Математика и Информатика

2015/5, стр. 497 - 512

СТАНДАРТИ И СПЕЦИФИКАЦИИ В ОБЛАСТТА НА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Резюме: Голямото разнообразие от стандарти и спецификации, които се разра-ботват от много на брой организации и консорциуми, покриват различни аспекти на процеса на обучение. Настоящата статия е опит за анализ и интерпретация на литературни източници в областта на образователните технологии за стандарти и спецификации за качествени курсове за елекронно обучение.

Ключови думи: e-learning standards, e-learning specifications, ISO

Въведение

Съществува голямо разнообразие от стандарти и спецификации, които се разработват от много на брой организации и консорциуми. Те покриват различни аспекти на процеса на обучение. Стандартите могат да бъдат определени като „документирани съглашения, съдържащи технически спецификации или други ясни и точни критерии, предназначени да задават правила, указания или дефиниции на различни характеристики, както и да гарантират, че материали, продукти, процеси или услуги напълно отговарят на своето предназначение“ (Murphy & Yates, 2009). В контекста на технологиите за електронно обучение стандартите обикновено са разработени, за да се използват в системи за проектиране и изпълнение на целите за осигуряване на оперативна съвместимост, преносимост и повторна употреба. Тези качества трябва да се прилагат както към самите системи, така и към съдържанието и метаданните, които управляват (Николов, 2009). Стандартите за електронно обучение трябва да гарантират съвместимост между различни технологични продукти или техни компоненти, възможност за свободен обмен и многократно използване на учебни материали, както и да гарантират равен достъп до учебните програми и ресурси.

В доклад на CREPUQ (консорциум от няколко университета в Квебек, който инициира и извършва изследвания в областта на електронното обучение по отношение на нормиране и стандартизация) „Стандартизация и нормиране на електронното обучение: състояние и проблеми“, издаден през септември 2002 г., се подчертават пет основни предизвикателства за електронно учебно съдържание:

1. достъпност – позволява изследвания, идентификация, достъп и доставка на съдържание по разпределен начин;

2. оперативна съвместимост – свързана е с използването на съдържание и компоненти, които са разработени за конкретна платформа, но могат да се използват от други организации, използващи различни платформи;

3. многократно използване – възможност за повторна употреба на съдържание и компоненти за различни средства и контексти и чрез различни начини за достъп до тях;

4. дълготрайност – позволява да се правят технологични промени, без да се налага реинженеринг или реконструкция на съдържанието и/или компонентите;

5. адаптивност – позволява широко приложение на съдържанието и компоненти (CREPUQ, 2002).

Настоящата статия е опит за анализ и интерпретация на литературни източници в областта на образователните технологии за стандарти и спецификации за качествени курсове за електронно обучение.

Съществуващите стандарти и спецификации за електронно обучение биха могли да бъдат групирани по следния начин:

1. за електронно учебно съдържание – свързани с разработването и използването на електронни учебни материали как да се проследява процесът на обучение, включително и свързани с тестване, контрол и оценяване на знания;

2. за описание на основните учебни дейности – задаване на учебни дейности и роли, разпределение на предвидените учебни активности във времето;

3. свързани с обработване на информация за обучаемите: каква информация да се съхранява за обучаемите; как да се описват знанията и уменията; как да се гарантира защита на личните данни;

4. за интеракции: как да си взаимодействат отделните подсистеми; как да си взаимодействат с други външни системи.

Една от основните цели на норми и стандарти в областта на електронното обучение е да се създаде обща методология (позволяваща кодиране, монтаж, етикетиране) чрез разработване и използване на метаданни (данни, които описват други данни), така че съдържанието да може да бъде индексирано и съхранявано. Meтаданните биха могли да се сравнят с „дигитализиран обяснителен файл“, който характеризира не само ресурса (вид, структура, използване), но също така и атрибути като заглавие, размер, предмет и т.н.

Много изследователски лаборатории и центрове провеждат експерименти с метаданни както по отношение на съдържание, така и на технически стандарти с цел:

1. нормиране на начина, по който да се опише профилът на обучаваните;

2. диверсифициране на различните образователни ресурси;

3. откриване и приложение на нови елементи за оценка (видове въпроси, формати на изпит и др.);

4. последващи действия и запис на резултатите на учащите се;

5. избор на медии или вид на използвания формат.

Концептуалният метамодел IMS LD

В литературата (Николов, 2009; Георгиева & Георгиев, 2010 и др.) като най-мащабен и най-пълен проект в областта на електронното обучение са спецификациите на IMS. IMS е консорциум, който обединява образователни, комерсиални и държавни организации с цел разработване на спецификации в областта на е-обучението, които обхващат всички негови аспекти.

Спецификациите са с единен алгоритъм и всяка от тях включва:

1. информационен модел (описание на основните информационни обекти и техните взаимоотношения);

2. примерно описание на информационния модел с помощта на универсалния език XML;

3. ръководство за прилагане на спецификацията.

Освен гореизброеното са налични и допълнителни ресурси, които включват примерни приложения, най-често задавани въпроси и други.

IMS LD предлага следните три нива на изпълнение (таблица 1):

Таблица 1. Нива на изпъление на IMS LD

Нива наизпълнение(IMS LD)ОписаниеНиво АСтоивосноватана проектиранетонапреподаванетопосредствомроли,дейностииресурсиисинхронизиранетоимчрезелементите:метод,изпълнение идействие. Дейностите наобучение се подреждатвъввре-мето,задасеизвършватповременаобучението,чрезизползваненаобекти и/илиуслуги на обучение.Ниво BДобавякъмнивоAсвойства,условия,услугииелементи,действа-щизаедно.Осигуряваспецифичнисредствазасъздаваненасложниструктурииобучаващидейности.Могатдабъдатизползваникатоглобалниили локалнипроменливи,съдържащи информация заотде-ленпотребител,загрупаилизавсичкипотребители.Спомощтанатези механизмипроцесътна обучениеможедабъде променен повре-ме на самото изпълнение на дадена част от учебния материал.Ниво CДобавяописаниякъмнивоB.Дававъзможностдасезапочнедругадейност и позволява да се създават динамични и гъвкави сценарии.

IMS LD предлага концептуален метамодел, описващ обучението посредством дефиниране на връзки между целите, разглеждани в термините на знания или умения, участниците в обучението, провежданите дейности и средата и съдържанието, необходимо за обучението1).

IEEE LOM – основен стандарт в областта на метаданните за обекти

Стандартът IEEE LOM определя минималния набор от атрибути на учебните обекти, необходими за описание на техните характеристики, дефинира множество от метаданни, използвани за описание на учебни ресурси, стандартизирани са имената на елементите, дефинициите, типът на данните и дължината на полетата. Описано е как трябва да се организират документите с метаданни и как трябва да ги третират използващите ги приложения. Концептуалният модел на IEEE за дефиниция на метаданни е йерархично построен. В основата на йерархията се намира един основен елемент. Той съдържа много вложени елементи. Ако някой от вложените елементи също има вложени, то той се нарича „клон“. Крайните елементи, които нямат поделементи, се наричат „листа“. По този начин йерархичната структура се представя дървовидно.

LOM (Learning Object Metadata) се определя като основен стандарт в областта на метаданните за обекти, използвани в обучението (Костадинова et al, 2011). Стандартът IEEE LOM 1484.12.1-2002 (Learning Object Metadata, 2002) се базира на спецификации, създадени от стандартизиращи организации като IMS, ADL, ARIADNE и DCMI. Той е одобрен през 2002 година в резултат на дейността на работната група LTSC (Learning Technology Standards Committee). Описва много подробна диаграма на метаданните, като включва елементи в девет категории:

1. обща част (General), включваща общата информация за учебния обект като цяло;

2. жизнен цикъл (Life cycle) – осигурява групиране на информация за историята и текущото състояние на учебния обект и елементите с отношение към еволюцията на обекта;

3. метаметаданни (Meta – metadata) с информация за метаданните на учебния обект (като не се използва за описание на самия учебен обект);

4. технически (Technical) – групира информация за техническите изисквания и характеристики на учебния обект;

5. образователни (Educational) – включва информация за ключовите образователни и педагогически характеристики на учебния обект;

6. права (интелектуална собственост) (Rights) – обхваща информация за интелектуалната собственост и условията за ползване на учебния обект;

7. връзки (Relation) – групира информация за връзки и отношения между учебния обект и други учебни обекти;

8. анотация (Annotation) – коментари за използването на учебния обект, за субекта и кога са направени тези коментари. Именно тази категория позволява преподавателите да могат да обменят информация за оценки на учебния обект, както и да споделят практики;

9. класификатор (Classification) – съдържа информация за тематично класифициране на учебния обект според определена класификационна система2).

Учебният обект може да бъде текстово или мултимедийно учебно съдържание, обучаващ или симулационен софтуер и др. (Тупаров & Дурева, 2008).

