Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2019/3, стр. 325 - 339

ON THE CONCEPT OF BITWISE OPERATIONS IN THE PROGRAMMING COURSES

Krasimir Yordzhev
E-mail: yordzhev@swu.bg
Faculty of Natural Sciences
South-West University “Neofit Rilski”
Blagoevgrad Bulgaria

Резюме: This article is intended for anyone who studies programming, as well as for his teachers. The article deals with the some aspects of teaching programming languages C++ and Java. It presents some essential and interesting examples of the advantages of using bitwise operations to create efficient algorithms in programming. Particular attention is paid to the entertaining task of writing a program receiving Latin squares of arbitrary order.

Ключови думи: bitwise operations; binary notation; set; Latin square

1. Introduction

The present study is thus especially useful for students educated to become programmers as well as for their lecturers. In the article we present some meaningful examples for the advantages of using bitwise operations for creating effective algorithms. To implement the algorithm, we will use essentially bitwise operations.

The use of bitwise operations is a powerful means during programming with the languages C/C++ and Java. Some of the strong sides of these programming languages are the possibilities of low-level programming. Some of the means for this possibility are the introduced standard bitwise operations, with the help of which it is possible directly operating with every bit of an arbitrary variable situated in the computer memory . Unfortunately , in the widespread books, the topic on effective using of bitwise operations is incomplete or missing. The aim of this article is to correct this lapse to a certain extent and present some meaningful examples of a programming task, where the use of bitwise operations is appropriate in order to facilitate the work and to increase the effectiveness of the respective algorithm. For a deeper study of this subject, we recommend the book [Yordzhev, 2019].

For more details see, for example, in [Davis, 2014, Kernighan and Ritchie, 1998, Todorova, 2002a, T odorova, 2002b] for C/C++ programming languages and in [Evans and Flanagan, 2015, Hadzhikolev and Hadzhikoleva, 2016, Schildt, 2014, Schildt, 2017] for Java programming language. In section 2 we will only recall the definitions of the basic concepts.

2. Bitwise operations – basic definitions

The bitwise operations apply only to integer data type, i.e. they cannot be used for float and double types.

We assume, as usual that bits numbering in variables starts from right to left, and that the number of the very right one is 0.

Let \(\mathrm{x}, \mathrm{y}\) and z be integer variables or constants of one type, for which \(w\) bits are needed. Let x and y be initialized (if they are variables) and let the assignment z \(=\mathrm{x} \& \mathrm{y}\); (bitwise AND), or \(\mathrm{z}=\mathrm{x} \mid \mathrm{y}\); (bitwise inclusive OR), or \(\mathrm{z}=\mathrm{x}{ }^{\wedge} \mathrm{y}\); (bitwise exclusive \(O R\) ), or \(\mathrm{z}=\sim \mathrm{x}\); (bitwise NOT) be made. For each \(i=0,1,2, \ldots, w-1\) \(i=0,1,2, \ldots, w-1\), the new contents of the \(i\)-th bit in z will be as it is presented in the Table 1.

Table 1: Bitwise operations

-th bit ofx-th bit ofy-th bit ofz = x&y;-th bit ofz = x|y;-th bit ofz = x^y;-th bit ofz = ~x;00001101110011011100

In case that k is a nonnegative integer , then the statement \(\mathrm{z}=\mathrm{x} \ll \mathrm{k}\) (bitwise shift left) will write (\(i+k\) ) in the bit of z the value of the \(k\) bit of x, where \(i=0,1, \ldots, w-k-1\), and the very right \(k\) bits of x will be filled by zeroes. This operation is equivalent to a multiplication of x by \(2^{k}\).

The statement \(\mathrm{z}=\mathrm{x} \gg \mathrm{k}\) (bitwise shift right) works in a similar way . However, we must be careful if we use the programming language C or \(\mathrm{C}++\), as in various programming environments (see for example in [Glushakov et al., 2001]), this operation has different interpretations. Somewhere \(k\) bits of z from the very left place are by requirement filled by 0 (logical displacement), and elsewhere the very left \(k\) bits of z are filled with the value from the very left (sign) bit, i.e. if the number is negative, then the filling will be with 1 (arithmetic displacement). Therefore, it is recommended to use unsigned types of variables (if the opposite is not necessary) while working with bitwise operations. In the Java programming language, this problem is solved by introducing the two different operators: \(\mathrm{z}=\mathrm{x} \gg \mathrm{k}\) and \(\mathrm{z}=\mathrm{x} \ggg \mathrm{k}\) [Evans and Flanagan, 2015, Schildt, 2017].

Bitwise operations are left associative.

The priority of operations in descending order is as follows:

• – ~ (bitwise NOT);

• – the arithmetic operations * (multiply), / (divide) and % (remainder or modulus);

• – the arithmetic operations + (addition) and – (subtraction);

• – the bitwise operations << and >>;

• – the relational operations <, >, <= and >=;

• – the relational operations \(==\) and !=;

• – the bitwise operations &,| and ^;

• – the logical operations && and ||.

Example 1. Directly form the definition of the operation bitwise shift left follows the effectiveness of the following function computing \(2^{k}\), where \(k\) is a nonnegative integer:

unsigned int Power2(unsigned int k) {return 1<}

Example 2. To divide the integer \(x\) into \(2^{S}\) by cutting the remaining of the result (the ”remainder” operation \(f(x)=x \%\left(2^{n}\right)\) ), we can take advantage of the C++ function:

int Div2(int x, unsigned int n){int s = x<0 ? -1 : 1; // s is sign of xx = x*s; // or x = abs(x);return (x>>n)*s;}

Example 3. To compute the value of the \(i\)-th bit (0 or 1) in computer presentation of a nonnegative integer variable \(x\) we can use the function:

int BitValue (int x, unsigned int i) {return ( (x & 1<}

3. Bitwise operations in relation to the binary representation of integers In order to understand all the possibilities of bitwise operations, there is a need for a solid knowledge of the notion of ” number system”. The great applications of different number systems and most of all the binary system for representation of integers in computer science and in programming are well known. The main features of this concept are studied in secondary schools and universities. In these courses, the representation of integers in different number systems is studied in detail. In computer science and programming, it is particularly important to present the integers in binary notation (binary number system).

Example 4. The next function prints an integer in binary notation. We do not consider and we do not print the sign of integer. For this reason, we work with \(|n|\) (absolute value, or module of integer \(n\) ).

void DecToBin(int n){n = abs(n);int b;int d = sizeof(int)*8 - 1;while ( d>0 && (n & 1<<(d-1) ) == 0 ) d--;while (d>=0){b= 1<<(d-1) & n ? 1 : 0;cout<}}

Example 5. The following function calculates the number of 1’s in the binary notation of an integer n. Again, we ignore the sign of the number.

int NumbOf_1(int n){n = abs(n);int temp=0;int d = sizeof(int)*8 - 1;for (int i=0; iif (n & 1<return temp;}

When working with negative numbers, we have to take into account that computer presentation of negative numbers became a special way. How to represent the integers of type short can be seen from Example 6, where we essentially use bitwise operations. The function that we will describe is a modification of the function from Example 4.

Integer of type shortRepresentation in the computer’s memory.0000000000000000010000000000000001-1111111111111111120000000000000010-211111111111111100000000000010000111111111111000000000000000110101111111111100110000000000010100111111111110101110111111111111111100000000000000110000000000000001000000000000000

Table 2: Representation of some integers of type short in the computer’s memory

Example 6. Function showing the representation of the integers of type short in the computer’s memory.

void BinRepl(short n){int b;int d = sizeof(short)*8 - 1;while (d>=0){b= 1<cout << b;d--;}}

Some experiments with the function BinRepl(short) are given in Table 2. 4. The bitwise operations and sets

Let \(n\) be a positive integer. In the present work we will only consider values of \(n\), such that \(1 \leq n \leq\)"sizeof(long)"*8-1, where sizeof(long)=4 for C++ programming language and sizeof(long)=8 for Java programming language. Throughout \(\mathcal{U}\) denotes the set \[ \mathcal{U}=\{1,2, \ldots, n\} . \]

Let \(A \subseteq \mathcal{U} A \subseteq \mathcal{U}\). We denote by \(\mu_{i}(A)\) the functions

(1)\[ \mu_{i}(A)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { if } \quad i \in A \\ 0 & \text { if } \quad i \notin A \end{array}, \quad i=1,2, \ldots .\right. \]

Then the set \(A\) can be represented uniquely by the integer

(2)\[ v(A)=\sum_{i=1}^{n} \mu_{i}(A) 2^{i-1}, \quad 0 \leq v(A) \leq 2^{n}-1, \]

where \(\mu_{i}(A), i=1,2, \ldots, n\) is given by formula (1). In other words, each subset of \(U\), we will represent uniquely with the help of an integer from the interval \(\left[0,2^{n}-1\right]\) (integer representation of sets).

It is readily seen that

(3)\[ v(\mathcal{U})=2^{n}-1 \]

Evidently if \(A=\{a\}\), i.e. \(|A|=1\), then

(4)\[ v(\{a\})=2^{a-1} \]

The empty set \(\varnothing\) is represented by

(5)\[ v(\emptyset)=0 . \]

The expressions, that represent operations with sets, we will use in the next section 5 for a description of the algorithm to obtain a random exponential Latin square.

1. According to equation (3), the set \(\mathcal{U}=\{1,2, \ldots n\}\) is represented by the equation \[ U=(1 \ll n)-1 \]

2. According to equation (4), a singleton \(A=\{a\} \subset \mathcal{U}\) is represented by the equation

\[ A=1 \ll(a-1) \]

3. Let \(A\) and \(B\) be two integers, which represent two subsets of \(\mathcal{U}\). Then the integer \(C\) that represents their union is represented by the equation

\[ C=A \mid B \]

4. Let \(A \subseteq B\). Then, to remove all elements of \(A\) from \(B\), we can do it with the help of the equation

\[ \mathrm{B}^{\wedge} \mathrm{A} . \]

In programming languages \(\mathrm{C} / \mathrm{C}++\) and Java there is no standard type"set" and standard operations with sets [Todorova, 2011]. In this case we have to look for additional instruments to work with sets - for example the associative containers set and multiset realized in Standard Template Library (STL) [Azalov, 2008, Collins, 2003, Horton, 2015, Lischner , 2009, W ilson, 2007]. It can be used the template class set of the system of computer algebra ”Symbolic C++”, programming code is given in details in [Tan et al., 2000]. Of course we can be built another class set, and specific methods of this class can be described, as a training. This is a good exercise for the students, when the cardinal number of the basic (”universal”) set \(\mathcal{U}\) is not very big. Below we give the solution of this task using bitwise operations [Kostadinova and Yordzhev, 2011, Yordzhev, 2018a].

Example 7. The class Set_N describes construction and operations with sets of integers by means of overloading of operators and using bitwise operations:

class Set_N{/*The set is encoded by a non-negative integer n in binary notation:*/unsigned int n;public:/*Constructor without parameter – it creates the empty set:*/Set_N(){n = 0;}/*Constructorwithparameter–itcreatesasetcontainingthe integer, if and onlyif the-th bit of the parameter k is 1:*/Set_N(unsigned int k);{n = k;}/*
Returns the integer n that encodes the set:*/get_n(){return n;}/*The intersectionoftwo sets.This operationwe willdenote withA*B:*/Set_N operator * (Set_N B){return (this->n) & B.get_n();}/*The unionof two sets. This operation we will denote withA+B:*/Set_N operator + (Set_N B){return (this->n) | B.get_n();}/*The unionof the setwith the one-element set. Thisoperationwe will denote withA+k:*/Set_N operator + (int k){return (this->n) | (1<<(k-1));}/*Adding the integerto the set. This operationwe will denote with k+A.Here we have to note that from the algorithmic point of viewA+ k and k +Aare re-alized dierently, takinginto account the standard ofC++ programming language,regardless of commutativity for the operation of union of two sets:*/friend Set_N operator + (int, Set_N);/*Removing the integer k from the setA. IfthenAdoes not change. Thisoperation we will denote withA-k:*/Set_N operator – (int k){
int temp = (this->n) ^ (1<<(k-1));return (this->n) & temp;}/*Bydenition.Thisoperationwewilldenotewith A-B:*/Set_N operator – (Set_N B){int temp = this->n ^ B.get_n();return (this->n) & temp;}/*Checking whether, that is, whether the setcontains the subset.This operation we will denote withA>=B. The result is true or false:*/bool operator >= (Set_N B){return (this->n | B.get_n()) == this->n;}/*Checking whether, that is, whether the setis subset of the set.This operation we will denote withA<=B. The result is true or false:*/bool Set_operator <= (Set_N B){return (this->n | s.get_n()) == B.get_n();}/*Verifying that setsandare equal to each other we will denote withA==B.The result is true or false:*/bool operator == (Set_N B){return ((this->n ^ B.get_n()) == 0);}/*Checking whether the setsandaredierentwillbedenotedby A!=B.The result is true or false:*/bool operator != (Set_N B)
{return !((this->n ^ B.get_n()) == 0);}/*Checks whether the integer k belongs to the set:*/bool in(int k){return this->n & (1<<(k-1));}}Set_N operator + (int k, Set_NA){return (1<<(k-1)) |A.get_n();}

5. An entertainment example – algorithm to obtain a random Latin square using bitwise operations

A Latin square of order \(n\) is a \(n \times n\) matrix where each row and column is a permutation of elements of the set \(\{1,2, \ldots, n\}\). Thus far it is known the number of all Latin squares of order \(n\), where \(n \leq 11\) [McKay and Wanless, 2005, Sloane, 2019].

Latin squares and hypercubes have their applications in coding theory , error correcting codes, information security , decision making, statistics, cryptography , conflict-free access to parallel memory systems, experiment planning, tournament design, enumeration and study of H-functions, etc [Kovachev, 2011, Laywine and Mullen, 1998].

A special kind of Latin squares are the Sudoku-matrices [Yordzhev, 2018b].

Definition. [Yordzhev, 2016] A matrix \(M_{n \times n}=\left(\alpha_{i j}\right)_{n \times n}\) is called an exponential Latin square of order \(n\) if the following condition hold:

1. For every \(i, j \in\{1,2, \ldots, \mathrm{n}\}\) there exists \(k \in\{1,2, \ldots, \mathrm{n}\}\), such that \(\alpha_{i, j}=2^{k}\);

2. The matrix \(M_{n \times n}{ }^{\prime}=\left(\log _{2} \alpha_{i j}\right)_{n \times n}\) is a Latin square of order \(n\).

If \(n\) is a positive integer, then it is readily seen that the set of all \(n \times n\) Latin squares and the set of all \(n \times n\) exponential Latin squares are isomorphic.

In this section we will show that it is easy to create an algorithm for generating random exponential Latin squares of order \(n\) using bitwise operations. The presentation of the subsets of the set \(\mathcal{U}=\{1,2, \ldots n\}\) using the formula (2) and the convenience in this case to work with bitwise operations are the basis of algorithm described by us. Some other algorithms for obtaining random Latin squares and random Sudoku matrices and their valuation are described in detail in [DeSalvo, 2017, Fontana, 2011, Yordzhev, 2012, Yordzhev, 2016].

Example 8. A program code for obtaining \(N \times N\) random Latin squares:

#dene N 12 // N is the order of the Latin square.int U = (1</* U represents the universal set {1,2, ... ,N}according to equation (3)*/int L[N][N];/*L– exponential Latin square*/int choice(int k){/* In this case, “choice” means random choice of a 1from the binary notation of positive integer k, 0if (k<=0 || k>U){cout<<”The choice is not possible \n”;return 0;}int id =0;/* id – the number of 1 in the binary notation of k */for (int i=0; i{if (k & 1<}srand(time(0));int r = rand();/* r is a random integer, 1<=r<=id. The function willchooses the r-th 1 from the binary notation of k.*/int s=0, t=1;while (1){if (k&t) s++;
/* s-th bit of the integer k is equal to 1. */if (s==r) return t;/*The function returns the integer t=2^{r-1},which represents the singleton {r}. */t=t<<1;/* t=t*2 and check the next bit */}}void use(){/* In this case “use” means “printing” */for (int i=0; i{for (int j=0; j{cout<}cout<}}int main(){int row,col;int A;/*Arepresents a subset of {1,2,...,n}according to equation (2) */for (row=0; row{col =0;while (colA=0; // empty setfor (int i=0; iA=A| L[i][col];for (int j=0; jA=A| L[row][j];A= U ^A;/*The algorithm will select an element of this setand insert it into the next position. */if (A!=0){L[row][col] = choice(A);
col++;}else col = 0;}}use();return 0;}

With the help of algorithm described in Example 8, we received a lot of random exponential Latin squares, for example the next one of order 12:

REFERENCES

Azalov, P. (2008). Object-oriented programming. Data structures and STL. Ciela, Sofia. (in Bulgarian)

Collins, W. (2003). Data structures and the standard template library. McGraw-Hill, New York.

Davis, S. R. (2014). C++ for Dummies. John Wiley & Sons, N.J., 7 edition.

DeSalvo, S. (2017). Exact sampling algorithms for latin squares and sudoku matrices via probabilistic divide-and-conquer. Algorithmica, 79(3): 742 – 762.

Evans, B. J. and Flanagan, D. (2015). Java in a Nutshell. O’Reilly, 6 edition.

Fontana, R. (201 1). Fractions of permutations. an application to sudoku. Journal of Statistical Planning and Inference, 141(12): 3697 – 3704.

Glushakov, S. V., Koval, A. V. and Smirnov, S. V. (2001). The C++ Programming Language. Folio, Kharkov. (in Russian)

Hadzhikolev, E. and Hadzhikoleva, S. (2016). Fundamentals of programming with Java. University Publishing House ”Paisiy Hilendarski”, Plovdiv , (in Bulgarian).

Horton, I. (2015). Beginning STL: Standard Template Library. Apress.

Kernighan, B. W. and Ritchie, D. M. (1998). The C programming Language. AT&T Bell Laboratories, N.J., 2 edition.

Kostadinova, H. and Yordzhev, K. (201 1). An entertaining example for the usage of bitwise operations in programming. In Proceedings of the Fourth International Scientific Conference – FMNS2011, volume 1, pages 159–168, Blagoevgrad, Bulgaria. SWU “N. Pilsky”.

Kovachev, D. S. (2011). On some classes of functions and hypercubes. Asian-European Journal of Mathematics, 4(3):451 – 458.

Laywine, C. F . and Mullen, G. L. (1998). Discrete Mathematics Using Latin Squares. Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization (Book 49). John Wiley & Sons, New York.

Lischner, R. (2009). STL Pocket Reference. O’Reilly Media.

McKay, B. D. and Wanless, I. M. (2005). On the number of latin squares. Annals of Combinatorics, 9(3):335 – 344.

Schildt, H. (2014). Java: The Complete Reference. McGraw-Hill, 9 edition.

Schildt, H. (2017). Java: A Beginner’s Guide. McGraw-Hill, 7 edition.

Sloane, N. J. A. (2019). A002860 – number of latin squares of order \(n\); or labeled quasigroups. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS). http://oeis.org/A268523, Last accessed on 9 April 2016.

Tan, K. S., Steeb, W.-H., and Hardy, Y. (2000). Symbolic C++: An Introduction to Computer Algebra using Object-Oriented Programming. Springer-Verlag, London.

Todorova, M. (2002a). Programming in \(C++\), volume 1. Ciela, Sofia (in Bulgarian).

Todorova, M. (2002b). Programming in \(C++\), volume 2. Ciela, Sofia (in Bulgarian).

Todorova, M. (201 1). Data structures and programming in \(C++\). Ciela, Sofia (in Bulgarian).

Wilson, M. D. (2007). Extended STL: Collections and iterators. Extended STL. Addison-Wesley.

Yordzhev, K. (2012). Random permutations, random sudoku matrices and randomized algorithms. International Journal of Mathematical Sciences and Engineering Applications, 6(VI): 291 – 302.

Yordzhev, K. (2016). Bitwise operations in relation to obtaining latin squares. British Journal of Mathematics & Computer Science, 17(5): 1 – 7.

Yordzhev, K. (2018a). The bitwise operations in relation to the concept of set. Asian Journal of Research in Computer Science, 1(4): 3072 – 3079.

Yordzhev, K. (2018b). How does the computer solve sudoku - a mathematical model of the algorithm. Mathematics and informatics, 61(3): 259 – 264 (in Bulgarian, abstract in English).

Yordzhev, K. (2019). Bitwise Operations and Combinatorial Applications. LAP Lambert Academic Publishing.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Canatalay, Ashima, Kukkar, Sadiq Hussain, Arun Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa Mahareek, Abeer Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
EDITORIAL / КЪМ ЧИТАТЕЛЯ

Сава Гроздев

STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić, Шефкет Арсланагич

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.