2016/6, стр. 572 - 588

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Резюме: В статье представлены основные результаты работы международной группы учащихся в рамках исследовательского проекта „Геометрический Scrabble в облаках“. Исследование состояло в постановке и решении задач, представляющих собой обобщения и естественные аналоги стартовой задачи. В ходе исследования использовался аппарат аналитической геометрии, а также программные продукты, такие как GeoGebra, Geometer’s Sketchpad, Maple. В результате получены задачи, приводящие к появлению геометрических мест точек, которыми являются: прямая Эйлера, кривые второго порядка, а также кривые более высоких порядков.

Ключови думи: locus, Euler line, Euler curve, curve of second degree

В конце сентябре 2015 году мы начали участие в международном сетевой исследовательской проекте „Геометрический Scrabble в облаках“, которой продолжался до начала мая 2016 года. В этот период мы работали над развитием идеи задачи, предложенной профессором Шабановой в качестве стартовой: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне построены правильные треугольники \(A M C\) и \(C N B\), лежащие в одной полуплоскости. Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\)– точка пересечения биссектрисы угла \(M C N\) с отрезком \(M N\).

После получения различных решений стартовой задачи с помощью GeoGebra и Geometer’s Sketchpad мы получили ее обобщение и поставили новые задачи, которые являются вариантом стартовой задачи. Некоторые из полученных результатов мы приведем ниже.

1. Обобщение стартовой задачи и кривые второго порядка. При решении стартовой задачи мы получили, что искомая траектория является часть параболой. Следующий этап состоялся в нахождении обобщения стартовой задачи. Наши исследования опирались на следующие наблюдения: когда \(C T\) является биссектрисой угла \(∢ M C N\), то \(T\) такая точка на отрезке \(M N\) что выполнено соотношение \(\cfrac{M T}{N T}=\cfrac{C M}{C N}\). Тогда, мы можем взять точку \(T\) на прямой \(M N\) так что \(\cfrac{\overline{M T}}{\overline{N T}}=k \cdot \cfrac{C M}{C N}\), где \(k \neq 0\) произвольное действительное число. Далее мы можем заменить правильные треугольники равнобедренными треугольниками \(A C M\) и \(C B N\), для которых выполняются равенства \(∢ A C M=∢ C A M=\alpha\) и \(∢ B C N=∢ C B N=\beta\). Так получается следующее обобщение стартовой задачи:

Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне, построены равнобедренные треугольники AMC и CNB, лежащие в одной полуплоскости и с углами при основаниях \(A C\) и \(B C\), соответственно, \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\), которая находится на прямой \(M N\) и выполнено соотношение \(\cfrac{\overline{M T}}{\overline{N T}}=k \cdot \cfrac{C M}{C N}\), где \(k \neq 0\) произвольное действительное число.

Компьютерные эксперименты показали, что траектория в одном случае казалась параболой (Рис. 1), а в другом – гиперболой (Рис. 2). Из всех полученных результатов мы пришли к следующему выводу: Точка \(T\) описывает часть кривой второго порядка.

Мы получили только гипотезу. Необходимо было ее доказать. Представим доказательство.

Рассмотрим систему координат \(A x y\), при которой \(A(0,0), B(0, c)\), \(C\left(c_{0}, 0\right)\) (рис. 3). Тогда

(1)\[ M\left(\cfrac{c_{0}}{2}, \cfrac{c_{0}}{2} \operatorname{tg} \alpha\right), N\left(\cfrac{c+c_{0}}{2}, \cfrac{c-c_{0}}{2} \operatorname{tg} \beta\right), \]

(2)\[ C M=\cfrac{c_{0}}{2 \cos \alpha}, C N=\cfrac{c-c_{0}}{2 \cos \beta} . \]

Если \(T\) такая точка прямой \(M N\), для которой \(\cfrac{\overline{M T}}{\overline{N T}}=\lambda\), то выполнено векторное равенство \(\overrightarrow{A T}=\cfrac{\overrightarrow{A M}-\lambda \overrightarrow{A N}}{1-\lambda}\). Отсюда получается, что координаты точки \(T(x, y)\) выражаются по следующим формулам:

(3)\[ x=\cfrac{x_{M}-\lambda x_{N}}{1-\lambda}, y=\cfrac{y_{M}-\lambda y_{N}}{1-\lambda} . \]

