Математика и Информатика

https://doi.org/10.53656/math2023-1-7-tot

2023/1, стр. 73 - 88

КЪМ ВЪПРОСА ЗА ПУБЛИЧНО ДОСТЪПНИ НАЦИОНАЛНИ БАЗИ ОТ ДАННИ, СЪДЪРЖАЩИ ОПИСАНИЯ НА УЯЗВИМОСТИ ЗА ОПЕРАЦИОННИ СИСТЕМИ ЗА МОБИЛНИ УСТРОЙСТВА

Стоян Мечев
OrcID: 0000-0002-0809-8538
WoSID: AAB-4270-2021
E-mail: st.mechev@naval-acad.bg
Nikola Vaptsarov Naval Academy
73 Vasil Drumev Str.
Varna Bulgaria

Резюме: В статията се цели да се изследват публично-достъпни бази от данни с уязвимости и техните системи за оценка на тежестта на щетите, които може да нанесе зловреден софтуер, предназначен за мобилни устройства, работещи под операционната система Android или iOS. Втората цел на изследването е да се оценят възможностите за откриване на уязвимости, свързани с конкретна версия на мобилна операционна система. Използвани методи: сравнителен анализ и обобщение. Въз основа на резултатите от прилагането на сравнителния анализ се установява кои от националните бази данни имат по-добри възможности за филтриране на данните и получаване на адекватни резултати при търсене на уязвимости за мобилни устройства.

Ключови думи: Android; iOS; база от данни с уязвимости

1. Въведение

В един съвременен мобилен телефон има възможност за плащания онлайн, двуфакторно удостоверяване при парични преводи, получаване и изпращане на електронна поща, проследяване на местоположението на устройството, записване на видео- и звукови файлове, заснемане на фотографии. Тази голяма функционалност предоставя възможност за много злоупотреби.

По данни на сайта CVE details за последните три календарни години са открити 2329 уязвимости за различни версии на операционната система Android, а за 2023 година вече има открити 27 уязвимости (CVE Details 2023a). Уязвимостите за различни версии на iOS, открити за същия период, са 621 (CVE Details 2023b).

Ето защо точното идентифициране на уязвимостите в мобилните операционни системи (МОС) и тяхното откриване в База от данни с уязвимости (БДУ) е от голямо значение за практиката.

Настоящото изследване може да бъде от полза за специалисти по киберсигурност, разработчици на софтуер за Android и iOS, изследователи в областта на сигурността на мобилни операционни системи и обикновени потребители на мобилни устройства.

2. Актуално състояние на проблема

При проучването на публикациите по темата са изследвани научни статии и доклади, индексирани в Scopus и Web of Science за периода 2017 – 2022 година съгласно препоръките на Jennex (Jennex 2015). Използваните ключови думи са: Android, iOS, vulnerability, vulnerabilities, database. Определянето на изследвания период е базирано на пазарните дялове на различните версии на МОС и е детайлно обосновано в раздел 3 – „Ограничения на изследването“.

За първи път през изследвания период NVD се почва от Umasankar като източник на информация за уязвимости за Android (Umasankar 2017).

Tiwari и Velayutham посочват NVD и CVE като основни източници на информация за уязвимости за Android. Разработват приложение, което автоматично да извлича описания на уязвимости от NVD, и споменават за трудности при извличане на детайлната информация относно конкретни уязвимости (Tiwari, Velayutham 2019).

Уязвимостите на Android за периода 2008 – 2017 г. са задълбочено изследвани и класифицирани чрез проучване на CVE (CVE 2022), NVD (NVD 2022) и официалните бюлетини за сигурност на Google. В изследването се споменава, че има уязвимости в огледалната БДУ на NVD – CVE details, които са неправилно класифицирани (Mazuera-Rozo et al. 2019). Подобна констатация е едно от основанията, за да се задълбочи изследването на възможностите на БДУ за коректно извличане на информация относно уязвимости за МОС.

Националните БДУ, NVD, CNVD, CNNVD, JVNDB, наред с други публично достъпни БДУ, са изследвани относно техните възможности за предоставяне на конкретна информация за уязвимости за IoT устройства (Rytel et al. 2020).

