Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2018/2, стр. 125 - 143

МАТЕМАТИЧЕСКИ ПРОЕКТИ В ДИНАМИЧНИ СРЕДИ

Ангел Гушев
E-mail: angel_hg@abv.bg
Principal
High School of Mathematics and Natural Science “Vasil Drumev”
10, Vela Blagoeva St.
5000 Veliko Tarnovo, Bulgaria

Резюме: Целта на настоящата статия е да се покаже, че за използването на динамичен математически софтуер няма възрастови граници. Няма ограничения и в начините на използването му и дълбочината на постигнатите резултати. Единственото ограничение се крие в способностите и въображението на тези, които го използват.

Ключови думи: dynamic mathematical software; ways of use; depth of achievements

В началото представяме наблюдения върху работата на ученик, който в пети клас за пръв път се запознава с динамичния математически софтуер GeoGebra. В този момент ученикът вече притежава начална компютърна грамотност, включително умения за работа с Paint. Затова динамичният математически софтуер GeoGebra в началото е използван само като поле за рисуване. Въпреки това ученикът много бързо самостоятелно овладява инструментите на продукта и създава впечатляващи рисунки като тези на фигура 1.

Ветрило
Човешко лице

Фигура 1

В хода на заниманията и след поредица от експерименти за работата на различните инструменти обучаемият открива начини да включи динамика в рисунките. Първите динамични разработки са геометрични фигури, променящи положението си с движението на само една свободна точка. Постепенно ученикът осъзнава, че за да има динамика и част от обектите да се движат заедно с движението на дадена точка, то всички обекти трябва да са свързани с тази точка и следователно зависими от нея. Вдъхновени от интернет играта “Angry Birds”, се появяват поредица от динамични рисунки, в които различните птици летят и повтарят движенията и формата на събратята си от играта (фигура 2).

Кран
Angry Birds – Бомбата

Фигура 2

Oколо два месеца след началото на учебната година, във връзка с решаване на задачи от школата по математика, се появява и необходимост от създаване на поле за експеримент. С негова помощ ученикът конструира непрости геометрични чертежи, добавя дължини на отсечки, мерки на ъгли, лица на фигури.

В началото на втория срок, използвайки натрупаните си знания, той прави поредица от опити да използва компютъра, за да нарежда любимата си логическа игра „Танграм“ (от седем различни по големина и форма геометрични фигури се съставят различни по форма фигури, една от които е голям квадрат). За постигане на целта се налага ученикът да бъде запознат с част от по-сложните инструменти на динамичната среда, като бутон за показване и скриване на обекти в чертожната повърхност, както и с някои твърдения по геометрия, изучавани в по-горните класове. Резултатът от работата може да се види на фигура 3.

Area DEA = 4.15Area EBC = 4.15ABCDEОбратен успоредникПрав успоредникЗадача за пеперудкатаДамата с огледалото –„Танграм“

Фигура 3

Накрая ще разгледаме как нашият ученик успя да се ориентира в използването на съвсем нови за него и средата инструменти. Това са създадени от доц. д-р Веселин Гушев потребителски инструмент за изчертаване на криви на Безие от трети ред по четири точки, използвани при обучението на учители от СДК, както и на студентите от IV курс на специалност „Информатика“ във ФМИ на СУ по предмета „Компютърна графика“ един петокласник може да твори в GeoGebra – фигура 4.

Мотив за шевицаЩъркел

Фигура 4

Наблюдаваният ученик, поради многобройните си призови участия в състезания и олимпиади, не може да бъде наречен „средностатистически“. Затова не е редно да очакваме подобни резултати при работата с динамичен софтуер от произволно избрани ученици на същата възраст. По-скоро посочените наблюдения показват, че диапазонът в развитието на един необременен млад човек при срещата му с динамичния математически софтуер може да бъде много голям. Все пак на този етап на обучение се очертават три различни етапа на използване на динамичния математически софтуер:

– като заместител на графичните програми – поле за рисуване;

– за създаване на динамични рисунки;

– за изследване на несложни конструкции, създаване на логически игри и т.н.