Если \(k\) действительное число и \(\lambda=k \cdot \cfrac{C M}{C N}\), тогда из \((2)\) получается \(\lambda=\cfrac{k c_{0} \cos \beta}{\left(c-c_{0}\right) \cos \alpha}\). Этот результат вместе с ( 3) дает координаты точки \(T\) в следующим виде

(4)\[ \begin{gathered} x=c_{0} \cdot \cfrac{c(\cos \alpha-k \cos \beta)-c_{0}(\cos \alpha+k \cos \beta)}{2\left[c \cos \alpha-c_{0}(\cos \alpha+k \cos \beta)\right]} \\ y=\cfrac{c_{0}\left(c-c_{0}\right)(\sin \alpha-k \sin \beta)}{2\left[c \cos \alpha-c_{0}(\cos \alpha+k \cos \beta)\right]} \end{gathered} \]

Используя почленное деление координат \((4)\) получаем:

\[ \cfrac{x}{y}=\cfrac{c(\cos \alpha-k \cos \beta)-c_{0}(\cos \alpha+k \cos \beta)}{\left(c-c_{0}\right)(\sin \alpha-k \sin \beta)} . \]

Отсюда получается

(5)\[ \begin{aligned} & c_{0}=c \cdot \cfrac{(\sin \alpha-k \sin \beta) x-(\cos \alpha-k \cos \beta) y}{(\sin \alpha-k \sin \beta) x-(\cos \alpha+k \cos \beta) y} \\ & c-c_{0}=\cfrac{-2 c k \cos \beta y}{(\sin \alpha-k \sin \beta) x-(\cos \alpha+k \cos \beta) y} \end{aligned} \]

Из \((5)\) и второго равенства \((4)\) следует, что геометрическое место, которое описано условием задачи, это кривая \(K_{1}\)

(6) \(K_{1}:(\sin \alpha-k \sin \beta)^{2} x^{2}-(\cos \alpha+k \cos \beta)^{2} y^{2}-c(\sin \alpha-k \sin \beta)^{2} x+c(\sin \alpha-k \sin \beta)(\cos \alpha-k \cos \beta) y=0 .\)

Так наша гипотеза подтвердилась, т.е. мы получили, что желанное геометрическое место – кривая второго порядка. Что бы определить вид кривой \(K_{1}\) в зависимости от константы \(k\) и углов \(\alpha\) и \(\beta\) необходимо пользоваться инвариантами \(K_{1}\). После совершения необходимых вычислений получаем следующие выводы:

1) если \(k \neq \cfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}\) и \(k \neq-\cfrac{\cos \alpha}{\cos \beta}\), то \(K_{1}\) гипербола (рис. 2);

2) если \(k=\cfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}\), то \(K_{1}\) двойная прямая (рис. 4);

3) если \(k=-\cfrac{\cos \alpha}{\cos \beta}\), то \(K_{1}\) парабола (рис. 1).

К случаю 3) относятся и подобные треугольники, т.е. когда \(\beta=\alpha\). В этом случае \(k=-1\) и \(C T\) снова является биссектрисой угла \(M C N\). Уравнение параболы (6) запишется в следующем виде

(9)\[ y=-\cfrac{1}{c} \cdot \operatorname{tg} \alpha \cdot x^{2}+\operatorname{tg} \alpha \cdot x . \]

Из уравнения ( 9) мы получаем, что в точках \(A(0,0), B(c, 0)\) и \(T\left(c_{0}, \cfrac{c_{0}\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha}{c}\right)\) соответственные касательные \(t_{A}, t_{B}\) и параболы имеют следующие уравнения: \(t_{A}: y=\operatorname{tg} \alpha \cdot x, \quad t_{B}: y=-\operatorname{tg} \alpha \cdot x+c \cdot \operatorname{tg} \alpha\), \(t_{T}:\left(c-2 c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha \cdot x-c \cdot y+c_{0}^{2} \operatorname{tg} \alpha=0\) соответственно. Эти уравнения совпадают с уравнениями прямых \(A M, B N\) и \(M N\). Так мы доказали, что прямые \(A M, B N\) и \(M N\)-касательные параболы, когда равнобедренные треугольники \(A C M\) и \(B C N\) подобные.