И последно, NVD, CNVD, CNNVD са изследвани относно информацията, която предоставят (Forain et al. 2022), но не се разглеждат възможностите за филтриране и извличане на информация за група уязвимости по определен признак, например версия на МОС.

Прави впечатление фактът, че за изследвания период не се откриват публикации по темата на български език или от регион България, индексирани в Scopus или Web of Science.

Следователно може да се твърди, че по посочените БДУ е направен опит за комплексно изследване, но в крайна сметка – с пропуски по отношение на филтрирането на данни за уязвимости за МОС. И това е основанието за настоящото изследване.

3. Ограничения на изследването

Изследвани Бази данни с уязвимости

Дори и беглият поглед върху разнообразието на БДУ за МОС подсказва, че те са десетки или стотици и очевидно се различават по своята достъпност, ефективност и степен на пълнота.

В изследването са включени националните БДУ на държавите с най-голям National Cyber Power Index (NCPI), или на български – Национален индекс за киберсила, за 2020 г. според доклада на Belfer Center for Science and International Affairs Harvard Kennedy School (Voo et al. 2020). Също така е проучено наличието на БДУ на ниво Европейски съюз и на национално ниво, за България.

Изследвани мобилни операционни системи

Изследването на всички МОС е нецелесъобразно, тъй като по данни на Statcounter GlobalStats (STATCOUNTER 2023a), в края на 2022 г. пазарните дялове на ОС Android и iOS са били съответно 72,37% и 26,98%, или общо 99,35% от мобилните устройства на пазара са използвали една от двете операционни системи. Пазарният дял на всички останали МОС е под 1% и те би следвало да се изключат от изследването, което в случая е направено.

Изследвани версии на ОС Android

Като се отчете хронологията на внедряване на различните версии на ОС Android (Raphael 2022) и пазарните им дялове в края на 2022 г. (фиг. 1), може да се направи заключението, че изследването на уязвимости за версии, по-ранни от Android 5.0 Lollipop, всъщност не са продуктивни за конкретизираната цел на изследването, тъй като общият пазарен дял на всички по-ранни версии е под 2%. Изследвани версии на iOS

Фигура 1. Пазарни дялове на ОС Android в края на 2022 г. (STATCOUNTER 2023b) Забележка. Данните са групирани по основни версии на Android OS

След прилагане на същите ограничения, а именно хронологията на внедряване на iOS (Moreau 2021) и пазарния дял (фиг. 2), може да се направи заключението, че не е целесъобразно да се изследват версии на iOS, по-ранни от 12.0.

Фигура 2. Пазарни дялове на iOS в края на 2022 г.(STATCOUNTER 2023c) Забележка. Данните са групирани по основни версии на iOS

Критерии за оценка

Те са свързани с възможностите за търсене на уязвимости за конкретна версия на МОС.

Критерий 1. Възможности на филтъра.

Критерий 2. Релевантност на откритата информация.

Изложение

Въз основа на резултатите от извършеното проучване по така зададените критерии и ограничения на разкритите информационни ресурси е съставена таблица 1.

Таблица 1. БДУ, подредени по NCPI

1234567САЩ1NVD3CVECVSS182974КНР2CNNVD1CNNVDСобствена и CVSS194735КНР2CNVD4CNVDСобствена и CVSS178134Русия4БДУБИ5BDUCVSS41919Япония9JVN iPedia2JVNDBCVSS146748Япония9JVN0JVN,JVNVUCVSSn/a

Забележки:

Обозначения: 1 – Държава; 2 – NCPI; 3 – Име на БДУ; 4 – Оценка на възможностите за търсене на уязвимости; 5 – Конвенция за именуване на уязвимостите; 6 – Методика за оценка на уязвимостите; 7 – Общ брой записи към датата на проучването.

– Таблицата е съставена по данни, представени по-надолу в изложението.

– В хода на изследването не бяха открити публично достъпни БДУ за МОС на Великобритания (класирана на 3-то място от NCPI), Нидерландия (5-о място), Франция (6-о място), Германия (7-о място), Канада (8-о място) и Австралия (10-о място). БДУ на Европейския съюз и България не са включени в класацията на NCPI.

