Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2013/1, стр. 49 - 59

ПО ПЪТЯ КЪМ ПЪРВАТА КОМПЮТЪРНО-ГЕНЕРИРАНА ЕНЦИКЛОПЕДИЯ

Сава Гроздев
E-mail: sava.grozdev@gmail.com
Professor Doctor in Mathematics DSc in Pedagogy
Institute of Mathematics and Informatics – BAS
Acad. G. Bonchev Street bl. 8
1113 Sofia Bulgaria
Деко Деков
E-mail: ddekov1@gmail.com
Associated Professor PhD in Mathematics
81 Zahari Knjazhevski Str.
Stara Zagora

Резюме: Авторите представят създадената от тях компютърна програма „Откривател“, предназначена да открива нови теореми в областта на Евклидовата геометрия. Програмата може да се използва и за решаване на задачи за построение, задачи за доказателство, изчислителни задачи и екстремални задачи. Тя е подходяща за ученици с повишен интерес към математиката, за кръжочна работа, подготовка за олимпиади, подготовка на статии за участие в ученически състезания и други. В тази статия като възможно приложение се разглежда фрагмент от задачата за построяване на окръжностите на Малфати и се дава нов подход към тази задача. Отбелязва се, че въвеждането на „Откривател“ за първи път дава възможност за алгоритмичен подход към решаването на задачи за построение с линийка и пергел в Евклидовата геометрия.

Ключови думи: computer-generated mathematics, euclidean geometry, Malfatti construction problem, mathematical olympiad

„До десет години компютърът ще открие и докаже важна математическа теорема“. Такова е известното предсказание на Саймън и Нюъл (Simon & Newell, 1958), изказано през 1958 г. Сега е 2013 г., т. е. 55 години по-късно, но първата компютърна програма, която с лекота открива нови теореми в математиката, е разработена едва през 2012 г. от авторите на тази статия. Въпросната компютърна програма е наречена „Откривател“ (“Discoverer”) и е предназначена да открива нови теореми в областта на Евклидовата геометиря. Принципите, използвани при построяването на „Откривател“, са универсални и програмата може да служи като прототип на компютърни програми, които правят открития в различни области на науката и технологиите. „Отривател“ е в процес на разработка. Тази разработка започна в средата на 2012 г. и се планира да продължи поне до средата на 2014 г. В процеса на разработка ще бъдат създадени тестови версии. Първата тестова версия е завършена през декември 2012 г. и ще бъде използвана при тази и някои следващи статии. Компютърната програма „Откривател“ има и прототип, създаден в периода март-юни 2006 г. Прототипът откри поредица от нови теореми, които по това време са първите в света нови теореми, открити от компютър. Може да се каже, че със създаването на „Откривател“, а до голяма степен и на прототипа, предсказанието на Саймън и Нюъл е осъществено.

През последните години интересът към Евклидовата геометрия се възроди в целия свят. Това до голяма степен се дължи на масовото навлизане в училищата на програми за динамична геометрия. Тези програми позволяват да бъдат лесно визуализирани геометричните обекти, като ни освобождават от неудобното използване на традиционни пособия като хартия, линийка, пергел, траспортир. Особени адмирации заслужава компютърната програма за динамична геометрия „C.a.R“ („Compass and Ruler“), създадена от немския професор Rene Grothmann. Компютърната програма на Rene Grothmann е безплатна за ползване и може да бъде изтеглена от Интернет. Компютърната програма C.a.R е на английски език, но е преведена на редица други езици. Засега няма превод на български език, но такъв лесно може да бъде направен.

Компютърните програми за динамична геометрия позволяват с лекота да визуализирме геометрични обекти, които илюстрират геометрични теореми, а донякъде могат да служат и като инструмент за генериране на нови идеи (вж. например всъпителните бележки на статията (Гроздев&Ненков, 2010)). Тези компютърни програми обаче не са предназначени да откриват нови теореми. Същото може да се каже и за програмите за компютърна алгебра от типа на Maple и Mathematica. Програмите, които правят открития в науката, са необходими и полезни. Що се касае до „Откривател“, използването й съвместно с програма за динамична геометрия ще формира комплект, който ще позволява ефективни изследвания в Евклидовата геометрия. На този етап „Откривател“ може да бъде считана за полезна добавка към програмите за динамична геометрия. Тя обаче има по-широк обхват. „Откривател“ е базирана на принципите на изкуствения интелект (вж. например (Нильсон, 1985)) и произвежда класификационни теореми. Това означава, че компютърната програма „Откривател“ произвежда всички теореми по определена тема, като се отчита базата данни на програмата. Ако една теорема по темата не е произведена от „Откривател“, това означава, че такава теорема не съществува, т.е. съответното твърдение не е вярно. Поради тази причина тази компютърна програма е особено удобна за производство на резултати с енциклопедичен характер, а именно производство на енциклопедия по Евклидова геометрия. Това обяснява и заглавието на тази статия.

Компютърната програма „Откривател“ може да бъде използвана за откриване на нови теореми, но също така и за решаване на задачи за построение, задачи за доказателство, изчислителни задачи и екстремални задачи. Тя е предназначена както за специалисти, така и за ученици с повишен интерес към математиката, за кръжочна работа, подготовка за математически олимпиади и т.н. Особено активни ученици могат да използват компютърната програма за разработване на научни статии и статии за участие в конкурси. При работа с компютърната програма „Откривател“ ползвателите биха могли да разработят и предложат свои доказателства на част от откритите нови теореми. Особено полезен за тази цел е математическият апарат, изложен в монографията (Гроздев & Ненков, 2012).

Компютърната програма „Откривател“ е на английски език. Това е удобно за потребителя, тъй като съществуващата литература и терминологията са основно на английски език. Освен това, компютърната програма е предназначена не само за потребители от България, но трябва да бъде достъпна и за по-широк кръг лица. Потребителят с български език трябва сам да преведе съответните термини от английски на български език. Превод на компютърната програма на български език е възможен, но е оставен за бъдещето.

Задачата за построяване на окръжностите на Малфати

Ще илюстрираме използването на „Откривател“ при построителни задачи, като ще разгледаме фрагмент от задачата за построяване на окръжностите на Малфати. Тази задача е следната: За даден триъгълник, като се използват само линийка и пергел, да се построят три окръжности, разположени вътре в триъгълника, всяка от които се допира външно до останалите две и се допира до две от страните на триъгълника (вж. Фиг. 1). Задачата е формулирана през 1802–1803 г. от италианския математик Джан Франческо Малфати (1731–1807) и оттогава привлича вниманието на математиците. Подходът към решаване на задачата е алгебричен. През 1826 г. швейцарският математик Якоб Щайнер (1796–1863) предлага и синтетично решение. В книгата (Табов & Лазаров, 1990) са изложени решението на Щайнер и един от алгебричните подходи. В книгата (Dörrie, 1965), посветена на великите задачи на елементарната математика, задачата на Малфати е дадена под номер 30. Преглеждайки достъпната литература, констатираме, че в повечето случаи авторите се ограничават само с изложение на решението на Щайнер. Това решение остава най-краткото и най-сполучливото.

Фиг. 1. Окръжностите на Малфати. В случай, че използваме макрос, можем да построим тези окръжности за секунди, само като щракнем с мишката последователно върху върховете на DABC. След последното щракане окръжностите се появяват на екрана на C.a.R.

Методът на Щайнер е следният. Най-напред намираме центъра I на вписаната в DABC окръжност. За всеки от триъгълниците ВСI, САI и АВI построяваме съответната вписана окръжност. Да означим тези окръжности съответно с (A1), (B1) и (C1), където А1, В1 и С1 са центровете им. Точките А1, В1 и С1 са върхове на триъгълник, който ще наричаме триъгълник на de Villiers по името на южно-африканския професор по математика Майкъл де Вилиер (този триъгълник е известен и с името „триъгълник BCI“). Построяваме двете вътрешни допирателни към всяка двойка от построените окръжности. Една от допирателните за всяка двойка от построените допирателни минава през връх на триъгълника, а другата допирателна не минава през връх. Избираме допирателните, които не минават през връх на триъгълника. Трите избрани допирателни се пресичат в една точка, която ще наричаме „точка на Малфати-Щайнер“ и ще означаваме с S. Допирателните пресичат страните на DABC в точки, които на фиг.2 са означени с X, Y и Z. Тези точки са допирните точки на окръжностите (A1), (B1) и (C1) със страните на триъгълника. Във всеки от четириъгълниците SYAZ, SZBX и SXCY може да бъде вписана окръжност, като трите окръжности са точно окръжностите на Малфати.

Фиг. 2. Точката S на Малфати-Щайнер е пресечна точка на три вътрешни допирателни. Окръжностите на Малфати са окръжностите, вписани в четириъгълниците SYAZ, SZBX и SXCY. (Окръжностите на Малфати не са показани на тази фигура).

При метода на Щайнер трябва да се намери точката на Малфати-Щайнер като пресечна точка на допирателни. Да се опитаме да намерим тази точка по друг начин. Ще използваме компютърната програма „Откривател“, която след съответно запитване предлага списък от възможности. Една от тях е следната:

The Malfatti-Steiner Point is the Isogonal Conjugate of the Incenter with respect to the de Villiers Triangle.

Това означава, че можем да построим точката на Малфати-Щайнер, както следва:

Намираме центъра I на вписаната окръжност на ∆ABC , построяваме триъгълника на de Villiers и след това намираме точката, която е изогонално-спрегната на I относно триъгълника на de Villiers. Намерената точка е именно точката на Малфати-Щайнер (вж. Фиг.3).

Как може да се намери изогонално-спрегнатата на дадена точка е описано в литературата. При този подход ни трябват центровете на окръжностите (A1), (B1) и (C1), но не е необходимо да построяваме самите окръжности, както и вътрешните допирателни към тези окръжности.

Друга възможност за построяване на точката на Малфати-Щайнер е следната:

The Malfatti-Steiner Point is the Second Kenmotu Point of the de Villiers Triangle.

Фиг. 3. А1В1С1 е триъгълникът на de Villiers, I е центърът на вписаната окръжност в DABC, а S е точката на Малфати-Щайнер, която е изогонално-спрегнатата на I относно триъгълника на de Villiers.

Информация за т. нар. първа (вътрешна) и втора външна точка на Кенмоту (Kenmotu points) може да се намери в (Fukagawa & Rigby (2002)). Сега можем да намерим точката на Малфати-Щайнер по следния начин:

Построяваме триъгълника на de Villiers, като след това построяваме описаната му окръжност и втората му окръжност на Лемоан. Намираме външния център на хомотетия на тези две окръжности, която е търсената точка на Малфати-Щайнер.

Втората окръжност на Лемоан относно триъгълника на de Villiers може да се построи по няколко различни начина. Един от тях е следният:

Намираме точката K на Лемоан за триъгълника на de Villiers (за тази цел вж. например параграф 27 на книгата (Паскалев, 2000)). В англоезичната литература точката на Лемоан се нарича „symmedian point“ (вж. (Dekov, 2008)). Нека О е центърът на описаната окръжност около триъгълника на de Villiers. Построяваме права p1, минаваща през О и връх на триъгълника на de Villiers, след което построяваме права p2 през K, перпендикулярна на p1. Правата p2 пресича две от страните на триъгълника на de Villiers. Втората окръжност на Лемоан е окръжността с център К, която минава през двете пресечни точки (вж. Фиг.4).

Фиг. 4. А1В1С1 е триъгълникът на de Villiers за DABC, с1 е описаната около триъгълника на de Villiers окръжност, с2 е втората окръжност на Лемоан за триъгълника на de Villiers, а S е външният център на хомотетия на окръжностите с1 и с2, който съвпада с точката на Малфати-Щайнер.

Всъщност при горния намираме втората точка на Кенмоту за триъгълника на de Villiers. Има различни подходи за построяването й, като тук сме дали един от тях.

Както и по-горе, при този подход за намиране точката на Малфати-Щайнер трябва да използваме центровете на окръжностите (A1), (B1) и (C1), но не е необходимо да построяваме тези окръжности, както и вътрешните допирателни към тях.