2. Прямая, как геометрическое место точек, делящие отрезки в по-стоянном отношении. В стартовой задаче естественно заменит биссектрису \(C T\) медианой. Так получается следующая задача: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне, построены правильные треугольники \(A M C\) и \(B N C\), лежащие в одной полуплоскости. Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет \(T\)– точка пересечения медианы \(C T\) треугольника \(M N C\) с отрезком \(M N\).

Эту задачу обобщаем следующим образом: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, какна стороне, построены равнобедренные треугольники \(A M C\) и \(C N B\), лежащие в одной по-луплоскости и имеющие углы при основании \(A C\) и \(B C\) соответственно \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\), которая находится на прямой \(M N\) и выполнено соотношение \(\cfrac{\overline{M T}}{\overline{N T}}=k\) , где \(k \neq 0,1\) произвольное действительное число.

Компьютерные эксперименты показали, что искомое геометрическое место – отрезок (рис. 5, 6).

Для доказательства рассмотрим систему координат \(A x y\), как при решений предыдущей задачи (рис. 3). Если \(T(x, y)\) такая точка прямой \(M N\), для которой \(\cfrac{\overline{M T}}{\overline{N T}}\) =, то из k \((2)\) и \((3)\) получаются равенства:

(10)\[ x=\cfrac{(1-k) c_{0}-k c}{2(1-k)}, y=\cfrac{(\operatorname{tg} \alpha+k \cdot \operatorname{tg} \beta) c_{0}-k c \cdot \operatorname{tg} \beta}{2(1-k)} . \]

Из первого равенства ) следует \(c_{0}=\cfrac{2(1-k) x+k c}{1-k}\). Подставим \(c_{0}\) во
второе равенство \((10)\) и после переработки получим уравнение прямой \(K_{2}\)
следующего вида:

(11)\(K_{2}: 2(1-k)(\operatorname{tg} \alpha+k \cdot \operatorname{tg} \beta) x-2(1-k)^{2} y+k c[\operatorname{tg} \alpha+(2 k-1) \operatorname{tg} \beta]=0\).

Следовательно, геометрическое место точек \(T\) отрезка прямой \(K_{2}\), концы которого точки \(A_{1}\left(\cfrac{k c}{2(k-1)}, \cfrac{k c \cdot \operatorname{tg} \beta}{2(k-1)}\right)\) и \(B_{1}\left(\cfrac{(2 k-1) c}{2(k-1)}, \cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha}{2(1-k)}\right)\). Точки \(A_{1}\) и \(B_{1}\) получаются из \(10\) при \(c_{0}=0\) и \(c_{0}=c\) соответственно. Они соответствуют следующими совпадениями \(C \equiv A\) и \(C \equiv B\).

Прямая \(K_{2}\) может быть параллельной прямой \(A B\) только тогда, когда \(k=-\cfrac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta}\) (рис. 6). В этом случае уравнение (11) преобразуется в следующее

(12)\[ y=\cfrac{2 k^{2} c \cdot \operatorname{tg} \alpha}{2(1-k)^{2}} x . \]

Когда равнобедренные треугольники \(A C M\) и \(B C N\) подобны, т.е. \(k=-1\), точка \(T\) середина отрезка \(M N\). Из \((12)\) получается уравнение

(13)\[ y=\cfrac{c}{4} \cdot \operatorname{tg} \alpha \cdot x, \]

содержащее частный случай правильных треугольников.

3. Касательные и кривые второго порядка. Новая идея преобразовала стартовую задачу в новую задачу. Ее содержание следующее: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне построены правильные треугольники \(A C M\) и \(B C N\), лежащие в одной полуплоскости. Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\)– точка пересечения касательной \(к\) описанными окружностям около треугольников \(A C M\) и \(B C N\) с прямой \(M N\).

Эту задачу обобщаем следующим образом: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне построены равнобедренные треугольники \(A M C\) и \(C N B\), лежащие в одной полуплоскости и с углами при основании \(A C\) и \(B C\) соответственно \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\), в которой касательная к описанным окружностям около треугольников \(A C M\) и \(B C N\) пересекается с прямой \(M N\).

Общая касательная к окружностям проходит через их центр гомотетий. Центр гомотетий находится на линии центров окружностей. Точки \(M\) и \(N\) гомотетичные, поэтому прямая \(M N\) проходит через центр гомотетий окружностей. Следовательно, достаточно найти траекторию, которую опишет точка \(T\) пересечения прямой \(M N\) с линией центров окружностей.

Компьютерные эксперименты показали, что искомая траектория - кривая второго порядка (рис. 7).

Для доказательства опять рассмотрим систему координат \(A x y\) как в предыдущих решениях (рис. 3). Пусть \(A_{0}\) и \(B_{0}\) середины соответственно отрезков \(A M\) и \(B N\). Тогда, при помощи (1) и (3) (в этом случае \(\lambda=-1\) ), их координат выражаются следующим образом

(14)\[ A_{0}\left(\cfrac{c_{0}}{4}, \cfrac{c_{0}}{4} \operatorname{tg} \alpha\right), B_{0}\left(\cfrac{3 c+c_{0}}{4}, \cfrac{c-c_{0}}{4} \operatorname{tg} \beta\right) \]

Из (14) находим уравнения симметрии \(S_{A M}\) и \(S_{B N}\) отрезков \(A M\) и \(B N\) в следующем виде:

(15)\[ \begin{gathered} s_{A M}: 4 x+4 \operatorname{tg} \alpha y-c_{0}\left(1+\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)=0 \\ s_{B N}: 4 x-4 \operatorname{tg} \beta y+\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg}^{2} \beta-3 c-c_{0}=0 \end{gathered} \]

С другой стороны уравнения симметрии \(S_{A C}\) и \(S_{B C}\) отрезков \(A C\) и \(B C\) следующие:

(17)\[ \begin{gathered} S_{A C}: x=\cfrac{c_{0}}{2}, \\ S_{B C}: x=\cfrac{c+c_{0}}{2} \end{gathered} \]

Из (15) и (16) находим координаты центра \(O_{A}\) описанной около \(\triangle A C M\) окружности, а из (17) и (18) находим координаты центра \(O_{B}\) описанной около \(\triangle B C N\) окружности. Результаты следующие

(19)\[ O_{A}\left(\cfrac{c_{0}}{2}, \cfrac{c_{0}\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-1\right)}{4 \operatorname{tg} \alpha}\right), O_{B}\left(\cfrac{c+c_{0}}{2}, \cfrac{\left(c-c_{0}\right)\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)}{4 \operatorname{tg} \beta}\right) \]

Координаты точек \(M\) и \(N\) описаны в (1). Найдем по ним уравнение прямой \(M N\). Оно имеет вид:

(20)\(M N: 2\left[c_{0} \operatorname{tg} \alpha-\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \beta\right] x+2 c y-c_{0}\left[\left(c+c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha-\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \beta\right]=0\).

Уравнение (20) можно записать и так:

(21)\((\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) c_{0}^{2}+[c(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)-2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) x] c_{0}-2 c(y-\operatorname{tg} \beta . x)=0\).

Из координат (19) находим уравнение централы \(O_{A} O_{B}\) в виде

(22)\[ \begin{aligned} O_{A} O_{B}: & 2\left[\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)-c_{0} \operatorname{tg} \beta\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-1\right)\right] x-4 c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \cdot y- \\ & c_{0}\left[\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)-\left(c+c_{0}\right) \operatorname{tg} \beta\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-1\right)\right]=0 . \end{aligned} \]

Уравнение (22) можно записать в следующем виде:

(23)\[ \begin{aligned} & (\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1) c_{0}^{2}+ \\ & +[c(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+1)-2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1) x] c_{0}+ \\ & 2 c \cdot \operatorname{tg} \alpha\left[\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right) x-2 \operatorname{tg} \beta \cdot y\right]=0 . \end{aligned} \]

Сейчас мы умножим равенство (21) на \(-(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\) и суммируем с (23). Для \(c_{0}\) получается равенство

(24)\[ c_{0}=\cfrac{(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) x+(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+1) y}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta} . \]

Потом подставим (24) в (21) и получаем уравнение кривой \(K_{3}\) второго порядка

(25)\[ \begin{aligned} K_{3}: & (\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)^{2} x^{2}-(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+1)^{2} y^{2}- \\ & -c(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)^{2} x-c(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)^{2}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1) y=0 \end{aligned} \]

Этот кривая желанная траектория точки \(T\). На основании инвариантов \(K_{3}\) получаются следующие результаты:

1) если \(\alpha \neq \beta\), то \(K_{3}\)– гипербола (рис. 7);

2) если \(\beta=\alpha\), то \(K_{3}-\) двойная прямая (рис. 8).

