Математика и Информатика
Вход / Регистрация

https://doi.org/10.53656/math2021-5-2-pod

2021/5, стр. 483 - 489

ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов
E-mail: kortezov@math.bas.bg
Institute of Mathematics and Informatics
Bulgarian Academy of Sciences
Acad. G. Bonchev St. Block 8
1113 Sofia Bulgaria
Емил Карлов
E-mail: karlovemil@gmail.com
Мирослав Маринов
E-mail: miri_plovdiv@abv.bg

Резюме: Статията съдържа състезателните теми за селекция на отбора на България за Младежката балканска олимпиада по математика 2021, както и преглед на представянето на отбора. Включените тук материали могат да са от полза за школите за подготовка за математически състезания VII – IX клас.

Ключови думи: математически състезания; Младежка балканиада по математика; селекционни контролни

Разширеният отбор на България за XXV младежка балканска олимпиада по математика (МлБОМ) беше избран съгласно наредбата на МОН въз основа на резултатите от Зимните математически състезания (за VIII и IX клас), Пролетните математически състезания (за VII, VIII и IX клас) и Националния кръг на олимпиадата по математика (за VII и VIII клас). Шестимата участници в разширения отбор, постигнали най-висок сбор на двете проведени контролни работи (\(29-30.5 .2021\) ), съставиха отбора на България за МлБОМ. Ето задачите от тези контролни и решенията им.

Задача 1. а) За реалните числа \(x, y, z, t\) докажете \[ (x(y+z)+y(z+t)+z(t+x)+t(x+y))^{2} \geq 8(x+z)(y+t)(x z+y t) . \] б) Краен или безкраен е броят четворки (\(x, y, z, t\) ) от различни цели числа, при които се достига равенство?

Решение. а) Да положим \(A=x y+y z+z t+t x\) и \(B=x z+y t\). Лявата страна е равна на \((A+2 B)^{2}\), а дясната е \(8 A B\) и исканото е еквивалентно на очевидното \((A-2 B)^{2} \geq 0\).

б) Изборът \(t=0\) свежда \(A=2 B\) до \(x y+y z=2 x z\) и значи при \(x+z=1\) имаме \(y=2 x z\). Следователно безкрайното семейството от четворки \((a, 2 a(1-a), 1-a, 0)\) за цяло \(a \neq 0,1\) изпълнява исканото.

Оценяване. а) 6 т., от които по 2 т. за забелязване на всяко от \(A\) и \(B\) и 2 т. за завършване (при незавършени идеи с груби разкривания на скоби – най-много 1 т.); 4 т. за б) от които 0 т. за верен отговор, 1 т. за опростяване от вида “\(t=0\)”, 2 т. за деклариране на работещо безкрайно семейство и 1 т. за проверка, че е такова: най-вече отбелязване на изключения, каквито например са в указаното решение, или явно избягване на такива (например с условието \(a \geq 2\) ).

Задача 2. На страните \(B C\) и \(C A\) на остроъгълен \(\triangle A B C\) навън от триъгълника са построени квадрати \(C B A_{1} M\) и \(A C N B_{1}\). Да се докаже, че правите \(A A_{1}\) и \(B B_{1}\) се пресичат върху височината \(C C_{1}\) на \(\triangle A B C\).

Решение. Построяваме квадрат \(A B E F\) навън от \(\triangle A B C\). Ротацията на \(\triangle A F E\) около \(A\) на \(90^{\circ}\)

дава \(C F \perp B B_{1}\), т.е. \(B B_{1}\) е успоредна на височината \(E E_{1}\) в \(\triangle F E C\). По същите причинипресича \(A A_{1}\) т ве успоредна точка \(H\). Транслацията с на височината вект \(F F_{1}\)ор. Нека \(\overrightarrow{F A}\) изпраща висо височините \(C C_{1}, E E_{1}\) чините ви правите \(F F_{1}\) се \(B B_{1}, A A_{1}\); търсената пресечна точка е образът на \(H\).

Оценяване. 1т. за построяване на \(H, 3\) т. за \(C F \perp B B_{1}\) и \(C E \perp A A_{1} ; 1\) т. \(B B_{1} \| E E_{1}\) и \(A A_{1} \| F F_{1}, 5\) т. за завършване.

Задача 3. Ще наричаме „г-тримино“ квадрат \(2 \times 2\) с отстранено едно поле \(1 \times 1\).

a) От квадрат \(5 \times 5\) изрязали 8 г-тримина и едно поле останало; кое може да е то?

б) Намерете всички двойки естествени ( \(m ; n\) ), \(m \leq n\), за които е възможно да покрием правоъгълник \(m \times n\) с няколко слоя от г-тримина, така че никое да не стърчи извън правоъгълника и всяко поле на правоъгълника да е покрито с еднакъв брой г-тримина.

Решение. а) Да оцветим следните 9 полèта: централното, ъгловите 4 и 4-те до средите на страните. Всяко от 8-те г-тримина може да има най-много едно оцветено поле, така че деветото оцветено поле трябва да е останало. Всяко от тези 9 полèта е възможно, както личи от чертежите:

*
*
*

б) Явно трябва \(m \gt 1\). Квадрат \(2 \times 2\) се покрива с 3 слоя г-тримина, а правоъгълник \(2 \times 3\)– с 1 слой; това гарантира успех във всички случаи, когато поне едно от числата \(m, n\) е четно. Ако \(m=3\) и \(n=2 k-1\), да запишем в нечетните полета от нечетните редове числото −2, а в останалите да запишем 1; сборът от числата в таблицата е \(3(2 k-1)-3.2 k=-3\), а всяко г-тримино покрива полета с неотрицателен сбор, така че желаното е непостижимо. Ако \(m=5\) и \(n=2 k-1\), да запишем в нечетните полета от нечетните редове числото −2, а в останалите да запишем 1; сборът от числата в таблицата е \(5(2 k-1)-3.3 k=k-5\) и понеже всяко г-тримино покрива полета с неотрицателен сбор, трябва \(k \geq 5\). Това наистина е възможно: таблица \(5 \times 9\) се запълва лесно, като се следва изискването всяко тримино да съдържа някое от полетата с −2 (има много начини; от участниците се изисква един), а за по-големи \(k\) е достатъчно да се добавят подходящ брой \(2 \times 2\) и \(2 \times 3\). По същите причини са възможни случаите, ако единият размер на таблицата е поне 9. А таблица \(7 \times 7\) може да се покрие с \(2 \times 2,2 \times 3\) и едно г-тримино, така че и този случай е възможен. Окончателно, възможни са единствено случаите, когато размерите са по-големи от 1, поне един е четен или ако са два нечетни, то са по-големи от 3 и сборът им е поне 14.

Оценяване. а) 1 т.за оценката и 1 т. при наличие на трите типа примери; б) 1т. общо за пълен анализ на случаите с наличие на размер 1 и на четен размер; 2т. общо за случаите \(3 \times(2 k-1) ; 2\) т. общо за случаите \(5 \times(2 k-1) ; 1\) т. за случая \(7 \times 7 ; 2\) т. за завършване.

Задача 4. Да се намери най-малкото естествено число \(d\) със свойството: за всяко естествено число \(m\) съществуват естествени числа \(a \gt b \gt c\) в интервала \(\left[m^{4}+2 ; m^{4}+m^{2}+d m\right]\), такива че \(c\) дели произведението \(a b\).

Решение. При \(m=1\) и \(d \leq 3\) няма подходящи числа. Ще покажем, че \(d=4\) изпълнява исканото. За \(m=1\) избираме \(c=3, b=4, a=6\). Ако \(m \geq 2\), избираме \(c=\left(m^{2}-2 m+2\right)\left(m^{2}+2 m+2\right)=m^{4}+4, \quad b=\left(m^{2}-2 m+2\right)\left(m^{2}+2 m+3\right)=m^{4}+m^{2}-2 m+6\), \(a=\left(m^{2}-2 m+3\right)\left(m^{2}+2 m+2\right)=m^{4}+m^{2}+2 m+6\), които отговарят на условието за \(d \geq 4, m \geq 2\).

Оценяване. Общо 1 т. за отхвърляне на \(d \leq 3\) и ясно твърдение, че \(d=4\) работи (0т. при едно от двете); 1 т. за справяне с \(m=1 ; 4\) т. за ясна формулировка на работеща конструкция; 4т. за пълна проверка на конструкцията.

Коментар. Няколко от решилите задачата се досетиха за ефикасния избор \(c=m^{4}+m\), придружен от \(b=m^{2}-m+1\) и \(a=m^{2}+m\).

Задача 5. Успоредните прави \(a, b\) са на разстояние 1 една от друга. Квадрат \(A B C D\) има страна 1. Прaвата \(a\) пресича страните \(A B, B C\) съответно в точки \(M, P\). Прaвата \(b\) пресича страните \(C D, D A\) съответно в точки \(N, Q\). Да се намери ъгълът между пресичащите се вътре в квадрата прави \(M N\) и \(P Q\).

Решение. Точката \(Q\) е на разстояние 1 от \(P C\) и \(P M\), така че лежи на външната ъглополовяща при върха \(P\) на правоъгълния \(\triangle M B P\). По същите причини \(M N\) е външна ъглополовяща при \(M\) на \(\triangle M B P\). Формулата за ъгъл между външни ъглополовящи дава отговор \(90^{\circ}-\tfrac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}\).

Оценяване. 6т. за доказване, че \(M N\) и \(P Q\) са външни ъглополовящи;4 т. за завършване.

Задача 6. Ако \(a, b, c\) са положителни реални числа, за които \(a b c(a+b+c)=3\), то намерете (ако съществува) най-малката стойност на израза \((a+b)(a+c)\).

Решение. Имаме \((a+b)(a+c)=a(a+b+c)+b c=3: b c+b c \geq 2 \sqrt{3}\) от неравенството между средно аритметично и средно геометрично с равенство при \(b c=\sqrt{3}\). Ако фиксираме \(b=1, c=\sqrt{3}\), то \(a(a+1+\sqrt{3})=\sqrt{3}\) води до квадратно уравнение, в което старшият коефициент и свободният член са с противоположни знаци, така че дискриминантата е положителна и един от корените на уравнението е положителен, т.е. наистина стойността \(2 \sqrt{3}\) се достига за числа с дадените ограничения.

Оценяване. 2 т. за свеждане до условие за \(b c ; 3\) т. за доказване, че изразът е не по-малък от \(2 \sqrt{3} ; 5\) т. за доказване, че стойността се достига за числа с дадените ограничения.

Задача 7. Да се намерят всички прости числа \(p\), такива, че за всеки две (не непременно различни) естествени числа \(x\) и \(y\) числото \((x+y)^{19}-x^{19}-y^{19}\) се дели на \(p\).

Решение. При \(x=y=1\) имаме, че \(p\) дели \(2^{19}-2=2 \cdot\left(2^{9}-1\right) \cdot\left(2^{9}+1\right)=2 \cdot 3^{3} \cdot 7 \cdot 19 \cdot 73\), а при \(x=2, y=1\) имаме, че \(p\) дели \(3^{19}-2^{19}-1\), като директно се проверява, че 73 не дели последното, например чрез \(3^{19} \equiv\left(3^{3}\right) \cdot\left(3^{4}\right)^{4} \equiv 27 \cdot 8^{4} \equiv 27 \cdot(-9)^{2} \equiv 27 \cdot 8 \equiv 70\) и \(2^{19} \equiv 2.64^{3} \equiv 2 .(-9)^{3} \equiv-18.81 \equiv-18.8 \equiv 2\), всичките по модул 73 (принципно \(3^{19}-2^{19}-1=2.3 .7^{2} .19 .207973\), като \(207973\) е просто – в тази ситуация това не ни е необходимо). Така непременно \(p=2,3,7,19\) и ще проверим, че тези работят.

От теоремата на Ферма по модул \(19(x+y)^{19} \equiv x+y, x^{19} \equiv x, y^{19} \equiv y\) и исканото следва за \(p=19\).

За \(p=7\) по модул 7 за цяло \(a\) от Ферма \(a^{19} \equiv a^{7} \cdot a^{6} \cdot a^{6} \equiv a \cdot a^{6} \cdot a^{6} \equiv a^{7} \cdot a^{6} \equiv a \cdot a^{6} \equiv a\) и сме готови.

За \(p=2,3\) можем да постъпим както по-горе или чрез бързи директни проверки, както следва. При \(p=2\), ако \(x\) (аналогично и за \(y\) ) е нечетно, числата \(x+y\) и \(x\) са с еднаква четност и сме готови; иначе \(x\) и \(y\) са нечетни, \(x+y\) е четно и исканото пак е изпълнено. При \(p=3\) случаят, когато \(x\) или \(y\) се дели на 3, е директен; ако \(x \equiv y \equiv 1\),то \(2^{19}-2\) се дели на 3, понеже нечетните степени на 2 дават остатък 2 по модул 3; ако \(x \equiv y \equiv 2\), то \(4^{19}-2.2^{19} \equiv 1-2^{20}\) се дели на 3, понеже четните степени на 2 дават остатък 1; ако \(x \equiv 2, y \equiv 1\) (или обратното), то искаме \(-2^{19}-1\) да се дели на 3, и довършваме както във втория случай.

Оценяване. 2 т. за извод от полагане, което ясно показва, че \(p=2,3,7,19\) (и най-много две други \(p\) ) са евентуални кандидати; 4 т. за отхвърляне на излишните \(p ; 1\) т. за проверката на \(p=19,2\) т. при изцяло коректна проверка за \(p=7\), общо 1 т. за проверката на \(p=2\) и \(p=3\) (0 т., ако само едното е разгледано).

Задача 8. Числата \(k, m, n\) са естествени и по-големи от 2. Във всеки връх на \(n\)-ъгълник е записано цяло число от интервала \([0 ; m]\). За един ход се избират две съседни числа и се увеличават с по 1. С дадена двойка върхове може да се извършва ход не повече от \(k\) пъти. При кои стойности на \(m, n, k\) е сигурно, че всички числа могат да се изравнят независимо от началните им стойности?

Решение. Номерираме върховете на \(n\)-ъгълника поред \(1,2,3, \ldots ;\) нека \(A\) е сборът от числата на четни позиции, а \(B\)– този на нечетни. Ако \(n\) е четно, ходовете не променят \(A-B\), така че няма как да го направим 0, ако не е било 0 отначало, т.е. не може да се гарантира успех. Нека сега \(n\) е нечетно, \(n=2 j+1\); номерацията на върховете е по модул \(n\). Нека от \(B\) изключим последното събираемо. Ако първоначално числата на четни позиции са равни на \(m\), а останалите на 0, то \(A-B=m j\). С всеки ход тази величина не се променя или се намалява с 1 (ако добавим 1 към \(n\)-тото и първото число), или се увеличава с 1 (ако добавим 1 към \(n-1\)-вото и \(n\)-тото число). При желаната цел \(A-B=0\), така че са нужни поне \(m j\) хода с двойката, съдържаща \(n\)-тия и първия връх. И така, необходимо е \(k \geq m j\). Ако \(k \geq m j\), нека за всяко \(i\) извършим ход с двойката числа на позиции \(i\) и \(i+1\) толкова пъти, колкото е сборът на числата на позиции \(i+2, i+4, \ldots, i+2 j\) (този сбор е най-много \(m j\) ); по този начин числото във всеки връх ще стане равно на сбора на числата в първоначалната ситуация (понеже то ще участва в ходове и с левия, и с десния си съсед). Отговор: точно когато \(n=2 j+1\) за цяло \(j\) и \(k \geq m j\).

Оценяване. 1 т. за случая с четно \(n\); 4 т. за доказване, че \(k \geq m j\) е необходимо; 5 т. за доказване, че \(k \geq m j\) е достатъчно.

След определяне на отбора на България беше проведена 25-дневна подготовка с целия Разширен отбор, която в дистанционните си фази включваше и други участници в тази възрастова група, постигнали високи резултати в състезанията. В подготовката освен авторите на настоящата статия се включиха и бивши ръководители на националните отбори и участници в тях; тя се състоеше от дистанционно обучение (\(5.6-25.6 .2021\) ) и присъствено по 6 учебни чàса лекции плюс мат бой, както и контролна работа при правилата на МлБОМ в Центъра за подготовка на ученици за олимпиади на МОН (25 – 29.6.2021). Самата МлБОМ, организирана от Математическото общество на Югоизточна Европа (MASSEE), през 2021 имаше за формален домакин Молдова. В олимпиадата взеха участие ученици от 22 отбора от 21 държави. Резултатите на българския национален отбор са следните:

1234СборМедалМарин Христов Христов101010333златенДемира Георгиева Недева31010124сребъренВеселин Николаев Маркович10100323сребъренДавид Георгиев Йорданов1100011бронзовМилен Миленов Шуманов3100215бронзовГеорги Николаев Илиев1100314бронзовБЪЛГАРИЯ28602012120

В отборното класиране сред официалните участници България зае второ място след отбора на Румъния, а сред неофициалните по-добри от нашия са резултатите на Саудитска Арабия и Казахстан, две държави със силна държавна подкрепа в подготовката на отборите си.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.