При подхода на Щайнер, пресечните точки на допирателните със страните на DABC задават точките X, Y и Z. Изглежда, че след като сме намерили точката на Малфати-Щайнер чрез някой от изложените алтернативни подходи, за построяване на окръжностите на Малфати все пак е необходимо да построим четириъгълниците SYAZ, SZBX и SXCY, т. е. трябва да намерим точките X, Y и Z. Намирането на тези точки като допирни точки на окръжности с прави става чрез построяване на окръжностите (A1), (B1) и (C1). След като сме построили четириъгълниците, трябва да построим по две ъглополовящи на ъгли на тези четириъгълници, за да стане въможно пресечните точки на ъглополовящите да определят центровете на окръжностите на Малфати. Можем обаче да прескочим построяването на всички тези обекти, ако отчетем следния резултат на „Откривател”:

Фиг. 5. Точка I е центърът на вписаната окръжност в DABC, А1В1С1 е триъгълникът на de Villiers, S е точката на Малфати-Щайнер, а РаРbPc е централният триъгълник на Малфати, т. е. триъгълникът с върхове в центровете на окръжностите на Малфати.

The Malfatti-Steiner Point is the Prespector of the Malfatti Central Triangle and the de Villiers Triangle.

Това означава, че можем да намерим всеки от центровете на окръжностите на Малфати като пресечна точка на две прави. Едната е правата през I и през съответния връх на DABC, а втората е правата през точката на Малфати-Щайнер и през съответния връх на триъгълника на de Villiers (вж. Фиг.5).

На авторите не е известно дали подходите към построяване на окръжностите на Малфати, изложени в тази статия, са нови, т. е. непубликувани досега. Евклидовата геометрия има дълга история и много от написаното е изгубено или не е достъпно. Подходът на Щайнер е един от многото към решаване на задачата на Малфати. В друга статия ще разгледаме и други подходи с използване на „Откривател“.

Задачи за читателя

Една полезна задача, която предлагаме на читателя е следната: Да се оцени сложността на построенията при различните подходи за построяване на окръжностите на Малфати. За целта читателят може да използва метода за оценка на сложността на построителни задачи, предложен от Борислав Лазаров и Йордан Табов (Лазаров & Табов, 1988) (вж. и (Табов & Лазаров, 1990)).

Друга полезна задача за ученици и учители е следната: Да се докажат твърденията, изложени по-горе, като се използва методологията от книгата (Гроздев & Ненков, 2012).

Алгоритмичен подход към решаване на построителни задачи

При разглеждане подхода на Щайнер за решаване на задачата на Малфати процедирахме, както следва:

Определяме геометрични обекти, намирането или построяването на които е необходимо за решаване на задачата (в примера по-горе такива обекти са точката на Малфати-Щайнер и централният триъгълник на Малфати). Задаваме на „Откривател“ въпроса как можем да определим съответния геометричен обект. Ако определянето изисква и други геометрични обекти, отново задаваме въпроси на „Откривател“. Възможно е да се окаже необходимост от поредица въпроси (поради тази причина прототипът на „Откривател“ беше наречен „Машина за въпроси и отговори”). Компютърната програма „Откривател“ дава изчерпателни решения в рамките на предварително дефинирана база данни. Поради тази причина можем да говорим за алгоритъм за решаване на построителни задачи:

За съответния геометричен обект задаваме въпроси и ползваме отговорите, задаваме отново въпроси и ползваме отново отговорите, и т.н. Разбира се, става дума за за алгоритъм с уточнението, че този алгоритъм зависи от базата данни на „Откривател“.

Отново подчертаваме, че решението на задачата при представения подход съществено зависи от базата данни на „Откривател“, но тя може да бъде разширявана, като авторите се надяват това да става и с помощта на читателите.

Царският път в геометрията

Легендата разказва, че цар Птолемей попитал Евклид дали има по-кратък път в геометрията от този, който геометрите предлагат. Евклид отговорил: „В геометрията няма царски път.”