Последний результат получается самым элегантным образом, пользуясь только соображения гомотетии.

5. Общая хорда окружности и кривые четвертого порядка. Еще один вариант, который содержит описанные окружности, получается в следующей задаче: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне построены правильные треугольники ACM и BCN , лежащие в одной полуплоскости. CP – хорда, по которой пересекаются описанные около треугольников \(A C M\) и \(B C N\) окружности. Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет то чка переса \(T\)-точк ечения прямой \(C P\) с отрезком \(M N\).

Последнюю задачу обобщаем следующим образом: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне построены равнобедренные треугольники \(A M C\) и \(C N B\), лежащие в одной полуплоскости и с углами при основании \(A C\) и \(B C\) соответственно \(\alpha\) и \(\beta\). Если \(P\) вторая точка пересечений окружностей, описанных около треугольников \(A C M\) и \(B C N\), найдите какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\), которая получается при пересечений прямьх \(C P\) и \(M N\).

Компьютерные эксперименты показали, что искомая траектория – кривая, которая показана на рис. 9. Мы не смогли сделать осмысленное предположение о виде этой траекторий. Поэтому начали искать теоретическое решение задачи и определить вид кривой.

Рассмотрим система координат \(A x y\) (рис. 3). Из (19) уравнения окружностей \(k_{A}\) и \(k_{B}\), описанных соответственно около треугольников \(A C M\) и \(B C N\), имеют вид

(26)\[ k_{A}: 2 \operatorname{tg} \alpha \cdot x^{2}+2 \operatorname{tg} \alpha \cdot y^{2}-2 c_{0} \operatorname{tg} \alpha \cdot x-c_{0}\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-1\right) y=0, \]

\(k_{B}: 2 \operatorname{tg} \beta \cdot x^{2}+2 \operatorname{tg} \beta \cdot y^{2}-2 \operatorname{tg} \beta (c+c_0)x-(c-c_0)( \operatorname{tg}^2 \beta -1)y+2cc_0\operatorname{tg} \beta=0\) (27).

Из (26) и (27) получим координаты второй точки \(P\left(x_{P}, y_{P}\right)\) пересечений \(k_{A}\) и \(k_{B}\) вида:

(28)\[ x_{P}=\cfrac{c c_{0} \operatorname{tg} \beta\left\{\operatorname{ctg} \alpha\left[(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}-(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)^{2}\right]+c_{0}\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-1\right)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\right\}}{\left[\operatorname{c} \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)-c_{0}(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\right]^{2}+4 c^{2} \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta}, \]

(29)\[ \cfrac{2 c c_{0}\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)}{\left[c \cdot \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)-c_{0}(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\right]^{2}+4 c^{2} \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta} . \]

Из (28) и (29) получается уравнение прямой \(C P\) в виде:

(30)\[ \begin{aligned} C P: & 2 c\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta . x+\left\{c^{2} \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)+c_{0}^{2}(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)-\right. \\ & \left.-c c_{0}\left[(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)+\operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)\right]\right\} y-2 c c_{0}\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta=0 \end{aligned} \]

Уравнение (30) можно записать и так:

(31)\[ \begin{aligned} C P: & {[(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1) y+2 c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta] c_{0}^{2}-} \\ & -\left\{2 c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \cdot x+c\left[(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)+\operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)\right] y+2 c^{2} \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right\} \cdot c_{0}+ \\ & +2 c^{2} \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \cdot x+c^{2} \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right) y=0 \end{aligned} \]

Из равенства (21) и (31) получаем \(c_{0}^{2}\) и получаем равенство

(32)\[ \begin{aligned} & {\left[2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1) x y+2 c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) x-\right.} \\ & \left.-c \cdot \operatorname{tg} \alpha(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-3\right) y-4 c^{2} \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta\right] c_{0}= \\ & =c \cdot\left[-2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1) y^{2}+2 \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)-\right. \\ & \left.-2 c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) x-c \cdot \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{3} \beta+\operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{2} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \beta-\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta\right) y\right] \end{aligned} \]