4. Бази данни с уязвимости (БДУ)

База данни на САЩ

Официалното название на базата е National Vulnerability Database (NVD) (NVD, 2022), което може да се преведе като „Национална база данни за уязвимости“. NVD се поддържа от Националния институт за стандарти и технологии (NIST) към Министерството на търговията на САЩ и работи в тясна връзка с програмата CVE (Common Vulnerabilities and Exposures). Базата данни CVE е изключена от таблицата с базите данни, тъй като, макар и финансирана от правителството на САЩ, се управлява от корпорация MITRE, а не от държавна структура. Освен това е по-скоро глобална, отколкото национална база данни.

NVD има за задача да анализира всяка уязвимост, след като ѝ бъде присвоен уникален идентификатор (CVE ID), и да я класифицира по следните критерии: CWE, CVSS v2.0, CVSS v3.1 и CPE (NVD 2022).

CVE ID е уникален буквено-цифров идентификатор, зададен от програмата CVE. Всеки идентификатор препраща към конкретна уязвимост. CVE ID позволява на множество страни да обсъждат, споделят и съпоставят информация за конкретна уязвимост, знаейки, че се отнасят за едно и също нещо (Mitre 2022).

В основата си Common Weakness Enumeration (CWE) е списък с различни видове софтуерни и хардуерни слабости, като в списъка са включени конкретни и кратки дефиниции за всеки често срещан тип слабост (Mitre 2022).

Общата система за оценяване на уязвимостта (Common Vulnerability Scoring System, CVSS) предоставя начин за представяне на основните характеристики на дадена уязвимост и създаване на числена оценка, отразяваща нейната тежест. След това численият резултат може да бъде преведен в качествено представяне (като ниско, средно, високо и критично), за да помогне на организациите да оценят правилно и да приоритизират процесите си за управление на уязвимости (FIRST 2022). Действащият стандарт за оценка на CVSS e CVSS 3.1. При него се определят видовете оценки на уязвимости (таблица 2).

Таблица 2. Скала за оценка на тежестта на уязвимост CVSS 3.1 (FIRST, 2022)

Рейтинг (Rating)CVSS резултат (Score)Без рейтинг (None)0.0Нисък (Low)0.1 – 3.9Среден (Medium)4.0 – 6.9Висок (High)7.0 – 8.9Критичен (Critical)9.0 – 10.0

В практиката все още се използва и CVSS 2.0, с което могат да се обяснят незадоволителната популяризация на новата система от критерии и консерватизмът на част от администраторите, които я използват. От друга страна, ако съдим по прилагането на CVSS 2.0 и CVSS 3.1, то следва да направим заключението, че това са добре работещи инструменти, към които правят референции националните бази и на други държави.

Бази данни на КНР

В Китай се поддържат две национални бази от данни с уязвимости – CNNVD и CNVD.

Първата база данни е Китайската национална база данни за уязвимости на информационната сигурност (China National Vulnerability Database of Information Security – CNNVD). Достъпна е само на китайски език. Анализ на уязвимостите и оценка на риска се прави от Китайския център за оценка на информационната сигурност (China Information Security Evaluation Center – CNITSEC) (CNITSEC 2022). В описанията на уязвимостите се използват референции към CVE и CVSS.

Скалата за оценка на уязвимостите на CNNVD е подобна на CVSS 3.1 (таблица 3).

Таблица 3. Таблица за оценка на тежестта на уязвимост (CNNVD 2022)

Ниво на уязвимостОценкаСуперкритично (super critical)9.0 – 10Висок риск (high risk)7.0 – 8.9Среден риск (medium risk)4.0 – 6.9Нисък риск (low risk)0 – 3.9

Забележка. Местата на колоните и градацията на оценките са разменени с цел по-добро съпоставяне с БДУ на САЩ.

Втората БДУ е Китайската национална база данни с уязвимости (China National Vulnerability Database – CNVD). CNVD се поддържа от Националния координационен център за работа с компютърни мрежи в извънредни ситуации (CNCERT). В създаването на CNVD участват национални държавни ведомства, важни потребители на информационни системи, оператори, големи доставчици на средства за сигурност, доставчици на софтуерно осигуряване, научноизследователски институции и публични потребители на интернет (CNVD 2022). В CNVD се публикуват както конкретни уязвимости, така и седмични и месечни бюлетини с обобщена информация. Особеност на китайските бази данни с уязвимости е, че използват цветна кодировка за степените на опасност.

