2014/2, стр. 139 - 154

ХОМОТЕТИЧНИ КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ В РАВНИНАТА НА ТРИЪГЪЛНИК

Резюме: В настоящата статия е описан един начин за обединяване на коничните сечения в равнината на даден триъгълник в класове от хомотетични криви. Тези класове се определят от описаните за триъгълника конични сечения.

Ключови думи: triangle, homothety, conic, pole, polar

Всяко конично сечение, описано около фиксиран \(\triangle A B C\), притежава характерни афинни и метрични параметри, по които то се различава от всички останали описани конични сечения за \(\triangle A B C\). Оказва се освен това, че всяко такова конично сечение определя цял клас от конични сечения в равнината на \(\triangle A B C\) с хомотетични свойства. В следващите редове ще опишем аналитично тези класове, като за целта ще използваме барицентрични координати спрямо \(\triangle A B C\) с \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\).

Нека \(k(O)\) е описано около \(\triangle A B C\) конично сечение с център \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\). Ако \(\bar{k}(O)\) е елипса или хипербола, то \(x_{0}+y_{0}+z_{0}=1\), а ако е парабола, имаме \(x_{0}+y_{0}+z_{0}=0\). Точките от кривата \(\bar{k}(O)\) се описват с уравнението:

(1)\(\bar{k}(O):\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} y z+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} z x+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} x y=0\).

Разглеждаме крива от втора степен \(\bar{c}\) в равнината на \(\triangle A B C\), която е определена със следното уравнение:

(2)\(\bar{c}: a_{23} y z+a_{31} z x+a_{12} x y+\left(a_{11} x+a_{22} y+a_{33} z\right)(x+y+z)=0\),

където \(a_{i j}(i, j=1,2,3)\) са реални числа. По-нататък, в няколко етапа ще опишем при какви условия кривата \(\bar{c}\) е хомотетична на \(\bar{k}(O)\) и ще се спрем на някои свойства на \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\), свързани с тяхната хомотетичност.

1. Уравнение на крива, хомотетична на \(\bar{k}(O)\). Ако \(\bar{c}\) е хомотетична на \(\bar{k}(O)\), двете криви имат едни и същи безкрайни точки. Те са общите решения на уравненията (1), (2) и уравнението на безкрайната права \(x+j+z=0\). Следователно безкрайните точки, принадлежащи на кривата \(\bar{c}\), са решения на уравнението \(a_{31} x^{2}+\left(a_{23}+a_{31}-a_{12}\right) x y+a_{23} y^{2}=0\), а тези на \(\bar{k}(O)\) са решения на уравнението \[ \left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} x^{2}+\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) x y+\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} y^{2}=0 . \]

Последните уравнения имат едни и същи решения тогава и само тогава, когато са изпълнени равенствата \(a_{23}=k \cdot\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}, a_{31}=k \cdot\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}\) и \(a_{12}=k .\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\), където \(k\) е различно от нула реално число. Така показахме, че когато \(\bar{c}\) и \(\bar{k}(O)\) са хомотетични, кривата \(\bar{c}\) може да се представи с уравнение от вида:

(3)\[ \begin{aligned} \bar{c}: & k \cdot\left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} y z+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} z x+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} x y\right]+ \\ & +\left(a_{11} x+a_{22} y+a_{33} z\right)(x+y+z)=0 \end{aligned} \]

Обратно, ако кривата \(\bar{c}\) се представя с уравнение (3), тя има същите безкрайни точки като \(\bar{k}(O)\). Следователно видът на \(\bar{c}\) съвпада с вида на \(\bar{k}(O)\). Оттук обаче не следва, че двете криви са хомотетични. Последното може да се забележи по следния начин. Нека \(\bar{c}\) е хипербола, която лежи в ъгъл \(\alpha\), определен от асимптотите на \(\bar{c}\). Ако \(\bar{c}\) е хомотетична на \(\bar{k}(O)\), а \(\tilde{c}\) е хипербола, която има същите асимптоти като \(\bar{c}\), но лежи в ъгъла, допълнителен на \(\alpha\), то за \(\tilde{c}\) са в сила проведените по-горе разсъждения за криви с общи безкрайни точки. Следователно хиперболата \(\tilde{c}\) също може да се представи с уравнение от вида (3), но тя не е хомотетична на \(\bar{k}(O)\). По-нататък кривите от този вид ще включим в специален клас хомотетични криви, определени от \(\bar{k}(O)\).

2. Център на крива \(\overline{\boldsymbol{c}}\), определена с уравнение (3). Ако \(\bar{k}(O)\) е парабола, както беше отбелязано, кривата \(\bar{c}\) с уравнение (3) има същата безкрайна точка като \(\bar{k}(O)\). Тъй като в този случай безкрайната точка е център, то параболата \(\bar{c}\) има за център безкрайната точка \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}+z_{0}=0\right)\). По-нататък ще определим координатите на центъра на кривата \(\bar{c}\), когато тя е елипса или хипербола. За целта от барицентрични координати спрямо \(\triangle A B C\) ще преминем към афинни координати спрямо координатна система с център \(O\) и координатни вектори \(\overrightarrow{C A}\) и \(\overrightarrow{C B}\).

Нека \(\Omega\) е произволна точка в пространството, а \(\overrightarrow{e_{1}}\left(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}\right)\) и \(\overrightarrow{e_{2}}\left(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}\right)\) \(\left(\alpha_{i}+\beta_{i}+\gamma_{i}=0 ; i=1,2\right)\) са неколинеарни вектори. За произволна точка \(P(x, y, z)\) \((x+y+z=1)\) от равнината на \(\triangle A B C\) са изпълнени равенствата \(\overrightarrow{\Omega P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}\) и \(\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{\Omega P}-\overrightarrow{\Omega O}=X \overrightarrow{e_{1}}+Y \overrightarrow{e_{2}}\), където (\(X, Y\) ) са координатите на \(P\) спрямо афинната координатна система \(O \overrightarrow{e_{1} e_{2}}\). От последното равенство получаваме \(\overrightarrow{\Omega P}=\overrightarrow{\Omega O}+X \overrightarrow{e_{1}}+Y \overrightarrow{e_{2}}\). Сега, като използваме, че \(\overrightarrow{\Omega O}=x_{0} \overrightarrow{O A}+y_{0} \overrightarrow{O B}+z_{0} \overrightarrow{O C}, \vec{e}_{1}=\alpha_{1} \overrightarrow{O A}+\beta_{1} \overrightarrow{O B}+\gamma_{1} \overrightarrow{O C}\) и \(\overrightarrow{e_{2}}=\alpha_{2} \overrightarrow{O A}+\beta_{2} \overrightarrow{O B}+\gamma_{2} \overrightarrow{O C}\), намираме формулите, свързващи барицентричните координати \((x, y, z)\) с афинните \((X, Y)\) във вида

(4) \[ x=x_{0}+\alpha_{1} X+\alpha_{2} Y, y=y_{0}+\beta_{1} X+\beta_{2} Y, z=z_{0}+\gamma_{1} X+\gamma_{2} Y \]

От (4) при \(\overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{C A}(1,0,-1)\) и \(\overrightarrow{e_{2}}=\overrightarrow{C B}(1,-1,0)\) получаваме равенствата

(5) \[ x=x_{0}+X+Y, y=y_{0}-Y, z=z_{0}-X \]

Нека \(\bar{\kappa}\) е произволна крива от втора степен в равнината на \(\triangle A B C\), представена с уравнението

(6) \[ \bar{\kappa}: \bar{a}_{11} x^{2}+\bar{a}_{22} y^{2}+\bar{a}_{33} z^{2}+2 \bar{a}_{23} y z+2 \bar{a}_{13} z x+2 \bar{a}_{12} x y=0 \]

След заместване на (5) в (6) определяме афинното уравнение на произволна крива \(\bar{\kappa}\) във вида

(7) \[ \begin{aligned} & \left(\bar{a}_{11}+\bar{a}_{33}-2 \bar{a}_{13}\right) X^{2}+2\left(\bar{a}_{11}-\bar{a}_{12}+\bar{a}_{23}-\bar{a}_{13}\right) X Y+\left(\bar{a}_{11}+\bar{a}_{22}-2 \bar{a}_{12}\right) Y^{2}+ \\ \bar{\kappa}: & +2\left[\left(\bar{a}_{11}-\bar{a}_{13}\right) x_{0}+\left(\bar{a}_{12}-\bar{a}_{23}\right) y_{0}+\left(\bar{a}_{13}-\bar{a}_{33}\right) z_{0}\right] X+ \\ & +2\left[\left(\bar{a}_{11}-\bar{a}_{12}\right) x_{0}+\left(\bar{a}_{12}-\bar{a}_{22}\right) y_{0}+\left(\bar{a}_{13}-\bar{a}_{23}\right) z_{0}\right] Y+ \\ & +\bar{a}_{11} x_{0}^{2}+\bar{a}_{22} y_{0}^{2}+\bar{a}_{33} z_{0}^{2}+2 \bar{a}_{23} y_{0} z_{0}+2 \bar{a}_{13} z_{0} x_{0}+2 \bar{a}_{12} x_{0} y_{0}=0 \end{aligned} \]

След прилагане на (7) за кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\), представени с уравненията (1) и (3), получаваме съответните им афинни уравнения

(8)
(9) \[ \begin{aligned} & \bar{k}(O):\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} X^{2}+\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) X Y+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} Y^{2}-x_{0} y_{0} z_{0}=0 \\ & \bar{c}: \begin{array}{l} k\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} X^{2}+k\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) X Y+k\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} Y^{2}+ \\ \quad+\left(a_{33}-a_{11}\right) X+\left(a_{22}-a_{11}\right) Y-\left(k x_{0} y_{0} z_{0}+a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)=0 \end{array} \end{aligned} \]

Сега, според аналитичната геометрия (Мартинов, 1989) центърът на крива с уравнение (9) се определя от системата уравнения

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & 2 k\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} X+k\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) Y+a_{33}-a_{11}=0 \\ & k\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) X+2 k\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} Y+a_{22}-a_{11}=0 \end{aligned}\right. \]

Тази система има следните решения:

\[ X_{0}=-\cfrac{a_{11}\left(1-2 x_{0}\right)+a_{22}\left(1-2 y_{0}\right)-2 a_{33} z_{0}}{k\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)}, Y_{0}=-\cfrac{a_{11}\left(1-2 x_{0}\right)-2 a_{22} y_{0}+a_{33}\left(1-2 z_{0}\right)}{k\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)} . \] Ако \(O_{1}\left(x_{O_{1}}, y_{O_{1}}, z_{O_{1}}\right)\) е центърът на кривата \(\bar{c}\), след заместване на последните равенства в (5) намираме координатите на \(O_{1}\) чрез формулите

(10)\[ \begin{aligned} & x_{O_{1}}=x_{0}-\cfrac{-2 a_{11} x_{0}+a_{22}\left(1-2 y_{0}\right)+a_{33}\left(1-2 z_{0}\right)}{k\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)} \\ & y_{O_{1}}=y_{0}-\cfrac{a_{11}\left(1-2 x_{0}\right)-2 a_{22} y_{0}+a_{33}\left(1-2 z_{0}\right)}{k\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)} \\ & z_{O_{1}}=z_{0}-\cfrac{a_{11}\left(1-2 x_{0}\right)+a_{22}\left(1-2 y_{0}\right)-2 a_{33} z_{0}}{k\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)} \end{aligned} \]

3. Радикална ос на кривите \(\overline{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{O})\) и \(\overline{\boldsymbol{c}}\). От уравненията (1) и (3) се вижда, че ако кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) имат общи крайни точки, тези точки лежат върху права \(r\) с уравнение

r : a11 ) \(\quad r: a_{11} x+a_{22} y+a_{33} z=0\)(11) .

Следователно, изпълнено е следното

Твърдение 1. Кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) имат най-много две общи крайни точки.

Правата \(r\) съществува независимо от това, дали \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) имат, или нямат общи точки. Оказва се, че правата \(r\) притежава редица свойства, които има радикалната ос на две окръжности. Затова правата \(r\) ще наричаме радикална ос на кривите \(\bar{k}(O) u \bar{c}\).

Преминаваме към описване на някои свойства на радикалната ос \(r\). Нека кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) се пресичат в точки \(M_{1}\left(x_{M_{1}}, y_{M_{1}}, z_{M_{1}}\right)\) и \(M_{2}\left(x_{M_{2}}, y_{M_{2}}, z_{M_{2}}\right)\), yM1, zM1 ) и M2 ( xM2 , yM2 , zM2 ), а \(M\left(x_{M}=\cfrac{x_{M_{1}}+x_{M_{2}}}{2}, y_{M}=\cfrac{y_{M_{1}}+y_{M_{2}}}{2}, z_{M}=\cfrac{z_{M_{1}}+z_{M_{2}}}{2}\right)\) е средата на отсечката \(M_{1} M_{2}\). След елиминиране на неизвестите \(y\) и \(z\) от системата уравнения, образувана от (1), (11) и \(x+y+z=1\), получаваме квадратното уравнение \(\tau x^{2}-\left\{a_{22} a_{33}\left[\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)-\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}\right]+a_{11}\left(a_{22}+a_{33}\right)\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}-\right.\) \(\left.-a_{22}^{2}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}-a_{33}^{2}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right\} x-a_{22} a_{33}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}=0\), където

(12) \[ \begin{aligned} & \tau=a_{22} a_{33}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)+a_{33} a_{11}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)+ \\ & +a_{11} a_{22}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)-a_{11}^{2}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}- \\ & -a_{22}^{2}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}-a_{33}^{2}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} . \end{aligned} \]

От формулата на Виет за сумата от корените на това уравнение следва равенството

(13)\[ \begin{aligned} & x_{M}=\cfrac{a_{22} a_{33}\left[\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)-\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}\right]}{2 \tau}+ \\ & +\cfrac{a_{11}\left(a_{22}+a_{33}\right)\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}-a_{22}^{2}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}-a_{33}^{2}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}}{2 \tau} \end{aligned} \]

Аналогично за другите две координати на \(M\) получаваме формулите

(14) \[ \begin{aligned} & y_{M}=\cfrac{a_{33} a_{11}\left[\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)-\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}\right]}{2 \tau}+ \\ & +\cfrac{a_{22}\left(a_{33}+a_{11}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}-a_{33}^{2}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}-a_{11}^{2}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}}{2 \tau} \\ & z_{M}=\cfrac{a_{11} a_{22}\left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)-\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right]}{2 \tau}+ \\ & +\cfrac{a_{33}\left(a_{11}+a_{22}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}-a_{11}^{2}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}-a_{22}^{2}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}}{2 \tau} . \end{aligned} \]

Трябва да се отбележи, че точката \(M\) от радикалната ос \(r\) съществува независимо от съществуването на точките \(M_{1}\) и \(M_{2}\). Освен това, след несложни пресмятания от (10), (12), (13) и (14) се вижда, че е изпълнено равенството \(\left|\begin{array}{lll}x_{0} & y_{0} & z_{0} \\ x_{O_{1}} & y_{O_{1}} & z_{O_{1}} \\ x_{M} & y_{M} & z_{M}\end{array}\right|=0\). Това означава, че когато \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са елипси или хиперболи, точките \(O, O_{1}\) и \(M\) лежат на една права. От друга страна, ако кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са параболи, то \(O_{1} \equiv O\), което по тривиални причини също означава, че \(O, O_{1}\) и \(M\) лежат на една права. Така получихме следното:

Твърдение 2. Централата \(O O_{1}\) на \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) пресича радикалната им ос \(r\) в точката \(M\) (Фиг. 1, 2, 3, 4).

От това твърдение непосредствено се получават следствията:

Следствие 1. Ако кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) имат две крайни общи точки \(M_{1} u M_{2}\), средата \(M\) на отсечката \(M_{1} M_{2}\) лежи върху централата на двете криви.

Следствие 2. Ако кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) имат крайна допирна точка \(M\), радикалната ос \(r\) на двете криви е тяхна обща допирателна в точката M.

От следствия 1 и 2 се вижда, че когато кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) имат поне една обща крайна точка, радикалната ос \(r\) е спрегната с \(O O_{1}\) както спрямо \(\bar{k}(O)\), така и спрямо \(\bar{c}\). Затова възниква въпросът дали \(r\) има същото свойство и в случая, когато \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) нямат общи крайни точки. В случая с параболи безкрайната точка (център)

\(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}+z_{0}=0\right)\) (O) определя общо особено направление спрямо \(\bar{k}(O)\)

и \(\bar{c}\), което е спрегнато с всяко направление в равнината на \(\triangle A B C\), а следователно и с радикалната ос \(r\) (Мартинов, 1989). По-интересният случай, когато \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са елипси или хиперболи, се изследва по следния начин. От аналитичната геометрия е известно, че векторите \(\overrightarrow{u^{\prime}}\left(\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}\right)\) и \(\overrightarrow{u^{\prime \prime}}\left(\alpha^{\prime \prime}, \beta^{\prime \prime}\right)\) (координатите са афинни) са спрегнати спрямо кривата \(\bar{\kappa}\), представена с афинното уравнение

(15)\[ \bar{\kappa}: \overline{\bar{a}}_{11} X^{2}+2 \overline{\bar{a}}_{12} X Y+\overline{\bar{a}}_{22} Y^{2}+2 \overline{\bar{a}}_{13} X+2 \overline{\bar{a}}_{23} Y+\overline{\bar{a}}_{33}=0, \]

когато скаларната функция \(\Phi_{\bar{\kappa}}\left(\overrightarrow{u^{\prime}}, \overrightarrow{u^{\prime \prime}}\right)=\overline{\bar{a}}_{11} \alpha^{\prime} \alpha^{\prime \prime}+\overline{\bar{a}}_{12}\left(\alpha^{\prime} \beta^{\prime \prime}+\alpha^{\prime \prime} \beta^{\prime}\right)+\overline{\bar{a}}_{22} \beta^{\prime} \beta^{\prime \prime}\) на векторните аргументи \(\overrightarrow{u^{\prime}}\) и \(\overrightarrow{u^{\prime \prime}}\) има стойност, равна на нула (Мартинов, 1989). Сега от (5)

и (10) лесно се забелязва, че векторът \(\vec{u}^{\prime}\left(\left(1-2 z_{0}\right)\left[a_{11}\left(1-2 x_{0}\right)+a_{22}\left(1-2 y_{0}\right)-2 a_{33} z_{0}\right],\left(1-2 y_{0}\right)\left[a_{11}\left(1-2 x_{0}\right)-2 a_{22} y_{0}+a_{33}\left(1-2 z_{0}\right)\right]\right)\) е колинеарен с централата \(O O_{1}\). След това отново от (5) намираме, че афинното уравнение на радикалната ос \(r\) е следното:

(16) \[ r:\left(a_{11}-a_{33}\right) X+\left(a_{11}-a_{22}\right) Y+a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}=0 . \]

Следователно векторьт \(\overrightarrow{u^{\prime \prime}}\left(a_{22}-a_{11}, a_{11}-a_{33}\right)\) е колинеарен с правата \(r\). Накрая, от (8) и (9) намираме \(\Phi_{\bar{k}(O)}\left(\overrightarrow{u^{\prime}}, \overrightarrow{u^{\prime \prime}}\right)=\Phi_{\bar{c}}\left(\overrightarrow{u^{\prime}}, \overrightarrow{u^{\prime \prime}}\right)=0\). Така получаваме следното:

Твърдение 3. Централата \(O O_{1}\) и радикалната ос r са спрегнати \(r\) с прави както спрямо \(\bar{k}(O)\), така и спрямо \(\bar{c}\).

Следващото свойство на радикалната ос \(r\) на кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) е свързано с полярите на нейните точки. Затова ще определим уравнението на полярата на произволна точка \(\bar{P}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\) спрямо крива \(\bar{\kappa}\) с уравнение (6) в равнината на \(\triangle A B C\). От аналитичната геометрия (Станилов, 1979) е известно, че полярата \(\bar{p}\) на точка \(\bar{P}(\bar{X}, \bar{Y})\) спрямо крива с уравнение (15) се определя с уравнението

(17) \[ \bar{p}:\left(\overline{\bar{a}}_{11} \bar{X}+\overline{\bar{a}}_{12} \bar{Y}+\overline{\bar{a}}_{13}\right) X+\left(\overline{\bar{a}}_{12} \bar{X}+\overline{\bar{a}}_{22} \bar{Y}+\overline{\bar{a}}_{23}\right) Y+\overline{\bar{a}}_{13} \bar{X}+\overline{\bar{a}}_{23} \bar{Y}+\overline{\bar{a}}_{33}=0 . \]

От (5), (7) и (17) получаваме, че полярата \(\bar{p}\) на \(\bar{P}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\) спрямо \(\bar{\kappa}\) в барицентрични координати има следното уравнение

(18) \[ \left(\bar{a}_{11} \bar{x}+\bar{a}_{12} \bar{y}+\bar{a}_{13} \bar{z}\right) x+\left(\bar{a}_{12} \bar{x}+\bar{a}_{22} \bar{y}+\bar{a}_{23} \bar{z}\right) y+\left(\bar{a}_{13} \bar{x}+\bar{a}_{23} \bar{y}+\bar{a}_{33} \bar{z}\right) z=0 . \]

Сега от (18), (8) и (9) намираме полярите \(\bar{p}_{k}\) и \(\bar{p}_{c}\) на произволна точка \(\bar{P}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\), съответно спрямо \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) във вида:

(19)
(20) \[ \begin{aligned} \bar{p}_{k}: & {\left[\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} \bar{y}+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} \bar{z}\right] x+\left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} \bar{z}+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} \bar{x}\right] y+} \\ & +\left[\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} \bar{x}+\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} \bar{y}\right] z=0 . \\ \bar{p}_{c}: & \left\{2 a_{11} \bar{x}+\left[a_{11}+a_{22}+k\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right] \bar{y}+\left[a_{11}+a_{33}+k\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\right] \bar{z}\right\} x+ \\ & +\left\{\left[a_{22}+a_{11}+k\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right] \bar{x}+2 a_{22} \bar{y}+\left[a_{22}+a_{33}+k\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}\right] \bar{z}\right\} y+ \\ & +\left\{\left[a_{33}+a_{11}+k\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}\right] \bar{x}+\left[a_{33}+a_{22}+k\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}\right] \bar{y}+2 a_{33} \bar{z}\right\} z=0 . \end{aligned} \]

Ако \(\bar{P}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) \in r\),тоот(11)следва,чееизпълненоравенството \(a_{11} \bar{x}+a_{22} \bar{y}+a_{33} \bar{z}=0\). Оттук и от (20) намираме, че полярата \(\bar{p}_{c}\) на \(\bar{P}\) спрямо \(\bar{c}\) има следното уравнение

(21)\[ \begin{gathered} {\left[a_{11}+k\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} \bar{y}+k\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) \bar{z}\right] x+} \\ \bar{p}_{c}:+\left[a_{22}+k\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} \bar{z}+k\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} \bar{x}\right] y+ \\ +\left[a_{33}+k\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} \bar{x}+k\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} \bar{y}\right] z=0 . \end{gathered} \]

Като умножим (19) с \(-k\) и съберем с (21), получаваме равенството \(a_{11} x+a_{22} y+a_{33} z=0\), което е уравнението (11) на правата \(r\). Следователно полярите \(\bar{p}_{k}\) и \(\bar{p}_{c}\) се пресичат върху \(r\). Така доказахме следното:

Твърдение 4. Полярите \(\bar{p}_{k} u \bar{p}_{c}\) на произволна точка \(\bar{P}\) от радикалната ос \(r\) на кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) се пресичат в точка от \(r\).