Потом подставим \(c_{0}\) в \((32)\) в \((21)\) и получаем кривую \(K_{4}\) четвертого порядка

\[ \begin{aligned} & \begin{array}{l} (33) K_{4}: A_{04} y^{4}+A_{31} x^{3} y+A_{13} x y^{3}+A_{22} x^{2} y^{2}+A_{30} x^{3}+A_{03} y^{3}+ \\ +A_{21} x^{2} y+A_{12} x y^{2}+A_{20} x^{2}+A_{02} y^{2}+A_{11} x y+A_{10} x+A_{01} y=0, \end{array} \\ & \text { где } A_{04}=2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{3}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)^{2}, A_{31}=4 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{3}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1), \\ & A_{13}=2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{3}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta-2 \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta\right), \\ & A_{22}=2 \operatorname{tg} \alpha(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{3}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\left(4 \operatorname{tg}^{2} \beta-\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right), A_{30}=4 c \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}, \\ & A_{03}=-c \cdot \operatorname{tg}^{2}(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}\left(2 \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta-8 \operatorname{tg}^{3} \operatorname{tg}^{3} \beta+\right. \\ & \left.+\operatorname{tg}^{3} \beta-5 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta-6 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+8 \operatorname{tg}^{2} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta\right), \\ & A_{21}=-2 c \cdot \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta\left(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta\right)^{2}\left(3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+5 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-4 \operatorname{tg}^{2} \beta-3 \operatorname{tg} \alpha-3 \operatorname{tg} \beta\right), \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & A_{12}=-c \cdot \operatorname{tg} \alpha(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}\left(\operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+12 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+8 \operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{4} \beta-20 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-3 \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg} \beta+\right. \\ & \left.+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta-4 \operatorname{tg}^{3} \beta-16 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \alpha-4 \operatorname{tg}^{2} \beta+21 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right), \\ & \quad A_{20}=-8 c^{2} \cdot \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}, \\ & \quad A_{02}=c^{2} \cdot \operatorname{tg}^{2} \alpha(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left(\operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{4} \beta+2 \operatorname{tg}^{5} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+2 \operatorname{tg}^{4} \operatorname{tg}^{4} \beta+9 \operatorname{tg}^{4} \beta-\right. \\ & \left.\quad-15 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-\operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg} \beta-13 \operatorname{tg}^{3} \operatorname{tg}^{3} \beta+2 \operatorname{tg}^{3} \beta-10 \operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{2} \beta+2 \operatorname{tg}^{2} \alpha+3 \operatorname{tg}^{2} \beta+21 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right), \\ & \quad A_{11}=2 c^{2} \cdot \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) \times \\ & \quad \times\left(\operatorname{tg}^{3} \alpha+3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-2 \operatorname{tg}^{2} \beta-6 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+3 \operatorname{tg}^{2} \alpha-3 \operatorname{tg}^{2} \beta\right), \\ & \quad A_{10}=4 c^{3} \cdot \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta\right)^{2}, \\ & \quad A_{01}=2 c^{3} \cdot \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg} \beta\left(-\operatorname{tg}^{4} \beta+\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-4 \operatorname{tg}^{3} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-8 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right) . \end{aligned} \] Следовательно, желанная траектория является кривая четвертого порядка.

6. Прямая Эйлера и параболическая оболочка. Мы исследовали случаи, когда отрезок \(C T\) был медианной и высотой треугольника \(M N C\). Эти отрезки связаны с особыми точками \(\triangle M N C\) медиацентра и ортоцентра. Эти точки находятся на прямой, называемой прямой Эйлера \(\triangle M N C\). \(B\) результате мы поставили следующую задачу: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне, построены равнобедренные треугольники \(A M C\) и \(C N B\), лежащие в одной полуплоскости, с углами при основании \(A C\) и \(B C\) соответственно \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите, какие траектории при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишут ортоцентр \(H\), медиацентр \(G\) и центр \(O\) описанной окружности треугольника MNC . Существует ли некоторая связь между траекториями?

Результаты, которые мы получили экспериментальным путем, были следующими:

1) эти точки описывают отрезки;

2) точка \(H\) описывает отрезок, параллельный прямой \(A B\);

3) концы отрезка находятся на двух прямьх \(l_{a}\) и \(l_{b}\) (рис. 10).

