Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2015/2, стр. 157 - 169

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ ВЬIЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЬIМИ

Владимир Жук
E-mail: vladimir_zhuk@mail.ru
Teacher in Mathematics
Secondary School for Talented Students
Almaty, Kazhakhstan

Резюме: В данной статье рассмотрены методические подходы к задаче нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Ключови думи: skew lines, distance, projection, angle, solid geometry, methodology

Задача нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми является одной из самых сложных, изучаемых в школьном курсе стереометрии. На фоне снижающегося интереса к изучению геометрии и неразвитого пространственного воображения у учащихся 10 классов эта задача вызывает трудности у большинства из них, что для учителя, преподающего математику в старших классах, является методической проблемой.

Сложности при нахождении расстояний между скрещивающимися прямыми, скорее всего, обусловлены тем, что такие прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости. Поэтому, сталкиваясь с подобного сорта задачами, порой, не за что «зацепиться». В подавляющем большинстве случаев искать расстояние между скрещивающимися прямыми по определению, то есть, вычисляя длину их общего перпендикуляра, является не самой блестящей идеей.

Таким образом, если общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых явно не прослеживается, то расстояние между ними следует искать опосредованно. Разработано несколько методов, позволяющих сделать это. В частности, расстояние между скрещивающимися прямыми можно искать как расстояние от какой-либо удобной точки одной прямой до параллельной ей плоскости, содержащей вторую прямую, или как расстояние между двумя параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Для решения этой задачи можно привлечь векторы и координаты в пространстве. Существует также формула, выражающая расстояние между скрещивающимися рёбрами тетраэдра через объём данного тетраэдра, длины этих ребер и угол между ними (Grozdev, 2007). Однако, тема «Расстояние между скрещивающимися прямыми» изучается гораздо раньше, чем учащиеся могут использовать векторно-координатный метод в пространстве и метод объёмов, поскольку соответствующие темы ещё не изучены.

К тому же, несмотря на свою действенность, применение координатно-векторного метода может привести к громоздким вычислениям, порой, даже в тех случаях, когда чисто геометрически задача решается несложно. По моему глубокому убеждению, несмотря на то, что при решении некоторых геометрических задач без векторов и координат не обойтись, всё же без лишней надобности не стоит ими увлекаться, поскольку это не способствует развитию у учащихся геометрических представлений, иными словами, «убивает» в них геометрию.

Одним из самых эффективных чисто геометрических методов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми является метод проекций, который опирается на следующую лемму.

Лемма (см., например, (Шарыгин, И. Ф., 1999, c. 96). Расстояние между скрещивающимися прямыми расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту плоскость.

Алгоритм вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми заключается в следующем.

1. Строим плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых.

2. Находим проекции этих прямых на данную плоскость.

3. Проекция одной из этих прямых на эту плоскость является точкой. Вычисляем расстояние от этой точки до проекции другой прямой на эту плоскость.

Это расстояние и будет искомым.

Иногда искомая плоскость, перпендикулярная, одной из скрещивающихся прямых, проглядывается очевидным образом. В некоторых случаях приходится производить дополнительные манипуляции, чтобы построить эту плоскость.

Нами разработаны два новых метода вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми, которые позволяют избежать необходимости построения дополнительных плоскостей. Всё, что требуется, это умение находить расстояние от точки до прямой и расстояние от точки до плоскости.

Вычисление расстояния от точки до прямой может быть сведено к стандартной планиметрической задаче нахождения высоты треугольника. Для большинства многогранников, изучаемых в школьном курсе геометрии, задача вычисления расстояния от точки до плоскости не является сверхсложной, если в качестве этой плоскости выступает плоскость основания или боковой грани многогранника.

Разработанные нами методы опираются на доказанные нами теоремы 1 и 2, которые, в свою очередь, вытекают из приведённой выше леммы. Отметим, что аналогов полученных нами формул нам найти не удалось. Автор будет очень признателен тому, кто укажет источник, где имеются подобные результаты.

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в тетраэдре \(D A B C\) ребро \(D A\) перпендикулярно плоскости ABC основания, тогда расстояние \(d\) между скрещивающимися прямыми \(A C\) и \(B D\) может быть вычислено по формуле

(1)\[ \cfrac{1}{d^{2}}=\cfrac{1}{a^{2}}+\cfrac{1}{b^{2}}, \]

где \(a=D A, b=B K\)-высота треугольника \(A B C\),опущенная из вершины \(B\).

Рис. 1

Доказательство. Пусть рёбра \(A B\) и \(A C\) не перпендикулярны. Достроим треугольник \(A K B\) до параллелограмма \(A K B B\) '(Рис. 1).

Так как \(B K \perp A C\), то \(A K B B^{\prime}\)– прямоугольник. \(A C \perp A D, A C \perp A B^{\prime}\), следовательно, \(A C \perp\left(D A B^{\prime}\right)\)( (выполняется признак перпендикулярности прямой и плоскости). Так как \(B B^{\prime}\) параллельна прямой \(A C\), то ортогональной проекцией \(B D\) на плоскость \(D A B\) является прямая \(B^{\prime} D\).

Согласно лемме \(d=\rho\left(A,\left(B^{\prime} D\right)\right)=A F\), где \(A F\)– высота треугольника \(D A B\).

Треугольник \(D A B\) прямоугольный. Значит,

\[ \cfrac{1}{A F^{2}}=\cfrac{1}{D A^{2}}+\cfrac{1}{B^{\prime} A^{2}} \]

Учитывая, что \(B^{\prime} A=B K\), получаем требуемое равенство (1). Случай \(A B \perp A C\) очевиден.

Таким образом, чтобы вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми можно применить следующий алгоритм.

1. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\alpha\), а скрещивающаяся с ней прямая \(m\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\).

2. Из точки \(M\) опустим перпендикуляр \(M M_{0}\) на прямую \(l\).

3. На прямой \(m\) выберем такую точку \(N\),что её проекция на плоскость \(\alpha\), точка \(N_{0}\), лежит на прямой \(l\).

4. По формуле (1) расстояние \(d\) между прямыми \(l\) и \(m\) находится из равенства \(\cfrac{1}{d^{2}}=\cfrac{1}{N N_{0}^{2}}+\cfrac{1}{M M_{0}^{2}}\).

Замечание. Во многих задачах точки \(N\) и \(N_{0}\) можно без труда определить. Если же эти точки явно не проглядываются, то точку \(N_{0}\) определяем как точку пересечения прямой \(l\) и прямой \(m^{\prime}\), являющейся проекцией прямой \(m\) на плоскость \(\alpha\). Точка \(N\) является точкой пересечения прямой \(m\) с перпендикуляром, восстановленным к плоскости \(\alpha\) в точке \(N_{0}\). В случае, когда прямые \(l\) и \(m^{\prime}\) параллельны, будем считать, что \(N N_{0}=\infty\), то есть \(\cfrac{1}{N N_{0}^{2}}=0\).

Продемонстрируем применение теоремы 1 и указанного метода на следующих задачах.

Задача 1 (Егерев, В. К., В. В. Зайцев & Б. А. Кордемский, 2013, Группа В, № 11.231). Основанием пирамиды SABC является равнобедренный прямоугольный треугольник \(A B C\),длина гипотенузы которого \(A B=4 \sqrt{2}\). Боковое ребро SC пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а его длина равна 2. Найти расстояние между прямыми, одна из которых проходит через точку \(S\) и середину ребра \(A C\), а другая – через точку \(C\) и середину ребра \(A B\).

