследователските въпроси, на които статията се опитва да отговори, са:

Какви промени трябва да се направят в учебните програми по КМИТ, така че те да отразяват очакваните нива на дигитални компетентности съгласно DigComp2.2.?

Какви промени в учебното съдържание и дейности при преподаването по КМИТ биха довели до по-ефективно развитие на дигиталните компетентности у учениците на очакваното (според възрастта им) ниво?

Обект на изследването са Държавните образователни стандарти (ДОС) за основна и първа гимназиална степен (с цел идентификация на очакваните нива на компетентност) и учебните програми за задължителна подготовка по КМИТ (5. — 7. клас) — с цел идентификация на възможности за намеса. Предмет на изследването са знания, умения и нагласи, описани на съответното ниво на Рамката DigComp 2.2., които не кореспондират с разглежданите образователни стандарти и учебни програми.

2. Методология

За постигане на целите на изследването е използван основно сравнителен анализ на документи.

• Съпоставка между Националната квалификационна рамка (НКР) и DigComp2.2. с цел идентифициране на очакваните нива на дигитална компетентност във всяка от двете възрастови групи.

• Сравнителен анализ между ДОС и учебните програми по КМИТ за прогимназиален етап, и съответните нива на дигитални компетентности според DigComp2.2.

• Извличане на препоръки към създателите на учебни програми, авторите на учебно-помощна литература и практиците (учители и ръководни органи на училища) за актуализация на учебна и административна документация, както и за учебно съдържание и дейности по разглеждания учебен предмет.

3. Идентификация на очакваните нива на развитие на дигитални компетентности в прогимназиален и първи гимназиален етап на обучение

3.1. Дигиталните компетентности — DigComp, DigComp 2.0, DigComp 2.1, DigComp 2.2

Още в началото на 21-ви век Европейската комисия (и по-широко – Европейският съюз) възприеха цялостен и системен подход към изследването, формулирането и систематизирането на компетенциите на XXI век. През 2006 г. Европейският парламент публикува официално „Препоръка на Европейския парламент и Съвета от 18 декември 2006 г. относно ключовите компетентности за учене през целия живот“ (European Parliament 2006). Документът дефинира Европейска референтна рамка за ключови компетенции за учене през целия живот.

Бяха обособени осем ключови компетентности, необходими на европейските граждани за личностна, професионална и социална реализация и за учене през целия живот. През 2018 г. Съветът на Европейския съюз публикува обновен документ – „Препоръка на Съвета относно ключовите компетентности за учене през целия живот“ (European Union 2018), който преразгледа и измени референтната рамка с 8 ключови компетентности от 2006 г., както следва:

Референтната рамка определя осем ключови компетентности (European Union 2018):

1. Компетентност за грамотност;

2. Чуждоезикова компетентност;

3. Математическа компетентност и компетентност в науката, технологиите и инженерството;

4. Дигитална компетентност;

5. Лична, социална и компетентност за учене;

6. Гражданска компетентност;

7. Компетентност по предприемачество;

8. Културно съзнание и компетентност за изразяване.

За всяка от осемте ключови компетентности беше дадено изменено и подобрено изрично определение, както и кратко описание на основните знания, умения и нагласи, свързани с всяка от тях.

Дигиталната компетентност заема важно място и има все по-значима роля сред осемте ключови компетентности. През годините и до момента са разработени 4 последователни и надграждащи се основополагащи документа, свързани с дигиталните компетентности, като последният вариант – DigComp 2.2. (Vuorikari et al. 2022) – на документа включва 5 области на дигитална компетентност с общо 21 компетентности, като всяка отделна компетентност е разработена на 8 нива на владеене. За всяко ниво са дадени конкретни примери за знания, умения и нагласи, както и примерни сценарии за заетост и сценарий за обучение (фиг. 1).

Фигура 1. Структура на DigComp 2.2.

3.2. Европейска квалификационна рамка (ЕКР), Национална квалификационна рамка (НКР) и връзките им с европейските дигитални компетентности

В DigComp 2.2. (Vuorikari et al. 2022) е отбелязано, че разработването на осемте нива на владеене на всяка от дигиталните компетентности е вдъхновено от структурата и речника на Европейската квалификационна рамка (European Commission 2008). Тя също се състои от осем нива на владеене, описващи различните образователни равнища в европейските образователни системи чрез описание на основните знания, умения и компетентности, характеризиращи всяко образователно равнище – от предучилищна възраст, през начално, прогимназиално, гимназиално и висше образование (с неговите 3 нива – бакалавър, магистър, доктор).

