Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2013/4, стр. 305 - 313

ПОДГОТОВКА К ОЛИМПИАДАМ – УДОБНЫЙ ПОВОД ОБСУДИТЬ ТОНКОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ

Вячеслав Тепляков
Associated Professor
Department of Algebra and Geometry
Institute of Mathematics and Computer Science
17, “Naberezhnaja Severnoj Dvini” Street
163060, Arkhangelsk, Russia
Нина Патронова
Associated Professor, PhD in Pedagogy
Department of Methodics of Mathematics Teaching
Institute of Mathematics and Computer Science
17, “Naberezhnaja Severnoj Dvini” Street
163060, Arkhangelsk, Russia

Резюме: В статье рассказывается о некоторых задачах, разбиравшихся на математическом кружке для школьников в Институте математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) федерального университета имени М. В. Ломоносова.

Ключови думи: proof, existence, Euler characteristic, Vieta’s formulae, isoperimetric problem

„Даже не плавая на глубоких
местах, полезно знать, где они“
Козьма Прутков („Мысли и афоризмы“)

Содержание основных курсов математики в школе и ВУЗе составляют общие теоремы и типичные упражнения, которые должны обеспечить достаточные технические условия для отработки стандартных подходов к решению задач. Цель зачетов и экзаменов заключается в проверке того, „что должен знать каждый“. Олимпиады являются следующим этапом математического образования, на котором оригинальные идеи и логические тонкости выходят на первый план. В них принимают участие школьники и студенты, склонные к восприятию и анализу более глубоких вопросов, связанных с поиском решений нестандартных задач. В этом поиске большую роль начинают играть некоторые детали и нюансы математических конструкций, на которые в общих курсах не обращают внимание. При подготовке к олимпиадам возникает потребность обсуждать мотивировки теорем и определений, наглядные образы возникающих понятий, эвристические соображения, приводящие к полезным идеям.

Одним из таких вопросов является проблема существования тех объектов, свойствами которых мы интересуемся в той или иной задаче. Школьная практика решения геометрических задач такова, что вопрос существования фигур, о которых идет речь в условии, не исследуется, точнее, предполагается по умолчанию, что автор задачи сам позаботился о корректности поставленных вопросов. Это, скорее всего, правильная позиция для общей массы школьников – нельзя же „объять необъятное“. Но у школьников, участвующих в олимпиадах, хватает любопытства и способностей, чтобы разобраться в задаче до конца. Приведем пример, о котором написал Владимир Игоревич Арнольд (Арнольд, 2012).

В американском стандартном экзамене была следующая задача:

Задача 1. Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 10 дюймов, а опущенная на нее высота – 6 дюймов.

С этой задачей американские школьники успешно справлялись 10 лет, но по-том приехали из Москвы русские школьники и ни один эту задачу решить как американские школьники (дававшие ответ 30 квадратных дюймов) не смог. Почему? Похожую задачу мы предлагали из любопытства на олимпиаде по математике для школьников \(8-11\) классов и студентов, проводимой на базе математического факультета Поморского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 2012 году (ныне Институт математики, информационных и космических технологий Северного (Арктического) государственного университета имени М. В. Ломоносова). К сожалению, большинство наших участников решали эту задачу „по-американски“ и только немногие замечали, что такой треугольник не существует.

Вот еще случай, который произошел на приемных экзаменах на вышеупомянутый факультет еще в „доегэшные“ времена. Было два варианта письменного экзамена по математике. В первом варианте геометрическая задача выглядела так:

Задача 2. В треугольнике \(A B C: h_{a}=3, h_{b}=5\), угол \(C=\pi / 3\), угол \(A \lt \pi / 2\). Найти площадь этого треугольника и третью высоту.

А во втором варианте все то же самое, только угол \(A \gt \pi / 2\).