а)
б)

Рис. 2

Решение. Пусть \(P\)-середина ребра \(A C\), а \(Q\)– середина ребра \(A B\)(Рис. 2а). По условию задачи требуется найти расстояние \(d\) между прямыми \(S P\) и \(C Q\). Так как

\(S C \perp(A B C)\),то согласно теореме 1

\[ \cfrac{1}{d^{2}}=\cfrac{1}{S C^{2}}+\cfrac{1}{P R^{2}} \]

где \(P R\)– высота треугольника \(C P Q\). По условию \(S C=2\).Нетрудно заметить, что \(P R\)– средняя линия треугольника \(C A Q\)(Рис. 2б), следовательно,

\[ P R=\cfrac{1}{2} A Q=\sqrt{2} \]

Итак,

\[ \cfrac{1}{d^{2}}=\cfrac{1}{2^{2}}+\cfrac{1}{(\sqrt{2})^{2}}=\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{4} \]

Отсюда

\[ d=\sqrt{\cfrac{4}{3}}=\cfrac{2 \sqrt{3}}{3} \]

Ответ: \(\cfrac{2 \sqrt{3}}{3}\).

Задача 2. (Гроздев и др., 2008) Длина ребра куба \(A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) равна 2. Найдите расстояние между прямыми \(A B_{1}\) и \(B K\),где \(K\)-середина ребра \(C C_{1}\).

Решение. Из точки \(B_{1}\) опустим перпендикуляр \(B Z\) на прямую \(B K\)(Рис. 3a). Заметим, также, что \(\mathrm{AB} \perp\left(B K B_{1}\right)\).Поэтому по теореме 1

\[ \cfrac{1}{d^{2}}=\cfrac{1}{A B^{2}}+\cfrac{1}{B Z^{2}} \]

где \(d=\rho\left(A B_{1 . B K}\right)\)-расстояние между прямыми \(A B_{1}\) и \(B K\).

а)
б)

Рис. 3

\(A B=2\),найдём \(B Z\).Для этого рассмотрим квадрат \(B C C_{1} B_{1}\)(Рис. 3б). По теореме Пифагора находим \(B K=\sqrt{B C^{2}+C K^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\).

Прямоугольные треугольники \(B Z B_{1}\) и \(K C B\) подобны (\(\angle B B_{1} Z=\angle K B Z\) ). Следовательно,

\[ \cfrac{B Z}{B B_{1}}=\cfrac{B C}{B K} . \]

Отсюда

\[ B Z=\cfrac{B C \cdot B B_{1}}{B K}=\cfrac{2 \cdot 2}{\sqrt{5}}=\cfrac{4}{\sqrt{5}} . \]

Таким образом,

\[ \cfrac{1}{d^{2}}=\cfrac{1}{4}+\cfrac{5}{16}=\cfrac{9}{16} \]

значит,

\[ d=\cfrac{4}{3} . \]

Ответ: \(\cfrac{4}{3}\).

Задача 3. В основании прямой треугольной призмы \(A B C A\) 1 лежит треугольник со сторонами \(A B=5, B C=6, A C=\sqrt{13}\),боковое ребро равно 6. На ребре \(A_{1} B_{1}\) выбрана точка \(K\) так, что \(A_{1} K: K B_{1}=3: 2\). Найти расстояние между прямыми \(A K\) и \(B C\).

Решение. Продлим \(A K\) до пересечения с прямой \(B B_{1}\) в точке \(L\) и опустим перпендикуляр \(A H\) на прямую \(B C\)(Рис. 4). Учитывая, что призма \(A B C A_{1} B_{1} C_{1}\) прямая, по формуле (1) получаем

\[ \cfrac{1}{d^{2}}=\cfrac{1}{B L^{2}}+\cfrac{1}{A H^{2}} \]

где \(d\)– расстояние между прямыми \(A K\) и \(B C\).

По теореме косинусов из треугольника ABC находим

Из прямоугольного треугольника \(A H B\left(\angle A H B=90^{\circ}\right)\) вычислим

Треугольники \(K L B_{1}\) и \(A L B\) подобны, поэтому

\[ \cfrac{B_{1} L}{B L}=\cfrac{K B_{1}}{A B} \Leftrightarrow \cfrac{B L-6}{B L}=\cfrac{2}{5} \]

Отсюда получаем \(B L=10\).Итак,

\[ \cfrac{1}{d^{2}}=\cfrac{1}{100}+\cfrac{1}{9}=\cfrac{109}{900} \]

то есть

\[ d=\cfrac{30}{\sqrt{109}}=\cfrac{30 \sqrt{109}}{109} \]

Ответ: \(\cfrac{30 \sqrt{109}}{109}\).