Европейската квалификационна рамка (ЕКР) е създадена в периода 2004 – 2008 г. с цел да синхронизира образователните и квалификационните степени в Европейския съюз на основата на нива на придобити знания, умения и компетентности (European Commission 2008).

До 2010 г. всяка страна от ЕС създава на своя основа Национална квалификационна рамка (НКР), следвайки същата структура и като я прецизира в съответствие с националните особености.

Всяко ниво на ЕКР (респективно НКР) е описано чрез знания, умения и компетентности, които са най-съществени и принципни за него. На фиг. 2 е представен пример1 с описание на ниво от ЕКР.

Фигура 2. Пример за описание на ниво от ЕКР

Националната квалификационна рамка на Република България (НКР)2 специфицира и детайлизира на български език и съобразно българската образователна система знанията, уменията и компетентностите за всяко от осемте нива на ЕКР. Осемте нива на НКР се съпоставят на отделни образователни етапи от системите на общото и професионалното образование (фиг. 3).

Фигура 3. Съответствие между нивата на НКР и етапите на общо и професионално образование в Република България

Чрез съпоставка между нивата на ЕКР и НКР, от една страна, и нивата компетентност, описани в DigComp 2.2., могат да се идентифицират образователните етапи, в които е препоръчително и реалистично да се развият съответните нива на дигитални компетентности (фиг. 4).

Фигура 4. Съответствие между осемте нива в ЕКР, съответно в НКР и осемте нива в DigComp 2.2.

Резултатите от съпоставката сочат, че в рамките на задължителната подготовка в средното училище (5. – 10. клас) е желателно да се развият дигиталните компетентности у учениците до ниво на професионализъм 4 по DigComp 2.2. В прогимназиален етап на основната образователна степен се очаква развиване на дигиталните компетентности на базово ниво 2 и евентуално (частично) – на междинно равнище 3, а в основната образователна степен – междинни нива 3 и 4.

Задължителните учебни предмети, фокусирани върху развитието на дигиталните компетентности са компютърно моделиране и информационни технологии (КМИТ) в прогимназиален етап на основната образователна степен (5. – 7. клас) и информационни технологии (ИТ) в първи гимназиален етап (8. – 10. клас).

3.3. Държавните образователни стандарти (ДОС) за общообразователна подготовка (ООП) и осемте европейски ключови компетентности

Стандартите за общообразователна подготовка бяха въведени през 2000 г. и през следващите години структурата и начинът им на описание се оказаха достатъчно устойчиви, за да могат в тях да се интегрират последващите промени от развитието на образователната система както в национален, така и в европейски мащаб. През 2015 г. бе направена интеграция на европейските осем ключови компетентности в системата на ДОС за ООП, което бе извършено без сътресения, тъй като езикът на стандартите за ООП и начините на описание в тях на знанията, уменията и отношенията, които учениците трябва да придобият при завършването на отделен етап или степен на своето училищно образование, напълно съответстваха на методологията и начина на описание на осемте европейски ключови компетентности за учене през целия живот. На фиг. 5 е представена съпоставка на стандартите от 2000 г. със стандартите от 2015 г., които интегрират осемте европейски ключови компетентности (плюс още една – девета, добавена на национално ниво в България).

Фигура 5. Структура на ДОС

Държавните образователни стандарти (ДОС) (чл. 3. (2) т. 5 от Наредба №5 от 30 ноември 2015 г. за общообразователната подготовка); (МОН, Наредба №5 2015) определят учебните предмети информатика, информационни технологии (ИТ), компютърно моделиране и информационни технологии (КМИТ), и компютърно моделиране (КМ) като основополагащи за придобиване на дигитална компетентност.

Следващата секция разглежда в какви основни области на компетентности са структурирани ДОС за задължителна подготовка по Компютърно моделиране и ИТ за 5. – 7. клас и до каква степен стандартите и последващите от тях учебни програми предполагат развиването на съответните нива на дигитални компетентности според DigComp 2.2.

4. Анализ на учебните програми по КМИТ за прогимназиален етап на основната образователна степен

В прогимназиален етап на основната образователна степен развитието на дигиталните компетентности се осъществява основно в рамките на учебния предмет компютърно моделиране и информационни технологии. Според последната актуализация, от 25.08.2023 г., на рамковия учебен план за общо образование за основната образователна степен (МОН, Наредба №4 2015) предметът се изучава като задължителен в рамките на 51 учебни часа в 5. и 6. клас и 54 учебни часа в 7. клас. Актуализацията представя надграждане на предмета информационни технологии, като увеличава 1,5 пъти предвидените за него учебни часове. В рамките на увеличеното учебно време се предвижда да се изучава нова тема – „Компютърно моделиране“. Промяната води и до създаването на нови учебни програми за 5., 6. и 7. клас, които по същество включват леко актуализирано учебното съдържание по информационни технологии и новата тема – „Компютърно моделиране“. Програмите са утвърдени със Заповед на министъра на образованието и науката РД09-2819/ 09.10.2020 г.6 и влизат в сила поетапно: в 5. клас3 – от 2021/2022 учебна година; в 6. клас4 – от 2022/2023 учебна година; и в 7. клас5 – от 2023/2024 учебна година.

В Приложение № 5 към чл. 6, ал. 1, т. 5, на Наредба № 5 от 30 ноември 2015 г. за общообразователната подготовка са описани структурата и съдържанието на държавния образователен стандарт за общообразователна подготовка по компютърно моделиране и информационни технологии. Стандартът разглежда очакваните от обучението резултати, групирани в следните области на компетентности:

• Компютърни системи

• Информация и информационни дейности

• Електронна комуникация

• Информационна култура

• Създаване на дигитално съдържание

Специфичните цели на обучението по предмета са свързани с познаване на възможностите на информационните технологии (ИТ) и приложението им в различни сфери на обществения живот и за личностно развитие; с творческо използване на възможностите на съвременните ИТ за обработване на различен тип информация, за решаване на проблеми и за комуникация; с изграждане на информационна култура, на критично и отговорно отношение към информацията и със създаване на компютърно приложение на тема, свързана с изучавано учебно съдържание по другите учебни предмети.

Въпреки, че някои от тези области кореспондират с области от DigComp 2.2., например, „Създаване на дигитално съдържание с Digital Content Creation“, „Електронна комуникация с Communication and Collaboration“, внимателен анализ на учебните програми показва силно преплитане между петте области на ДОС и петте области на компетентности, описани в DigComp 2.2.

Забелязва се, че част от компетентностите, описани в Рамката DigComp 2.2. се покриват на по-високо от очакваното професионално ниво (фиг. 6).

Фигура 6. Покритие на дигитални компетентности в учебните програми по КМИТ

От таблицата на фиг. 6 се вижда, че цялата област на дигитални компетентности 3. Digital Content Creation е изключително силно застъпена в обучението по КМИТ в 5. – 7. клас. Темите „Звук и видео информация“, „Създаване и обработка на графично изображение“ / „Работа с графични изображения“, „Компютърна текстообработка“, „Компютърна презентация“, „Интернет и интегриране на дейности“ и „Работа по проект“ изискват формиране на знания, развиване на умения и създаване на нагласи, които отговарят на 3-то и 4-то ниво от рамката на дигиталните компетентности DigComp 2.2. В темите не само се предполага работа със софтуер за създаване на съдържание, но явно се стимулира творческото използване на ИТ за себеизразяване и решаване на проблеми. От самото начало на работа в интернет се дискутира и темата за защита на авторските права и спазване на лицензионни споразумения. Последната подобласт на компетентности, 3.4 Programming, се развива в новодобавената тема „Компютърно моделиране“, като нивото на компетентност отново достига 4.

Според учебните програми по КМИТ развиването на компетентности от област 3. Digital Content Creation върви паралелно с развиването на такива от подобласт 5.3 Creatively using digital technology. Този подход позволява в рамките на предмета да се развиват и умения на 21-ви век като творчество и иновативност (Fadel 2008; Buckle 2024).

Учебните програми по КМИТ поставят високи изисквания по отношение и на други подобласти на дигиталните компетентности (табл. 1).

Таблица 1. Подобласти на дигитални компетентности с високо ниво на развитие в рамките на КМИТ

ОбластПодобласт1.Information1.1Browsing,searchingandfilteringdata,anddataliteracyinformationanddigitalcontent1.3Managingdata,informationanddigitalcontent2.Communication2.1Interactingthroughdigitaltechnologiesandcollaboration2.6Managingdigitalidentity3.Digitalcontentвсичкиподобластиcreation4.Safety4.1Protectingdevices4.2Protectingpersonaldataandprivacy5.Problemsolving5.1Solvingtechnicalproblems5.2Identifyingneedsandtechnologicalresponses

Предвид че ДОС и учебните програми по КМИТ са разработени преди публикуването на DigComp 2.2., в тях липсват теми, свързани с изкуствен интелект, работа от разстояние и достъпност. От друга страна, ДОС са достатъчно общо описани и допускат актуализация на учебните програми в посока явно формиране на компетентности, свързани с посочените аспекти. Нещо повече, наличните в учебните програми теми предполагат интегрирането на тези компетентности. Например в рамките на теми Компютърни системи и Интернет може да се формират компетентности, свързани с осъзнаването, че множество интернет приложения и устройства събират данни за поведението на потребителите в интернет, които, с помощта на изкуствен интелект, може да се използват както за персонализация и адаптивност, така и за злоупотреби. При създаването на дигитално съдържание има място прилагането и на генеративен изкуствен интелект, или поне осъзнаване на факта, че множество приложения за създаване на съдържание използват такъв.

От таблицата на фиг. 6 е видно, че има подобласти на дигитални компетентности, които почти не са застъпени, дори на базово ниво, в учебните програми по КМИТ, въпреки че ДОС предполага наличието на част от тях.

Притеснително е, че една от тези подобласти е 1.1. Evaluating data, information and digital content. Още в 5. клас, при работа по Тема 2. Интернет, учениците започват да търсят информация. Освен критерии за търсене в темата би трябвало да се разглеждат и основни критерии за оценка на намерената информация – достоверност, надеждност, актуалност, отношение към проблема, който се решава. Пропускайки ранното изграждане на тези умения, има опасност в следващия образователен етап да е късно тези компетентности тепърва да се развиват –– предполага се, че учениците вече ще са изградили трайни навици за безкритично използване на информация, намерена в интернет. Тази подобласт дигитални компетентности има пряко отношение към развитието на критично и аналитично мислене, които са жизненоважни за всеки човек и също са част от уменията на XXI век.

Слабо застъпени в прогимназиален етап са и подобласти 2.2 Sharing through digital technologies (по отношение на ползване на облачни технологии), 2.3 Engaging citizenship through digital technologies и 2.4 Collaborating through digital technologies на област 2. Communication and collaboration. Това е обяснимо и в голяма степен – обосновано, от възрастта на учениците. Множество интернет услуги допускат използване само от лица над определена възраст (обичайно 12 или 13 години) и използване под родителски контрол.

Според законите7 на Република България лицата до 14-годишна възраст са малолетни и се представляват законно от родители или настойници. Използването на облачни услуги при тях би трябвало да се осъществява само при родителски, евентуално – учителски, контрол. От друга страна, все повече приложения и среди (включително за визуално и скриптово програмиране) поддържат инструменти за споделяне на продукти или работа в сътрудничество и работата с тях в прогимназиален етап е естествена. Логично е още на тази възраст да започне изграждането на съответните компетентности на базово ниво, а на по-късен етап, в гимназиалната степен, когато учениците могат да поемат отговорност за поведението си в глобалното пространство, да се развиват на по-високи нива.

Прави впечатление също, че подобласт 2.5 Netiquette, която беше явно застъпена в предходните учебни програми, в актуалните не се коментира изобщо. В ДОС, област Информационна култура, явно е формулиран стандарт „Познава и спазва етични норми и поведение при работа в дигитална среда“. Не е ясно как се очаква да се постигне този стандарт, предвид че в учебните програми почти няма формулирани очаквани резултати (знания, умения и/или нагласи), свързани с разпознаването на агресия или неподходящо поведение в интернет пространството, спазване на правила за вербална и невербална комуникация в интернет, предпазване от нежелани съобщения и други. Единственият свързан с тази подобласт очакван резултат е формулиран към тема Интернет в 5. клас и гласи спазва етични правила в електронната кореспонденция.

Безпокойство поражда и липсата на компетентности в област 4. Safety, подобласти 4.3 Protecting health and well-being и 4.4 Protecting the environment. Правила за безопасност са включени в учебните програми по КМИТ за всеки клас. Те са свързани предимно с опазване на устройствата, на физическото здраве на човека или на личната му неприкосновеност. Не се обръща внимание на опазване на психическото здраве, опасности, индикация за проблем. Няма нито един очакван резултат, свързан с опазване на околната среда. Темите Компютърни системи и Интернет допускат в учебните програми да се формулират изисквания, свързани с развитието на тези компетентности на нива 1 и 2, а дори и на по-високи.

Не на последно място, въпреки че компетентностите от област 5. Problem solving са сериозно застъпени както в ДОС, така и в учебните програми по КМИТ, подобласт 5.4 Identifying digital competence gaps липсва в явен вид. Темите за търсене на информация (5. клас), търсене на материали по дадена тема (6. клас) и „Основни правила, фази и дейности при разработване на проект“ (7. клас) предполагат търсене на информация, данни или приложения, подпомагащи работата по темата, но не изискват развитие на съответните дигитални компетентности. Не се коментират явно и техники и средства за идентифициране на собствени пропуски и подходи за отстраняването им – компетентности, пряко рефлектиращи върху развитие на уменията за учене през целия живот.

Детайлен поглед върху четвъртото измерение на DigComp 2.2. (Dimension 4: Examples of knowledge, skills and attitudes) също подсказва за основни групи от знания, умения и нагласи, които би трябвало да намерят място в учебните програми по КМИТ за прогимназиален етап – работа с приложения за видеоконферентна връзка, роля на изкуствения интелект – предимства и опасности, сътрудничество в дигитална среда.

Сравнителният анализ между учебната документация по КМИТ и DigComp 2.2. показва още, че в учебните програми е включено и съдържание, което не е отразено в DigComp 2.2. (фиг. 7) Например, в 6. клас учениците се запознават с единиците за измерване на количество информация и развиват умения да представят количество информация в различни мерни единици. Това позволява по-ефективно развиване на част от компетентностите от области 1. Information and data literacy и 3. Digital content creation, както и осъзнаване ролята на математиката в света на дигиталните технологии.

Фигура 7. Идентифицирани несъответствия между DigComp 2.2. и компетентностите като очаквани резултати от обучението по учебните програми по КМИТ за 5. – 7. клас

Обобщено, по отношение на развитието на дигитални компетентности в съответствие с DigComp 2.2. в рамките на учебния предмет КМИТ в 5. – 7. клас, могат да се формулират препоръки за усвояване на знания, развиване на умения и изграждане на нагласи в следните посоки:

Работа от разстояние организация на видеоконференция, управление на уебинар, нетикет при видеоконферентна комуникация. Темата стана особено актуална след кризата, породена от COVID-19. Осигуряването на обучение от разстояние за всички ученици се оказа предизвикателство, тъй като успешната му реализация зависеше до голяма степен както от наличието на техническа осигуреност, така и от уменията за работа в електронна среда на участниците в него (Kirilova 2023). В резултат днес видеоконферентните връзки са част от ежедневието в работни ситуации и за учене.

• В 5. – 7. клас такива компетентности могат да се развиват в рамките на тема Средства за комуникация в реално време в 6. клас, като задължително се включат и правила за управление на сесия и нетикет. В 7. клас компетентностите могат да се доразвиват в рамките на теми Интернет и Работа по проект.

Изкуствен интелект (ИИ) – от момента, в който учениците започват работа в интернет пространството, трябва паралелно да се изграждат и базовите компетентности, свързани с ролята на изкуствения интелект в дейностите, които изпълняват. От самото начало в темите, посветени на интернет, е добре да се интегрират знания за това, че всички потребители на мрежата са източници на данни, които софтуерните системи и устройствата събират и обработват чрез изкуствен интелект. Добре е учениците да се запознаят както с предимствата, така и с опасностите при това взаимодействие. Желателно е сред очакваните резултати да намерят място уменията за четене на споразуменията при ползване на софтуер, свързани със събиране и ползване на данни за потребителя и поведението му, и правене на информиран избор относно позволенията, които учениците дават на приложенията, които използват.

Сътрудничество и приобщаване в дигитална среда съвременните дигитални средства налагат все повече използването на интернет приложения за работа както индивидуално, така и в сътрудничество. Предвидените в рамките на КМИТ дейности допускат и предполагат използването на подобни среди (напр. MS Office 3658, Canva9, Google Docs10, Scratch online11, Trinket12 и други). Компетентностите за сътрудничество в дигитална среда трябва да се развиват паралелно с компетентностите за творческа изява чрез дигитални технологии, създаване на дигитално съдържание, електронна комуникация. За тази възрастова група е достатъчно да се развият базови умения за работа в сътрудничество (създаване на общ артефакт), паралелно с правила за етично поведение в споделена среда. Предмет на дейност и развитие на компетентности е също споделянето на артефакти в затворена контролирана среда (клас, училище, група). Темата предполага и включване на компетентности, свързани със социалното приобщаване в дигитална среда.

Безопасност ДОС и темите в учебните програми допускат лесно интегриране и актуализация по отношение на четирите подобласти от област 4. Safety на DigComp 2.2. Например още в 5. клас, при запознаване с операционната система и приложения за общо ползване, може да се коментира ролята на приложения, подпомагащи грижата за здравето, като следят различни показатели – брой направени крачки дневно, пулс, кръвно налягане и други. Правилата за безопасна работа е желателно да включват и правила, свързани с опазването на психичното здраве чрез разпознаване на индикатори за зависимост от дигиталните технологии и мерки за справяне. В темата Компютърни системи във всеки клас може да се изискват знания за влияние на дигиталните устройства или техни компоненти върху околната среда (материали, разход на енергия), правила за използване и унищожаване с цел минимизиране на отпечатъка върху околната среда.

Решаване на проблеми бързото развитие на дигиталните технологии води до бързо остаряване на препоръките на учебните програми за използвани приложения за постигане на целите им. Развиването на умения у учениците да идентифицират нуждите си – от информация, данни, приложения, е важно, за да могат да открият подход за решаване на проблем. Паралелно с това могат да се развиват и умения за търсене не само на информация по зададена тема, но също и приложения, подпомагащи решаването на даден проблем, или ръководства тип „Как да . . . “. Компетентностите за идентифициране и запълване на пропуски могат да започнат да се развиват от 6. клас и постепенно да преминават на по-високи нива в следващите класове.

Предложените препоръки могат да послужат при актуализация на учебните програми по КМИТ за прогимназиален етап. Актуалните към момента Държавни образователни стандарти и съпътстващите ги учебни програми са достатъчно общи и допускат гъвкава актуализация на учебно съдържание и учебни дейности с цел развиване на допълнителни дигитални компетентности. Изведените по-горе препоръки могат да се използват при създаване или актуализиране на учебно-помощна литература (учебници, учебни тетрадки, електронно учебно съдържание и други) в рамките на действащата учебна документация. Те могат да се използват и от учители при практическата им работа. Препоръките, свързани с област Безопасност (4. Safety), имат място и в училищната административна документация, осигуряваща безопасна работа в дигитална среда – вътрешни правилници, инструктажи и други.

5. Изводи

За разлика от много европейски страни, в България развитието на дигиталните компетентности в средното училище се осъществява в специално посветени на това учебни предмети. Това предполага целенасочено развитие на тези компетентности у учениците и изграждане на дигитално активни и отговорни млади хора. За постигането на тези цели държавните образователни стандарти, учебните програми, както и съответните учебно съдържание и учебни дейности трябва да се поддържат актуални, отговарящи на съвременните изисквания. Европейската рамка на дигиталните компетентности дава отправна точка за актуализиране на учебната документация.

Развиването на дигиталните компетентности във формалното образование в България започва още в начален етап и покрива успешно базовите нива на DigComp 2.2. В (Aleksieva & Racheva 2024) авторите правят подробен анализ на учебната документация по предмета компютърно моделиране в начален етап 1. – 4. клас. Анализът на учебната документация за задължителна подготовка по КМИТ (5. – 7. клас) показва, че е налична приемственост между развитието на дигиталните компетентности в началното и в средното образование.

На база на направения сравнителен анализ могат да се формулират следните препоръки по отношение на развиваните дигитални компетентности в рамките на учебния предмет компютърно моделиране и информационни технологии в прогимназиален етап на основната образователна степен:

• Развиване на компетентности за комуникация чрез видеоконферентна връзка в рамките на темите Средства за комуникация в реално време в 6. клас, както и в темите Интернет и Работа по проект в 7. клас.

• Явно развиване на компетентности от подобласт 2.5. Netiquette поне на трето ниво от DigComp 2.2.

• Вмъкване на учебно съдържание, свързано с ролята на изкуствения интелект (ИИ) при работата в дигитална среда. В контекста на работа учениците е добре да са поставени в ситуации, в които да осмислят използването на изкуствен интелект, предимствата, които носи, и потенциалните опасности, свързани с предоставянето на данни, които се обработват от ИИ.

• Използване на приложения за работа в сътрудничество в дигитална среда под ръководството на пълнолетен човек – учител или родител. Работата в споделена среда и създаването на общ артефакт има и силна приобщаваща стойност (Pozzi et al. 2016), като по този начин влияе и върху осъзнаването на ролята на дигиталните компетентности за социално приобщаване.

• Включване на съдържание, свързано с психологическото здраве и благополучието на потребителите, както и с опазване на околната среда. Съдържанието може да намери място в темата Компютърна система от учебните програми.

• Включване на учебни дейности, свързани с развитието на компетентности за идентифициране на нуждите и откриване на дигитални решения, подпомагащи справянето с проблемна ситуация. Тези компетентности на нива 1 – 3 от DigComp 2.2. могат да намерят място в темите Създаване на съдържание и Работа по проект.

Благодарности

Изследването е осъществено с подкрепата на Европейския съюз – NextGenerationEU, чрез Националния план за възстановяване и устойчивост на Република България, проект No BG-RRP-2.0040008.

БЕЛЕЖКИ

1. Европейски съюз. Описание на осемте нива по ЕКР. https://europa.eu/europass/bg/description-eight-eqf-levels

2. Националната квалификационна рамка. https://www.navet.government.bg/bg/media/NQF_bg.pdf

3. МОН, Учебна програма по компютърно моделиране и информационни технологии за V клас (общообразователна подготовка). https://mon.bg/upload/24186/UP_PC-modelirane-5kl.pdf

4. МОН, Учебна програма по компютърно моделиране и информационни технологии за VI клас (общообразователна подготовка). https://mon.bg/upload/24187/UP_PC-modelirane-6kl.pdf

5. МОН, Учебна програма по компютърно моделиране и информационни технологии за VII клас (общообразователна подготовка). https://mon.bg/upload/24188/UP_PC-modelirane-7kl.pdf

6. Министър на образованието и науката, Заповед № РД09-2819 от 09.10.2020 г. https://mon.bg/upload/24189/zap2819-PC-modelirane14102020.pdf

7. Закон за лицата и семейството, в сила от 10.09.1949 г., изм. ДВ. бр.120 от 29 Декември 2002 г. https://lex.bg/laws/ldoc/2121624577

8. MS Office 365. https://www.office.com/

9. Canva. https://www.canva.com/

10. Google Docs. https://docs.google.com/

11. Scratch online. https://scratch.mit.edu/

12. Trinket. https://trinket.io/

ЛИТЕРАТУРА

КИРИЛОВА, Б., 2023. Стимулирането на екипната работа и трудността при оценяването на проектите при осъществяване на проектно базирано обучение. Математическото образование, 75-годишна мисия и история. Университетско издателство „Св. Климент Охридски“. стр. 209 – 224. ISBN: 978-954-07-5763-6 https://unipress.bg/matematicheskotoobrazovanie-75-godishna-misiya-i-istoriya

МОН, 2015. Наредба № 4 от 30 ноември 2015 г. за учебния план, (ДВ. бр.94 от 4.12.2015 г., изм. и доп. ДВ бр. 73 от 25.08.2023 г.). https://web.mon.bg/upload/37896/nrdb4-2015_izm2023-uchebenplan-25082023.pdf

МОН, 2015. Наредба № 5 от 30 ноември 2015 г. за общообразователната подготовка. (обн. ДВ. бр.95 от 8.12.2015 г., в сила от 08.12.2015 г.; изм. и доп. ДВ. бр.75 от 1.09.2023 г.) https://web.mon.bg/upload/38312/nrdb5-2015_OOP_izm092023_27092023.pdf

REFERENCES

ALEKSIEVA, L., RACHEVA, V., 2024. Vision of digital competencies of primary school students and teachers in Bulgaria in educational documentation of the subject “Computer modelling”. Pedagogy, Special Issue Digital Transformation.

BUCKLE, J., 2024. A Comprehensive Guide to 21st Century Skills. Panorama Education. https://www.panoramaed.com/blog/comprehensive-guide-21st-century-skills

EUROPEAN COMMISSION, 2008. The European Qualifications Framework for lifelong learning (EQF). Directorate-General for Education, Youth, Sport and Culture. Publications Office. https://data.europa.eu/doi/10.2766/14352

EUROPEAN COMMISSION, 2020. Digital Education Action Plan (2021 – 2027): Resetting education and training for the digital age. https://education.ec.europa.eu/focus-topics/digital-education/action-plan

EUROPEAN COMMISSION, 2019. Key competencies for lifelong learning. Directorate-General for Education, Youth, Sport and Culture. Publications Office. https://data.europa.eu/doi/10.2766/569540

EUROPEAN PARLIAMENT, 2006. Recommendation of the European Parliament and the Council (2006/962/EC). Official Journal of the European Union, L 394/10. https://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=OJ:L:2006:394:0010:0018:en:PDF

EUROPEAN UNION, 2018. Council recommendation on key competences for lifelong learning, Official Journal of the European Union, C 189/1, pp. 1 – 13. https://eur-lex.europa.eu/legalcontent/EN/TXT/PDF/?uri=CELEX:32018H0604(01)

FADEL, CH., 2008. 21st Century Skills: How can you prepare students for the new Global Economy?, OECD. https://www.oecd.org /site/educeri21st/40756908.pdf

GODHE, A.L., 2019. Digital Literacies or Digital Competence: Conceptualizations in Nordic Curricula. Media and Communication, vol. 7, no. 2, pp. 25 – 35. https://doi.org/10.17645/mac.v7i2.1888

KIRILOVA, B., 2023. Stimuliraneto na ekipnata rabota i trudnostta pri oceniavaneto na proektite pri osashtestviavane na proektno bazirano obuqenie. Matematichesko obrazovanie, 75-godisna misia i istoria. Universitetsko izdatelstvo “Sv. Kliment Ohridski”. ISBN: 978-954-07-5763-6 (in Bulgarian) https://unipress.bg/matematicheskoto-obrazovanie-75-godishna-misiya-i-istoriya

MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE, 2015. Ordinance No. 4 on the Curriculum. https://web.mon.bg/upload/37896/nrdb42015 izm2023-ucheben-plan-25082023.pdf. (in Bulgarian)

MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE, 2015. Ordinance No. 5 on general education. https://web.mon.bg/upload/ 38312/nrdb52015 OOP izm092023 27092023.pdf (in Bulgarian)

PETTERSSON, F., 2018. On the issues of digital competence in educational contexts – a review of literature. Education and Information Technologies, vol. 23, pp. 1005 – 1021. https://doi.org/10.1007/s10639-017-9649-3

POZZI, F., CEREGINI, A., PERSICO, D., 2016. Designing networked learning with 4Ts. Proceedings of the 10th International Conference on Networked Learning 2016, pp. 210 – 217. https://www.researchgate.net/publication/308171545 Designing networked learning with 4Ts

VUORIKARI, R., KLUZER, S., PUNIE, Y., 2022. DigComp 2.2: The Digital Competence Framework for Citizens – With new examples of knowledge, skills and attitudes. Publications Office of the European Union. https://data.europa.eu/doi/10.2760/115376

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Canatalay, Ashima, Kukkar, Sadiq Hussain, Arun Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa Mahareek, Abeer Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
EDITORIAL / КЪМ ЧИТАТЕЛЯ

Сава Гроздев

STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić, Шефкет Арсланагич

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева