Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2020/3, стр. 271 - 285

СЪВРЕМЕННИ СРЕДСТВА И МЕТОДИ ЗА ОБУЧЕНИЕ, ИЗПОЛЗВАЩИ ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ

Резюме:

Ключови думи:

I. Въведение

Бързото развитие и масовото прилагане в практиката на информационните и комуникационните технологии налага усвояването на нови знания, умения и компетентности за работа в информационна среда. В дигиталния свят информацията е по-достъпна, а комуникациите са по-удобни. В днешно време образователният процес се насочва към онлайн приложенията и онлайн пространството, където има огромно изобилие от информация и интерактивни средства за придобиване на нови знания и умения. Това налага създаване на нови методи за преподаване, използващи съвременни информационни технологии. Налагат се нови модели на обучение, което води до изменение на съвременното образование. „Известно е, че методиката на преподаване на дадена учебна дисциплина трябва да отговори на три въпроса: „Защо трябва да се изучава даден учебен предмет?“, „Какво да се изучава?“ и „Как да се извършва обучението?“.1) Отговорът на първия въпрос е лесен – информационните технологии са повсеместно разпространени и новото поколение трябва да ги усвои, за да може да участва пълноценно в съвременния информационен свят. Министерството на образованието и науката дава отговор на втория въпрос чрез разработените държавни образователни стандарти и съответните учебни програми. Отговорът на третия въпрос е най-труден и се развива с появата на всяка следваща нова или подобрена технология. Модернизацията на училищната среда ясно откроява необходимостта от въвеждане на нови технологии в обучението. Класическите методи на обучение стават неприложими спрямо новото дигитално поколение, затова те се адаптират и налагат един нов модел на преподаване и учене. Мобилността на облачните технологии формира нов, по-гъвкав подход на обучение. Прилагането на облачни технологии позволява увеличаването на интерактивността в образователния процес. Ефективността на обучението зависи от много фактори, но един от най-важните е ангажираността на ученика в самия процес на обучение. Традиционната образователна практика е пасивна, ориентирана към четенето и писането като методи за усвояването на нови знания. Тя вече не отговаря на нуждите на съвременните ученици и не ги ангажира активно в образователния процес. Нужната промяна се осъществява чрез прилагането на методи на обучение, базирани на използването на облачни технологии. Чрез тях ученикът придобива нови знания чрез активно изследване и взаимодействие с околната среда – избира и преобразува информация, изгражда хипотези, взима решения. Знанието се получава чрез индивидуална работа и контакт със съответната информация, а не чрез повторения на чужди заключения, както е в традиционните дидактически памет-ориентирани модели. Ролята на учителя се променя и от център на образователния процес той става ръководител на процеса, фокусиран върху ученика. Учителят е източник на нови знания, но също така той ръководи и стимулира образователния процес, изследва нови възможности заедно с учениците, помага за формулирането на техни собствени идеи, мнения и изводи. Учебният процес се характеризира с активно ангажиране на ученика, изследователска активност, работа в екип за решаването на различни проблеми. Интерактивността на обучението позволява ученикът да отразява учебната действителност, да прави заключения, да прилага знанията си в практиката. Различни изследвания показват, че „човек усвоява различно количество информация за едно и също време: при слушане – 10%, при гледане – 20%, при слушане и гледане – 40 – 50%, при активно участие – 80 – 90%. При изложение на учителя степента на активност на ученика е 5%; при четене на текст – 10%, при аудио-визуални методи – 20%, при демонстрация – 30%, при дискусионни методи – 50%, при практически работи – 75%, при обучение на другите – 90%. Кредо на интерактивността в обучението:

– Това, което слушам, го забравям напълно.

– Това, което слушам и наблюдавам, го помня донякъде.

– Това, което слушам, наблюдавам и относно което задавам въпроси или го обсъждам с някого другиго, аз започвам да го разбирам.

– Това, което слушам, наблюдавам, дискутирам и правя, ми позволява да придобивам знания и умения.

– Това, на което уча другите, ме прави майстор.“2)

В първата секция на статията – „Облачни технологии“, се разглежда възникването и същността на облачните технологии. Във втората секция – „Инструментите на Google for Education – средства за приложение на нови и адаптирани методи на обучение“, се посочват дигитални инструменти, често използвани в новите методи на обучение. В следващата – „Съвременни методи за обучение, използващи облачни технологии“ – се описват нови и адаптирани методи на обучение и се споделят примери от използването им в конкретно българско училище.

II. Облачни технологии

Облачните технологии са сравнително нова информационна услуга. Счита се, че терминът cloud computing е въведен от Ерик Шмидт от Google на 9 август 2006 г. на конференция, посветена на машините за търсене, на която той обяснява един възможен подход към софтуера като услуга (SaaS). Облачните технологии позволяват използването на споделени ресурси, софтуер и информация. Понятието се отнася както до софтуерни приложения, предоставяни под формата на интернет услуги, така и до достъпа до хардуерните и системните ресурси на център за данни, който предлага тези услуги. „Развитието на технологиите дава възможност да се прилагат модели на иновативно преподаване, обучение и оценяване, чрез създаване на обучителни среди, които могат да интегрират в обучението използването на различни ресурси, дейности и подходи. Облачно базираните технологии, социалните мрежи и мобилните устройства все повече стават част от нашето ежедневие. От една страна… това довежда до тенденцията за насочване на обучението към обучение, базирано на сътрудничество. А от друга страна, все по-често се използват електронни форми за подпомагане на обучението, като тенденцията е налагане по-силно на мобилното обучение“3). Използването на облачни технологии има следните предимства: гъвкавост и конкурентоспособност, съхраняване и възстановяване на данни, липса на капиталови разходи, повишаване на ефикасността от работата в екип и контрол на документацията, работа през произволни устройства от произволно местоположение и във всеки желан момент, повишена сигурност, екологичност. Облачните технологии позволяват на хората да имат достъп до всякаква информация от всяка точка на света, като единствено е нужно каквото и да е устройство с интернет достъп. Според много изследвания използването на облачните технологии нараства постоянно. Усвояването на облачните технологии е един от признаците за интегриране на дигиталните технологии в икономиката – показател, по който според Индекса за навлизането на цифровите технологии в икономиката и обществото (DESI) за 2019 г. България (заедно с Румъния, Гърция, Полша) изостава след другите европейски страни. Водещи в дигиталната интеграция сред европейските страни са Финландия, Швеция, Холандия и Дания.4) Тези страни са и в групата на държавите, които най-активно въвеждат облачни технологии в образователните си системи.

III. Инструментите на Google for Education – средства за приложение на нови и адаптирани методи на обучение

Облачните технологии навлизат стремително във всички сфери на съвременния живот, включително в образованието. Google for Education предоставя набор от инструменти (приложения), позволяващи осъвременяване на методите за обучение и ангажиращи учениците с активно прилагане на новите технологии. Някои от най-използваните инструменти са следните.

1. Електронна поща – осигурява леснодостъпна комуникация между всички участници в образователния процес.

2. Гугъл диск – неограничено хранилище на информация във всеки акаунт, която може да бъде лесно споделена от всеки с всеки – учител или ученик.

3. Споделен диск – хранилище на информация за съхранение, търсене и достъп до файлове с екип. Файловете за споделено устройство принадлежат на екипа вместо на отделен човек. Дори ако членовете напуснат, файловете остават на място, така че екипът може да споделя информация и да работи навсякъде, от всяко устройство.

4. Документи – текстов онлайн редактор за създаване и оформяне на текстови документи.

5. Таблици – електронни онлайн таблици, позволяващи извършването на изчисления, използването на вградени функции, създаването на диаграми и създаването на обобщени таблици.

6. Презентации – създаване на презентации изцяло онлайн, в облачна среда. 7. Формуляри – предоставят възможност за събиране на информация под формата на анкети, както и създаване на тестове за оценяване знанията на учениците. Настройките позволяват да се видят/скрият: резултатите от теста веднага след изпращането му, грешките, верните отговори.

8. Сайтове – онлайн приложение за създаване на интернет сайтове. Позволява сайтът да бъде публикуван незабавно и да бъде споделен по желание на създателя му.

9. Календар – позволява достъпно и лесно планиране на дейностите и дава възможност да се следят общи планове с опциите си за задаване на конкретни дати и часове за събития и напомняния, известия, изпратени по електронната поща, срещи в реално време, които могат да се проведат под формата на онлайн писмен, обикновен или видео разговор.