Теорема 2. Пусть \(H=D O\)– высота тетраэдра DABC, а \(b=B K-\) высота треугольника \(A B C\),лежащего в основании этого тетраэдра. Тогда расстояние \(d\) между скрещивающимися прямыми \(A C\) и \(B D\) вычисляется по формуле

(2)\[ d=\cfrac{b H}{\sqrt{c^{2}-h^{2}}} \]

где \(c=D B, h-\) расстояние от точки \(O\),основания высоты тетраэдра, до прямой

\(B K\).

а)
б)

Рис. 5

Доказательство. Пусть для начала \(O \notin(B K)\).Из точки \(O\) опустим перпендикуляр \(O L\) на прямую \(B K\)(Рис. 5а), тогда \(h=\rho(O,(B K))=\mathrm{OL} \gt 0\).

Пусть \(K^{\prime}\)-ортогональная проекция точки \(O\) на прямую \(A C\). Достроим треугольник \(B K K^{\prime}\) до параллелограмма \(B K K^{\prime} B^{\prime}\)(Рис. 5б). Так как \(B K \perp A C\), то \(B K K^{\prime} B^{\prime}\)– прямоугольник, при этом \(O \in\left(B^{\prime} K^{\prime}\right), B K=B^{\prime} K^{\prime}=b, K K^{\prime}=B B^{\prime}=h\).

\(A C \perp B^{\prime} K^{\prime}\) и \(A C \perp D O\),значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(A C \perp\left(D K^{\prime} B^{\prime}\right)\) причём ортогональной проекцией прямой \(A C\) на плоскость \(D K^{\prime} B\) является точка \(K^{\prime}\). Заметим далее, что ортогональной проекцией \(B D\) на плоскость \(D K^{\prime} B\) является прямая \(B^{\prime} D\).

Следовательно, по лемме

\[ d=\rho\left(K^{\prime},\left(B^{\prime} D\right)\right)=K^{\prime} F, \]

где \(K^{\prime} F\)– высота треугольника \(D K^{\prime} B^{\prime}\).

Высота \(D O\) тетраэдра \(D A B C\) является также высотой треугольника \(D K^{\prime} B^{\prime}\) по-этому

\[ \cfrac{K^{\prime} F}{D O}=\cfrac{B^{\prime} K^{\prime}}{B^{\prime} D} \]

Итак,

\[ K^{\prime} F=\cfrac{B^{\prime} K^{\prime} \cdot D O}{B^{\prime} D}=\cfrac{b H}{B^{\prime} D} \]

Далее воспользуемся тем фактом, что \(B B^{\prime} \| A C\) и \(B B^{\prime} \perp\left(D K^{\prime} B^{\prime}\right)\).Отсюда, \(D B^{\prime} \perp B B^{\prime}\). Наконец, применяя теорему Пифагора к треугольнику \(D B^{\prime} B\), получаем \(B^{\prime} D=\sqrt{B D^{2}-\left(B B^{\prime}\right)^{2}}=\sqrt{c^{2}-h^{2}}\).

Таким образом,

\[ d=K^{\prime} F=\cfrac{b H}{\sqrt{c^{2}-h^{2}}} \]

В случае, когда \(O \in(B K)\),то есть \(h=0\),вместо треугольника \(D K^{\prime} B^{\prime}\) следует рассмотреть треугольник \(D K B\).Дальнейшие рассуждения аналогичны. Теорема 2 доказана.

Теорема 2 позволяет вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми по следующему алгоритму.

1. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\alpha\), а скрещивающаяся с ней прямая \(m\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\).

2. Из точки \(M\) опустим перпендикуляр \(M M_{\mathrm{o}}\) на прямую \(l\).

3. На прямой \(m\) выберем произвольную точку \(N(N \neq M\), и опустим из неё перпендикуляр \(N N_{0}\) на плоскость \(\alpha\).

4. Из точки \(N_{0}\) опустим перпендикуляр \(N_{0} H\) на прямую \(M M_{0}\)

5. Расстояние \(d\) между прямыми \(l\) и \(m\) находим по формуле (2), то есть

\[ d=\cfrac{M M_{0} \cdot N N_{0}}{\sqrt{M N^{2}-N_{0} H^{2}}} \]

В второй алгоритм позволяет обойти достаточно жёсткое требование первого алгоритма, чтобы проекция точки \(N\) на плоскость \(\alpha\) лежала на прямой \(l\).

Рис. 6

Альтернативное решение задачи №3. Из точки \(K\) опустим перпендикуляр \(K P\) на плоскость \(A B C\)(Рис. 6). Так как призма прямая, то точка \(P\), будет лежать на ребре \(A B\). В треугольнике \(A B C\) проведём высоту \(A H\), и из точки \(P\) опустим перпендикуляр \(P Q\) на прямую \(A H\). Применив формулу (2) для нахождения расстояния \(d\) между скрещивающимися прямыми \(A K\) и \(B C\), получим

\[ d=\cfrac{A H \cdot K P}{\sqrt{A K^{2}-P Q^{2}}} \]

В предыдущем решении этой задачи было установлено, что \(A H=3\).Также имеем \(B H=A B\) . \(\cos \angle A B C=4\).

Заметим, что \(K P=B B_{1}=6, B P=B_{1} K=2, A P=A_{1} K=3\).Из прямоу гольного треугольника \(A A_{1 K} \angle A A_{1 K}=90^{\circ}\) ) по теореме Пифагора найдём

Из подобия прямоугольных треугольников AQP и AHB следует, что

\[ \cfrac{P Q}{B H}=\cfrac{A P}{P B}=\cfrac{3}{5} . \]

Отсюда

\[ P Q=\cfrac{3}{5} B H=\cfrac{12}{5} . \]

Осталось вычислить

\[ d=\cfrac{3 \cdot 6}{\sqrt{45-\cfrac{144}{25}}}=\cfrac{30 \sqrt{109}}{109} \]

Ответ: \(\cfrac{30 \sqrt{109}}{109}\).

Задача 4. В треугольной пирамиде \(S A B C\)(с вершиной \(S\) ) все боковые рёбра имеют длину \(\cfrac{25 \sqrt{17}}{8}\), а в основании лежит треугольник \(A B C\) со сторонами \(A B=13\), \(B C=15, A C=14\).Найдите расстояние между прямой \(A C\) и медианой \(B P\) грани \(S B C\).

Решение. Из точки \(P\) опустим перпендикуляр \(P P^{\prime}\) на плоскость \(A B C\).Затем в треугольнике \(A B C\) проведём высоту \(B B^{\prime}\), и из точки \(P^{\prime}\) опустим перпендикуляр \(P^{\prime} Q\) на \(B B^{\prime}\)(Рис. 7а).

а)б)

Рис. 7

Применим формулу (2) для нахождения расстояния \(d\) между скрещивающимися прямыми \(A C\) и \(B P\), получим

\[ d=\cfrac{B B^{\prime} \cdot P P^{\prime}}{\sqrt{B P^{2}-P^{\prime} Q^{2}}} \]

Используя формулу Герона находим площадь треугольника \(A B C\) :

\[ S_{\triangle A B C}=\sqrt{p(p-A B)(p-B C)(p-A B)}=\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 7}=84 \]

здесь \(p=\cfrac{A B+B C+A C}{2}=21\)– полупериметр треугольника \(A B C\). Теперь без труда находим высоту \(B B^{\prime}\) треугольника \(A B C\)

\[ B B^{\prime}=\cfrac{2 S_{\triangle A B C}}{A C}=\cfrac{2 \cdot 84}{14}=12 . \]

\(P P^{\prime}\)-средняя линия прямоугольного треугольника \(S O C \angle S O C=90^{\circ}\) ), где \(S O-\) высота пирамиды \(S A B C\), поэтому

\[ P P^{\prime}=\cfrac{1}{2} S O=\cfrac{1}{2} \sqrt{S C^{2}-C O^{2}} \]

Так как \(S A=S B=S C=\cfrac{25 \sqrt{17}}{8}\), то точка \(O\)– центр описанной около треугольника \(A B C\) окружности, а \(C O\)– радиус этой окружности, поэтому

\[ C O=\cfrac{A B \cdot B C \cdot A C}{4 S_{\triangle A B C}}=\cfrac{13 \cdot 15 \cdot 14}{4 \cdot 84}=\cfrac{65}{8} . \]

Итак,

\[ P P^{\prime}=\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{10625}{64}-\cfrac{4225}{64}}=\cfrac{1}{2} \sqrt{100}=5 . \]

\(B P\)– медиана треугольника \(S B C\), следовательно, \[ B P=\cfrac{1}{2} \sqrt{2\left(S B^{2}+B C^{2}\right)-S C^{2}}=\cfrac{1}{2} \sqrt{2\left(\cfrac{10625}{64}+225\right)-\cfrac{10625}{64}}=\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{11075}{64}}=\cfrac{5 \sqrt{443}}{16} . \]

Из точек \(O\) и \(P^{\prime}\) опустим на сторону \(A C\) соответственно, перпендикуляры \(O K\) и

\(P^{\prime} R\)(Рис. 7б). Четырёхугольник \(Q P^{\prime} R B_{1}\)– прямоугольник, значит,

\[ P^{\prime} Q=R B_{1}=\left|C B_{1}-C R\right| . \]

Из прямоугольного треугольника \(B B_{1 C}\left(\angle B B_{1} C=90^{\circ}\right)\) по теореме Пифагора находим

\[ C B_{1}=\sqrt{B C^{2}-B B_{1}^{2}}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9 \]

Поскольку \(O K\)– серединный перпендикуляр, и \(P^{\prime} R\)– средняя линия треугольника \(O K C\), то имеем

\[ C R=\cfrac{1}{2} C K=\cfrac{1}{4} A C=\cfrac{7}{2} \]

Получаем

\[ P^{\prime} Q=\left|9-\cfrac{7}{2}\right|=\cfrac{11}{2} . \]

Осталось вычислить

\[ d=\cfrac{B B^{\prime} \cdot P P^{\prime}}{\sqrt{B P^{2}-P^{\prime} Q^{2}}}=\cfrac{12 \cdot 5}{\sqrt{\cfrac{11075}{256}-\cfrac{121}{4}}}=\cfrac{960}{\sqrt{3331}}=\cfrac{960 \sqrt{3331}}{3331} \]

Ответ: \(\cfrac{960 \sqrt{3331}}{3331}\).

Итак, нами получены новые формулы для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми (по меньшей мере, аналогов в других источниках пока обнаружить не удалось). На основе полученных результатов разработаны два алгоритма, применение которых продемонстрировано на задачах. Эффективность наших методов предлагаем оценить читателям. Они могут решить рассмотренные в статье задачи классическими способами, и сравнить свои решения с приведёнными здесь.

Задачи для самостоятельного решения

1. Из центра \(O\) круга, описанного около прямоугольного треугольника с острым углом \(30^{\circ}\),восстановлен к его плоскости перпендикуляр \(O D\),длина которого равна

66. Из точки \(D\) на больший катет опущен перпендикуляр \(D K\), равный 10. Найдите расстояние между прямой \(D K\) и прямой, содержащей гипотенузу данного треугольника.

2. В четырёхугольной пирамиде \(S A B C D\) в основании лежит прямоугольник \(A B C D\). Все боковые рёбра равны 13. Найти расстояние между прямыми \(S A\) и \(B D\), если \(A D=6, A B=8\).

3. На рёбрах \(A B, C C_{1}\) и \(C_{1} D_{1}\) куба \(A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) соответственно точками \(P, Q\) и \(R\) отмечены середины. Считая ребро куба, равным \(a\),найдите расстояние между прямыми \(B_{1} D_{1}\) и:

а) \(D P\); б) \(D Q\); в) \(D R\).

4. В прямоугольном параллелепипеде \(A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} A B=A A_{1}=a, A D=2\).На рёбрах \(C C_{1}\) и \(A D\) взяты соответственно точки \(P\) и \(Q\) такие, что \(C R: C C_{1}=A Q: A D\) \(=1: 3\),на рёбрах \(A B\) и \(A_{1} B_{1}\) соответственно точками \(R\) и \(V\) отмечены середины. Найдите расстояние между прямыми \(B_{1} C_{1}\) и:

а) \(P Q\); б) \(P R\); в) \(P V\).

5. В основании пирамиды \(S A B C D\) лежит квадрат \(A B C D\) со стороной, равной \(a\), боковое ребро \(S B\) перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. На рёбрах \(S D\) и \(A D\) соответственно точками \(K\) и \(L\) отмечены середины. Найдите расстояние между прямыми \(K L\) и:

а) \(B D\); б) \(A C\); в) \(C D\).

ЛИТЕРАТУРА

Шарыгин, И. Ф. (1999). Геометрия. X – XI кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. – М.: Дрофа, 208 c.: ил.

Егерев, В. К., В. В. Зайцев & Б. А. Кордемский (2013). Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЬI. Под. ред. М. И. Сканави – 6-е изд. М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство «ОНИКС-ЛИТ», 608 с.: ил.

Гроздев, С., Ц. Байчева, П. Пиперков, К. Кирилова-Лупанова (2008). Зрелостен изпит. Примерни теми с решения. Математика. В. Търново: Абагар (ISBN 978-954-427-782-6), 108 с.

Смирнов, В. А. (2009). Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ. Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. М.: МЦНМО, 272 с., (Готовимся к ЕГЭ).

Родионов, Д. Е., Е. М. Родионов (2004). Стереометрия в задачах. Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 232 с.

Литвиненко, В. Н., Г. К. Безрукова (2005). Задачи по стереометрии(\(X-X I\) классы). М.: Школьная Пресса, 92, [4] c. / Серия: Готовимся к ЕГЭ («Библиотека журнала «Математика в школе»; Вып. 34.)

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE (ISBN 978-954-92139-1-1), 295 с.

REFERENCES

Sharygin, I. F. (1999). Geometriya. X – XI kl.: Ucheb. dlya obshcheobrazovat. ucheb. zavedeniy. – M.: Drofa, 208 c.: il.

YEgerev, V. K., V. V. Zaytsev, B. A. Kordemskiy (2013). Sbornik zadach po matematike dlya postupayushchikh vo VTUZ’I . Pod. red. M. I. Skanavi – 6-ye izd. M.: OOO «Izdatel’stvo «Mir i Obrazovaniye»: OOO «Izdatel’stvo «ONIKS-LIT», 608 s.: il.

Grozdev, S., Ts. Baycheva, P. Piperkov, K. Kirilova-Lupanova (2008). Zrelosten izpit. Primerni temi s resheniya. Matematika. V. Tarnovo: Abagar (ISBN 978-954-427782-6), 108 s.

Smirnov, V. A. (2009). Geometriya. Stereometriya: Posobiye dlya podgotovki k YEGE. Pod. red. A. L. Semyonova, I. V. Yashchenko. M.: MTSNMO, 272 s., (Gotovimsya k YEGE).

Rodionov, D. YE., YE. M. Rodionov (2004). Stereometriya v zadachakh. Posobiye dlya postupayushchikh v vuzy. M.: Oriyentir, 232 s.

Litvinenko, V. N., G. K. Bezrukova (2005). Zadachi po stereometrii (X – XI klassy). M.: Shkol’naya Pressa, 92, [4] c. / Seriya: Gotovimsya k YEGE («Biblioteka zhurnala «Matematika v shkole»; Vyp. 34.)

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE (ISBN 978-954-92139-1-1), 295 s.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.