Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2018/6, стр. 553 - 565

УПРАВЛЕНИЕ НА СОФТУЕРНО ДЕФИНИРАНИТЕ МРЕЖИ С FLOODLIGHT CONTROLLER

Румен Тодоров
E-mail: rumentodorov@programist.bg
University of Sofia
Sofia Bulgaria

Резюме: Основната идея при софтуерно дефинираните мрежи SDN (Software Defined Networking) е разделянето на системите, които управляват мрежата (control plane), от устройствата, които предават данните (data plane). По този начин се дефинира слой за програмно управление и контрол на цялата мрежа (control layer). SDN контролерът управлява цялата мрежа, получава указания и инструкции от приложния (application layer) слой и ги препредава към компонентите на мрежата. Контролерът извлича информация за мрежата от мрежови устройства – инфраструктурен слой (infrastructure layer) – и я връща обратно към приложния слой. В тази статия ще представим основната архитектура и характеристиките на Floodlight контролера. Тестваме различни топологии на мрежовия симулатор Mininet, взаимодействие между виртуални машини, добавяне и прихващане на OpenFlow потоци от мрежовия анализатор Wireshark.

Ключови думи: Software Defined Networking; Floodlight Controller; OpenFlow

1. Въведение

Floodlight е контролер с отворен код, който съдържа съвкупност от независими модули, написани на Java. Архитектурата му се основава на контролера Becon, създаден от David Erickson 1) от Станфордския университет през 2010 година. Чрез контролера Floodlight могат да се управляват физически и виртуални комутатори, маршрутизатори, различни точки на достъпи др. Floodlight взаимодейства с мрежовите устройства през Southbound API слоя, като използва OpenFlow протокол (протокол за предаване на потоци от данни в софтуерно дефинираните мрежи) 2) . Floodlight контролерът открива и поддържа топологията на мрежата, управлява движението на потоците, изчислява най-кратките пътища между възлите в мрежата, добавя нови правила за управлението в комутаторите, поддържа статистическата информация за състоянието на мрежата. Той взаимодейства с външни приложения, като използва Northbound API слой. Модулната му архитектура улеснява добавянето на нови модули и промени във вече съществуващите модули. Разпространява се под Apache лиценз3) .

2. Архитектура на Floodlight контролера

Архитектурата на Floodlight се състои от пет основни компонента4) :

– модули на контролера (controller modules);

– модулни приложения (module applications);

– приложения, написани на различни езици, които използат REST (Representational State Transfer) Applications за обмен на данни;

– приложения за дистанционно управление на мрежовите устройства, които използват REST API;

– приложения, написани на езика Java, които използват API (Application Programming Interface) – Java API.

Фигура 1. Обща архитектура на Floodlight контролера

2.1. Модулите на контролера (controller modules)

Контролерът съдържа основните модули. Тези модули трябва да приемат пристигащите пакети, да инсталират необходимите правила за разпределение и управление на потоците и след това да ги предават на комутаторите.

Кратко представяне на модулите.

– LinkDiscoveryManager – открива, управлява и поддържа връзките между комутаторите в OpenFlow мрежата, като използва LLDP (Link Layer Discovery Protocols) и BDDPs (Broadcast Domain Discovery Protocol) за откриване на връзките.

– TopologyService – поддържа информация за топологията на мрежата, за откриване на свързаните суичове и проследяване на връзките. OpenFlow островите могат да взаимодействат с участъци от мрежата, които не поддържат OpenFlow протокола, но връзката се осъществява по един канал, управлявана от един контролер.

Фигура 2. Топология, поддържана от Floodlight

– RestApiServer – сървър, който дава възможност на REST API (REpresentational State Transfer Application Programming Interface) приложенията да осъществяват заявки и обмен на данни, като използват HTTP (Hypertext Transfer Protocol) протокола и стандартни TCP портове.

– ThreadPool – Java модул, който дава възможност на някои нишки да се изпълняват по определен план със забавяне или да се изпълняват периодично.

