Математика и Информатика
Вход / Регистрация

https://doi.org/10.53656/math2022-4-5-pra

2022/4, стр. 379 - 392

ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКИХ ЗАПРОСОВ ДЛЯ РЕЛЯЦИОННЫХ БАЗ ДАННЫХ

Alexander Aleksandrovich Rybanov
OrcID: 0000-0002-8638-9998
E-mail: rybanoff@yandex.ru
Department of Informatics and ProgrammingTechnologyVolzhsky
Polytechnic Institute branch of the VolgGTU Volzhsky
Volgograd Russia

Резюме: Информационные системы, использующие базы данных, являются гибкими в той мере, в какой они позволяют пользователям запрашивать необходимые им данные. Язык SQL ограничен точной обработкой данных и не позволяет напрямую выразить нечеткие понятия естественного языка. Следовательно, придание SQL некоторой гибкости может помочь пользователяму лучшить взаимодействие с информационными системами, не требуя от них изучения совершенно нового языка. Актуальной является задача снижения трудоемкости процесса интеграции механизмов нечетких запросов к уже действующим информационным системам. В статье показана ограниченность четких запросов, рассмотрены различные формы нечетких запросов. Проанализированы известные подходы к реализации нечетких запросов к четким реляционным базам данных. Представлен подробный анализ нечетких запросов, а также их преобразование в стандартные SQL-запросы с помощью MySQL. Предлагается метод реализации запросов к реляционным базам данных, объединяющий теорию нечетких множеств и SQL. Предлагаемый метод реализации возможности работы с нечеткими запросами основан на расширении четкой базы данных хранимыми функциями, без изменения структуры и состава ее таблиц. Преимуществами метода являются: повышение удобочитаемости и понимания SQL-запросов; простота интеграции с уже существующими базами данных информационных систем; гибкая настройка функции принадлежности лингвистических переменных в соответствии с потребностями пользователя базы данных. Применение метода показано на примере адаптации базы данных MySQL. Предложенный метод адаптации может быть широко использован для реализации нечетких запросов к базам данных различных реляционных СУБД, поддерживаюших работу с хранимыми функциями.

Ключови думи: реляционные базы данных; нечеткая логика; нечеткие запросы; SQL; MySQL

Введение. Классический язык структурированных запросов SQL по-зволяет формулировать условия, которым должны соответствовать интересующие пользователя данные. Эти условия выбора должны быть заданы однозначно, т.к. точность является одним из основных требований при указании критериев отбора записей в SQL-запросах. Поскольку для человека основным средством коммуникации является естественный язык, это вызывает трудности при преобразовании нечетких и расплывчатых ограничений на поиск информации в язык SQL.

Например, если арендатор в поисках дешевой недвижимости точно укажет диапазон для цены, которая его устраивает, то, независимо от того, как заданы пределы этого диапазона, недвижимость, цена которой несущественно превышает установленный предел, не будет соответствовать условиям запроса. Причина этого в том, что рассматриваемые ограничения являются следствием необходимости точного определения условий, которые изначально были выражены неточными терминами на естественном языке.

Простой четкий запрос на зыке SQL можно представить следующим образом:

SELECT атрибут1, …, атрибутn

FROM таблица

WHERE атрибутp > P AND атрибутr < R;

Здесь значения \(P\) и \(R\) ограничивают множество интересующих пользователя данных. Предполагаемый результат выполнения данного запроса показан на рисунке 1, где маркерами обозначены записи таблицы.

Рисунок 1. Результат выполнения четкого запроса

На рисунке 1 показано, что четыре записи (маркеры желтого цвета) очень близки к удовлетворению условия запроса. Но SQL использует четкую логику в процессе выполнения запроса, что означает четкий выбор. Следовательно, эти записи таблицы не будут присутствовать в результатах запроса. По мере усложнения критериев фильтрации, мощность множества записей, соответствующих условию оператора WHERE четкого запроса, стремится к нулю.

Нечеткость в четкий запрос SQL может быть введена следующим образом:

SELECT атрибут1, …, атрибут n

FROM таблица

WHERE атрибутp > P-p AND атрибут r < R+r;

Здесь \(p\) и \(r\) используются для расширения начальных критериев запроса \(P\) и \(R\) с целью выбора записей, которые почти соответствуют критериям четкого запроса. Но этот подход имеет следующий недостаток: в таблице базы данных также могут присутствовать записи, которые очень близки к удовлетворению уже нового, расширенного условия запроса, и как следствие необходимо выполнить еще одно расширение запроса. В итоге, в результатах выполнения запроса будет больше записей из таблицы базы данных, но пользователь потеряет точность своего запроса.

Проблема может быть решена путем использования в запросах к базам данных лингвистических терминов, представленных в виде нечетких множеств в соответствующем, обычно числовом, пространстве. Таким образом, вводится понятие степени соответствия данных запросу, и предполагается, что значение этой степени определяет принадлежность данных нечеткому множеству, представляющему условие запроса.

Анализ известных методов реализации нечетких запросов к четким реляционным базам данных. Сферы применения и преимущества нечетких запросов перед традиционным способом формирования запросов показаны в работах (Estefeev & Balashova 2016; Rybanov 2019). Среду поиска информации можно представить в виде кортежа:

<база данных, запрос>.

В табл. 1 приведена классификация нечеткости в среде поиска информации.

Таблица 1. Нечеткость в среде поиска информации

Тип нечеткостиБаза данныхЗапрос1ЧеткаяЧеткий2ЧеткаяНечеткий3НечеткаяЧеткий4НечеткаяНечеткий

Рассмотрим подходы, ориентированные на расширение четких баз данных возможностью работы с нечеткими запросами.

Существующие в настоящее время практические методы реализации нечетких запросов к четким реляционным базам данных основаны на дополнительном информационном и программном слоях, которые необходимы для перевода нечетких запросов на уровень классической системы управления базами данных (СУБД). В работе (Smolka & Bradac 2017) рассмотрен подход реализации нечетких запросов, основанный на расширении схемы реляционной базы данных дополнительной таблицей для фиксации определения отдельных нечетких наборов. В работе (Hudec 2009) для обеспечения поддержки запросов, основанных на лингвистических выражениях, предлагается нечеткое обобщенное логическое условие для спецификации WHERE SQL, что позволяет использовать встроенные в СУБД обработку и выполнение SQL-запросов. В работе (Mama & Machkour 2021) для записи нечетких запросов, без необходимости их по-следующего перевода, предложен подход к расширению языка SQL, основная идея которого состоит в применении объекта БД VIEW (представление) для манипулирования степенями удовлетворенности, связанными с определяемыми пользователем нечеткими предикатами. В работе (Kilic, Abdullayev & Alakbarov 2016) рассматриваются вопросы организации, обработки и программной реализации нечетких запросов, основанной на языке SQL в виде специальной библиотеки функций. В работе (Sabour, Gadallah & Hefny 2014) предлагается гибкий нечеткий подход для запросов к реляционным базам данных путем оценки каждого кортежа непосредственно с использованием хранимых объектов базы данных. В работе (Trefilov 2017) поддержку нечетких запросов предлагается реализовать на стороне приложения. Недостатком данного похода является сильная зависимость программного кода приложения от модификаций схемы базы данных. В работе (Ventsov, Dolgov, & Podkolzina 2015) предлагается расширение спецификации WHERE оператора SQL условным выражением, полученным в результате преобразования процесса вычисления значения функции принадлежности в SQL-выражение. В работе (Nowakowski 2018) рассмотрен детальный анализ нечетких запросов и предлагаются способы конвертация их в стандартные SQL-запросы с помощью Oracle 11g XE. В работе (Muminov 2016) предлагается использовать хранимые процедуры для вычисления минимального и максимального значения функции принадлежности по ключевым словам лингвистической переменной.

Рассмотренные выше подходы к реализации нечетких запросов имеют следующие общие недостатки:

– снижение удобочитаемости и понимания SQL-запросов;

– сложность интеграции с уже существующими базами данных информационных систем;

– отсутствие возможности гибкой настройки функции принадлежности лингвистических переменных в соответствии с потребностями пользователя базы данных.

Адаптация четкой базы данных к реализации работы с нечеткими запросами. Предлагаемый метод реализации возможности работы с нечеткими запросами основан на расширении четкой базы данных, без изменения структуры и состава ее таблиц, следующими хранимыми функциями (stored function):

– хранимыми функциями для описания лингвистических переменных (по одной хранимой функции на каждую лингвистическую переменную).

– хранимыми функциями для описания функций принадлежности нечетких переменных (по одной хранимой функции на каждый терм лингвистической переменной);

Обобщенная сигнатура хранимой функции SQL, описывающей функцию принадлежности нечеткой переменной, может быть представлена в расширенной форме Бэкуса-Наура (РФБН) следующим образом:

<имя ФП>(<нечеткая переменная>,

<параметр1>{,<параметрn>}) RETURNS DOUBLE;

где <имя ФП> – имя функции принадлежности нечеткой переменной; <параметр1>,…,<параметрn> – значения параметров, описывающих вид функции принадлежности; <нечеткая переменная> – значение нечеткой переменной, для которой вычисляется степень принадлежности.

Для описания функций принадлежности нечетких переменных будем использовать кусочно-линейных функции, реализации которых на языке SQL представлены в табл. 2-4, где a, b, c, d – границы нечетких чисел x, используемые для задания ядра и носителя термов лингвистических переменных.

Таблица 2. SQL-реализация Z-образной функции принадлежности

График линейнойZ-образной функции принадлежностиdxdxccxcdxdx;;;11)(SQL-функция для Z-образной функции принадлежностиCREATE FUNCTION z_fig(x INT, c INT, d INT)RETURNS doubleBEGINCASEWHEN x <= c THEN RETURN 1;WHEN x > c AND x <= d THEN RETURN (d - x) / (d -c);WHEN x > d THEN RETURN 0;END CASE;END

Таблица 3. SQL-реализация трапецивидной функции принадлежности

График функции принадлежности трапециевидной формыdxdxccxbbxaaxcdxdabaxx;;;;;010)(SQL-функция для трапециевидной функции принадлежностиCREATE FUNCTION.trap(x INT, a INT, b INT,c INT, d INT)RETURNS doubleBEGINCASEWHEN x < a THEN RETURN 0;WHEN x >= a AND x < b THEN RETURN (x - a) / (b -a);WHEN x >= b AND x <= c THEN RETURN1;WHEN x > c AND x <= d THEN RETURN (d - x) / (d -c);WHEN x > d THEN RETURN 0;END CASE;END

Таблица 4. SQL-реализация S-образной функции принадлежности

График функции принадлежности трапециевидной формыdxdxccxbbxaaxcdxdabaxx;;;;;010)(SQL-функция для трапециевидной функции принадлежностиCREATE FUNCTION.trap(x INT, a INT, b INT, cINT, d INT)RETURNS doubleBEGINCASEWHEN x < a THEN RETURN 0;WHEN x >= a AND x < b THEN RETURN (x -a) / (b -a);WHEN x >= b AND x <= c THEN RETURN 1;WHEN x > c AND x <= d THEN RETURN (d -x) / (d -c);WHEN x > d THEN RETURN 0;END CASE;END

Обобщенная сигнатура хранимой функции SQL, описывающей лингвистическую переменную, может быть представлена в РФБН следующим образом:

<имя ЛП>(<атрибут БД>, <терм ЛП>) RETURNS DOUBLE;

где <имя ЛП> – имя лингвистической переменной; <атрибут БД> – значение атрибута базы данных; <терм ЛП> – терм лингвистической переменной. Хранимая функция возвращает степень принадлежности значения <атрибут БД> терму лингвистической переменной <терм ЛП>.

Применение предлагаемого подхода рассмотрим на примере четкой базы данных «Регистрация договоров аренды», логическая схема которой приведена на рис. 2. В таблице Квартиры представлена информация по объектам недвижимости, которые предоставляются в аренду.

Рисунок. 2. Схема базы данных «Учет договоров аренды»

Определим лингвистические переменные следующих атрибутов базы данных: стоимость аренды и площадь квартиры.

Лингвистическую переменную, описывающую стоимость аренды однокомнатной квартиры в сутки опишем в виде 3-х термовой модели:

– b – «стоимость аренды»;

– T={a1,a2,a3}, a1= «дешевая», a 2= «средняя», a 3=«дорогая». Терм «дешевая» имеет носитель [0;1050] и ядро [0;950]. Терм «средняя» имеет носитель [1000;1500] и ядро [1150;1350]. Терм «дорогая» имеет носитель [1400; ∞] и ядро [1500;∞].

SQL реализация функций принадлежности лингвистической переменной «стоимость аренды» приведена в табл. 5. Функция лингвистической переменной это комбинация функций принадлежности нечетких переменных. При описании лингвистической переменной использованы хранимые функции для Z-образной, трапецивидной и S-образной функций принадлежности:

– z_fig(attrib, 950, 1050);

– trap(attrib, 1000, 1150, 1350, 1500);

– s_fig(attrib, 1400, 1500).

Таблица 5. SQL-реализация лингвистической переменной «стоимость аренды»

Хранимая функция описания лингвистической переменной«стоимость аренды»CREATE FUNCTION fprice(attrib INT, term VARCHAR(10))RETURNS DOUBLEBEGINCASE termWHEN ‘дешевая’THEN RETURN z_g(attrib, 950, 1050);WHEN ‘средняя’THEN RETURN trap(attrib, 1000, 1150, 1350, 1500);WHEN ‘дорогая’THEN RETURN s_g(attrib, 1400, 1500);ELSE RETURN 0;END CASE;END

Лингвистическую переменную, описывающую площадь квартиры в виде 3-х термовой модели:

– b – «площадь квартиры»;

– T={g1,g2,g 3}, g1=«маленькая», g 2=«средняя», g 3=«большая». Терм «маленькая» имеет носитель [0;30] и ядро [0;24]. Терм «средняя» имеет носитель [29;40] и ядро [33;38]. Терм «дорогая» имеет носитель [42; ∞] и ядро [39;∞].

SQL реализация функций принадлежности лингвистической переменной «площаль квартиры» приведена в таблице 6.

Таблица 6. SQL-реализация лингвистической переменной «площадь квартиры»

Хранимая функция описания лингвистической переменной«площадь квартиры»CREATE FUNCTION farea(attrib INT, term VARCHAR(10))RETURNS DOUBLEBEGINCASE termWHEN ‘маленькая’THEN RETURN z_g(attrib, 24, 30);WHEN ‘средняя’THEN RETURN trap(attrib, 29, 33, 38, 40);WHEN ‘большая’THEN RETURN s_g(attrib, 39, 42);END CASE;END

Описать подобным образом можно любые термовые модели и функции принадлежности нечетких переменных.

Продемонстрируем применение метода адаптации реляционных баз данным к реализации нечетких запросов. Текущее состояние таблицы apartments (квартиры) представлено на рис. 3.

Рисунок 3. Текущее состояние таблицы apartments (квартиры)

На рис. 4. приведены результаты вычисления степеней принадлежности атрибутов price (стоимость аренды) и area (площадь квартиры) с использованием соответствующих хранимых функций для лингвистических переменных (табл.5-6).

Рисунок 4. Значения функций принадлежности лингвистических переменных «стоимость аренды» и «площадь квартиры»

Рассмотрим примеры нечетких запросов.