Точки \(H, G\) и \(O\) находятся на прямой Эйлера. Центр \(E\) окружности Эйлера тоже находится на прямой Эйлера. Эксперименты показали, что траектория \(E\) тоже отрезок, концы которого оказались на найденных двух прямых \(l_{a}\) и \(l_{b}\). Тогда мы решили экспериментировать с произвольной точкой прямой Эйлера, которая обладает общим свойством с этой прямой. Как сделать это? Точка \(J\), которая находится на прямой Эйлера и делит отрезок \(O H\) в одном и тоже отношение \(\lambda\), имеет такое свойство. Когда число \(\lambda\) изменяется на множестве действительных чисел, точка \(J\) будет описывать прямую Эйлера. Мы построили точку \(J\) при произвольном отношении \(\lambda\) и установили, что в каждом случае траектория точки \(J-\) это отрезок, концы которого лежат на \(l_{a}\) и \(l_{b}\). Потом мы увидели, что все отрезки, которые по-лучаются, занимают некоторое положение на прямой Эйлера для \(\triangle M N C\). Отсюда возникло предположение, что прямая Эйлера сама описывает некоторое множество, которое содержит все отрезки, описываемые точкой \(J\) при разных значениях \(\lambda\). Наблюдение привело нас к гипотезе:

Прямые Эйлера описывают множество всех огибающих одной специальной параболы.

После совершения необходимых вычислений относительно системы координат \(A x y\) мы получили следующие результаты:

1) Ортоцентр \(H\) описывает отрезок прямой \(h: 2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) y-c(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)=0\), концы которого

\[ \begin{array}{r} H_{a}\left(-\cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)}{2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \cfrac{c(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)}{2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right) \\ H_{b}\left(\cfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg} \alpha+2 \operatorname{tg} \beta\right)}{2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \cfrac{c(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)}{2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right) \end{array} \]

Этот отрезок параллелен \(A B\).

2) Медиацентр \(G\) описывает отрезок прямой \(g: 6(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) x-24 y-c(\operatorname{tg} \alpha-5 \operatorname{tg} \beta)=0\), концы которого

\(G_{a}\left(\cfrac{c}{6}, \cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \beta}{6}\right), G_{b}\left(\cfrac{5 c}{6}, \cfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha}{6}\right)\).

3) Центр описанной окружности описывает отрезок прямой \(o: 4\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) x+4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-3) y-c\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+1\right)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-3\right)=0\), концы которого

\[ O_{a}\left(\cfrac{\operatorname{ctg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+1\right)}{4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \cfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+1\right)}{4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right), O_{b}\left(\cfrac{c\left(-\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+4 \operatorname{tg} \alpha+3 \operatorname{tg} \beta\right)}{4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \cfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+1\right)}{4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right) \] 4) Центр окружности Эйлера описывает отрезок прямой

\[ \begin{array}{ll} e: & 8\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) x-8(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+5) y+ \\ & +c\left[(\operatorname{tg} \alpha+5 \operatorname{tg} \beta)\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1\right)+(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)\left(\operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{2} \beta-\operatorname{tg} \alpha-2 \operatorname{tg} \beta\right)\right]=0, \end{array} \] концы которого \(E_{a}\left(\cfrac{c\left(-\operatorname{tg}^{\alpha} \operatorname{tg}^{2} \beta+\operatorname{tg} \alpha+2 \operatorname{tg} \beta\right)}{8(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \cfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1\right)}{8(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right)\),

\(E_{b}\left(\cfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+6 \operatorname{tg} \alpha+7 \operatorname{tg} \beta\right)}{8(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \cfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1\right)}{8(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right)\).

5) Точка \(J\), для которой выполнено \(\cfrac{\overline{O J}}{\overline{H J}}\), описывает отрезок прямой

\[ \begin{aligned} j: & 4(1-\lambda)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) x+4(1-\lambda)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)[(2 \lambda+1) \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+2 \lambda-3] y- \\ & -c\left[\left(1-4 \lambda^{2}\right)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta\right)+8 \lambda \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \alpha+(4 \lambda-3) \operatorname{tg}^{2} \beta+(2 \lambda+1)(2 \lambda-3)\right]=0, \end{aligned} \] концы которого

\[ \begin{aligned} & J_{a}\left(\cfrac{c\left[(2 \lambda+1) \operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{2} \beta+\operatorname{tg} \alpha-2 \lambda \operatorname{tg} \beta\right]}{4(1-\lambda)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \cfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-2 \lambda \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+2 \lambda+1\right)}{4(1-\lambda)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right) \\ & J_{b}\left(-\cfrac{c\left[(2 \lambda+1) \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+2(\lambda-2) \operatorname{tg} \alpha+(4 \lambda-3) \operatorname{tg} \beta\right]}{4(1-\lambda)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \cfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-2 \lambda \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+2 \lambda+1\right)}{4(1-\lambda)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right) \end{aligned} \]

Прямая \(j\) при \(\lambda=\infty,-\cfrac{1}{2}, 0,-1\) переходит, соответственно, в прямых \(h\), \(g, o, e\)

6) Точки \(H_{a}, G_{a}, O_{a}, E_{a}\) и \(J_{a}\) лежат на прямой

\[ l_{a}: 2\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+3\right) x-2\left(3 \operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{2} \beta+\operatorname{tg} \alpha-2 \operatorname{tg} \beta\right) y+c\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+1\right)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)=0, \] а точки \(H_{b}, G_{b}, O_{b}, E_{b}\) и \(J_{b}\) лежат на прямой

\[ l_{b}: \begin{aligned} & 2\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+3\right) x+2\left(3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta-2 \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta\right) y- \\ & -c\left(\operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \alpha-3 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+5\right)=0 \end{aligned} \]

7) Все прямые \(h, g, o, e, j, l_{a}\) и \(l_{b}\) являются специальными положениями прямой Эйлера \(\triangle M N C\) при движении \(C\) по \(A B\). Прямые \(h, g, o, e, j, l_{a}\) и \(l_{b}\) касаются кривой второго порядка

\[ K_{5}: a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 a_{13} x+2 a_{23} y+a_{33}=0 \]

, где

\[ \begin{aligned} & a_{11}=\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)^{2}, a_{12}=\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(3 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1), \\ & a_{22}=(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}(3 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)^{2}, a_{13}=-c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)\left(2 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right), \\ & a_{23}=-c(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left(3 \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta-3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+\operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg} \beta-\right. \\ & \left.-2 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+\operatorname{tg}^{2} \alpha+2 \operatorname{tg}^{2} \beta+4 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-2\right), \\ & a_{33}=c^{2}\left(\operatorname{tg}^{4} \alpha \operatorname{tg}^{4} \beta+\operatorname{tg}^{4} \alpha \operatorname{tg}^{2} \alpha-3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{4} \beta+4 \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+\operatorname{tg}^{4} \beta-\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-4 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+4\right) . \end{aligned} \]

Вид кривой \(K_{5}\) определяется следующим образом:

7.1) Если углы \(\alpha\) и \(\beta\) не удовлетворяют ни одному из следующих равенств: а) \(\alpha=\beta\); б) \(\alpha-\beta=60^{\circ}\); в) \(\alpha-\beta=120^{\circ}\), то кривая \(K_{5}\)– парабола;

7.2) Если углы \(\alpha\) и \(\beta\) удовлетворяют хотя бы одному из следующих равенств:

а) \(\alpha=\beta\); б) \(\alpha-\beta=60^{\circ}\); в) \(\alpha-\beta=120^{\circ}\), то кривая \(k-\) двойная прямая.

В специальном случае, когда \(\alpha=\beta=60^{\circ}\) получается, что все прямые \(h, g, o, e, j, l_{a}\) и \(l_{b}\) совпадают (рис. 12).

В конце скажем, что мы рассмотрели и случаи, в которых равнобедренные треугольники заменили равнобедренными трапециями. Так получились еще кривые второго порядка и кривые седьмого порядка.

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012). Around the orthocenter in the plane and the space. Sofia: Arhimedes 2000 [Гроздев, С. В. Ненков (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед 2000].

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012). Three notable points on the triangle medians. Sofia: Arhimedes 2000. [Гроздев, С. & В. Ненков (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника. София: Архимед 2000].

Modenov, P. (1969). Analytical geometry. Moscow: Moskow University. [Моденов, П. (1969). Аналитическая геометрия. Москва: Московский университет].

Sergeeva T., Shabanova M. & Grozdev S. (2014). Foundations of Dynamic Geometry. Moscow: ASOU. [Сергеева, Т., Шабанова, М. & Гроздев, С. (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.]

Georgieva, M. & Grozdev, S. (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4^{\text {th }}\) ed.). Sofia: Publ. House “Iztok-Zapad”. (ISBN 978-619-152-869-1). 327 pages [Георгиева, М. Гроздев, С. (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.) София: Издателство „Изток – Запад“].