База данни на РФ

Официалното название на базата е Банк данных угроз безопасности информации (БДУБИ), което може да се преведе като „Банка от данни със заплахи за информационната сигурност“. Поддържа се от Государственный научно-исследовательский испытательный институт проблем технической защиты информации Федеральной службы по техническому и экспортному контролю, или Държавен научноизследователски изпитателен институт по проблемите на техническата защита на информацията към Федералната служба по технически и експортен контрол.

БДУБИ съдържа информация за основните заплахи и уязвимости за информационната сигурност, предимно специфични за държавните информационни системи и автоматизираните системи за управление на производствените и технологичните процеси на критични съоръжения (БДУБИ 2022).

На този етап БДУБИ все още прави референции към NVD и в една или друга степен може да се смята за неин аналог.

Бази данни с уязвимости на Япония

В Япония се поддържат две БДУ – JVN и JVN iPedia.

Официалното англоезично название на първата БДУ е Japan Vulnerability Notes (JVN) (JVN 2022), което може да се преведе като „Японски записи за уязвимости“. Това е портален сайт за информация за уязвимости, предназначен да помогне за гарантиране на интернет сигурността чрез предоставяне на информация за уязвимости и техните решения за софтуерни продукти, използвани в Япония. JVN се управлява съвместно от Координационния център JPCERT и Агенцията за насърчаване на информационните технологии (IPA).

Официалното англоезично название на втората БДУ е JVN iPedia. По същество JVN iPedia се разглежда като разширение на JVN. В допълнение към информацията за противодействие на уязвимостите, публикувана на JVN, това е база данни с информация за противодействие на уязвимости, която се публикува ежедневно както в Япония, така и в чужбина (JVN iPedia 2022). Особеност на JVN iPedia е, че макар самият сайт да има интерфейс на английски език, само малка част от описанията на уязвимостите са преведени от японски.

Официално и двете японски БДУ са съвместими с глобалната БДУ CVE, препратките към която са разположени на заглавните им страници.

5. Източници, изключени от изследването

В хода на изследването беше установено, че във Великобритания, Нидерландия, Франция, Германия, Канада и Австралия, а така също и в Европейския съюз функционират организации, които предоставят информация за уязвимости на МОС. Но информацията, предоставяна от съответните организации, или не е публично достъпна, или не е реализирана като БДУ. По тази причина тези източници не са предмет на настоящото изследване (UK NCSC 2022), (NL NCSC 2022), (CERT-FR 2022), (BDI 2022), (CCTX 2022), (AUSCERT 2022), (CERT-EU 2022).

В България функционира Националната лаборатория по компютърна вирусология (НЛКВ) към БАН (БАН 2022). Тя не поддържа собствена база от данни за злонамерен софтуер и злонамерени атаки (Polimirova 2022).

Другата българска организация, свързана с проблемите на киберсигурността, е Националният екип за реагиране при инциденти в компютърната сигурност, или CERT България (CERT Bulgaria 2022). На сайта на CERT България се публикува информация за уязвимости, която е на английски език и няма никаква възможност за търсене и филтриране на информацията. Предоставяната информация се отнася само за 2022 г. и не е реализирана като БДУ. Ето защо и двете български структури са неподходящи източници на информация по приетите ограничения за целите на изследването.

Обсъждане и резултати

Всяка от анализираните БДУ има вградени възможности за търсене на уязвимости със задаване на допълнителни условия за филтриране на резултатите. Създава се впечатлението, че откриването на уязвимости за конкретна версия на МОС е лесна за решаване задача. Опитът показва, че това всъщност не е така. Оказва се, че в резултатите от търсенето освен уязвимости, свързани с конкретна версия на МОС, се появява и информация, която в една или друга степен не е релевантна спрямо зададените условия.

Използвани са вградените възможности за търсене и филтриране на всяка една от анализираните БДУ. Направени са опити да се открият уязвимости за конкретни версии на Android и iOS, отговарящи на ограниченията на изследването.

Обследването на всяка БДУ преминава през следните стъпки, отразени на фигура 3.

Фигура 3. Блок-схема на експеримента

В резултат на извършеното обследване на информационните ресурси са очертани следните възможности за филтриране на информацията при изследваните БДУ. Те са представени в таблица 4.

