Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2013/6, стр. 514 - 521

ПРОЕКТИВНИ АЛГЕБРИЧНИ КРИВИ, КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ И ТЕОРЕМАТА НА ПАСКАЛ

Живко Желев
E-mail: zhelev@uni-sz.bg
PhD, Assistant Professor
Department of Informatics & Mathematics
Faculty of Economics
Trakia University
Stara Zagora, Bulgaria

Резюме: Теоремата на Паскал е основен резултат в класическата проективна геометрия на коничните сечения. Чрез методите на съвременната изчислителна геометрия – дял от алгебричната геометрия, занимаващ се с намирането на броя на различни геометрични обекти в дадено многообразие, удовлетворяващи различни условия – са разгледани както теоремата на Паскал, така и някои други факти от проективната геометрия.

Ключови думи: Enumerative geometry, intersection theory, Bezout theorem, Pascal theorem.

Равнинни алгебрични криви. Алгебрична равнинна крива в \(\mathbb{R}^{2}\) наричаме всяка крива, която се задава с уравнение от вида \(\sum_{i+j \leq n} a_{i j} x^{i} y^{j}=0, i, j \in \mathbb{Z}^{+}\), j ∈+ , като \(a_{i j} \neq 0\) поне за една двойка \((i, j)\), j), такава че \(i+j=n\). В този случай \(n\) се нарича степен на кривата.

Много от неприятностите, които възникват при изучаването на свойствата на различни криви в \(\mathbb{R}^{2}\), изчезват, когато се премине към комплексната проективна равнина \(\mathbb{C} P^{2}\). Да напомним, че комплексна проективна равнина наричаме множеството от лъчи в пространството \(\mathbb{C}^{3}\), които минават през началото на координатната система. С други думи, точките в \(\mathbb{C} P^{2}\) представляват наредени тройки числа \((x, y, z), x, y, z \in \mathbb{C}\), y, z), x, y, z ∈, като точките \((x, y, z)\) и \((\lambda x, \lambda y, \lambda z), \lambda \in \mathbb{C} \backslash\{0\}\) считаме за еквивалентни, т. е. \((x, y, z) \sim(\lambda x, \lambda y, \lambda z)\) и \(\sim\) е релация на еквивалентност. Прието е точките в проективното пространство да се означават така: (\(x: y: z\) ). По този начин се вижда, че всъщност пространството \(\mathbb{C} P^{2}\) е разширение на комплексната равнина \(\mathbb{C}^{2} .{ }^{1}\)

Така на всяка реална алгебрична крива \(\sum_{i+j \leq n} a_{i j} x^{i} y^{j}=0\) в \(\mathbb{R}^{2}\) може да се съпостави крива \(\sum_{i+j \leq n} a_{i j} x^{i} y^{j} z^{n-i-j} \quad\) в \(\mathbb{C} P^{2}\). Условията \(z=1, x, y \in \mathbb{R}\) образуват в \(\mathbb{C} P^{2}\) множество, съвпадащо с \(\mathbb{R}^{2}\). Ограничението на тази крива в \(\mathbb{C} P^{2}\) върху това множество представлява точно равнинна алгебрична крива със същите коефициенти \(a_{i j}\).

Равнинната алгебрична крива \(F(x, y)=0\) се нарича неразложима, ако многочленът \(F\) не може да е представи като произведение на многочлени \(F_{1}\) и \(F_{2}\) с положителна степен. В противен случай кривата се нарича разложима. Като множество от точки, тази разложима крива представлява обединение на кривите \(F_{1}=0\) и \(F_{2}=0\). Най-простата разложима крива от степен \(n\) се задава с уравнението \(\ell_{1} \ell_{2} \cdots \ell_{n}=0\), където \(\ell_{1}, \ell_{2}, \ldots, \ell_{n}\) са линейни функции. Като множество от точки, кривата може да се представи като обединение на правите \(\ell_{1}=0, \ell_{2}=0, \ldots, \ell_{n}=0\). Тази най-проста алгебрична крива в много от случаите помага да се изясни как би изглеждала ситуацията при произволна крива от степен \(n\). Например кривите \(\ell_{1} \ell_{2} \cdots \ell_{m}=0\) и \(\ell_{1}^{\prime} \ell_{2}^{\prime} \cdots \ell_{n}^{\prime}=0\) имат \(m n\) общи точки. Както ще видим по-нататък, произволни криви от степени \(m\) и \(n\) също имат \(m n\) общи точки (заедно с техните кратности) или безброй много общи точки.