Структурният модел на LOM съдържа части (биография, курс и урок) и четири ресурсни нива. LOM е разширен с включването на 15 области, които представляват Dublin Core модел на общи метаданни, прилагани за всички видове цифрови документи.

IEEE LOM е стандартизиран като IEEE Std. 1484.12.1 – 2002, IEEE Standard for Learning Object Metadata и се явява основа за множество други спецификации (Тупаров et al., 2011).

Стандарти за учебно съдържание

По отношение на учебното съдържание център е спецификацията за пакетиране на учебното съдържание. Фокусът в тази спецификация пада в дефинирането на обмен на данни между системи, които имат за цел да съхраняват, възстановяват, агрегират и деагрегират пакети, които са изготвени по стандарта за пакетиране на IMS3). Основната характеристика е пакетирането на учебно съдържание. Тази спецификация поддържа идентифицирането на ресурси за конкретни учебни дейности и описва как тези ресурси да се организират за постигане на най-добър ефект за обучение. Като основно ядро на тази спецификация са стандартите SCORM® v1.2 и SCORM® (ADL, 2004)4).

Спецификацията е описана посредством информационен модел, чиято основна цел е да опише абстрактните обекти, както и поведението на програмните компоненти, които работят със свързаните обекти от този модел. За описване на модела се използва XML схема, където основната тежест пада върху XML документа, наречен манифест, който описва цялата логическа структура на пакета, използвал този стандарт.

Моделът на данни на манифест файла е конструиран така, че да бъде гъвкав и разширяем – двата основни принципа на оперативната съвместимост (Петров, 2009). Гъвкавостта на този модел се постига чрез цялата структура, описваща се чрез манифест файл. Всичките учебни ресурси имат еднакъв резултат от обменените данни и информация главно за обучаемите и техните учебни активности, но без да бъдат ограничавани. Разширяемостта се постига посредством XML схемата, която описва стандарта, като позволява елементи от други модели на данни в различни области да бъдат декларирани на различни места в манифеста.

Три главни секции обхващат модела на спецификацията IMS за пакетиране на съдържание.

1. Манифест – най-главният елемент, който декларира отделния екземпляр на пакетираното съдържание.

2. Организации – дъщерен елемент на манифеста, където различни изгледи от организирането на използваните данни и информации се съдържат в пакета и се описват.

3. Ресурси – дъщерен елемент на манифеста, където се съдържат всички ресурсни файлове, съответно декларирани.

SCORM (Shareable Courseware Object Reference Model) е съвкупност от стандарти и спецификации от различни източници, приспособени така, че да предоставят пълен набор от възможности в сферата на електронното обучение и които позволяват дос- тъпа, съгласуването и многократното използване на уеббазирано учебно съдържание (Ostyn, 2005). Тя определя протокола за комуникация между потребителската система, която показва съдържанието, и хост-системата, изпълняваща и управляваща учебния процес. SCORM дефинира също и как съдържанието се пакетира в преносим ZIP файл. SCORM е спецификация на ADL (Advanced Distributed Learning) инициативата, която е създадена от Министерството на отбраната на САЩ.

SCORM е популярна и широко разпространена. Комбинира елементи на спецификациите на IЕЕЕ, АIСС и IMS в обобщен документ.

ADL SCORM. Целта на дефинирането на SCORM спецификацията е създаването на модел за обмен на съдържание за обучение и възможност за многократното му използване под формата на учебни обекти (Learning objects), обединени в обща структура. Т.е. моделът SCORM разделя съдържанието на учебни единици, наречени споделени учебни обекти (Shareable Content Objects, SCO), като всеки учебен обект е самостоятелен и може да бъде многократно употребяван в различни курсове за обучение. Идеалният модел SCORM предполага наличието на всякакви учебни обекти, от които може да се сглоби произволна обучаваща пътека и които са обединени в база от данни.

SCORM 2004 въвежда идея за последователност, представляваща набор от правила и определящи реда, по-който учащият ще получава обектите с учебно съдържание. SCORM 2004 е базиран на нови стандарти за API и комуникация между съдържанието от тип обект – изпълнение. Позволява да се определи последователно изпълнение на дейностите, които използват обекти от съдържанието. Реализира възможността да се споделя и използва информация за статуса на различни учебни цели и компетенции за един обучаем в една система за управление на обучението.

SCORM CAM (SCORM Content Aggregation Model) представя педагогически неутрални средства за обединяване на учебни ресурси с цел придобиване и усвояване на желани знания. Учебен ресурс е всяко представяне на информация, която се използва за придобиването на знания. Самото придобиване на знания се състои от дейности, които са подкрепени от електронни или неелектронни учебни ресурси. Процесът на създаване и предоставяне на учебни материали включва създаването, откриването и свързването на прости и малки електронни части (активи) в по-сложни учебни ресурси и след това организиране на тези ресурси в определена последователност (Орозова, 2014).

SCORM CAM се състои от: Content Model (номенклатура, определяща компонентите в съдържанието на дадено обучение); Content Packaging (определя как да се представи поведенчески дадено обучение и как да се обединят отделните учебни ресурси, така че да позволява приспособяване между различни среди); Metadata (механизъм за описание на специфични инстанции на компонентите от модела на съдържанието); Sequencing and Navigation (модел, базиран на правила, описващи последователността и подредбата на дейностите).

Моделът, който определя по какъв начин по-малките учебни ресурси се обединяват в по-големи единици, е SCORM Content5). Той описва елементите, използвани при изграждането на учебно съдържание от учебни ресурси. Състои се от:

1. асет (Asset) е основната единица на учебния ресурс. Асетът сам по себе си е електронно представяне на данни: текст, изображения, звук, обекти за оценяване, както и всякакви други данни, които могат да бъдат предоставени на обучаваните. Няколко асета могат да бъдат събрани и да образуват друг асет. Асетите могат да бъдат описани с метаданни, което позволява търсене и откриване в хранилищата и възможност за многократна употреба и поддръжка;

2. Sharable Content Object (SCO) е група асети, която представя единен учебен ресурс. SCO са сравнително малки единици, които позволяват многократно използване и могат да бъдат описани с метаданни. Една учебна дейност може да обединява повече от едно SCO и по този начин да се формират единици от по-високо ниво. Следователно SCO е най-ниското ниво на представяне на учебния ресурс и може да комуникира със системата за управление на обучението.

3. дейности (Activities) – определена дейност, като единица от инструкции, може да осигурява учебен ресурс (SCO или асет), както и да се състои от няколко поддейности;

4. организация на съдържанието (Content Organization) – задава представянето на съдържанието в структурирани единици, което показва как дейностите са свързани помежду си;

5. обобщение на съдържанието (Content Aggregation) може да се използва като действие или процес по изграждане на набор от функционалнозависими обекти, така че този набор да може да бъде приложен в дадена учебна дейност.

Целта на SCORM пакетите е да предоставят стандартизиран начин за обмяна на учебно съдържание между различни системи или инструменти. IMS Content Packaging спецификацията осигурява единен формат, който всяка система може да поддържа. Тя предполага създаването на многократно използваеми обекти и тяхната реорганизация и използването им в различни SCORM системи за управление на обучението5).

IMS QTI – стандарт за оценяване на обучаемите

Спецификацията за оперативна съвместимост на въпроси и тестове (IMS Question and Test Interoperability) е стандарт за оценяване (IMS QTI, 2000). Тя е водещият стандарт за обмен и съвместимост на оценявания (Sclater & Low, 2002). Описва модела на данни за представянето на въпроси и тестове и техните резултати, за да дава възможност за обмен на тези обекти. Същността на проблема е в обмена между различните източници като авторски инструменти, банки с въпроси, системи за обучение и тестови системи (Smythe et al, 2002).

Основните цели на спецификацията са следните:

1. да се представи добре форматиран документ за съхраняване на въпроси, независими от авторските инструменти, които ги задават;

2. поддръжка на разработката на банка с въпроси и тестове от голямото разнообразие на учебни и изпитващи системи;

3. да се представи добре форматиран документ за съхраняване и обмен на тестове, независими от средите, които ги създават;

4. да се представи система за отчитане на резултатите в еднакъв формат.

Основна цел на тази спецификация е да даде възможност да бъдат обменяни въпроси, още наричани елементи и тестове (оценявания в системи за управление на обучението). QTI спецификацията описва въпросите и тестовете, като предоставя добре документиран формат за съхраняване на елементи независимо от средствата, с които те са били създадени, поддържа използването на елементи и хранилища от елементи от множество системи за обучение и оценяване, както и дава възможност на различните системи да представят резултатите по един съвместим начин.

Някои от основните характеристики на информационния модел, зададен чрез QTI спецификацията, показват, че той притежава някои съществени недостатъци, за да отговори напълно на изискванията за оперативна съвместимост между системите (Петров, 2009). QTI спецификацията е ограничена само върху типовете оценяване, за които може да бъде дадена недвусмислена дефиниция в технически термини. Примери за такива оценявания са: тестови въпроси с избор на отговор от няколко възможни; отворени въпроси; избор на съответстващ елемент. Простата структура на тези елементи им позволява да бъдат съхранявани в хранилища от елементи и да бъдат разпространявани в цифров формат. Така създателите на тестове от дадена образователна програма могат да използват вече създадени елементи (например с избор от няколко възможности) от техни колеги. Например елемент, който представя някакво знание, разработен от преподавател в дадена учебна програма в даден университет, би могъл да е подходящ за програмата на друг преподавател от друг университет. Създателите на тестове, които искат да използват такива елементи, трябва да се уверят, че те са подходящи, като вземат предвид учебните цели, които са зададени, техния формат и начин на изразяване. Когато се използва спецификация като QTI, за да се кодират елементите, те могат да бъдат разпространявани на различни платформи и да бъдат представени на учащите в различни формати (Петров, 2009).

Оказва се, че осъществяването на цялата QTI спецификация е трудно. Повечето от системите които претендират, че поддържат стандарта IMS QTI, всъщност поддържат много малка част от него. Освен това новите изменения в стандарта, въпреки че правят някои съществени подобрения, не предоставят никакви решения за някои нови, т.нар нетрадиционни (или още неформални) методи за оценяване, като оценка на портфолиото (Cambridge et al, 2005), оценяване от колеги и оценяване на принципа на 360-градусова обратна връзка (Miao et al, 2007; Schoonenboom et al, 2008).

ISO DIS 9241-11 Part 11: Guidance on Usability – стандарт за оценяване на обучението

ISO DIS 9241-11 Part 11: Guidance on Usability е свързан с оценяване доколко успешна е една реализирана система за електронно обучение. Като основен параметър се прилага „ползваемост“ (usability). Ползваемостта поставя в центъра потребителите и техните нужди. Ето защо изследването на ползваемостта е много важно, особено при системите за електронно обучение.

Основните параметри на ползваемостта са дефинирани в стандарта ISO DIS 9241-11 Part 11: Guidance on Usability. Те са следните:

– ефективност – обучаемият интерпретира функцията на интерфейса за обучение правилно и този интерфейс работи според очакванията на потребителя;

– работоспособност – обучаемият среща минимални пречки при правилното интерпретиране на функцията на интерфейса; обучаемият среща минимални пречки при използване на елементите на интерфейса;

– удовлетвореност – потребителят не се притеснява да работи със средата6).

IMS Abstract Framework (Абстрактната рамка за изграждане на системи за електронно обучение, съвместими с IMS спецификациите) – част от групата на стандарти за взаимодействие на системи

Абстрактната рамка за изграждане на системи за електронно обучение, съвместими с IMS спецификациите (IMS Abstract Framework), няма за цел да дефинира IMS архитектурата, а по-скоро да опише множеството от интерфейси, за които IMS може да изведе или да не изведе спецификация за оперативна съвместимост (Smythe, 2003). Тя може да бъде отнесена към групата на стандарти за взаимодействие на системи. Най-важните черти на тази рамка са:

1. Абстрактно представяне на услугите и техните интерфейси за конструиране на системите за електронно обучение.

2. Фокусиране върху поддръжката на разпределени системи за електронно обучение.

Логическата архитектура се базира на следните абстрактни нива:

1. Потребители – множество от потребители, които поддържат системата. Потребителите осъществяват достъп до системата чрез подходящ „потребителски агент“.

2. Потребителски агенти – агентите, които доставят услугите до потребителите.

3. Инструменти – инструментите, които позволяват различните услуги да бъдат достъпни от потребителите. Това включва например тестове, ръководства, симулация и т.н.

4. Образователни услуги (Learning/education services).

5. Услуги за поддръжка – това са общовалидни услуги, които важат за всякакъв вид системи и не са конкретно свързани със системите за електронно обучение. Такива услуги например са услугите за автентификация и оторизация.

6. Цифрови хранилища.

7. Инфраструктура за комуникация – основните мрежови и транспортни услуги за доставка на информация от точка до точка (IMS, 2003).

Референтната архитектура на система за електронно обучение IEEE P1484/D9 (2001) се състои от пет слоя. От тях само третият е задължителен. Тя е приложима за широка област от обучаващи системи. Слоевете, включени в архитектурата, са:

1. Взаимодействия между обучаващия се и заобикалящата го среда – описва постиженията и придобивките на обучаващия се при използването на тази система.

2. Влияние на обучаващия се върху дизайна на системата – описва ефекта, който упражняват потребителите върху системата чрез своите изисквания и предпочитания.

3. Основни компоненти – описва абстрактно основните участници и взаимодействията между тях чрез ресурси, процеси и обмен на данни между тях.

4. Приоритети при реализацията – описва системата от гледните точки на отделните компоненти, участващи в третия слой.

5. Реализация и съвместимост – описва конкретни подробности от реализацията като формати, протоколи, кодирания и други.

Стандартът ISO/IEC в отговор на нуждите на учащите се в контекста на специални образователни потребности

ISO/IEC e международен стандарт за електронно обучение, който е свързан с улесняване на съответствието на индивидуалните потребности на потребителите и предпочитанията към подходящите образователни ресурси (ISO/IEC 24751:2008).

Стандартът ISO/IEC 24751:2008, Информационни технологии – индивидуализирани адаптивност и достъпност в електронното учене, образование и обучение е в три части. Той предлага рамка и модел, критерии за персонални нужди и предпочитания („достъп за всички“), както и дигитализирано описание на ресурсите.

ISO/IEC 24751 има за цел да отговори на нуждите на учащите се в контекста на специални образователни потребности. Нуждите и предпочитанията на по-требителя може да са продиктувани от контекста или средата на потребителя, от техническите изисквания на устройството на потребителя, наличните инструменти (например помощни технологии, като брайлови прибори, системи за разпознаване на глас, алтернативни клавиатури и т.н.), на фона на потребителя или увреждания в традиционния смисъл.

Учебната среда се счита за „достъпна“, когато нуждите на обучаемите могат да бъдат решени или са съвпадащи с предлаганото.

Част 1 предвижда обща рамка за описване и уточняване на нуждите и предпочитанията на учащите и съответното описание на цифрови ресурси за обучение, така че индивидуалните предпочитания и нужди на обучаемите да могат да бъдат съчетани с подходящи инструменти за потребителски интерфейс и дигитални ресурси за обучение (ISO/IEC 24751-1:2008)7).

Част 2 осигурява общ информационен модел, който дава възможност да се опише как потребителят желае да получи достъп до онлайн съдържанието и свързаните с него приложения. Тя включва описание за класиране на нужди и предпочитания по отношение на приоритети, както и за използване на генерични и специфични за приложението на нуждите и предпочитанията спецификации.

Част 3 осигурява общ език за описване на аспекти на една компютърна система (включително мрежови системи) за улесняване на учещите съобразно потребностите и предпочитания. Тази част също описва приложни информационни сценарии и дава информация за примери за изпълнение.

Използването на ISO/IEC 24751, като цяло, подпомага съвпадането на индивидуалните нужди на обучаемите в компютърноопосредстваната учебна среда с необходимите потребителски интерфейс и ресурси.

Стандартът ISO/IEC 19796-1, като рамка за въвеждане на подходи за качество във всички организации, доставчици и потребители на електронното обучение

Стандартът ISO/IEC 19796-1:2005, Информационни технологии – учене, образование и обучение – управление на качеството, се свързва с една цялостна рамка, която може да се използва за въвеждане на подходи за качество във всички организации, доставчици и потребители на електронно обучение. Стандартът хармонизира международната концепция за качество на електронното обучение чрез създаване на съгласуван списък с различни процеси, които влияят върху постигането и запазването на качеството на електронното обучение. Тези процеси обхващат всички сценарии за електронно обучение, като съдържание, предоставяне на услуги, обучение и образование, наблюдение и оценка, както и етапите на жизнения цикъл – от анализ на потребностите до непрекъсната оптимизация (Pawlowski, 2007).

На основата на ISO/IEC 19796-1: 2005 е разработен стандартът UNE-EN ISO / IEC 19796-1:2010. Това е испански вариант на стандарта ISO/IEC 19796-1:2005. Познат е като стандарт „Информационни технологии – преподаване, образование и обучение. Управление и осигуряване на качеството“, AENOR (2010) (FernándezRodríguez et al, 2014).

Обобщение и изводи

Анализът на литературата показа, че метаданните, които вече са разработени, са ориентирани към спецификациите за учащия, наименованието и монтажа на обекта на усвояване. Нормите и стандартите за образователни материали са свързани с възможността за декомпозиране на учебните предмети на отделни независими единици, които след това се съхраняват и се депозират в „банка данни“. По този начин информацията може да бъде реорганизирана и повторно използвана, за да обслужва различни цели и да достига до различни потребители.