И в том и другом вариантах абитуриенты, более или менее знающие планиметрию, получали ответы, тем более что и ответы и сами вычисления в обоих вариантах ничем не отличались. Разница была только в том, что в первом варианте треугольник с указанными свойствами существовал, а во втором нет. А так как вопросы существования не находятся в поле зрения школьников, да и экзаменаторы, возможно, не обратили бы внимание на этот нюанс, то на этом бы все и закончилось, если бы один из абитуриентов, решавших второй вариант, не стал бы вычислять длину отрезка, соединяющего вершину \(A\) с основанием высоты \(h_{b}\) (зачем-то это ему понадобилось). Эта длина оказалась отрицательной. Он и сам, скорее всего, искал вычислительную ошибку и приемная комиссия при проверке работы тоже какое-то время искала, но вычисления были правильные. Просто у треугольника, которого нет на свете, такое возможно, и площадь оказывается у него можно найти, если пойти более стандартным путем, как это сделали остальные абитуриенты, и высоту третью, и все остальное при желании. Но самого треугольника нет!

У логиков есть убеждение, что из ложного высказывания следует все, что угодно. Если слово „следует“ понимать не формально, как в логике, а содержательно, как его обычно понимают, например в алгебре, анализе или геометрии, то с позицией логиков трудно согласиться. Рассмотрим например следующие переформулировки обоих вариантов предыдущей задачи (именно эти переформулировки адекватны школьному пониманию этих задач):

I. „Если треугольник, удовлетворяющий условиям задачи первого варианта, существует, то его площадь равна \(5 \sqrt{3}\).“

II. „Если треугольник, удовлетворяющий условиям задачи второго варианта, существует, то его площадь равна \(5 \sqrt{3}\).“

В утверждении II посылка ложная и всякий, кому не лень, из нее получит следствие, что площадь треугольника равна \(5 \sqrt{3}\). (Это происходит ровно также, как в случае I, где все „честно“). Но совершенно не ясно как из ложной посылки утверждения II получить, например, площадь равную \(6 \sqrt{3}\). Так что из ложного высказывания „треугольник, удовлетворяющий условиям задачи второго варианта, существует“ следует „не все, что угодно“, например, еще раз повторим, не ясно как получить высказывание „площадь треугольника равна \(6 \sqrt{3}\)“.

Следующая задача была на первой олимпиаде Математического факультета Поморского государственного университета в 2009 году и вызвала большой интерес участников при разборе решений.

Задача 3. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый – с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутов белого цвета? (Лоскуты граничат, если у них есть хоть одна общая точка).

Эту достаточно легкую комбинаторную задачу решили, наверное, все, кто за нее брался, но опять же „по-школьному“, т.е. в предположении, что такой мяч существует.

Пусть \(x\)– число черных лоскутов. Тогда \((32-x)\)-число белых, \(5 x\)– число всех сторон у черных лоскутов (пятиугольников) и это число равно половине всех сторон белых лоскутков (шестиугольников), а именно \(\cfrac{6(32-x)}{2}\). Получается уравнение \(5 x=3(32-x)\), отсюда \(x=12\). Поэтому белых лоскутов 20.

Если в этой задаче число 32 заменить на 48, то легко получается уравнение \(5 x=3(48-x)\), отсюда \(x=18\), т.е. белых лоскутков 30.

И вообще, если общее число лоскутов кратно восьми, то получаем ответ. Однако оказывается, что такой мяч существует, только если общее число равно 32 (!), его часто можно видеть на футбольном поле и в магазинах, так что такой объект можно увидеть „очами во лбу“, а вот для доказательства того, что других нет, потребуются „очи умственные“, т.е. рассуждения. Известна формула Эйлера для выпуклых многогранников \(B-P+\Gamma=2\), где \(B\)– число вершин, \(P\)– число ребер, \(\Gamma\)– число граней выпуклого многогранника. Доказательство этой теоремы можно найти в книгах (Курант & Роббинс, 1967), (Лакатос, 1967) и (Пойа, 1975). В нашем случае \(\Gamma\)– число всех лоскутов, \(x\)– число черных (т.е. пятиугольных) лоскутов, (\(\Gamma-x\) ) – число белых (т.е. шестиугольных), \(B\)– число вершин (т.е. точек, где сходятся три лоскута), \(P\)– число ребер (т.е. швов). Между этими четырьмя числами возникают следующие связи:

\[ \left\{\begin{array}{l} 5 x=\cfrac{(\Gamma-x)}{2} \\ B-P+\Gamma=2 \\ 3 B=2 P \\ 5 x=B \end{array}\right. \]