По-нататък е интересно да намерим полюсите на радикалната ос \(r\) на кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) спрямо всяка от двете криви. Преди това ще намерим координатите на полюса \(\bar{P}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\) на произволна права \(l: u x+v y+w z=0\) спрямо произволна крива \(\bar{\kappa}\), определена с уравнението (6). За да намерим полюса на \(l\), ще потърсим полярите на две точки от \(l\). Както е известно, те се пресичат в полюса \(\bar{P}\) на \(l\) (Матеев, 1979). Нека \(l\) пресича правите \(B C\) и \(C A\) съответно в точките \(P_{a}\left(0, \cfrac{w}{w-v}, \cfrac{v}{v-w}\right)\) и \(P_{b}\left(\cfrac{w}{w-u}, 0, \cfrac{u}{u-w}\right)\). От (18) намираме полярите \(p_{a}\) и \(p_{b}\), съответно на точките \(P_{a}\) и \(P_{b}\), във вида

\[ \begin{aligned} & p_{a}:\left(a_{12} w-a_{13} v\right) x+\left(a_{22} w-a_{23} v\right) y+\left(a_{23} w-a_{33} v\right) z=0 \\ & p_{b}:\left(a_{11} w-a_{13} u\right) x+\left(a_{12} w-a_{23} u\right) y+\left(a_{13} w-a_{33} u\right) z=0 \end{aligned} \]

След това решаваме системата уравнения, образувана от последните две уравнения и равенството \(x+y+z=1\). Така получаваме координатите на полюса \(\bar{P}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})\) във вида:

(22) \[ \begin{aligned} & \bar{x}=\cfrac{\left(a_{23}^{2}-a_{22} a_{33}\right) u+\left(a_{12} a_{33}-a_{13} a_{23}\right) v+\left(a_{22} a_{13}-a_{12} a_{23}\right) w}{\Delta} \\ & \bar{y}=\cfrac{\left(a_{12} a_{33}-a_{13} a_{23}\right) u+\left(a_{13}^{2}-a_{11} a_{33}\right) v+\left(a_{11} a_{23}-a_{12} a_{13}\right) w}{\Delta} \\ & \bar{z}=\cfrac{\left(a_{13} a_{22}-a_{12} a_{23}\right) u+\left(a_{23} a_{11}-a_{12} a_{13}\right) v+\left(a_{33}^{2}-a_{11} a_{22}\right) w}{\Delta} \end{aligned} \]

където

(24) \[ \begin{aligned} \Delta & =\left[a_{23}\left(a_{23}-a_{12}-a_{13}\right)+a_{12} a_{33}+a_{13} a_{22}-a_{22} a_{33}\right] u+ \\ & +\left[a_{13}\left(a_{13}-a_{12}-a_{23}\right)+a_{12} a_{33}+a_{23} a_{11}-a_{33} a_{11}\right] v+ \\ & +\left[a_{12}\left(a_{12}-a_{23}-a_{13}\right)+a_{23} a_{11}+a_{13} a_{22}-a_{11} a_{22}\right] w \end{aligned} \]

Нека \(P_{k}\left(x_{P_{k}}, y_{P_{k}}, z_{P_{k}}\right)\) и \(P_{c}\left(x_{P_{c}}, y_{P_{c}}, z_{P_{c}}\right)\) са полюсите на \(r\) съответно спрямо \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\). От (24), (1) и (3) за координатите на тези точки намираме формулите

(26)
(25)\[ \begin{aligned} & x_{P_{k}}=\cfrac{\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}\left[-a_{11}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}+a_{22}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}+a_{33}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right]}{\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)} \\ & y_{P_{k}}=\cfrac{\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}\left[a_{11}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}-a_{22}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}+a_{33}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right]}{\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)} \\ & z_{P_{k}}=\cfrac{\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\left[a_{11}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}+a_{22}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}-a_{33}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right]}{\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)} \\ & x_{P_{c}}=\cfrac{1}{\Delta_{c}}\left\{k\left[-a_{11}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}+a_{22}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}+a_{33}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right] \times\right. \\ & \times\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}+\left[-\left(a_{11} a_{22}+a_{11} a_{33}-2 a_{22} a_{33}\right)\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}+\right. \\ & \left.\left.+a_{22}\left(a_{22}-a_{33}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}+a_{33}\left(a_{33}-a_{22}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right]\right\} \\ & y_{P_{c}}=\cfrac{1}{\Delta_{c}}\left\{k\left[a_{11}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}-a_{22}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}+a_{33}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right] \times\right. \\ & \times\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}+\left[a_{11}\left(a_{11}-a_{33}\right)\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}-\right. \\ & \left.\left.-\left(a_{22} a_{11}+a_{22} a_{33}-2 a_{11} a_{33}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}+a_{33}\left(a_{33}-a_{11}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right]\right\} \\ & z_{P_{c}}=\cfrac{1}{\Delta_{c}}\left\{k\left[a_{11}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}+a_{22}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}-a_{33}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right] \times\right. \\ & \times\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}+\left[a_{11}\left(a_{11}-a_{22}\right)\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}+a_{22}\left(a_{22}-a_{11}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}+\right. \\ & \left.\left.-\left(a_{33} a_{11}+a_{33} a_{22}-2 a_{11} a_{22}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\right]\right\} \end{aligned} \]

където

(27) \[ \begin{aligned} & \Delta_{c}=k\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)- \\ & -2 a_{22} a_{33}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)-2 a_{33} a_{11}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)- \\ & -2 a_{11} a_{22}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)+2 a_{11}^{2}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}+ \\ & +2 a_{22}^{2}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) z_{0}+2 a_{33}^{2}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} . \end{aligned} \]

Като приравним съответните координати на \(P_{k}\) и \(P_{c}\), от (25) и (26) получаваме, че \(P_{k} \equiv P_{c}\) тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството

(28)\[ \begin{aligned} & 2 a_{22} a_{33}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) y_{0} z_{0}+2 a_{33} a_{11}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) z_{0} x_{0}+ \\ & +2 a_{11} a_{22}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) x_{0} y_{0}= \\ = & a_{11}^{2}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)^{2} x_{0}^{2}+a_{22}^{2}\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)^{2} y_{0}^{2}+a_{33}^{2}\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)^{2} z_{0}^{2} \end{aligned} \]

От друга страна, равенството (28) е необходимо и достатъчно условие точките \(P_{k}\) и \(P_{c}\) да лежат на правата \(r\). Следователно радикалната ос \(r\) има един и същ полюс спрямо \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) само когато двете криви са допирателни. Оттук получаваме още:

Следствие 3. Кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) се допират тогава и само тогава, когато \(e\) изпълнено равенството (28).

4. Хомотетичност на централните криви с уравнение (3). Нека кривата \(\bar{c}\) има уравнение (3) и център \(O_{1}\left(x_{O_{1}}, y_{O_{1}}, z_{O_{1}}\right)\). Разглеждаме транслация с вектор \(\overrightarrow{O O_{1}}\). Ако \(P_{1}\left(x_{P_{1}}, y_{P_{1}}, z_{P_{1}}\right)\) е точка от кривата \(\bar{c}\) и \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\) е съответната й точка от образа \(\overline{\bar{c}}(O)\) на \(\bar{c}\) при разглежданата транслация, то е изпълнено равенството \(\overrightarrow{P_{1} P}=\overrightarrow{O_{1} O}\). Последното води до формулите: \(x_{P_{1}}=x_{P}+x_{O_{1}}-x_{0}, y_{P_{1}}=y_{P}+y_{O_{1}}-y_{0}\), \(z_{P_{1}}=z_{P}+z_{O_{1}}-z_{0}\). След заместване на тези равенства в (3) получаваме, че произволна точка \(P\left(x_{P} \equiv x, y_{P} \equiv y, z_{P} \equiv z\right)(x+y+z=1)\) от \(\overline{\bar{c}}(O)\) удовлетворява уравнението

(29)\[ \begin{aligned} & k \cdot\left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}\left(y+y_{O_{1}}-y_{0}\right)\left(z+z_{O_{1}}-z_{0}\right)+\right. \\ (29) \bar{c}(O): & +\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}\left(z+z_{O_{1}}-z_{0}\right)\left(x+x_{O_{1}}-x_{0}\right)+ \\ & \left.+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\left(x+x_{O_{1}}-x_{0}\right)\left(y+y_{O_{1}}-y_{0}\right)\right]+ \\ & +a_{11}\left(x+x_{O_{1}}-x_{0}\right)+a_{22}\left(y+y_{O_{1}}-y_{0}\right)+a_{33}\left(z+z_{O_{1}}-z_{0}\right)=0 \end{aligned} \]

Нека сега \(l\) е права през \(O\) с направляващ вектор \(\vec{l}(\alpha, \beta, \gamma)(\alpha+\beta+\gamma=0)\). Правата \(l\) има следните параметрични уравнения:

(30) \[ x=x_{0}+\alpha t, y=y_{0}+\beta t, z=z_{0}+\gamma t . \]

След заместване на \((30)\) в \((29)\) намираме, че общите точки (ако съществуват) на \(l\) и \(\overline{\bar{c}}(O)\) се получават при стойности на параметъра \(t=t_{c}\), за които е изпълнено равенството

(31)\[ \begin{aligned} & k \cdot\left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta\right] t_{c}^{2}+ \\ & +k \cdot\left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} y_{O_{1}} z_{O_{1}}+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} z_{O_{1}} x_{O_{1}}+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} x_{O_{1}} y_{O_{1}}\right]+ \\ & +a_{11} x_{O_{1}}+a_{22} y_{O_{1}}+a_{33} z_{O_{1}}=0 \end{aligned} \]

По-нататък заместваме равенствата (10) в (31) и след несложни преобразувания получаваме

(32) \[ \begin{aligned} & k^{2}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) \times \\ \times & \times\left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta\right] t_{c}^{2}+ \\ + & k^{2} x_{0} y_{0} z_{0}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)+ \\ + & k x_{0} y_{0} z_{0}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)-\tau=0 \end{aligned} \]

където \(\tau\) се изразява с равенството (12).

По отношение на общите точки (когато съществуват) на \(l\) и \(\bar{k}(O)\) от ( (1) и (30) намираме, че стойностите на \(t=t_{k}\), при които се получават тези точки, удовлетворяват равенството

(33) \[ \left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta\right] t_{k}^{2}+x_{0} y_{0} z_{0}=0 \]

От (32) и (33) се вижда, че отношението

(34)\[ \begin{aligned} h & =\cfrac{t_{c}^{2}}{t_{k}^{2}}=\cfrac{1}{k^{2} x_{0} y_{0} z_{0}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)} \times \\ & \times\left[k^{2} x_{0} y_{0} z_{0}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)+\right. \\ & \left.+k\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)-\tau\right] \end{aligned} \]

не зависи от направлението на вектора \(\vec{l}\). Нека правата \(l\) пресича \(\vec{k}(O)\) в точките \(M^{\prime}\) и \(M^{\prime \prime}\), а \(\overline{\bar{c}}(O)\)– в точките \(N^{\prime}\) и \(N^{\prime \prime}\). От (30) лесно следва, че са изпълнени равенствата:

\[ \cfrac{\left|O N^{\prime}\right|^{2}}{\left|O M^{\prime}\right|^{2}}=\cfrac{\left|O N^{\prime \prime}\right|^{2}}{\left|O M^{\prime \prime}\right|^{2}}=\cfrac{\left|O N^{\prime}\right|^{2}}{\left|O M^{\prime \prime}\right|^{2}}=\cfrac{\left|O N^{\prime \prime}\right|^{2}}{\left|O M^{\prime}\right|^{2}}=h . \]

Тези равенства означават, че кривата \(\overline{\bar{c}}(O)\) се получава от \(\bar{k}(O)\) при хомотетии с център \(O\) и коефициенти \(\sqrt{h}\) и \(-\sqrt{h}\). Така получаваме следните твърдения:

Твърдение 5. Ако кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са елипси, те са хомотетични (Фиг. 1).

Твърдение 6. Ако кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\overline{\bar{c}}(O)\) са хиперболи, лежащи в един и същ ъгъл, определен от общите им асимптоти, то хиперболите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са хомотетични (Фиг. 2).

Нека \(\bar{k}(O)\) и \(\overline{\bar{c}}(O)\) са хиперболи, които са разположени в различните ъгли, образувани от общите им асимптоти. Тогава никоя от правите \(l\) не пресича едновременно \(\bar{k}(O)\) и \(\overline{\bar{c}}(O)\), поради което числото \(h\) е отрицателно. Хиперболата \(\overline{\bar{k}}(O)\), която има следното уравнение:

\[ \overline{\bar{k}}(O):\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x y-2 x_{0} y_{0} z_{0}(x+y+z)=0 \] е спрегната с \(\bar{k}(O)\) ( (Моденов, 1969). За \(\overline{\bar{k}}(O)\) равенството (33) се заменя със следното

(33′)\[ \left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta\right] t_{k}^{2}-x_{0} y_{0} z_{0}=0 \]

От (32) и (33′) получаваме, че числото (\(-h\) ) съвпада с дясната част на равенството (34). Следователно хомотетиите с център \(O\) и коефициенти \(\sqrt{|h|}\) и \(-\sqrt{|h|}\) (\(h\) се пресмята по формулата (34)) преобразуват \(\overline{\bar{k}}(O)\) в хиперболата \(\overline{\bar{c}}(O)\). Следователно хиперболата \(\overline{\bar{c}}\) е хомотетична с хиперболата \(\overline{\bar{k}}(O)\), спрегната с \(\bar{k}(O)\). Така получаваме следното:

Твърдение 7. Ако кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\overline{\bar{c}}(O)\) са хиперболи, лежащи в различните ъгли, определени от общите им асимптоти, то \(\bar{c}\) е хомотетична с хиперболата \(\overline{\bar{k}}(O)\), която е спрегната с \(\bar{k}(O)\) (Фиг. 3).

Към хомотетичността, описана в твърдения 5 и 6, трябва да се добави и уточнението, че кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са хомотетични и в случаите, когато са еднакви. Кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са еднакви по смисъла на твърдения 5 и 6, когато \(\overline{\bar{c}}(O) \equiv k(O)\), т.е. когато \(h=1\). Следователно \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са еднакви, в случай че е изпълнено равенството

(35) \[ k x_{0} y_{0} z_{0}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)=\tau . \]

Кривите \(\overline{\bar{k}}(O)\) и \(\bar{c}\) са еднакви по смисъла на твърдение 7, когато \(h=-1\). Следователно хиперболите \(\overline{\bar{k}}(O)\) и \(\bar{c}\) са еднакви, в случай че

(36) \[ \begin{aligned} & 2 k^{2} x_{0} y_{0} z_{0}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)+ \\ & +k x_{0} y_{0} z_{0}\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)=\tau . \end{aligned} \]

От твърдения 5, 6 и 7 следва, че при произволни реални стойности на константите \(k, a_{11}, a_{22}\) и \(a_{3}\) уравнението (3) задава централна крива, която е хомотетична на \(\bar{k}(O)\) или на нейната спрегната \(\overline{\bar{k}}(O)\) ( (в случай на хиперболи). Следователно, когато \(\bar{k}(O)\) е елипса, всички криви в равнината на \(\triangle A B C\), които имат уравнение (3), образуват клас от елипси, хомотетични на \(\bar{k}(O)\). Когато \(\bar{k}(O)\) е хипербола, всички криви в равнината на \(\triangle A B C\), които имат уравнение (3), образуват два класа от хиперболи. Единият се състои от хиперболи, хомотетични с \(\bar{k}(O)\), а другият – от хиперболи, хомотетични със спрегнатата на \(\bar{k}(O)\) хипербола \(\overline{\bar{k}}(O)\).

5. Хомотетичност на параболите с уравнение (3). Ако \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са параболи, то \(x_{0}+y_{0}+z_{0}=0\). Затова уравненията им (1) и (3) се записват съответно във вида:

(1′)\[ \bar{k}(O): x_{0}^{2} y z+y_{0}^{2} z x+z_{0}^{2} x y=0 \]

(3′)(3') \(\bar{c}: k \cdot\left(x_{0}^{2} y z+y_{0}^{2} z x+z_{0}^{2} x y\right)-\left(a_{11} x+a_{22} y+a_{33} z\right)(x+y+z)=0\).

Изразът \(\tau\) от (12) се представя във вида

(12′)\[ \tau=2\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)^{2}, \]

а координатите (13) и (14) на точката \(M\) (която е среда на отсечката, определена от общите точки на параболите, когато те се пресичат) от радикалната ос \(r\) на \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) се представят с равенствата:

(37) \[ \begin{aligned} & x_{M}=\cfrac{\left(a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)+x_{0}\left(a_{22} a_{33} x_{0}+a_{33} a_{11} y_{0}+a_{11} a_{22} z_{0}\right)}{2\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)^{2}} \\ & y_{M}=\cfrac{\left(a_{33} z_{0}+a_{11} x_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)+y_{0}\left(a_{22} a_{33} x_{0}+a_{33} a_{11} y_{0}+a_{11} a_{22} z_{0}\right)}{2\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)^{2}} \\ & z_{M}=\cfrac{\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)+z_{0}\left(a_{22} a_{33} x_{0}+a_{33} a_{11} y_{0}+a_{11} a_{22} z_{0}\right)}{2\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)^{2}} \end{aligned} \]

Най-естественият начин да се докаже, че параболите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са хомотетични, е този, при който могат да се определят центърът и коефициентът на хомотетията, която привежда едната крива в другата. Ако съществува хомотетия между параболите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\), правата \(g\), минаваща през точката \(M\) успоредно на вектора \(\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\), y0, z0), пресича \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) съответно в точки \(\bar{T}_{k}\) и \(\bar{T}_{c}\), които са съответни при тази хомотетия. Затова ще търсим центъра на хомотетия за параболите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) върху правата \(g\). Тази права има следните параметрични уравнения:

(38) \[ g: x=x_{M}+x_{0} t, y=y_{M}+y_{0} t, z=z_{M}+z_{0} t \]

където за \(x_{M}, y_{M}\) и \(z_{M}\) са изпълнени равенствата (37).

За коефициента на хомотетията, изобразяваща параболата \(\bar{k}(O)\) в \(\bar{c}\), можем да предполагаме, че се получава от коефициента на хомотетията, изобразяваща централната крива \(\bar{k}(O)\) в \(\bar{c}\) при условието \(x_{0}+y_{0}+z_{0}=0\). Така от ( (34) получаваме, че предполагаемият коефициент на хомотетия се изразява по следния начин

(39) \[ h_{P}=\cfrac{2 k x_{0} y_{0} z_{0}+a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}}{2 k x_{0} y_{0} z_{0}} . \]

След заместване на (38) в (1′) и (3′) (като се вземат предвид равенствата (37)), се вижда, че съответните стойности \(\bar{t}_{k}\) и \(\bar{t}_{c}\) на \(t\), при които се получават координатите съответно на \(\bar{T}_{k}\) и \(\bar{T}_{c}\), се пресмятат по формулите:

(40) \[ \begin{aligned} & \bar{t}_{k}=\cfrac{\vartheta}{4 x_{0} y_{0} z_{0}\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)^{2}} \\ & \overline{t_{c}}=\cfrac{2 k \vartheta}{4\left(2 x_{0} y_{0} z_{0}+a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)^{2}} \end{aligned} \]

където

(41) \[ \vartheta=a_{11}^{2} x_{0}^{4}+a_{22}^{2} y_{0}^{4}+a_{33}^{2} z_{0}^{4}-2 a_{22} a_{33} y_{0}^{2} z_{0}^{2}-2 a_{33} a_{11} z_{0}^{2} x_{0}^{2}-2 a_{11} a_{22} x_{0}^{2} y_{0}^{2} \]

(Любопитно е да се отбележи, че равенствата (39) и (40) водят до зависимостта \(\left.\cfrac{\overline{t_{k}}}{\overline{t_{c}}}=h_{P}.\right)\)

Сега да разгледаме хомотетия с център \(H\) и коефициент \(h_{P}\) (за който е изпълнено равенството (39)), която изобразява \(\bar{T}_{k}\) в \(\bar{T}_{c}\). Следователно е изпълнено векторното равенство \(\vec{H}_{\bar{T}}=h_{P} \vec{H}_{\bar{T}}\), което води до координатното представяне на \(H\) във вида:

(42) \[ H\left(x_{M}+\cfrac{m}{1-h_{P}} x_{0}, y_{M}+\cfrac{m}{1-h_{P}} y_{0}, z_{M}+\cfrac{m}{1-h_{P}} z_{0}\right) \]

където

(43) \(m=\overline{t_{c}}-h_{P} \overline{t_{k}}=-\cfrac{\vartheta\left(4 k x_{0} y_{0} z_{0}+a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)}{8 k x_{0}^{2} y_{0}^{2} z_{0}^{2}\left(2 k x_{0} y_{0} z_{0}+a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)\left(a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}\right)}\).

Нека сега \(N\left(x_{N}, y_{N}, z_{N}\right)\left(x_{N}+y_{N}+z_{N}=1\right)\) е произволна точка от параболата \(\bar{k}(O)\), а \(N^{\prime}\left(x_{N^{\prime}}, y_{N^{\prime}}, z_{N^{\prime}}\right)\) е нейният образ при разглежданата хомотетия. От векторното равенство \(\overrightarrow{H N^{\prime}}=h_{P} \overrightarrow{H N}\) и (42) намираме, че координатите на \(N^{\prime}\) зависят от координатите на \(N\) по следния начин:

(44) \[ x_{N^{\prime}}=h_{P} x_{N}+\left(1-h_{P}\right) x_{M}+m x_{0} y_{N^{\prime}}=h_{P} y_{N}+\left(1-h_{P}\right) y_{M}+m y_{0}, z_{N^{\prime}}=h_{P} z_{N}+\left(1-h_{P}\right) z_{M}+m z_{0} \]

След заместване на (44) в лявата страна на (3¢), като се вземат предвид равенствата (37), (39), (41) и (43), се установява, че получената стойност е равна на нула. Следователно \(N^{\prime}\) е точка от параболата \(\bar{c}\). Така доказахме следното:

Твърдение 8. Ако кривите k (O) и вите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са параболи, те са хомотетични (Фиг. 4).

Към хомотетичността, описана в твърдение 8, трябва да се добави и уточнението, че считаме параболите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) за хомотетични и в случаите, когато са еднакви. Параболите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са еднакви, когато \(\bar{c}\) се получава чрез транслация от \(\bar{k}(O)\), т.е. при \(h_{P}=1\). Според (39) последното условие е изпълнено точно когато е в сила равенството

(45) \[ a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}=0 \]

Кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{c}\) са еднакви и в случая, когато са централно симетрични, т.е. при \(h_{P}=-1\). Според (39) последното условие е изпълнено точно когато е в сила равенството

(46) \[ 4 x_{0} y_{0} z_{0}+a_{11} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{33} z_{0}=0 . \]

От твърдение 8 следва, че при произволни реални стойности на константите \(k\), \(a_{11}, a_{22}\) и \(a_{33}\) уравнението (\(3^{\prime}\) ) задава парабола, която е хомотетична на предварително зададената описана парабола \(\bar{k}(O)\). Следователно всички параболи в равнината на \(\triangle A B C\), които имат уравнение (3¢), са хомотетични помежду си. Последното наблюдение означава още, че всички параболи в равнината, които имат успоредни оси, са хомотетични.

Накрая ще отбележим, че описаните идеи за изследване на разпределянето на коничните сечения от равнината на \(\triangle A B C\) в хомотетични класове позволяват за дадена описана крива \(\bar{k}(O)\) при всеки избор на константите \(a_{11}, a_{22}, a_{33}\) и \(k\) да се построи съответната хомотетична на \(\bar{k}(O)\) крива \(\bar{c}\).

ЛИТЕРАТУРА

Мартинов, Н. (1989). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.

Матеев, А. (1979). Проективна геометрия. София: Наука и изкуство.

Моденов, П. С. (1969). Аналитическая геометрия. Москва: Изд. Московкого университета.

Станилов, Г. (1979). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.