10. Карти – позволява създаването на виртуални маршрути с учебни цели. 11. „Гугъл експедиции“ – това е образователен инструмент с виртуална реалност, който позволява да се осъществят всеобхватни виртуални

360-градусови експедиции. Виртуалната реалност е предназначена специално за образователни цели. „Гугъл експедиции“ позволява и да се използва добавена реалност в класните стаи. Добавената реалност се фокусира върху разглеждането на 3D модели, подходящи за учебните часове по наука.

12. „Гугъл Земя“ – това е софтуер, с помощта на който се вижда повърхността на нашата планета чрез 3D технологията. Може да се видят ландшафт и сгради, да се планира маршрут по улиците на града, да се намери информация за задръстванията по пътищата и др. „Гугъл Земя“ показва интересни статии и снимки от цялата планета, позволява да се разгледат мегаполиси, техните квартали и улици, съдържа маршрути за обществения транспорт и карти за пешеходци. Учителят може да планира образователен маршрут или да постави задача учениците да съставят такъв. След това всички ученици могат да участват в разходката по този маршрут.

13. YouTube – образователните видеозаписи позволяват на учители и ученици да спестят време и да създадат или изпълнят дадено задание по-качествено.

14. Виртуална класна стая (Classroom) – обединява посочените до този момент приложения в един поток за клас, паралелка или група от ученици, които имат достъп до предоставените от учителя ресурси за изпълнение на поставена задача. Виртуалната класна стая се базира на принципа, че образователните средства трябва да са лесни за употреба и достъпни за всички. Системата показва броя на предадените, върнатите и непредадените задания, както и на кои ученици са те. Системата дава възможност за включването на настойник/родител на всеки ученик от класната стая.

15. Групи – създаването на групи с групов електронен адрес дава възможност за по-лесна комуникация на учителя с учениците. Изпращането на електронна поща до груповия електронен адрес води до препращането є автоматично до всички членове на групата.

16. Hangouts – позволява връзка в реално време между всички участници в образователния процес. Учениците могат да задават уточняващи въпроси във връзка със заданието си. Учителят може да коментира изпълнението и да задава насочващи въпроси при необходимост. В момента, по време на извънредното положение във връзка с коронавирусната инфекция, този инструмент е най-масово използваната технология за дистанционно обучение в българските училища.

IV. Съвременни методи за обучение, използващи облачни технологии (Примерите са от реализирани задания по информационни технологии в осми и десети клас в Професионалната гимназия по хранителни технологии и техника – Пловдив)

1. Обърната класна стая

При метода на обърнатата класна стая елементите на типичния урок и домашната работа са разменени. Учениците четат предварително споделени от учителя материали, правят проучвания по дадена тема, гледат кратки видеозаписи, а по време на самия час представят и дискутират наученото, упражняват видяното или създават проекти. Учениците вече не са пасивни слушатели, не повтарят написаното в учебника, а са творци на собственото знание. Чрез този метод успешно се интегрират различните възможности за активизиране на мисленето и въображението на учениците.

Методът е лесно приложим чрез различни средства, предоставяни от облачните технологии. Задачата може да бъде поднесена като споделен текстов документ, интерактивна презентация, специално конструиран сайт или да бъде зададена чрез виртуална класна стая, в която са публикувани всички нужни ресурси за изпълнението є, включително и хипервръзки към подходящи материали.

Пример: „Създайте презентация на тема „Развитие на съвременните компютърни системи“. Спазвайте изискванията за създаване на презентация. Използвайте ресурсите към заданието“.

Задачата се поставя като задание във виртуалната класна стая към екип от двама ученици. Като ресурси се подават исторически сведения за развитието на компютърните системи, няколко графични изображения, хиперлинкове към определени статии за компютърни системи, както и текстов файл с изисквания за създаване на презентация.

Учениците създават презентация, съобразена с изискванията, като включват в нея това, което са определили като най-важно от прочетените ресурси, както и избраните графични изображения. Екипът работи върху споделена презентация, но учениците сами определят как да изпълнят поставената задача – дали да работят съвместно върху всеки слайд, или да определят брой слайдове и всеки един от тях да създаде половината, като след това уеднаквят форматирането на слайдовете. След изработването на презентацията я изпращат като отговор на заданието във виртуалната класна стая. Учителят проверява тяхната работа и ако има нужда, коментира и изисква корекции. През следващия учебен час учениците представят презентацията пред съучениците си. Учителят и останалите ученици задават допълнителни въпроси и ако е необходимо, се коментира по представения материал.

2. Multi-Media Text Sets (MMTS) – хипердокумент

MMTS е метод, който организира учебните ресурси за даден урок на едно място, независимо дали тези ресурси включват текст, таблици, презентации, графични обекти, аудио- или видеозаписи. Със създаването на обикновена таблица в текстов документ учебните ресурси стават леснодостъпни и използваеми от учениците. В таблицата се задават въпроси, на които учениците могат да отговорят, ако са използвали хипервръзките към ресурсите, дадени в предходните клетки на таблицата. Няма нужда от план на урока, достатъчно е да се премине последователно от клетка в клетка. Учениците сами трябва да намерят посочения ресурс, да определят най-важното в него и да изпълнят поставените в съответните клетки на таблицата задачи.

Пример: MMTS документ за провеждане на урок на тема „Архивиране на данни“

Фигура 1. MMTS документ „Архивиране на данни“

Учителят споделя приготвения предварително MMTS документ (фиг. 1). Обяснява целта на заданието и дава определено време за изчитане на всеки един от ресурсите. Прочетеното се коментира и се попълват отговорите на определеното място. Преминава се към следващия ресурс. В последните 5 минути от часа се обобщава на ученото до момента.

3. Виртуална класна стая (Classroom)

Използването на инструмента виртуална класна стая е един мощен нов интерактивен метод на обучение. С помощта на виртуалната класна стая учителите могат да организират в удобна електронна форма учебния процес, да създават курс, да се включат в съществуващ курс като учители, да създават теми и да качват материали в тях, да създават и проверяват заданията и тестовете на учениците, да задават въпроси, да оставят съобщения на учениците. Учителят може да използва публикувани вече материали и в друга класна стая, без да се налага да ги публикува наново. Виртуалната класна стая позволява задаването както на групови, така и на индивидуални задания на учениците. При предварително зададени критерии оценяването също може да се осъществи чрез класната стая. Учителите имат възможност да получат веднага обратна връзка от своите ученици, да видят кой, кога и как е написал домашната си работа, да се свързват в реално време с тях за коментари и напътствия. По този начин виртуалната класна стая значително подобрява комуникацията между участниците в образователния процес. Ако ученикът отсъства, виртуалната класна стая е един от начините той да не пропуска учебен материал. Учениците могат да използват ресурсите в класната стая, както и да обменят материали помежду си. Те могат да отговарят публично на зададените им въпроси, да публикуват частни коментари или да участват в дискусии. Данните за изпълнението на задачите се обновяват незабавно и учителят може да започне проверка на работите, поставяне на оценки и добавяне на коментари. Родителят/настойникът има възможност да се включи към класната стая и да наблюдава обучението на ученика. Ще отбележим, че по време на извънредното положение във връзка с коронавирусната инфекция до момента са създадени и се използват над 30 000 виртуални стаи.

Пример: Виртуална класна стая за ученици от десети клас

Учителят използва потока на класната стая за комуникация с учениците в нея. В раздела „Работа в клас“ се задават задачите за работа през учебния час, домашните работи и тестовете за оценяване на напредъка на учениците. Ресурсите и заданията са обединени в различни теми, например: „Електронен учебник“, „Обработка на информация“, „Алгоритми“, „Циркулярни документи“, „Решаване на проблеми“, „Домашна работа“, „Тестове“ и др. В раздел „Хора“ са участващите в класната стая. Има възможност да се покани настойник/родител на всеки ученик, който да следи заданията и изпълнението им от съответния ученик. Заданията се оценяват отново през класната стая, като всички оценки се визуализират в раздел „Оценки“. Виртуалната класна стая се използва през целия курс на обучение за дадената учебна година.

