Математика и Информатика
Вход / Регистрация

https://doi.org/10.53656/math2023-1-2-the

2023/1, стр. 13 - 21

THE POWER OF A POINT — A VECTOR PERSPECTIVE

Boyko Bantchev
OrcID: 0000-0002-0284-312X
E-mail: boykobb@gmail.com
Institute of Mathematics and Informatics
Bulgarian Academy of Sciences
Acad. G. Bonchev str. bl. 8
1113 Sofia Bulgaria

Резюме: Vector algebra is a very effective calculation language for doing geometry. It is expressive and succinct, and tends to foster generality and simplicity. In this article we consider from a vector perspective a series of problems concerning circles. After presenting a simple but so far seemingly unnoticed property of the notion of power of a point, we show its application to constructing solutions to the problems.

Ключови думи: vector algebra; power of a point

1. The power and the intersecting chords and secants

The power \(\pi(A)\) of a point \(A\) with respect to a circle with centre \(O\) and radius \(R\) is the number \(O A^{2}-R^{2}\). As \(\pi(A)\) is positive, vanishes, or is negative depending on \(A\) lying outside the circle, on the circumference, or inside the circle, the power expresses the position of a point with respect to a circle.

Of course, if one only needs a test of where a point is with respect to a circle, one can use e.g. \(O A-R\) instead of the seemingly more involved \(O A^{2}-R^{2}\). What is it that makes the latter expression in fact more useful than the former?

The term power of a point was introduced in 1826 by J. Steiner (Steiner 1901), who used it to prove a series of theorems on circles, specifically ones regarding radical centres and radical axes. However, the respective value has been known for a long time. It is known to have emerged in a number of problems related to circles, most notably in the intersecting chords and intersecting secants theorems. Both theorems assert the invariance of the products of the lengths of line segments obtained by intersecting a circle and a line through a point, the product being precisely the power of that point.

These two theorems are indeed a very old and notable part of the edifice of geometry as we know it. They are the subject of several propositions in Book III of Euclid’s Elements (Euclid 2002), put in a modern language as follows.

Proposition 35: If the chords \(A B\) and \(C D\) in a circle cut each other at point \(P\), then \(A P \cdot P B=C P \cdot P D\).

Proposition 36: If a point \(P\) is taken outside a circle, and a line from \(P\) cuts the circle at points \(A\) and \(B\), and another line from \(P\) touches the circle at a point \(T\), then \(A P \cdot P B=P T^{2}\).

Proposition 37: If a point \(P\) is taken outside a circle, and a line from \(P\) cuts the circle at points \(A\) and \(B\), and another line from \(P\) has a point \(T\) in common with the circle, and if further \(A P \cdot P B=P T^{2}\), then the second line touches the circle.

As one can observe, Euclid merely establishes the said invariance of the product without mentioning what the product actually is, but the latter is quite apparent.

In modern times, the intersecting chords and intersecting secants theorems are usually proven by making use of inscribed angles and similar triangles. Although similar technique is used to prove both theorems, two different proofs are necessary (Altshiller-Court 2007, Hartshorne 2005).

Euclid himself abstained from using inscribed angles, giving preference to multiple use of Pythagoras’ theorem.

For proving the intersecting chords and intersecting secants theorems, Pedoe (Pedoe 1988) resorts to polar coordinates of points and circle equation in Cartesian coordinates. By doing this, he avoids having to present similar but nevertheless different proofs through uniting the ‘chord’ and ‘secant’ cases into one theorem. The proof itself, however, is somewhat artificial.

In the following we present an approach to working with circles using vector algebra, and show that the power of a point emerges naturally in this context. The vector-based approach not only allows for unification of the intersecting chords and intersecting secants theorems in a most natural way, but also makes easily apparent another manifestation of the power, so far seemingly unnoticed. The utility of the latter is demonstrated by putting it to use in solving several problems.

2. Circle equations through power

A circle is defined as the set of points in the plane at the same distance \(R\) to a given point \(O, O\) thus being the centre, and \(R\) the radius of the circle. Hence an equation of the circle \((O, R)\) in the variable point \(P\) is \(O P=R\). As the distance \(O P\) is not very useful algebraically, squaring suggests itself: \(O P^{2}=R^{2}\), this form of the equation being equivalent to \(\pi(P)=0\). At this point, making use of \(O P^{2}=O P^{2}\), we introduce vectors, so that the equation becomes

\[ \mathbf{O P}^{2}=R^{2} \] where \(\mathbf{O P}^{2}=\mathbf{O P} \cdot \mathbf{O P}\) is the scalar square of the vector \(\mathbf{O P}\).