Изчислителна геометрия и конични сечения. Изчислителната геометрия, като дял от алгебричната геометрия, се превръща в съвременна математическа дисциплина, когато е формулирана като част от петнадесетия проблем на Д. Хилберт (1862 – 1943) в неговия знаменит доклад, изнесен през 1900 г. в Париж. Този проблем в частност е насочен към изграждането и прецизирането на т. нар. Шубертово смятане, което е представено за първи път от немския математик Х. Шуберт (1848 – 1911) в неговата книга от 1879 г. „Kalkül der abzählenden Geometrie“.

Най-общо казано, основният въпрос, който си поставя съвременната изчислителна геометрия, е следният: Колко на брой геометрични структури от даден тип удовлетворяват някакъв набор от геометрични условия? (Zhelev, 2006), (Katz, 2006). Това, което е важно да се отбележи тук, е, че единственото условие, което трябва да удовлетворяват тези геометрични структури, е те да бъдат краен брой. Като тривиален пример можем да формулираме следната задача: Колко точки в равнината лежат върху две дадени прави?

Алгебричните равнинни криви от 2 степен е прието да се наричат накратко конични сечения. Известно е, че коничните сечения могат да бъдат класифицирани в следните групи: параболи, елипси, хиперболи, двойка прави или двойни прави. Първите три от тях оформят специален клас, т. нар. гладки конични сечения. Всяко конично сечение може да се представи по единствен начин с хомогенно уравнение от вида (Шафаревич, 1972), (Gathmann, 2003):

\[ a_{0} x_{0}^{2}+a_{1} x_{0} x_{1}+a_{2} x_{0} x_{2}+a_{3} x_{1}^{2}+a_{4} x_{1} x_{2}+a_{5} x_{2}^{2}=0 \] като всеки коефициент \(a_{i}, i=0,1, \ldots, 5\) е определен от коничното сечение с точност до общ ненулев множител. По този начин можем да си мислим за проективното пространство \(\mathbb{C} P^{5}:=\mathbb{C}^{6} / \sim(\sim\) е релацията на еквивалентност, дефинирана по-горе) с хомогенни координати \(a_{i}\) като за пространството на всички конични сечения. \({ }^{2}\)

Нека сега \(P \in \mathbb{C} P^{2}\) е произволна точка в равнината. Тогава коничното сечение (определено от координатите \(a_{i}\) ) минава през точка \(P\) тогава и само тогава, когато горното уравнение е изпълнено и приемем, че \(P=P\left(x_{0}: x_{1}: x_{2}\right)\). По отношение на координатите \(a_{i}\) на \(\mathbb{C} P^{5}\) това е едно линейно условие. Тъй като това проективно пространство е петмерно, то трябва и да очакваме краен брой конични сечения, ако искаме те да са инцидентни с 5 дадени точки в равнината. Всъщност, както е известно, съществува точно едно такова конично сечение, тъй като решението на 5 линейни условия в \(\mathbb{C} P^{5}\) представлява единствена точка в това пространство. Все пак трябва да отбележим и два потенциални проблема, които могат да се по-явят в зависимост от избора на петте точки (Gathmann, 2003):

1. Трябва да се уверим, че петте линейни уравнения в \(\mathbb{C} P^{5}\) са наистина независими, за да може тяхното пресичане да даде точка, а не пространство с по-висока размерност.

