2019/2, стр. 216 - 228

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Резюме: В статията са доказани някои екстремални свойства на една забележителна точка в изпъкнал четириъгълник.

Ключови думи: quadrilateral; notable point; extremal properties

Една от забележителните точки в триъгълника, характеризираща се с много и разнообразни свойства, е точката на Лемоан. Както е показано в (Haimov, 2011), тя има аналог в изпъкнал четириъгълник. Това е точка, наподобяваща точката на Лемоан в триъгълника както по дефиниция, така и по част от свойствата си. Към последните се причисляват и някои екстремални свойства на тази точка. Тук ще се спрем по-задълбочено на тях. Да припомним първо дефиницията на точката на Лемоан в четириъгълник.

Определение 1. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Точката в него, разстоянията от която до срещуположните страни на \(A B C D\) са пропорционални на съответните им страни, ще наричаме точка на Лемоан.

С други думи, ако дължините на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) на четириъгълника означим съoтветно с ъответно с \(a, b, c\) и \(d\), b , c и d, а разстоянията от произволна точка до тези страни – с h1, h2, h3 и страни-\(h_{1}, h_{2}, h_{3}\) и \(h_{4}\) (фиг. 1), то точката на Лемоан е онази точка от вътрешността на четириъгълника, за която са изпълнени равенствата:

(1)\[ \cfrac{h_{1}}{a}=\cfrac{h_{3}}{c}=k_{1}, \cfrac{h_{2}}{b}=\cfrac{h_{4}}{d}=k_{2}, \]

където \(k_{1}\) и \(k_{2}\) са положителни числа, характеризиращи четириъгълника. Ще ги наричаме коефициенти на Лемоан.

Определение 2. Ако в четириъгълника \(A B C D\) коефициентите на Лемоан \(k_{1}\) и \(k_{2}\) са равни, ще го наричаме Лемоанов.

Забележка 1. В Лемоанов четириъгълник за точката на Лемоан очевидно са изпълнени пропорциите:

(2)\[ \cfrac{h_{1}}{a}=\cfrac{h_{2}}{b}=\cfrac{h_{3}}{c}=\cfrac{h_{4}}{d} . \]

Ще разгледаме някои свойства на педалния четириъгълник на точката на Лемоан. За целта ще използваме въртяща хомотетия в равнината. Тя е композиция от ротация и хомотетия с общ център. Ъгълът на ротацията и коефициентът на хомотетията се наричат съответно ъгъл и коефициент на въртящата хомотетия. Преобразуванието въртяща хомотетия очевидно запазва ъглите между правите и преобразува разстоянията между точките така, както го прави хомотетията. Ще ни е необходима следната:

Лема 1. Нека \(A B C D\) е произволен изпъкнал четириъгълник и проекциите на неговата точка на Лемоан \(L\) върху страните \(A B\) и \(D C\) са съответно M и P . Точките E2, E4 и те \(E_{2}, E_{4}\) и \(E\) са средите съответно на \(B C\), \(A D\) и \(A C\), а \(k_{1}\) е коефициентът на Лемоан, отразяващ отношението на разстоянията от точката \(L\) до \(A B\) и \(D C\). Тогава \(\Delta E_{2} E E_{4}\) е образ на \(\triangle M L P\) при композицията от въртяща хомотетия с център \(L\), ъчъл \(+90^{\circ}\) и коефициент \(\cfrac{1}{2 k_{1}} u\) транслация на вектор \(\overrightarrow{L E}\).

Доказателство. По условие имаме \(L M \perp A B\) и \(E E_{2} \| A B\) (средна отсечка в \(\triangle A B C\) ). Следователно \(L M \perp E E_{2}\) (фиг. 2 2). От друга страна, \(\cfrac{L M}{A B}=k_{1}\) (споредАналогично определение се доказва, че 1) и \(A B=2 E E_{2}\), \(L P \perp E E_{4}\) порадии \(\cfrac{E E_{4}}{L P}=\cfrac{1}{2 k_{1}}\) което \(\cfrac{L M}{2 E E_{2}}=k_{1}\), . Оттук мот.е.жем да \(\cfrac{E E_{2}}{L M}=\cfrac{1}{2 k_{1}}\) заклю. чим, че при въртящата хомотетия \(h\) с център \(L\), ъгъл \(+90^{\circ}\) и коефициент \(\cfrac{1}{2 k_{1}}\) триъгълникът \(M L P\) се изобразява в триъгълник със страни, успоредни и равни на съответните страни на триъгълник \(E_{2} E E_{4}\). На свой ред, при транслация с вектор \(L E\) този триъгълник се изобразява в \(\Delta E_{2} E E_{4}\). Следователно \(\Delta E_{2} E E_{4}\) е образ на \(\triangle M L P\) при композицията от двете преобразувания.