For the power function itself \(\pi(P)=\mathbf{O P}^{2}-R^{2}\) holds, and in case an equation of a disk is needed rather than a circle, we replace \(=\) with \(\leq\) above.

The vector expression of the equation, in turn, allows making the \(P\) 's role as the variable point more prominent by substituting \(\mathbf{O P}=\mathbf{P}-\mathbf{O}\), thus obtaining

\[ \mathbf{P}^{2}-2 \mathbf{0} \cdot \mathbf{P}+\left(\mathbf{0}^{2}-R^{2}\right)=0 . \] Conversely, any equation of the form

\[ \mathbf{P}^{2}-2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{P}+s=0, \] where \(\mathbf{u}^{2} \gt s\), is an equation of the circle whose centre is the point with position vector \(\mathbf{u}\) and whose radius is \(\sqrt{\mathbf{u}^{2}-s}\).

We see that the ‘power’ form of the circle or disk equation enables introducing vectors and obtaining yet another, perhaps more manageable form.

Now let \(A\) and \(B\) be different points and \(M\) be the midpoint of \(A B\) (Fig. 1). For an arbitrary point \(P\) :

\[ \mathbf{P A}=\mathbf{P} \mathbf{M}+\mathbf{M} \mathbf{A}, \quad \mathbf{P B}=\mathbf{P} \mathbf{M}+\mathbf{M B}=\mathbf{P} \mathbf{M}-\mathbf{M} \mathbf{A}, \] hence \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{P B}=\mathbf{M P}^{2}-\mathbf{M A}^{2}=M P^{2}-M A^{2}\).

Figure 1

As \(M A\) is the radius of the circle with centre \(M\) and diameter \(A B, M P^{2}-M A^{2}\) is none other than the power \(\pi(P)\) of \(P\) with respect to this circle, and we obtain the following result.

For any diameter \(A B\) of a given circle and any point \(P\) in the plane

(1)\[ \mathbf{P A} \cdot \mathbf{P B}=\pi(P) \]

holds: \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{P B}\) does not depend on the actual diameter \(AB\) and always equals \(\pi(P)\) .

It also follows that for any diameter \(A B\) of a circle

\[ \mathbf{P A} \cdot \mathbf{P B}=0 \] is an equation of the circle (and \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{P B} \leq 0\) is an equation of the respective disk).

Yet another conclusion that follows from the above is that, for \(P\) different from \(A\) and \(B\), as \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{P B}\) is positive, zero, or negative according as the angle \(∢(\mathbf{P A}, \mathbf{P B})\) is acute, right, or obtuse, these three cases take place precisely when \(P\) is outside the circle, on the circumference, or inside the circle — a fact that here is a direct consequence of expressing the power of a point through the scalar product of vectors.

3. The power as a scalar product

As we have established the relation (1) for a diameter, the question arises of what other choices for \(A\) and \(B\) are possible for which (1) is true.

More specifically, let \(A\) and \(B\), not necessarily different, both lie on a given circle \((O, R)\), and let \(P\) be an arbitrary point. We want to find a necessary and sufficient condition for (1) to hold.

If \(A A^{\prime}\) is a diameter, then from

\[ \mathbf{P A} \cdot \mathbf{P B}=\mathbf{P A} \cdot\left(\mathbf{P} \mathbf{A}^{\prime}+\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{B}\right)=\mathbf{P A} \cdot \mathbf{P} \mathbf{A}^{\prime}+\mathbf{P A} \cdot \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{B} \] and \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{P} \mathbf{A}^{\prime}=\pi(P)\) itfollowsthat \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{P B}=\pi(P)\) ifandonlyif \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{B}=0\). But

\[ \mathbf{P A} \cdot \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{B}=\mathbf{P A} \cdot\left(\mathbf{O B}-\mathbf{O A}^{\prime}\right)=\mathbf{P A} \cdot(\mathbf{O B}+\mathbf{O A})=2 \mathbf{P A} \cdot \mathbf{O M} \] where \(M\) is the midpoint of \(A B\); if \(A\) and \(B\) are the same point, then \(M\) is also that point. Hence, we find that \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{B}=0\) if and only if \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{O M}=0\). Furthermore, since \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{O M}=0\) (because either \(M \equiv A\), or \(M \equiv O\), or \(M A \perp O M\) ) and \(\mathbf{P A}=\mathbf{P M}+\mathbf{M A}\), we also find \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{O M}=\mathbf{P M} \cdot \mathbf{O M}\). Thus \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{P B}=\pi(P)\) if and only if \(\mathbf{P M} \cdot \mathbf{O M}=0\).