2. Не всички точки в модулното пространство \(\mathbb{C} P^{5}\) описват конични сечения. Както видяхме вече, някои от тях описват обединение на две прави или двойни прави. С други думи „истинското“ модулно пространство на тези конични сечения не е цялото \(\mathbb{C} P^{5}\), а някакво отворено подмножество \(U \subset \mathbb{C} P^{5}\). Допълнението \(\mathbb{C} P^{5} \backslash U\) обикновено се нарича граница на модулното пространство. Ние не можем a priori да знаем дали дадена точка от модулното пространство, която се явява решение на петте линейни условия, лежи в \(U\) или не, т. е. гладко конично сечение през петте дадени точки може и да не съществува.

Криви, резултанти и теоремата на Безу. Нека \(C\) и \(D\) са равнинни проективни криви от степен \(c\) и \(d\) съответно. Тогава основен въпрос на изчислителната геометрия е следният: Колко точки в \(\mathbb{C} P^{2}\) лежат както на \(C\), така и на \(D\) ? С други думи, трябва да се намери броят на пресечните точки на двете криви. Както отбелязахме вече, за да има отговор на този въпрос, би трябвало да очакваме множеството \(C \cap D\) да е крайно. По-точно, нека \(p \in C \cap D\) и \(C \cap D\) е крайно множество. Да означим с mult \(_{p}(C \cdot D)\) пресечната кратност (Katz, 2006) на кривите \(C\) и \(D\) в т. \(p\). Очевидно mult \(_{p}(C \cdot D) \gt 0 \Leftrightarrow p \in C \cap D\). Тогава е в сила следният изключително важен резултат в алгебричната геометрия:

Теорема 1 (Безу) Ако множеството \(C \cap D\) е крайно, то \(\sum_{p \in C \cap D}\) mult \(_{p}(C \cdot D)=c d\).

Досега разглеждахме алгебрични равнинни криви и техните точки на пресичане, но това е геометрична интерпретация на алгебричния въпрос за намирането на общите корени (заедно с техните кратности) на конкретни полиномни уравнения, които представят тези криви.

Знаем, че два полинома имат общ корен точно когато не са взаимно прости (Курош, 1971) и с помощта на алгоритъма на Евклид можем да проверяваме дали два полинома имат общ корен. Възможен е и по-общ подход, свързан с намирането на т. нар. резултанта на тези полиноми.

Нека \(f=a_{0} x^{m}+\cdots+a_{m}, g=b_{0} x^{n}+\cdots+b_{n} \in \mathbb{C}[x], a_{0}, b_{0} \neq 0\) и \(m, n \gt 0\) с корени съответно \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m} \in \mathbb{C}\) и \(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n} \in \mathbb{C}\). Тогава можем да дадем следната

Дефиниция 1. Елемента \(R(f, g)=a_{0}^{n} b_{0}^{m} \prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n}\left(\alpha_{i}-\beta_{j}\right)\) на полето \(\mathbb{C}\) ще наричаме резултанта на полиномите \(f\) и \(g\).

Очевидно \(f\) и \(g\) имат общ корен точно когато \(R(f, g)=0\). Ясно е още, че \(R(g, f)=(-1)^{m n} R(f, g)\). В сила е и следното

Твърдение 1. \(R(f, g)=a_{0}^{n} \prod_{i=1}^{m} g\left(\alpha_{i}\right)\).

Доказателство: Като използваме равенството \(g(x)=b_{0} \prod_{j=1}^{n}\left(x-\beta_{j}\right)\), получаваме: \(R(f, g)=a_{0}^{n} b_{0}^{m} \prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n}\left(\alpha_{i}-\beta_{j}\right)=a_{0}^{n} \prod_{i=1}^{m}\left(b_{0} \prod_{j=1}^{n}\left(\alpha_{i}-\beta_{j}\right)\right)=a_{0}^{n} \prod_{i=1}^{m} g\left(\alpha_{i}\right)\).