Изучаването на информационни технологии в прогимназиалния етап на основното образование е предпоставка в част от тези часове учениците да бъдат запознати с динамичен софтуер. Това ще бъде една добра основа за по-нататъшна работа в гимназиалния етап.

Ретроспекцията на създадения динамичен софтуер ще продължи не по времето на разработване на съответния продукт, а по това в кой клас на гимназиалния етап той може да се използва. Ако учебното съдържание се изучава в повече от един от класовете, обучението с динамичен софтуер ще бъде приложено там, където според автора е най-уместно.

Второто приложение, което ще разгледаме, е „Електронен учебник по математика за осми клас“. По-специално ще обърнем внимание на обучението, което беше проведено с този учебник в Природо-математическа гимназия „Васил Друмев“ – Велико Търново.

В хода на съвместната работа бяха включени уроци от „Електронен учебник по математика за осми клас“ и в ІХ клас. Идеята беше да се направи паралел между знанията на учениците от ІХ клас, които са придобити без помощта на Електронния учебник, и тези на VІІІ клас.

Обучението се извършваше в класна стая, като през часа учителят ползваше както черната дъска, така и мултимедия. Серията от мултимедийни уроци беше съпроводена от контролни тестове: единия – непосредствено преди започване на електронното обучение, а другия – в края на работата.

За учениците от VІІІ клас изходният тест послужи за проверка на усвояването на новите знания от темата „Графика на функция“, докато в ІХ клас – за въведение към темата „Модулни уравнения. Параметрични модулни уравнения“.

В VІІІ клас тестът беше проведен с 25, а в ІХ клас – с 23 ученици. Той беше на хартиен носител и включваше 9 задачи, които учениците решаваха 40 минути.

Основните цели, които бяха поставени, са да се провери:

– доколко учениците са усвоили построението на линейна функция и познават ли нейните свойства;

\((*)\quad\quad\mathrm{y}=\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}) , \mathrm{x} \in \mathrm{D}_{1} \\ \mathrm{M}\\ \mathrm{f}_n(\mathrm{x}),\mathrm{x} \in \mathrm{D}_{\mathrm{n}} \end{array}, \text { където } \bigcup_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{D}_{\mathrm{i}}=\mathrm{I}, \mathrm{D}_{\mathrm{i}} \cap \mathrm{D}_{\mathrm{j}}=\varnothing ; \\ \right. \) – могат ли да построяват графика в интервал I на функция от вида (*) – могат ли да прилагат трансформации от вида: \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{c}\) и \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{c})\), приложени върху графиката на функцията \(\mathrm{y}=|\mathrm{x}|\).

Средният успех от теста на учениците от VІІІ клас бе „Много добър"\((4,83)\), а на ІХ клас – „Много добър"\((4,65)\), и не се различавше от средния успех по математика на учениците до момента. Без да имаме претенциите за представителност, може да кажем, че учениците:

– могат да построяват графика на линейна функция и познават нейните свойства;

– могат да построяват графика на функцията \(\mathrm{y}=|\mathrm{x} \mathrm{y}=| \mathrm{x}\), но изпитват затруднения с трансформацията \(\mathrm{y}=|\mathrm{x}+\mathrm{c}|\);

– изпитват затруднения с построяването на функции от вид (*).

Основна причина за възникналите затруднения е в невъзможността за един учебен час да бъдат предадени и усвоени от учениците по-голям брой задачи от посочения тип. Необходимостта от използването на Електронния учебник се почувства най-вече при решаването на модулни параметрични уравнения. На фигури 5 и 6 са показани част от стъпките, през които минава решаването на дадена задача.

Фигура 5

Фигура 6

Следващата разработка е продиктувана от решаването на конкретна задача, дадена на ЗМС във Варна през 2007 г. в ХІ клас.

В хода на обсъждане на решението в школата по математика учениците стигнаха не само до решението на конкретната задача, но и направиха редица обобщения. Впоследствие съставиха задача, която може да се реши само със знанията за VІІІ клас.

Направените разсъждения са в основата на разработеното уеб приложение, което представяме на фигури 7 и 8.

Фигура 7

Фигура 8

Освен Динамичната обучаваща среда за изучаване на теоремите на Менелай и Чева, предназначена за обучение в часовете по профилирана подготовка в ІХ клас, в часовете по свободноизбираема подготовка може да се ползва проектът „Метод на инверсията. Свойства и приложение“.

Той е разработен от учениците Мирослав Славчев и Преслав Николаев и печели трето място в раздела „Геометрични миниатюри“ на международния конкурс „Математика и проектиране“ през 2008 г. в Москва (фигура 9).

Всички конструкции в Проекта са направени само с основните построителни инструменти на Geonext версия 1.53. Дори и в следващите версии инструмент „Инверсия“ не беше направен. През 2008 година другата динамичната среда – GeoGebra, също не предлагаше такава възможност.

Това още веднъж показва, че при работа с динамичен софтуер възможностите на потребителя се простират не само докъдето му позволяват вградените функции и инструменти, а докъдето се простират собствените му знания и възможности.

Фигура 9

Разработката на следващия проект – „Триъгълник и прогресия“, също е продиктувана от решаването на конкретна задача \({ }^{1)}\). Проектът е предназначен за обучение на ученици от ХІ клас, но преформулирайки част от задачите и твърденията, те могат да бъдат използвани и в ІХ клас (фигура 10).

Фигура 10

Следващият проект е с по-универсален характер. В основната си част

той е предназначен за обучение в ХІ клас (фигури 11 и 12). Освен графиката на функцията \(y=f(x)\) с приложението могат да се чертаят и графиките на: \(y=k . f(x), y=f(k . x), y=f(x)+c, y=f(x+c)\) (виж фигура 11).

Потребителите могат да строят и графиките на обратните функции \(y=e^{x}\) и \(y=\ln x\). Дори могат да проверят, че обратната на функцията \(y=e^{x-1}\) не е \(y=\ln (x-1)\) ( (виж фигура 12).

Точно идеята за построяване графиките на обратните функции беше в основата на съставянето на проекта. Оказа се, че построяването им затруднява дори и ученици, изучаващи математика в профилирана подготовка.

Фигура 11

Фигура 12

В ХІ клас профилирана подготовка започва изучаването на стереометрия. Точно тук започват и проблемите ва учителя с онагледяването на: взаимни положения на точки, прави и равнини; перпендикулярност в пространството; сечение на многостен с равнина и т.н. В помощ на учителя идва следващото приложение, което няма претенциите за покриване на целия учебен материал.

В основата на повечето конструкции е „триизмерна четириъгълна призма“, която може да се върти в равнините \(\mathrm{O}_{\mathrm{xy}}\) и \(\mathrm{O}_{\mathrm{xz}}\) и на която могат да бъдат променяни дължините на страните.

На фигури 13 и 14 са представени две задачи от раздела „Сечение на многостен с равнина“.

Фигура 13

Фигура 14

Преподаването на разделите „Комплексни числа“ и „Елементи на аналитичната геометрия в равнината“ създава затруднения на учителя в ХІІ клас профилирана подготовка – те са разположени в края на учебника и не влизат нито в учебното съдържание за държавните зрелостни, нито за кандидатстудентските изпити. Опитът на автора показва, че учениците в ПМГ „Васил Друмев“ – Велико Търново, също не проявяват особен ентусиазъм при преподаването на посочения материал.