The latter equality holds if and only if either \(M \equiv O\)-which is when \(A B\) is a diameter — or \(P\) is on the line through \(M\) that is perpendicular to \(O M\) (and possibly \(P \equiv M\) ). If \(A B\) is not a diameter and \(A \not \equiv B\), then \(\mathbf{P M} \cdot \mathbf{O M}=0\) holds precisely when the secant \(A B\) contains \(P\). And if \(A \equiv B\) and thus also \(M \equiv A\), then, since \(M\) is on the circle, \(\mathbf{P M} \cdot \mathbf{O M}=0\) means that \(P\) lies on the tangent at \(M\).

We conclude that (1) holds in precisely two cases: when \(A B\) is a diameter, and when \(A\) and \(B\) are the points (not necessarily different) that a line through \(P\) has in common with the circle \((O, R)\). In particular, we have found that \(P A^{2}=\pi(P)\) if and only if \(A\) is the contact point of the tangent throught \(P\) (and therefore \(A \equiv B\) ).

As it follows that for a secant \(A B\) through \(P\) the product \(\mathbf{P A} \cdot \mathbf{P B}\) depends only on \(P\) and not on \(A\) and \(B\), we have established both the intersecting chords and the intersecting secants theorems, along with the liminal case when a line is tangent rather than a secant. All the three cases are established at once, with no need for separate proofs. Fig. 2 shows examples for \(P\) outside and inside a circle.

Figure 2

Note that the power invariance seems to manifest itself more immediately in the diameter case than the chord/secant one, and that we have used the former in deriving the latter. And the fact that we use a scalar product rather than just the length product \(P A, P B\) , as is commonly done, makes it possible to not differentiate between \(P\) lying inside or outside the circle, as well as treat the diameter and the chord/secant cases jointly.

4. Finding the other end of a chord

The diameter case (1) appears to help in solving various problems. One of them is finding the other point of intersection of a line and a circle, given one such point.

Let \(K\) be a point of intersection of a line through the point \(A \not \equiv K\) with some circle. The line \(A K\) may also intersect the circle at another point \(L\), or it may be that \(A K\) touches the circle at \(K\), in which case we assume \(L \equiv K\).

Figure 3

Let \(K^{\prime}\) be the other end of the diameter through \(K\) (Fig. 3). If \(L \not \equiv K^{\prime}\), then \(K^{\prime} L \perp A K\), because \(K K^{\prime}\) is a diameter and \(L\) lies on the circle. This is true even if \(L \equiv K\). Therefore \(L\) is the perpendicular projection of \(K^{\prime}\) on \(A K\), and as the latter remains true when \(L \equiv K^{\prime}, L\) is defined by

\[ \mathbf{L}=\mathbf{A}+\tfrac{\mathbf{A} \mathbf{K} \cdot \mathbf{A} \mathbf{K}^{\prime}}{A K^{2}} \mathbf{A K} \]

As \(\mathbf{A K} \cdot \mathbf{A K}^{\prime}\) is the power of \(A\) with respect to the circle, the product is independent of \(K\) and equals \(O A^{2}-R^{2}\), where \(O\) and \(R\) are the centre and radius of the circle. Hence \(L\) can also be defined by

\[ \mathbf{L}=\mathbf{A}+\tfrac{O A^{2}-R^{2}}{A K^{2}} \mathbf{A K} \]

Thus, knowing any of the points in common of a line through \(A\) and a circle, the other point can be found by any of the above equalities: \(O\) being given, we also know \(\mathbf{A K}^{\prime}=\mathbf{A O}-\mathbf{O K}\) and \(R^{2}=O K^{2}\). If the line is tangent to the circle and \(K\) is the only point in common, the equalities produce an \(L\) that is the same as \(K\).