Това твърдение показва, че \(R(f, g)\) е симетричен полином с коефициенти от \(\mathbb{C}\) на корените \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m} \in \mathbb{C}\) на полинома \(f\) и следователно \(R(f, g) \in \mathbb{C}\). Сега вече, на базата на горните резултати, можем да дадем нова формулировка на теоремата на Безу:

Теорема 1’ (Безу) За всеки две проективни алгебрични криви от степен \(m\) и \(n\), резултантата им представлява хомогенен полином от степен \(m n\) или е тъждествено равна на нула.

Теорема на Паскал – проективно-аналитичен подход. Един от красивите резултати в проективната геометрия е теоремата на Паскал:

Теорема 2. (Паскал) Нека \(X \subset \mathbb{C} P^{2}\) е крива от втора степен и нека точките \(A, B, C, D, E\) и \(F\) върху кривата са върхове на вписан шестоъгълник. Тогава пресечните точки на срещуположните страни на шестоъгълника (на черт. по-долу точките \(P=A B \cap D E, Q=B C \cap E F, R=C D \cap A F\) ) лежат на една права.

Фигура 1. Точките P, Q и R лежат на една права

Преди да докажем теоремата, ще направим някои забележки. Най-общо семейството от конични сечения, които минават през върховете на произволен четириъгълник \(A B C D\), могат лесно да бъдат описани. Наистина, нека \(\ell_{A B}\) е уравнението на правата \(A B\). Тогава върховете на \(A B C D\) анулират израза \(\ell_{A B} \cdot \ell_{C D}\), а така също и \(\ell_{B C} \cdot \ell_{A D}\). Следователно уравнението \(\lambda \ell_{A B} \cdot \ell_{C D}+\mu \ell_{B C} \cdot \ell_{A D}=0, \lambda, \mu \in \mathbb{C}^{*}\) определя конично сечение, което минава през върховете на \(A B C D\). По-важното е, че е в сила и обратното

Твърдение 2. Нека точките \(A, B, C\) и \(D\) са такива, че никои три от тях не лежат на една права. Тогава коничното сечение през тези точки може да бъде записано във вида

\[ \lambda \ell_{A B} \cdot \ell_{C D}+\mu \ell_{B C} \cdot \ell_{A D}=0 . \]

Доказателство: Без ограничение на общността можем да предполагаме, че правите \(A B\) и \(A D\) имат уравнения във фиксирана координатна система съответно \(y=0\) и \(x=0\). Нека \(f=0\) е уравнението на коничното сечение. Ограниченията на \(f\) и \(\lambda \ell_{A B} \cdot \ell_{C D}+\mu \ell_{B C} \cdot \ell_{A D}=\lambda y \cdot \ell_{C D}+\mu x \ell_{B C}\) върху произволна координатна система представляват квадратични форми с общи корени (\(A\) и \(B\) или \(A\) и \(D\) ). По този начин числата \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\) могат да се изберат така, че полиномът

\[ P(x, y)=f(x, y)-\lambda y \cdot \ell_{C D}(x, y)-\mu x \cdot \ell_{B C}(x, y) \] да се анулира при \(x=0\) и \(y=0\). Това означава, че \(x y \mid P(x, y)\), y), т. е. \(P(x, y)=x y \cdot Q\) и \(Q\) е константа. Но в т. \(C\) полиномът \(P\) също се анулира и тъй като \(x y \neq 0\), то \(Q=0\). Следователно \(f=\lambda \ell_{A B} \cdot \ell_{C D}+\mu \ell_{B C} \cdot \ell_{A D}\).

Следствие 1. Нека \(f=0\) и \(g=0\) описват две конични сечения, минаващи през върховете на четириъгълника \(A B C D\). Тогава уравнението на произволно конично сечение, минаващо през тези върхове, има вида \(\lambda f+\mu g=0\) за някакви \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\).

Доказателство: Коничните сечения, които минават през върховете на \(A B C D\), образуват проективна права, която се генерира от точките, удовлетворяващи уравненията \(\ell_{A B} \cdot \ell_{C D}=0\) и \(\ell_{A D} \cdot \ell_{B C}=0\). Но тези прави са генерирани и от точките, за които \(f=0\) и \(g=0\). С това доказателството е завършено.

Доказателство на Теорема 2: Да разгледаме шестоъгълника \(A B C D E F\), чиито върхове лежат върху коничното сечение с уравнение \(f=0\). Четириъгълниците \(A B C D, A F E D\) и \(B E F C\) са вписани в коничното сечение и следователно \(f\) може да се представи в някоя от следните форми:

(1)
(2)
(3)\[ \begin{aligned} & f=\lambda_{1} \ell_{A B} \cdot \ell_{C D}+\mu_{1} \ell_{A D} \cdot \ell_{B C}, \\ & f=\lambda_{2} \ell_{A F} \cdot \ell_{E D}+\mu_{2} \ell_{A D} \cdot \ell_{E F}, \\ & f=\lambda_{3} \ell_{B E} \cdot \ell_{C F}+\mu_{3} \ell_{B C} \cdot \ell_{E F} \cdot \end{aligned} \]

След приравняване на (1) и (2), получаваме \(\lambda_{1} \ell_{A B} \cdot \ell_{C D}-\lambda_{2} \ell_{A F} \cdot \ell_{E D}=\left(\mu_{1} \ell_{B C}-\mu_{2} \ell_{E F}\right) \cdot \ell_{A D}\). Нека \(P=A B \cap E D\). Тогава в т. \(P \ell_{A B} \cdot \ell_{C D}=0=\ell_{A F} \cdot \ell_{E D}\), но \(\ell_{A D} \neq 0\) и следователно \(\mu_{1} \ell_{B C}-\mu_{2} \ell_{E F}=0\) в т. \(P\), т. е. \(P \in\left\{\mu_{1} \ell_{B C}-\mu_{2} \ell_{E F}=0\right\}\). Аналогично се доказва, че \(R=C D \cap A F \in\left\{\mu_{1} \ell_{B C}-\mu_{2} \ell_{E F}=0\right\}\). Очевиднои \(Q=B C \cap E F \in\left\{\mu_{1} \ell_{B C}-\mu_{2} \ell_{E F}=0\right\}\). Теоремета е доказана.

Сегадасеопитамедаотидеммалкопо-нататък. Катоприравним (2) и (3), получаваме,че \(A F \cap B E, E D \cap C F, A D \cap B C \in\left\{\mu_{2} \ell_{A D}-\mu_{3} \ell_{B C}=0\right\}\). Отдругастрана,акоприравним (1) и (3), щеполучим,че \(A B \cap C F, C D \cap B E, A D \cap E F \in\left\{\mu_{1} \ell_{A D}-\mu_{3} \ell_{E F}=0\right\}\). Тогава не е трудно да се види, че правите

\[ \mu_{1} \ell_{B C}-\mu_{2} \ell_{E F}=0, \mu_{2} \ell_{A D}-\mu_{3} \ell_{B C}=0, \mu_{1} \ell_{A D}-\mu_{3} \ell_{E F}=0 \] се пресичат в обща точка. Ще дадем следната:

Дефиниция 2. Правата, която съдържа пресечните точки на двойките срещуположни страни на шестоъгълника, вписан в коничното сечение, се нарича права на Паскал.

На базата на заключенията по-горе можем да формулираме и следната

Теорема 3. (Щайнер) Нека точките \(A, B, C, D, E\) и \(F\) лежат върху конично сечение. Тогава правите на Паскал за шестоъгълниците \(A B C D E F, A D E B C F\) и \(A D C F E B\) се пресичат в една точка.

