Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2020/1, стр. 67 - 77

АНАЛИЗ НА ЗАДАЧИТЕ И ПРЕДСТАВЯНЕТО НА УЧЕНИЦИТЕ ОТ XI И XII КЛАС НА XIX МАТЕМАТИЧЕСКИ ТУРНИР „ПЕРПЕРИКОН“

Сава Гроздев
E-mail: sava.grozdev@gmail.com
University of Finance, Business and Entrepreneurship
1, Gusla St.
1618 Sofia, Bulgaria
Росен Николаев
E-mail: nikolaev_rosen@ue-varna.bg
Varna University of Economics
77, Knyaz Boris I Blvd.
Varna, Bulgaria
Танка Милкова
E-mail: tankamilkova@ue-varna.bg
Varna University of Economics
77, Kniaz Boris I Blvd.
9002 Varna, Bulgaria

Резюме: В статията са представени задачите за XI и XII клас от проведения в Кърджали на 30.11.2019 г. XIX математически турнир „Перперикон“. Предложени са методически решения на задачите. Направен е анализ на постигнатите резултати на участниците и нивото им на подготовка за подобен тип математически състезания.

Ключови думи: образование; математически състезания

Математическият турнир „Перперикон“ се провежда в продължение на деветнадесет години и вече се утвърди като едно от най-значимите математически състезания за ученици. Създадените с годините традиции превърнаха Турнира в желана и очаквана възможност за изява на ученици от област Кърджали. Известно е, че голяма част от учениците в Кърджали и околните градове и села общуват в семействата си на майчин език, като някои от тях имат затруднения в комуникацията си на български език в училище. Срещат се случаи на понижено самочувствие поради тези затруднения. В същото време повечето от тях са силни по математика и чрез Турнира, както и с високите резултати в него, те добиват увереност и се чувстват пълноценни. Границите на Турнира постоянно се разширяват. На тазгодишното издание бяха представени Момчилград, Крумовград, Кърджали, Хасково, Димитровград, Смолян, Неделино, Кирково, Черноочене, Казанлък, София и др. Турнирът е предназначен за ученици от III до XII клас. От най-голямо значение е участието и представянето на единадесетокласниците и дванадесетокласниците, тъй като тези, които постигат най-високи резултати, получават разнообразни преференции при кандидатстване и/или прием в няколко български университета.

Целта на авторите на настоящата статия е да представят задачите за XI и XII клас, да предложат авторски решения и въз основа на получените резултати да направят анализ на нивото на подготовка на участниците и да дадат оценка на тяхната успеваемост.

Съгласно регламента на Турнира всяка тема се състои от 7 задачи. Първите пет са от тестови тип и се предлагат с пет отговора, от които трябва да се избере един. Задача 6 е с отворен отговор, а задача 7 изисква подробно описание на решението и се оценява според степента на завършеност. Първите 5 задачи се оценяват с по 3 точки, задача 6 – с 5 точки, а задача 7 – с \(0-10\) точки. Максималният брой точки е 30, а времето за работа е 120 минути.

Задачите в математическия турнир „Перперикон“ са съставени въз основа на учебните програми по математика за всеки от класовете и покриват базови математически познания и умения. Някои от тях са по-трудни и са на олимпийско ниво.

Темата за XI клас включва следните задачи.

Задача 1. Сред всички единадесетокласници в едно училище броят на момичетата е равен на броя на момчетата. На контролно по математика \(10 \%\) от всички ученици получили двойки, \(30 \%\)– тройки, \(25 \%\)– четворки, \(20 \%\)– петици, а останалите – шестици. Момчетата са получили \(50 \%\) от двойките, \(25 \%\) от тройките, \(80 \%\) от четворките и \(\cfrac{1}{3}\) от петиците. Намерете отношението на момчетата с отлични оценки към момичетата с отлични оценки.

А) \(7: 13\) В) \(13: 7\) C) \(13: 5\) D) \(5: 13\) E) \(8: 5\)

Задача 2. Разглеждаме геометричните прогресии с първи член и частно, равни на –2, за които броят \(n\) на членовете им е от множеството \(\{1,2, \ldots\), \(2019\}\), а за сбора \(S_{n}\) на членовете на всяка от тях е изпълнено \(S_{n} \gt 0\). Намерете сбора на всички \(S_{n}\).