Пример 1. Пусть требуется получить сведения об однокомнатных квартирах со стоимостью аренды 1350 руб. в сутки и общей площадью 35 кв.м. Четкий SQL-запрос будет иметь следующий вид:

SELECT * FROM apartments

WHERE rooms=1 AND area=35 AND price<=1300;

Квартира со стоимостью аренды 1300 руб. и площадью 34 кв.м. не попадет в результат запроса, хотя ее характеристики практически соответствуют требованиям запроса. Результат выполнения данного запроса будет пустым.

Аналогичный нечеткий SQL-запрос будет иметь следующий вид:

"SELECT * FROM apartments

WHERE rooms = 1 AND f area(area, 'средняя') AND price(price, 'средняя')

ORDER BY LEAST(area(area, 'средняя'), price(price, 'средняя')) DESC;" Т.к. в нечетком запросе два параметра запроса farea(area, ‘средняя’) и fprice(price, ‘средняя’) определены степенью принадлежности, то для сортировки результирующих строк по релевантности запросу используется спецификация ORDER BY (табл. 7).

Таблица 7. Правила формирования спецификации ORDER BY

ОператорВыражение для сортировкиANDLEAST(<нечеткий параметр1>,…,<нечеткий параметрn>)ORGREATEST(<нечеткий параметр1>,…,<нечеткий параметрn>)

LEAST() и GREATEST() стандартные функции MySQL для выбора минимального и максимального значения и списка.

В результате выполнения запроса будут отобраны записи с id равными 1, 7 и 10 (рис. 5).

Рисунок 5. Пример 1: Результат выполнения нечеткого запроса

Пример 2. Пусть требуется найти однокомнатную квартиру c дешевой стоимостью аренды. Нечеткий SQL-запрос будет иметь следующий вид:

SELECT * FROM apartments

WHERE rooms = 1 AND fprice(price, ‘дешевая’)

ORDER BY fprice(price, ‘дешевая’) DESC;

В результате выполнения запроса будут отобраны записи с id равными 2 и 4 (рис. 6).

Рисунок 6. Пример 2: Результат выполнения нечеткого запроса

Расширим базовое терм-множество новыми лингвистическими термами. Для этого воспользуемся лингвистическими модификаторами very (очень) и more-or-less (более-или-менее), которые усиливают и ослабляют термы базового множества. Нечеткое множество усиливающего модификатора very определим функцией принадлежности вида:

\[ \mu_{v e r y}(x)=\left(\mu(x)^{2} .\right. \]

Нечеткое множество ослабляющего модификатора more-or-less определим функцией принадлежности вида:

\[ \mu_{\text {more }-\boldsymbol{a}-\text { less }}(x)=\sqrt{\mu(x)} . \] Операцию нечеткого отрицания (\(N O T\) ) определим как:

\[ \overline{\mu(x)}=1-\mu(x) . \]

Пример 3. Необходимо найти более-или-менее средние по стоимости аренды однокомнатные квартиры с балконом. Нечеткий SQL-запрос будет иметь следующий вид:

SELECT * FROM apartments

WHERE rooms = 1 AND balcony AND sqrt(fprice(price, ‘средняя’))

ORDER BY sqrt(fprice(price, ‘средняя’)) DESC;

Пример 4. Необходимо найти недорогие по стоимости аренды жилья однокомнатные квартиры. Нечеткий SQL-запрос будет иметь следующий вид:

SELECT * FROM apartments

WHERE rooms = 1 AND 1 - fprice(price, ‘дорогая’)

ORDER BY1 - fprice(price, ‘дорогая’) DESC;

Рассмотренные выше примеры нечетких запросов подтверждают простоту интеграции предлагаемого метода реализации механизмов нечетких запросов к уже действующим информационным системам, созданными на базе MySQL.