В един от часовете ученичка, вместо да внимава, рисуваше нещо в тетрадката си. Тази ученичка се готвеше да кандидатства архитектура в УАСГ, а там освен с математика се влиза с изпит по рисуване. Оказа се, че тя рисува задача от перспектива, а това не е толкова лесно. Предизвикателството на автора към тази ученичка беше да направи същата конструкция, но динамична и на GeoGebra.

За осъществяването на идеята, освен умения за работа с динамичната среда, бяха необходими и основни знания по аналитична геометрия. Ето го и отговора на въпроса, който вече беше поставен. Допълнителен стимул за работа беше възможно участие в заключителен семинар по проект „Фибоначи“, както и участие в националните кръгове на международния проект „Математика и проектиране“.

Възникналата идея скоро след това бе реализирана в проект, наречен „Динамична математика“ (фигура 15).

Фигура 15

С този проект учениците от ПМГ „Васил Друмев“ заеха трето място в раздела „Геометрични миниатюри“ на националния кръг на международния конкурс „Математика и проектиране“ през 2013 г.

Последните динамични конструкции са свързани със задача, дадена на петия турнир „Черноризец Храбър“ през 1996 г. \(^{2)}\).

Задача (96-20): даден е ъгъл АОВ с мярка \(1^{\circ}\) и огледална вътрешна повърхност, като \(\mathrm{AO}=1 \mathrm{~m}\). От точка А под ъгъл \(60^{\circ}\) спрямо лъча ОА влиза светлинен лъч и след многократно отражение се връща в точка А. Да се определи изминатият от лъча път.

При опит да бъде направен прецизен чертеж в динамичната среда Geonext се получава следната конструкция (фигура 16).

Фигура 16

Въпреки че е прецизно направена, тя не може да ни бъде полезна, защото обектите в нея са разположени близко един до друг и идеята за решаването на задачата не може да се онагледи. Опитът да се приближат част от обектите, ни води до следната конфигурация (фигура 17).

Фигура 17

В този случай се губи цялостната визия и отново не може да се проследи основната идея за решаване на задачата.

До същата конструкция се достига, ако се използва и динамичната среда GeoGebra.

Това ни навежда на мисълта, че за да се онагледи идеята за решаването на конкретната задача, е хубаво да се реши задача, решението на която използва същата идея, но се достига в по-малко стъпки. Такъв е следният пример.

Задача 1: дадени са ъгъл АОВ с мярка \(20^{\circ}\) и о огледална вътрешна повърхност. От точка А под ъгъл \(50^{\circ}\) спрямо лъча ОА влиза светлинен лъч и след многократно отражение се връща в точка А. Ако \(\mathrm{AO}=\mathrm{a}\), да се определи изминатият от лъча път.

Вместо решение ще предложим поредица от слайдове, илюстриращи нейното решение (виж фигури 18, 19 и 20).

Фигура 18

Фигура 19

Фигура 20

Сега е видно, че изминатият от лъча път е равен на дължината на отсечка \(\mathrm{AA}_{3}^{*}=2 \mathrm{AA}_{1}^{*}\) и че \(\Delta \mathrm{AOA}_{1}^{*}\) е правоъгълен, като \(\mathrm{OA}=\mathrm{a}\), \(∢ \mathrm{AOA}_{1}^{*}=2 \measuredangle \mathrm{AOA}^{*}=40^{\circ}\). Тогава \(\mathrm{AA}_{3}^{*}=2 \mathrm{a} \cdot \sin 40^{\circ}\).

Използвайки същата идея, може да формулираме и нова задача.

Задача 2: дадени са ъгъл АОВ с мярка \(10^{\circ}\) и огледална вътрешна повърхност. От точка А под ъгъл \(50^{\circ}\) спрямо лъча АО влиза светлинен лъч и след многократно отражение се връща в точка А. Ако \(\mathrm{AO}=\mathrm{a}\), да се определи изминатият от лъча път.

Идеята за нейното решаване е същата, само че сега светлинният лъч пада под прав ъгъл към рамото Орав ъгъл към рамото \(\mathrm{O}_{\mathrm{p}}\) не след първото, а след третото отражение (виж фигура 21).