Первое равенство системы – уже известное соотношение; второе – формула Эйлера; третье следует из того, что в каждой вершине сходятся три ребра и каждое ребро соединяет две вершины (т.е. \(3 B\)– число ребер, посчитанных дважды); четвертое следует из условия, что в каждой вершине нашего многогранника находится ровно одна вершина пятиугольной грани. В результате этих комбинаторных подсчетов возникает линейная система, решая которую получаем, что \(\Gamma=32\) (и ничего другого).

А вот алгебраическая задача, которая была на олимпиаде Института математики, информационных и космических технологий САФУ в 2013 году (заимствована из Санкт-Петербургских олимпиад). В ней тоже вопрос существования решения оказался более нетривиальным, чем свойство этого решения, которое и требовалось найти.

Задача 4. Чему может равняться сумма \(a+b+c\), ес сли \(a=a b+c, b=b c+a\), \(c=c a+b\) ?

Школьники, ловкие в алгебраических преобразованиях, быстро из данных соотношений могут получить различные следствия.

Складывая эти три равенства, получаем

\[ a+b+c=a b+b c+c a+a+b+c \Rightarrow a b+b c+c a=0 . \]

Если же исходные три равенства умножить соответственно на \(c, a\), а, и \(b\) и потом сложить, то получим \(a c+b a+c b=3 a b c+a^{2}+b^{2}+c^{2}= \gt a^{2}+b^{2}+c^{2}=-3 a b c\). Учитывая, что сумму квадратов можно представить в виде

\[ \begin{gathered} a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a), \text { приходим к равенству } \\ (a+b+c)^{2}=-3 a b c . \end{gathered} \]

И, наконец, еще одно полезное соотношение получается из исходных равенств следующим образом:

\(a(1-b)=c, b(1-c)=a, c(1-a)=b= \gt a b c(1-b)(1-c)(1-a)=a b c= \gt \) \((1-b)(1-c)(1-a)=1\) (если среди \(a, b\) и \(c\) ес сть нулевые, то вся тройка нулевая и последнее равенство все равно имеет место) \(= \gt \)

\[ 1-(a+b+c)+(a b+b c+c a)-a b c=1 \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=-a b c . \]

В результате таких алгебраических раскопок возникают важные равенства:

\[ \begin{gathered} a b+b c+c a=0 ; \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=-3 a b c ; \\ (1-b)(1-c)(1-a)=1 ; \\ (a+b+c)^{2}=-3 a b c ; \\ a+b+c=-a b c . \end{gathered} \]

Из последних двух следует, что \((a+b+c)^{2}=3(a+b+c)\). Отсюда, \(a+b+c\) \(=0\) или \(a+b+c=3\). Таким образом, если тройка чисел удовлетворяет исходной системе равенств, то их сумма может принимать только два значения 0 или 3. Остается выяснить реализуются ли эти две возможности. Очевидно, что нулевая тройка \(a=b=c=0\) удовлетворяет исходным равенствам и реализует нулевую сумму. Более того, если среди трех чисел, удовлетворяющих исходной системе, есть нулевые, то вся тройка нулевая. Или если два числа в тройке равны, то тройка нулевая, и, наконец, если сумма \(a+b+c=0\), то \(a=b=c=0\). Поэтому вопрос о сумме равной 3 эквивалентен вопросу о существовании ненулевого решения исходной системы. Если такое решение существует, то оно, как теперь знаем, удовлетворяет условиям: \(a+b+c=3, a b+b c+c a=0, a b c=-3\). По теореме Виета такая тройка чисел должна быть корнями кубического уравнения \(=t^{3}-3 t^{2}+3=0\). У этого уравнения, в самом деле, есть три различных действительных корня – это можно показать, вычислив значения \(f(t)=t^{3}-3 t^{2}+3\) в критических точках:

\(f^{\prime}(t)=3 t^{2}-6 t=0 \Rightarrow t_{1}=0\) и \(t_{2}=2, f(0)=3 \gt 0, f(2)=-1 \lt 0= \gt \) график этого кубического многочлена трижды пересекает ось абсцисс.