– The MemoryStorageSource – дава възможност за съхранение на данните в табличен вид (NoSQL, Cassandra-based database).

– High Availability Support – осигурява надеждно споделяне и обмен на информация между няколко контролера.

– Packetstreamer – услуга, която може да формира потоци от OpenFlow пакети по определени критерии, които да бъдат обменяни между комутаторите и контролера.

2.2. Модулни приложения (module applications)

Module applications (модулни приложения) съдържат модули, създадени на Java, компилирани и след това включени в контролера Floodlight5) .

Представям основните модули:

– Virtual Network Filter (VNF) – изолиране на мрежата на базата на МАС адресите (layer 2);

– Static Flow Entry Pusher – модул, който дава възможност на потребителя самостоятелно да добавя потоци;

– Firewall – защитната стена също е създадена като модул; проверява реактивно входящите потоци;

– Port Down Reconciliation – модул, който се използва за съгласуване на потоците;

– Forwarding – осъществява препращането (пренасочването) на пакети от едно устройство към друго;

– Learning Switch – модул, който изпълнява функциите на суич (комутатор). Обикновен L2 суич. Препраща пакетите на съответните портове въз основа на MAC адресите, включени в пристигащите пакети;

– Access Control List (ACL) – прилага правилата за контрол на достъпа върху входящите потоци по проактивен начин.

2.3. REST Applications

Приложения, които могат да бъдат написани на различни езици за програмиране. Използват REST API за разработка на приложения. Могат да се създават приложения за управление, за следене състоянието на мрежата и др. Приложенията дават възможност на администраторите да контролират цялата мрежа от едно-единствено устройство. В настоящия момент RESTApplications съдържа две приложения.

– Circuit Pusher – приложение, което създава двупосочна връзка между две IP устройства с определен приоритет чрез добавяне на записи във всички комутатори, които съдържат тази връзка.

– Open Stack – Floodlight може да бъде използван от OpenStack, като се използва плъгингът Neutron6) . Neutron е част от проект на OpenStack, който предоставя NaaS (“networking as a service”) – предоставя мрежови ресурси, услуги и приложения като продукт между различни интерфейсни устройства7) . Neutron използва създадения от Floodlight REST API за предоставяне на тази услуга (NaaS) 8) .

2.4. REST API

Приложения за дистанционно управление на мрежовите устройства, които използат REST API. Последните години за дистанционно управление и конфигуриране на мрежовите устройства на разработчиците се препоръчва използването на REST API (REpresentational State Transfer Application Programming Interface) 9) . REST дава възможност на API приложения да осъществяват връзка и обмен на данни с външни потребители в мрежата. Използват стандартни TCP сокети и HTTP протоколи за изпращане и получаване на съобщения в реално време, без да са необходими специални конфигурационни настройки. REST е разработен така, че да позволява на външни приложения да извличат статистическа информация от мрежата, да изчисляват маршрут на едно устройство от друго, да инсталират правила в защитната стена, да откриват свързаните комутатори, устройства/хостове в определена топология от мрежата. По подразбиране API е достъпен на порт 8080 10) . По желание номерът на порта може да се промени или да използва HTTPS за сигурна (криптирана) връзка. Floodlight предоставя възможността за създаване на собствено REST API в зависимост от конкретните нужди на потребителя 11) .

2.5. Java API

Класовете, включени в Java API, улесняват създаването на нови модули, написани на Java, които да бъдат включени като част от Floodlight контролера12) . Като за развойна среда може да се използва Eclipse.

3. Експериментална част

3.1. Инсталиране на Floodlight контролер

Floodlight може да се изтегли от Github и да се създаде чрез Ant13) java базиран инструмент за изграждане на Java проекти.

