Математика и Информатика
Вход / Регистрация

Educational Technologies https://doi.org/10.53656/math2022-6-6-pri Образователни технологии

2022/6, стр. 556 - 573

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИЯ ПОДХОД В ОБРАЗОВАНИЕТО ПО ИНФОРМАТИКА ЧРЕЗ ЕДИН ПОПУЛЯРЕН МАТЕМАТИЧЕСКИ ФОКУС (НОВ ПОГЛЕД КЪМ СТАРИ ИДЕИ)

Резюме: „Числата и техните представяния“ е първа тема от учебната програма за училищния курс по информатика в VIII клас. В статията е проучено, че учебниците по информатика в България по традиционния гимназиален курс в исторически план страдат от прекалена „математизация“ на задачите за двоична бройна система и слабо застъпват изследователския подход в обучението по нея. Проучен е позитивен опит със задачи с математическо моделиране от Проблемна група в образованието (ПГО). Предложен е начин за приложение на изследователски подход за изучаване на двоични числа с употребата на популярен математически фокус, като са дадени нови методически насоки за по-ефективно преподаване с него. Мотивирано е мнение, че е нужно в по-голяма степен да се стимулира изследователски подход в обучението по информатика с помощта на практически задачи с фокуси, игри и софизми, а въвеждането в темите да се извършва чрез поставяне на учениците в проблемна ситуация с цел предизвикване на по-силен когнитивен дисонанс.

Ключови думи: информатика; двоична бройна система; фокус; игровизация в обучението; ПГО

1. Темата за двоичната бройна система в българските учебници

Изследователският подход в образованието в последните десетилетия се налага все по-масово. В (Grozdev & Dekov 2014) се казва, че ученикът или студентът най-добре усвоява учебния материал в хода на един творчески процес, при който той самостоятелно преоткрива научните факти. В (Nikolova 2012) е подчертано, че обучението по информатика има за цел да изгражда специален стил на проучване, изследване и самостоятелност на учениците, което, разбира се, включва използване изследователския подход и учене чрез правене. В този смисъл, часовете по информатика би следвало да са естествено поле за приложение на този начин на преподаване. Утвърдена практика за стимулиране на изследователски подход е „игровизацията“ в обучението. В (Stoqnova et al. 2018) авторите отбелязват, че за разлика от поведенческата класна стая, в която преподавателят доминира и запознава обучаваните с данни, факти и дефиниции, игровизацията (gamification) по-ставя в центъра учениците, които решават проблеми в творческа атмосфера. Това не е задължително свързано с конструктивизма, но е чест негов спътник, защото обучението се трансформира от постоянно запомняне на факти към поставяне на стимули за изучаването им чрез творчески задачи и (защо не?) буквално с игри чрез „игрово базираното обучение“ (Pavlova & Marchev 2021).

Обект на изследване в настоящата статия е темата „Числата и техните представяния“ в учебната програма по информатика за VIII клас1) от гледната точка на търсене на възможности за прилагане на изследователски подход в обучението. В изискванията е дефинирано, че се очаква придобиване на следните знания и умения.

– Разширява и обобщава знанията, свързани с числата и техните представяния:

непозиционни бройни системи;

същност на позиционните бройни системи;

формат на числата в десетична, двоична и шестнадесетична бройна система.

– Превръща числа от десетична в двоична бройна система и обратно.

– Извършва събиране, изваждане и умножение на две числа в двоична бройна система.

– Дава примери за използване на двоична и шестнадесетична бройна система.

Централното място в темата за числата и техните представяния по естествен път се заема от двоичната бройна система, което е съвсем очаквано, като се има предвид, че масовите компютри са базирани на работа с бинарни числа. Урокът традиционно е наличен във всички учебници по информатика в България. В (Garov 2010) се казва, че с решаването на задачи от подобен тип се способства за развитие на логическото мислене на учениците и формирането на интелектуални умения за работа с разнородна по характер информация. Темата се появява в учебната литература с университетския учебник (Bogdanov et al. 1966). Академичните издания и до днес следват едно по-консервативно дедуктивно изложение на теорията, което впоследствие се онагледява с примери от предимно математически задачи и се показва приложение при компютърната техника (обикновено в контекст на програмиране от ниско ниво). Принципно това е напълно нормален и очакван стил при учебници за университетски курсове, защото по презумпция студентите идват предварително мотивирани за учене. Той обаче е крайно непрактичен за училищно ниво, където част от целта на уроците е и да мотивират ученика да учи. В училище би следвало дедуктивният стил да се избягва, а уроците да се структурират по съвсем различен начин – учениците да бъдат активен участник в преоткриването на знанията, т.е. обучението им да премине в изследователския дух на конструктивизма.

Обучение по информатика се появява на училищно ниво в България за първи път от математически гимназии в първата половина на 70-те години на миналия век. То е било фокусирано към по-талантливи ученици от математическите гимназии. Например курс по програмиране, свързан с обучение по числени методи, е организиран в Математическата гимназия „Акад. Любомир Чакалов“ през 1973 г. (Azalov 2021). Натрупаният опит там довежда до написването на първия учебник за гимназиално ниво (Barnev & Azalov 1978). По това време не е имало персонални компютри в училищата – учениците са изпращали програмите си за изпълнение в Изчислителния център на Българската академия на науките. Подготовката в математическите гимназии е била основно в състезателен дух и е предвестник за формиране на бъдещите олимпиади по информатика, т.е. макар и учебникът да е следвал предимно инструкционистко изложение на материала, изследователският подход в обучението е бил основен при провежданите кръжоци.

Информатика се въвежда целенасочено за общообразователната подготовка в основните и средните училища с експерименталната система на Проблемната група в образованието (ПГО) с ръководител Благовест Сендов. Там темата за двоични числа се загатва още във второ отделение (еквивалент на сегашния втори клас). В „Учебник за второ отделение – II“ (Sendov et al. 1984) на стр. 124 – 125 се показва пример за превръщане на двоични числа в десетични, като е направено онагледяване чрез граф. Още първата задача, която се поставя пред децата, е игра за извършване на двоично търсене – Иван си намисля число от 0 до 15, а Петър го отгатва с помощта на двоично дърво чрез задаване на четири въпроса (дели интервала на две и пита дали намисленото число е по-голямо или по-малко, след което повтаря за по-малкия интервал). В следващ урок на стр. 128 – 129 се вижда задача за кодиране на съобщения – отново с помощта на двоично дърво се прави връзка между двоични числа и конкретни срички. Авторите представят две закодирани съобщения и предизвикват децата да ги дешифрират. Естествено, оттам насетне учениците сами кодират собствени съобщения помежду си. Авторите, традиционно за стила на ПГО, са обвързали темата с допълнителни междупредметни връзки – добавен е текст за рога на животни (в първия урок) и дървета, храсти и треви (във втория). Подобен дух за смесване на теми от различни традиционни предмети е наличен във всички уроци от първите четири отделения на учебниците в експеримента.

По същество двоичната бройна система в ПГО се разглежда в учебника „Език и математика за първи прогимназиален клас“ (Sendov & Novachkova 1985).

На стр. 32 – 33 авторите показват начините за преобразуване на двоично число в десетично (и обратно) и съответно развитието на числата като сума от степени на двойката. Задачата за упражнение е народна песен, в която думите „две“, „три“, „четири“ и т.н. са закодирани с двоични числа и съответно учениците са подтикнати да ги дешифрират, за да я изпеят. В урока има и две карета, в които е даден един и същ текст на тема двоична бройна система на руски и на английски език, който трябва да се преведе. Следващият урок на стр. 34 – 35 е за аритметични действия в двоична бройна система. Авторите отново следват същата структура – на първата страница са представени основните знания, след което са поставени карета с текстове на руски и на английски език, а накрая има изследователски текстови задачи. Ето една от тях:

Един от вас си измисля един предмет. Останалите задават каквито искат въпроси. Този, който е измислил предмета, отговаря само с да или с не, докато другите познаят. Записвайте с 0 отговорите с не и с 1 отговорите с да. След три познавания пребройте нулите и единиците. Направете извод зависи ли скоростта на познаването от броя на единиците (на познатите неща).

Урокът на стр. 38 – 39 е за превръщане на числа в други бройни системи, като включва примери за петична, шестнадесетична и двадесетична. Освен обяснения в урока има хумористична закачка – за навършилия 32 години баща, който е навършил 10 000 в двоична бройна система, и за бабата на 62 години, която е само на 32 в двадесетична. Урокът включва изследователска задача, в която математик описва биографията си, но не е казано в каква бройна система са числата в нея. Учениците трябва да анализират текста и да я определят.

Очевидно се, че в ПГО се залага на изследователския подход и в това отношение системата е била новаторска в световен план. Много държави правят въпросната трансформация десетилетия по-късно. Проектът в България е прекъснат при смяната на политическия режим през 90-те години на миналия век, но макар и бавно, идеите му продължават да се разпростират (Dicheva et al. 1997). Част от тях тепърва се преоткриват и въвеждат в масовите училища, като например предметът компютърно моделиране.

За да се направи сравнение с инструкционизма, ще бъде разгледана темата за бройни системи от традиционния за България масов училищен курс по информатика, който допреди няколко години беше задължителен за всички училища. Той е въведен с учебните програми за X и XI клас през 1986 г. и според (Garov 2006) и (Asenova 2015) е бил провокиран от натрупания положителен опит с изучаване на информатика в системата на ПГО. По това време все още не е имало издадени систематизирани учебници за този учебен предмет. Затова през първата година са се използвали университетски учебници и издания за подготовка за състезателна информатика, като например ръководството за извънкласна работа по информатика (Rahnev et al. 1985). Може би най-популярни през тази първа година са били книги, предназначени за по-широка публика. Такава например е (Angelov & Petrov 1986). Въпреки че не са били предназначени непременно за висшите училища, изложението на темата за двоични числа в тях продължава да е по-скоро академично, т.е. изцяло по дедуктивен път и без изследователски задачи.

Дали това прибързване за въвеждането на предмета, преди да има издадени специализирани училищни учебници, е станало предвестник той да се насочи по пътя на инструкционизма, може да е въпрос на спекулация. Дедуктивният стил на изложение обаче се утвърждава в първите одобрени учебници от Министерството на народната просвета (Angelov et al. 1987a; 1987b) и (Barnev et al. 1987а; 1987b). Въпреки сравнително краткия им живот и скорошната нова реформа стилът продължава по традиция и след тях. Естествено, това се отнася и за темата за числата и техните представяния. Например, ако се разгледа учебникът (Barnev et al. 1989), ще се види, че урокът „Всичко може да се запише с 0 и 1“ започва с кратка информация с примери за непозиционни бройни системи. Продължава с изложение на знания как компютрите съхраняват информация, като се описват пет физични принципа за състоянията 0 и 1. След това се описва двоичната бройна система, като се набляга основно на описанието на форматите за записване на цели числа и числа с плаваща запетая в оперативната памет. Накрая се дават шест задачи за упражнение, четири от които са чисто математически, а две (означени като по-трудни) имат по-приложен характер, защото за решението изискват програмиране на машинен език. Авторите тогава видимо са имали визия учениците да програмират на най-ниско ниво, т.е. да опознаят основите на информатиката и да изучат хардуера на компютъра. От гледна точка на изследователския подход, реално няма поставена нито една проблемна ситуация с провокативна задача за преоткриване на знания.

През 90-те години на миналия век визията в учебниците по информатика започва да се променя. Започва да се обръща по-малко внимание на хардуера, а вместо това учениците се фокусират значително повече върху програмиране на Pascal, C или Basic, т.е. от по-високо ниво. Структурирането на уроците по споменатия дедуктивен път обаче продължава да е устойчиво инструкционистко, като това включва в частност темата за бройни системи. Няма съществена промяна при масовото написване на серия от нови учебници от различни издателства между 2000 и 2001 г. Традицията, за съжаление, е съхранена при темата за числата и техните представяния и в учебниците по актуалната учебна програма от 2016 г., с която, като цяло, се смени коренно парадигмата към обектно ориентирано програмиране с разработване на визуално атрактивни програми. Ако се разгледат например изданията (Momcheva et al. 2017), (Manev et al. 2017) и (Boycheva et al. 2017), ще се види, че със съвсем леки разлики при всички се спазва една и съща структура на уроците в темата:

– прави се исторически преглед за непозиционни бройни системи, в който се припомнят най-вече изучени през предишни учебни години знания за римските числа;

– обясняват се основните принципи на позиционните бройни системи, като се дава пример как всяко десетично число може да се представи като сума от степените на десетката;

– представя се двоичната бройна система по аналогия на десетичната;

– показват се примери как може числата да се преобразуват от едната бройна система в другата;

– показват се основните аритметични операции с двоични числа, представя се шестнадесетичната бройна система и се пристъпва към задачи за упражнение.

Тази структура не е никак случайна – ясно се вижда, че изложението в уроците следва директно заложената във вече споменатата учебна програма последователност. Вероятно това е направено, защото прави значително по-лесно получаването на положителна рецензия за учебника. Само по себе си, това не е проблем, но задачите в уроците, като цяло, продължават да не са с приложна насоченост. Те са предимно с условия за извършване на аритметични сметки с числа, за които не се вижда непосредствено и явно показано практическо приложение, т.е. няма достатъчно задачи с математическо моделиране, което да осмисли числата. Плахи са и междупредметните връзки на информатиката извън естествените с математиката.

Относно изследователския подход в образованието, положението не е по-различно. В учебника (Boycheva et al. 2017), в който авторите видимо са положили много усилия за приложението на подхода в повечето раздели, в урока за двоични числа са представени няколко практически задачи за упражнение, като например да се проучи кодировката на ASCII таблицата, да се проучи кодирането на цветовете в RGB формат и кратко сведение за адресирането на данните в оперативната памет на компютъра. Това обаче не е предизвикателство за учениците, а реално е инструкция какво допълнително да прочетат. Темите са хубави и полезни, но един изследователски подход би включвал поставянето на обучавания в по-предизвикателна проблемна ситуация. При (Momcheva et al. 2017) задачата с предизвикателство е само една – да се потърсят в интернет имената и биографични данни на четирима известни учени, за които са показани само снимки. Действително може би задачата да се открие името на непознат човек по негова снимка, е предизвикателна за осмокласник, но от друга страна, няма общо с добиване на знания за двоична бройна система. При (Manev et al. 2017) се открояват две задачи с изследователски елемент – учениците са заставени сами да открият някои свойства на осмичната бройна система, като им се подсказва явно да използват аналогия с вече представени факти за шестнадесетичната. Задачите са хубави, но биха били интересни само за ученици с изявени интереси в чистата математика – липсва техният приложен характер или игрови елемент, които да засилят мотивацията за учене.

Описаният стил на дедуктивно инструкционистко изложение в учебниците следва да се приеме като нормален, ако същевременно се приеме, че те би трябвало да са само помощно средство за учителя, който, от своя страна, изготвя свои собствени уроци и ги планира с авторски учебни материали. Несъмнено най-добрите учители го правят. В тези случаи учебниците биха били използвани от учениците само като справочник и набор от задачи за самостоятелна подготовка преди изпити, след като вече са се научили, а не за основна книга, по която тепърва да се учат. По наблюдения на автора на статията масовата практика в училищата показва съвсем различна ситуация. Учебниците често се използват като основно средство за преподаване в часовете, а учителите следват стриктно структурата на уроците в тях. Нерядко при по-теоретичните теми, каквато в частност е обект на проучването от настоящата статия, това дори се изражда до изключително лошата практика учителят буквално „да чете урока“ на учениците си (прожектира се електронно четим вариант на учебника с мултимедиен проектор и се прочита това, което се вижда на екрана като вид компютърна презентация). В този смисъл, може да се приеме, че учебниците с дедуктивно изложение на материала задушават изследователския подход.

Втори аспект, върху който може да се направи по-сериозна реформа, е липсата на добре изразен встъпителен елемент в уроците. В (Nikolov et al. 2007), от чисто психологическа гледна точка, се изтъква, че пряк катализатор за повишаване на концентрацията върху учебните задачи и стимулиращ фактор за мотивацията към самостоятелна работа е пораждането на когнитивен дисонанс. Авторите отбелязват, че колкото по-стряскащо и нестандартно е поднесен учебният материал пред обучавания, толкова по-силен когнитивен дисонанс ще предизвика. В актуалните учебници по информатика по темата за числата и техните представяния няма наличие на такъв встъпителен елемент.

2. Магическите карти на Уил Линдхорст

Добър и утвърден пример за въвеждане на учениците в проблемна ситуация при изучаването на темата за двоични числа е един много популярен и лесен за демонстрация математически фокус. Вероятно за първи път е предложен в първата половина на XX век (Lindhorst 1937). Фокусникът показва пет карти, на които са написани наглед безразборни числа. Той привиква произволен човек от публиката и го моли или да си намисли число от 1 до 31 (или просто съобщава, че ще отгатне рождената му дата). След това фокусникът казва на човека да каже в кои от картите присъства неговото число, разбира се, без да го посочва самото него. След като бъдат посочени въпросните карти, фокусникът моментално отгатва числото.

Фокусът се базира на елементарен математически трик с кодиране на картите. В левия ъгъл на всяка от тях е поставено число, което е степен на двойката. Трикът се възползва от факта, че всяко естествено число може да се представи като сума от различни степени на числото 2 и това представяне е единствено, т.е.:

негВсяковата уникална сумо число присъства а с само в . Т теака фокусникът просто събира зи карти, които са с код , участващ числата от в кодовете на посочените от повикания карти и веднага намира кое е търсеното. Шаблонът, по който могат да се изготвят картите в сортиран ред на числата, е представен на фиг. 1.

Фигура 1. Шаблон за пет неразбъркани карти с 31 числа

Например, ако избраният от публиката e намислил числото 21, той ще го открие само в картите, на които в левия ъгъл има числата 1, 4 и 16. Това е така, защото единственото развиване на 21 като сбор от степени на двойката е:

Фигура 2. Шаблон с пет карти с 31 числа във формата на кръгове2)

За реално приложение на фокуса пред публика е редно числата вътре в самите карти да се разбъркат. Така няма да си личи, че в тях има някакъв шаблон, и ще изглеждат като произволни. Самите карти също няма нужда да се подават в точно тази последователност. За представлението трябва да се направи така, че визуално всичко да изглежда хаотично и безразборно. Единствено важно е кодът на всяка карта да стои отчетливо на точно определено място, за да може фокусникът да го забележи веднага. Например на фиг. 2 е показано как може картите да се оформят като кръгове и кодът да се прикрие, като се използват курсиви, удебелявания и различни големини на шрифта.

От гледна точка на обучението, първоначално e естествено учителят да представи оригиналния фокус, а след това в духа на изследователския подход да остави децата да се опитат да разгадаят тайната му, като периодично им подсказва и ги насочва. Обобщението на наученото идва накрая, като е целесъобразно да се направи в последователни стъпки с първоначално разглеждане на по-прост случай, който да бъде надграждан. Най-елементарният вариант е с опростяване на задачата до две карти с три числа и два кода. Тогава картите ще изглеждат както на фиг. 3.

Фигура 3. Шаблон за две карти с три числа

Ако играчът посочи само първата карта, това означава, че се търси число, което присъства само в нея, а това очевидно е числото 1. Ако той посочи само втората карта, значи избраното от него число е 2. Ако посочи и двете карти, фокусникът събира двата кода, т.е. избраното число 1+2 = 3. Тук обикновено следва „аха-моментът“ и учениците веднага разбират как се прави. Въпреки това е добре да се представи и втора задача с три бита, с която да се покаже насока за това как се изготвят самите карти (фиг. 4).

Фигура 4. Шаблон за три карти със седем числа

Фокусът е широко прилаган в обучението по информатика за ученици по целия свят. В научната литература се среща като предложение с вариант от 4 карти в (Kruse 2003). В (Curzon & McOwan 2008) той се споменава като един от множество фокуси, които са показвали в тяхно 3-часово шоу за мотивиране на ученици към изучаване на компютърни науки, а в (Garcia & Ginat 2012) е споменат като един от шест възможни математически фокуса, които могат да се използват в обучението по информатика. В (Blasco Contreras et. al 2016) е представен вариант с четири карти като интерактивен уебсайт, в който играчът си намисля хранителен продукт и посочва на кои карти с картинки се намира той – зад всяка храна, естествено, се кодира точно определено число. В (Yingprayoon 2019) фокусът е описан заедно с още една популярна задача за претегляне на монети и намиране на фалшивата сред тях. При (Ferreira & Dos Santos 2020) също е препоръчан като един от пет фокуса. В интернет се среща в множество уебсайтове, повечето на образователна тематика. Като цяло, фокусът е много популярен, а учители и университетски преподаватели често се възползват от него.

Фигура 5. Магическа таблица от учебника на Николов и Сендова (1989)

С патриотично задоволство може да се отбележи, че същият фокус е бил използван в учебник по информатика в България значително по-рано – още през 1989 г. в учебника (Nikolov & Sendova 1989). Изданието е предназначено за извънкласна работа и е базирано на учебника за първи (сегашен пети) клас на ПГО, за който вече беше споменато. На страница 159 авторите показват на учениците „магическа таблица“. На фиг. 5 тя е представена обърната на 90°. В нея има подредени числата от 1 до 31. Децата си намислят число в това множество и трябва да посочат в редове къде се намира то. Програма на LOGO, приложена към учебника, впоследствие отгатва числото им. Това, разбира се, е просто вариант на фокуса на Lindhorst. Разликата с оригиналните карти реално е добавеният първи стълб с числа, които всъщност отразяват номер на реда (по аналогия с представения преди това вариант това е номер на картата) и не променя същината. От учениците се изисква да превърнат числата от таблицата в двоични и да потърсят закономерност, с която да разгадаят как работи фокусът. Именно това е и изследователският елемент в задачата.

В друга задача по същата тема в учебника учениците трябва да направят собствена по-голяма магическа таблица по аналогия. С това упражнение се потвърждава, че те наистина са разбрали как работи фокусът. На стр. 160 в същия учебник се показва комбинаторната игра Nim. Авторите показват печелившата стратегия за победа чрез кодиране с двоични числа.

3. Предложение за подобрение, вдъхновено от статия на Кирил Банков Разгледаният математически фокус, разбира се, е добър, вече утвърден и атрактивен пример за пораждане на когнитивен дисонанс към изучаване на основни свойства от урока за числата и техните представяния. Въпреки това по мнение на автора при класическото му приложение има един основен методически недостатък – при картите от фиг. 1 и фиг. 2 всъщност се оказва, че в демонстрацията се работи единствено с десетични числа. По този начин не става нагледно ясно от самото начало, че се използва именно двоична бройна система – тя остава зад кадър и реално фокусникът прави представлението си, без да брои двоично. Така някои ученици оценяват положително самия фокус, но не успяват да разберат защо им е нужно да смятат със степени на двойката, след като е напълно достатъчно просто да съберат готовите десетични кодове. Така знанията за двоичната бройна система за пореден път се налага да бъдат принудително привнесени наготово, а не да бъдат преоткривани от самите ученици. От това се намалява изследователският дух на задачата.

В учебника (Nikolov & Sendova 1989) авторите частично са компенсирали този елемент, като директно инструктират учениците да търсят тайната на фокуса чрез превръщане на числата в двоична бройна система, т.е. при тях не се показва лесното и бързо решение с десетичните числа. Това е работещо решение, но този вариант на задачата е неподходящ за употребата ѝ като встъпителен за темата елемент, който да породи когнитивен дисонанс от самото начало. Действително учениците трябва да са предварително запознати с двоичната система, за да могат да я приложат в решението на изследователската задача. По-добър за изследователския подход вариант на задачата би бил тя да провокира изучаването на двоичната бройна система, а не да упражнява нейното приложение.

Тук отново със задоволство може да се отбележи за още една българска следа, свързана с този фокус. В (Bankov 1982) той е представен в малко по-различен вариант. Ето как авторът директно въвежда читателите в проблемна ситуация с него:

Когато бях малък, силно впечатление ми правеше следният фокус. Един мой познат, който беше изучавал сериозно математика, поставяше на масата пет карти. На тях бяха написани целите числа от 1 до 31, а най-отгоре бяха нарисувани по три кръгчета, които играят ролята на код. Аз трябваше да си избера едно от тези три числа и да кажа в кои от картите е написано то. Тази информация беше достатъчна на „фокусника“, за да познае числото, което бях избрал.

По-нататък Банков обяснява същината на фокуса, как се смята с двоични числа, как се превръщат в десетични и обратно. Накрая представя предложение за кодиране на букви от азбуката и поставя четири доста предизвикателни допълнителни задачи към читателите на списанието (едната от които е за изучаване на троична бройна система). Примерните карти от статията (Bankov 1982) са показани на фиг. 6. По същество същите карти, но с разбъркан ред на числата вътре в тях, са показани на фиг. 7.

Фигура 6. Примерни карти за математически фокус от Банков (1982)

От педагогическа гледна точка, новият елемент в този вариант на задачата се крие зад явното обозначаване на двоичния код чрез поставените в началото на картите кръгове. Зад празните стои изключен бит (0), а черните представляват включен (1). Така на първия ред в съответните карти са закодирани двоичните кодове 000, 001, 010, 011 и 100, които представляват съответно десетичните числа 0, 1, 2, 3 и 4. Тези десетични числа, от своя страна, се използват като степен на двойката, за да се получат крайните кодове 1, 2, 4, 8 и 16.

Явната демонстрация, че в картите има таен код, разбира се, отнема от ефекта на изненада във фокуса. Вместо извиканият участник да бъде афектиран силно и да не може да разбере как е направен номерът, той вижда явно, че картите са белязани и точките очевидно подсказват нещо на фокусника. За едно магическо представление това, естествено, би било нежелателно, защото потенциално може да издаде тайната. В обучението по информатика в училище целта всъщност е точно обратната – учителите целенасочено желаят да разкрият тайната пред учениците си и да ги учат чрез нея! Тази явна подсказка насочва вниманието на обучаваните именно към побитовото представяне на закодираните числа, т.е. ще бъде право в целта на урока. С такава постановка учениците са поставени в проблемна ситуация да разгадаят кодовете сами, т.е. те са в условия на изследователски подход в обучението.

Фигура 7. Примерни карти за математически фокус с явен код и разбъркани числа

Трябва да се отбележи, че поставена по този начин, задачата става изключително адаптивна от методическа гледна точка. След като учителят даде на учениците шаблоните от фиг. 7, той може да ги остави да се опитат да разгадаят тайната сами. Ако те не се справят, може да покаже шаблоните със сортирани числа – например както е на фиг. 6. Ако и това не им помогне, учителят може да използва шаблона от фиг. 1, да обясни каква е тайната в него, и да предизвика учениците да се опитат да направят връзка между вече известните за тях десетични кодове и точките от първоначалните карти. По този начин учителят подсказва постъпково и се стреми да накара колкото се може повече ученици да преоткрият самостоятелно поне част от решението на задачата.

4. За свободата в използването на помощни средства

Има още един методически проблем, за който учителите несъмнено трябва да са подготвени. Учениците в гимназиална степен вече имат изграден навик да търсят готови решения в интернет на поставените пред тях задачи, вместо да се потрудят да се справят с предизвикателствата сами. Това не е непременно лошо, защото по този начин се развиват уменията им да търсят и намират информация, а това са ценни качества в информационното общество по практически всички професионални направления. Достигането до бърз и точен отговор се цени високо от всички работодатели. Проблемът е, че по време на обучението така не се стимулират изследователският подход и самостоятелното преодоляване на трудности, не се развива евристичната мисловна дейност и постепенно учениците стават мързеливи и неинициативни – действат припряно, нетърпеливи са да достигат незабавно до отговорите на въпросите, и при достигане до трудна задача, за която не намират бързо решение, те буквално се отказват.

От гледната точка на обучението по информатика това би означавало, че с прекомерното търсене и намиране на готови решения на проблемите учениците се оформят като програмисти, които могат само да сглобяват набори от модули с готови чужди решения, а не стават истински софтуерни инженери, които могат да разрешават принципиално нови и нерешени задачи. По-ценни за пазара на труда, разбира се, са вторите и не би било добре ако този изследователски дух се потиска в училище. Затова прекомерната свобода във възможността да се търсят готови отговори на проблемите в интернет по време на учебните часове, може би довежда до повече вреда, отколкото полза. Личното мнение на автора е, че търсенето на шаблонни решения на задачите следва да се толерира, но едва след като вече е помислено достатъчно задълбочено и вече е намерено някакво елементаризирано и наивно, но задължително авторско решение на задачите. Авторът препоръчва това да е цялостен методически подход в обучението по информатика и задачите от различните теми да се решават в следната последователност:

– учениците се поставят в проблемна ситуация;

– в условия на екипна работа и диалогичен процес се формулират техни хипотези;

– хипотезите се изпробват и се намират решения (възможно частични, елементаризирани и дори наивни);

– извършва търсене на информация в интернет за цялостните, изчерпателни и утвърдени решения на поставения проблем;

– учителят обяснява, синтезира и обобщава намереното.

Този подход може да бъде наречен „проблем – изследване – изпробване – сверяване – обобщаване“. Той има очевидното предимство, че учениците мислят активно върху проблемите, а не са само консуматори на решенията им. Също така ги учи, че намирането на просто някакво решение невинаги е най-добро и невинаги е правилно.

Конкретно за предложената встъпителна задача за двоична бройна система препоръката е доколкото се може повече учениците със собствени усилия да се потрудят да разгадаят тайната на фокуса, т.е. да не им бъде позволено от самото начало да търсят готови решения в интернет, преди да са формулирали собствени хипотези. Чак когато се направят предположения и се направят опити (евентуално с активна помощ и постъпково подсказване от страна на учителя), може да бъде насърчено да се потърси в интернет (или в учебна литература) професионално описано решение, което съответно да бъде обсъдено подробно и върху което учителят да направи обобщение на наученото.

5. Заключение

Разгледаният математически фокус е само един пример за това как принципно скучна за учениците тема от учебниците по информатика, която често в България се преподава само с представяне на математически сметки, би могла да бъде превърната в забавно и интерактивно взаимодействие между учител и ученици, в което да се постави още в самото начало атрактивна проблемна ситуация и да се насърчи изследователският подход в обучението. Всеки учител би могъл спокойно да намира и прилага подобни методи за обучение в своите учебни часове, без значение по кой учебник формално се работи и какво съдържа той. Остава отворен въпросът дали е необходимо подобен стил на преподаване да бъде насърчаван и в самите учебници. Имам положително мнение по този въпрос и смятам, че статията (Bankov 1982) със съвсем леки модификации би могла да бъде използвана директно като първи урок от учебник по темата за числата и техните представяния и това отговаря на актуалната учебна програма по информатика за VIII клас.

Относно практически насочените задачи игри по информатика, каквито са ползвани навремето в ПГО, авторът е напълно убеден, че е наложително техният дух да бъде възроден като традиция в българските училища и те да бъдат наложени в близко бъдеще. Решаването на дълги поредици от математически задачи със сметки, от които няма директно очевидно практическо приложение, е отегчаващо за учениците и ги отблъсква от споменатите теми в този иначе изключително прагматичен учебен предмет. Хипотезата на автора е, че стимулирането на изследователски подход на обучение чрез пораждане на когнитивен дисонанс с въвеждане на занимателни задачи с фокуси, игри или софизми още в самото начало на уроците е вероятно най-плодотворното решение за стимулиране на любопитството и засилването на мотивацията за учене при ученици от гимназиален етап.

БЕЛЕЖКИ

1. Учебна програма по информатика за VIII клас (общообразователна подготовка). От учебни програми за VIII клас в сила от учебната 2017/2018 година, утвърдени със Заповед No РД09-301 от 17.03.2016 г.

2. CS for All Teachers – Binary Circles “Magic Trick” https://www.csforallteachers.org/resource/binary-circles-magic-trick Последно посетен на 10.11.2022 г.

ЛИТЕРАТУРА

АЗЪЛОВ, П., 2019. Архивите разказват за първите състезания по информатика. Математика и информатика, 62(1), 11 – 30.

АНГЕЛОВ, А. И., ГЪРОВ, К. & ГАВРАИЛОВ, О., 1987a. Информатика за 10. клас на ЕСПУ. Народна просвета, София.

АНГЕЛОВ, А. И., ГЪРОВ, К. & ГАВРАИЛОВ, О., 1987b. Информатика за 11. клас на ЕСПУ. Народна просвета, София.

АНГЕЛОВ, А. М. & ПЕТРОВ, П., 1986. Микропроцесорът – сърцето на микрокомпютъра. Техника, София.

БАНКОВ, К., 1982. Тайната на един фокус. Математика, Издание на ЦК на ДКМС, 8, 29 – 34.

БОГДАНОВ, Д., БЪРНЕВ, П., ВАСИЛЕВ, В. & СЕНДОВ, Б., 1966. Електронни сметачни машини. Техника, София.

БОЙЧЕВА, С. НИКОЛОВА, Н., СТЕФАНОВА, Е. & ДЕНЕВ, А. Информатика за 8. клас. Просвета, София.

БЪРНЕВ, П. & АЗЪЛОВ, П., 1978. Алгоритми. Народна просвета, София.

БЪРНЕВ, П. АЗЪЛОВ, П., ДОБРЕВ, Д. & БИСТЕРОВ, Ц., 1987a. Информатика за 10. клас на ЕСПУ. Народна просвета, София.

БЪРНЕВ, П. АЗЪЛОВ, П., ДОБРЕВ, Д. & БИСТЕРОВ, Ц., 1987b. Информатика за 11. клас на ЕСПУ. Народна просвета, София.

БЪРНЕВ, П., АЗЪЛОВ, П., ДОБРЕВ, Д., БИСТЕРОВ, Ц., ЗАПРЯНОВ, З., ГЕРОВ, Г., ГАВРИЛОВ, М., … & КАРЛОВ, Е., 1989. Информатика за 9. клас на ЕСПУ. Народна просвета, София.

ГРОЗДЕВ, С. & ДЕКОВ, Д., 2014. Учене чрез открития – нов ефективен подход в ученето чрез експериментиране. Математика и информатика, 57(6), 568 – 585.

ГЪРОВ, К., 2006. За новото учебно съдържание по информационни технологии в прогимназиален етап на българското училище. Национална конференция „Образованието и информационното общество“, Пловдив.

ГЪРОВ, К., 2010. Задачите в обучението по информатика и информационни технологии. Национална конференция „Образованието в информационното общество“.

МАНЕВ, К., МАНЕВА, Н. & ХРИСТОВА, В., 2017. Информатика за 8. клас (общообразователна подготовка). Изкуства, София.

МОМЧЕВА, Г., ГЛУШКОВА, Т. & МАРИНОВА, Р., 2017. Информатика за 8. клас. Анубис и Булвест 2000, София.

НИКОЛОВ, П., ГЕОРГИЕВ, Л. & МАДОЛЕВ, В., 2007. Психология на университетското обучение. Университетско издателство „Неофит Рилски“, Благоевград.

НИКОЛОВ, Р. & СЕНДОВА, Е., 1989. Информатика за начинаещи, втора част. Народна просвета, София.

НИКОЛОВА, М., 2012. Проблемно базираният и проектният подход в обучението по информационни технологии – необходимост и възможности. Монография, Абагар, Велико Търново.

ПАВЛОВА, Н. & МАРЧЕВ, Д., 2021. Игри в обучението по математика и природни науки. KNOWLEDGE – International Journal, 46(2).

РАХНЕВ, А., ГЪРОВ, К. & ГАВРАИЛОВ, О., 1985. Ръководство за извънкласна работа по информатика на базата на езика БЕЙСИК. Издателство на МНП, София.

СЕНДОВ, Б., АНГУШЕВ, Г., БОЯДЖИЕВ, Т., ВЪЛЕВ, С., ГЛОВНЯ, М., КОЮМДЖИЕВА, М., МЛАДЕНОВ, Т., … & ЯНАКИЕВ, М., 1984. Учебник за второ отделение, втора част. ДП „Балкан“, Проблемна група по образованието при БАН.

СЕНДОВ, Б. & НОВАЧКОВА, Р., 1985. Език и математика (експериментален учебник) за първи прогимназиален клас. ДП „Балкан“, Проблемна група по образованието при БАН.

СТОЯНОВА, М., ТУПАРОВА, Д. & САМАРДЖИЕВ, К., 2018. Теориите за учене и игровизацията в обучението. XI национална конференция „Образованието и изследванията в информационното общество“, Пловдив.

REFERENCES

ASENOVA, P., 2015. Supporting the Bulgarian Young Talent in the Field of Informatics. Serdica Journal of Computing, 9(3 – 4), 269 – 280.

BLASCO CONTRERAS, F., DURAN, M. & SIMON, S., 2016. Using Mysteries of Magic to Engage Students in the Learning Process. Proceedings of Ikasnabar-Guide 2016 International Conference, Spain.

CURZON, P. & MCOWAN, P. W., 2008. Engaging with computer science through magic shows. Proceedings of the 13th Annual Conference on Innovation and Technology in Computer Science Education – ITiCSE ’08.

DICHEVA, D., NIKOLOV R., SENDOVA E., 1997. School Informatics in Logo Style: a Textbook Facing the New Challenges of the Bulgarian Informatics Curriculum, Proceedings of the Sixth European Logo Conference, Budapest, Hungary, 234 – 239.

FERREIRA, H. S. & DOS SANTOS, D. F., 2020. Abracadabra: mathematics in a magic trick. South Florida Journal of Development, 1(3), 122 – 127.

GARCIA, D. D. & GINAT, D., 2012. DeMystifying computing with magic. Proceedings of the 43rd ACM Technical Symposium on Computer Science Education – SIGCSE ’12.

KRUSE, G., 2003. “Magic numbers” approach to introducing binary number representation in CSO. Proceedings of the 8th Annual Conference on Innovation and Technology in Computer Science Education – ITiCSE ’03.

LINDHORST, W. L., 1937. Modern Magic; Tricks for Boys and Girls. Reilly & Lee Company.

YINGPRAYOON, J., 2019. Teaching Binary Number Concepts using Mathematic Magic Card Trick. ATCM 2019, Leshan, China.

2025 година
Книжка 4

Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов,

THE IMPACT OF TEACHERS’ GENDER, EDUCATION, AND EXPERIENCE ON FOSTERING MATHEMATICAL CREATIVITY: A QUANTITATIVE STUDY

kombinatorni zadachi. Mathematics and Informatics, 2, 193 – 202. (In Bulgarian). Valkov, M. (2022). Sinhronno distantsionno obuchenie v obrazovatelnata igra “StruniMa”. Pedagogicheski forum, 1, DOI: 10.15547/PF.2022.005, ISSN:1314-7986. (In Bulgarian).

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev1)

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev,Nadezhda Borisova,Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски1),Марияна Николова2)

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev , Tsvetelin Zaevski Anton Iliev , Vesselin Kyurkchiev , Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova , Aharon Goldreich , Nadezhda Borisova

ФОРМИРАНЕ НА КОМПЕТЕНТНОСТИ ЧРЕЗ ПРОБЛЕМНО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ

2. Компетентностен подход Компетентностният подход се базира на използването на инте- рактивни методи и нови технологии за обучение, които спомагат за

Книжка 1
ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА ПРИ ОБХОЖДАНЕТО НА ИНТЕРНЕТ С ЦЕЛ ИЗВЛИЧАНЕ НА ДАННИ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

AN APPROACH AND A TOOL FOR EUCLIDEAN GEOMETRY

Dr. Boyko Bantchev, Assoc. Prof.

STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva , Rositsa Doneva , Sadiq Hussain Ashis Talukder , Gunadeep Chetia , Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Assist. Prof. Stefan Stavrev, Assist. Prof. Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
MIRROR (LEFT-RECURSIVE) GRAY CODE

Dr. Valentin Bakoev, Assoc. Prof.

THE CONSTRUCTION OF VALID AND RELIABLE TEST FOR THE DIVISIBILITY AREA

Dr. Daniela Zubović, Dr. Dina Kamber Hamzić

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov , Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD- ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Prof. Dr. Jasmin Bektešević, Prof. Dr. Vahidin Hadžiabdić, Prof. Dr. Midhat Mehuljić, Prof. Dr. Sadjit Metović, Prof. Dr. Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

EVALUATIОN OF CHILDREN’S BEHAVIOUR IN THE CONTEXT OF AN EDUCATIONAL MOBILE GAME

Dr. Margarita Gocheva, Chief Assist. Prof. Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof. Prof. Dr. Elena Somova

Книжка 4
TRIPLES OF DISJOINT PATHS BETWEEN POINTS ON A CIRCLE

Dr. Ivaylo Kortezov, Assoc. Prof.

MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić , Hajnalka Peics , Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Dr. Pohoriliak Oleksandr, Assoc. Prof. Dr. Olga Syniavska, Assoc. Prof. Dr. Anna Slyvka-Tylyshchak, Assoc. Prof. Dr. Antonina Tegza, Assoc. Prof. Prof. Dr. Alexander Tylyshchak

РЕЗУЛТАТИ ОТ ИЗПОЛЗВАНЕТО НА ВИДЕОИГРИ В ОБРАЗОВАНИЕТО: ПРЕГЛЕД НА НЯКОИ ОСНОВНИ ИЗСЛЕДВАНИЯ ОТ ПОСЛЕДНИТЕ ДЕСЕТ ГОДИНИ

Калин Димитров , проф. д-р Евгения Ковачева „Интелигентният педагогически подход насърчава с инер- гията между технологиите и педагогиката и използва дигиталните игри в учебния процес“. Л. Даниела (Daniela 2020)

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Проф. д.п.н. Йордан Табов, проф. д-р Веселин Ненков, гл. ас. д-р Асен Велчев, гл. ас. д-р Станислав Стефанов

УПРАВЛЕНИЕ НА ЗНАНИЯТА ПО СТРУКТУРИ ОТ ДАННИ ЧРЕЗ СМЕСЕНО ОБУЧЕНИЕ

Гл. ас. д-р Валентина Дянкова, д-р Милко Янков

USING SENSORS TO DETECT AND ANALYZE STUDENTS’ ATTENTION DURING ROAD SAFETY TRAINING IN PRIMARY SCHOOL

Assist. Prof. Dr. Stefan Stavrev Assist. Prof. Dr. Ivelina Velcheva

Книжка 2
ALGORITHMS FOR CONSTRUCTION, CLASSIFICATION AND ENUMERATION OF CLOSED KNIGHT’S PATHS

Prof. DSc. Stoyan Kapralov , Assoc. Prof. Dr.Valentin Bakoev , Kaloyan Kapralov

DUAL FORM OF OBTAINING EDUCATION IN THE MATHEMATICS TEACHERS TRAINING SYSTEM: EMPLOYERS’ POSITION

Dr. Hab. Roman Vernydub, Assist. Prof. Dr. Oxana Trebenko, Prof. DSc. Oleksandr Shkolnyi

Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

THE POWER OF A POINT — A VECTOR PERSPECTIVE

Assoc. Prof. Dr. Boyko Bantchev

ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦАТА НА НЯКОИ ВИДОВЕ МНОГОЪГЪЛНИЦИ И ПРИЛОЖЕНИЕТО ИМ ЗА ДОКАЗВАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ В ТЯХ

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

ТЕСТОВИТЕ ЗАДАЧИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ЗА ПРОФИЛИРАЩ УЧЕБЕН ПРЕДМЕТ „ИНФОРМАТИКА“ ПРЕЗ УЧЕБНАТА 2021/2022 ГОДИНА

Доц. д-р Димитър Атанасов , д-р Красимир Манев , доц. д-р Весела Стоименова , държавен експерт Ралица Войнова

2022 година
Книжка 6
BEST E-LEARNING PLATFORMS FOR BLENDED LEARNING IN HIGHER EDUCATION

Kalin Dimitrov, PhD student, Dr. Eugenia Kovatcheva, Assoc. Prof. “When I wanted to learn something outside of school as a kid, cracking open my World Book encyclopedia was the best I could do. Today, all you have to do is go online.” – Bill Gates

MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Dr. Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Dr. Elena Somova, Prof.

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Dr. Lilyana Petkova, Dr. Vasilisa Pavlova, Assist. Prof.

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Dr. Silvia Gaftandzhieva, Assoc. Prof. , Prof. Dr. Rositsa Doneva , Milen Bliznakov, PhD

READINESS OF UKRAINIAN MATHEMATICS TEACHERS TO USE COMPUTER GAMES IN THE EDUCATIONAL PROCESS

Dr. Alina Voievoda, Assoc. Prof. , Dr. Svitlana Pudova, Assoc. Prof. , Dr. Oleh Konoshevskyi, Assoc. Prof.

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Prof. Dr. Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
A COMPARATIVE ANALYSIS OF ASSESSMENT RESULTS FROM FACE-TO-FACE AND ONLINE EXAMS

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Neli Baeva, Assist. Prof

ДВАДЕСЕТ И ШЕСТА МЛАДЕЖКА БАЛКАНСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Доц. д-р Ивайло Кортезов, Мирослав Маринов

PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Dr. Evgeniya Nikolova, Assoc. Prof., Dr. Mariya Monova-Zheleva, Assoc. Prof., Dr. Yanislav Zhelev, Assoc. Prof.

Книжка 3

CONVERTING NUMERAL TEXT IN BULGARIAN INTO DIGIT NUMBER USING GATE

Dr. Nadezhda Borisova, Assist. Prof., Dr. Elena Karashtranova, Assoc. Prof.

RECOGNITION OF PROBLEMATIC EDUCATIONAL SITUATIONS IN COMPUTER MODELING TRAINING

Dr. Hristo Hristov, Assist. Prof. , Radka Cherneva

EFFECTS OF SHORT-TERM STEM INTERVENTION ON THE ACHIEVEMENT OF 9

Amra Duraković , Senior Teaching Assistant, Dr. Dina Kamber Hamzić , Assist. Prof.

Книжка 2
VOCABULARY ENRICHMENT IN COMPUTER SCIENCE FOR INTERNATIONAL STUDENTS AT THE PREPARATORY DEPARTMENT OF THE UNIVERSITY

Dr. Svetlana Mikhaelis, Assoc. Prof., Dr. Vladimir Mikhaelis, Assoc. Prof., Mr. Dmitrii Mikhaelis

STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Evgeni Andreev, Assist. Prof., Dr. Mariya Nikolova, Assoc. Prof.

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

DEVELOPING PROBLEM SOLVING COMPETENCY USING FUNCTIONAL PROGRAMMING STYLE

Muharem Mollov, PhD student , Petar Petrov, PhD student

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, PhD student, Dr. Alexandre Ivanov Chikalanov, Assoc. Prof.

КРИПТОГРАФИЯ И КРИПТОАНАЛИЗ С MS EXCEL

Гл. ас. д-р Деян Михайлов

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Dr. Ivaylo Staribratov, Assoc. Prof., Nikol Manolova

КОНТЕКСТУАЛНО ПРЕКОДИРАНЕ

Доц. д-р Юлия Нинова

ДВУПАРАМЕТРИЧНА ЗАДАЧА ЗА ОПТИМАЛНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА РЕСУРСИ

Проф. д-р Росен Николаев, доц. д-р Танка Милкова

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
КРИВОРАЗБРАНИТЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ ТЕСТОВЕ ЗА НАЛИЧИЕ НА ЗАРАЗА

Доц. д-р Маргарита Ламбова, гл. ас. д-р Ваня Стоянова

E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Prof. Dr. Elena Somova

PRESCHOOL TEACHERS’ KNOWLEDGE, PERSPECTIVES AND PRACTICES IN STEM EDUCATION: AN INTERVIEW STUDY

Dr. Lyubka Aleksieva, Assoc. Prof., Prof. Dr. Iliana Mirtschewa, Snezhana Radeva, PhD Student

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 януари 2022 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg. Скъпи прияте

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Задача 1. Число, което е точен квадрат на естествено число, се записва с няколко единици и една двойка. Докажете, че това число се дели на 11. Решение. Нека е такова число. Можем да го запишем като

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Доц. Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj , Prof. Dr. Sead Rešić , Anes Z. Hadžiomerović , Samira Aganović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Prof. Olha Matiash, Dr. Liubov Mykhailenko, Prof.Vasyl Shvets, Prof. Oleksandr Shkolnyi

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 5/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 ноември 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в електр

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4, 2021 Г.

Задача 1. Намерете всички взаимно прости естествени числа a и b, за кои- то .

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Assoc. Prof. Silvia Gaftandzhieva, Prof. Rositsa Doneva, Assist. Prof. George Pashev, Mariya Docheva

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 10 октомври 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в елект

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИТЕ ЗАДАЧИ БРОЙ 3, 2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели . Решение. От тъждеството

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Prof. Dr. Sead Rešić, Prof. Dr. Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Д-р Севдалина Георгиева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 3/2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели .

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2, 2021 Г.

Задача 1. В равнината са дадени точка A и окръжност k с център O. Наме- рете геометричното място на центровете на описаните окръжности на три- ъгълници ABC, където BC е диаметър на k. Решение. Ако точката A лежи на окръжността k, то всички триъгълници ABC имат център на описаната окръжност точка O. В този случай търсеното множество е точката O. Нека A е външна за окръжността. Да разгледаме диаметър на k, който е перпендикулярен на AO. Центърът на описаната окръжност за е точ- ка S върху

В ПАМЕТ НА ПРОФ. ДОРУ СТЕФАНЕСКУ

С чувство за голяма загуба съобщаваме на нашите читатели, че на 09.05.2021 година на 69-годишна възраст напусна този свят членът на редакционния съ- вет на списание „Математика и информатика“ проф. д.м.н. Дору Стефанеску. Отиде си един уважаван румънски учен математик, старши заместник-пред- седател на Румънското математическо общество и изпълнителен редактор на Бюлетина на това общество, трикратен президент на Математическото обще- ство на Югоизточна Европа. Математическите способности на

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението:

Задача 3. Положителните числа x, y, z, α , β и γ удовлетворяват равен- ствата:

+ += и 2 cos cos cosx y z xy yz zx ++= + + Да се докаже, че от отсечки с дължини x, y и z може да се построи триъгъл- ник с ъгли , и . Решение. От равенството 0 2 cos cos cos sin sin cos cosx y z xy yz zx y z y z x =++− + + = − + + −

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 1/2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението: 5 10 2 nn−+= Задача 2. За положителните числа a, b, c и d е изпълнено равенството 1abcd+++ = . Да се докаже, неравенството: 1 18abcd abcd +++ + ≥

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

В ПАМЕТ НА НИКОЛАЙ ХРИСТОВИЧ РОЗОВ 20.02.1938 – 02.11.2020

С голямо прискърбие посрещнахме вестта, че известният математик, високо еру- дираният образователен деятел и член на редколегията на българското списание „Ма- тематика и информатика“ проф. Николай Христович Розов вече не е сред нас. Неочак- ваната смърт го застигна на поста декан на

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6

Задача 1. В турнир участвали 799 отбора, като всеки два отбора изиграли по една среща помежду си (всяка среща завършва с победа на единия то двата отбора). Да се докаже, че има 14 отбора, така че всеки от първите 7 отбора е победил всеки от последните 7.

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

∑

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Вписаната в ∆ABC окръжност се допира до страните AB, BC и CA съответно в точки P, Q и R. Ъглополовящата на ъгъла при върха C пресича PQ в точка S. Да се докаже, че правите AS и RQ са успоредни. Задача 2. Естественото число n се нарича хубаво, ако множества {1, 2, 3,..., п} може да се разбие на k непресичащи се множества така, че всяко от множест- вото да съдържа средното аритметично на елементите си. Намерете всички хубави числа за k = 2 и k = 3. Задача 3. Намерете всички функци

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека . Да се намери сумата на всички ес- тествени числа от интервала , за които се дели на . Росен Николаев и Танка Милкова, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2019

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа , които са решения на уравнението Милен Найденов, Варна Решение: eдно множество от решения на разглежданото уравнение се описва със следните формули: , , където Задача 2. Средите на диагоналите и на изпъкналия четириъгъл- ник са съответно и , а пресечната им точка е . Ако втората пресечна точка на описаните около триъгълниците и окръжнос- ти е и , да се докаже, че правата с

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Равнобедреният трапец има основи с дължини и , като е такъв, че средите на страните му са върхове на квадрат. Ако дължината на бедрото на е , а разстоянието от пресечната точка на диагоналите му до бедрата е , да се докаже, че . Милен Найденов, Варна

( ) ( ) ( ) 2sin 2019 2 cos 2019 2 2 3 10, 25x x xx + = −+

Решение: тъй като , т.е. когато

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. По пътя между два града има три тунела с обща дължина 2 ки- лометра и 900 метра. Разликата в дължините на втория и третия е 20 пъти по-малка от дължината на първия тунел. Общата дължина на втория и третия е с 500 метра по-голяма от дължината на първия. Да се намерят дължините на трите тунела, ако третият тунел има най-малка дължина. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. Да се докаже, че във вписан в окръжност четириъгълник е изпълнено неравенството . Хаим Хаи

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2019

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа, които са дължи- ни в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с телесен диаго- нал . Христо Лесов, Казанлък Решение. Нека са дължините в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с диагонал . Изпълнено е равен- ството . Оттук имаме . Следо- вателно . Затова , т.е. . От друга страна, , което означава, че . Затова , т.е. . По този начин получихме, че . Като направим необходимите проверки при

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадени са системите линейни уравнения

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4

THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
∑

RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina,Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

∫

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

2019 cm

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Mихаил Aлфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казваме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са проти- воположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свързващи и , по които мухата може да мине, когато: а) и n = 6; б) и ; в) m и са произволни естествени числа.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2018

Задача 1. Да се докаже, че: а) се дели на ; б) се дели на . Христо Лесов, Казанлък Решение на Златка Петрова от Ямбол: а) От дефиницията за факториел имаме . Оттук очевидно следва, че разглежданото число се дели на . б) Лесно се проверява, че е просто число. Затова от теоремата на Уилсън следва, че . Сега, като вземем предвид, че , получаваме което доказва твърдение б).

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2017

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението , ако: а) ; б) . Тодор Митев, Русе Решение: а) . Първо да отбележим следните две твърдения: 1) най-големият общ делител на и е или за всяко цяло . Това твърдение следва непосредствено от равенството ; 2) ако е просто число и дели , то дели . Това твърдение се доказва по следния начин. От условието

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа , за кои- то е изпълнено равенството: а) ; в) Христо Лесов, Казанлък

∑

Решение: а) 11 1 1 1 1 nx x x x kx x x x ′ ′ − + − +−  −  = = = =   − −   .

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2017 Г.

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между местата на пър- вата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с по-бавно, то той ще срещне първия мотоциклет след тръгването си, а разстоянието между местата на двете срещи ще бъде . Определете разстоянието , ако скоро

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2017

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големи- на кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най- много 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество оре- хи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три. Тъй като на Иван му харесало числото с тез

Книжка 1
„Децата не разбират това, което четат, и

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ε

2015! 2016! 2017++

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2.

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДАЧУ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението x )!63(1  , ако: а) ; б) . Тодор Митев – Русе

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2017

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което приема най-малка стойност. Христо Лесов – Казанлък Решение: съгласно малката теорема на Ферма за всяко естествено чис- ло и просто число , числото се дели на , т.е. дава оста- тък при деление на . Тъй като е просто число, от тази теорема следва, че дава остатък при деление на и дава остатък

Книжка 5
SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

∑

Слави Харалампиев и Румяна Несторова, Враца

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2016

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг съответно автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между места- та на първата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2016

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едновременно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти, така че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всич- ки редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диа- гоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: прилагаме действието към единия диагонал

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големина кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най-мно- го 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество орехи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един орех, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три ореха. Тъй като на Иван му харесало бро

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2016 Г.

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния Решение. Нека е дискриминанта- та на квадратното спрямо уравнение . Сле- дователно . Оттук получаваме равенството . Предполагаме, че

Книжка 2
NDM-PHILOSOPHY OF EDUCATION IN THE 21

Marga Georgieva, Sava Grozdev

ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа n и k, при които стойността на израза 2017 + 3 + 4 e: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2016

Задача 1. Редицата на Фибоначи се дефинира с равенствата и . Да се докаже, че всяка от редиците и съдържа безброй много двойки съседни членове, които се де- лят на . Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: в началото ще докажем следната Лема. За всяко числата на Фибоначи притежават свойствата: а) последната цифра на числата и е ; б) последната цифра на числата , , и е ; в) последната цифра на числата , , и е .

Книжка 1
ЗАНИМАТЕЛНИТЕ ЗАДАЧИ НА ПОАСОН И МЕТОДЪТ НА ПЕРЕЛМАН ЗА ТЯХНОТО РЕШАВАНЕ И ИЗСЛЕДВАНЕ

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров

ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което най-малка стойност. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2016

Задача 1. За всяко естествено число да се намери растяща редица от естествени числа , , , , , за които е изпълнено равенството Христо Лесов, Казанлък Решение: от условието имаме Затова , , , , и , , .

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките и лежат в една полуравнина спрямо и са такива, че и са равностранни. Ако е петата на перпендикуляра, спуснат от към , да се намери геометричното място на точката , когато описва . Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров – Архангелск, Русия

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1/2016

Задача 1. Целочислените редици и са дефинирани чрез равенствата , , , , при . а) Да се докаже, че за всяко цяло число точно едно от числата , и б) Да се определят целите числа , за които и са взаимно прости числа за всяко естествено число . Христо Лесов – Казанлък Решение: дадените рекурентни равенства представяме по следния на- чин: вателно

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едно- временно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти така, че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всички редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диагоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. В окръжност с център е вписан разност

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2015

Задача 1. Дадена е функцията , където m, n, ∈ℕ. Ако и са корените на уравнението и е изпълнено

Книжка 4
ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2015

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията и . Милен Найденов, Варна Решение. Разделяме двете страни на първото уравнение на и полу- чаваме . Полагаме и уравнението добива вида . Тъй като функцията е растяща (лявата графика на чертежа), то уравнението ално решение . С непосредствена проверка се вижда, че това решение е . Оттук намираме, че е единственото решение на първо- то уравнение. След това разделяме двете страни на второто уравнение на

Книжка 3
{}

Сава Гроздев – София, и Веселин Ненков – Бели Осъм

()

След заместване на намерените две неравенства в дясната страна на . Равенство се достига тогава и само тогава,

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. За всяко естествено число n да се намери растяща редица

()

Задача 2. Нека P е произволна точка от описаната окръжност на на . Ако докаже, че точките лежат на една права. Хаим Хаимов, Варна, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение. Ще докажем, че правите ра на описаната около окръжност . Оттук непосредствено следва

Книжка 1
()

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

{}

2n ≥

()()

.

2015 година
Книжка 6
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадена е функцията , където ,mn∈ . Ако x и x са корените на уравнението f (x) = 0 и е изпълнено (2) (3)ff t xx xx −− ==∈ +  , да се намерят m и n. Росен Николаев, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2015

Задача 1. Параметрите a и b в уравнението 5x + 2x + 4ax  x + 2bx + 4b  a = 0 са такива, че то има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 1 и 2 са корени на даденото уравнение, то след заместване в уравнението се получават съответно равенствата: 5a+2b = 4 и 31a+8b = 188. След решаване на получената система от две уравнения с две неизвестни се полу- чава: a = 4 и b = 8. Заместваме на

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА MATHEMATICS AND INFORMATICS

BULGARIAN EDUCATIONAL JOURNAL ANNUAL CONTENTS / ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ

Книжка 5
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията 3.2 8.3 159000 += и 32.11 56697728 x += . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2014

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра k, за които уравнението ( ) ( ) , 10k ≠ притежава цело- числени корени. Милен Найденов, Варна Решение: Ако x и x са корените на уравнението, то 2 21 1 2 10 10 k xx kk - + = =- -- е цяло число. Затова 1 10 p k = - е цяло. Оттук получаваме 10 1p k p + = . За дискри- минантата D на уравнението намираме 6 24p D p -- = . Тъй като D трябва да е точен квадрат, то 6 24pn- -= за някое цяло число n. Последното равен

Книжка 4
Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова СОУ „Панайот Волов“ – Шумен ОУ „Никола Йонков Вапцаров“ – Асеновград

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ ВЬIЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЬIМИ

Владимир Жук Республиканская специализированная физико-математическая средняя школа-интернат имени О. Жаутыкова

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2014

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа uxyv , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна Решение: Събираме почленно равенствата и получаваме . Оттук следва равенството ( ) ( )( ) 1 1 1 12xy uv− −+ − −= . Последното равенство е изпълнено при ( ) 1 11 xy − −= и ( )( ) 1 11uv− −= ; ( ) 1 12xy− −= и ( )( ) 1 10uv− −= ; ( ) 1 10xy− −= и ( )( ) 1 12uv− −= . Оттук лесно се вижда, че търсените числа са: 2222, 5231, 1235, 3152, 3512, 5321, 1325,

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Contest Problems Конкурсни задачи Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x

Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x + 2x + 4ax - x + 2bx + 4b  a = 0 има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2014

Задача 1. Ако a  3 е нечетно число и k 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: Означаваме с r търсения остатък. При k = 2 е изпълнено равенството . Тъй като , то . Сега от равенството се получава , къ- дето M е цяло число. Ако k = 2l, l k = 2l + 1, l . В този случай получаваме, че . Разглеждаме случая, при който k = 3. От рела- циите и

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра , за които уравнението притежава це- лочислени корени. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2014

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a , и c е изпълне- но неравенството Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Решение: Ако , R и са съответно лицето, радиусът на описа- ната окръжност и полупериметърът на триъгълника, то са изпълнени следните релации: и . От двете равенства лесно се вижда, че разглежданото неравенство е еквивалентно с , което съвпада със споменатото неравенство.

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „П. Волов“ – Шумен

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на a, b и c, при които коре- ните на уравнението 10x a b c x ab bc ca++++ +++= са цели числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2013

Задача 1. Да се намерят всички реални функции : 1, 1,fx +∞ → +∞ , за които при и 0y > е изпълнено равенството fx fx= . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния Решение: Нека 1 log ln ye x == . Тогава fx fx fe== . Полагаме 1fe a => . От условието получаваме a fe fx== , откъдето fx a = . Освен това . Затова, като положим α , получаваме, че търсените функции са fx x = за всички α .

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

УРОК ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ НА ФУНКЦИИ В ЗАДАЧИ ПО ИКОНОМИКА

Петя Сярова СОУ „Васил Левски“ – Ямбол

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете цифрите , , и в десетична бройна система, ако е изпълнено равенството . Йон Патралику, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2013

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа , за които са изпълнени неравенствата: 2 2 2 28, 6, 3 8.

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова Образцова математическа гимназия „Акад. Кирил Попов” „Колкото човек е по-близо, толкова по-малко вижда“ Зрителна измама, филм на Луи Летерие

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2013

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9 3 15xx x+ +≥ . б) Намерете реалните стойности на , при които за всички , , 1,abc∈ − +∞ , е изпълнено неравенството 31a b c a b c kabc + + + + + +≥ ++ . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: а) Разглежданото неравенство е еквивалентно с 13 1 0 xx + −≥ , което е очевидно при . б) От а) следват неравенствата 9 3 15aa a+ +≥ , 9 3 15bb b+ +≥ и 9 3 15cc c+ +≥ . След почленно събиране получаваме 5 31 3 a b c a

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

ANALYSIS OF PROBLEM SOLVING IN INFORMATICS FOR 12 – 13 YEAR OLD STUDENTS IN BULGARIA

Ivaylo Staribratov, BistraTaneva High School of Mathematics „Akad. Kiril Popov“

МОДЕЛ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЕДИН КЛАС ЗАДАЧИ ЗА ПОСТРОЕНИЕ С ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Ваня Бизова-Лалева Национална търговска гимназия

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако a ³ 3 е нечетно число и k ³ 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с .

Contest Problems Конкурсни задачи РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2013

24 24 2 2 .2 8. 2 8.1024 8. 1000 1 8.10 . 1 23. 1000 1000     == = = + > + =         557 500 3 8.10 . 1 8.10 . 1 8.10 . 12.10 10.10 10 1000 1000 2  = +> += = > =  

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „Панайот Волов“

ЕДНО ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ПИТАГОР В ИЗВЪНКЛАСНАТА РАБОТА ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Несторова Регионален инспекторат по образованието - Враца

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

ЕДИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански Българска академя на науките

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a, b и c е из- пълнено неравенството (a+b+c) (2b c + 2c a + 2a b - a - b - c ) £ 27a b c . Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Ако M е множеството на всички равнобедрени триъгълници, стра- ните и лицето на които са естествени числа, да се намерят три триъгълника от M, различните страни на които са последователни естествени числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2013

Задача 1. Реалните числа , , , и са такива, че:

2013 година
Книжка 6
∑

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални функции f (x) : (1, + ) (1, + ), за които при x > 1 и y > 0 е изпълнено равенството f (x ) = (f (x)) . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2013

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата 3 cos cos cos 3 1 216 abc abc abc abc ⎡⎤ ++ ++ −≤++< − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ .

MATHEMATICS AND INFORMATICS

ГОДИНА LVI / VOLUME 56, 2013 ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ / ANNUAL CONTENT СТРАНИЦИ / PAGES КНИЖКА 1 / NUMBER 1: 1 – 96 КНИЖКА 2 / NUMBER 2: 97 – 200 КНИЖКА 3 / NUMBER 3: 201 – 296 КНИЖКА 4 / NUMBER 4: 297 – 400 КНИЖКА 5 / NUMBER 5: 401 – 496 КНИЖКА 6 / NUMBER 6: 497 - 608

Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа (x, y, z), за които са изпълнени неравенствата:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2012

Задача 1. За всяко реално число x означаваме с [x] най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на x. Да се намерят всички прости числа p, за които числото е просто.

GUIDE FOR AUTHORS

Mathematics and Informatics Journal publishes scientifi c, scientifi c-popular, review and information materials. Papers of scientifi c character should report original research and ideas inspected through expert evaluation by two anonymous and independent referees. It is recommended that the manuscripts are sent as attachment fi les to the following addresses mathinfo@azbuki.bg and sava.grozdev@gmail.com. Disks or other electronic devices are admissible too and in such a case the postal a

Книжка 4
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9315xx x++≥ .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2012

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа x, y и z, за които е изпълнено равенството . Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 13 = 2197, 2.11 = 2662 и 3.9 . 2187, то x 12, y 10 и z 8. Освен това x и z имат различна четност. Така с непосредствена проверка се вижда, че когато z = 1,3,5,7 при x = 2,4,6,8,10,12 и z = 2,4,6,8 при x = 1,3,5,7,9,11, само x = 2, y = 10, z = 1 е решение на даденото уравнение.

Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се сравнят числата Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Точките E и F са среди съответно на диагоналите AC и BD на чети- риъгълника ABCD. Ако BAE ADE= и , да се докаже, че симе- дианите на триъгълниците ABC, BCD, CDA и DAB съответно през върховете B, C, D и A се пресичат в една точка. Хаим Хаимов, Варна Задача 3. Вписаната в окръжност се допира до , и AB съот-

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2012

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния Решение: Изпълнени са равенствата ! 1! 1 1! 1 !! np Sp C p np + =− +=− +=

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Реалните числа , , , и са, такива че:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2012

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa a bb b  , за които е изпълнено равенството aa a bb b aa a bb b=   . Николай Белухов, Стара Загора Решение: Нека A aa a=  и B bb b=  . От условието следва равенството .10 . A B AB+= , откъдето .10 1 . A AB =− . Тъй като , 11AA −= , то 1|10 A − , откъдето 1 1 2 .5 AA− += . Ако числата 1A − и 1A + са едновременно нечетни, то , а 1A − и 1A + са степени на петицата с разлика две, което е невъзможно. Остава само възмо

Книжка 1
70-ГОДИШЕН ЮБИЛЕЙ

Навършиха се 70 години от рождението на изтъкнатия български математик проф. дмн Генчо Скордев. Юбилярът е член-кореспондент на БАН и дългогодишен главен редактор на сп. „Математика и информатика“. По този повод е следващият материал, в който авторът разказва свои спомени с исторически характер, свързани с активното му участие в образователните процеси в България по математика и информатика.

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2012

Задача 1. В множеството на реалните числа е дефинирана бинарна опера- ция :⊗ ×→  , където : \0=  , която условно ще наричаме умножение и такава, че за всеки три реални числа , и , където , е в сила ра- венството .ac a bc b ⊗⊗= . Ако е известно, че , да се пресметне 2011 2012 2011 2012⊗⊗⊗ . Живко Желев, Стара Загора Решение: Първи начин (авторско решение). Нека . Тогава .1 11 1 a ata a⊗= ⊗ ⊗ = = . Оттук получаваме 2012. 1 2012 2012 2012 2012 2012 t tt=⊗=⊗ ⊗= =

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2012

Христо Лесов, Казанлък

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

доц. д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН) Десетата Международна олимпиада по лингвистика (МОЛ) се проведе в Любляна (Словения) от 30 юли до 3 август 2012 г. В нея взеха участие 131 ученици, съставящи 34 отбора от 26 страни. За първи път свои състезатели изпратиха Гърция, Китай, Израел, Унгария и Япония. Бяха представени също Австралия, Бразилия, България, Великобритания, Германия, Естония, Индия, Ирландия, Канада, Латвия, Нидерландия, Полша, Румъния, Русия, САЩ, Сингапур, Словения, Сърбия, Чехи

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПР ОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа , и , за които е из- пълнено равенството Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2011

Задача 1. Да се докаже, че за всяко цяло положително число уравнението има безброй много решения в цели положителни числа

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2011

Задача 1. Едно цяло положително число n ще наричаме “интересно”, ако може да бъде записано във вида , където са цели поло- жителни числа и , а дели c . Да се докаже, че само краен брой цели положителни числа не са “интересни” и да се намери сумата им. Решение: 1) Нека , то тересно”. Остава да отбележим, че , и не са “интересни”. 2) Нека

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2011

Задача 1. На страните AB и на успоредника външно за

Книжка 3
НАЦИОНАЛЕН КОНКУРС „МЛАДИ ТАЛАНТИ” 2012

Георги Дянков През месец май 2012 се проведе финалният кръг на Националния конкурс „Млади таланти”. Състезанието се организира от МОМН и приема разработки на научни проекти от ученици в гимназиален етап и студенти първи курс. Участниците предста- виха свои авторски проекти в различни научни области – естествени науки, социални науки и комуникационни и информационни технологии (ИКТ). Състезанието тази година се отличи с много добри проекти и журито имаше нелеката задача да избере най-добри

СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa abb b , за които е изпълнено равенството

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2011

Задача 1. Да се определят стойностите на параметъра a, за които уравнението log sin 2011 cos 2011tg x cotg x a x x += + има решение и да се реши уравнението за най-малката от намерените стойности на параметъра. Христо Лесов, Казанлък Решение (Христо Лесов): Изпълнени са следните релации: π αα α за всяко и 2 2 sin 2 tg cotg += ≥ за

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2011

Задача 1. Ако , е цяло положително число, да се докаже, че съществуват безброй много цели положителни числа нено равенството . Веселин Ненков, Бели Осъм Решение (Светлозар Дойчев): Като използваме, че за произволно цяло число

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МЕЖДУНАРОДНИ КОНКУРСИ ЗА РАЗРАБОТВАНЕ НА ПРОЕКТИ

І.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕза ученици, ІІ.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕ за учители

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Рубриката се води от Светлозар Дойчев, и Веселин Ненков

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.