А можно получить такой же результат, заметив, что на отрезках \([-1 ; 0],[1 ; 2]\) и \([2 ; 3]\) многочлен \(f(t)\) меняет знак.

Осталось последнее – показать, что корни \(f(t)\) удовлетворяют исходным трем равенствам. Тут важно обратить внимание на то, что исходная система уравнений не инвариантна относительно перестановок переменных \(a, b, c\), точнее – при циклических перестановках \(a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a\) система переходит в себя, а при инверсиях, например, \(a \rightarrow b \rightarrow a, c \rightarrow c\) исходная система равенств \(\left\{\begin{array}{l}a=a b+c \\ b=b c+a \\ c=c a+b\end{array}\right.\) переходит в систему \(\left\{\begin{array}{l}a=a c+b \\ b=b a+c \\ c=c b+a\end{array}\right.\) (при других инверсиях то же самое). Поэтому, чтобы показать, что корни многочлена \(f(t)\) удовлетворяют исходной системе, достаточно показать, что они удовлетворяют одной из этих двух систем (если окажется, что второй, то просто поменяем ролями пару переменных).

Начнем с первого уравнения и покажем, что если \(a, b, c-\) корни уравнения \(f(t)=0\), то \((a b+c-a)(a c+b-a)=0\). Раскрывая левую часть, получаем \(a^{2} b c+\) \(a b^{2}-a^{2} b+a c^{2}+b c-a c-a^{2} c-a b++a^{2}=0\). Чтобы доказать это последнее равенство, воспользуемся соотношениями для корней уравнения \(f(t)=0\), полученными ранее: \(a+b+c=3, a b+b c+c a=0, a b c=-3\). Полезным еще может ока азаться соотношение \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=9\). Группируя разумно выражения в последнем выражении, получаем \(a(a b c)+a\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}(b+c)+(b c-a c-a b)+a^{2}=-3 a+\) \(a\left(9-a^{2}\right)-a^{2}(3-a)-2 a(b+c)+a^{2}=0\).

И так, корни уравнения \(f(t)=0\) удовлетворяют одному из уравнений \(a=a b+\) \(c\) или \(a=a c+b\). Аналогично получаем, что эти корни удовлетворяют одному из уравнений \(b=b c+a\) или \(b=b a+c\). При этом \(a=a b+c\) и \(b=b a+\mathrm{c}\) не могут выполняться одновременно, иначе \(a=b\), но числа в нашем случае различны. Аналогично картина получается для третьего уравнения \(c=c a+b\) или \(c=c b+\) \(a\), и годится только одно, правильно дополняющее первые два до одной из двух систем.

Доказательства существования часто оказываются нетривиальными, остроумными и поучительными, как, например, в этой задаче. Следующая классическая задача Дидоны про изопериметрическое свойство (Grozdev, 2007) круга часто используется в геометрических оценках и ее решение тоже имеет большое воспитательное значение.

Задача 5. Из всех фигур с данным периметром наибольшую площадь имеет круг.

Снова, как и в предыдущей задаче, мы будем искать свойства интересующего нас объекта, а потом, используя их, решать проблему его существования.

Пусть \(F\)– фигура, имеющая данный периметр и наибольшую площадь, тогда она должна быть выпуклой (иначе ее площадь можно было бы увеличить очевидным способом, сохранив периметр). Если теперь ввести понятие диаметра выпуклой фигуры, как хорды, делящей периметр пополам, то получаем еще одно свойство искомой фигуры \(F\) : всякий диаметр делит ее площадь пополам (опять потому, что иначе площадь можно увеличить, сохранив периметр прежним). И, наконец, последнее основное свойство искомой фигуры: из любой точки на периметре (т.е. на границе) фигуры \(F\) любой диаметр виден под прямым углом (снова потому, что иначе площадь можно увеличить, сохранив периметр). Последнее свойство характеризует границу искомой фигуры как окружность, т.е. как множество точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом. Таким образом, если искомая фигура \(F\) существует (т.е. фигура наибольшей площади при заданном периметре), то это круг.

Доказательство существования фигуры с наибольшей площадью среди всех фигур с тем же периметром требует более серьезных средств, и, по-видимому, без анализа тут не обойтись. Рассмотрим два сценария, приводящих к одной цели.

Первым получил это доказательство Якоб Штейнер. Заметим, во-первых, что многоугольник с данным набором сторон имеет наибольшую площадь, если вокруг него можно описать окружность. Во-вторых, искать фигуру наибольшей площади надо среди выпуклых. В-третьих, для любого \(n\)-угольника с данным набором сторон существует \(n\)-угольник с тем же набором сторон, вокруг которого можно описать окружность. Теперь, используя эти факты, можно любую выпуклую фигуру с помощью преобразований, увеличивающих площадь и сохраняющих периметр, перевести в круг с таким же периметром. Эти преобразования устроены так: берем выпуклую фигуру \(F_{0}\) с данным периметром, вписываем в нее некоторый \(n\)-угольник. Части фигуры между сторонами этого \(n\)-угольника и границей фигуры \(F_{0}\) назовем „шапочками“. От этого \(n\)-угольника переходим к \(n\)-угольнику с тем же набором сторон, вокруг которого можно описать окружность. Площадь \(n\)-угольника при этом увеличивается, а „шапочки“ над сторонами оставляем такими же. Получаем новую фигуру \(F_{1}\) с большей площадью и тем же периметром. В эту фигуру снова вписываем \(2 n\)-угольник и проделываем то же самое, переходим к фигуре \(F_{2}\) и т.д. Каждый раз, увеличивая число сторон вписанного в \(F_{n}\) многоугольника, устремляя их длины к нулю и деформируя возникающий на каждом шаге многоугольник во вписанный в окружность, приклеивая соответствующие „шапочки“, в пределе получим круг с тем же периметром и площадью большей, чем площадь исходной фигуры \(F_{0}\).

Помимо такого аналитического доказательства существования можно привести топологическое. Рассмотрим множество всех выпуклых фигур с данным периметром, содержащих некоторую фиксированную точку. На этом множестве фигур введем метрику Хаусдорфа, получим метрическое пространство (элементами которого являются наши фигуры). Это пространство ограничено и замкнуто, значит компактно. На нем рассмотрим функцию: каждому элементу сопоставим его площадь. Эта функция оказывается непрерывной. Непрерывная функция на компактном пространстве принимает наибольшее значение. Значит, найдется среди фигур, принадлежащих нашему множеству, та, площадь которой наибольшая.

Это не единственный шедевр древнегреческой математики, который до сих пор играет важную идейную и воспитательную роль в современной системе образования. „Начала“ Евклида, написанные в 3 веке до новой эры, являются образцом построения современного школьного курса геометрии. Трисекция угла, квадратура круга, построение правильных многоугольников, проблема пятого по-стулата – это лишь малая часть задач, на которых вырабатывалась техника доказательств теорем существования на протяжении последних двух тысяч лет.

ЛИТЕРАТУРА

Арнольд В. И. (2012). Задачи для детей от 5 до 15 лет. Москва: МЦНМО.

Курант Р., Г. Роббинс (1967). Что такое математика? Москва: Просвещение.

Лакатос И. (1967). Доказательства и опровержения. Москва: Наука.

Пойа Д. (1975). Математика и правдоподобные рассуждения. Москва: Наука.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia, ADE, (ISBN 978-954-92139-1-1), 295 pages.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.