Отваряме терминален прозорец и пишем14) :

git clone git://github.com/oodlight/oodlight.gitcd oodlightgit submodule initgit submodule updateantsudo mkdir /var/lib/oodlightsudo chmod 777 /var/lib/oodlight./oodlight.shБи трябвало при успешно инсталиране да ни изпише:BUILD SUCCESSFULTotal time: 37 seconds

3.2. Тестване на мрежовия симулатор Mininet

Mininet е софтуерен емулатор за създаване на виртуални мрежи 15) . Могат да бъдат симулирани мрежови топологии с големи размери, след това да бъдат прехвърляни на реални хардуерни устройства с минимални изменения. Mininet поддържа протокола OpenFlow и софтуерния комутатор OpenvSwitch.

sudo mn -c – команда за инициализиране (изчистване) на първоначалните настройки.

– Тестваме с минимална топология на две виртуални машини (VM1, VM2) на Oracle VM VirtualBox операционна система Ubuntu 14 на виртуалните машини. На първата VM1 с мрежови настройки IP adress: 10.0.2.15 Primary DNS: 10.0.2.3 стартираме Mininet:

sudomn--controller=remote,ip=192.168.56.101,port=6653--switchovsk,protocols=OpenFlow13

Стартираме топология от два хоста (h1, h2) и един суич (s1), управлявани от отдалечен контролер (c0) с IP адрес: 192.168.56.101. Поддържа OpenFlow 1.3 и комутатор Open vSwitch (ovsk).

Втората VM2 е с мрежови насройки: Network Host-only Adapter vboxnet0 с установен IP адрес: 192.168.56.101. На тази виртуална машина стартираме контролера Floodlight.

Влизаме в директорията, в която е инсталиран:

cd floodlight

Стартираме контролера:

java -jar ./target/floodlight.jar

Тестване на връзката

mininet>h1 ping h2– проверява за връзка с командата pingmininet>nodes– показва възловите точкиmininet>net– показва съществуващите връзкиmininet>dump– дава подробна информация за съществуващите връзкиmininet>exit– изход

– Ако извършваме теста на локален хост (localhost), преди да стартираме, на Floodlight контролер трябва да стартираме Open vSwitch (OVS) комутатора. Open vSwitch съдържа малък сървър за база данни, който трябва да се конфигурирал.

Стартираме първи терминален прозорец и пишем:

sudo ovsdb-server -v --remote=punix:/usr/local/var/run/openvswitch/db.sock --remote=db:Open_vSwitch,Open_vSwitch,manager_options--pidle --detach --log-le

Инициализиране на OVS:

ovs-vsctl --no-wait initovs-vswitchd --pidle --detach

Стартиране на OpenvSwitch:

/etc/init.d/openvswitch-switch start

Би трябвало да ни изпише:

[ ok ] Starting openvswitch-switch (via systemctl): openvswitch-switch.service.

След това стартираме Mininet със следната топология:

sudomn--arp--toposingle,3--mac--switchovsk--controller=remote,ip=127.0.0.1,port=6653

Топология съдържа три хоста (h1,h2,h3) и един суич (s1), управлявани от отдалечен контролер (c0) с IP адрес:127.0.0.1. Портът по подразбиране на Floodlight контролера е 6653. Опцията --mac показва, че спрямо по-редния номер на хоста се присвоява мас адресът. Опцията --arp означава, че Mininet може да попълва статични ARP записи в таблици с Erthernet адресите, отговарящи на заявките 16) , които могат да бъдат използвани за бъдеща употреба.

Ако в този момент проверим връзката с командата ping:

mininet>h1 ping h2 – проверява за връзка с командата ping, ще ни изведе съобщението: Destination Host Unreachable.

Трябва да стартираме контролера, който да създаде и след това да управлява топологията на мрежата.

Отваряме втори терминален прозорец и стартиране на Floodlight. Ако сте root потребител, влизате в терминалния прозорец:

cd..

След това в директорията, в която е инсталиран: cd floodlight

Стартираме контролера по следния начин: java -jar ./target/floodlight.jar

При проверка с командата ping би трябвало да има достижимост до хост: mininet> h1 ping h2 Добавяме потоци в mininet:

sh ovs-ofctl add-ow s1 in_port=2,actions=output:1sh ovs-ofctl add-ow s1 in_port=1,actions=output:2sh ovs-ofctl add-ow s1priority=1111,in_port=1,actions=output:3sh ovs-ofctl dump-ows s1 – показва таблицата на потоците на суич s1;ovs-ofctl show s1 – разширено представяне на таблицата;sh ovs-ofctl del-ows s1 – изтрива потоци;

3.3 Предоставя web базиран интерфейс

Floodlight контролерът предоставя удобен графичен интерфейс (GUI), който ни дава информация за състоянието на контролера, топологията на мрежата, съдържанието на таблиците с потоците и др. Графичният интерфейс е достъпен, след като напишем в браузър следния URL адрес:

http://:8080/ui/index.html където е IP адресът или името на хоста на Floodlight контролера, ако контролерът е стартиран на същия компютър, на който работим. За достъп до web GUI трябва да изпишем:

http://localhost:8080/ui/index.html

или

http://127.0.0.1:8080/ui/index.html

Фигура 3. Представяне на топология от web интерфейса

Можем да получим информация на въведени потоци във flow таблицата на комутатор s1 от предишната глава и в графичен интерфейс на адрес:

h t t p : / / 1 2 7 . 0 . 0 . 1 : 8 0 8 0 / u i / p a g e s / s w i t c h D e t a i l . h t m l ? m a c A d d r e ss=00:00:00:00:00:00:00:01

Фигура 4. Таблицата с потоците от web интерфейс

4. Моиторинг на мрежата с Wireshark

Използваме програмата Wireshark за прихващане на OpenFlow пакети в създадената топология. Стартираме Wireshark в нов терминален прозорец: sudo wireshark &

От програмата избираме да осъществява моиторинг на локалния хост: loopback:lo

В полето “Filter“: можем да осъществим филтриране по различни критерии. Изписваме:

openflow_v4 – по този начин задаваме критерии за прихващане OpenFlow v1.3 пакети.

Фигура 5. Изображение преди стартиране на контролера Floodlight

Стартираме Mininet със следната топология:

sudomn--arp--toposingle,3--mac--switchovsk--controller=remote,ip=127.0.0.1,port=6653

Използваме многофункционалния инструмент Netcat (Shema&Johnson, 2004) за предаване на съобщението “Hello my friends” от хост h317) : 10.0.0.3 към хост h2: 10.0.0.2.

В mininet отваряме терминален прозорец на h3:

xterm h3

Задаваме статичен arp адрес 10.0.0.11:

h3 > arp -s 10.0.0.11 00:00:00:00:00:11

Осъществяваме проверка с командата:

h3 arp

Отваряме терминален прозорец на h2:

xterm h2

Стартираме netcat на h2 в режим слушане на порт 5555:

mininet h2> nc -l -p 5555

От терминален прозорец h3 изпращаме съобщението:

mininet h3> echo “Hello my friends” | nc 10.0.0.2 5555

Фигура 6. Изображение след стартиране на контролера Floodlight

Фигура 7. Изображение след прихващане на низа “Hello my friends” от Wireshark

Заключение

Floodlight контролерът е удобен за изследователски цели, лесен за инсталиране и употреба. Поддържа се от опен сорс разработчиците, както и от Big Switch Networks. Модулната архитектура му дава възможност за лесно добавяне и редактиране на модули. Предоставя web базиран интерфейс, който дава информация за топологията на мрежата, състоянието на контролера, свързаните хостове, суичове, таблиците на потоците и т.н. Тестването от много разработчици дава възможност за добавяне на нови модули (услуги), повишаване на надеждността. Автоматизирано добавяне на нови потребители. Достъп за управление на SDN от различни устройства и различни точки в мрежата.

NOTES/БЕЛЕЖКИ

1. David Erickson, “The Beacon OpenFlow Controller”, Hong Kong, China – August, 2013.

http://yuba.stanford.edu/~derickso/docs/hotsdn15-erickson.pdf (last visit

19.09.2018).