For another example of the kind, let the point \(K\) be on the line through the side \(B C\) of \(\triangle A B C\), and the line \(A K\) has another point \(L\) in common with the circumcircle of \(\triangle A B C\) (Fig. 4). \(L\) is, in the general case, different from \(A\). How can we find \(L\) ?

Figure 4

Let at first indeed \(L \not \equiv A\). As long as \(K\) belongs to each of the lines \(A L\) and \(B C\) and the points \(A, B, C\), and \(L\) are on the circumcircle of \(\triangle A B C\), the power of \(K\) with respect to that circle can be expressed through \(A\) and \(L\), as well as through \(B\) and \(C\), which leads to \(\mathbf{K L} \cdot \mathbf{K A}=\mathbf{K B} \cdot \mathbf{K C}\).

The same equality holds when \(L \equiv A\).

Since \(\mathbf{K L} \| \mathbf{K A}\), there must be a number \(s\) such that \(\mathbf{K L}=s \mathbf{K A}\). Substituting this in the first equality and thus finding \(s\), we arrive at the following expression for \(L\) :

\[ \mathbf{L}=\mathbf{K}+\tfrac{\mathbf{B K} \cdot \mathbf{K C}}{A K^{2}} \mathbf{A K} \]

As a point on the line \(B C\), the point \(K\) may be known through the coefficient \(\lambda\) \(\lambda\) in \(\mathbf{K}=\mathbf{B}+\lambda \mathbf{B C}\). In this case the above equality takes the form

\[ \mathbf{L}=\mathbf{K}+\lambda(1-\lambda)\left(\tfrac{B C}{A K}\right)^{2} \mathbf{A K} \]

5. A formula of Euler and its likes

Expressing the power of a point through a diameter as in (1) can also be put to service in another way.

Let \(P\) be any point and \(K\) be a point on the circle \((O, R)\). Of the power of \(P\) with respect to the circle we know \(O P^{2}-R^{2}=\mathbf{P K} \cdot \mathbf{P K} \mathbf{K}^{\prime}\), where \(K^{\prime}\) is the other end of the diameter through \(K\). This equality can be used to find \(O P\) indirectly, through \(K\). In order to get rid of \(K^{\prime}\), we transform the expression on the right-hand side as follows:

\[ \mathbf{P K} \cdot \mathbf{P K}^{\prime}=\mathbf{P K} \cdot\left(\mathbf{P K}+\mathbf{K K}^{\prime}\right)=\mathbf{K} \mathbf{P} \cdot(\mathbf{K} \mathbf{P}+2 \mathbf{O K}) \]

thus obtaining for \(O P\)

\[ O P^{2}=R^{2}+\mathbf{K P} \cdot(\mathbf{K P}+2 \mathbf{~ O K})=R^{2}+K P^{2}+\mathbf{K P} \cdot(2 \mathbf{~ O K}) . \]

The above equality is useful for finding \(O P\) when it is difficult to do it directly but for some \(K\) we can find \(\mathbf{O K}\) and \(\mathbf{K P}\). For \(K\) we have a choice — it can be any point on the circle.

Typically, the circle is the circumcircle of a triangle and \(K\) is any of its vertices. Let the triangle be \(\triangle A B C\) and \(A\) be taken for the role of \(K\).

In the following, we use the conventional notation for the sides of the triangle: \(a=B C, b=C A\), , and \(c=A B\). We also designate the sides as vectors: \(\mathbf{a = B C}\), \(\mathbf{b}=\mathbf{C A}\), and \(\mathbf{c}=\mathbf{A B}\). Let also \(S\) be the doubled oriented area of \(\triangle A B C\).

The centre \(O\) of the circumcircle can be found as the point of intersection of the perpendicular bisectors of any two of the sides of \(\triangle A B C\), e.g. \(C A\) and \(A B\) :

\[ \mathbf{o}=\tfrac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}-\tfrac{1}{2} \tfrac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}}{S} \mathbf{a}^{\perp} \] where \(\mathbf{a}^{\perp}\) is the vector the same length as \(\mathbf{a}\) and rotated to a right angle in the positive direction with respect to \(\mathbf{a}\).

With this and \(K \equiv A, \mathbf{O K}\) becomes

\[ \tfrac{\mathbf{b}-\mathbf{c}}{2}+\tfrac{1}{2} \tfrac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}}{S} \mathbf{a}^{\perp} \] and the above expression for \(\mathbf{O P}\) takes the form

(2) \[ O P^{2}=R^{2}+A P^{2}+\mathbf{A P} \cdot\left(\tfrac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}}{S} \mathbf{a}^{\perp}+\mathbf{b}-\mathbf{c}\right) . \]

The equality (2) helps expressing the distance of a number of triangle centres to \(O\).

