Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2014/6, стр. 586 - 596

МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ НА РЕАЛНИ ПРОЦЕСИ И ПРИЛОЖЕНИЯ НА СИСТЕМИТЕ ЗА КОМПЮТЪРНА АЛГЕБРА ЗА ТЯХНОТО ИЗСЛЕДВАНЕ Част втора

Тихомир Иванов
E-mail: tbivanov@fmi.uni-sofia.bg
Faculty of Mathematics and Informatics
University of Sofia
Institute of Mathematics and Informatics
Bulgarian Academy of Sciences
Sofia, Bulgaria

Резюме: Настоящата статия е продължение на темата, започната в бр. 5/2014 на сп. „Математика и информатика“. Стъпвайки на дискретния логистичен модел, за който говорихме в част 1, построяваме модел, описващ взаимоотношения от тип хищник – жертва между две популации. Целта ни е да покажем как даден модел може да се използва като градивен елемент на друг, по-сложен модел. Илюстрираме и още една много важна техника в математическото моделиране – създаването на модели, базирани на експериментални данни.

Ключови думи: mathematical modeling, computer algebra systems, education

1. Въведение

В първата част на темата „Математически модели на реални процеси и приложения на системите за компютърна алгебра за тяхното изследване“ (Иванов, 2, 2014) на базата на два примера показахме какво представлява математическият модел – най общо казано, това е описание на даден процес на езика на математиката. Обикновено той представлява връзка (функция, уравнение или система от уравнения и др.) между основните величини, описващи процеса. Казахме, че всеки математически модел е всъщност една абстракция на реалния процес. Той включва само най-съществените за процеса величини. В противен случай моделът би бил толкова сложен, че неговото изследване би било невъзможно. Показахме и че изследване то на един математически модел, т.е. решаването на съответната математическа задача, често води до значителни технически пресмятания. За тях е удобно да се използва математически софтуер – например СКА Mathematica. Накрая, след като сме получили математически резултати, ние ги интерпретираме, за да получим информация за реалния процес.

В настоящата статия продължаваме въведението в света на математическото моделиране и в приложенията на системите за компютърна алгебра. Освен да разширим набора от практически примери, показващи ни как един реален процес от заобикалящия ни свят се описва на езика на математиката, си поставяме и следните две цели:

• Да покажем как един математически модел може да се използва като градивен елемент на друг, по-сложен модел, описващ по-сложна практическа ситуация.

• Да покажем как се съставя математически модел на базата на експериментални данни.

В параграф 2 стъпваме на дискретния логистичен модел, описващ развитието на една популация във времето, и съставяме модел, описващ взаимодействието между две популации – хищник и жертва. В параграф 3 коментираме много важния въпрос за съставянето на математически модели на базата на експериментални данни.

2. Математическо моделиране на екологична система
от тип хищник – жертва
Теми: Числови редици, Функции, Граници на функции,
Системи алгебрични уравнения

В статията (Иванов, 2, 2014) започнахме темата „Математическо моделиране в популационната динамика“. Разгледахме два математически модела, които описват изменението в числеността на една популация във времето. Изолираното съществуване на дадена популация е възможно в лабораторни условия и е важно за редица биотехнологични процеси. В естествените екосистеми обаче популациите съществуват съвместно с други популации. Ето защо е важно да можем да опишем възникващите взаимодействия помежду им. Основните взаимоотношения между две популации са следните:

• Конкуренция – при нея двете популации влияят негативно една на друга.

Това може да се получи например вследствие на конкуриране за определен ресурс (храна, жизнено пространство и др.) – всяка популация би се развивала по-добре, ако не делеше съответния ресурс с другата.

• Мутуализъм – това е взаимоотношение, от което и двете популации извличат полза.

• Взаимодействие от тип хищник – жертва – едната популация се храни с другата. Очевидно това взаимодействие има положителен ефект върху хищника и отрицателен – върху жертвата.

Ще разгледаме въпроса за математическото моделиране на взаимодействията от тип хищник – жертва. Нека с \(N_{k}\) означим числеността на популацията-жертва в момента от време \(t_{k}\), а с \(P_{k}\)– числеността на популацията-хищник. Нека разгледаме първо как се изменя числеността на жертвата. В отсъствието на хищници, както казахме в (Иванов, 2, 2014), изменението на популацията може да се опише с дискретния логистичен модел: \[ N_{k+1}=N_{k}+r N_{k}\left(1-\cfrac{N_{k}}{\hat{E}}\right) \]

Вследствие на консумацията на хищника обаче числеността на жертвата ще намалява. Логично е да допуснем, че това намаление ще бъде пропорционално на числеността на хищника (колкото повече хищници има, толкова по-голяма ще е консумацията). Нека коефициентът на пропорционалност е \(\mu\) (не задължително константа). Тогава окончателно развитието на популацията-жертва може да се опише с рекурентната зависимост:

\[ N_{k+1}=N_{k}+r N_{k}\left(1-\cfrac{N_{k}}{\hat{E}}\right)-\mu P_{k} \]

Популацията-хищник в отсъствието на храна би се развивала по закона:

\[ P_{k+1}=P_{k}-d P_{k}, \] където \(d\) е коефициент на смъртност. При наличието на храна трябва да отчетем и увеличението на числеността на хищника вследствие на консумацията. Счита се, че възпроизводството е правопропорционално на консумацията \(\mu P_{k}\) и нека коефициентът на пропорционалност е \(\chi\). Окончателно за популацията-хищник получихме

\[ P_{k+1}=P_{k}+\chi \mu P_{k}-d P_{k} . \]

Коефициентът \(\mu\) обикновено не е константа, а е функция на \(N_{k}\). Това, разбира се, е логично – консумацията би следвало да зависи от това колко е наличната храна. Видът на функцията \(\mu(N)\) (N) (която в литературата носи името специфична функция на растеж) се базира на емпирични изследвания. Въпросът как експериментално се намират зависимости между дадени величини ще отложим за следващия параграф. Тук ще покажем един възможен израз за \(\mu(N)\) и ще коментираме какви особености на процеса отразява той. Да подчертаем отново, че всеки математически модел е абстракция на реалността и отразява само някои нейни характеристики. Специфичната функция на растеж, която ще разгледаме, е:

\[ \mu(N)=\cfrac{a N}{1+b N} \]

Това е т.нар. функция на Holling, тип-II (Brauer & Castillo-Ch†vez, 2001). Нека построим графиката на тази функция, за да добием визуално представа за нейното поведение. Ще използваме стойности на параметрите \(a=1, b=1\).

Първо, функцията е строго монотонно растяща. С увеличението на храната \(N\) и консумацията \(\mu(N)\) нараства. При \(N \rightarrow+\infty\) обаче функцията клони към хоризонталната асимптота \(P=a\). Идеята е, че от определена стойност нататък увеличението в количеството храна има малък ефект върху консумацията – никой хищник не може да приема безкрайно много храна.

В литературата съществуват и много други специфични функции на растеж, някои от които зависят и от числеността на хищника \(P_{k}\). Повече информация може да бъде намерена например в (Skalski & Gilliam, 2001).

И така, моделът, който получихме, има вида

(1)\[ \begin{aligned} & N_{k+1}=N_{k}+r N_{k}\left(1-\cfrac{N_{k}}{\hat{E}}\right)-\cfrac{a N_{k}}{1+b N_{k}} P_{k}, \\ & P_{k+1}=P_{k}+\chi \cfrac{a N_{k}}{1+b N_{k}} P_{k}-d P_{k} . \end{aligned} \]

Това е дискретен вариант на известния модел на Rosenzweig–MacArthur (Rosenzweig & MacArthur, 1963), (Brauer & Castillo-Ch†vez, 2001).

Самото изследване на модела ще пропуснем по две причини. Първо, ако стойностите на параметрите в модела са известни, то задачата за намиране на решенията (редиците \(\left\{N_{k}\right\}\) и \(\left\{P_{k}\right\}\) ) е аналогична на тази, която решихме в (Иванов, \(2,2014)\)– трябва да построим един итеративен процес, който последователно пресмята стойностите на членовете на редиците \(\left\{N_{k}\right\}\) и \(\left\{P_{k}\right\}\). Второ, изследването на възможните поведения на тази система би излязло много извън рамките на настоящата статия. Възможно е доста сложно, включително хаотично поведение на решенията \({ }^{1)}\). Ще коментираме само едни специални решения на системата от рекурентни зависимости (1), които имат много голямо значение. Това са т.нар. стационарни решения – константни редици, чиито членове удовлетворяват системата (1). Нека членовете на редицата \(\left\{N_{k}\right\}\) (които са равни помежду си) означим с \(N\), а тези на редицата \(\left\{P_{k}\right\}-\mathrm{c} P\). Замествайки в (1), получаваме система алгебрични уравнения, в която неизвестните са \(N\) и \(P\) :

\[ \begin{aligned} & N=N+r N\left(1-\cfrac{N}{\hat{E}}\right)-\cfrac{a N}{1+b N} P \\ & P=P+\chi \cfrac{a N}{1+b N} P-d P \end{aligned} \]

Решаваме тази система, използвайки СКА Mathematica:

Получихме три стационарни решения:

-\(N=P=0\)-ясно е, че ако в екосистемата няма нито хищници, нито жертви, няма как да има промяна в численостите на двете популации (което се отразява от константните решения).

-\(N=k, P=0\)-ако популацията-хищник е загинала, то популацията-жертва може необезпокоявана да съществува, достигайки и запазвайки максималната поддържана от жизнената среда численост.

-\(N=\cfrac{d}{b d-a \chi}, P=-\cfrac{r \chi(-d-b d k+a k \chi)}{k(b d-a \chi)^{2}}\)– оказва се, че има още едно стационарно решение. От трите случая този е най-важен от практическа гледна точка – двете популации могат да съжителстват при тези числености, така че раждаемостта на жертвата и на хищника, смъртността на хищника и консумацията да се уравновесяват и двете популации да съществуват при дадените условия. За да бъдем коректни, трябва да отбележим, че самото съществуване на това стационарно решение на практика не е гаранция за възможното съжителство на двете популации, но няма да се спираме по-подробно на този въпрос.

Да подчертаем в заключение на този параграф, че знанията ни за описване растежа на една популация са необходим градивен елемент по пътя ни към описването на по-сложната ситуация на две взаимодействащи си популации. Стъпвайки на тези си знания, ние разширяваме модела, включително правейки експерименти и откривайки емпирични зависимости за все още неизучените неща. Аналогично впрочем математическите модели на взаимодействие между две популации, в частност моделите от тип хищник – жертва, играят ролята и на градивни елементи при описването на по-сложни екосистеми, състоящи се от повече видове организми, взаимодействащи си помежду си. Създаването на такива йерархии от математически модели е необходимо при изследването на редица сложни феномени – започвайки от по-прости процеси, постепенно натрупваме достатъчно знания, които да използваме за описването на по-сложните (които често са с много по-голяма практическа важност).

3. Построяване на математически модели на базата на експериментални данни

Тема: Функции

Много закони, описващи зависимостите между различни величини във физиката, химията, биологията и т.н., са експериментално установени. Както в (Иванов, 2, 2014), така и в настоящата статия, в математическите модели, които разгледахме, се възползвахме от такива закони (например дискретния логистичен модел и функцията на Holling, тип-II). Нека хвърлим малко светлина върху въпроса как се намира една емпирична зависимост.