Заключение. На основе предлагаемого метода адаптации реляционных баз данных к реализации нечетких запросов показано, что создаваемые в рамках метода хранимые функции являются инвариантными по отношению к предметной области четкой базы данных. Приведенные примеры преобразования нечетких запросов в стандартные SQL-запросы с помощью MySQL указывают на простые в реализации методы получения нечеткой информации из базы данных и тем самым расширяют ее функциональные возможности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ЕСТЕФЕЕВ, В.И. & БАЛАШОВА, Ю.И., 2016. Нечеткие запросы к реляционной базе данных в информационной системе подбора персонала. Образование и наука в современных условиях, 2 – 2(7), 69 – 72.

Муминов Б.Б., 2016. Формирование запросов для интеллектуального по-иска в нечеткой информационной среде. Наука и мир, 3 – 1 (31), 79 – 85. (2)РЫБАНОВ, А.А., 2019. Метрики разнообразия типов данных в физической схеме базы данных MySQL. Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, \(4(251), 87-90\).

ТРЕФИЛОВ, П.А., 2017. Нечеткие запросы в реляционных базах данных. Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования, 6, 197 – 198.

ВЕНЦОВ, Н.Н., ДОЛГОВ, Л.А. & ПОДКОЛЗИНА, Л.А., 2015. Об одном способе построения запросов к базе данных на основе аппарата нечеткой логики. Инженерный вестник Дона, 3 (37), 44.

REFERENCES

ESTEFEEV, V.I. & BALASHOVA, I. YU., 2016. Fuzzy queries to relational database in recruitment information system. Education and science in modern settings, 2 – 2 (7), 69 – 72.

HUDEC, M., 2009. An approach to fuzzy database querying, analysis and realization, Computer Science and Information Systems, 6, 127 – 140, doi: 10.2298/CSIS0902127H.

KILIC, K., ABDULLAYEV, T., ALAKBAROV, R. & KILIC N., 2016. Processing of fuzzy queries and software implementation to a relational database of wholesale and retail commercial enterprises, Paper presented at the Procedia Computer Science, 102, 490 – 494, doi:10.1016/j. procs.2016.09.

MAMA, R. & MACHKOUR, M., 2021. Fuzzy querying with SQL: Fuzzy view-based approach, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, 40(5), 9937 – 9948, doi: 10.3233/JIFS-202551.

MUMINOV, B.B., 2016. Formation of queries for intelligent retrieval in fuzzy information environment, Science and world, 3 – 1 (31), 79 – 85.

(10)NOWAKOWSKI, G., 2018. Fuzzy queries on relational databases, Paper presented at the 2018 International Interdisciplinary PhD Workshop, IIPhDW, 293 – 299, doi: 10.1109/IIPHDW.2018.8388376.

RYBANOV, A.A., 2019. Diversity metrics of data types for physical schema of data base MySQL, The Bulletin of the Adyghe State University, the series “Natural-Mathematical and Technical Sciences”, 4 (251), 87 – 90.

SABOUR, A.A., GADALLAH, A.M. & HEFNY, H.A., 2014. Flexible querying of relational databases: Fuzzy set based approach, doi: 10.1007/978-3-31913461-1_42.

SMOLKA, P. & BRADAC, V., 2017. Fuzzy queries above relational database, Paper presented at the AIP Conference Proceedings, 1906, doi:10.1063/1.5012350.

TREFILOV, P.A., 2017. Fuzzy query in relational databases, Some questions of analysis, algebra, geometry and mathematical education, 6, 197 – 198.

VENTSOV, N.N., DOLGOV, V.V. & PODKOLZINA, L.A., 2015. One method of constructing database queries based on fuzzy logic, Ingineering journal of Don, 3 (37), 44.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Canatalay, Ashima, Kukkar, Sadiq Hussain, Arun Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa Mahareek, Abeer Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
EDITORIAL / КЪМ ЧИТАТЕЛЯ

Сава Гроздев

STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić, Шефкет Арсланагич

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.