4. Споделена класна стая

Споделената класна стая в своята същност е начин на използване на виртуалната класна стая, с всичките є възможности, свойства и функции. В този случай виртуалната класна стая е споделена с друг учител и ученици. Учителите могат да организират виртуална среща на своите ученици в определен час, да разрешат дискусия между паралелките и да поставят общи задачи за работа в екип. Това е осъществимо независимо дали втората паралелка е в съседната учебна стая, или се намира на хиляди километри разстояние. Учениците могат да обменят идеи, информация и ресурси със свои съученици, намиращи се на другия край на света.

5. Видеоконферентна среща

При извънредни обстоятелства може да не е възможно учител и ученици да се срещнат физически за провеждането на учебния процес. Облачните технологии предоставят различни възможности за конферентна видеовръзка – чрез Google Hangouts/ Google Meets, Microsoft Teams/Meets, Zoom и други инструменти или платформи. Учителят организира конферентната връзка и кани учениците да се присъединят в определен час. Самият учебен час протича подобно на нормален учебен час в училище.

Пример: Провеждане на дистанционно обучение в условията на извънредната ситуация, породена от разпространяването на COVID-19

Учителят организира видеоконферентна среща за провеждане на учебния час по информационни технологии в осми клас на тема „Създаване на структура, визуален дизайн и навигационна система на сайт“. Той обяснява вмъкването на различните елементи в структурата на сайта, като споделя екрана си с учениците по време на видеоконферентната връзка. При необходимост учениците задават уточняващи въпроси, на които той дава отговор в реално време. Разговарят за подходящите дизайни за различните по тема и целева група сайтове. Показва как се създават подстраници и менюта отново чрез споделяне на екрана си с учениците. Учениците започват работа по своите сайтове, следвайки изготвените по-рано проекти. При затруднение споделят екрана си, за да получат помощ от учителя.

6. Работа в екип

Работата в екип в облачното пространство спестява време и усилия на учениците – членове на екипа. Те работят едновременно върху споделен файл (текстов документ, електронна таблица, презентация, формуляр, сайт) и всеки вижда работата на другия в реално време. Всяка промяна се отразява веднага и всички членове на екипа могат да реагират на момента. Също така се вижда приносът на всеки един в екипната работа.

Пример: Съставяне на списък на групата/паралелката (5 минути)

Учителят споделя текстов документ със заглавие „Списък на…“, съдържащ таблица с номерирани редове. Всеки ученик попълва имената си в реда срещу своя номер. Попълването на таблицата е добре да се визуализира с мултимедиен проектор, въпреки че учениците виждат самото попълване и на своя екран.

7. Работа по проект

Проектната работа реализира връзката между теоретичните знания и практическата дейност на учениците, свързва обучението с техния реален познавателен опит. Изпълнението на проект чрез използване на облачни технологии може да се осъществи, ако ресурсите за проекта са дигитализирани и крайният продукт се очаква да бъде електронен. Достъпността на ресурсите в интернет пространството и различните дигитални инструменти правят изпълнението на дигитален проект лесно, бързо и качествено. Ако проектът е екипна работа, облачните технологии предоставят възможност за проверка на индивидуалния принос на всеки член на екипа.

Пример: Създаване на интегриран документ – за домашна работа

Учителят задава задача, изискваща използването на електронна таблица с данни като ресурсен файл. В допълнение може да се даде като ресурс и графично изображение. За изпълнението на задачата е нужно да се обработят данните в електронната таблица и след това да се публикуват в текстов файл или презентация. Задачата има статистическа част, изискваща създаването и публикуването на диаграма и списък в окончателния документ. Проверява се също така оформлението на документа, както и използването на книжовен български език.

8. Проектно базирано обучение

Проектно базираното обучение е стратегия за учене, която обхваща едновременно различни учебни предмети. Това се постига, като учителят насърчава учениците да идентифицират през изследване поставен проблем, да разработят решение, прилагайки доказателства за подкрепа, и да представят решението по интересен и интерактивен начин, като използват набор от съвременни средства за визуализация.

Докато при работа по проект учителят може да предостави на учениците ресурсите, с които да бъде осъществен проектът, при проектно базираното обучение кръгът на тези ресурси се разширява с такива, намерени от самите ученици по темата. Проектно базираното обучение изисква повече време за реализиране на проекта и повече самостоятелни усилия, вложени от учениците, за реализиране на крайния продукт. Учителят планира проекта така, че да е фокусиран върху важна тема от учебната програма, като същевременно за учениците съдържанието трябва да изглежда значимо от гледна точка на собствения им живот и интереси. Те трябва да имат избор и мнение при реализацията на проекта. Учениците винаги намират работата по проекти по-смислена, ако провеждат същинско изследване. Всеки проект трябва да осигурява на учениците възможност за изграждане на компетенции като критично мислене, умения за сътрудничество и общуване, творчество и иновации.

Пример: Създаване на интернет сайт – ученици от осми клас

Учителят поставя задача на учениците – да създадат сайт за собственото си родословно дърво. Учениците трябва да разпитат своите близки и роднини, за да попълнят информацията за тях в съответните страници на сайта. Същевременно трябва да използват ресурси от интернет, за да попълнят останалата информация, която трябва да присъства в сайта им.

Задължителни елементи за заглавната страница: име и снимка на ученика; меню с хипервръзки към подстраниците – майка, баща (настойници), братя, сестри, баби, дядовци; параграф „Обичам да…“ с текст и картинки; любима музика с хипервръзки към YouTube; домашен любимец (може и измислен) с описание на породата, снимки, колко е голям, евентуално интересна случка с него; любима книга – корица, анотация, кратки сведения за автора, извадка от книгата; параграф „Какво искам да постигна в живота“ (може и желана професия); забавна случка от живота на ученика; семейни традиции – как се празнуват най-популярните български празници в семейството; история на фамилията на ученика – от кой край на България (света) произлиза, интересни и известни личности в родословието.

Задължителни елементи за подстраниците (менюто от заглавната страница води до всяка от тях): меню с хипервръзки към подстраници, които са роднини на самия ученик; име и родствена връзка на човека, за когото е подстраницата, с ученика; снимка или картинка, отразяваща същността на този човек; занимание (професия); любима песен с хипервръзка към нея; интересна случка с този човек; любимото му хоби; цитат от любима книга или филм с корицата на книгата или плакат от филма.

Важно е също така графичното оформление на сайта, както и използването на книжовен български език.

9. Наблюдение

С помощта на облачните технологии този класически метод на обучение се превръща в един от най-интересните и леснодостъпни методи за обучение на учениците. „Гугъл експедиции“ им показва целия свят в три измерения – могат да наблюдават исторически забележителности, природни дадености, пътна, градска или друга инфраструктура и още много неща. Виртуалната реалност дава на учениците досег до неща, които не могат да видят в реалния свят. Добавената реалност им позволява да видят до себе си динозавър или ядро на клетка, химично съединение или изригващ вулкан. „Гугъл Земя“ им предоставя възможност да надникнат във всяко кътче на нашата планета – морета и океани, планини и равнини, градове и села, даже да наблюдават и явления в Космоса. Образователни видеозаписи показват на учениците обекти, процеси и явления, които не могат да наблюдават в класната стая, за които са необходими специални технически средства за наблюдение. Наблюдението чрез облачни технологии прави обучението забавно, лесно и достъпно за учениците.

Пример: Сглобяване на стационарен компютър

На учениците се предоставя хипервръзка към образователен видеозапис в YouTube, който показва процеса на сглобяване на стационарен компютър от основните му части и последователността им на монтиране.

10. Лекция

Традиционната лекция – с лектор на катедрата и слушатели в залата, се заменя с образователни видеозаписи, които могат да бъдат и интерактивни. По тематиката на самия видеозапис могат да се задават въпроси с избираеми отговори и да се дава допълнителна информация. Видеозаписът се използва като образователен ресурс. Пример за подобно използване е българската образователна видеоплатформа „Уча.се“.

Пример: Видеоуроци на тема „Ефективно търсене на информация“

На учениците се предоставя хипервръзка към образователен видеозапис в българската образователната видеоплатформа „Уча.се“ (съществуват 2 видеоурока по темата върху съдържанието на учебника по информационни технологии за осми клас). След урока се прави тест за обратна връзка по отношение на усвоения от видеозаписа учебен материал.

11. Беседа

При беседата обсъждането на даден проблем е открито. Учителят задава въпрос, ученикът отговаря, учителят коригира отговора. При обучаващата беседа учителят „води“ ученика към формулировката на даден отговор или към съгласие. Така определената класическа беседа се видоизменя чрез използването на облачни технологии. Източник на информация вече не е само учителят. Учениците сами търсят, преценяват и проверяват истинността на намерената информация, която включват в беседата с учителя. Те анализират, интерпретират и предлагат собствени виждания и идеи на базата на самостоятелно получената информация. Учителят е в ролята на насочващ беседата, но учениците са водещи в нея. Споделеният опит на учениците повишава ефективността на ученето.

Пример: Беседа на тема „Информационни технологии за социално общуване“ Учителят и учениците провеждат беседа за социалните мрежи, блогове, влогове, чатове и форуми в съвременното информационно общество.

12. Дискусия

„Дискусията е процес на взаимодействие, контролирано от учителя, посредством което участниците усвояват информация и опит. Диалогичната форма се използва за затвърдяване на знания; за представяне на участниците на различни подходи и интерпретации; за увеличаване на вече добитите знания, за изясняване на вече познатия материал или изменяне на неговите перспективи; за развиване на способност да се разсъждава; за придобиване на опит в самостоятелно идентифициране и решаване на проблемите.“5) Чрез използване на облачните технологии дискусията може да се пренесе в една споделена класна стая, където учениците могат да обосноват своите мнения пред съученици, намиращи се далече от тях. Учителят, водещ дискусията, може да се намира в своя кабинет, а не в класната стая, но да упражнява контрол и да насочва учениците си в реално време. Чрез технологиите дискусията може да премине физическите ограничения на класната стая и да включи участници с различно мнение и светоусещане, обуславящи се от различната културна среда. Освен в споделена класна стая дискусията може да се проведе в класически стил, но аргументите за нея да са събрани чрез търсене на информация в глобалната мрежа.

Пример: Дискусия след метода „Мозъчна атака“ на тема „Какви хардуерни и софтуерни проблеми може да посочите?“

В края на часа учителят задава въпрос на учениците: „Какви проблеми създава вашият домашен компютър?“ и съобщава, че ще разговарят за това през следващата седмица. През следващия час (следващата седмица) организира учениците в две групи и в рамките на 5 минути провеждат „мозъчна атака“ на тема „Какви хардуерни и софтуерни проблеми може да посочите?“. Учениците формулират проблемите, с които са се сблъсквали в практиката или за които са чели в глобалната мрежа. Няма неприемливи или абсурдни идеи, всичко е допустимо. След това всички идеи се подлагат на дискусия.

13. Игра

Играта имитира реална дейност в дадена ситуация и изисква активно участие, което позволява приложение на усвоените знания. „Използването на игрови елементи в неигрови контексти стана популярна техника за подобряване на резултатите от обучението както в образованието, така и в организационното обучение и се появиха много препоръки относно такива среди на обучение“.6) Използването на игрови елементи и игрови техники за обучение има за цел да направи сложните теоретични знания по-достъпни. „Игрите, които се използват в образованието, са известни още като оксиморон „Сериозни игри“. Сериозните игри имат за цел постигане на образователни, обучителни и информационни цели. Сериозните игри не могат да бъдат класифицирани като „игри“, тъй като не са предназначени само за развлечение и забавление, а за други цели – като образование. Сериозните игри са симулации на събития или процеси в реалния свят, създадени с цел решаване на проблеми. Въпреки че сериозните игри могат да бъдат забавни, основната им цел е да обучават“.7) Различни платформи, като Kahoot! и Moodle, дават възможност за създаване на обучителни игри с помощта на облачните технологии.

Например при платформата Kahoot! учителят има възможност да създаде тест, като достъпът до него се осъществява чрез мобилни телефони. Учителят дава на учениците пин код за достъп до съответния тест, а въпросите се визуализират чрез разноцветни геометрични фигури. Тестът е под формата на състезание – за крайното класиране освен правилен отговор има значение и времето, за което е даден. В платформата няма ограничение на тематиката на тестовете, а ярките цветове и музиката привличат вниманието на учениците.

Пример: Тест на тема „Алгоритми“ за ученици от десети клас

Учителят подготвя теста в образователната платформа Kahoot! и го предоставя на учениците след приключване на съответния раздел от учебния материал чрез пин код. Състезателният елемент ги провокира към повишена активност. След приключване на теста е добре учителят да даде предварително приготвена грамота на победителя.

V. Заключение

За да удовлетворят потребностите на дигиталното поколение, училищата въвеждат нови методи на обучение и адаптират използваните досега чрез използване на облачни технологии. Днес е важно не запаметяването на информация, а как да бъде намерена и проверена за достоверност. Доброто ниво на интерактивност увлича учениците и те усвояват знанията и уменията по-добре и получават пълноценна подготовка за справяне с предизвикателствата на реалния живот. Използването на съвременни средства и методи за обучение с повишена интерактивност улеснява работата на учителя и повишава интереса и активността на учениците към учебния процес. Системното прилагане на облачни технологии в образованието осигурява достъпност, актуалност и управление на образователните ресурси – основа за качествено образование.

БЕЛЕЖКИ

1. http://hdl.handle.net/10525/1873, посещение 28.12.2019. http://hdl.handle. net/10525/1873 , Accessed 28.12.2019.

2. https://diuu.bg/emag/6928/, посещение 28.12.2019, https://diuu.bg/emag/6928/, Accessed 28.12.2019.]

3. https://www.researchgate.net/publication/306097645 , Accessed 28.12.2019

4. https://ec.europa.eu/digital-single-market/en/desi , Accessed 28.12.2019

5. http://ebox.nbu.bg/drg16/view_lesson.php?id=23 , Accessed 28.12.2019

6. https://www.researchgate.net/publication/328638314 , Accessed 28.12.2019.

7. https://www.researchgate.net/publication/323120360, Accessed 28.12.2019.

ЛИТЕРАТУРА

Гъров, К., С. Анева & Е. Тодорова (2010). Основни учебни дейности при обучението по информационни технологии. Съюз на математиците в България, т. 39 (1), 313 – 317. ISBN 1313-3330.

Николаева, Р. (2018). Конструктивизмът – теоретична основа на интерактивното обучение, i-Продължаващо образование.

REFERENCES

Garov, K., S. Aneva & E. Todorova (2010). Basic Educational Activities of Training in Information Technologies. Union of Bulgarian Mathematicians, Vol. 39, (1), 313 – 317. ISBN 1313-3330.

Nikolaeva, P. (2018). Constructivism – a theoretical base of interactive teaching, i-Continuing education.

Kasakliev, N., E. Somova & S. Hadjikoleva (2014). Use of cloud services for the support of mobile teaching in Higher schools. 24th Internationl scientific conference of the Union of sienists in Stara Zagora. Natural & Mathematical science 2014, Vol. IV (3), 94 – 98.

European Commission (2019). DESI Report 2019 – Integration of Digital Technology in the EU 2019.

Gospodinova, Ts. (2016). Types of interactive methods. New Bulgarian University: Annual Proceedings, 2, ISSN 1313-7875.

Gachkova, M., M. Takev & E. Somova (2018). Learning and Assessment Based on Gamified Course in Moodle. Mathematics and Informatics, vol. 61 (5), 444 – 454.

Somova, E. & M. Gachkova (2016). An Attempt for Gamification of Learning in Moodle. International Conference on e-Learning (eLearning‘16), 8 – 9 September 2016, Bratislava, Slovakia, ISSN: 23676787 (online), ISSN: 2367-6698 (print), ISSN: 2367-6701 (cd-rom).

2025 година
Книжка 4

Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов,

THE IMPACT OF TEACHERS’ GENDER, EDUCATION, AND EXPERIENCE ON FOSTERING MATHEMATICAL CREATIVITY: A QUANTITATIVE STUDY

kombinatorni zadachi. Mathematics and Informatics, 2, 193 – 202. (In Bulgarian). Valkov, M. (2022). Sinhronno distantsionno obuchenie v obrazovatelnata igra “StruniMa”. Pedagogicheski forum, 1, DOI: 10.15547/PF.2022.005, ISSN:1314-7986. (In Bulgarian).