Днес ние разполагаме с царски път. Ако искаме да открием нови теореми в областта на геометрията, не е необходимо да бъдем изобретателни, дори не е необходимо да мислим. Достатъчно е да щракнем с мишката и компютърът ще ни даде търсеното откритие. В зората на изкуствения интелект дълги години се водеха спорове дали компютърна програма може да победи човек при игра на шах. Тези спорове приключиха, когато компютърна програма победи световния шампион по шах. Оттогава превъзходството на компютрите непрекъснато се увеличава. В областта на откриване от компютъра на ново научно знание прогресът не е толкова забележим, което следва от факта, че понастоящем „Откривател“ е единствената работеща компютърна програма в света, която е в състояние да прави открития в науката. Авторите се надяват, че използването на компютърни програми от типа на „Откривател“ в средното училище, не само в областта на математиката, но и в областите на физиката, химията, биологията, литературата и др. ще стимулира интереса на учениците и същевременно ще им позволи да разберат по-добре възможностите на компютрите като откриватели на нови научни знания.

Компютърната програма „Откривател“ е в начална фаза на създаване. Авторите се надяват, че с помощтта на специалисти, учители и ученици възможностите на „Откривател“ ще бъдат разширявани стъпка по стъпка и съответно използвани.

Благодарности

Авторите благодарят на хората, които подкрепиха работата по темата, на първо място Bernard Gibert, St Etiene, France, Darij Grinberg, Karlsruhe, Germany, Peter J. C. Moses, Redditch, Worcs, U.K. и Rene Grothmann, Eichstatt, Germany. За изясняване на състоянието на нещата (the state of the art) в областта на създаването на компютърни програми-откриватели, съдействие оказаха редица чуждестранни специалисти, в това число Prof. Tobias Nipkow, Technical University of Munich; Prof. Bruno Buchberger, Research Institute for Symbolic Computation, Austria; Prof. Xiao-Shan Gao, Institute of Systems Science, Beijing, Prof. Alan Bundy, University of Edinburgh, Prof. Geoff Sutcliffe, University of Miami; Prof. Dongming Wang, University of Paris VI and Beihan University, Beijing и Prof. Simon Colton, Imperial College, London. На тези хора авторите също изказват благодарност. Специална благодарност те изказват на Rene Grothmann, чиято великолепна програма за динамична геометрия C.a.R прави лесно и бързо изучаването на различни геометрични построения. С използване на C.a.R са изготвени и графиките на настоящата статия.

Вторият автор (доц. Деко Деков) изказва благодарност на хората, които са го подкрепяли по време на неговото научно развитие и на първо място, благодарност на проф. Димитър Скордев, проф. Иван Димовски, проф.Станчо Димиев, проф. Грозьо Станилов и доц. Борислав Лазаров.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гроздев, С. & Ненков, В. (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника. София: Архимед.

2. Гроздев, С. & Ненков, В. (2010). Върху един клас криви от втора степен. Математика и математическо образование, 2012, 306 – 312.

3. Лазаров, Б. & Табов, Й. (1988). Оценки на алгоритми за геометрични построения. Обучението по математика и информатика, № 6, 1–4.

4. Табов, Й. & Лазаров, Б. (1990). Геометрични построения. София: Народна просвета.

5. Паскалев, Г. (2000). С координатите в геометрията. София: Модул.

6. Нильсон, Н. (1985). Исскуственньй интелект. Москва: Радио и связь.

7. Dekov, D. (2008). Computer-Generated Mathematics: The Symmedian Point, Didactical Modeling, Bulgarian Academy of Sciences.

8. Dörrie, H. (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. New York: Dover Publications.

9. Simon, H. & Newell, A. (1958). Heuristic problem solving: The next advance in operations research. Operations Research, 6(1) 1–10.

10. Fukagawa, H. & Rigby, J. F. (2002). Traditional Japanese Mathematics Problems from the 18th an 19th Centuries. Singapore: Science Culture Technology Press.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Canatalay, Ashima, Kukkar, Sadiq Hussain, Arun Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa Mahareek, Abeer Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
EDITORIAL / КЪМ ЧИТАТЕЛЯ

Сава Гроздев

STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić, Шефкет Арсланагич

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.