Таблица 4. Възможности за филтриране на информацията в БДУ

Възможности на филтъраОцен-каБДУ с такивавъзможностиНямавъзможностзатърсене.Информациятае подреденав раздели,похронологичен ред на публикациите.0JVNТърсенепоидентификаторнауязвимост(CNVDилиCVE),нивонариск,периоднапубликуваненауязвимосттаипериоднаобновлениенаинформациятазауязвимостта.Нямавъзможностзатърсенепооперационна система или производител на хардуер.1CNNVD
Търсенепоключова дума,разработчик (производител),продукт, датанапубликуване, дата напоследно обновление,CVSSv3, CVSSv2 иCWE.2JVN iPediaТърсенепоключовадума,CVEномернауязвимост,продукт,датанапубликуване,датанапоследнообновление,CVSSv3,CVSSv2,CWE,CPE.CPEпосъществопозволявазадаваненаразработчикнапродукта,наименование и версия на продукта.3NVDТърсенепоключовадума,CNDVномернауязвимост,датанапубликуване,наличиенареферентнаинформация,разработчик(производител), продукт, версияна продукта, причиназа уязвимостта,заплахи,причинениотуязвимостта,тежестназаплахата,разположениена експлойта спрямо атакуваното устройство.4CNVDТърсене по ключова дума, производител на програмното осигуряване,типнапрограмнотоосигуряване,вкоетоеоткритауязвимостта,наименованиенапрограмнотоосигуряване,апаратнаплатформа,версиянапрограмнотоосигуряване,няколкоподверсиинаосновнатаверсиянаМОС,статуснауязвимостта.Допълнителнипараметривремевипериод, вкойтое установенауязвимостта,година надобавяненауязвимостта,класнауязвимостта,нивонаопасност,базовCVSSвектор,идентификаторнатипанагрешкатапоCWE,идентификаторнагрешкатавдругаБДУ,наличиенаексплойт,способзаексплоатираненауязвимостта,способзаотстраняваненауязвимостта,операционнасистема.5БДУБИ

Забележка

1. Присвоените стойности за оценка са въз основа на експертния опит на автора.

2. Експлойтът представлява код, който се възползва от уязвимост на софтуера или пропуск в сигурността (TREND MICRO, 2022).

3. Всяка неанглоезична БДУ при автоматичен превод на английски език загубва от своята функционалност.

4. На JVN се присъжда оценка 0, защото няма възможност за търсене.

Конкретните резултати от обследването очертават следните особености на анализираните БДУ.

CNNVD предоставя възможности за търсене само по идентификатор на уязвимост (CNNVD или CVE), което не позволява да се търсят група уязвимости, свързани с конкретна версия на МОС.

При JVN iPedia и NVD се наблюдават фалшиви позитивни резултати при търсене по ключова дума (False-positive result). Например тази слабост се проследява при Android 5.0 в случая: https://web.archive.org/web/20210620220718/https://jvndb.jvn.jp/en/contents/2020/JVNDB-2020-000081.html

Частен случай на посочения недостатък се установява при NVD. При него при задаване на условието „точно съвпадение“ по отношение на ключовата дума тя се открива дори когато е част от по-дълъг текстов низ. Пример: при търсене на iOS 15.0 се откриват уязвимости, свързани с iOS 15.0.1, iOS 15.0.2 и т.н.

NVD дава много добри резултати за откриване на конкретна версия за Android с помощта на CPE. За съжаление, CPE не може да се използва при търсене на уязвимости за iOS.

Това следва да се счита за значим недостатък. По данни на Apple (APPLE 2023) iOS 16 се поддържа от 23 различни модела на iPhone, най-старият от които е от 2016 година (Jones 2023). Това може да доведе до подвеждащи резултати относно уязвимостите за конкретно устройство. Например при търсене по CPE за модел на iPhone от 2019 г. ще бъдат открити уязвимости за устройството, а не уязвимости за iOS 16, която е реализирана през 2022 г.

Филтърът на CNVD дава възможност за избор на разработчик, но при избиране на фирмите, разработващи Android и Apple iOS, се наблюдават повторения на стойностите, макар че се избират от падащ списък. Например Google може да се открие три пъти, което подвежда потребителя.