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev1)

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev,Nadezhda Borisova,Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски1),Марияна Николова2)

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev , Tsvetelin Zaevski Anton Iliev , Vesselin Kyurkchiev , Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova , Aharon Goldreich , Nadezhda Borisova

ФОРМИРАНЕ НА КОМПЕТЕНТНОСТИ ЧРЕЗ ПРОБЛЕМНО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ

2. Компетентностен подход Компетентностният подход се базира на използването на инте- рактивни методи и нови технологии за обучение, които спомагат за

Книжка 1
ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА ПРИ ОБХОЖДАНЕТО НА ИНТЕРНЕТ С ЦЕЛ ИЗВЛИЧАНЕ НА ДАННИ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

AN APPROACH AND A TOOL FOR EUCLIDEAN GEOMETRY

Dr. Boyko Bantchev, Assoc. Prof.

STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva , Rositsa Doneva , Sadiq Hussain Ashis Talukder , Gunadeep Chetia , Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Assist. Prof. Stefan Stavrev, Assist. Prof. Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
MIRROR (LEFT-RECURSIVE) GRAY CODE

Dr. Valentin Bakoev, Assoc. Prof.

THE CONSTRUCTION OF VALID AND RELIABLE TEST FOR THE DIVISIBILITY AREA

Dr. Daniela Zubović, Dr. Dina Kamber Hamzić

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева , Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov , Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD- ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Prof. Dr. Jasmin Bektešević, Prof. Dr. Vahidin Hadžiabdić, Prof. Dr. Midhat Mehuljić, Prof. Dr. Sadjit Metović, Prof. Dr. Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

EVALUATIОN OF CHILDREN’S BEHAVIOUR IN THE CONTEXT OF AN EDUCATIONAL MOBILE GAME

Dr. Margarita Gocheva, Chief Assist. Prof. Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof. Prof. Dr. Elena Somova

Книжка 4
TRIPLES OF DISJOINT PATHS BETWEEN POINTS ON A CIRCLE

Dr. Ivaylo Kortezov, Assoc. Prof.

MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić , Hajnalka Peics , Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Dr. Pohoriliak Oleksandr, Assoc. Prof. Dr. Olga Syniavska, Assoc. Prof. Dr. Anna Slyvka-Tylyshchak, Assoc. Prof. Dr. Antonina Tegza, Assoc. Prof. Prof. Dr. Alexander Tylyshchak

РЕЗУЛТАТИ ОТ ИЗПОЛЗВАНЕТО НА ВИДЕОИГРИ В ОБРАЗОВАНИЕТО: ПРЕГЛЕД НА НЯКОИ ОСНОВНИ ИЗСЛЕДВАНИЯ ОТ ПОСЛЕДНИТЕ ДЕСЕТ ГОДИНИ

Калин Димитров , проф. д-р Евгения Ковачева „Интелигентният педагогически подход насърчава с инер- гията между технологиите и педагогиката и използва дигиталните игри в учебния процес“. Л. Даниела (Daniela 2020)

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Проф. д.п.н. Йордан Табов, проф. д-р Веселин Ненков, гл. ас. д-р Асен Велчев, гл. ас. д-р Станислав Стефанов

УПРАВЛЕНИЕ НА ЗНАНИЯТА ПО СТРУКТУРИ ОТ ДАННИ ЧРЕЗ СМЕСЕНО ОБУЧЕНИЕ

Гл. ас. д-р Валентина Дянкова, д-р Милко Янков

USING SENSORS TO DETECT AND ANALYZE STUDENTS’ ATTENTION DURING ROAD SAFETY TRAINING IN PRIMARY SCHOOL

Assist. Prof. Dr. Stefan Stavrev Assist. Prof. Dr. Ivelina Velcheva

Книжка 2
ALGORITHMS FOR CONSTRUCTION, CLASSIFICATION AND ENUMERATION OF CLOSED KNIGHT’S PATHS

Prof. DSc. Stoyan Kapralov , Assoc. Prof. Dr.Valentin Bakoev , Kaloyan Kapralov

DUAL FORM OF OBTAINING EDUCATION IN THE MATHEMATICS TEACHERS TRAINING SYSTEM: EMPLOYERS’ POSITION

Dr. Hab. Roman Vernydub, Assist. Prof. Dr. Oxana Trebenko, Prof. DSc. Oleksandr Shkolnyi

Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

THE POWER OF A POINT — A VECTOR PERSPECTIVE

Assoc. Prof. Dr. Boyko Bantchev

ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦАТА НА НЯКОИ ВИДОВЕ МНОГОЪГЪЛНИЦИ И ПРИЛОЖЕНИЕТО ИМ ЗА ДОКАЗВАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ В ТЯХ

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

ТЕСТОВИТЕ ЗАДАЧИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ЗА ПРОФИЛИРАЩ УЧЕБЕН ПРЕДМЕТ „ИНФОРМАТИКА“ ПРЕЗ УЧЕБНАТА 2021/2022 ГОДИНА

Доц. д-р Димитър Атанасов , д-р Красимир Манев , доц. д-р Весела Стоименова , държавен експерт Ралица Войнова

2022 година
Книжка 6
BEST E-LEARNING PLATFORMS FOR BLENDED LEARNING IN HIGHER EDUCATION

Kalin Dimitrov, PhD student, Dr. Eugenia Kovatcheva, Assoc. Prof. “When I wanted to learn something outside of school as a kid, cracking open my World Book encyclopedia was the best I could do. Today, all you have to do is go online.” – Bill Gates

MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Dr. Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Dr. Elena Somova, Prof.

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Dr. Lilyana Petkova, Dr. Vasilisa Pavlova, Assist. Prof.

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Dr. Silvia Gaftandzhieva, Assoc. Prof. , Prof. Dr. Rositsa Doneva , Milen Bliznakov, PhD

READINESS OF UKRAINIAN MATHEMATICS TEACHERS TO USE COMPUTER GAMES IN THE EDUCATIONAL PROCESS

Dr. Alina Voievoda, Assoc. Prof. , Dr. Svitlana Pudova, Assoc. Prof. , Dr. Oleh Konoshevskyi, Assoc. Prof.

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Prof. Dr. Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
A COMPARATIVE ANALYSIS OF ASSESSMENT RESULTS FROM FACE-TO-FACE AND ONLINE EXAMS

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Neli Baeva, Assist. Prof

ДВАДЕСЕТ И ШЕСТА МЛАДЕЖКА БАЛКАНСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Доц. д-р Ивайло Кортезов, Мирослав Маринов

PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Dr. Evgeniya Nikolova, Assoc. Prof., Dr. Mariya Monova-Zheleva, Assoc. Prof., Dr. Yanislav Zhelev, Assoc. Prof.

Книжка 3

CONVERTING NUMERAL TEXT IN BULGARIAN INTO DIGIT NUMBER USING GATE

Dr. Nadezhda Borisova, Assist. Prof., Dr. Elena Karashtranova, Assoc. Prof.

RECOGNITION OF PROBLEMATIC EDUCATIONAL SITUATIONS IN COMPUTER MODELING TRAINING

Dr. Hristo Hristov, Assist. Prof. , Radka Cherneva

EFFECTS OF SHORT-TERM STEM INTERVENTION ON THE ACHIEVEMENT OF 9

Amra Duraković , Senior Teaching Assistant, Dr. Dina Kamber Hamzić , Assist. Prof.

Книжка 2
VOCABULARY ENRICHMENT IN COMPUTER SCIENCE FOR INTERNATIONAL STUDENTS AT THE PREPARATORY DEPARTMENT OF THE UNIVERSITY

Dr. Svetlana Mikhaelis, Assoc. Prof., Dr. Vladimir Mikhaelis, Assoc. Prof., Mr. Dmitrii Mikhaelis

STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Evgeni Andreev, Assist. Prof., Dr. Mariya Nikolova, Assoc. Prof.

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

DEVELOPING PROBLEM SOLVING COMPETENCY USING FUNCTIONAL PROGRAMMING STYLE

Muharem Mollov, PhD student , Petar Petrov, PhD student

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, PhD student, Dr. Alexandre Ivanov Chikalanov, Assoc. Prof.

КРИПТОГРАФИЯ И КРИПТОАНАЛИЗ С MS EXCEL

Гл. ас. д-р Деян Михайлов

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Dr. Ivaylo Staribratov, Assoc. Prof., Nikol Manolova

КОНТЕКСТУАЛНО ПРЕКОДИРАНЕ

Доц. д-р Юлия Нинова

ДВУПАРАМЕТРИЧНА ЗАДАЧА ЗА ОПТИМАЛНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА РЕСУРСИ

Проф. д-р Росен Николаев, доц. д-р Танка Милкова

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
КРИВОРАЗБРАНИТЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ ТЕСТОВЕ ЗА НАЛИЧИЕ НА ЗАРАЗА

Доц. д-р Маргарита Ламбова, гл. ас. д-р Ваня Стоянова

E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Prof. Dr. Elena Somova

PRESCHOOL TEACHERS’ KNOWLEDGE, PERSPECTIVES AND PRACTICES IN STEM EDUCATION: AN INTERVIEW STUDY

Dr. Lyubka Aleksieva, Assoc. Prof., Prof. Dr. Iliana Mirtschewa, Snezhana Radeva, PhD Student

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 януари 2022 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg. Скъпи прияте

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Задача 1. Число, което е точен квадрат на естествено число, се записва с няколко единици и една двойка. Докажете, че това число се дели на 11. Решение. Нека е такова число. Можем да го запишем като

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Доц. Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj , Prof. Dr. Sead Rešić , Anes Z. Hadžiomerović , Samira Aganović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Prof. Olha Matiash, Dr. Liubov Mykhailenko, Prof.Vasyl Shvets, Prof. Oleksandr Shkolnyi

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 5/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 ноември 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в електр

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4, 2021 Г.

Задача 1. Намерете всички взаимно прости естествени числа a и b, за кои- то .

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Assoc. Prof. Silvia Gaftandzhieva, Prof. Rositsa Doneva, Assist. Prof. George Pashev, Mariya Docheva

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 10 октомври 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в елект

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИТЕ ЗАДАЧИ БРОЙ 3, 2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели . Решение. От тъждеството

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Prof. Dr. Sead Rešić, Prof. Dr. Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Д-р Севдалина Георгиева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 3/2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели .

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2, 2021 Г.

Задача 1. В равнината са дадени точка A и окръжност k с център O. Наме- рете геометричното място на центровете на описаните окръжности на три- ъгълници ABC, където BC е диаметър на k. Решение. Ако точката A лежи на окръжността k, то всички триъгълници ABC имат център на описаната окръжност точка O. В този случай търсеното множество е точката O. Нека A е външна за окръжността. Да разгледаме диаметър на k, който е перпендикулярен на AO. Центърът на описаната окръжност за е точ- ка S върху

В ПАМЕТ НА ПРОФ. ДОРУ СТЕФАНЕСКУ

С чувство за голяма загуба съобщаваме на нашите читатели, че на 09.05.2021 година на 69-годишна възраст напусна този свят членът на редакционния съ- вет на списание „Математика и информатика“ проф. д.м.н. Дору Стефанеску. Отиде си един уважаван румънски учен математик, старши заместник-пред- седател на Румънското математическо общество и изпълнителен редактор на Бюлетина на това общество, трикратен президент на Математическото обще- ство на Югоизточна Европа. Математическите способности на

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението:

Задача 3. Положителните числа x, y, z, α , β и γ удовлетворяват равен- ствата:

+ += и 2 cos cos cosx y z xy yz zx ++= + + Да се докаже, че от отсечки с дължини x, y и z може да се построи триъгъл- ник с ъгли , и . Решение. От равенството 0 2 cos cos cos sin sin cos cosx y z xy yz zx y z y z x =++− + + = − + + −

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 1/2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението: 5 10 2 nn−+= Задача 2. За положителните числа a, b, c и d е изпълнено равенството 1abcd+++ = . Да се докаже, неравенството: 1 18abcd abcd +++ + ≥

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

В ПАМЕТ НА НИКОЛАЙ ХРИСТОВИЧ РОЗОВ 20.02.1938 – 02.11.2020

С голямо прискърбие посрещнахме вестта, че известният математик, високо еру- дираният образователен деятел и член на редколегията на българското списание „Ма- тематика и информатика“ проф. Николай Христович Розов вече не е сред нас. Неочак- ваната смърт го застигна на поста декан на

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6

Задача 1. В турнир участвали 799 отбора, като всеки два отбора изиграли по една среща помежду си (всяка среща завършва с победа на единия то двата отбора). Да се докаже, че има 14 отбора, така че всеки от първите 7 отбора е победил всеки от последните 7.

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

∑

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Вписаната в ∆ABC окръжност се допира до страните AB, BC и CA съответно в точки P, Q и R. Ъглополовящата на ъгъла при върха C пресича PQ в точка S. Да се докаже, че правите AS и RQ са успоредни. Задача 2. Естественото число n се нарича хубаво, ако множества {1, 2, 3,..., п} може да се разбие на k непресичащи се множества така, че всяко от множест- вото да съдържа средното аритметично на елементите си. Намерете всички хубави числа за k = 2 и k = 3. Задача 3. Намерете всички функци

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека . Да се намери сумата на всички ес- тествени числа от интервала , за които се дели на . Росен Николаев и Танка Милкова, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2019

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа , които са решения на уравнението Милен Найденов, Варна Решение: eдно множество от решения на разглежданото уравнение се описва със следните формули: , , където Задача 2. Средите на диагоналите и на изпъкналия четириъгъл- ник са съответно и , а пресечната им точка е . Ако втората пресечна точка на описаните около триъгълниците и окръжнос- ти е и , да се докаже, че правата с

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Равнобедреният трапец има основи с дължини и , като е такъв, че средите на страните му са върхове на квадрат. Ако дължината на бедрото на е , а разстоянието от пресечната точка на диагоналите му до бедрата е , да се докаже, че . Милен Найденов, Варна

( ) ( ) ( ) 2sin 2019 2 cos 2019 2 2 3 10, 25x x xx + = −+

Решение: тъй като , т.е. когато

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. По пътя между два града има три тунела с обща дължина 2 ки- лометра и 900 метра. Разликата в дължините на втория и третия е 20 пъти по-малка от дължината на първия тунел. Общата дължина на втория и третия е с 500 метра по-голяма от дължината на първия. Да се намерят дължините на трите тунела, ако третият тунел има най-малка дължина. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. Да се докаже, че във вписан в окръжност четириъгълник е изпълнено неравенството . Хаим Хаи

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2019

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа, които са дължи- ни в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с телесен диаго- нал . Христо Лесов, Казанлък Решение. Нека са дължините в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с диагонал . Изпълнено е равен- ството . Оттук имаме . Следо- вателно . Затова , т.е. . От друга страна, , което означава, че . Затова , т.е. . По този начин получихме, че . Като направим необходимите проверки при

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадени са системите линейни уравнения

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4

THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
∑

RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina,Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

∫

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

2019 cm

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Mихаил Aлфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казваме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са проти- воположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свързващи и , по които мухата може да мине, когато: а) и n = 6; б) и ; в) m и са произволни естествени числа.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2018

Задача 1. Да се докаже, че: а) се дели на ; б) се дели на . Христо Лесов, Казанлък Решение на Златка Петрова от Ямбол: а) От дефиницията за факториел имаме . Оттук очевидно следва, че разглежданото число се дели на . б) Лесно се проверява, че е просто число. Затова от теоремата на Уилсън следва, че . Сега, като вземем предвид, че , получаваме което доказва твърдение б).

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2017

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението , ако: а) ; б) . Тодор Митев, Русе Решение: а) . Първо да отбележим следните две твърдения: 1) най-големият общ делител на и е или за всяко цяло . Това твърдение следва непосредствено от равенството ; 2) ако е просто число и дели , то дели . Това твърдение се доказва по следния начин. От условието

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа , за кои- то е изпълнено равенството: а) ; в) Христо Лесов, Казанлък

∑

Решение: а) 11 1 1 1 1 nx x x x kx x x x ′ ′ − + − +−  −  = = = =   − −   .

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2017 Г.

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между местата на пър- вата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с по-бавно, то той ще срещне първия мотоциклет след тръгването си, а разстоянието между местата на двете срещи ще бъде . Определете разстоянието , ако скоро

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2017

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големи- на кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най- много 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество оре- хи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три. Тъй като на Иван му харесало числото с тез

Книжка 1
„Децата не разбират това, което четат, и

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ε

2015! 2016! 2017++

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2.

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДАЧУ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението x )!63(1  , ако: а) ; б) . Тодор Митев – Русе

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2017

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което приема най-малка стойност. Христо Лесов – Казанлък Решение: съгласно малката теорема на Ферма за всяко естествено чис- ло и просто число , числото се дели на , т.е. дава оста- тък при деление на . Тъй като е просто число, от тази теорема следва, че дава остатък при деление на и дава остатък

Книжка 5
SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

∑

Слави Харалампиев и Румяна Несторова, Враца

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2016

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг съответно автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между места- та на първата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2016

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едновременно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти, така че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всич- ки редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диа- гоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: прилагаме действието към единия диагонал

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големина кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най-мно- го 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество орехи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един орех, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три ореха. Тъй като на Иван му харесало бро

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2016 Г.

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния Решение. Нека е дискриминанта- та на квадратното спрямо уравнение . Сле- дователно . Оттук получаваме равенството . Предполагаме, че

Книжка 2
NDM-PHILOSOPHY OF EDUCATION IN THE 21

Marga Georgieva, Sava Grozdev

ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа n и k, при които стойността на израза 2017 + 3 + 4 e: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2016

Задача 1. Редицата на Фибоначи се дефинира с равенствата и . Да се докаже, че всяка от редиците и съдържа безброй много двойки съседни членове, които се де- лят на . Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: в началото ще докажем следната Лема. За всяко числата на Фибоначи притежават свойствата: а) последната цифра на числата и е ; б) последната цифра на числата , , и е ; в) последната цифра на числата , , и е .

Книжка 1
ЗАНИМАТЕЛНИТЕ ЗАДАЧИ НА ПОАСОН И МЕТОДЪТ НА ПЕРЕЛМАН ЗА ТЯХНОТО РЕШАВАНЕ И ИЗСЛЕДВАНЕ

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров

ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което най-малка стойност. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2016

Задача 1. За всяко естествено число да се намери растяща редица от естествени числа , , , , , за които е изпълнено равенството Христо Лесов, Казанлък Решение: от условието имаме Затова , , , , и , , .

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките и лежат в една полуравнина спрямо и са такива, че и са равностранни. Ако е петата на перпендикуляра, спуснат от към , да се намери геометричното място на точката , когато описва . Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров – Архангелск, Русия

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1/2016

Задача 1. Целочислените редици и са дефинирани чрез равенствата , , , , при . а) Да се докаже, че за всяко цяло число точно едно от числата , и б) Да се определят целите числа , за които и са взаимно прости числа за всяко естествено число . Христо Лесов – Казанлък Решение: дадените рекурентни равенства представяме по следния на- чин: вателно

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едно- временно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти така, че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всички редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диагоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. В окръжност с център е вписан разност

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2015

Задача 1. Дадена е функцията , където m, n, ∈ℕ. Ако и са корените на уравнението и е изпълнено

Книжка 4
ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2015

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията и . Милен Найденов, Варна Решение. Разделяме двете страни на първото уравнение на и полу- чаваме . Полагаме и уравнението добива вида . Тъй като функцията е растяща (лявата графика на чертежа), то уравнението ално решение . С непосредствена проверка се вижда, че това решение е . Оттук намираме, че е единственото решение на първо- то уравнение. След това разделяме двете страни на второто уравнение на

Книжка 3
{}

Сава Гроздев – София, и Веселин Ненков – Бели Осъм

()

След заместване на намерените две неравенства в дясната страна на . Равенство се достига тогава и само тогава,

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. За всяко естествено число n да се намери растяща редица

()

Задача 2. Нека P е произволна точка от описаната окръжност на на . Ако докаже, че точките лежат на една права. Хаим Хаимов, Варна, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение. Ще докажем, че правите ра на описаната около окръжност . Оттук непосредствено следва

Книжка 1
()

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

{}

2n ≥

()()

.

2015 година
Книжка 6
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадена е функцията , където ,mn∈ . Ако x и x са корените на уравнението f (x) = 0 и е изпълнено (2) (3)ff t xx xx −− ==∈ +  , да се намерят m и n. Росен Николаев, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2015

Задача 1. Параметрите a и b в уравнението 5x + 2x + 4ax  x + 2bx + 4b  a = 0 са такива, че то има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 1 и 2 са корени на даденото уравнение, то след заместване в уравнението се получават съответно равенствата: 5a+2b = 4 и 31a+8b = 188. След решаване на получената система от две уравнения с две неизвестни се полу- чава: a = 4 и b = 8. Заместваме на

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА MATHEMATICS AND INFORMATICS

BULGARIAN EDUCATIONAL JOURNAL ANNUAL CONTENTS / ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ

Книжка 5
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията 3.2 8.3 159000 += и 32.11 56697728 x += . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2014

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра k, за които уравнението ( ) ( ) , 10k ≠ притежава цело- числени корени. Милен Найденов, Варна Решение: Ако x и x са корените на уравнението, то 2 21 1 2 10 10 k xx kk - + = =- -- е цяло число. Затова 1 10 p k = - е цяло. Оттук получаваме 10 1p k p + = . За дискри- минантата D на уравнението намираме 6 24p D p -- = . Тъй като D трябва да е точен квадрат, то 6 24pn- -= за някое цяло число n. Последното равен

Книжка 4
Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова СОУ „Панайот Волов“ – Шумен ОУ „Никола Йонков Вапцаров“ – Асеновград

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ ВЬIЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЬIМИ

Владимир Жук Республиканская специализированная физико-математическая средняя школа-интернат имени О. Жаутыкова

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2014

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа uxyv , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна Решение: Събираме почленно равенствата и получаваме . Оттук следва равенството ( ) ( )( ) 1 1 1 12xy uv− −+ − −= . Последното равенство е изпълнено при ( ) 1 11 xy − −= и ( )( ) 1 11uv− −= ; ( ) 1 12xy− −= и ( )( ) 1 10uv− −= ; ( ) 1 10xy− −= и ( )( ) 1 12uv− −= . Оттук лесно се вижда, че търсените числа са: 2222, 5231, 1235, 3152, 3512, 5321, 1325,

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Contest Problems Конкурсни задачи Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x

Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x + 2x + 4ax - x + 2bx + 4b  a = 0 има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2014

Задача 1. Ако a  3 е нечетно число и k 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: Означаваме с r търсения остатък. При k = 2 е изпълнено равенството . Тъй като , то . Сега от равенството се получава , къ- дето M е цяло число. Ако k = 2l, l k = 2l + 1, l . В този случай получаваме, че . Разглеждаме случая, при който k = 3. От рела- циите и

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра , за които уравнението притежава це- лочислени корени. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2014

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a , и c е изпълне- но неравенството Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Решение: Ако , R и са съответно лицето, радиусът на описа- ната окръжност и полупериметърът на триъгълника, то са изпълнени следните релации: и . От двете равенства лесно се вижда, че разглежданото неравенство е еквивалентно с , което съвпада със споменатото неравенство.

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „П. Волов“ – Шумен

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на a, b и c, при които коре- ните на уравнението 10x a b c x ab bc ca++++ +++= са цели числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2013

Задача 1. Да се намерят всички реални функции : 1, 1,fx +∞ → +∞ , за които при и 0y > е изпълнено равенството fx fx= . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния Решение: Нека 1 log ln ye x == . Тогава fx fx fe== . Полагаме 1fe a => . От условието получаваме a fe fx== , откъдето fx a = . Освен това . Затова, като положим α , получаваме, че търсените функции са fx x = за всички α .

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

УРОК ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ НА ФУНКЦИИ В ЗАДАЧИ ПО ИКОНОМИКА

Петя Сярова СОУ „Васил Левски“ – Ямбол

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете цифрите , , и в десетична бройна система, ако е изпълнено равенството . Йон Патралику, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2013

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа , за които са изпълнени неравенствата: 2 2 2 28, 6, 3 8.

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова Образцова математическа гимназия „Акад. Кирил Попов” „Колкото човек е по-близо, толкова по-малко вижда“ Зрителна измама, филм на Луи Летерие

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2013

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9 3 15xx x+ +≥ . б) Намерете реалните стойности на , при които за всички , , 1,abc∈ − +∞ , е изпълнено неравенството 31a b c a b c kabc + + + + + +≥ ++ . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: а) Разглежданото неравенство е еквивалентно с 13 1 0 xx + −≥ , което е очевидно при . б) От а) следват неравенствата 9 3 15aa a+ +≥ , 9 3 15bb b+ +≥ и 9 3 15cc c+ +≥ . След почленно събиране получаваме 5 31 3 a b c a

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

ANALYSIS OF PROBLEM SOLVING IN INFORMATICS FOR 12 – 13 YEAR OLD STUDENTS IN BULGARIA

Ivaylo Staribratov, BistraTaneva High School of Mathematics „Akad. Kiril Popov“

МОДЕЛ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЕДИН КЛАС ЗАДАЧИ ЗА ПОСТРОЕНИЕ С ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Ваня Бизова-Лалева Национална търговска гимназия

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако a ³ 3 е нечетно число и k ³ 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с .

Contest Problems Конкурсни задачи РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2013

24 24 2 2 .2 8. 2 8.1024 8. 1000 1 8.10 . 1 23. 1000 1000     == = = + > + =         557 500 3 8.10 . 1 8.10 . 1 8.10 . 12.10 10.10 10 1000 1000 2  = +> += = > =  

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „Панайот Волов“

ЕДНО ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ПИТАГОР В ИЗВЪНКЛАСНАТА РАБОТА ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Несторова Регионален инспекторат по образованието - Враца

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

ЕДИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански Българска академя на науките

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a, b и c е из- пълнено неравенството (a+b+c) (2b c + 2c a + 2a b - a - b - c ) £ 27a b c . Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Ако M е множеството на всички равнобедрени триъгълници, стра- ните и лицето на които са естествени числа, да се намерят три триъгълника от M, различните страни на които са последователни естествени числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2013

Задача 1. Реалните числа , , , и са такива, че:

2013 година
Книжка 6
∑

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални функции f (x) : (1, + ) (1, + ), за които при x > 1 и y > 0 е изпълнено равенството f (x ) = (f (x)) . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2013

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата 3 cos cos cos 3 1 216 abc abc abc abc ⎡⎤ ++ ++ −≤++< − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ .

MATHEMATICS AND INFORMATICS

ГОДИНА LVI / VOLUME 56, 2013 ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ / ANNUAL CONTENT СТРАНИЦИ / PAGES КНИЖКА 1 / NUMBER 1: 1 – 96 КНИЖКА 2 / NUMBER 2: 97 – 200 КНИЖКА 3 / NUMBER 3: 201 – 296 КНИЖКА 4 / NUMBER 4: 297 – 400 КНИЖКА 5 / NUMBER 5: 401 – 496 КНИЖКА 6 / NUMBER 6: 497 - 608

Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа (x, y, z), за които са изпълнени неравенствата:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2012

Задача 1. За всяко реално число x означаваме с [x] най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на x. Да се намерят всички прости числа p, за които числото е просто.

GUIDE FOR AUTHORS

Mathematics and Informatics Journal publishes scientifi c, scientifi c-popular, review and information materials. Papers of scientifi c character should report original research and ideas inspected through expert evaluation by two anonymous and independent referees. It is recommended that the manuscripts are sent as attachment fi les to the following addresses mathinfo@azbuki.bg and sava.grozdev@gmail.com. Disks or other electronic devices are admissible too and in such a case the postal a

Книжка 4
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9315xx x++≥ .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2012

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа x, y и z, за които е изпълнено равенството . Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 13 = 2197, 2.11 = 2662 и 3.9 . 2187, то x 12, y 10 и z 8. Освен това x и z имат различна четност. Така с непосредствена проверка се вижда, че когато z = 1,3,5,7 при x = 2,4,6,8,10,12 и z = 2,4,6,8 при x = 1,3,5,7,9,11, само x = 2, y = 10, z = 1 е решение на даденото уравнение.

Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се сравнят числата Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Точките E и F са среди съответно на диагоналите AC и BD на чети- риъгълника ABCD. Ако BAE ADE= и , да се докаже, че симе- дианите на триъгълниците ABC, BCD, CDA и DAB съответно през върховете B, C, D и A се пресичат в една точка. Хаим Хаимов, Варна Задача 3. Вписаната в окръжност се допира до , и AB съот-

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2012

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния Решение: Изпълнени са равенствата ! 1! 1 1! 1 !! np Sp C p np + =− +=− +=

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Реалните числа , , , и са, такива че:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2012

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa a bb b  , за които е изпълнено равенството aa a bb b aa a bb b=   . Николай Белухов, Стара Загора Решение: Нека A aa a=  и B bb b=  . От условието следва равенството .10 . A B AB+= , откъдето .10 1 . A AB =− . Тъй като , 11AA −= , то 1|10 A − , откъдето 1 1 2 .5 AA− += . Ако числата 1A − и 1A + са едновременно нечетни, то , а 1A − и 1A + са степени на петицата с разлика две, което е невъзможно. Остава само възмо

Книжка 1
70-ГОДИШЕН ЮБИЛЕЙ

Навършиха се 70 години от рождението на изтъкнатия български математик проф. дмн Генчо Скордев. Юбилярът е член-кореспондент на БАН и дългогодишен главен редактор на сп. „Математика и информатика“. По този повод е следващият материал, в който авторът разказва свои спомени с исторически характер, свързани с активното му участие в образователните процеси в България по математика и информатика.

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2012

Задача 1. В множеството на реалните числа е дефинирана бинарна опера- ция :⊗ ×→  , където : \0=  , която условно ще наричаме умножение и такава, че за всеки три реални числа , и , където , е в сила ра- венството .ac a bc b ⊗⊗= . Ако е известно, че , да се пресметне 2011 2012 2011 2012⊗⊗⊗ . Живко Желев, Стара Загора Решение: Първи начин (авторско решение). Нека . Тогава .1 11 1 a ata a⊗= ⊗ ⊗ = = . Оттук получаваме 2012. 1 2012 2012 2012 2012 2012 t tt=⊗=⊗ ⊗= =

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2012

Христо Лесов, Казанлък

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

доц. д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН) Десетата Международна олимпиада по лингвистика (МОЛ) се проведе в Любляна (Словения) от 30 юли до 3 август 2012 г. В нея взеха участие 131 ученици, съставящи 34 отбора от 26 страни. За първи път свои състезатели изпратиха Гърция, Китай, Израел, Унгария и Япония. Бяха представени също Австралия, Бразилия, България, Великобритания, Германия, Естония, Индия, Ирландия, Канада, Латвия, Нидерландия, Полша, Румъния, Русия, САЩ, Сингапур, Словения, Сърбия, Чехи

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПР ОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа , и , за които е из- пълнено равенството Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2011

Задача 1. Да се докаже, че за всяко цяло положително число уравнението има безброй много решения в цели положителни числа

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2011

Задача 1. Едно цяло положително число n ще наричаме “интересно”, ако може да бъде записано във вида , където са цели поло- жителни числа и , а дели c . Да се докаже, че само краен брой цели положителни числа не са “интересни” и да се намери сумата им. Решение: 1) Нека , то тересно”. Остава да отбележим, че , и не са “интересни”. 2) Нека

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2011

Задача 1. На страните AB и на успоредника външно за

Книжка 3
НАЦИОНАЛЕН КОНКУРС „МЛАДИ ТАЛАНТИ” 2012

Георги Дянков През месец май 2012 се проведе финалният кръг на Националния конкурс „Млади таланти”. Състезанието се организира от МОМН и приема разработки на научни проекти от ученици в гимназиален етап и студенти първи курс. Участниците предста- виха свои авторски проекти в различни научни области – естествени науки, социални науки и комуникационни и информационни технологии (ИКТ). Състезанието тази година се отличи с много добри проекти и журито имаше нелеката задача да избере най-добри

СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa abb b , за които е изпълнено равенството

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2011

Задача 1. Да се определят стойностите на параметъра a, за които уравнението log sin 2011 cos 2011tg x cotg x a x x += + има решение и да се реши уравнението за най-малката от намерените стойности на параметъра. Христо Лесов, Казанлък Решение (Христо Лесов): Изпълнени са следните релации: π αα α за всяко и 2 2 sin 2 tg cotg += ≥ за

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2011

Задача 1. Ако , е цяло положително число, да се докаже, че съществуват безброй много цели положителни числа нено равенството . Веселин Ненков, Бели Осъм Решение (Светлозар Дойчев): Като използваме, че за произволно цяло число

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МЕЖДУНАРОДНИ КОНКУРСИ ЗА РАЗРАБОТВАНЕ НА ПРОЕКТИ

І.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕза ученици, ІІ.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕ за учители

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Рубриката се води от Светлозар Дойчев, и Веселин Ненков

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.