Математика и Информатика
Вход / Регистрация

https://doi.org/10.53656/math2024-2-4-dev

2024/2, стр. 155 - 176

РАЗВИТИЕ НА ДИГИТАЛНИ КОМПЕТЕНТНОСТИ В ЗАДЪЛЖИТЕЛНАТА ПОДГОТОВКА ПО КОМПЮТЪРНО МОДЕЛИРАНЕ И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ В СРЕДНОТО УЧИЛИЩЕ

Резюме: Представеното изследване има за цел да идентифицира нуж-дите от актуализация на учебната документация и учебното съдържание покомпютърно моделиране и информационни технологии (КМИТ) в прогим-назиален етап на образование. За постигането `и първо са идентифицираниочакваните нива на дигитални компетентности според Рамката за дигиталникомпетентности DigComp 2.2. чрез съпоставка с нивата на компетентност спо-ред Националната квалификационна рамка. Чрез сравнителен анализ междуДържавните образователни стандарти и учебните програми, от една страна,и DigComp 2.2., от друга, са изведени основни препоръки за осъвременяванена учебните програми и учебното съдържание за задължителна подготовкапо КМИТ в средното училище. Изводите сочат, че учебната документациядава възможност за гъвкавост и актуализация в процеса на ползването `и впрактиката. Основните насоки за актуализация включват интегрирането накомпетентности, свързани с ролята на изкуствения интелект, работа в сътруд-ничество, приобщаване и безопасност.

Ключови думи: дигитални компетентности; DigComp 2.2; учебни програми;компютърно моделиране и информационни технологии

1. Увод

Дигиталната компетентност е посочена като една от ключовите компетентности за учене през целия живот (European Commission 2019). Самите дигитални компетентности са обособени в пет области и описани в Рамката за дигитална компетентност на гражданите DigComp 2.2 (Vuorikari et al. 2022). Предвид бързото развитие на дигиталните технологии и влиянието им върху всички сфери на живота, Рамката периодично се актуализира, като настоящото издание датира от 2022 г. В допълнение и в отговор на нарастващата дигитална сегрегация, през 2020 г. Европейският съюз публикува обновен Digital Education Action Plan (2021 – 2027), в който един от приоритетите е подобряване на цифровите умения и компетентности за цифровата трансформация (European Commission 2020).

Нуждата от развитие на дигиталните компетентности в училищна възраст води до редица научни изследвания и дори образователни реформи, в областта. В свое изследване Pettersson формулира препоръка към изследователите да се включат в разработката на нови подходи, които да подобрят дигиталните компетентности в образователен контекст (Pettersson 2018). Godhe проследява концептуализацията на развитието на дигитална грамотност и дигитални компетентности в учебните програми за задължително обучение в скандинавските страни (Швеция, Дания, Финландия и Норвегия). Тя забелязва, че в прегледаните учебни програми се говори основно за мултиграмотност при обучението, програмите не са компетентностно ориентирани, а дигиталните умения се развиват в рамките на интердисциплинарни теми или като допълнителни (незадължителни) предмети (Godhe 2019).

България е една от страните с традиции в развитието на дигитални компетентности у ученици в рамките на посветени на това учебни предмети. В средното училище това става по задължителните предмети компютърно моделиране и информационни технологии (КМИТ) в прогимназиалния етап на основната образователна степен и по информационни технологии (ИТ) в първи гимназиален етап. Действащите учебни програми са разработвани в съгласие с Рамката на дигиталните компетентности на гражданите. Проблемът е в бързо променящите се изисквания относно нивото на дигитални компетентности, което се очаква от младите хора. Това води до нужда от своевременна актуализация на учебната документация, учебно-помощна литература и промени в практиката на преподаване в училище.

Настоящото изследване има за цел да идентифицира нуждите от актуализация на учебната документация — учебни програми и учебници, така че съвременното задължително обучение по КМИТ и ИТ да подготвя дигитално компетентни млади хора, отговарящи на актуалните изисквания на 21-ви век. В резултат авторите формулират препоръки към Министерството на образованието и науката (МОН), авторите на учебно-помощна литература и учителите за осъвременяване на обучението по тези предмети.

В тази статия са представени въпросите и резултатите от първата част на изследването, свързана с обучението по КМИТ. Изследователските въпроси, на които статията се опитва да отговори, са:

• Какви промени трябва да се направят в учебните програми по КМИТ, така че те да отразяват очакваните нива на дигитални компетентности съгласно DigComp2.2.?

• Какви промени в учебното съдържание и дейности при преподаването по КМИТ биха довели до по-ефективно развитие на дигиталните компетентности у учениците на очакваното (според възрастта им) ниво?

Обект на изследването са Държавните образователни стандарти (ДОС) за основна и първа гимназиална степен (с цел идентификация на очакваните нива на компетентност) и учебните програми за задължителна подготовка по КМИТ (5. — 7. клас) — с цел идентификация на възможности за намеса. Предмет на изследването са знания, умения и нагласи, описани на съответното ниво на Рамката DigComp 2.2., които не кореспондират с разглежданите образователни стандарти и учебни програми.

2. Методология

За постигане на целите на изследването е използван основно сравнителен анализ на документи.

• Съпоставка между Националната квалификационна рамка (НКР) и DigComp2.2. с цел идентифициране на очакваните нива на дигитална компетентност във всяка от двете възрастови групи.

• Сравнителен анализ между ДОС и учебните програми по КМИТ за прогимназиален етап, и съответните нива на дигитални компетентности според DigComp2.2.

• Извличане на препоръки към създателите на учебни програми, авторите на учебно-помощна литература и практиците (учители и ръководни органи на училища) за актуализация на учебна и административна документация, както и за учебно съдържание и дейности по разглеждания учебен предмет.

3. Идентификация на очакваните нива на развитие на дигитални компетентности в прогимназиален и първи гимназиален етап на обучение

3.1. Дигиталните компетентности — DigComp, DigComp 2.0, DigComp 2.1, DigComp 2.2

Още в началото на 21-ви век Европейската комисия (и по-широко – Европейският съюз) възприеха цялостен и системен подход към изследването, формулирането и систематизирането на компетенциите на XXI век. През 2006 г. Европейският парламент публикува официално „Препоръка на Европейския парламент и Съвета от 18 декември 2006 г. относно ключовите компетентности за учене през целия живот“ (European Parliament 2006). Документът дефинира Европейска референтна рамка за ключови компетенции за учене през целия живот.

Бяха обособени осем ключови компетентности, необходими на европейските граждани за личностна, професионална и социална реализация и за учене през целия живот. През 2018 г. Съветът на Европейския съюз публикува обновен документ – „Препоръка на Съвета относно ключовите компетентности за учене през целия живот“ (European Union 2018), който преразгледа и измени референтната рамка с 8 ключови компетентности от 2006 г., както следва:

Референтната рамка определя осем ключови компетентности (European Union 2018):

1. Компетентност за грамотност;

2. Чуждоезикова компетентност;

3. Математическа компетентност и компетентност в науката, технологиите и инженерството;

4. Дигитална компетентност;

5. Лична, социална и компетентност за учене;

6. Гражданска компетентност;

7. Компетентност по предприемачество;

8. Културно съзнание и компетентност за изразяване.

За всяка от осемте ключови компетентности беше дадено изменено и подобрено изрично определение, както и кратко описание на основните знания, умения и нагласи, свързани с всяка от тях.

Дигиталната компетентност заема важно място и има все по-значима роля сред осемте ключови компетентности. През годините и до момента са разработени 4 последователни и надграждащи се основополагащи документа, свързани с дигиталните компетентности, като последният вариант – DigComp 2.2. (Vuorikari et al. 2022) – на документа включва 5 области на дигитална компетентност с общо 21 компетентности, като всяка отделна компетентност е разработена на 8 нива на владеене. За всяко ниво са дадени конкретни примери за знания, умения и нагласи, както и примерни сценарии за заетост и сценарий за обучение (фиг. 1).

Фигура 1. Структура на DigComp 2.2.

3.2. Европейска квалификационна рамка (ЕКР), Национална квалификационна рамка (НКР) и връзките им с европейските дигитални компетентности

В DigComp 2.2. (Vuorikari et al. 2022) е отбелязано, че разработването на осемте нива на владеене на всяка от дигиталните компетентности е вдъхновено от структурата и речника на Европейската квалификационна рамка (European Commission 2008). Тя също се състои от осем нива на владеене, описващи различните образователни равнища в европейските образователни системи чрез описание на основните знания, умения и компетентности, характеризиращи всяко образователно равнище – от предучилищна възраст, през начално, прогимназиално, гимназиално и висше образование (с неговите 3 нива – бакалавър, магистър, доктор).

Европейската квалификационна рамка (ЕКР) е създадена в периода 2004 – 2008 г. с цел да синхронизира образователните и квалификационните степени в Европейския съюз на основата на нива на придобити знания, умения и компетентности (European Commission 2008).

До 2010 г. всяка страна от ЕС създава на своя основа Национална квалификационна рамка (НКР), следвайки същата структура и като я прецизира в съответствие с националните особености.

Всяко ниво на ЕКР (респективно НКР) е описано чрез знания, умения и компетентности, които са най-съществени и принципни за него. На фиг. 2 е представен пример1 с описание на ниво от ЕКР.

Фигура 2. Пример за описание на ниво от ЕКР

Националната квалификационна рамка на Република България (НКР)2 специфицира и детайлизира на български език и съобразно българската образователна система знанията, уменията и компетентностите за всяко от осемте нива на ЕКР. Осемте нива на НКР се съпоставят на отделни образователни етапи от системите на общото и професионалното образование (фиг. 3).

Фигура 3. Съответствие между нивата на НКР и етапите на общо

и професионално образование в Република България

Чрез съпоставка между нивата на ЕКР и НКР, от една страна, и нивата компетентност, описани в DigComp 2.2., могат да се идентифицират образователните етапи, в които е препоръчително и реалистично да се развият съответните нива на дигитални компетентности (фиг. 4).

Фигура 4. Съответствие между осемте нива в ЕКР, съответно в

НКР и осемте нива в DigComp 2.2.

Резултатите от съпоставката сочат, че в рамките на задължителната подготовка в средното училище (5. – 10. клас) е желателно да се развият дигиталните компетентности у учениците до ниво на професионализъм 4 по DigComp 2.2. В прогимназиален етап на основната образователна степен се очаква развиване на дигиталните компетентности на базово ниво 2 и евентуално (частично) – на междинно равнище 3, а в основната образователна степен – междинни нива 3 и 4.

Задължителните учебни предмети, фокусирани върху развитието на дигиталните компетентности са компютърно моделиране и информационни технологии (КМИТ) в прогимназиален етап на основната образователна степен (5. – 7. клас) и информационни технологии (ИТ) в първи гимназиален етап (8. – 10. клас).

3.3. Държавните образователни стандарти (ДОС) за общообразователна подготовка (ООП) и осемте европейски ключови компетентности

Стандартите за общообразователна подготовка бяха въведени през 2000 г. и през следващите години структурата и начинът им на описание се оказаха достатъчно устойчиви, за да могат в тях да се интегрират последващите промени от развитието на образователната система както в национален, така и в европейски мащаб. През 2015 г. бе направена интеграция на европейските осем ключови компетентности в системата на ДОС за ООП, което бе извършено без сътресения, тъй като езикът на стандартите за ООП и начините на описание в тях на знанията, уменията и отношенията, които учениците трябва да придобият при завършването на отделен етап или степен на своето училищно образование, напълно съответстваха на методологията и начина на описание на осемте европейски ключови компетентности за учене през целия живот. На фиг. 5 е представена съпоставка на стандартите от 2000 г. със стандартите от 2015 г., които интегрират осемте европейски ключови компетентности (плюс още една – девета, добавена на национално ниво в България).

Фигура 5. Структура на ДОС

Държавните образователни стандарти (ДОС) (чл. 3. (2) т. 5 от Наредба №5 от 30 ноември 2015 г. за общообразователната подготовка); (МОН, Наредба №5 2015) определят учебните предмети информатика, информационни технологии (ИТ), компютърно моделиране и информационни технологии (КМИТ), и компютърно моделиране (КМ) като основополагащи за придобиване на дигитална компетентност.

Следващата секция разглежда в какви основни области на компетентности са структурирани ДОС за задължителна подготовка по Компютърно моделиране и ИТ за 5. – 7. клас и до каква степен стандартите и последващите от тях учебни програми предполагат развиването на съответните нива на дигитални компетентности според DigComp 2.2.

4. Анализ на учебните програми по КМИТ за прогимназиален етап на основната образователна степен

В прогимназиален етап на основната образователна степен развитието на дигиталните компетентности се осъществява основно в рамките на учебния предмет компютърно моделиране и информационни технологии. Според последната актуализация, от 25.08.2023 г., на рамковия учебен план за общо образование за основната образователна степен (МОН, Наредба №4 2015) предметът се изучава като задължителен в рамките на 51 учебни часа в 5. и 6. клас и 54 учебни часа в 7. клас. Актуализацията представя надграждане на предмета информационни технологии, като увеличава 1,5 пъти предвидените за него учебни часове. В рамките на увеличеното учебно време се предвижда да се изучава нова тема – „Компютърно моделиране“. Промяната води и до създаването на нови учебни програми за 5., 6. и 7. клас, които по същество включват леко актуализирано учебното съдържание по информационни технологии и новата тема – „Компютърно моделиране“. Програмите са утвърдени със Заповед на министъра на образованието и науката РД09-2819/ 09.10.2020 г.6 и влизат в сила поетапно: в 5. клас3 – от 2021/2022 учебна година; в 6. клас4 – от 2022/2023 учебна година; и в 7. клас5 – от 2023/2024 учебна година.

В Приложение № 5 към чл. 6, ал. 1, т. 5, на Наредба № 5 от 30 ноември 2015 г. за общообразователната подготовка са описани структурата и съдържанието на държавния образователен стандарт за общообразователна подготовка по компютърно моделиране и информационни технологии. Стандартът разглежда очакваните от обучението резултати, групирани в следните области на компетентности:

• Компютърни системи

• Информация и информационни дейности

• Електронна комуникация

• Информационна култура

• Създаване на дигитално съдържание Специфичните цели на обучението по предмета са свързани с познаване на възможностите на информационните технологии (ИТ) и приложението им в различни сфери на обществения живот и за личностно развитие; с творческо използване на възможностите на съвременните ИТ за обработване на различен тип информация, за решаване на проблеми и за комуникация; с изграждане на информационна култура, на критично и отговорно отношение към информацията и със създаване на компютърно приложение на тема, свързана с изучавано учебно съдържание по другите учебни предмети.

Въпреки, че някои от тези области кореспондират с области от DigComp 2.2., например, „Създаване на дигитално съдържание с Digital Content Creation“, „Електронна комуникация с Communication and Collaboration“, внимателен анализ на учебните програми показва силно преплитане между петте области на ДОС и петте области на компетентности, описани в DigComp 2.2.

Забелязва се, че част от компетентностите, описани в Рамката DigComp 2.2. се покриват на по-високо от очакваното професионално ниво (фиг. 6).

Фигура 6. Покритие на дигитални компетентности в учебните

програми по КМИТ

От таблицата на фиг. 6 се вижда, че цялата област на дигитални компетентности 3. Digital Content Creation е изключително силно застъпена в обучението по КМИТ в 5. – 7. клас. Темите „Звук и видео информация“, „Създаване и обработка на графично изображение“ / „Работа с графични изображения“, „Компютърна текстообработка“, „Компютърна презентация“, „Интернет и интегриране на дейности“ и „Работа по проект“ изискват формиране на знания, развиване на умения и създаване на нагласи, които отговарят на 3-то и 4-то ниво от рамката на дигиталните компетентности DigComp 2.2. В темите не само се предполага работа със софтуер за създаване на съдържание, но явно се стимулира творческото използване на ИТ за себеизразяване и решаване на проблеми. От самото начало на работа в интернет се дискутира и темата за защита на авторските права и спазване на лицензионни споразумения. Последната подобласт на компетентности, 3.4 Programming, се развива в новодобавената тема „Компютърно моделиране“, като нивото на компетентност отново достига 4.

Според учебните програми по КМИТ развиването на компетентности от област 3. Digital Content Creation върви паралелно с развиването на такива от подобласт 5.3 Creatively using digital technology. Този подход позволява в рамките на предмета да се развиват и умения на 21-ви век като творчество и иновативност (Fadel 2008; Buckle 2024).

Учебните програми по КМИТ поставят високи изисквания по отношение и на други подобласти на дигиталните компетентности (табл. 1).

Таблица 1. Подобласти на дигитални компетентности с високо ниво на развитие в рамките на КМИТ

ОбластПодобласт1.Information1.1Browsing,searchingandfilteringdata,anddataliteracyinformationanddigitalcontent1.3Managingdata,informationanddigitalcontent2.Communication2.1Interactingthroughdigitaltechnologiesandcollaboration2.6Managingdigitalidentity3.Digitalcontentвсичкиподобластиcreation4.Safety4.1Protectingdevices4.2Protectingpersonaldataandprivacy5.Problemsolving5.1Solvingtechnicalproblems5.2Identifyingneedsandtechnologicalresponses

Предвид че ДОС и учебните програми по КМИТ са разработени преди публикуването на DigComp 2.2., в тях липсват теми, свързани с изкуствен интелект, работа от разстояние и достъпност. От друга страна, ДОС са достатъчно общо описани и допускат актуализация на учебните програми в посока явно формиране на компетентности, свързани с посочените аспекти. Нещо повече, наличните в учебните програми теми предполагат интегрирането на тези компетентности. Например в рамките на теми Компютърни системи и Интернет може да се формират компетентности, свързани с осъзнаването, че множество интернет приложения и устройства събират данни за поведението на потребителите в интернет, които, с помощта на изкуствен интелект, може да се използват както за персонализация и адаптивност, така и за злоупотреби. При създаването на дигитално съдържание има място прилагането и на генеративен изкуствен интелект, или поне осъзнаване на факта, че множество приложения за създаване на съдържание използват такъв.

От таблицата на фиг. 6 е видно, че има подобласти на дигитални компетентности, които почти не са застъпени, дори на базово ниво, в учебните програми по КМИТ, въпреки че ДОС предполага наличието на част от тях.

Притеснително е, че една от тези подобласти е 1.1. Evaluating data, information and digital content. Още в 5. клас, при работа по Тема 2. Интернет, учениците започват да търсят информация. Освен критерии за търсене в темата би трябвало да се разглеждат и основни критерии за оценка на намерената информация – достоверност, надеждност, актуалност, отношение към проблема, който се решава. Пропускайки ранното изграждане на тези умения, има опасност в следващия образователен етап да е късно тези компетентности тепърва да се развиват –– предполага се, че учениците вече ще са изградили трайни навици за безкритично използване на информация, намерена в интернет. Тази подобласт дигитални компетентности има пряко отношение към развитието на критично и аналитично мислене, които са жизненоважни за всеки човек и също са част от уменията на XXI век.

Слабо застъпени в прогимназиален етап са и подобласти 2.2 Sharing through digital technologies (по отношение на ползване на облачни технологии), 2.3 Engaging citizenship through digital technologies и 2.4 Collaborating through digital technologies на област 2. Communication and collaboration. Това е обяснимо и в голяма степен – обосновано, от възрастта на учениците. Множество интернет услуги допускат използване само от лица над определена възраст (обичайно 12 или 13 години) и използване под родителски контрол.

Според законите7 на Република България лицата до 14-годишна възраст са малолетни и се представляват законно от родители или настойници. Използването на облачни услуги при тях би трябвало да се осъществява само при родителски, евентуално – учителски, контрол. От друга страна, все повече приложения и среди (включително за визуално и скриптово програмиране) поддържат инструменти за споделяне на продукти или работа в сътрудничество и работата с тях в прогимназиален етап е естествена. Логично е още на тази възраст да започне изграждането на съответните компетентности на базово ниво, а на по-късен етап, в гимназиалната степен, когато учениците могат да поемат отговорност за поведението си в глобалното пространство, да се развиват на по-високи нива.

Прави впечатление също, че подобласт 2.5 Netiquette, която беше явно застъпена в предходните учебни програми, в актуалните не се коментира изобщо. В ДОС, област Информационна култура, явно е формулиран стандарт „Познава и спазва етични норми и поведение при работа в дигитална среда“. Не е ясно как се очаква да се постигне този стандарт, предвид че в учебните програми почти няма формулирани очаквани резултати (знания, умения и/или нагласи), свързани с разпознаването на агресия или неподходящо поведение в интернет пространството, спазване на правила за вербална и невербална комуникация в интернет, предпазване от нежелани съобщения и други. Единственият свързан с тази подобласт очакван резултат е формулиран към тема Интернет в 5. клас и гласи спазва етични правила в електронната кореспонденция.

Безпокойство поражда и липсата на компетентности в област 4. Safety, подобласти 4.3 Protecting health and well-being и 4.4 Protecting the environment. Правила за безопасност са включени в учебните програми по КМИТ за всеки клас. Те са свързани предимно с опазване на устройствата, на физическото здраве на човека или на личната му неприкосновеност. Не се обръща внимание на опазване на психическото здраве, опасности, индикация за проблем. Няма нито един очакван резултат, свързан с опазване на околната среда. Темите Компютърни системи и Интернет допускат в учебните програми да се формулират изисквания, свързани с развитието на тези компетентности на нива 1 и 2, а дори и на по-високи.

Не на последно място, въпреки че компетентностите от област 5. Problem solving са сериозно застъпени както в ДОС, така и в учебните програми по КМИТ, подобласт 5.4 Identifying digital competence gaps липсва в явен вид. Темите за търсене на информация (5. клас), търсене на материали по дадена тема (6. клас) и „Основни правила, фази и дейности при разработване на проект“ (7. клас) предполагат търсене на информация, данни или приложения, подпомагащи работата по темата, но не изискват развитие на съответните дигитални компетентности. Не се коментират явно и техники и средства за идентифициране на собствени пропуски и подходи за отстраняването им – компетентности, пряко рефлектиращи върху развитие на уменията за учене през целия живот.

Детайлен поглед върху четвъртото измерение на DigComp 2.2. (Dimension 4: Examples of knowledge, skills and attitudes) също подсказва за основни групи от знания, умения и нагласи, които би трябвало да намерят място в учебните програми по КМИТ за прогимназиален етап – работа с приложения за видеоконферентна връзка, роля на изкуствения интелект – предимства и опасности, сътрудничество в дигитална среда.

Сравнителният анализ между учебната документация по КМИТ и DigComp 2.2. показва още, че в учебните програми е включено и съдържание, което не е отразено в DigComp 2.2. (фиг. 7) Например, в 6. клас учениците се запознават с единиците за измерване на количество информация и развиват умения да представят количество информация в различни мерни единици. Това позволява по-ефективно развиване на част от компетентностите от области 1. Information and data literacy и 3. Digital content creation, както и осъзнаване ролята на математиката в света на дигиталните технологии.

Фигура 7. Идентифицирани несъответствия между DigComp 2.2. и компетентностите като очаквани резултати от обучението по учебните програми по КМИТ за 5. – 7. клас

Обобщено, по отношение на развитието на дигитални компетентности в съответствие с DigComp 2.2. в рамките на учебния предмет КМИТ в 5. – 7. клас, могат да се формулират препоръки за усвояване на знания, развиване на умения и изграждане на нагласи в следните посоки:

• Работа от разстояние – организация на видеоконференция, управление на уебинар, нетикет при видеоконферентна комуникация. Темата стана особено актуална след кризата, породена от COVID-19. Осигуряването на обучение от разстояние за всички ученици се оказа предизвикателство, тъй като успешната му реализация зависеше до голяма степен както от наличието на техническа осигуреност, така и от уменията за работа в електронна среда на участниците в него (Kirilova 2023). В резултат днес видеоконферентните връзки са част от ежедневието в работни ситуации и за учене.

• В 5. – 7. клас такива компетентности могат да се развиват в рамките на тема Средства за комуникация в реално време в 6. клас, като задължително се включат и правила за управление на сесия и нетикет. В 7. клас компетентностите могат да се доразвиват в рамките на теми Интернет и Работа по проект.

• Изкуствен интелект (ИИ) – от момента, в който учениците започват работа в интернет пространството, трябва паралелно да се изграждат и базовите компетентности, свързани с ролята на изкуствения интелект в дейностите, които изпълняват. От самото начало в темите, посветени на интернет, е добре да се интегрират знания за това, че всички потребители на мрежата са източници на данни, които софтуерните системи и устройствата събират и обработват чрез изкуствен интелект. Добре е учениците да се запознаят както с предимствата, така и с опасностите при това взаимодействие. Желателно е сред очакваните резултати да намерят място уменията за четене на споразуменията при ползване на софтуер, свързани със събиране и ползване на данни за потребителя и поведението му, и правене на информиран избор относно позволенията, които учениците дават на приложенията, които използват.

• Сътрудничество и приобщаване в дигитална среда – съвременните дигитални средства налагат все повече използването на интернет приложения за работа както индивидуално, така и в сътрудничество. Предвидените в рамките на КМИТ дейности допускат и предполагат използването на подобни среди (напр. MS Office 3658, Canva9, Google Docs10, Scratch online11, Trinket12 и други). Компетентностите за сътрудничество в дигитална среда трябва да се развиват паралелно с компетентностите за творческа изява чрез дигитални технологии, създаване на дигитално съдържание, електронна комуникация. За тази възрастова група е достатъчно да се развият базови умения за работа в сътрудничество (създаване на общ артефакт), паралелно с правила за етично поведение в споделена среда. Предмет на дейност и развитие на компетентности е също споделянето на артефакти в затворена контролирана среда (клас, училище, група). Темата предполага и включване на компетентности, свързани със социалното приобщаване в дигитална среда.

• Безопасност – ДОС и темите в учебните програми допускат лесно интегриране и актуализация по отношение на четирите подобласти от област 4. Safety на DigComp 2.2. Например още в 5. клас, при запознаване с операционната система и приложения за общо ползване, може да се коментира ролята на приложения, подпомагащи грижата за здравето, като следят различни показатели – брой направени крачки дневно, пулс, кръвно налягане и други. Правилата за безопасна работа е желателно да включват и правила, свързани с опазването на психичното здраве чрез разпознаване на индикатори за зависимост от дигиталните технологии и мерки за справяне. В темата Компютърни системи във всеки клас може да се изискват знания за влияние на дигиталните устройства или техни компоненти върху околната среда (материали, разход на енергия), правила за използване и унищожаване с цел минимизиране на отпечатъка върху околната среда.

• Решаване на проблеми – бързото развитие на дигиталните технологии води до бързо остаряване на препоръките на учебните програми за използвани приложения за постигане на целите им. Развиването на умения у учениците да идентифицират нуждите си – от информация, данни, приложения, е важно, за да могат да открият подход за решаване на проблем. Паралелно с това могат да се развиват и умения за търсене не само на информация по зададена тема, но също и приложения, подпомагащи решаването на даден проблем, или ръководства тип „Как да . . . “. Компетентностите за идентифициране и запълване на пропуски могат да започнат да се развиват от 6. клас и постепенно да преминават на по-високи нива в следващите класове.

Предложените препоръки могат да послужат при актуализация на учебните програми по КМИТ за прогимназиален етап. Актуалните към момента Държавни образователни стандарти и съпътстващите ги учебни програми са достатъчно общи и допускат гъвкава актуализация на учебно съдържание и учебни дейности с цел развиване на допълнителни дигитални компетентности. Изведените по-горе препоръки могат да се използват при създаване или актуализиране на учебно-помощна литература (учебници, учебни тетрадки, електронно учебно съдържание и други) в рамките на действащата учебна документация. Те могат да се използват и от учители при практическата им работа. Препоръките, свързани с област Безопасност (4. Safety), имат място и в училищната административна документация, осигуряваща безопасна работа в дигитална среда – вътрешни правилници, инструктажи и други.

5. Изводи

За разлика от много европейски страни, в България развитието на дигиталните компетентности в средното училище се осъществява в специално посветени на това учебни предмети. Това предполага целенасочено развитие на тези компетентности у учениците и изграждане на дигитално активни и отговорни млади хора. За постигането на тези цели държавните образователни стандарти, учебните програми, както и съответните учебно съдържание и учебни дейности трябва да се поддържат актуални, отговарящи на съвременните изисквания. Европейската рамка на дигиталните компетентности дава отправна точка за актуализиране на учебната документация.

Развиването на дигиталните компетентности във формалното образование в България започва още в начален етап и покрива успешно базовите нива на DigComp 2.2. В (Aleksieva & Racheva 2024) авторите правят подробен анализ на учебната документация по предмета компютърно моделиране в начален етап 1. – 4. клас. Анализът на учебната документация за задължителна подготовка по КМИТ (5. – 7. клас) показва, че е налична приемственост между развитието на дигиталните компетентности в началното и в средното образование.

На база на направения сравнителен анализ могат да се формулират следните препоръки по отношение на развиваните дигитални компетентности в рамките на учебния предмет компютърно моделиране и информационни технологии в прогимназиален етап на основната образователна степен:

• Развиване на компетентности за комуникация чрез видеоконферентна връзка в рамките на темите Средства за комуникация в реално време в 6. клас, както и в темите Интернет и Работа по проект в 7. клас.

• Явно развиване на компетентности от подобласт 2.5. Netiquette поне на трето ниво от DigComp 2.2.

• Вмъкване на учебно съдържание, свързано с ролята на изкуствения интелект (ИИ) при работата в дигитална среда. В контекста на работа учениците е добре да са поставени в ситуации, в които да осмислят използването на изкуствен интелект, предимствата, които носи, и потенциалните опасности, свързани с предоставянето на данни, които се обработват от ИИ.

• Използване на приложения за работа в сътрудничество в дигитална среда под ръководството на пълнолетен човек – учител или родител. Работата в споделена среда и създаването на общ артефакт има и силна приобщаваща стойност (Pozzi et al. 2016), като по този начин влияе и върху осъзнаването на ролята на дигиталните компетентности за социално приобщаване.

• Включване на съдържание, свързано с психологическото здраве и благополучието на потребителите, както и с опазване на околната среда. Съдържанието може да намери място в темата Компютърна система от учебните програми.

• Включване на учебни дейности, свързани с развитието на компетентности за идентифициране на нуждите и откриване на дигитални решения, подпомагащи справянето с проблемна ситуация. Тези компетентности на нива 1 – 3 от DigComp 2.2. могат да намерят място в темите Създаване на съдържание и Работа по проект.

Благодарности

Изследването е осъществено с подкрепата на Европейския съюз – NextGenerationEU, чрез Националния план за възстановяване и устойчивост на Република България, проект No BG-RRP-2.0040008.

БЕЛЕЖКИ

1. Европейски съюз. Описание на осемте нива по ЕКР.

https://europa.eu/europass/bg/description-eight-eqf-levels

2. Националната квалификационна рамка.

https://www.navet.government.bg/bg/media/NQF_bg.pdf

3. МОН, Учебна програма по компютърно моделиране и информационни технологии за V клас (общообразователна подготовка).

https://mon.bg/upload/24186/UP_PC-modelirane-5kl.pdf

4. МОН, Учебна програма по компютърно моделиране и информационни технологии за VI клас (общообразователна подготовка).

https://mon.bg/upload/24187/UP_PC-modelirane-6kl.pdf

5. МОН, Учебна програма по компютърно моделиране и информационни технологии за VII клас (общообразователна подготовка).

https://mon.bg/upload/24188/UP_PC-modelirane-7kl.pdf

6. Министър на образованието и науката, Заповед № РД09-2819 от 09.10.2020 г. https://mon.bg/upload/24189/zap2819-PC

modelirane14102020.pdf

7. Закон за лицата и семейството, в сила от 10.09.1949 г., изм.

ДВ. бр.120 от 29 Декември 2002г.

https://lex.bg/laws/ldoc/2121624577 8. MS Office 365. https://www.office.com/ 9. Canva. https://www.canva.com/ 10. Google Docs. https://docs.google.com/ 11. Scratch online. https://scratch.mit.edu/ 12. Trinket. https://trinket.io/

ЛИТЕРАТУРА

КИРИЛОВА, Б., 2023. Стимулирането на екипната работа и трудността при оценяването на проектите при осъществяване на проектно базирано обучение. Математическото образование, 75-годишна мисия и история. Университетско издателство „Св. Климент Охридски“. стр. 209 – 224.

ISBN: 978-954-07-5763-6 https://unipress.bg/matematicheskotoobrazovanie-75-godishna-misiya-i-istoriya

МОН, 2015. Наредба № 4 от 30 ноември 2015 г. за учебния план, (ДВ. бр.94 от 4.12.2015 г., изм. и доп. ДВ бр. 73 от 25.08.2023 г.). https://web.mon.bg/upload/37896/nrdb4-2015_izm2023-uchebenplan-25082023.pdf

МОН, 2015. Наредба № 5 от 30 ноември 2015 г. за общообразователната подготовка. (обн. ДВ. бр.95 от 8.12.2015 г., в сила от 08.12.2015 г.; изм. и доп. ДВ. бр.75 от 1.09.2023 г.)

https://web.mon.bg/upload/38312/nrdb5-2015_OOP_izm092023 _27092023.pdf

REFERENCES

ALEKSIEVA, L., RACHEVA, V., 2024. Vision of digital competencies of primary school students and teachers in Bulgaria in educational documentation of the subject “Computer modelling”. Pedagogy, Special Issue Digital Transformation.

BUCKLE, J., 2024. A Comprehensive Guide to 21st Century Skills. Panorama Education. https://www.panoramaed.com/blog/

comprehensive-guide-21st-century-skills

EUROPEAN COMMISSION, 2008. The European Qualifications Framework for lifelong learning (EQF). Directorate-General for Education, Youth, Sport and Culture. Publications Office.

https://data.europa.eu/doi/10.2766/14352

EUROPEAN COMMISSION, 2020. Digital Education Action Plan (2021 – 2027): Resetting education and training for the digital age. https://education.ec.europa.eu/focus-topics/digital-education/

action-plan

EUROPEAN COMMISSION, 2019. Key competencies for lifelong learning. Directorate-General for Education, Youth, Sport and Culture. Publications Office.

https://data.europa.eu/doi/10.2766/569540

EUROPEAN PARLIAMENT, 2006. Recommendation of the European Parliament and the Council (2006/962/EC). Official Journal of the European Union, L 394/10. https://eur-lex.europa.eu/

LexUriServ/LexUriServ.do?uri=OJ:L:2006:394:0010:0018:en:PDF

EUROPEAN UNION, 2018. Council recommendation on key competences for lifelong learning, Official Journal of the European Union, C 189/1, pp. 1 – 13. https://eur-lex.europa.eu/legalcontent/EN/TXT/PDF/?uri=CELEX:32018H0604(01)

FADEL, CH., 2008. 21st Century Skills: How can you prepare students for the new Global Economy?, OECD. https://www.oecd.org /site/educeri21st/40756908.pdf

GODHE, A.L., 2019. Digital Literacies or Digital Competence: Conceptualizations in Nordic Curricula. Media and Communication, vol. 7, no. 2, pp. 25 – 35. https://doi.org/10.17645/mac.v7i2.1888

KIRILOVA, B., 2023. Stimuliraneto na ekipnata rabota i trudnostta pri oceniavaneto na proektite pri osashtestviavane na proektno bazirano obuqenie. Matematichesko obrazovanie, 75-godisna misia i istoria. Universitetsko izdatelstvo “Sv. Kliment Ohridski”.

ISBN: 978-954-07-5763-6 (in Bulgarian) https://unipress.bg/

matematicheskoto-obrazovanie-75-godishna-misiya-i-istoriya

MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE, 2015. Ordinance No. 4 on the Curriculum. https://web.mon.bg/upload/37896/nrdb42015 izm2023-ucheben-plan-25082023.pdf. (in Bulgarian)

MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE, 2015. Ordinance No. 5 on general education. https://web.mon.bg/upload/ 38312/nrdb52015 OOP izm092023 27092023.pdf (in Bulgarian)

PETTERSSON, F., 2018. On the issues of digital competence in educational contexts – a review of literature. Education and Information Technologies, vol. 23, pp. 1005 – 1021.

https://doi.org/10.1007/s10639-017-9649-3

POZZI, F., CEREGINI, A., PERSICO, D., 2016. Designing networked learning with 4Ts. Proceedings of the 10th International Conference on Networked Learning 2016, pp. 210 – 217.

https://www.researchgate.net/publication/308171545 Designing networked learning with 4Ts

VUORIKARI, R., KLUZER, S., PUNIE, Y., 2022. DigComp 2.2: The Digital Competence Framework for Citizens – With new examples of knowledge, skills and attitudes. Publications Office of the European Union. https://data.europa.eu/doi/10.2760/115376 curricula on the one hand, and DigComp 2.2. on the other, key recommendations for updating the curricula and learning content for compulsory training in CMIT and IT in secondary school are derived. The conclusions indicate that, in general, the curriculum documentation allows flexibility and updating in the process of its use in practice. The main directions for updating include the integration of competences integration of competences related to the role of AI, collaborative working, inclusion and safety.

Keywords: digital competences; DigComp 2.2.; curricula; computer modelling and information technology

2025 година
Книжка 4

Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов,

THE IMPACT OF TEACHERS’ GENDER, EDUCATION, AND EXPERIENCE ON FOSTERING MATHEMATICAL CREATIVITY: A QUANTITATIVE STUDY

kombinatorni zadachi. Mathematics and Informatics, 2, 193 – 202. (In Bulgarian). Valkov, M. (2022). Sinhronno distantsionno obuchenie v obrazovatelnata igra “StruniMa”. Pedagogicheski forum, 1, DOI: 10.15547/PF.2022.005, ISSN:1314-7986. (In Bulgarian).

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev1)

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev,Nadezhda Borisova,Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски1),Марияна Николова2)

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev , Tsvetelin Zaevski Anton Iliev , Vesselin Kyurkchiev , Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova , Aharon Goldreich , Nadezhda Borisova

ФОРМИРАНЕ НА КОМПЕТЕНТНОСТИ ЧРЕЗ ПРОБЛЕМНО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ

2. Компетентностен подход Компетентностният подход се базира на използването на инте- рактивни методи и нови технологии за обучение, които спомагат за

Книжка 1
AN APPROACH AND A TOOL FOR EUCLIDEAN GEOMETRY

Dr. Boyko Bantchev, Assoc. Prof.

STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva , Rositsa Doneva , Sadiq Hussain Ashis Talukder , Gunadeep Chetia , Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Assist. Prof. Stefan Stavrev, Assist. Prof. Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
MIRROR (LEFT-RECURSIVE) GRAY CODE

Dr. Valentin Bakoev, Assoc. Prof.

THE CONSTRUCTION OF VALID AND RELIABLE TEST FOR THE DIVISIBILITY AREA

Dr. Daniela Zubović, Dr. Dina Kamber Hamzić

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov , Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD- ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Prof. Dr. Jasmin Bektešević, Prof. Dr. Vahidin Hadžiabdić, Prof. Dr. Midhat Mehuljić, Prof. Dr. Sadjit Metović, Prof. Dr. Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

EVALUATIОN OF CHILDREN’S BEHAVIOUR IN THE CONTEXT OF AN EDUCATIONAL MOBILE GAME

Dr. Margarita Gocheva, Chief Assist. Prof. Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof. Prof. Dr. Elena Somova

Книжка 4
TRIPLES OF DISJOINT PATHS BETWEEN POINTS ON A CIRCLE

Dr. Ivaylo Kortezov, Assoc. Prof.

MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić , Hajnalka Peics , Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Dr. Pohoriliak Oleksandr, Assoc. Prof. Dr. Olga Syniavska, Assoc. Prof. Dr. Anna Slyvka-Tylyshchak, Assoc. Prof. Dr. Antonina Tegza, Assoc. Prof. Prof. Dr. Alexander Tylyshchak

РЕЗУЛТАТИ ОТ ИЗПОЛЗВАНЕТО НА ВИДЕОИГРИ В ОБРАЗОВАНИЕТО: ПРЕГЛЕД НА НЯКОИ ОСНОВНИ ИЗСЛЕДВАНИЯ ОТ ПОСЛЕДНИТЕ ДЕСЕТ ГОДИНИ

Калин Димитров , проф. д-р Евгения Ковачева „Интелигентният педагогически подход насърчава с инер- гията между технологиите и педагогиката и използва дигиталните игри в учебния процес“. Л. Даниела (Daniela 2020)

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Проф. д.п.н. Йордан Табов, проф. д-р Веселин Ненков, гл. ас. д-р Асен Велчев, гл. ас. д-р Станислав Стефанов

УПРАВЛЕНИЕ НА ЗНАНИЯТА ПО СТРУКТУРИ ОТ ДАННИ ЧРЕЗ СМЕСЕНО ОБУЧЕНИЕ

Гл. ас. д-р Валентина Дянкова, д-р Милко Янков

USING SENSORS TO DETECT AND ANALYZE STUDENTS’ ATTENTION DURING ROAD SAFETY TRAINING IN PRIMARY SCHOOL

Assist. Prof. Dr. Stefan Stavrev Assist. Prof. Dr. Ivelina Velcheva

Книжка 2
ALGORITHMS FOR CONSTRUCTION, CLASSIFICATION AND ENUMERATION OF CLOSED KNIGHT’S PATHS

Prof. DSc. Stoyan Kapralov , Assoc. Prof. Dr.Valentin Bakoev , Kaloyan Kapralov

DUAL FORM OF OBTAINING EDUCATION IN THE MATHEMATICS TEACHERS TRAINING SYSTEM: EMPLOYERS’ POSITION

Dr. Hab. Roman Vernydub, Assist. Prof. Dr. Oxana Trebenko, Prof. DSc. Oleksandr Shkolnyi

Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

THE POWER OF A POINT — A VECTOR PERSPECTIVE

Assoc. Prof. Dr. Boyko Bantchev

ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦАТА НА НЯКОИ ВИДОВЕ МНОГОЪГЪЛНИЦИ И ПРИЛОЖЕНИЕТО ИМ ЗА ДОКАЗВАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ В ТЯХ

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

ТЕСТОВИТЕ ЗАДАЧИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ЗА ПРОФИЛИРАЩ УЧЕБЕН ПРЕДМЕТ „ИНФОРМАТИКА“ ПРЕЗ УЧЕБНАТА 2021/2022 ГОДИНА

Доц. д-р Димитър Атанасов , д-р Красимир Манев , доц. д-р Весела Стоименова , държавен експерт Ралица Войнова

2022 година
Книжка 6
BEST E-LEARNING PLATFORMS FOR BLENDED LEARNING IN HIGHER EDUCATION

Kalin Dimitrov, PhD student, Dr. Eugenia Kovatcheva, Assoc. Prof. “When I wanted to learn something outside of school as a kid, cracking open my World Book encyclopedia was the best I could do. Today, all you have to do is go online.” – Bill Gates

MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Dr. Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Dr. Elena Somova, Prof.

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Dr. Lilyana Petkova, Dr. Vasilisa Pavlova, Assist. Prof.

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Dr. Silvia Gaftandzhieva, Assoc. Prof. , Prof. Dr. Rositsa Doneva , Milen Bliznakov, PhD

READINESS OF UKRAINIAN MATHEMATICS TEACHERS TO USE COMPUTER GAMES IN THE EDUCATIONAL PROCESS

Dr. Alina Voievoda, Assoc. Prof. , Dr. Svitlana Pudova, Assoc. Prof. , Dr. Oleh Konoshevskyi, Assoc. Prof.

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Prof. Dr. Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
A COMPARATIVE ANALYSIS OF ASSESSMENT RESULTS FROM FACE-TO-FACE AND ONLINE EXAMS

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Neli Baeva, Assist. Prof

ДВАДЕСЕТ И ШЕСТА МЛАДЕЖКА БАЛКАНСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Доц. д-р Ивайло Кортезов, Мирослав Маринов

PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Dr. Evgeniya Nikolova, Assoc. Prof., Dr. Mariya Monova-Zheleva, Assoc. Prof., Dr. Yanislav Zhelev, Assoc. Prof.

Книжка 3

CONVERTING NUMERAL TEXT IN BULGARIAN INTO DIGIT NUMBER USING GATE

Dr. Nadezhda Borisova, Assist. Prof., Dr. Elena Karashtranova, Assoc. Prof.

RECOGNITION OF PROBLEMATIC EDUCATIONAL SITUATIONS IN COMPUTER MODELING TRAINING

Dr. Hristo Hristov, Assist. Prof. , Radka Cherneva

EFFECTS OF SHORT-TERM STEM INTERVENTION ON THE ACHIEVEMENT OF 9

Amra Duraković , Senior Teaching Assistant, Dr. Dina Kamber Hamzić , Assist. Prof.

Книжка 2
VOCABULARY ENRICHMENT IN COMPUTER SCIENCE FOR INTERNATIONAL STUDENTS AT THE PREPARATORY DEPARTMENT OF THE UNIVERSITY

Dr. Svetlana Mikhaelis, Assoc. Prof., Dr. Vladimir Mikhaelis, Assoc. Prof., Mr. Dmitrii Mikhaelis

STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Evgeni Andreev, Assist. Prof., Dr. Mariya Nikolova, Assoc. Prof.

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

DEVELOPING PROBLEM SOLVING COMPETENCY USING FUNCTIONAL PROGRAMMING STYLE

Muharem Mollov, PhD student , Petar Petrov, PhD student

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, PhD student, Dr. Alexandre Ivanov Chikalanov, Assoc. Prof.

КРИПТОГРАФИЯ И КРИПТОАНАЛИЗ С MS EXCEL

Гл. ас. д-р Деян Михайлов

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Dr. Ivaylo Staribratov, Assoc. Prof., Nikol Manolova

КОНТЕКСТУАЛНО ПРЕКОДИРАНЕ

Доц. д-р Юлия Нинова

ДВУПАРАМЕТРИЧНА ЗАДАЧА ЗА ОПТИМАЛНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА РЕСУРСИ

Проф. д-р Росен Николаев, доц. д-р Танка Милкова

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
КРИВОРАЗБРАНИТЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ ТЕСТОВЕ ЗА НАЛИЧИЕ НА ЗАРАЗА

Доц. д-р Маргарита Ламбова, гл. ас. д-р Ваня Стоянова

E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Prof. Dr. Elena Somova

PRESCHOOL TEACHERS’ KNOWLEDGE, PERSPECTIVES AND PRACTICES IN STEM EDUCATION: AN INTERVIEW STUDY

Dr. Lyubka Aleksieva, Assoc. Prof., Prof. Dr. Iliana Mirtschewa, Snezhana Radeva, PhD Student

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 януари 2022 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg. Скъпи прияте

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Задача 1. Число, което е точен квадрат на естествено число, се записва с няколко единици и една двойка. Докажете, че това число се дели на 11. Решение. Нека е такова число. Можем да го запишем като

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Доц. Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj , Prof. Dr. Sead Rešić , Anes Z. Hadžiomerović , Samira Aganović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Prof. Olha Matiash, Dr. Liubov Mykhailenko, Prof.Vasyl Shvets, Prof. Oleksandr Shkolnyi

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 5/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 ноември 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в електр

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4, 2021 Г.

Задача 1. Намерете всички взаимно прости естествени числа a и b, за кои- то .

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Assoc. Prof. Silvia Gaftandzhieva, Prof. Rositsa Doneva, Assist. Prof. George Pashev, Mariya Docheva

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 10 октомври 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в елект

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИТЕ ЗАДАЧИ БРОЙ 3, 2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели . Решение. От тъждеството

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Prof. Dr. Sead Rešić, Prof. Dr. Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Д-р Севдалина Георгиева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 3/2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели .

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2, 2021 Г.

Задача 1. В равнината са дадени точка A и окръжност k с център O. Наме- рете геометричното място на центровете на описаните окръжности на три- ъгълници ABC, където BC е диаметър на k. Решение. Ако точката A лежи на окръжността k, то всички триъгълници ABC имат център на описаната окръжност точка O. В този случай търсеното множество е точката O. Нека A е външна за окръжността. Да разгледаме диаметър на k, който е перпендикулярен на AO. Центърът на описаната окръжност за е точ- ка S върху

В ПАМЕТ НА ПРОФ. ДОРУ СТЕФАНЕСКУ

С чувство за голяма загуба съобщаваме на нашите читатели, че на 09.05.2021 година на 69-годишна възраст напусна този свят членът на редакционния съ- вет на списание „Математика и информатика“ проф. д.м.н. Дору Стефанеску. Отиде си един уважаван румънски учен математик, старши заместник-пред- седател на Румънското математическо общество и изпълнителен редактор на Бюлетина на това общество, трикратен президент на Математическото обще- ство на Югоизточна Европа. Математическите способности на

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението:

Задача 3. Положителните числа x, y, z, α , β и γ удовлетворяват равен- ствата:

+ += и 2 cos cos cosx y z xy yz zx ++= + + Да се докаже, че от отсечки с дължини x, y и z може да се построи триъгъл- ник с ъгли , и . Решение. От равенството 0 2 cos cos cos sin sin cos cosx y z xy yz zx y z y z x =++− + + = − + + −

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 1/2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението: 5 10 2 nn−+= Задача 2. За положителните числа a, b, c и d е изпълнено равенството 1abcd+++ = . Да се докаже, неравенството: 1 18abcd abcd +++ + ≥

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

В ПАМЕТ НА НИКОЛАЙ ХРИСТОВИЧ РОЗОВ 20.02.1938 – 02.11.2020

С голямо прискърбие посрещнахме вестта, че известният математик, високо еру- дираният образователен деятел и член на редколегията на българското списание „Ма- тематика и информатика“ проф. Николай Христович Розов вече не е сред нас. Неочак- ваната смърт го застигна на поста декан на

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6

Задача 1. В турнир участвали 799 отбора, като всеки два отбора изиграли по една среща помежду си (всяка среща завършва с победа на единия то двата отбора). Да се докаже, че има 14 отбора, така че всеки от първите 7 отбора е победил всеки от последните 7.

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

∑

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Вписаната в ∆ABC окръжност се допира до страните AB, BC и CA съответно в точки P, Q и R. Ъглополовящата на ъгъла при върха C пресича PQ в точка S. Да се докаже, че правите AS и RQ са успоредни. Задача 2. Естественото число n се нарича хубаво, ако множества {1, 2, 3,..., п} може да се разбие на k непресичащи се множества така, че всяко от множест- вото да съдържа средното аритметично на елементите си. Намерете всички хубави числа за k = 2 и k = 3. Задача 3. Намерете всички функци

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека . Да се намери сумата на всички ес- тествени числа от интервала , за които се дели на . Росен Николаев и Танка Милкова, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2019

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа , които са решения на уравнението Милен Найденов, Варна Решение: eдно множество от решения на разглежданото уравнение се описва със следните формули: , , където Задача 2. Средите на диагоналите и на изпъкналия четириъгъл- ник са съответно и , а пресечната им точка е . Ако втората пресечна точка на описаните около триъгълниците и окръжнос- ти е и , да се докаже, че правата с

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Равнобедреният трапец има основи с дължини и , като е такъв, че средите на страните му са върхове на квадрат. Ако дължината на бедрото на е , а разстоянието от пресечната точка на диагоналите му до бедрата е , да се докаже, че . Милен Найденов, Варна

( ) ( ) ( ) 2sin 2019 2 cos 2019 2 2 3 10, 25x x xx + = −+

Решение: тъй като , т.е. когато

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. По пътя между два града има три тунела с обща дължина 2 ки- лометра и 900 метра. Разликата в дължините на втория и третия е 20 пъти по-малка от дължината на първия тунел. Общата дължина на втория и третия е с 500 метра по-голяма от дължината на първия. Да се намерят дължините на трите тунела, ако третият тунел има най-малка дължина. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. Да се докаже, че във вписан в окръжност четириъгълник е изпълнено неравенството . Хаим Хаи

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2019

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа, които са дължи- ни в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с телесен диаго- нал . Христо Лесов, Казанлък Решение. Нека са дължините в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с диагонал . Изпълнено е равен- ството . Оттук имаме . Следо- вателно . Затова , т.е. . От друга страна, , което означава, че . Затова , т.е. . По този начин получихме, че . Като направим необходимите проверки при

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадени са системите линейни уравнения

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4

THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
∑

RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina,Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

∫

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

2019 cm

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Mихаил Aлфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казваме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са проти- воположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свързващи и , по които мухата може да мине, когато: а) и n = 6; б) и ; в) m и са произволни естествени числа.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2018

Задача 1. Да се докаже, че: а) се дели на ; б) се дели на . Христо Лесов, Казанлък Решение на Златка Петрова от Ямбол: а) От дефиницията за факториел имаме . Оттук очевидно следва, че разглежданото число се дели на . б) Лесно се проверява, че е просто число. Затова от теоремата на Уилсън следва, че . Сега, като вземем предвид, че , получаваме което доказва твърдение б).

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2017

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението , ако: а) ; б) . Тодор Митев, Русе Решение: а) . Първо да отбележим следните две твърдения: 1) най-големият общ делител на и е или за всяко цяло . Това твърдение следва непосредствено от равенството ; 2) ако е просто число и дели , то дели . Това твърдение се доказва по следния начин. От условието

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа , за кои- то е изпълнено равенството: а) ; в) Христо Лесов, Казанлък

∑

Решение: а) 11 1 1 1 1 nx x x x kx x x x ′ ′ − + − +−  −  = = = =   − −   .

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2017 Г.

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между местата на пър- вата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с по-бавно, то той ще срещне първия мотоциклет след тръгването си, а разстоянието между местата на двете срещи ще бъде . Определете разстоянието , ако скоро

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2017

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големи- на кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най- много 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество оре- хи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три. Тъй като на Иван му харесало числото с тез

Книжка 1
„Децата не разбират това, което четат, и

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ε

2015! 2016! 2017++

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2.

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДАЧУ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението x )!63(1  , ако: а) ; б) . Тодор Митев – Русе

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2017

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което приема най-малка стойност. Христо Лесов – Казанлък Решение: съгласно малката теорема на Ферма за всяко естествено чис- ло и просто число , числото се дели на , т.е. дава оста- тък при деление на . Тъй като е просто число, от тази теорема следва, че дава остатък при деление на и дава остатък

Книжка 5
SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

∑

Слави Харалампиев и Румяна Несторова, Враца

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2016

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг съответно автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между места- та на първата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2016

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едновременно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти, така че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всич- ки редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диа- гоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: прилагаме действието към единия диагонал

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големина кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най-мно- го 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество орехи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един орех, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три ореха. Тъй като на Иван му харесало бро

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2016 Г.

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния Решение. Нека е дискриминанта- та на квадратното спрямо уравнение . Сле- дователно . Оттук получаваме равенството . Предполагаме, че

Книжка 2
NDM-PHILOSOPHY OF EDUCATION IN THE 21

Marga Georgieva, Sava Grozdev

ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа n и k, при които стойността на израза 2017 + 3 + 4 e: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2016

Задача 1. Редицата на Фибоначи се дефинира с равенствата и . Да се докаже, че всяка от редиците и съдържа безброй много двойки съседни членове, които се де- лят на . Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: в началото ще докажем следната Лема. За всяко числата на Фибоначи притежават свойствата: а) последната цифра на числата и е ; б) последната цифра на числата , , и е ; в) последната цифра на числата , , и е .

Книжка 1
ЗАНИМАТЕЛНИТЕ ЗАДАЧИ НА ПОАСОН И МЕТОДЪТ НА ПЕРЕЛМАН ЗА ТЯХНОТО РЕШАВАНЕ И ИЗСЛЕДВАНЕ

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров

ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което най-малка стойност. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2016

Задача 1. За всяко естествено число да се намери растяща редица от естествени числа , , , , , за които е изпълнено равенството Христо Лесов, Казанлък Решение: от условието имаме Затова , , , , и , , .

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките и лежат в една полуравнина спрямо и са такива, че и са равностранни. Ако е петата на перпендикуляра, спуснат от към , да се намери геометричното място на точката , когато описва . Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров – Архангелск, Русия

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1/2016

Задача 1. Целочислените редици и са дефинирани чрез равенствата , , , , при . а) Да се докаже, че за всяко цяло число точно едно от числата , и б) Да се определят целите числа , за които и са взаимно прости числа за всяко естествено число . Христо Лесов – Казанлък Решение: дадените рекурентни равенства представяме по следния на- чин: вателно

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едно- временно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти така, че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всички редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диагоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. В окръжност с център е вписан разност

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2015

Задача 1. Дадена е функцията , където m, n, ∈ℕ. Ако и са корените на уравнението и е изпълнено

Книжка 4
ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2015

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията и . Милен Найденов, Варна Решение. Разделяме двете страни на първото уравнение на и полу- чаваме . Полагаме и уравнението добива вида . Тъй като функцията е растяща (лявата графика на чертежа), то уравнението ално решение . С непосредствена проверка се вижда, че това решение е . Оттук намираме, че е единственото решение на първо- то уравнение. След това разделяме двете страни на второто уравнение на

Книжка 3
{}

Сава Гроздев – София, и Веселин Ненков – Бели Осъм

()

След заместване на намерените две неравенства в дясната страна на . Равенство се достига тогава и само тогава,

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. За всяко естествено число n да се намери растяща редица

()

Задача 2. Нека P е произволна точка от описаната окръжност на на . Ако докаже, че точките лежат на една права. Хаим Хаимов, Варна, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение. Ще докажем, че правите ра на описаната около окръжност . Оттук непосредствено следва

Книжка 1
()

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

{}

2n ≥

()()

.

2015 година
Книжка 6
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадена е функцията , където ,mn∈ . Ако x и x са корените на уравнението f (x) = 0 и е изпълнено (2) (3)ff t xx xx −− ==∈ +  , да се намерят m и n. Росен Николаев, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2015

Задача 1. Параметрите a и b в уравнението 5x + 2x + 4ax  x + 2bx + 4b  a = 0 са такива, че то има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 1 и 2 са корени на даденото уравнение, то след заместване в уравнението се получават съответно равенствата: 5a+2b = 4 и 31a+8b = 188. След решаване на получената система от две уравнения с две неизвестни се полу- чава: a = 4 и b = 8. Заместваме на

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА MATHEMATICS AND INFORMATICS

BULGARIAN EDUCATIONAL JOURNAL ANNUAL CONTENTS / ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ

Книжка 5
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията 3.2 8.3 159000 += и 32.11 56697728 x += . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2014

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра k, за които уравнението ( ) ( ) , 10k ≠ притежава цело- числени корени. Милен Найденов, Варна Решение: Ако x и x са корените на уравнението, то 2 21 1 2 10 10 k xx kk - + = =- -- е цяло число. Затова 1 10 p k = - е цяло. Оттук получаваме 10 1p k p + = . За дискри- минантата D на уравнението намираме 6 24p D p -- = . Тъй като D трябва да е точен квадрат, то 6 24pn- -= за някое цяло число n. Последното равен

Книжка 4
Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова СОУ „Панайот Волов“ – Шумен ОУ „Никола Йонков Вапцаров“ – Асеновград

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ ВЬIЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЬIМИ

Владимир Жук Республиканская специализированная физико-математическая средняя школа-интернат имени О. Жаутыкова

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2014

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа uxyv , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна Решение: Събираме почленно равенствата и получаваме . Оттук следва равенството ( ) ( )( ) 1 1 1 12xy uv− −+ − −= . Последното равенство е изпълнено при ( ) 1 11 xy − −= и ( )( ) 1 11uv− −= ; ( ) 1 12xy− −= и ( )( ) 1 10uv− −= ; ( ) 1 10xy− −= и ( )( ) 1 12uv− −= . Оттук лесно се вижда, че търсените числа са: 2222, 5231, 1235, 3152, 3512, 5321, 1325,

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Contest Problems Конкурсни задачи Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x

Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x + 2x + 4ax - x + 2bx + 4b  a = 0 има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2014

Задача 1. Ако a  3 е нечетно число и k 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: Означаваме с r търсения остатък. При k = 2 е изпълнено равенството . Тъй като , то . Сега от равенството се получава , къ- дето M е цяло число. Ако k = 2l, l k = 2l + 1, l . В този случай получаваме, че . Разглеждаме случая, при който k = 3. От рела- циите и

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра , за които уравнението притежава це- лочислени корени. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2014

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a , и c е изпълне- но неравенството Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Решение: Ако , R и са съответно лицето, радиусът на описа- ната окръжност и полупериметърът на триъгълника, то са изпълнени следните релации: и . От двете равенства лесно се вижда, че разглежданото неравенство е еквивалентно с , което съвпада със споменатото неравенство.

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „П. Волов“ – Шумен

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на a, b и c, при които коре- ните на уравнението 10x a b c x ab bc ca++++ +++= са цели числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2013

Задача 1. Да се намерят всички реални функции : 1, 1,fx +∞ → +∞ , за които при и 0y > е изпълнено равенството fx fx= . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния Решение: Нека 1 log ln ye x == . Тогава fx fx fe== . Полагаме 1fe a => . От условието получаваме a fe fx== , откъдето fx a = . Освен това . Затова, като положим α , получаваме, че търсените функции са fx x = за всички α .

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

УРОК ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ НА ФУНКЦИИ В ЗАДАЧИ ПО ИКОНОМИКА

Петя Сярова СОУ „Васил Левски“ – Ямбол

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете цифрите , , и в десетична бройна система, ако е изпълнено равенството . Йон Патралику, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2013

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа , за които са изпълнени неравенствата: 2 2 2 28, 6, 3 8.

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова Образцова математическа гимназия „Акад. Кирил Попов” „Колкото човек е по-близо, толкова по-малко вижда“ Зрителна измама, филм на Луи Летерие

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2013

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9 3 15xx x+ +≥ . б) Намерете реалните стойности на , при които за всички , , 1,abc∈ − +∞ , е изпълнено неравенството 31a b c a b c kabc + + + + + +≥ ++ . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: а) Разглежданото неравенство е еквивалентно с 13 1 0 xx + −≥ , което е очевидно при . б) От а) следват неравенствата 9 3 15aa a+ +≥ , 9 3 15bb b+ +≥ и 9 3 15cc c+ +≥ . След почленно събиране получаваме 5 31 3 a b c a

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

ANALYSIS OF PROBLEM SOLVING IN INFORMATICS FOR 12 – 13 YEAR OLD STUDENTS IN BULGARIA

Ivaylo Staribratov, BistraTaneva High School of Mathematics „Akad. Kiril Popov“

МОДЕЛ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЕДИН КЛАС ЗАДАЧИ ЗА ПОСТРОЕНИЕ С ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Ваня Бизова-Лалева Национална търговска гимназия

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако a ³ 3 е нечетно число и k ³ 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с .

Contest Problems Конкурсни задачи РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2013

24 24 2 2 .2 8. 2 8.1024 8. 1000 1 8.10 . 1 23. 1000 1000     == = = + > + =         557 500 3 8.10 . 1 8.10 . 1 8.10 . 12.10 10.10 10 1000 1000 2  = +> += = > =  

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „Панайот Волов“

ЕДНО ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ПИТАГОР В ИЗВЪНКЛАСНАТА РАБОТА ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Несторова Регионален инспекторат по образованието - Враца

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

ЕДИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански Българска академя на науките

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a, b и c е из- пълнено неравенството (a+b+c) (2b c + 2c a + 2a b - a - b - c ) £ 27a b c . Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Ако M е множеството на всички равнобедрени триъгълници, стра- ните и лицето на които са естествени числа, да се намерят три триъгълника от M, различните страни на които са последователни естествени числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2013

Задача 1. Реалните числа , , , и са такива, че:

2013 година
Книжка 6
∑

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални функции f (x) : (1, + ) (1, + ), за които при x > 1 и y > 0 е изпълнено равенството f (x ) = (f (x)) . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2013

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата 3 cos cos cos 3 1 216 abc abc abc abc ⎡⎤ ++ ++ −≤++< − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ .

MATHEMATICS AND INFORMATICS

ГОДИНА LVI / VOLUME 56, 2013 ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ / ANNUAL CONTENT СТРАНИЦИ / PAGES КНИЖКА 1 / NUMBER 1: 1 – 96 КНИЖКА 2 / NUMBER 2: 97 – 200 КНИЖКА 3 / NUMBER 3: 201 – 296 КНИЖКА 4 / NUMBER 4: 297 – 400 КНИЖКА 5 / NUMBER 5: 401 – 496 КНИЖКА 6 / NUMBER 6: 497 - 608

Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа (x, y, z), за които са изпълнени неравенствата:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2012

Задача 1. За всяко реално число x означаваме с [x] най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на x. Да се намерят всички прости числа p, за които числото е просто.

GUIDE FOR AUTHORS

Mathematics and Informatics Journal publishes scientifi c, scientifi c-popular, review and information materials. Papers of scientifi c character should report original research and ideas inspected through expert evaluation by two anonymous and independent referees. It is recommended that the manuscripts are sent as attachment fi les to the following addresses mathinfo@azbuki.bg and sava.grozdev@gmail.com. Disks or other electronic devices are admissible too and in such a case the postal a

Книжка 4
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9315xx x++≥ .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2012

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа x, y и z, за които е изпълнено равенството . Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 13 = 2197, 2.11 = 2662 и 3.9 . 2187, то x 12, y 10 и z 8. Освен това x и z имат различна четност. Така с непосредствена проверка се вижда, че когато z = 1,3,5,7 при x = 2,4,6,8,10,12 и z = 2,4,6,8 при x = 1,3,5,7,9,11, само x = 2, y = 10, z = 1 е решение на даденото уравнение.

Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се сравнят числата Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Точките E и F са среди съответно на диагоналите AC и BD на чети- риъгълника ABCD. Ако BAE ADE= и , да се докаже, че симе- дианите на триъгълниците ABC, BCD, CDA и DAB съответно през върховете B, C, D и A се пресичат в една точка. Хаим Хаимов, Варна Задача 3. Вписаната в окръжност се допира до , и AB съот-

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2012

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния Решение: Изпълнени са равенствата ! 1! 1 1! 1 !! np Sp C p np + =− +=− +=

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Реалните числа , , , и са, такива че:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2012

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa a bb b  , за които е изпълнено равенството aa a bb b aa a bb b=   . Николай Белухов, Стара Загора Решение: Нека A aa a=  и B bb b=  . От условието следва равенството .10 . A B AB+= , откъдето .10 1 . A AB =− . Тъй като , 11AA −= , то 1|10 A − , откъдето 1 1 2 .5 AA− += . Ако числата 1A − и 1A + са едновременно нечетни, то , а 1A − и 1A + са степени на петицата с разлика две, което е невъзможно. Остава само възмо

Книжка 1
70-ГОДИШЕН ЮБИЛЕЙ

Навършиха се 70 години от рождението на изтъкнатия български математик проф. дмн Генчо Скордев. Юбилярът е член-кореспондент на БАН и дългогодишен главен редактор на сп. „Математика и информатика“. По този повод е следващият материал, в който авторът разказва свои спомени с исторически характер, свързани с активното му участие в образователните процеси в България по математика и информатика.

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2012

Задача 1. В множеството на реалните числа е дефинирана бинарна опера- ция :⊗ ×→  , където : \0=  , която условно ще наричаме умножение и такава, че за всеки три реални числа , и , където , е в сила ра- венството .ac a bc b ⊗⊗= . Ако е известно, че , да се пресметне 2011 2012 2011 2012⊗⊗⊗ . Живко Желев, Стара Загора Решение: Първи начин (авторско решение). Нека . Тогава .1 11 1 a ata a⊗= ⊗ ⊗ = = . Оттук получаваме 2012. 1 2012 2012 2012 2012 2012 t tt=⊗=⊗ ⊗= =

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2012

Христо Лесов, Казанлък

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

доц. д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН) Десетата Международна олимпиада по лингвистика (МОЛ) се проведе в Любляна (Словения) от 30 юли до 3 август 2012 г. В нея взеха участие 131 ученици, съставящи 34 отбора от 26 страни. За първи път свои състезатели изпратиха Гърция, Китай, Израел, Унгария и Япония. Бяха представени също Австралия, Бразилия, България, Великобритания, Германия, Естония, Индия, Ирландия, Канада, Латвия, Нидерландия, Полша, Румъния, Русия, САЩ, Сингапур, Словения, Сърбия, Чехи

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПР ОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа , и , за които е из- пълнено равенството Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2011

Задача 1. Да се докаже, че за всяко цяло положително число уравнението има безброй много решения в цели положителни числа

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2011

Задача 1. Едно цяло положително число n ще наричаме “интересно”, ако може да бъде записано във вида , където са цели поло- жителни числа и , а дели c . Да се докаже, че само краен брой цели положителни числа не са “интересни” и да се намери сумата им. Решение: 1) Нека , то тересно”. Остава да отбележим, че , и не са “интересни”. 2) Нека

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2011

Задача 1. На страните AB и на успоредника външно за

Книжка 3
НАЦИОНАЛЕН КОНКУРС „МЛАДИ ТАЛАНТИ” 2012

Георги Дянков През месец май 2012 се проведе финалният кръг на Националния конкурс „Млади таланти”. Състезанието се организира от МОМН и приема разработки на научни проекти от ученици в гимназиален етап и студенти първи курс. Участниците предста- виха свои авторски проекти в различни научни области – естествени науки, социални науки и комуникационни и информационни технологии (ИКТ). Състезанието тази година се отличи с много добри проекти и журито имаше нелеката задача да избере най-добри

СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa abb b , за които е изпълнено равенството

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2011

Задача 1. Да се определят стойностите на параметъра a, за които уравнението log sin 2011 cos 2011tg x cotg x a x x += + има решение и да се реши уравнението за най-малката от намерените стойности на параметъра. Христо Лесов, Казанлък Решение (Христо Лесов): Изпълнени са следните релации: π αα α за всяко и 2 2 sin 2 tg cotg += ≥ за

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2011

Задача 1. Ако , е цяло положително число, да се докаже, че съществуват безброй много цели положителни числа нено равенството . Веселин Ненков, Бели Осъм Решение (Светлозар Дойчев): Като използваме, че за произволно цяло число

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МЕЖДУНАРОДНИ КОНКУРСИ ЗА РАЗРАБОТВАНЕ НА ПРОЕКТИ

І.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕза ученици, ІІ.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕ за учители

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Рубриката се води от Светлозар Дойчев, и Веселин Ненков

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.