Теорема 1. Точката на Лемоан за изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) e \(L\), проекциите на \(L\) върху \(A B, B C, C D\) и \(D A\) са съответно \(M, N, P\) и \(Q\), а средите на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) са съответно \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\). Изпълнени са релациите:

(3)\[ P M \perp E_{4} E_{2}, P M=2 k_{1} E_{4} E_{2}, Q N \perp E_{1} E_{3}, Q N=2 k_{2} E_{1} E_{3}, \]

където \(k_{1} u k_{2}\) са коефициентите на Лемоан.

Доказателство. Означаваме средата на диагонала \(A C\) с \(E\) (фиг. 2). Триъгълникът \(E_{2} E E_{4}\) е образ на триъгълника \(M L P\) при композицията от въртяща хомотетия с център \(L\), ъгъл \(+90^{\circ}\) и коефициент \(\cfrac{1}{2 k_{1}}\) и транслация с вектор \(\overrightarrow{L E}\) (съгласно лема 1). Страните \(E_{4} E_{2}\) и \(P M\) на тези триъгълници са съответни при композицията от двете преобразувания. Следователно \(E_{4} E_{2} \perp P M\) и \(E_{4} E_{2}=\cfrac{1}{2 k_{1}} P M\), т.е. \(P M=2 k_{1} E_{4} E_{2}\). Така доказахме първите две релации в (3) . Аналогично се доказват и останалите две релации.

Интересна е следващата връзка между лицето на четириъгълника \(A B C D\) и лицето на педалния четириъгълник на неговата точка на Лемоан.

Теорема 2. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и \(L\) е неговата точка на Лемоан. Ако \(S\) е лицето на четириъгълника \(A B C D\), а \(S_{1}\) е лицето на педалния четириъгълник на точката \(L\), то \(S_{1}=2 k_{1} k_{2} S\), където \(k_{1}\) и \(k_{2}\) са коефициентите на Лемоан.

Доказателство. Означаваме средите на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) съответно с \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\), E2 , E3 и E4 , а проекциите на точката \(L\) върху тези страни съответно с \(M, N, P\) и \(Q\) (фиг. 3).

Нека ъгълът между диагоналите \(P M\) и \(Q N\) на педалния четириъгълник на точката \(L\) е \(\varphi\), а ъгълът между правите \(E_{4} E_{2}\) и \(E_{1} E_{3}\) е \(\psi\). Имаме \(P M=2 k_{1} E_{4} E_{2}\) и \(Q N=2 k_{2} E_{1} E_{3}\) (съгласно теорема 1). От друга страна, по-неже \(P M \perp E_{4} E_{2}\) и \(Q N \perp E_{1} E_{3}\) (съгласно същата теорема 1), то \(\varphi=\psi\) (ъгли с перпендикулярни рамене). Като вземем предвид, че \(S_{E_{1} E_{2} E_{3} E_{4}}=\cfrac{1}{2} S\) (според известното свойство на четириъгълника – теорема на Вариньон) и заместим с горните две равенства, то за лицето на четириъгълника \(M N P Q\) получаваме: \[ S_{1}=\cfrac{1}{2} P M \cdot Q N \sin \varphi=\cfrac{1}{2} 2 k_{1} E_{4} E_{2} \cdot 2 k_{2} E_{1} E_{3} \sin \psi=4 k_{1} k_{2} \cfrac{1}{2} E_{4} E_{2} \cdot E_{1} E_{3} \sin \psi=4 k_{1} k_{2} S_{E_{1} E_{2} E_{3} E_{4}}=2 k_{1} k_{2} S . \] Забележка 2. В (Haimov, 2011) е отбелязано, че коефициентите \(k_{1}\) и \(k_{2}\) на Лемоан се определят по формулите

\[ k_{1}=\cfrac{b d(\sin A \sin D+\sin B \sin C)}{\Delta} \text { и } k_{2}=\cfrac{a c(\sin A \sin B+\sin C \sin D)}{\Delta}, \] където \(\Delta=a b \sin D+b c \sin A+c d \sin B+d a \sin C\).

Сега ще се спрем на две екстремални свойства на точката на Лемоан в Лемоанов четириъгълник. Те са аналогични на познатите екстремални свойства на точката на Лемоан в триъгълника.