A) \(\cfrac{2}{9}\left[4^{1010}-3031\right]\) B) \(4^{2018}-2306\) C) \(\cfrac{2}{3}\left[2^{1010}-2341\right]\) D) \(4^{1010}-1789\) E) \(2^{1010}-4043\)

Задача 3. Една аритметична прогресия с първи член \(a_{1}=2\) и разлика 3 има \(5 n\) члена. Друга аритметична прогресия с първи член \(b_{1}=3\) и разлика 2 има \(3 m\) члена. Ако \(a_{3 n}=b_{2 m}\) и първата прогресия има минимален брой членове, то сборът от броя на членовете на двете прогресии е:

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

Задача 4. Сборът на три различни естествени числа е 6049. Ако е премахнато най-малкото, то колко е минималният сбор на останалите две?

A) 4030 B) 4031 C) 4032 D) 4033 E) 4034

Задача 5. В \(\triangle A B C\) точката \(O\) е център на вписаната окръжност. Ако \(A O=2 \sqrt{5}, B O=2 \sqrt{10}\) и \(C O=2 \sqrt{2}\), , намерете периметъра на триъгълника.

А) 15 B) 30 C) 24 D) 32 E) 36

Задача 6. Намерете броя на реалните решения на системата:

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & 2 x^{2}+y=3 \\ & x^{2}-4 y^{2}+3 x y=0 \end{aligned}\right. \]

Задача 7. Колко е броят на всички петцифрени числа с различни цифри, за които произведението на две от цифрите им е равно на произведението на другите три цифри?

Предлагаме отговорите и някои възможни подходи за решаване на задачите.

1. Отг. C). Ако момчетата са \(x\), то момичетата са също \(x\) и всички единадесетокласници са \(2 x\). Оценките 2 са \(0,1.2 x\), оценките 3 са \(0,3.2 x\), оценките 4 са \(0,25.2 x\), оценките 5 са \(0,2.2 x\) и оценките 6 са \(0,15.2 x\).

От момчетата с оценка 2 са \(0,5.0,1.2 x\), с оценка 3 са \(0,25.0,3.2 x\), с оценка 4 са \(0,8.0,25.2 x\), а с оценка 5 са \(\cfrac{1}{3} .0,2.2 x\). Тогава с оценка 6 са \(x-\left(0,1 x+0,15 x+0,4 x+\cfrac{0,4}{3} x\right)=0,35 x-\cfrac{0,4}{3} x=\cfrac{0,65}{3} x\) момчета.

От момичетата с оценка 2 са \(0,5.0,1.2 x\), с оценка 3 са \(0,75.0,3.2 x\), с оценка 4 са \(0,2 \cdot 0,25 \cdot 2 x\), а с оценка 5 са \(\cfrac{2}{3} \cdot 0,2 \cdot 2 x\). Тогава с оценка 6 са \(x-\left(0,1 x+0,45 x+0,1 x+\cfrac{0,8}{3} x\right)=0,35 x-\cfrac{0,8}{3} x=\cfrac{0,25}{3} x\) момичета.

Търсеното отношение е \(\cfrac{0,65}{3} x: \cfrac{0,25}{3} x=65: 25=13: 5\).

2. Отг. A). Тъй като \(S_{n}=(-2) \cdot \cfrac{(-2)^{n}-1}{(-2)-1}=\cfrac{2}{3} \cdot\left((-2)^{n}-1\right)\), то \(S_{n} \gt 0\), ако \(n=2 k\). Следователно трябва да намерим \(S_{2}+S_{4}+\ldots+S_{2018}\). Имаме \(S_{2 k}=\cfrac{2}{3}\left(2^{2 k}-1\right), k=1,2, \ldots, 1009\), откъдето \[ \begin{aligned} S_{2}+S_{4}+\ldots+S_{2018} & =\cfrac{2}{3}\left[2^{2}-1+2^{4}-1+\ldots+2^{2018}-1\right]=\cfrac{2}{3}\left[4 \cdot \cfrac{4^{1009}-1}{3}-1009\right]= \\ & =\cfrac{2}{9}\left[4^{1010}-4-3027\right]=\cfrac{2}{9}\left[4^{1010}-3031\right] . \end{aligned} \]

3. Отг. A). От условието \(a_{3 n}=b_{2 m}\) следва, че \(2+(3 n-1) \cdot 3=3+(2 m-1) \cdot 2\), откъдето \(9 n=4 m+2\) и следователно \(n\) е четно число. Минималният брой членове на първата прогресия се получава при \(n=2\) и той е \(5.2=10\). Тъй като \(m=4\), броят на членовете на втората прогресия е \(3.4=12\) и търсеният сбор е 22.

4. Отг. Е). Нека \(x \lt y \lt z\) и \(x+y+z=6049\). Тъй като \(6049: 3=\) \(2016,33 \ldots\), то \(x\) не може да е по-голямо от 2016 (в противен случай сборът на трите числа ще е по-голям от 6049). Ако \(x=2016\), то \(y\) и \(z\) са минимално равни на 2017 и 2018 и сборът на трите числа е по-голям от 6049. Ако \(x=2015\), то \(y+z=4034\) и единствената възможност е \(y=2016\) и \(z=2018\). Така, максималната стойност на \(x\) е \(x=2015\), при което сборът на останалите две числа е възможно най-малък и е равен на 4034.

5. Отг. С). Нека \(P, Q\) и \(T\) са проекциите на \(O\) съответно върху страните \(A B, B C\) и \(A C\). Тогава \(O P=O Q=O T=r\), където \(r\) е радиусът на вписаната окръжност. Ако използваме обичайните означения за страните и ъглите на триъгълника, имаме \(A P=p-a, P B=p-b\) и \(C T=p-c\). Тогава \(A P+B Q+C T=p\). Добре известно е, че

\[ \sin ^{2} \cfrac{\alpha}{2}+\sin ^{2} \cfrac{\beta}{2}+\sin ^{2} \cfrac{\gamma}{2}=1-2 \sin \cfrac{\alpha}{2} \sin \cfrac{\beta}{2} \sin \cfrac{\gamma}{2} . \]

Използвайки правоъгълните триъгълници \(O A P, O B Q\) и \(O C T\), OBQ и OCT, това равенство става

\[ \cfrac{r^{2}}{A O^{2}}+\cfrac{r^{2}}{B O^{2}}+\cfrac{r^{2}}{C O^{2}}=1-2 \cfrac{r}{A O} \cdot \cfrac{r}{B O} \cdot \cfrac{r}{C O} \]

Оттук \(r^{2}\left(\cfrac{1}{20}+\cfrac{1}{40}+\cfrac{1}{8}\right)=1-\cfrac{r^{3}}{40}\), т.е. \(\cfrac{r^{2}}{5}+\cfrac{r^{3}}{40}-1=0\) и \(r^{3}+8 r^{2}-40=0\). Имаме \(r^{3}+8 r^{2}-40=(r-2)\left(r^{2}+10 r+20\right)=0\). Тъй като корените на квадратното уравнение \(r^{2}+10 r+20=0\) са отрицателни, получаваме единствено решение \(r=2\). Сега \(A P=\sqrt{A O^{2}-r^{2}}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4\), \(B Q=\sqrt{B O^{2}-r^{2}}=\sqrt{40-4}=\sqrt{36}=6\) и \(C T=\sqrt{C O^{2}-r^{2}}=\sqrt{8-4}=\sqrt{4}=2\). Тогава \(p=A P+B Q+C T=4+6+2=12\) и \(2 p=24\).

TQCBAOα/2γ/2

6. Отг. 4. Ако \(y=0\), от второто уравнение следва, че \(x=0\), което не е възможно заради първото уравнение. Следователно \(y \neq 0\). Разделяме второто уравнение на \(y^{2}\) и полагаме \(\cfrac{x}{y}=t\). Имаме \(t^{2}+3 t-4=0\), чиито корени са \(t=1\) и \(t=-4\). В първия случай \(x=y\) и първото уравнение става \(2 x^{2}+x-3=0\). и \(t=-4\). В първия случай \(x=y\) и първото уравнение става \(2 x^{2}+x-3=0\).

Корените му са \(x=1\) и \(x=-\cfrac{3}{2}\). Двойките \((x ; y)=(1 ; 1)\) и \((x ; y)=\left(-\cfrac{3}{2} ;-\cfrac{3}{2}\right)\) удовлетворяват и второто уравнение (то се превръща в тъждество). Така получаваме две решения на системата. Във втория случай \(x=-4 y\) и първото уравнение става \(32 y^{2}+y-3=0\), което има два реални корена. Тъй като второто уравнение отново става тъждество при \(x=-4 y\), получаваме още две решения на системата. Окончателно, системата има 4 решения.

7. Отг. 480. Да забележим, че цифрите 0, 5 и 7 не могат да участва в записа на числата. (1 точка)

Ако цифрата 9 участва в записа и тя е в едната група цифри (даващи едното произведение), в другата трябва да са 3 и 6. В групата с 9 трябва да е 2 или 4. Оттук получаваме две възможности за петцифрените числа: да са образувани с цифрите \(1,2,3,6\) и 9 или с цифрите \(2,3,4,6\) и 9. В двете групи съществуват реализации, защото \(6.3=9.2\) и 6.3.2 \(=9.4\). Броят на петцифрените числа в този случай е \(2.5!=240\). (3 точки)

Ако цифрата 8 участва в записа и тя е в една от групите, в другата трябва да са 2 и 4 или 4 и 6. Случаят с 2 и 4 в една група не може да се реализира.

Остава възможността 2 и 6 да са в една група. Оттук получаваме една възможност за петцифрените числа: да са образувани с цифрите \(1,3,4,6\) и 8.

Реализация е възможна, защото \(6.4=8.3\). Броят на петцифрените числа в този случай е \(5!=120\). (3 точки)

Ако цифрите 8 и 9 не участват в записа, остават 1, 2, 3, 4 и 6. От тази група се получава реализация, защото \(4.3=6.2\). Броят на петцифрените числа в този случай е 5! = 120 . (3 точки)

Окончателно отговорът на задачата е \(240+120+120=480\).

Темата за XII клас включва следните задачи.

Задача 1. Да се намери границата \(\lim _{x \rightarrow 1} \cfrac{x^{3}-2 x+1}{4 x-4}\).

A) 0 B) \(1 / 4\) C) 4 D) 1 E) \(\infty\)

Задача 2. Ако \(\lim _{x \rightarrow \infty} \cfrac{x+\sqrt{a x^{4}+4}}{2 x^{2}-\sqrt{x+1}}=2\), то \(a\) е равно на:

A) 0 B) 2 C) 4 D) 16 E) няма такава реална стойност на \(a\).

Задача 3. В трапец \(A B C D(A B \| C D, A B \gt C D)\) диагоналите \(A C\) и \(B D\) се пресичат в точка \(O\) под прав ъгъл. Ако \(A O=2, D O=1\) и \(S_{A B C D}=8\), да се намери лицето на \(\triangle A O B\).

А) \(1+2 \sqrt{3}\) B) \(2+\sqrt{5}\) C) \(3+2 \sqrt{2}\) D) \(5 \sqrt{2}\) E) \(5+2 \sqrt{2}\)

Задача 4. Ако \(x \in[0 ; 2 \pi]\), намерете сбора от всички корени на уравнението \(\sin x=\cos 2 x\).

А) \(\cfrac{\pi}{6}\) В) \(\cfrac{\pi}{2}\) C) \(\pi\) D) \(\cfrac{3 \pi}{2}\) Е) \(\cfrac{5 \pi}{2}\)

Задача 5. Намерете сбора от корените на уравнението \(\log _{x}(2-x)=2\).

A) 0 B) –1 C) 1 D) –2 E) уравнението няма реални корени

Задача 6. Намерете най-малкото естествено число \(n\), за което числото \(n+13\) се дели на 17, а числото \(2 n+43\) се дели на 13.

Задача 7. Нека \(n\) е броят на всички четирицифрени числа с различни цифри, в чийто запис участват само цифрите \(0,1,2,7,8,9\), а \(m\) е броят на всички трицифрени числа, в чиито запис участват само цифрите \(0,1,2,5,7\). Да се намери разликата \(n-m\).

Предлагаме отговорите и някои възможни подходи за решаване на за

дачите. 1. Отг. В). \(\lim _{x \rightarrow 1} \cfrac{x^{3}-2 x+1}{4 x-4}=\lim _{x \rightarrow 1} \cfrac{x^{3}-x-(x-1)}{4(x-1)}=\lim _{x \rightarrow 1} \cfrac{\left(x^{2}+x\right)(x-1)-(x-1)}{4(x-1)}=\)

\(=\lim _{x \rightarrow 1} \cfrac{x^{2}+x-1}{4}=\cfrac{1}{4}\).

2. Отг. D). Ако \(a\) е равно на 0, границата би била 0. Следователно \(a \neq 0\).

Имаме \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \cfrac{x+x^{2} \sqrt{a+\cfrac{4}{x^{4}}}}{x^{2}\left(2-\sqrt{\cfrac{1}{x^{3}}+\cfrac{1}{x^{4}}}\right)}=\lim _{x \rightarrow \infty} \cfrac{x^{2}\left(\cfrac{1}{x}+\sqrt{a+\cfrac{4}{x^{4}}}\right)}{x^{2}\left(2-\sqrt{\cfrac{1}{x^{3}}+\cfrac{1}{x^{4}}}\right)}=\cfrac{\sqrt{a}}{2}=2 \Rightarrow \sqrt{a}=4 \Rightarrow a=16 \] 3. Отг. C)

ODABC

\[ \begin{aligned} & S_{\triangle A O D}=\cfrac{2.1}{2}=S_{\triangle B O C} \\ & \cfrac{S_{\triangle A O D}}{S_{\triangle D O C}}=\cfrac{A O}{O C}=\sqrt{\cfrac{S_{\triangle A O B}}{S_{\triangle D O C}}} \Rightarrow S_{\triangle A O D}=\sqrt{S_{\triangle A O B} \cdot S_{\triangle D O C}} \end{aligned} \] Нека \(S_{\triangle A O B}=x, S_{\triangle D O C}=y \Rightarrow \sqrt{\mathbf{r y}}=\mathbf{1}\) и \(x+y+2.1=8\)

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & x y=1 \\ & x+y=6 \end{aligned} \Rightarrow(x ; y)=(3+2 \sqrt{2} ; 3-2 \sqrt{2}) \quad\right. \text { и } \quad(x ; y)=(3-2 \sqrt{2} ; 3+2 \sqrt{2}) . \] Но \(x \gt y\), откъдето търсеното лице е \(x=S_{\triangle A O B}=3+2 \sqrt{2}\).

4. Отг. E)

\[ \begin{gathered} \sin x=\cos 2 x \\ \sin x=1-2 \sin ^{2} x . \text { Ако } \sin x=t, \text { то } \\ 2 t^{2}+t-1=0, D=9, t_{1,2}=\cfrac{-1 \pm 3}{4}=-1 \text { и } \cfrac{1}{2} \\ \sin x=-1 \cup \sin x=\cfrac{1}{2} \text { и } x \in[0 ; 2 \pi] \\ \Rightarrow x=\cfrac{3 \pi}{2} \cup x=\cfrac{\pi}{6} \text { и } x=\cfrac{5 \pi}{6} . \end{gathered} \] Следователно търсеният сбор е \(\cfrac{3 \pi}{2}+\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{5 \pi}{6}=\cfrac{15 \pi}{6}=\cfrac{5 \pi}{2}\).

5. Отг. Е). \(\log _{x}(2-x)=2\)

\[ \text { ДМ: } \left\lvert\, \begin{aligned} & x \gt 0 \\ & x \neq 1 \\ & x \lt 2 \end{aligned} \quad \Rightarrow \quad x \in(0 ; 1) \cup(1 ; 2)\right. \]

, откъдето \(x^{2}+x-2=0\), чиито корените са \(x_{1}=1\) и \(x_{2}=-2\). Получените стойности са извън ДМ и следователно сборът от корените не съществува.

6. Отг. 89. Ако \(n+13\) се дели на 17, то и \(2 n+26\) се дели 17. Следователно и \(2 n+26+17=2 n+43\) се дели на 17. Числата 13 и 17 са взаимно прости. Ако \(2 n+43\) се дели и на 13, то \(2 n+43\) се дели на \(13.17=221\). Най-малкото естествено число, което се дели на 221, е 221. Заключаваме, че \(2 n+43=221\) и търсеният отговор е \(n=89\).

7. Отг. 200. На първо място не може да стои „0“. Възможностите за цифрата на първо място са 5. На другите три позиции могат стоят останалите 4 цифри и „0“. Възможностите са броят на вариациите от 5 числа от клас 3, т.е. \(V_{5}^{3}\). Следователно всички четирицифрени числа са \(n=5 . V_{5}^{3}=5.5 .4 .3=300\) (5 точки). За трицифрените числа отново на първо място не може да стои „0“. Възможностите за цифрата на първо място са 4. На другите две позиции може да стои коя да е цифра, защото се допускат повторения и не трябва да изключваме вече избраната първа цифра. Възможностите са вариациите с повторение от 5 числа от клас 2, т.е. \(5^{2}=25\). Следователно всички трицифрени числа са \(m=4.25=100\). Окончателно отговорът на задачата е \(n-m=300-100=200\). . (5 точки)

Анализ на постигнатите резултати

Взелите участие ученици от XI и XII клас в математическия турнир „Перперикон“ са общо 113, като от XI клас са 56, а от XII клас са 57. Единадесетокласниците са от различни училища в Кърджали (30 ученици), Димитровград (4 ученици), Хасково (един ученик), Смолян (9 ученици), Крумовград (един ученик), Неделино (един ученик), с. Бенковски (2 ученици) и с. Черноочене (8 ученици). Дванадесетокласниците са от различни училища в Кърджали (26 ученици), Димитровград (6 ученици), Хасково (5 ученици), Смолян (17 ученици), Крумовград (един ученик), с. Черноочене (един ученик) и с. Кирково (един ученик).

На първо място сред единадесетокласниците е класиран участник от ПМГ „Иван Вазов“ в Димитровград с 29 точки (Даниел Христов Янков). На второ място с равен брой точки – 22, са класирани двама участници: единият от ПМГ „Акад. Боян Петканчин“ в Хасково (Любен Мирославов Балтаджиев), а другият – от ПГИ „Алеко Константинов“ в Кърджали (Анна Иванова Пенчева). Третите места също са две с по 21 точки за участници от ЕГ „Христо Ботев“ в Кърджали (Синем Мустафа Юсеинчауш) и от ППМГ „Васил Левски“ в Смолян (Величка Стефанова Илчева). Анализът показва, че \(19,64 \%\) от всички 56 участници (или 11 на брой) са получили повече от половината точки, между 16 и 29, а 12 участници, или \(21,43 \%\), са получили 0 точки, т.е. не са се справили с нито една от задачите в състезанието. Останалите участници имат между 3 и 12 точки. Интерес представлява броят на участниците, решили всяка от задачите. Тази информация е представена на фиг. 1.

Фигура 1

От графиката се вижда, че \(35,71 \%\) от участниците от XI клас са решили вярно задача \(1,12,50 \%\) са решили вярно задача \(2,35,71 \%\) са решили вярно задача \(3,57,14 \%\) са решили вярно задача \(4,28,57 \%\) са решили вярно задача 5 и \(19,64 \%\) са решили вярно задача 6. По отношение на задача 7 може да се каже, че само 4 участници са получили 8, 9 или 10 точки, което означава вярно решена или решена до голяма степен задача. Разсъждения по тази задача, или повече от нула точки, имат 16 от участниците, което е \(28,57 \%\). Общо всички участници са събрали 419 точки от темата при възможни 1680 (в случай че всички участници имат максимален брой точки 30). Това показва, че общата успеваемост на участниците за темата за XI клас от Турнира е \(24,94 \%\).

На първо място сред дванадесетокласниците са класирани двама участници с максимален брой точки, т.е. 30 точки, което означава изцяло вярно решена тема. Единият от първенците в XII клас е от ПМГ „Иван Вазов“ в Димитровград (Гергана Георгиева Гочева), а другият е от ППМГ „Васил Левски“ в Смолян (Делчо Христов Дичев). На второ място с равен брой точки – 27, са се класирали трима участници: двама от ППМГ „Васил Левски“ в Смолян (Теодора Светославова Милева и Алекс Митков Колачев) и един от ПМГ „Иван Вазов“ в Димитровград (Недена Николаева Кръстева). На трето място с 26 точки е класиран участник от ПМГ „Иван Вазов“ в Димитровград (Валентина Емилова Стефанова). Анализът показва, че \(35,09 \%\) от всички 57 участници (или 20 на брой) са получили повече от половината точки – между 19 и 30, а нито един участник не е получил 0 точки, т.е. всички са решили вярно поне по една задача от темата. От всички 57 участници 26 са получили не повече от 10 точки, което е \(45,61 \%\). По отношение на броя на участниците, решили всяка от задачите, може да се представи следната информация (фиг. 2).

Фигура 2

От графиката се вижда, че \(85,96 \%\) от участниците от XII клас са решили вярно задача \(1,56,14 \%\) са решили вярно задача \(2,40,35 \%\) са решили вярно задача 3, \(47,37 \%\) са решили вярно задача 4, 26,32% са решили вярно задача \(4,26,32 \%\) са решили вярно задача 5 и \(33,33 \%\) са решили вярно задача 6. По отношение на задача 7 може да се каже, че 18 участници, които представляват \(31,58 \%\) от всички участници, са получили 10 точки, което означава, че са решили изцяло вярно задачата. Разсъждения по тази задача или повече от нула точки имат още 11 от участниците, което е \(19,30 \%\). Може да се каже още, че само половината от участниците нямат никакви идеи за решението на задача 7. Общо всички участници са събрали 750 точки от темата при възможни 1710 (в случай че всички участници имат максимален брой точки 30). Това показва, че общата успеваемост на участниците за темата за XII. клас е \(43,86 \%\).

Въз основа на получените резултати могат да се направят следните изводи.

– Забелязва се, че е много нисък процентът на справилите се със задача 2 от темата за XI клас. Това може да се дължи на нестандартния вид на задачата или на липсата на достатъчно добра задължителна училищна подготовка по темата за геометрична прогресия.

– Установява се, че изхождайки от уменията на участниците в Турнира, темата за XI клас не е подходящо структурирана по степен на трудност за разлика от темата за XII клас, което се вижда от фиг. 1 и фиг. 2.

– Участниците от XII клас са показали значително по-висока успеваемост от тези от XI клас, което може да се дължи на трудността на задачите или на факта, че дванадесетокласниците са по-силно мотивирани и подготвени по математика предвид това, че им предстои кандидатстване в университет.

– Значителен е процентът на явилите се участници, които показват много ниска успеваемост, което, от една страна, е тревожен сигнал, но от друга – свидетелства за високото ниво на предлаганите теми в областния математически турнир „Перперикон“.

ЛИТЕРАТУРА

Николаев, Р. & Петков, Й. (2016). Анализ на задачите и представяне на учениците от XI и XII клас на Областния математически турнир Кърджали’ 2015. Математика и информатика, (59), 3, с. 243 – 255.

REFERENCES

Nikolaev, R. & Petkov, Y. (2016). Analiz na zadachite i predstavyane na uchenitsite ot XI i XII klas na Oblastniya matematicheski turnir Kardzhali’ 2015. Matematika i informatika – Mathematics and Informatics, (59), 3, pp. 243 – 255.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.