Въпреки че БДУБИ има най-малък брой записи (табл. 1), то от изложеното в таблица 4 става ясно, че тя има значителни предимства по отношение на филтрирането пред останалите БДУ, с които се извършва сравнението.

Препоръки

Да се разширят възможностите на NVD за филтриране на данни, като се добави възможност за филтриране по операционна система.

7. Изводи

1. Установяват се две основни тенденции относно предоставянето на информация за уязвимости за МОС: от една страна, поддръжка на публична база, а от друга – публично-частни партньорства без предоставяне на публична информация за уязвимостите.

2. Търсенето на уязвимости по МОС понякога дава нерелевантни резултати. Установяването на тяхната честота може да бъде предмет на отделно изследване.

3. Към 2022 г. наложеният стандарт за оценка на тежестта на дадена уязвимост е CVSS (табл. 1).

4. Нито една база не позволява извличане на реални статистически данни за брой на уязвимости за МОС.

Благодарности и финансиране

Това изследване е подкрепено от Министерство на образованието и науката по Националната програма "Млади учени и постдокторанти-2".

Acknowledgments & Funding

This research is supported by the Bulgarian Ministry of Education and Science under the National Program "Young Scientists and Postdoctoral Students - 2".

REFERENCES

APPLE, 2023. iPhone models compatible with iOS 16 – Apple Support. [online]. 30 January 2023. [Accessed 11 February 2023]. Available from: https://web.archive.org/web/20230130120403/https://support.apple. com/guide/iphone/supported-models-iphe3fa5df43/ios

AUSCERT, 2022. Australia‘s LEADING cyber emergency response team. AUSCERT. [Online] 2022-09-19. [Cited: 2022-09-19]. Available from: https://web.archive.org/web/20220919000852/https://auscert.org.au/.

BDI, 2022. UPKRITIS. Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik. [Online] 2022-08-11. [Cited: 2022-09-25]. Available from: https:// web.archive.org/web/20220811085322/https://www.bsi.bund. de/DE/Themen/KRITIS-und-regulierte-Unternehmen/KritischeInfrastrukturen/UP-KRITIS/up-kritis_node.html.

BDUBI, 2022. Bank dannykh ugroz bezopasnosti informatsii. Bank dannykh ugroz bezopasnosti informatsii. [Online] 2022-10-06. [Cited: 2022-1006]. Available from: https://web.archive.org/web/20221006232715/ https://bdu.fstec.ru/.

CCTX, 2022. ABOUT CCTX. CCTX. [Online] 2022-03-27. [Cited: 202209-20]. Available from: https://web.archive.org/web/20220327174736/ https://cctx.ca/about-cctx/.

CERT BULGARIA, 2022. CERT BULGARIA. BULGARIAN COMPUTER SECURITY INCIDENTS RESPONSE TEAM. [Online] 2022-0726. [Cited: 2022-08-25]. Available from: https://web.archive.org/ web/20220726101323/https://www.govcert.bg/BG/Pages/default.aspx.

CERT-EU, 2022. Publications. CERT-EU. [Online] 2022-08-15. [Cited: 2022-09-01]. Available from: https://web.archive.org/ web/20220815090149/https://cert.europa.eu/publications.

CERT-FR, 2022. CERT-FR. CERT-FR. [Online] 2022-10-02. [Cited: 202210-02]. Available from: https://web.archive.org/web/20221002202558/ https://www.cert.ssi.gouv.fr/.

CNITSEC, 2022. China Information Security Evaluation Center. China Information Security Evaluation Center. [Online] 2022-05-01. [Cited: 202208-10]. Available from: https://web.archive.org/web/20220501130155/ http://www.cnnvd.org.cn/web/xxk/gyCnnvdJs.tag.

CNNVD, 2022. CNNVD Vulnerability Classification Specification. CNNVD. [Online] 2022-05-01. [Cited: 22-08-10]. Available from: https://web.archive.org/web/20220501130153/http://www.cnnvd.org. cn/web/wz/bzxqById.tag?id=2&mkid=2.

CNVD, 2022. Introduction to CNVD. CNVD. [Online] 2022-10-14. [Cited: 14 10 2022-10-14]. Available from: https://www.cnvd.org.cn/webinfo/ list?type=7.