For example, let \(P\) be the centroid \(G\) of \(\triangle A B C\). Applying \(\mathbf{A G}=(\mathbf{c}-\mathbf{b}) / 3\), \((\mathbf{c}-\mathbf{b}) \cdot \mathbf{a}^{\perp}=-2 S\), and (2) yields

\[ O G^{2}=R^{2}-\tfrac{2}{9}\left(b^{2}+c^{2}+\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\right) \]

In view of \(\mathbf{a}=-(\mathbf{b}+\mathbf{c})\) the expression in the parentheses can be slightly tightened to \(a^{2}-\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\). If, on the other hand, a more symmetric with respect to \(a, b, c\) expression is sought, we can arrive at the following:

\[ O G^{2}=R^{2}-\tfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{9} \]

If H is the orthocentre, taking into account \(\mathbf{O H}=\mathbf{3 O G}\) we also obtain

\[ O H^{2}=9 O G^{2}=9 R^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) . \]

Now let \(P\) be the incentre \(I\) of \(\triangle A B C\) and again make use of (2). Being the point of intersection of the angle bisectors at \(B\) and \(C\) of \(\triangle A B C, I\) is defined by

\[ \mathbf{I}=\mathbf{A}+\tfrac{b \mathbf{c}-c \mathbf{b}}{p} \] where \(p=a+b+c\), and (2) becomes, upon doing the multiplication,

\(O I^{2}-R^{2}=\tfrac{(b \mathbf{c}-c \mathbf{b})^{2}}{p^{2}}-\tfrac{b c^{2}+c b^{2}}{p}=\tfrac{b c}{p^{2}}(2(b c-\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})-p(b+c))\).

Here we substitute \(p=a+b+c\) to obtain

\[ -\tfrac{b c}{p^{2}}\left((\mathbf{b}+\mathbf{c})^{2}+a(b+c)\right) \] from where, in turn, by substituting \(\mathbf{b}+\mathbf{c}=-\mathbf{a}\), we arrive at

\[ -\tfrac{a b c}{p^{2}}(a+b+c)=-\tfrac{a b c}{p} . \]

Due to \(p r=|S|\) where \(r\) is the inradius, and also \(a b c=2 R|S|\), the above expression turns to be equal to \(-2 R r\), thus

(3)\[ O I^{2}=R^{2}-2 R r . \]

Similar calculation for any excentre, e.g. \(I_{\mathrm{a}}\)-the one against \(A\) and defined by \[ \mathbf{I}_{\mathbf{a}}=\mathbf{A}+\tfrac{b \mathbf{c}-c \mathbf{b}}{-a+b+c}=\mathbf{A}+\tfrac{b \mathbf{c}-c \mathbf{b}}{p-2 a} \] leads to

\[ O I_{a}^{2}=R^{2}+2 R r_{a}, \] where \(r_{a}\) is the respective inradius.

The formula (3) is widely known as ‘Euler’s triangle formula’. In (Altshiller-Court 2007) and elsewhere it is proven by combining similar triangles, the chord intersection theorem, and a somewhat involved equality of line segments.

The vector-based approach that we demonstrated here is more straightforward. Moreover, our derivation is but one of the many useful applications of (2), and (2) in turn is one of the uses of the diameter-related expression (1) of the power of a point concept. Being directly related to the use of vectors, (1) is an example of the fruitfulness of applying vector algebra to solving problems in geometry. And again it is vector algebra that makes possible the unified treatment of the chords/secants theorems, as well as various generalizations, a minuscule part of which is shown in this article.

REFERENCES

ALTSHILLER-COURT,N., 2007. College geometry, 2 ed. Mineola, New York: Dover Publications, Inc.

EUCLID, 2002. Euclid’s Elements. Santa Fe, New Mexico: Green Lion Press.

HARTSHORNE, R., 2005. Geometry: Euclid and beyond. New York et al.: Springer.

PEDOE, D., 1988. Geometry, a comprehensive course. New York: Dover Publications, Inc.

STEINER, J., 1901. Einige Geometrische Betrachtungen. Leipzig: Verlag von Wilhelm Engelmann.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.