Най-съществените предимства от прилагането на стандартизирано електронно учебно съдържание и стандартизирани средства за доставка на образователни услуги могат да се определят като: ефективност (води до спестяване на време и ресурси); мобилност на знанията; възможности за споделяне на опит и разпространение на добрите практики; създаване на условия за работа в екип (Орозова, 2014).

Много източници (Miao et al, 2007; Schoonenboom et al, 2008) посочват, че IMS спецификациите са далеч от покриването на всички аспекти от оперативната съвместимост.

Всичко казано по-горе за съществуващите стандарти и спецификации може да се обобщи. Изводите са следните:

1. Бавните темпове на разработване и приемане на стандарти и спецификации значително намаляват гъвкавостта на оперативната съвместимост.

2. Необходимо e значително ниво на техническо познаване на спецификациите, за да може да се използват съществуващите средства.

3. Част от трудностите са в разминаването на изразните средства, представени от концепциите в спецификациите и тези от сферата на експертите.

Широката употреба на свойства, променливи и условия (от спецификациите) води в повечето случаи до неразбираеми единици, които трудно се преглеждат и осмислят (Петров, 2009).

4. Не всички аспекти от процеса на електронното обучение могат да се представят чрез спецификации. Оценяването чрез нетрадиционни подходи е слабо застъпено и поддържано в съществуващите до момента спецификации.

Използването на стандарти за електронно обучение в последните години се ограничава в световен мащаб. Някои от причините са, че много потребители използват електронното обучение не само за предоставяне на учебно съдържание, но и за съвместно, проектнобазирано, базирано на игри или симулации обучение. За някои от тези области в настоящия момент няма никакви стандарти или спецификации. Друг фактор е, че много фирми и образователни организации реализират ново електронно учебно съдържание с помощта на нови технологии, за които няма съответни стандарти за електронно обучение (Георгиева & Георгиев, 2010).

Заключение

Съществуват много стандарти и спецификации в сферата на електронното обучение, част от които са разгледани по-горе. Всеки от тях отразява конкретна потребност за времето, когато е бил създаден. Тези спецификации са явно или неявно изпълнени с теории, идеи и предположения, които могат да се различават или дори да противоречат на тези от друга спецификация. Нещо повече – всяка спецификация е създадена за един конкретен технологичен контекст и в момента, в който този контекст се промени, се променят и последствията от използването на тази спецификация.

Качественото електронно обучение трябва да се базира на стандарти, но и на опита на потребителитe; да насърчава контактите между обучаемите и преподавателите, а също и да подпомага сътрудничеството между студентите и да дава обратна информация. Тоест сами по себе си технологиите не могат да гарантират по-добро обучение, но те могат да се разглеждат като инструмент, използван за целите на образованието по начини, които не са били възможни преди.

БЕЛЕЖКИ

1. http://www.imsglobal.org/learningdesign/ldv1p0/imsld_bestv1p0.htm – IMS Learning Design Best Practice and Implementation Guide Version 1.0 Final Specification

2. IEEE 1484.12.1-2002 Standard for Learning Object Metadata. (2002). Learning

Technology Standards Committee of the IEEE.

3. IMS (2001). IMS Content Packaging Best Practice, Version 1.1.2, Final Specification

4. ADL (2004). Advanced Distributed Learning, Sharable Content Object Reference Model (SCORM), 2nd Edition

5. SCORM 2004, http://www.adlnet.gov/scorm/scorm-2004-4th

6. http://www.usability.ru/sources/ iso9241-11.htm - ISO DIS 9241-11 Part 11: Guidance on Usability.

7. ISO/IEC 24751-1:2008. (2008).Information technology - Individualized adaptability and accessibility in e-learning, education and training. Part 1: Framework and reference model.

ЛИТЕРАТУРА

Георгиева, Е., & Георгиев, Ц. (2010). Стандарти за мобилно обучение, Научни трудове на Русенския университет. 49/3.2, 131 – 136.

Костадинова, Х., Тотков, Г., & Благоев, Д. (2011). Автоматизирано генериране на метаданни за учебни обекти. Национална конференция „Образованието в информационното общество“, 44 – 52.

Николов, Р. (2009). Глобалният кампус. София: „Авангард Прима“.

Орозова, Д. (2014). Проектиране и разработване на електронно учебно съдържание, базирано на SCORM стандарта. Пета национална конференция по електронно обучение във висшите училища. 228 – 233.

Петров, М. (2009). Оперативна съвместимост между системи за оценяване в съвременното електронно обучение. Дисертация.

Тупаров, Г. & Дурева, Д. (2008). Електронно обучение. Благоеврад: „Технологии и модели“.

Тупаров, Г., Дурева, Д. & Мусова, Т. (2011). Интерактивни симулациионни учебни обекти. Информационно-комуникационни технологии, медии и образование.

Cambridge, D., Health, A., & Smythe, C. (2005). IMS ePortfolio Best Practice and Implementation Guide v1.0, IMS/GLC.

CREPUQ (2002). Les normes et standards de la formation en ligne, État des lieux et enjeux, étude réalisée par le Groupe de travail sur les norme s et standards de la formation en ligne pour la Conférence des recteurs et des principaux des université.

Fernández-Rodríguez, J. C., Rainer, J. J. & Miralles, F. (2014). Essential features in eLearning. Efficiency and Quality. Pensée, 76(7), 305 – 314.

Ostyn, C. (2005). In the Eye of the SCORM, An Introduction to SCORM 2004 for Content Developers.

IMS (2000). IMS Question & Test Interoperability Specification: A Review. A QTI White Paper from IMS, Document: IMSWP-1 Version A, October, 2000.

Sclater, N., & Low, B. (2002). IMS Question and Test Interoperability, An Idiot’s Guide. CETIS Assessment Special Interest Group. Version 0.5.

Miao, Y., Tattersall, C., Schoonenboom, J., Stefanov, K., & Aleksieva-Petrova, A. (2007) Using open technical e-learning standards and service orientation to support new forms of e-assessment. International workshop on service oriented approaches and lifelong competence development infrastructures: The 2nd TENCompetence workshop. Manchester, UK Schoonenboom.

Murphy, C.N., & Yates, J. A. (2009). The International Organization for Standartization (ISO): global governance trough voluntary consensus. New York: Routledge

Pawlowski, J.M. (2007). The quality adaptation model: adaptation and adoption of the quality standard ISO/IEC 19796-1 for learning, education, and training. Journal of Educational Technology & Society, 10(2), 3 – 16.

Smythe, C. (2003). IMS Abstract Framework: Review. IMS Global Learning Consortsium

Smythe, C., Shepherd, E., Brewer, L., & Lay, S. (2002). IMS Question & Test Interoperability: An Overview.

Schoonenboom, J., Tattersall, C., Miao, Y., Stefanov, & K. Aleksieva-Petrova, A. (2008). The role of competence assessment in the different stages of competence development. In H. H. Adelsberger, Kinshuk, J. M. Pawlowski & D. G. Sampson (Eds.), Handbook on Information Technologies for Education and Training 2nd ed.

REFERENCES

Georgieva, E., & Georgiev, Ts. (2010). Standarti za mobilno obuchenie. Nauchni trudove na Rusenskiya universitet. 49/3.2, 131 – 136.

Kostadinova, H., Totkov, G., & Blagoev, D. (2011). Avtomatizirano generirane na metadanni za uchebni obekti. Natsionalna konferentsiya „Obrazovanieto v informatsionnoto obshtestvo”. 44 – 52.

Nikolov, R. (2009). Globalniyat kampus. Sofiya: Avangard Prima.

Orozova, D. (2014). Proektirane i razrabotvane na elektronno uchebno sadarzhanie, bazirano na SCORM standarta. Peta natsionalna konferentsiya po elektronno obuchenie vav visshite uchilishta. 228-233.

Petrov, M. (2009). Operativna savmestimost mezhdu sistemi za otsenyavane v savremennoto elektronno obuchenie. Disertatsiya.

Tuparov, G. & Dureva, D. (2008). Elektronno obuchenie. Blagoevrad: Tehnologii i modeli.

Tuparov, G., Dureva, D. & Musova, T. (2011). Interaktivni simulatsiionni uchebni obekti, Informatsionno-komunikatsionni tehnologii, medii i obrazovanie.

Cambridge, D., Health, A., & Smythe, C. (2005). IMS ePortfolio Best Practice and Implementation Guide v1.0, IMS/GLC.

CREPUQ (2002). Les normes et standards de la formation en ligne, État des lieux et enjeux, étude réalisée par le Groupe de travail sur les norme s et standards de la formation en ligne pour la Conférence des recteurs et des principaux des université.

Fernández-Rodríguez, J. C., Rainer, J. J. & Miralles, F. (2014). Essential features in eLearning. Efficiency and Quality. Pensée, 76(7), 305 – 314.

Ostyn, C. (2005). In the Eye of the SCORM, An Introduction to SCORM 2004 for Content Developers.

IMS (2000). IMS Question & Test Interoperability Specification: A Review. A QTI White Paper from IMS, Document: IMSWP-1 Version A, October, 2000.

Sclater, N., & Low, B. (2002). IMS Question and Test Interoperability, An Idiot’s Guide. CETIS Assessment Special Interest Group. Version 0.5.

Miao, Y., Tattersall, C., Schoonenboom, J., Stefanov, K., & Aleksieva-Petrova, A. (2007) Using open technical e-learning standards and service orientation to support new forms of e-assessment. International workshop on service oriented approaches and lifelong competence development infrastructures: The 2nd TENCompetence workshop. Manchester, UK Schoonenboom.

Murphy, C.N., & Yates, J. A. (2009). The International Organization for Standartization (ISO): global governance trough voluntary consensus. New York: Routledge

Pawlowski, J.M. (2007). The quality adaptation model: adaptation and adoption of the quality standard ISO/IEC 19796-1 for learning, education, and training. Journal of Educational Technology & Society, 10(2), 3 – 16.

Smythe, C. (2003). IMS Abstract Framework: Review. IMS Global Learning Consortsium

Smythe, C., Shepherd, E., Brewer, L., & Lay, S. (2002). IMS Question & Test Interoperability: An Overview.

Schoonenboom, J., Tattersall, C., Miao, Y., Stefanov, & K. Aleksieva-Petrova, A. (2008). The role of competence assessment in the different stages of competence development. In H. H. Adelsberger, Kinshuk, J. M. Pawlowski & D. G. Sampson (Eds.), Handbook on Information Technologies for Education and Training 2nd ed.

2025 година
Книжка 4

Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов,

THE IMPACT OF TEACHERS’ GENDER, EDUCATION, AND EXPERIENCE ON FOSTERING MATHEMATICAL CREATIVITY: A QUANTITATIVE STUDY

kombinatorni zadachi. Mathematics and Informatics, 2, 193 – 202. (In Bulgarian). Valkov, M. (2022). Sinhronno distantsionno obuchenie v obrazovatelnata igra “StruniMa”. Pedagogicheski forum, 1, DOI: 10.15547/PF.2022.005, ISSN:1314-7986. (In Bulgarian).

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev1)

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev,Nadezhda Borisova,Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски1),Марияна Николова2)

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev , Tsvetelin Zaevski Anton Iliev , Vesselin Kyurkchiev , Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova , Aharon Goldreich , Nadezhda Borisova

ФОРМИРАНЕ НА КОМПЕТЕНТНОСТИ ЧРЕЗ ПРОБЛЕМНО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ

2. Компетентностен подход Компетентностният подход се базира на използването на инте- рактивни методи и нови технологии за обучение, които спомагат за

Книжка 1
AN APPROACH AND A TOOL FOR EUCLIDEAN GEOMETRY

Dr. Boyko Bantchev, Assoc. Prof.

STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva , Rositsa Doneva , Sadiq Hussain Ashis Talukder , Gunadeep Chetia , Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Assist. Prof. Stefan Stavrev, Assist. Prof. Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
MIRROR (LEFT-RECURSIVE) GRAY CODE

Dr. Valentin Bakoev, Assoc. Prof.

THE CONSTRUCTION OF VALID AND RELIABLE TEST FOR THE DIVISIBILITY AREA

Dr. Daniela Zubović, Dr. Dina Kamber Hamzić

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov , Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD- ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Prof. Dr. Jasmin Bektešević, Prof. Dr. Vahidin Hadžiabdić, Prof. Dr. Midhat Mehuljić, Prof. Dr. Sadjit Metović, Prof. Dr. Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

EVALUATIОN OF CHILDREN’S BEHAVIOUR IN THE CONTEXT OF AN EDUCATIONAL MOBILE GAME

Dr. Margarita Gocheva, Chief Assist. Prof. Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof. Prof. Dr. Elena Somova

Книжка 4
TRIPLES OF DISJOINT PATHS BETWEEN POINTS ON A CIRCLE

Dr. Ivaylo Kortezov, Assoc. Prof.

MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić , Hajnalka Peics , Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Dr. Pohoriliak Oleksandr, Assoc. Prof. Dr. Olga Syniavska, Assoc. Prof. Dr. Anna Slyvka-Tylyshchak, Assoc. Prof. Dr. Antonina Tegza, Assoc. Prof. Prof. Dr. Alexander Tylyshchak

РЕЗУЛТАТИ ОТ ИЗПОЛЗВАНЕТО НА ВИДЕОИГРИ В ОБРАЗОВАНИЕТО: ПРЕГЛЕД НА НЯКОИ ОСНОВНИ ИЗСЛЕДВАНИЯ ОТ ПОСЛЕДНИТЕ ДЕСЕТ ГОДИНИ

Калин Димитров , проф. д-р Евгения Ковачева „Интелигентният педагогически подход насърчава с инер- гията между технологиите и педагогиката и използва дигиталните игри в учебния процес“. Л. Даниела (Daniela 2020)

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Проф. д.п.н. Йордан Табов, проф. д-р Веселин Ненков, гл. ас. д-р Асен Велчев, гл. ас. д-р Станислав Стефанов

УПРАВЛЕНИЕ НА ЗНАНИЯТА ПО СТРУКТУРИ ОТ ДАННИ ЧРЕЗ СМЕСЕНО ОБУЧЕНИЕ

Гл. ас. д-р Валентина Дянкова, д-р Милко Янков

USING SENSORS TO DETECT AND ANALYZE STUDENTS’ ATTENTION DURING ROAD SAFETY TRAINING IN PRIMARY SCHOOL

Assist. Prof. Dr. Stefan Stavrev Assist. Prof. Dr. Ivelina Velcheva

Книжка 2
ALGORITHMS FOR CONSTRUCTION, CLASSIFICATION AND ENUMERATION OF CLOSED KNIGHT’S PATHS

Prof. DSc. Stoyan Kapralov , Assoc. Prof. Dr.Valentin Bakoev , Kaloyan Kapralov

DUAL FORM OF OBTAINING EDUCATION IN THE MATHEMATICS TEACHERS TRAINING SYSTEM: EMPLOYERS’ POSITION

Dr. Hab. Roman Vernydub, Assist. Prof. Dr. Oxana Trebenko, Prof. DSc. Oleksandr Shkolnyi

Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

THE POWER OF A POINT — A VECTOR PERSPECTIVE

Assoc. Prof. Dr. Boyko Bantchev

ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦАТА НА НЯКОИ ВИДОВЕ МНОГОЪГЪЛНИЦИ И ПРИЛОЖЕНИЕТО ИМ ЗА ДОКАЗВАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ В ТЯХ

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

ТЕСТОВИТЕ ЗАДАЧИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ЗА ПРОФИЛИРАЩ УЧЕБЕН ПРЕДМЕТ „ИНФОРМАТИКА“ ПРЕЗ УЧЕБНАТА 2021/2022 ГОДИНА

Доц. д-р Димитър Атанасов , д-р Красимир Манев , доц. д-р Весела Стоименова , държавен експерт Ралица Войнова

2022 година
Книжка 6
BEST E-LEARNING PLATFORMS FOR BLENDED LEARNING IN HIGHER EDUCATION

Kalin Dimitrov, PhD student, Dr. Eugenia Kovatcheva, Assoc. Prof. “When I wanted to learn something outside of school as a kid, cracking open my World Book encyclopedia was the best I could do. Today, all you have to do is go online.” – Bill Gates

MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Dr. Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Dr. Elena Somova, Prof.

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Dr. Lilyana Petkova, Dr. Vasilisa Pavlova, Assist. Prof.

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Dr. Silvia Gaftandzhieva, Assoc. Prof. , Prof. Dr. Rositsa Doneva , Milen Bliznakov, PhD

READINESS OF UKRAINIAN MATHEMATICS TEACHERS TO USE COMPUTER GAMES IN THE EDUCATIONAL PROCESS

Dr. Alina Voievoda, Assoc. Prof. , Dr. Svitlana Pudova, Assoc. Prof. , Dr. Oleh Konoshevskyi, Assoc. Prof.

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Prof. Dr. Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
A COMPARATIVE ANALYSIS OF ASSESSMENT RESULTS FROM FACE-TO-FACE AND ONLINE EXAMS

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Neli Baeva, Assist. Prof

ДВАДЕСЕТ И ШЕСТА МЛАДЕЖКА БАЛКАНСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Доц. д-р Ивайло Кортезов, Мирослав Маринов

PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Dr. Evgeniya Nikolova, Assoc. Prof., Dr. Mariya Monova-Zheleva, Assoc. Prof., Dr. Yanislav Zhelev, Assoc. Prof.

Книжка 3

CONVERTING NUMERAL TEXT IN BULGARIAN INTO DIGIT NUMBER USING GATE

Dr. Nadezhda Borisova, Assist. Prof., Dr. Elena Karashtranova, Assoc. Prof.

RECOGNITION OF PROBLEMATIC EDUCATIONAL SITUATIONS IN COMPUTER MODELING TRAINING

Dr. Hristo Hristov, Assist. Prof. , Radka Cherneva

EFFECTS OF SHORT-TERM STEM INTERVENTION ON THE ACHIEVEMENT OF 9

Amra Duraković , Senior Teaching Assistant, Dr. Dina Kamber Hamzić , Assist. Prof.

Книжка 2
VOCABULARY ENRICHMENT IN COMPUTER SCIENCE FOR INTERNATIONAL STUDENTS AT THE PREPARATORY DEPARTMENT OF THE UNIVERSITY

Dr. Svetlana Mikhaelis, Assoc. Prof., Dr. Vladimir Mikhaelis, Assoc. Prof., Mr. Dmitrii Mikhaelis

STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Evgeni Andreev, Assist. Prof., Dr. Mariya Nikolova, Assoc. Prof.

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

DEVELOPING PROBLEM SOLVING COMPETENCY USING FUNCTIONAL PROGRAMMING STYLE

Muharem Mollov, PhD student , Petar Petrov, PhD student

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, PhD student, Dr. Alexandre Ivanov Chikalanov, Assoc. Prof.

КРИПТОГРАФИЯ И КРИПТОАНАЛИЗ С MS EXCEL

Гл. ас. д-р Деян Михайлов

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Dr. Ivaylo Staribratov, Assoc. Prof., Nikol Manolova

КОНТЕКСТУАЛНО ПРЕКОДИРАНЕ

Доц. д-р Юлия Нинова

ДВУПАРАМЕТРИЧНА ЗАДАЧА ЗА ОПТИМАЛНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА РЕСУРСИ

Проф. д-р Росен Николаев, доц. д-р Танка Милкова

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
КРИВОРАЗБРАНИТЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ ТЕСТОВЕ ЗА НАЛИЧИЕ НА ЗАРАЗА

Доц. д-р Маргарита Ламбова, гл. ас. д-р Ваня Стоянова

E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Prof. Dr. Elena Somova

PRESCHOOL TEACHERS’ KNOWLEDGE, PERSPECTIVES AND PRACTICES IN STEM EDUCATION: AN INTERVIEW STUDY

Dr. Lyubka Aleksieva, Assoc. Prof., Prof. Dr. Iliana Mirtschewa, Snezhana Radeva, PhD Student

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 януари 2022 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg. Скъпи прияте

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Задача 1. Число, което е точен квадрат на естествено число, се записва с няколко единици и една двойка. Докажете, че това число се дели на 11. Решение. Нека е такова число. Можем да го запишем като

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Доц. Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj , Prof. Dr. Sead Rešić , Anes Z. Hadžiomerović , Samira Aganović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Prof. Olha Matiash, Dr. Liubov Mykhailenko, Prof.Vasyl Shvets, Prof. Oleksandr Shkolnyi

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 5/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 ноември 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в електр

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4, 2021 Г.

Задача 1. Намерете всички взаимно прости естествени числа a и b, за кои- то .

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Assoc. Prof. Silvia Gaftandzhieva, Prof. Rositsa Doneva, Assist. Prof. George Pashev, Mariya Docheva

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 10 октомври 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в елект

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИТЕ ЗАДАЧИ БРОЙ 3, 2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели . Решение. От тъждеството

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Prof. Dr. Sead Rešić, Prof. Dr. Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Д-р Севдалина Георгиева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 3/2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели .

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2, 2021 Г.

Задача 1. В равнината са дадени точка A и окръжност k с център O. Наме- рете геометричното място на центровете на описаните окръжности на три- ъгълници ABC, където BC е диаметър на k. Решение. Ако точката A лежи на окръжността k, то всички триъгълници ABC имат център на описаната окръжност точка O. В този случай търсеното множество е точката O. Нека A е външна за окръжността. Да разгледаме диаметър на k, който е перпендикулярен на AO. Центърът на описаната окръжност за е точ- ка S върху

В ПАМЕТ НА ПРОФ. ДОРУ СТЕФАНЕСКУ

С чувство за голяма загуба съобщаваме на нашите читатели, че на 09.05.2021 година на 69-годишна възраст напусна този свят членът на редакционния съ- вет на списание „Математика и информатика“ проф. д.м.н. Дору Стефанеску. Отиде си един уважаван румънски учен математик, старши заместник-пред- седател на Румънското математическо общество и изпълнителен редактор на Бюлетина на това общество, трикратен президент на Математическото обще- ство на Югоизточна Европа. Математическите способности на

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението:

Задача 3. Положителните числа x, y, z, α , β и γ удовлетворяват равен- ствата:

+ += и 2 cos cos cosx y z xy yz zx ++= + + Да се докаже, че от отсечки с дължини x, y и z може да се построи триъгъл- ник с ъгли , и . Решение. От равенството 0 2 cos cos cos sin sin cos cosx y z xy yz zx y z y z x =++− + + = − + + −

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 1/2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението: 5 10 2 nn−+= Задача 2. За положителните числа a, b, c и d е изпълнено равенството 1abcd+++ = . Да се докаже, неравенството: 1 18abcd abcd +++ + ≥

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

В ПАМЕТ НА НИКОЛАЙ ХРИСТОВИЧ РОЗОВ 20.02.1938 – 02.11.2020

С голямо прискърбие посрещнахме вестта, че известният математик, високо еру- дираният образователен деятел и член на редколегията на българското списание „Ма- тематика и информатика“ проф. Николай Христович Розов вече не е сред нас. Неочак- ваната смърт го застигна на поста декан на

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6

Задача 1. В турнир участвали 799 отбора, като всеки два отбора изиграли по една среща помежду си (всяка среща завършва с победа на единия то двата отбора). Да се докаже, че има 14 отбора, така че всеки от първите 7 отбора е победил всеки от последните 7.

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Вписаната в ∆ABC окръжност се допира до страните AB, BC и CA съответно в точки P, Q и R. Ъглополовящата на ъгъла при върха C пресича PQ в точка S. Да се докаже, че правите AS и RQ са успоредни. Задача 2. Естественото число n се нарича хубаво, ако множества {1, 2, 3,..., п} може да се разбие на k непресичащи се множества така, че всяко от множест- вото да съдържа средното аритметично на елементите си. Намерете всички хубави числа за k = 2 и k = 3. Задача 3. Намерете всички функци

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека . Да се намери сумата на всички ес- тествени числа от интервала , за които се дели на . Росен Николаев и Танка Милкова, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2019

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа , които са решения на уравнението Милен Найденов, Варна Решение: eдно множество от решения на разглежданото уравнение се описва със следните формули: , , където Задача 2. Средите на диагоналите и на изпъкналия четириъгъл- ник са съответно и , а пресечната им точка е . Ако втората пресечна точка на описаните около триъгълниците и окръжнос- ти е и , да се докаже, че правата с

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Равнобедреният трапец има основи с дължини и , като е такъв, че средите на страните му са върхове на квадрат. Ако дължината на бедрото на е , а разстоянието от пресечната точка на диагоналите му до бедрата е , да се докаже, че . Милен Найденов, Варна

( ) ( ) ( ) 2sin 2019 2 cos 2019 2 2 3 10, 25x x xx + = −+

Решение: тъй като , т.е. когато

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. По пътя между два града има три тунела с обща дължина 2 ки- лометра и 900 метра. Разликата в дължините на втория и третия е 20 пъти по-малка от дължината на първия тунел. Общата дължина на втория и третия е с 500 метра по-голяма от дължината на първия. Да се намерят дължините на трите тунела, ако третият тунел има най-малка дължина. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. Да се докаже, че във вписан в окръжност четириъгълник е изпълнено неравенството . Хаим Хаи

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2019

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа, които са дължи- ни в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с телесен диаго- нал . Христо Лесов, Казанлък Решение. Нека са дължините в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с диагонал . Изпълнено е равен- ството . Оттук имаме . Следо- вателно . Затова , т.е. . От друга страна, , което означава, че . Затова , т.е. . По този начин получихме, че . Като направим необходимите проверки при

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадени са системите линейни уравнения

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4

THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3

RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina,Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

2019 cm

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Mихаил Aлфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казваме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са проти- воположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свързващи и , по които мухата може да мине, когато: а) и n = 6; б) и ; в) m и са произволни естествени числа.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2018

Задача 1. Да се докаже, че: а) се дели на ; б) се дели на . Христо Лесов, Казанлък Решение на Златка Петрова от Ямбол: а) От дефиницията за факториел имаме . Оттук очевидно следва, че разглежданото число се дели на . б) Лесно се проверява, че е просто число. Затова от теоремата на Уилсън следва, че . Сега, като вземем предвид, че , получаваме което доказва твърдение б).

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2017

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението , ако: а) ; б) . Тодор Митев, Русе Решение: а) . Първо да отбележим следните две твърдения: 1) най-големият общ делител на и е или за всяко цяло . Това твърдение следва непосредствено от равенството ; 2) ако е просто число и дели , то дели . Това твърдение се доказва по следния начин. От условието

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа , за кои- то е изпълнено равенството: а) ; в) Христо Лесов, Казанлък

Решение: а) 11 1 1 1 1 nx x x x kx x x x ′ ′ − + − +−  −  = = = =   − −   .

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2017 Г.

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между местата на пър- вата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с по-бавно, то той ще срещне първия мотоциклет след тръгването си, а разстоянието между местата на двете срещи ще бъде . Определете разстоянието , ако скоро

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2017

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големи- на кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най- много 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество оре- хи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три. Тъй като на Иван му харесало числото с тез

Книжка 1
„Децата не разбират това, което четат, и

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ε

2015! 2016! 2017++

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2.

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДАЧУ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението x )!63(1  , ако: а) ; б) . Тодор Митев – Русе

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2017

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което приема най-малка стойност. Христо Лесов – Казанлък Решение: съгласно малката теорема на Ферма за всяко естествено чис- ло и просто число , числото се дели на , т.е. дава оста- тък при деление на . Тъй като е просто число, от тази теорема следва, че дава остатък при деление на и дава остатък

Книжка 5
SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Слави Харалампиев и Румяна Несторова, Враца

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2016

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг съответно автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между места- та на първата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2016

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едновременно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти, така че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всич- ки редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диа- гоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: прилагаме действието към единия диагонал

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големина кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най-мно- го 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество орехи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един орех, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три ореха. Тъй като на Иван му харесало бро

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2016 Г.

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния Решение. Нека е дискриминанта- та на квадратното спрямо уравнение . Сле- дователно . Оттук получаваме равенството . Предполагаме, че

Книжка 2
NDM-PHILOSOPHY OF EDUCATION IN THE 21

Marga Georgieva, Sava Grozdev

ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа n и k, при които стойността на израза 2017 + 3 + 4 e: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2016

Задача 1. Редицата на Фибоначи се дефинира с равенствата и . Да се докаже, че всяка от редиците и съдържа безброй много двойки съседни членове, които се де- лят на . Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: в началото ще докажем следната Лема. За всяко числата на Фибоначи притежават свойствата: а) последната цифра на числата и е ; б) последната цифра на числата , , и е ; в) последната цифра на числата , , и е .

Книжка 1
ЗАНИМАТЕЛНИТЕ ЗАДАЧИ НА ПОАСОН И МЕТОДЪТ НА ПЕРЕЛМАН ЗА ТЯХНОТО РЕШАВАНЕ И ИЗСЛЕДВАНЕ

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров

ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което най-малка стойност. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2016

Задача 1. За всяко естествено число да се намери растяща редица от естествени числа , , , , , за които е изпълнено равенството Христо Лесов, Казанлък Решение: от условието имаме Затова , , , , и , , .

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките и лежат в една полуравнина спрямо и са такива, че и са равностранни. Ако е петата на перпендикуляра, спуснат от към , да се намери геометричното място на точката , когато описва . Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров – Архангелск, Русия

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1/2016

Задача 1. Целочислените редици и са дефинирани чрез равенствата , , , , при . а) Да се докаже, че за всяко цяло число точно едно от числата , и б) Да се определят целите числа , за които и са взаимно прости числа за всяко естествено число . Христо Лесов – Казанлък Решение: дадените рекурентни равенства представяме по следния на- чин: вателно

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едно- временно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти така, че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всички редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диагоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. В окръжност с център е вписан разност

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2015

Задача 1. Дадена е функцията , където m, n, ∈ℕ. Ако и са корените на уравнението и е изпълнено

Книжка 4
ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2015

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията и . Милен Найденов, Варна Решение. Разделяме двете страни на първото уравнение на и полу- чаваме . Полагаме и уравнението добива вида . Тъй като функцията е растяща (лявата графика на чертежа), то уравнението ално решение . С непосредствена проверка се вижда, че това решение е . Оттук намираме, че е единственото решение на първо- то уравнение. След това разделяме двете страни на второто уравнение на

Книжка 3
{}

Сава Гроздев – София, и Веселин Ненков – Бели Осъм

()

След заместване на намерените две неравенства в дясната страна на . Равенство се достига тогава и само тогава,

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. За всяко естествено число n да се намери растяща редица

()

Задача 2. Нека P е произволна точка от описаната окръжност на на . Ако докаже, че точките лежат на една права. Хаим Хаимов, Варна, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение. Ще докажем, че правите ра на описаната около окръжност . Оттук непосредствено следва

Книжка 1
()

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

{}

2n ≥

()()

.

2015 година
Книжка 6
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадена е функцията , където ,mn∈ . Ако x и x са корените на уравнението f (x) = 0 и е изпълнено (2) (3)ff t xx xx −− ==∈ +  , да се намерят m и n. Росен Николаев, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2015

Задача 1. Параметрите a и b в уравнението 5x + 2x + 4ax  x + 2bx + 4b  a = 0 са такива, че то има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 1 и 2 са корени на даденото уравнение, то след заместване в уравнението се получават съответно равенствата: 5a+2b = 4 и 31a+8b = 188. След решаване на получената система от две уравнения с две неизвестни се полу- чава: a = 4 и b = 8. Заместваме на

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА MATHEMATICS AND INFORMATICS

BULGARIAN EDUCATIONAL JOURNAL ANNUAL CONTENTS / ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ

Книжка 5
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията 3.2 8.3 159000 += и 32.11 56697728 x += . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2014

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра k, за които уравнението ( ) ( ) , 10k ≠ притежава цело- числени корени. Милен Найденов, Варна Решение: Ако x и x са корените на уравнението, то 2 21 1 2 10 10 k xx kk - + = =- -- е цяло число. Затова 1 10 p k = - е цяло. Оттук получаваме 10 1p k p + = . За дискри- минантата D на уравнението намираме 6 24p D p -- = . Тъй като D трябва да е точен квадрат, то 6 24pn- -= за някое цяло число n. Последното равен

Книжка 4
Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова СОУ „Панайот Волов“ – Шумен ОУ „Никола Йонков Вапцаров“ – Асеновград

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ ВЬIЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЬIМИ

Владимир Жук Республиканская специализированная физико-математическая средняя школа-интернат имени О. Жаутыкова

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2014

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа uxyv , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна Решение: Събираме почленно равенствата и получаваме . Оттук следва равенството ( ) ( )( ) 1 1 1 12xy uv− −+ − −= . Последното равенство е изпълнено при ( ) 1 11 xy − −= и ( )( ) 1 11uv− −= ; ( ) 1 12xy− −= и ( )( ) 1 10uv− −= ; ( ) 1 10xy− −= и ( )( ) 1 12uv− −= . Оттук лесно се вижда, че търсените числа са: 2222, 5231, 1235, 3152, 3512, 5321, 1325,

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Contest Problems Конкурсни задачи Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x

Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x + 2x + 4ax - x + 2bx + 4b  a = 0 има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2014

Задача 1. Ако a  3 е нечетно число и k 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: Означаваме с r търсения остатък. При k = 2 е изпълнено равенството . Тъй като , то . Сега от равенството се получава , къ- дето M е цяло число. Ако k = 2l, l k = 2l + 1, l . В този случай получаваме, че . Разглеждаме случая, при който k = 3. От рела- циите и

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра , за които уравнението притежава це- лочислени корени. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2014

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a , и c е изпълне- но неравенството Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Решение: Ако , R и са съответно лицето, радиусът на описа- ната окръжност и полупериметърът на триъгълника, то са изпълнени следните релации: и . От двете равенства лесно се вижда, че разглежданото неравенство е еквивалентно с , което съвпада със споменатото неравенство.

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „П. Волов“ – Шумен

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на a, b и c, при които коре- ните на уравнението 10x a b c x ab bc ca++++ +++= са цели числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2013

Задача 1. Да се намерят всички реални функции : 1, 1,fx +∞ → +∞ , за които при и 0y > е изпълнено равенството fx fx= . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния Решение: Нека 1 log ln ye x == . Тогава fx fx fe== . Полагаме 1fe a => . От условието получаваме a fe fx== , откъдето fx a = . Освен това . Затова, като положим α , получаваме, че търсените функции са fx x = за всички α .

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

УРОК ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ НА ФУНКЦИИ В ЗАДАЧИ ПО ИКОНОМИКА

Петя Сярова СОУ „Васил Левски“ – Ямбол

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете цифрите , , и в десетична бройна система, ако е изпълнено равенството . Йон Патралику, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2013

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа , за които са изпълнени неравенствата: 2 2 2 28, 6, 3 8.

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова Образцова математическа гимназия „Акад. Кирил Попов” „Колкото човек е по-близо, толкова по-малко вижда“ Зрителна измама, филм на Луи Летерие

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2013

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9 3 15xx x+ +≥ . б) Намерете реалните стойности на , при които за всички , , 1,abc∈ − +∞ , е изпълнено неравенството 31a b c a b c kabc + + + + + +≥ ++ . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: а) Разглежданото неравенство е еквивалентно с 13 1 0 xx + −≥ , което е очевидно при . б) От а) следват неравенствата 9 3 15aa a+ +≥ , 9 3 15bb b+ +≥ и 9 3 15cc c+ +≥ . След почленно събиране получаваме 5 31 3 a b c a

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

ANALYSIS OF PROBLEM SOLVING IN INFORMATICS FOR 12 – 13 YEAR OLD STUDENTS IN BULGARIA

Ivaylo Staribratov, BistraTaneva High School of Mathematics „Akad. Kiril Popov“

МОДЕЛ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЕДИН КЛАС ЗАДАЧИ ЗА ПОСТРОЕНИЕ С ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Ваня Бизова-Лалева Национална търговска гимназия

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако a ³ 3 е нечетно число и k ³ 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с .

Contest Problems Конкурсни задачи РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2013

24 24 2 2 .2 8. 2 8.1024 8. 1000 1 8.10 . 1 23. 1000 1000     == = = + > + =         557 500 3 8.10 . 1 8.10 . 1 8.10 . 12.10 10.10 10 1000 1000 2  = +> += = > =  

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „Панайот Волов“

ЕДНО ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ПИТАГОР В ИЗВЪНКЛАСНАТА РАБОТА ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Несторова Регионален инспекторат по образованието - Враца

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

ЕДИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански Българска академя на науките

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a, b и c е из- пълнено неравенството (a+b+c) (2b c + 2c a + 2a b - a - b - c ) £ 27a b c . Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Ако M е множеството на всички равнобедрени триъгълници, стра- ните и лицето на които са естествени числа, да се намерят три триъгълника от M, различните страни на които са последователни естествени числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2013

Задача 1. Реалните числа , , , и са такива, че:

2013 година
Книжка 6

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални функции f (x) : (1, + ) (1, + ), за които при x > 1 и y > 0 е изпълнено равенството f (x ) = (f (x)) . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2013

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата 3 cos cos cos 3 1 216 abc abc abc abc ⎡⎤ ++ ++ −≤++< − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ .

MATHEMATICS AND INFORMATICS

ГОДИНА LVI / VOLUME 56, 2013 ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ / ANNUAL CONTENT СТРАНИЦИ / PAGES КНИЖКА 1 / NUMBER 1: 1 – 96 КНИЖКА 2 / NUMBER 2: 97 – 200 КНИЖКА 3 / NUMBER 3: 201 – 296 КНИЖКА 4 / NUMBER 4: 297 – 400 КНИЖКА 5 / NUMBER 5: 401 – 496 КНИЖКА 6 / NUMBER 6: 497 - 608

Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа (x, y, z), за които са изпълнени неравенствата:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2012

Задача 1. За всяко реално число x означаваме с [x] най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на x. Да се намерят всички прости числа p, за които числото е просто.

GUIDE FOR AUTHORS

Mathematics and Informatics Journal publishes scientifi c, scientifi c-popular, review and information materials. Papers of scientifi c character should report original research and ideas inspected through expert evaluation by two anonymous and independent referees. It is recommended that the manuscripts are sent as attachment fi les to the following addresses mathinfo@azbuki.bg and sava.grozdev@gmail.com. Disks or other electronic devices are admissible too and in such a case the postal a

Книжка 4
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9315xx x++≥ .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2012

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа x, y и z, за които е изпълнено равенството . Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 13 = 2197, 2.11 = 2662 и 3.9 . 2187, то x 12, y 10 и z 8. Освен това x и z имат различна четност. Така с непосредствена проверка се вижда, че когато z = 1,3,5,7 при x = 2,4,6,8,10,12 и z = 2,4,6,8 при x = 1,3,5,7,9,11, само x = 2, y = 10, z = 1 е решение на даденото уравнение.

Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се сравнят числата Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Точките E и F са среди съответно на диагоналите AC и BD на чети- риъгълника ABCD. Ако BAE ADE= и , да се докаже, че симе- дианите на триъгълниците ABC, BCD, CDA и DAB съответно през върховете B, C, D и A се пресичат в една точка. Хаим Хаимов, Варна Задача 3. Вписаната в окръжност се допира до , и AB съот-

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2012

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния Решение: Изпълнени са равенствата ! 1! 1 1! 1 !! np Sp C p np + =− +=− +=

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Реалните числа , , , и са, такива че:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2012

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa a bb b  , за които е изпълнено равенството aa a bb b aa a bb b=   . Николай Белухов, Стара Загора Решение: Нека A aa a=  и B bb b=  . От условието следва равенството .10 . A B AB+= , откъдето .10 1 . A AB =− . Тъй като , 11AA −= , то 1|10 A − , откъдето 1 1 2 .5 AA− += . Ако числата 1A − и 1A + са едновременно нечетни, то , а 1A − и 1A + са степени на петицата с разлика две, което е невъзможно. Остава само възмо

Книжка 1
70-ГОДИШЕН ЮБИЛЕЙ

Навършиха се 70 години от рождението на изтъкнатия български математик проф. дмн Генчо Скордев. Юбилярът е член-кореспондент на БАН и дългогодишен главен редактор на сп. „Математика и информатика“. По този повод е следващият материал, в който авторът разказва свои спомени с исторически характер, свързани с активното му участие в образователните процеси в България по математика и информатика.

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2012

Задача 1. В множеството на реалните числа е дефинирана бинарна опера- ция :⊗ ×→  , където : \0=  , която условно ще наричаме умножение и такава, че за всеки три реални числа , и , където , е в сила ра- венството .ac a bc b ⊗⊗= . Ако е известно, че , да се пресметне 2011 2012 2011 2012⊗⊗⊗ . Живко Желев, Стара Загора Решение: Първи начин (авторско решение). Нека . Тогава .1 11 1 a ata a⊗= ⊗ ⊗ = = . Оттук получаваме 2012. 1 2012 2012 2012 2012 2012 t tt=⊗=⊗ ⊗= =

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2012

Христо Лесов, Казанлък

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

доц. д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН) Десетата Международна олимпиада по лингвистика (МОЛ) се проведе в Любляна (Словения) от 30 юли до 3 август 2012 г. В нея взеха участие 131 ученици, съставящи 34 отбора от 26 страни. За първи път свои състезатели изпратиха Гърция, Китай, Израел, Унгария и Япония. Бяха представени също Австралия, Бразилия, България, Великобритания, Германия, Естония, Индия, Ирландия, Канада, Латвия, Нидерландия, Полша, Румъния, Русия, САЩ, Сингапур, Словения, Сърбия, Чехи

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПР ОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа , и , за които е из- пълнено равенството Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2011

Задача 1. Да се докаже, че за всяко цяло положително число уравнението има безброй много решения в цели положителни числа

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2011

Задача 1. Едно цяло положително число n ще наричаме “интересно”, ако може да бъде записано във вида , където са цели поло- жителни числа и , а дели c . Да се докаже, че само краен брой цели положителни числа не са “интересни” и да се намери сумата им. Решение: 1) Нека , то тересно”. Остава да отбележим, че , и не са “интересни”. 2) Нека

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2011

Задача 1. На страните AB и на успоредника външно за

Книжка 3
НАЦИОНАЛЕН КОНКУРС „МЛАДИ ТАЛАНТИ” 2012

Георги Дянков През месец май 2012 се проведе финалният кръг на Националния конкурс „Млади таланти”. Състезанието се организира от МОМН и приема разработки на научни проекти от ученици в гимназиален етап и студенти първи курс. Участниците предста- виха свои авторски проекти в различни научни области – естествени науки, социални науки и комуникационни и информационни технологии (ИКТ). Състезанието тази година се отличи с много добри проекти и журито имаше нелеката задача да избере най-добри

СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa abb b , за които е изпълнено равенството

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2011

Задача 1. Да се определят стойностите на параметъра a, за които уравнението log sin 2011 cos 2011tg x cotg x a x x += + има решение и да се реши уравнението за най-малката от намерените стойности на параметъра. Христо Лесов, Казанлък Решение (Христо Лесов): Изпълнени са следните релации: π αα α за всяко и 2 2 sin 2 tg cotg += ≥ за

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2011

Задача 1. Ако , е цяло положително число, да се докаже, че съществуват безброй много цели положителни числа нено равенството . Веселин Ненков, Бели Осъм Решение (Светлозар Дойчев): Като използваме, че за произволно цяло число

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МЕЖДУНАРОДНИ КОНКУРСИ ЗА РАЗРАБОТВАНЕ НА ПРОЕКТИ

І.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕза ученици, ІІ.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕ за учители

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Рубриката се води от Светлозар Дойчев, и Веселин Ненков