Да разгледаме следния пример. Пускаме едно тяло от определена височина и през някакви интервали от време измерваме височината, на която то се намира. Резултатите от тези измервания записваме в следната таблица:

t, s0123456789h, m45044543140837533227921614361

Искаме да установим каква е зависимостта между \(t\) и \(h\). Нека първо изобразим графично информацията от измерванията, които сме направили:

In[25]=ListPlot[{{0, 450}, {1, 445}, {2, 431}, {3, 408}, {4, 375},{5,332},{6,279},{7,216},{8,143},{9,61}}]
Out[25]=

От математическа гледна точка, зависимостта между две величини представлява функция. В случая търсим функцията \(h(t)\). И така, нека си зададем въпроса каква (по вид) функция би описала добре експерименталните данни. Гледайки фигурата, изглежда, че точките лежат много близо до парабола. С други думи, логично изглежда да търсим зависимостта във вида \(h(t)=a_{1}+a_{2} t+a_{3} t^{2}\), където \(a_{1}\), \(a_{2}\) и \(a_{3}\) са някакви реални числа.

Нека сега определим коефициентите в квадратния тричлен, така че той да е възможно най-близо (в някакъв смисъл) до данните от таблицата. Няма да се спираме на теоретичните основи за решаването на тази задача, а ще използваме една вградена функция в Mathematica, която ще ни даде решението. Само ще отбележим, че методът, който ще използваме, за да определим коефициентите на полинома, е известен като метод на най-малките квадрати. Читателят би могъл лесно да намери информация за него. И така, ще използваме вградената функция Fit, която намира най-доброто приближение на дадени точки (в смисъла на метода на най-малките квадрати) от вида

\[ \varphi(t)=a_{1} \varphi_{1}(t)+a_{2} \varphi_{2}(t)+\cdots+a_{n} \varphi_{n}(t), \]

където \(\varphi_{1}(t), \varphi_{2}(t), \ldots, \varphi_{n}(t)\) са известни функции. В нашия случай, тъй като търсим полином от втора степен, имаме \(\varphi_{1}(t)=1, \varphi_{2}(t)=t, \varphi_{3}(t)=t^{2}\). Функцията Fit приема три аргумента – списък с точките, които приближаваме, списък с функциите \(\varphi_{1}(t), \varphi_{2}(t), \ldots, \varphi_{n}(t)\) и независимата променлива, по отношение на която да се намери резултатът. В конкретния случай имаме:

In[5]=Fit[{{0, 450}, {1, 445}, {2, 431}, {3, 408}, {4, 375},{5,332}, {6,279},{7,216},{8,143},{9,61}}, {1,t,t2},t]Out[5]=449.364 + 0.96212121t - 4.90152t2

Получихме зависимостта \(h(t)=449.364+0.962121 t-4.90152 t^{2}\), която описва падането на тялото. Нека построим графиката на полинома, за да илюстрираме по-лучения резултат.

In[5]=plot1=ListPlot[{{0, 450}, {1, 445}, {2, 431}, {3, 408}, {4, 375},{5,332}, {6,279},{7,216},{8,143},{9,61}}, PlotMarkers→•];plot 2 = Plot [449.364 + 0.96212121t- 4.90152t2{t, 0, 10}];Show[]plot1, plot2]
Out[11]=

Подобен на предходния проблем възниква и в още една твърде важна ситуация. Математическите модели, както видяхме дотук, зависят от параметри, които в конкретна ситуация трябва да имат някакви числени стойности. Определянето на тези стойности става отново чрез сравняването с експериментални данни. Например нека изследваме една конкретна екосистема и моделираме взаимоотношения от тип хищник – жертва между две популации в тази екосистема. Нека консумацията на хищника, дефинирана в предишния параграф, се описва с функцията на Holling, тип-II, зависеща от два параметъра. За да определим стойностите на тези два параметъра, трябва да направим експерименти за това каква е консумацията при различни числености на жертвата. На база на тези експериментални данни трябва да определим двата параметъра, така че да получим възможно най-доброто приближение на експерименталните данни – същата идея, както и при задачата за падането на тялото.

Задача: Дадени са данни, отразяващи изменението на нивото на въглероден диоксид в атмосферата в периода \(1980-2000\) :

Год.19801982198419861988199019921994199619982000CO2, ppm338.7341.1344.4347.2351.5354.2356.4358.9362.6366.6369.4

1) Да се изобразят графично данните от таблицата.

2) Да се намери зависимост, описваща процеса.

3) Да се построят в една координатна система точките и графиката на функцията, описваща процеса.

4) На база на съставения модел да се определи през коя година е преминато ниво на въглероден диоксид в атмосферата 400 ppm.

4. Заключение

Първата статия от поредицата „Математически модели на реални процеси и приложения на системите за компютърна алгебра за тяхното изследване“ се опита да даде отговор на въпроса какво представляват математическите модели. В настоящата статия потърсихме отговор на въпроса как се създава един математически модел. Видяхме, че за да опишем един сложен процес, е необходимо първо да започнем от по-прости модели, описващи части от проблема. За това, което не знаем как да опишем, можем да направим експерименти, на база на които да намерим емпирични закони. Разбира се, при моделирането на даден процес използваме и добре известни закони. Отново, изследвайки математическите модели, техническите пресмятания оставихме на СКА Mathematica.

Да отбележим, че разбирането и изследването на математически модели са често свързани със задълбочени познания в редица области на висшата математика. Изследването на модела от тип хищник – жертва, което пропуснахме, например е свързано с теорията на дискретните динамични системи – много богата и много интересна област, която обаче излиза доста извън рамките на училищния курс на образование. Това обаче не означава, че не могат да бъдат намерени достатъчно примери, с които да се илюстрират приложенията на математическите обекти, които учениците изучават в средния курс. Напротив, много важни процеси имат математически модели, които могат спокойно да бъдат възприети от учениците, стига те да бъдат поднесени по подходящ начин, съобразявайки се с тяхната подготовка, а по-сложните моменти от изследването им да бъдат представени само на интуитивно ниво, а някои – и пропуснати.

БЕЛЕЖКИ

1. Доста богата динамика впрочем притежава и дискретният логистичен модел, макар в (Иванов, 2, 2014) да се ограничихме само до разглеждането на две прости ситуации-при \(\mathrm{r}=1\) и (под формата на задача за самостоятелна работа) при \(\mathrm{r}=2\).

ЛИТЕРАТУРА

Brauer, F. & Castillo-Ch†vez (2001). Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. Springer-Verlag, New York.

Иванов, Т. (2014). Кратко ръководство за системата за компютърна алгебра Wolfram Mathematica. Математика и информатика, том 57, кн. 4, 343 – 354.

Иванов, Т. 2 (2014). Математически модели на реални процеси и приложения на системите за компютърна алгебра за тяхното. Mathematics and Informatics, том 57, кн. 5, 462 – 471.

Rosenzweig, M. & R. MacArthur (1963). General Representation and Stability Conditions of Predator-Prey Interaction. American Naturalist, 209 – 223.

Skalski, G. & J. Gilliam (2001). Functional Responses with Predator Interference: Viable Alternatives to the Holling Type II Model. Ecology, 82(11), 3083 – 3092.

REFERENCES

Brauer, F. & Castillo-Ch†vez (2001). Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. Springer-Verlag, New York.

Ivanov, T. (2014). A Short Manual for the Computer Algebra System Wolfram

Mathematica. Mathematics and Informatics, Vol. 57, Number 5, 343–354.

Ivanov, T. 2 (2014). Mathematical Models of Real Processes and Applications of

Computer Algebra Systems to Their Study. Mathematics and Informatics, Vol. 57, Number 4, 462–471.

Rosenzweig, M. & R. MacArthur (1963). General Representation and Stability

Conditions of Predator-Prey Interaction. American Naturalist, 209–223.

Skalski, G. & J. Gilliam (2001). Functional Responses with Predator Interference:

Viable Alternatives to the Holling Type II Model. Ecology, 82(11), 3083 – 3092.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.