2. Софтуерно дефинирани мрежи: SDN [Software-Defined Networking: SDN].

http://www.programist.bg/virtual/v2.html (last visit 19.09.2018).

3. SDN Series Part Five: Floodlight, an OpenFlow Controller, 6 Jan 2015. https://

thenewstack.io/sdn-series-part-v-loodlight/ (last visit 19.09.2018).

4. Eduardo Berrueta, “Testing tool of SDN controllers’ performance”, June 2016.

http://academica-.unavarra.es/bitstream/handle/2454/22442/TFE_BerruetaIrigoyen. pdf?sequence=1 (last visit 19.09.2018).

5. Module Applications, https://floodlight.atlassian.net/wiki/spaces/

floodlightcontroller/pages/1343509/Module+Applications (last visit 19.09.2018).

6. OpenStack, https://floodlight.atlassian.net/wiki/spaces/floodlightcontroller/

pages/1343489/OpenStack (last visit 19.09.2018).

7. Neutron-OpenStack Networking, https://wiki.openstack.org/wiki/Neutron (last visit 19.09.2018).

8. Antti Tolonen, Miika Komu, Software-defined Networking, 30.10.2013, http://

www.cse.tkk.fi/fi/opinnot/T-110.5121/2013/luennot-files/SDN_lecture.pdf (last

visit 19.09.2018).

9. Hakan Akcay, Derya Yiltas-Kaplan, “Web-Based User Interface for the Floodlight SDN Controller”, March 2017, http://www.ijana.in/papers/V8I5-2.pdf (last visit 19.09.2018)

10. Floodlight REST API, https://floodlight.atlassian.net/wiki/spaces/

floodlightcontroller/pages/1343539/Floodlight+REST+API (last visit 19.09.2018).

11. How to add a REST API to a Module, https://floodlight.atlassian.net/wiki/spaces/ floodlightcontroller/pages/15040589/How+to+add+a+REST+API+to+a+Module (last visit 19.09.2018).

12. Just what is the Java API anyway? https://www.javaworld.com/article/2077392/ java-se/just-what-is-the-java-api-anyway.html (last visit 19.09.2018).

13. Diarmuid O’Briain, “Building a Network Training Emulator (NTE) Software

Defined Networking (SDN) Virtual Machine (VM)”, Feb 2017, http://www.

obriain.com/training/TEL3214/odt/TEL3214-Appendix_02-Build_SDN_VM_odt. pdf (last visit 19.09.2018).

14. Installation Guide, https://floodlight.atlassian.net/wiki/spaces/floodlightcontroller/ pages/1343544/Installation+Guide (last visit 19.09.2018).

15. Mininet: Rapid Prototyping for Software Defined Networks, https://github.com/ mininet/mininet (last visit 19.09.2018).

16. Brendan Tschaen, “Floodlight Tutorial”, September 2015, https://www2.cs.duke. edu/courses/fall15/cps214/FloodlightTutorial.pdf (last visit 19.09.2018).

17. Kallianiotis Nikolaos, “Software Defined Networks Reactive Flow Programming and Load Balance switching”, 2017, http://dione.lib.unipi.gr/xmlui/bitstream/

handle/unipi/10680/Kallianiotis_Nikolaos.pdf?sequence=1 (last visit 19.09.2018).

18. LIU WEI, “Constructing SDN with FloodLight Controller in Mininet and

Further Thinking”, 2013, http://www.cs.sjtu.edu.cn/~wang-b/wireless_new/

material/projects/Junior_normal_2013/%E5%88%98%E4%BC%9F.pdf (last visit 19.09.2018).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Shema, M. & B. Johnson (2004). Anti-Hacker Tool Kit (pp. 30 – 52). Sofia: SoftPress Ltd.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Canatalay, Ashima, Kukkar, Sadiq Hussain, Arun Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa Mahareek, Abeer Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
EDITORIAL / КЪМ ЧИТАТЕЛЯ

Сава Гроздев

STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić, Шефкет Арсланагич

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.