Фигура 21

Оказва се, че гореизложените задачи са частни случаи на една по-обща задача, която може да има следната формулировка.

Обща задача: дадени са ъгъл АОВ с мярка a, където \(\alpha \lt 45^{\circ}\), и огледална вътрешна повърхност. От точка А под ъгъл \(\left(90^{\circ}-2 \mathrm{k} \alpha\right)\), където \(\mathrm{k} \in \mathbb{N}\) и \(\mathrm{k} \leq\left[\cfrac{45}{\alpha}\right]\), спрямо лъча АО влиза светлинен лъч и след многократно отражение се връща в точка A. Ако \(\mathrm{AO}=\mathrm{a}\), да се намери дължината на изминатия от лъча път.

Забележка: при \(\alpha=1^{\circ}\) и \(\mathrm{k}=15\) получаваме задача 96-20, при \(\alpha=20^{\circ}\) и \(\mathrm{k}=1\) получаваме задача 1; при \(\alpha=10^{\circ}\) и \(\mathrm{k}=2\) получаваме задача 2.

Конструкции, които онагледяват общата задача, може да видите на фигури 22 и 23.

Фигура 22

Фигура 23

Разглеждайки задачата от петия математически турнир „Черноризец Храбър“, можем да направим следните изводи:

– динамичният математически софтуер не може да ни помогне в решаването или онагледяването на всяка задача;

– използването на динамичен софтуер трябва да е премерено и само там, където ще се възприеме като ефект, а не като дефект в работата;

– ако нямаме ясна идея какво и как искаме да постигнем при решаването на даден проблем, е без значение с какъв софтуер разполагаме.

От методическа гледна точка, трябва да подчертаем, че ако направо пристъпим към решаването на задача (96-20), тя ще бъде достъпна и разбираема за много малка аудитория. Ако в своето изложение започнем със задача 1, преминем през задача 2 и общата задача, то накрая ще ни е много лесно да обясним и решението на задача (96-20).

На осемнадесетия турнир „Черноризец Храбър“ през 2009 година бяха дадени следните задачи в групите VII – VIII и IX – X клас.

Задача 15 (VII – VII клас): лазерен лъч излиза от точка върху рамото \(\mathrm{p} \rightarrow\) на ъгъл \(\mathrm{pOq}=10^{\circ}\), перпендикулярна на \(\mathrm{p} \rightarrow\), и последователно се отразява от рамото \(\mathrm{q} \rightarrow\), после от \(\mathrm{p} \rightarrow\) и т.н. Кой от ъглите \(70^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ}, 30^{\circ}\) или \(10^{\circ}\) не може да бъде ъгъл на отражение на лазерния лъч?

Задача 9 (IX – X клас): лазерен лъч излиза от точка върху рамото \(\mathrm{p} \rightarrow\) на ъгъл \(\mathrm{pOq}=10^{\circ}\), перпендикулярна на \(\mathrm{p} \rightarrow\), и последователно се отразява от рамото \(\mathrm{q} \rightarrow\), после от \(\mathrm{p} \rightarrow\) и т.н. Колко пъти се е отразил лъчът?

За учениците от школата по математика на ПМГ „Васил Друмев“ – Велико Търново, които бяха запознати с идеята за решаване на гореизложените задачи, не беше проблем да решат задачата за своята възрастова група.

NOTES/БЕЛЕЖКИ

1. Темата е описана подробно в две съвместни публикации на автора: „Когато дължините на страните на триъгълника образуват аритметична прогресия“, сп. Математика, 2007 г., бр. 2, стр. \(8-13\), и „Триъгълник и прогресия“, сп. Математика, 2007 г., бр. 3, стр. \(11-14\).

2. Доклад по тази тема е изнесен на Международния конгрес на математиците (MASSEE), проведен от 16 до 20 септември 2009 г. в Охрид.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.