Теорема 3. Нека \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е Лемоанов четириъгълник. Измежду всички точки в \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) най-малка сума от квадратите на разстоянията до страните му има точката на Лемоан \(L\).

Доказателство. Означаваме дължините на страните \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4}\) и \(A_{4} A_{1}\) на четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) съответно с \(a_{1}, a_{2}, a_{3}\) и \(a_{4}\), a2 , a3 и a4 , а разстоянията от произволна точка \(X\) в него до тези страни – съответно с \(h_{1}, h_{2}, h_{3}\) и \(h_{4}\). Четириъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) по условие е Лемоанов, следователно точката му на Лемоан \(L\) е единствената точка в него, за която е изпълнена пропорцията \(\cfrac{h_{1}}{a_{1}}=\cfrac{h_{2}}{a_{2}}=\cfrac{h_{3}}{a_{3}}=\cfrac{h_{4}}{a_{4}}\) (според забележка 1) (фиг. 4).

От известното неравенство на Коши-Буняковски-Шварц имаме:

\[ \left(\sum_{i=1}^{4} a_{i} h_{i}\right)^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{4} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{4} h_{i}^{2}\right) \] като равенство се достига точно тогава, когато \(\cfrac{h_{1}}{a_{1}}=\cfrac{h_{2}}{a_{2}}=\cfrac{h_{3}}{a_{3}}=\cfrac{h_{4}}{a_{4}}\). Но

\(\sum_{i=1}^{4} a_{i} h_{i}=2 S\), където \(S\) е лицето на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Следователно горното неравенство можем да запишем във вида:

\[ 4 S^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{4} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{4} h_{i}^{2}\right) . \]

Равенството, както споменахме, се достига само ако \(\cfrac{h_{1}}{a_{1}}=\cfrac{h_{2}}{a_{2}}=\cfrac{h_{3}}{a_{3}}=\cfrac{h_{4}}{a_{4}}\). Последното е изпълнено точно тогава, когато \(X\) съвпада с точката \(L\) (според полученото по-горе). Оттук можем да заключим, че: \(\sum_{i=1}^{4} h_{i}^{2} \geq \cfrac{4 S^{2}}{\sum_{i=1}^{4} a_{i}^{2}}\). Равенство се достига, когато \(X \equiv L\). Следователно за точката \(L\) сумата \(\sum_{i=1}^{4} h_{i}^{2}\) е минимална.

Теорема 4. Нека \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е Лемоанов четириъгълник. Измежду всички точки в \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) най-малка сума от квадратите на страните и диагоналите на педалния си четириъгълник има точката на Лемоан \(L\).

Доказателство. Нека точката \(X\) е вътрешна за \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Означаваме проекциите є върху страните \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4}\) и \(A_{4} A_{1}\) съответно с \(X_{1}, X_{2}\), \(X_{3}\) и \(X_{4}\). Проекциите на точката на Лемоан върху тези страни означаваме с \(L_{1}, L_{2}, L_{3}\) и \(L_{4}\) (фиг. 5). Точката \(L\) е център на тежестта на педалния си четириъгълник \(L_{1} L_{2} L_{3} L_{4}\) (Haimov, 2011), ето защо имаме:

(4)\[ \sum_{i=1}^{4} L L_{i}^{2}=\cfrac{1}{4} \sum_{1 \leq i \lt j \leq 4} L_{i} L_{j}^{2} . \]

(съгласно формулата за инерционния момент на центъра на тежестта). Нека \(G\) е центърът на тежестта на педалния четириъгълник \(X_{1} X_{2} X_{3} X_{4}\) на точката \(X\) и \(G_{1}, G_{2}, G_{3}\) и \(G_{4}\) са проекциите на точката \(G\) върху страните \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}\), \(A_{3} A_{4}\) и \(A_{4} A_{1}\). Съгласно същата формула имаме: \(\sum_{i=1}^{4} G X_{i}^{2}=\cfrac{1}{4} \sum_{1 \leq i \lt j \leq 4} X_{i} X_{j}^{2}\). Понеже \(G X_{i}^{2}=G G_{i}^{2}+G_{i} X_{i}^{2}\) (за всеки от правоъгълните триъгълници \(G G_{i} X_{i}\) \((i=1,2,3,4)\) ), то последното равенство можем да представим така:

(5)\[ \sum_{i=1}^{4} G G_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{4} G_{i} X_{i}^{2}=\cfrac{1}{4} \sum_{1 \leq i \lt j \leq 4} X_{i} X_{j}^{2} \]

Но измежду точките в четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) най-малка сума от квадратите на разстоянията до страните му има точката на Лемоан (съгласно теорема 3). Ето защо имаме:

(6)\[ \sum_{i=1}^{4} G G_{i}^{2} \geq \sum_{i=1}^{4} L L_{i}^{2} \]

като равенството се достига само ако \(G \equiv L\). От (5 ) и(6 ) следва неравенството:

\[ \cfrac{1}{4} \sum_{1 \leq i \lt j \leq 4} X_{i} X_{j}^{2} \geq \sum_{i=1}^{4} G G_{i}^{2} \geq \sum_{i=1}^{4} L L_{i}^{2} \]

т.е. неравенството:

(7)\[ \cfrac{1}{4} \sum_{1 \leq i \lt j \leq 4} X_{i} X_{j}^{2} \geq \sum_{i=1}^{4} L L_{i}^{2} \]

Равенството се достига само ако \(G \equiv L\) (за да имаме равенство в (6 ) ) и едновременно с това \(\sum_{i=1}^{4} G_{i} X_{i}^{2}=0\) (както следва от (5 ) ). Последното е изпълнено само при \(G_{i} \equiv X_{i}(i=1,2,3,4)\),3,4) , т.е. при \(G \equiv X\). Заедно с \(G \equiv L\) това условие води до условието: \(X \equiv L\). Предвид (4) неравенството (7 ) може да се представи така: \(\sum_{1 \leq i \lt j \leq 4} X_{i} X_{j}^{2} \geq \sum_{1 \leq i \lt j \leq 4} L_{i} L_{j}^{2}\). Равенството тук се достига само ако \(X \equiv L\). Получихме, че сумата от квадратите на страните и диагоналите на педалния четириъгълник на точката \(X\) е по-голяма или равна на сумата от квадратите на страните и диагоналите на педалния четириъгълник на точката на Лемоан \(L\). Понеже равенството се достига само ако \(X \equiv L\), то последната сума е минимална.

Сега ще се спрем на две екстремални свойства на лицето на педалния четириъгълник на точката на Лемоан. Предварително ще докажем следната

Лема 2. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник с перпендикулярни диагонали и пресечна точка на диагоналите \(T\), в който \(A T=m, B T=n, C T=p\) и \(D T=q\). Лицето \(S_{1}\) на педалния четириъгълник на точката на Лемоан се определя по формулата:

(*)\(S_{1}(q)=\cfrac{(q+n)^{3}(p+m)^{3}\left[m q\left(p^{2}+n^{2}\right)+n p\left(m^{2}+q^{2}\right)\right]\left[m n\left(p^{2}+q^{2}\right)+p q\left(m^{2}+n^{2}\right)\right]}{\left\{\left(n^{2}+p^{2}\right)\left[\left(m^{2}+n^{2}\right)(p+m) q+\left(q^{2}+p^{2}\right)(n+q) m\right]+\left(m^{2}+q^{2}\right)\left[\left(p^{2}+q^{2}\right)(m+p) n+\left(m^{2}+n^{2}\right)(n+q) p\right]\right\}^{2}}\).

Доказателство. Означаваме \(\angle C A D=\alpha_{1}, \quad \angle C A B=\alpha_{2}, \quad \angle A B D=\beta_{1}\), \(\measuredangle C B D=\beta_{2}, \measuredangle A C B=\gamma_{1}, \measuredangle A C D=\gamma_{2}, \measuredangle B D C=\delta_{1}\) и \(\measuredangle A D B=\delta_{2}\). Понеже \(A C \perp B D\), лесно получаваме следните равенства:

(8)\(\sin \alpha_{1}=\cfrac{q}{d}, \cos \alpha_{1}=\cfrac{m}{d}, \sin \beta_{1}=\cfrac{m}{a}, \cos \beta_{1}=\cfrac{n}{a}, \sin \gamma_{1}=\cfrac{n}{b}, \cos \gamma_{1}=\cfrac{p}{b}, \sin \delta_{1}=\cfrac{p}{c}, \cos \delta_{1}=\cfrac{q}{c}\),

\(\sin \alpha_{2}=\cfrac{n}{a}, \cos \alpha_{2}=\cfrac{m}{a}, \sin \beta_{2}=\cfrac{p}{b}, \cos \beta_{2}=\cfrac{n}{b}, \sin \gamma_{2}=\cfrac{q}{c}, \cos \gamma_{2}=\cfrac{p}{c}, \sin \delta_{2}=\cfrac{m}{d}, \cos \delta_{2}=\cfrac{q}{d}\).