Ако вземем предвид факта, че четириъгълниците, които разгледахме по-горе, бяха \(A B C D, A F E D\) и \(B E F C\), но могат да бъдат разгледани и четириъгълниците \(A B E F, A B D F\) и \(C D E F\), то можем да формулираме и

Теорема 4. (Киркман) Правите на Паскал за шестоъгълниците \(A B F D C E\), \(A E F B D C\) и \(A B D F E C\) се пресичат в една точка.

Не е трудно да се види още, че за всеки шестоъгълник, вписан в конично сечение, има точно \(60=\cfrac{(6-1)!}{2}\) прави на Паскал, като всяка права на Паскал принадлежи на една Щайнерова тройка шестоъгълници и на три Киркманови тройки.

Теорема на Паскал – алгебрично-геометричен подход. Накрая ще дадем доказателство на теоремата на Паскал, като използваме теоремата на Безу и съвременния подход на изчислителната алгебрична геометрия.

Да си разгледаме разложимите кубични криви \(X_{1}=A B \cup C D \cup E F\) и \(X_{2}=B C \cup D E \cup A F\), представени като обединение на три прави и нека техните уравнения са съответно \(f_{1}=0\) и \(f_{2}=0\). Според теоремата на Безу тези кубични криви се пресичат в девет точки: \(A, B, C, D, E, F, P, Q\) и \(R\).

Избираме си точка \(S \in X \subset \mathbb{C} P^{2}\), която е различна от по-горе изброените. Ясно е, че съществуват числа \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\), μ∈, такива че \(\lambda f_{1}+\mu f_{2}\) се анулира в точка \(S\). Нека с \(X^{\prime}\) означим кривата в \(\mathbb{C} P^{2}\), която се описва с уравнението \(\lambda f_{1}+\mu f_{2}=0\). Следователно \(X^{\prime}\) е също кубична крива и в частност \(S \in X^{\prime}\). Нещо повече, \(X^{\prime}\) се пресича с \(X\) в седем точки \(A, B, C, D, E, F\) и \(S\), въпреки че \(\operatorname{deg} X^{\prime} \cdot \operatorname{deg} X=6\). От теоремата на Безу следва, че \(X^{\prime}\) и \(X\) трябва да имат общ компонент. Поради самите степени на кривите обаче единствената възможност за това е кубичната крива \(X^{\prime}\) също да е разложима и да съдържа в себе си коничното сечение \(X\), т. е. \(X^{\prime}=X \cup L\), където \(L\) е някаква права.

Накрая да забележим, че \(P, Q, R \in X_{1}\) и \(X_{2}\). Следователно \(P, Q, R \in X \cup L\),Q, R ∈ X ∪ L, но \(P, Q, R \notin X\) и следователно трябва да лежат на права \(L\).

Това кратко и елегантно доказателство на иначе силен и недоказващ се лесно резултат от проективната геомерия, показва силата и мащабите на методите, които притежава съвременната алгебрична геометрия.

БЕЛЕЖКИ

1. Целият процес на преминаване от комплексна равнина към комплексна проективна равнина се нарича компактификация.

2. В този случай се казва, че \(\mathbb{C} P^{5}\) е модулно пространство (moduli space) за равнинните конични сечения

ЛИТЕРАТУРА

Gathmann, A. (2003). Agberaic geometry: Lecture notes, Kaiserslautern: Lecture notes.

Katz, S. (2006). Enumerative Geometry and String Theory, Providence, RI: The American Mathematical Society.

Zhelev, Zh. (2006). From Bezout’s Theorem in Enumerative Geometry to the Geometry of Conics and Pascal’ s Theorem in Pr ojective Geometry , International Scienti fi c Conference, v. III, p. 322 – 328: Stara Zagora.

Курош, А. Г. (1971). Курс высшей алгебры, Москва: Из-во „Наука“.

Шафаревич, И. Р. (1972). Основы алгебрической геометрии, Москва: Из-во „Наука“.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.