CURRY, D., 2022. Android version market share. Business of Apps. [Online] 2022-09-16. [Cited: 2022-09-25]. Available from: https://web. archive.org/web/20220916231934/https://www.businessofapps.com/ data/android-statistics/.

CVE, 2022. Glossary. CVE. [Online] 2022-10-01. [Cited: 2022-10-10]. Available from: https://web.archive.org/web/20221001032257/https://www.cve.org/ResourcesSupport/Glossary?activeTerm=glossaryCVEID.

CVE DETAILS, 2023a. Google Android : CVE security vulnerabilities, versions and detailed reports. [online]. 14 February 2023. [Accessed 15 February 2023]. Available from: https://web.archive.org/ web/20230215063933/https://www.cvedetails.com/product/19997/ Google-Android.html

CVE DETAILS, 2023b. Apple Iphone Os : CVE security vulnerabilities, versions and detailed reports. [online]. 15 February 2023. [Accessed 15 February 2023]. Available from: https://web.archive.org/ web/20230215065258/https://www.cvedetails.com/product/15556/ Apple-Iphone-Os.html?vendor_id=49

FIRST, 2022. Common Vulnerability Scoring System SIG. Forum of Incident Response and Security Teams. [Online] 2022-08-31. [Cited: 2022-0912]. Available from: https://web.archive.org/web/20220831232945/ https://www.first.org/cvss/.

FIRST, 2022. Common Vulnerability Scoring System v3.1: Specification Document. Forum of Incident Response and Security Teams. [Online] 2022-07-19. [Cited: 2022-08-21]. Available from: https://web.archive.org/ web/20220719233119/https://www.first.org/cvss/v3.1/specification-document.

FORAIN, I., ALBUQUERQUE, R., JÚNIOR, R. T., 2022. Towards System Security: What a Comparison of National Vulnerability Databases Reveals. Madrid. ISBN: 978-989-33-3436-2.

JENNEX, Murray E., 2015. Literature reviews and the review process: An editor-in-chiefs perspective. Communications of the Association for Information Systems, vol. 36, 39–146. DOI 10.17705/1CAIS.03608.

JONES, Matthew, 2023. iPhone History: Every Generation in Timeline Order 2007-2023. [online]. 12 January 2023. [Accessed 11 February 2023]. Available from: https://web.archive.org/web/20230112023356/ https://historycooperative.org/the-history-of-the-iphone/

JVN iPedia, 2022. JVN iPedia. JVN iPedia. [Online] 2022-1001 [Cited: 2022-10-01]. Available from: https://web.archive.org/ web/20221001042457/https://jvndb.jvn.jp/en/.

JVN, 2022. Japan Vulnerability Notes. Japan Vulnerability Notes. [Online] 2022-09-03. [Cited: 2022-09-20]. Available from: https://web.archive. org/web/20220903085032/http://jvn.jp/.

MAZUERA-ROZO, A., et al., 2019. The Android OS stack and its vulnerabilities: an empirical study. Springer Science+Business Media, LLC.

MITRE, 2022. Common Weakness Enumeration. Common Weakness Enumeration. [Online] 2022-09-14. [Cited: 2022-09-20]. Available from: https://web.archive.org/web/20220914235250/https://cwe.mitre. org/data/index.html.

MOREAU, S., 2021. The evolution of iOS. Computerworld. [Online] 2021-06-18. [Cited: 2022-09-16.]. Available from: https://web.archive.org/web/20220412035433/https://www.computerworld.com/ article/2975868/ the-evolution-of-ios.html#.

NL NCSC, 2022. Become an NCSC partner and receive relevant information. NATIONAAL CYBER SECURITY CENTRUM. [Online] 2022-04-21. [Cited: 2022-09-07]. Available from: https://web.archive. org/web/20220421172916/https://english.ncsc.nl/get-to-work/becomea-partner.

NLCV, 2022. About. National Laboratory of Computer Virology of BAS. [Online] 2022-09-30. [Cited: 2022-10-02]. Available from: https://web.archive.org/web/20220930110714/https://www.nlcv.bas.bg/bg/aboutUs-104.

NVD, 2022. CVEs and the NVD Process. NATIONAL VULNERABILITY DATABASE. [Online] 2022-05-14. [Cited: 2022-09-01]. Available from: https://web.archive.org/web/20220514082423/https://nvd.nist.gov/ general/cve-process.