Като използваме тези равенства, намираме:

(9)\[ \begin{aligned} & \sin A=\sin \left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)=\sin \alpha_{1} \cos \alpha_{2}+\cos \alpha_{1} \sin \alpha_{2}=\cfrac{m(q+n)}{a d} \\ & \sin B=\sin \left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)=\sin \beta_{1} \cos \beta_{2}+\cos \beta_{1} \sin \beta_{2}=\cfrac{n(m+p)}{a b} \\ & \sin C=\sin \left(\gamma_{1}+\gamma_{2}\right)=\sin \gamma_{1} \cos \gamma_{2}+\cos \gamma_{1} \sin \gamma_{2}=\cfrac{p(n+q)}{b c} \\ & \sin D=\sin \left(\delta_{1}+\delta_{2}\right)=\sin \delta_{1} \cos \delta_{2}+\cos \delta_{1} \sin \delta_{2}=\cfrac{q(p+m)}{c d} \end{aligned} \]

Означаваме лицето на четириъгълника \(A B C D\) с \(S\). Лицето \(S_{1}\) на педалния четириъгълник на точката на Лемоан се определя чрез \(S\) по формулата \(S_{1}=2 k_{1} k_{2} S\), където

(10′)\[ \begin{gathered} k_{1}=\cfrac{b d}{\Delta}(\sin A \sin D+\sin B \sin C), k_{2}=\cfrac{a c}{\Delta}(\sin A \sin B+\sin C \sin D) \\ \Delta=a b \sin D+b c \sin A+c d \sin B+d a \sin C \end{gathered} \]

(вж. теорема 2 и забележката след нея). Дължините \(a, b, c\) и \(d\) на страните на четириъгълника \(A B C D\) се определя по Питагоровата теорема, както следва (фиг. 6)

(11)\(\quad a=\sqrt{m^{2}+n^{2}}, b=\sqrt{n^{2}+p^{2}}, c=\sqrt{p^{2}+q^{2}}, d=\sqrt{q^{2}+m^{2}}\).

От (9 ) и (10 ) изразяваме първия член в \((10')\) \[ a b \sin D=q(p+m) \cfrac{\sqrt{\left(m^{2}+n^{2}\right)} \sqrt{\left(n^{2}+p^{2}\right)}}{\sqrt{\left(p^{2}+q^{2}\right)} \sqrt{\left(q^{2}+m^{2}\right)}} . \]

По същия начин намираме и останалите членове в \(\left(10^{\prime}\right)\). Така намираме

(12)\[ \begin{aligned} \Delta= & q(p+m) \cfrac{\sqrt{\left(m^{2}+n^{2}\right)} \sqrt{\left(n^{2}+p^{2}\right)}}{\sqrt{\left(p^{2}+q^{2}\right)} \sqrt{\left(q^{2}+m^{2}\right)}}+m(q+n) \cfrac{\sqrt{\left(n^{2}+p^{2}\right)} \sqrt{\left(q^{2}+p^{2}\right)}}{\sqrt{\left(m^{2}+n^{2}\right)} \sqrt{\left(m^{2}+q^{2}\right)}}+ \\ & +n(m+p) \cfrac{\sqrt{\left(p^{2}+q^{2}\right)} \sqrt{\left(m^{2}+q^{2}\right)}}{\sqrt{\left(m^{2}+n^{2}\right)} \sqrt{\left(n^{2}+p^{2}\right)}}+p(n+q) \cfrac{\sqrt{\left(m^{2}+q^{2}\right)} \sqrt{\left(m^{2}+n^{2}\right)}}{\sqrt{\left(n^{2}+p^{2}\right)} \sqrt{\left(q^{2}+p^{2}\right)}} \end{aligned} \]

От (10 ) с помощта на (9 ) и (11) получаваме

(13)\[ \begin{aligned} & k_{1}=\cfrac{\sqrt{\left(n^{2}+p^{2}\right)\left(m^{2}+q^{2}\right)}}{\Delta}\left[\cfrac{m q(q+n)(p+m)}{\left(m^{2}+q^{2}\right) \sqrt{\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(q^{2}+p^{2}\right)}}+\cfrac{n p(m+p)(n+q)}{\left(p^{2}+n^{2}\right) \sqrt{\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(q^{2}+p^{2}\right)}}\right] \\ & k_{2}=\cfrac{\sqrt{\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)}}{\Delta}\left[\cfrac{m n(q+n)(p+m)}{\left(m^{2}+n^{2}\right) \sqrt{\left(q^{2}+m^{2}\right)\left(p^{2}+n^{2}\right)}}+\cfrac{p q(n+q)(p+m)}{\left(p^{2}+q^{2}\right) \sqrt{\left(n^{2}+p^{2}\right)\left(m^{2}+q^{2}\right)}}\right] . \end{aligned} \]

От друга страна, за лицето \(S_{1}\) на педалния четириъгълник на точката на Лемоан, изразена чрез лицето \(S\) на четириъгълника \(A B C D\) от по-горе, имаме \(S_{1}=2 k_{1} k_{2} S=k_{1} k_{2} A C . B D=k_{1} k_{2}(m+p)(n+q)\) ( (фиг. 6). От това равенство, като използваме (13) и (12 ) , непосредствено получаваме доказвания израз за \(S_{1}(q)\). С това лемата е доказана.

Теорема 5. Нека \(N\) е множеството от всички изпъкнали четириъгълници \(A B C D\) с перпендикулярни диагонали и пресечна точка на диагоналите \(T\), в които разстоянията \(A T, B T\) и \(C T\) са равни на \(k\), а разстоянието \(D T\) e произволно. Лицето \(S_{1}\) на педалните четириъгълници на точките на Лемоан на четириъгълниците от множеството \(N\) е максимално за четириъгълника, в който \(D T=(\sqrt{13}-2) k\).

Доказателство. Означаваме \(D T=q\) и лицето на педалния четириъгълник на точката на Лемоан на променливия четириъгълник от множеството \(N\) с \(S_{1}(q)\). С помощта на равенство \((*)\) от лемата определяме \(S_{1}(q)=\cfrac{2 k^{3}(q+k)^{3}}{\left(q^{2}+3 k^{2}\right)^{2}}\). Намираме производната на функцията \(S_{1}(q)\) : \(S_{1}^{\prime}(q)=\cfrac{2 k^{3}(q+k)^{2}}{\left(q^{2}+3 k^{2}\right)^{3}}[k(\sqrt{13}-2)-q][k(\sqrt{13}+2)+q]\).

Понеже \(S_{1}^{\prime}(q) \gt 0\) при \(0 \lt q \lt k(\sqrt{13}-2)\) и \(S_{1}^{\prime}(q) \lt 0\) при \(q \gt k(\sqrt{13}-2)\), то функцията \(S_{1}(q)\) е растяща в интервала \((0, k(\sqrt{13}-2))\) и намаляваща в интервала \((k(\sqrt{13}-2),+\infty)\). Следователно тя достига максимум в интервала \((0,+\infty)\) при \(q=k(\sqrt{13}-2)\) ( (тъй като \(S_{1}(q)\) е непрекъсната в интервала \((0,+\infty))\). Така доказахме, че лицето \(S_{1}(q)\) на педалните четириъгълници на точките на Лемоан на четириъгълниците от множеството \(N\) е максимално за четириъгълника, в който \(D T=(\sqrt{13}-2) k\).

Ще разгледаме още едно екстремално свойство на лицето на педалния четириъгълник на точката на Лемоан.

Теорема 6. Нека \(P\) е множеството от всички изпъкнали четириъгълници с перпендикулярни диагонали, които имат дължина \(2 k\) и единият диагонал разполовява другия. Лицето на педалните четириъгълници на точките на Лемоан на четириъгълниците от множеството \(P\) достига максимална стойност при квадрат с дължина на страната \(k \sqrt{2}\).

Доказателство. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник от множеството \(P\) и \(T\) е пресечната точка на диагоналите му (фиг. 6). Без ограничение можем да считаме, че диагоналът \(B D\) разполовява диагонала \(A C\), т.е., че \(A T=C T=k\). Също без ограничение можем да предполагаме, че \(D T \leq B T\), т.е., че \(D T \leq \cfrac{1}{2} B D=k\). Означаваме \(D T=q\), тогава \(0 \lt q \leq k\). Имаме очевидно \(B T=2 k-q\). В означенията на лема 2 за четириъгълника \(A B C D\) е изпълнено \(m=p=k, n=2 k-q\) (фиг. 4). Тогава според равенство (*) за лицето \(S_{1}(q)\) на педалния четириъгълник на точката на Лемоан на променливия четириъгълник \(A B C D\) от множеството \(P\) получаваме:

\(S_{1}(q)=\cfrac{(2 k)^{3}(2 k)^{3}\left[k q\left(5 k^{2}-4 k q+q^{2}\right)+k(2 k-q)\left(k^{2}+q^{2}\right)\right]\left[k(2 k-q)\left(k^{2}+q^{2}\right)+k q\left(5 k^{2}-4 k q+q^{2}\right)\right]}{\left\{\left(5 k^{2}-4 k q+q^{2}\right)\left[\left(5 k^{2}-4 k q+q^{2}\right) 2 k q+\left(k^{2}+q^{2}\right) 2 k k\right]+\left(k^{2}+q^{2}\right)\left[\left(k^{2}+q^{2}\right)(2 k-q) 2 k+\left(5 k^{2}-4 k q+q^{2}\right) 2 k k\right]\right\}^{2}}\). След преобразуване намираме \(S_{1}(q)=\cfrac{4 k^{6}}{\left(q^{2}-2 k q+3 k^{2}\right)^{2}}\). За да докажем, че лицето \(S_{1}(q)\) на педалния четириъгълник на точката на Лемоан на променливия четириъгълник \(A B C D\) от множеството \(P\) достига максимална стойност в четириъгълник, който е квадрат с дължина на страната \(k \sqrt{2}\), е достатъчно да докажем, че функцията \(S_{1}(q)\) достига максимум в интервала \((0, k]\) при \(q=k\), защото тогава за въпросния четириъгълник ще имаме \(D T=k\), \(B T=n=2 k-k=k, A T=C T=k\) и \(A C \perp B D\), откъдето следва, че той ще е именно квадрат с дължина на страната \(k \sqrt{2}\). Намираме производната на функцията \(S_{1}(q)\) :

\[ S_{1}^{\prime}(q)=\cfrac{16 k^{6}(k-q)}{\left(q^{2}-2 k q+3 k^{2}\right)^{3}} \]

За знаменателя имаме \(\left(q^{2}-2 k q+3 k^{2}\right)^{3}=\left[(q-k)^{2}+2 k^{2}\right]^{3} \gt 0\), откъдето следва, че \(S_{1}^{\prime}(q) \gt 0\) при \(q \in(0, k)\). Тогава функцията \(S_{1}(q)\) е растяща в интервала (\(0, k\) ) и понеже е непрекъсната в интервала (\(0, k\) ] , тя достига максимум именно при \(q=k\). Така се убедихме, че лицето на педалните четириъгълници на точките на Лемоан на четириъгълниците от множеството \(P\) достига максимална стойност при квадрат с дължина на страната \(k \sqrt{2}\).

Накрая ще разгледаме едно екстремално свойство на точката на Лемоан, свързано с разстоянията є до страните на четириъгълника.

Теорема 7. Нека \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е изпъкнал четириъгълник с дължини на страните \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4} \cup A_{4} A_{1}\) съответно \(a_{1}, a_{2}, a_{3} u a_{4}\). Нека разстоянията от произволна точка \(X\) от вътрешността на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) до страните \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4} \cup A_{4} A_{1}\) са съответно \(h_{1}, h_{2}, h_{3} \cup h_{4}\). Изразът \(a_{1} \sqrt{\cfrac{h_{3}}{h_{1}}}+a_{2} \sqrt{\cfrac{h_{4}}{h_{2}}}+a_{3} \sqrt{\cfrac{h_{1}}{h_{3}}}+a_{4} \sqrt{\cfrac{h_{2}}{h_{4}}}\) достига минимална стойност, равна на \(2\left(\sqrt{a_{1} a_{3}}+\sqrt{a_{2} a_{4}}\right)\), при условие че точката \(X\) съвпада с точката на Лемоан \(L\).

Доказателство. Измежду всички точки от вътрешността на четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) за точката на Лемоан и само за нея са изпълнени едновременно равенствата \(\cfrac{h_{1}}{a_{1}}=\cfrac{h_{3}}{a_{3}}\) и \(\cfrac{h_{2}}{a_{2}}=\cfrac{h_{4}}{a_{4}}\) (вж. определение 1) (фиг. 4). От друга страна, от неравенството между средното аритметично и средното геометрично следва, че за произволна точка \(X\) от вътрешността на четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) са изпълнени едновременно неравенствата: \(\cfrac{h_{1}}{a_{1}}+\cfrac{h_{3}}{a_{3}} \geq 2 \sqrt{\cfrac{h_{1}}{a_{1}} \cdot \cfrac{h_{3}}{a_{3}}}\) и \(\cfrac{h_{2}}{a_{2}}+\cfrac{h_{4}}{a_{4}} \geq 2 \sqrt{\cfrac{h_{2}}{a_{2}} \cdot \cfrac{h_{4}}{a_{4}}}\). Равенствата са изпълнени едновременно при условие, че \(\cfrac{h_{1}}{a_{1}}=\cfrac{h_{3}}{a_{3}}\) и \(\cfrac{h_{2}}{a_{2}}=\cfrac{h_{4}}{a_{4}}\). Лесно се доказва, че горните неравенства са еквивалентни съответно с неравенствата: \(a_{3} \sqrt{\cfrac{h_{1}}{h_{3}}}+a_{1} \sqrt{\cfrac{h_{3}}{h_{1}}} \geq 2 \sqrt{a_{1} a_{3}}\) и \(a_{2} \sqrt{\cfrac{h_{4}}{h_{2}}}+a_{4} \sqrt{\cfrac{h_{2}}{h_{4}}} \geq 2 \sqrt{a_{2} a_{4}}\), като равенствата са изпълнени едновременно при същото условие. Оттук чрез почленно събиране получаваме, че за произволна точка \(X\) в четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е изпълнено неравенството:

\[ a_{1} \sqrt{\cfrac{h_{3}}{h_{1}}}+a_{2} \sqrt{\cfrac{h_{4}}{h_{2}}}+a_{3} \sqrt{\cfrac{h_{1}}{h_{3}}}+a_{4} \sqrt{\cfrac{h_{2}}{h_{4}}} \geq 2\left(\sqrt{a_{1} a_{3}}+\sqrt{a_{2} a_{4}}\right) \] като равенство се достига при условието \(\cfrac{h_{1}}{a_{1}}=\cfrac{h_{3}}{a_{3}}\) и \(\cfrac{h_{2}}{a_{2}}=\cfrac{h_{4}}{a_{4}}\). От направените по-горе разсъждения следва, че това условие ще е изпълнено, ако и само ако \(X \equiv L\). Така получаваме, че изразът \(a_{1} \sqrt{\cfrac{h_{3}}{h_{1}}}+a_{2} \sqrt{\cfrac{h_{4}}{h_{2}}}+a_{3} \sqrt{\cfrac{h_{1}}{h_{3}}}+a_{4} \sqrt{\cfrac{h_{2}}{h_{4}}}\) достига минимална стойност, равна на \(2\left(\sqrt{a_{1} a_{3}}+\sqrt{a_{2} a_{4}}\right)\) при \(X \equiv L\).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Haimov, H. (2011). Lemoine point, Mathematics, 6, 4-13 [Хаимов, Х. (2011). Точка на Лемоан, Математика, 6, 4 – 13.]

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral, Mathematics Plus, 2, \(28-51\) [Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника, Математика плюс, 2, 28 – 51.]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2016). The pseudocenter and the orthocenter – notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 6, 614 – 525. [Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов (2016). Псевдоцентър и ортоцентър – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6, 614 – 625.]

Nenkov, V. S. Stefanov & H. Haimov (2017). Geometry of quadrilateral, Miquel point, Inverse isogonality, Mathematics and Informatics, 1, \(81-93\). [Ненков, В., С. Стефанов \& Х. Хаимов. (2017). Геометрия на четириъгълника, точка на Микел, инверсна изогоналност, Математика и информатика, 1, 81 – 93.]

Nenkov, V., S. Stefanov (2018). Extremal properties of two notable points in a convex quadrilateral, Year Book of Shumen University, Shumen, 27 – 36, ISSN 1311-834X [Ненков, В. С. Стефанов (2018). Екстремални свойства на две забележителни точки в изпъкнал четириъгълник, Годишник на Шуменския университет, Шумен, 27 – 36, ISSN 1311-834X]

Stefanov, S. (2017). Second pseudo centerofquadrilateral, MathematicsandInformatics, 3, 261 – 270. [Стефанов, С. (2017). Втори псевдоцентър на четириъгълника, Математика и информатика, 3, 252 – 261.]

Sergeeva, T., M. Shabanova & S. Grozdev (2014). Foundation of dynamic geometry. Moscow: ASOU. [Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE.

Georgieva, M. & S. Grozdev (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4^{\text {th }}\) ed.). Sofia: Publ. House “Iztok-Zapad” (ISBN 987-619-152-869-1), 327 pages. [Георгиева, М. С. Гроздев. (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.). София: Изток – Запад. (ISBN 987-619-152-869-1), 327 стр.]

Karaibryamov, S., B. Tsareva & B. Zlatanov (2013). Optimization of the Courses in Geometry by the Usage of Dynamic Geometry Software Sam, The Electronic Journal of Mathematics and Technology, Volume 7, Number 1, 22-51, ISSN 1933-2823.

Zlatanov, B. (2013). Some Properties of Reflection of Quadrangle about Point, Annals. Computer Science Series, 11, (1), 79 – 91.

Zlatanov, B. (2014). An Etude on one Sharygin’s Problem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 3, (2), 50 – 61.