NVD, 2022. CVE FAQs. National Vulnerability Database. [Online] 202210-18. [Cited: 2022-10-18]. Available from: https://web.archive.org/ web/20221018115922/https://nvd.nist.gov/general/FAQ-Sections/CVEFAQs.

NVD, 2022. NATIONAL VULNERABILITY DATABASE. NATIONAL VULNERABILITY DATABASE. [Online] 2022-08-04. [Cited: 2022-0810]. Available from: https://web.archive.org/web/20220804163449/ https://nvd.nist.gov/.

POLIMIROVA, D. 2022-07-12. Nalichie na natsionalna baza danni s uyazvimosti. Email [personal communication].

RAPHAEL, JR., 2022. Android versions: A living history from 1.0 to 13. Computerworld [Online] 2022-08-23 r. [Cited: 2022-09-10]. Available from: https://www.computerworld.com/article/3235946/android-versions-aliving-history-from-1-0-to-today.html

RYTEL, M., FELKNER, A., & JANISZEWSKI, M., 2020. Towards a Safer Internet of Things – A Survey of IoT Vulnerability Data Sources. Sensors. 20, 5969. doi:10.3390/s20215969.

STATCOUNTER GLOBAL STATS, 2022. iOS Version Market Share Worldwide. Statcounter GlobalStats. [Online] 2022-01-31. [Cited: 202209-20]. Available from:

https://web.archive.org/web/20220131220904/https://gs.statcounter.com/ios-version-market-share/all/worldwide/2021.

STATCOUNTER, 2023a. Mobile Operating System Market Share Worldwide | Statcounter Global Stats. [online]. 23 February 2023. [Accessed 13 February 2023]. Available from: https://web.archive.org/web/20230207073026/https://gs.statcounter.com/os-market-share/mobile/worldwide/

STATCOUNTER, 2023b. Android Version Market Share Worldwide | Statcounter Global Stats. [online]. 13 February 2023. [Accessed 13 February 2023]. Available from: https://gs.statcounter.com/androidversion-market-share/all/worldwide/2022

STATCOUNTER, 2023c. iOS Version Market Share Worldwide | Statcounter Global Stats. [online]. 13 February 2023. [Accessed 13 February 2023]. Available from: https://gs.statcounter.com/ios-version-market-share/all/ worldwide/2022

STATS, STATCOUNTER GLOBAL, 2022. Mobile Operating System Market Share Worldwide - December 2021. Statcounter Global Stats. [Online] 2022-09-01. [Cited: 2022-09-01]. Available from: https://web. archive.org/web/20220110031504/https://gs.statcounter.com/os-marketshare/mobile/worldwide#.

TIWARI, Pradeep Kumar and VELAYUTHAM, T., 2019. Android Vulnerabilities: Taxonomy and nextGen Ecosystem. 2019 IEEE Bombay Section Signature Conference, IBSSC 2019, vol. 2019January. DOI 10.1109/IBSSC47189.2019.8973083.

TREND MICRO, 2022. exploit. TREND MICRO. [Online] 2022-10-17. [Cited: 2022-10-17]. Available from: https://web.archive.org/web/20221017053736/https://www.trendmicro.com/vinfo/us/security/ definition/exploit.

UK NCSC, 2022. CISP - Cyber Security Information Sharing Partnership. National Cyber Security Centre (UK). [Online] 2022-09-02. [Cited: 20 09 2022-09-20]. Available from: https://web.archive.org/web/20220902073419/ https://www.ncsc.gov.uk/section/keep-up-to-date/cisp.

UMASANKAR, 2017. Analysis of latest vulnerabilities in android. 2017 International Conference on Advances in Computing, Communications and Informatics, ICACCI 2017, vol. 2017-January, 1236–1241. DOI 10.1109/ICACCI.2017.8126011.

VOO, J., et al., 2020. National Cyber Power Index 2020. Cambridge: Belfer Center for Science and International Affairs, 2020.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Canatalay, Ashima, Kukkar, Sadiq Hussain, Arun Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa Mahareek, Abeer Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
EDITORIAL / КЪМ ЧИТАТЕЛЯ

Сава Гроздев

STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić, Шефкет Арсланагич

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева