Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2019/2, стр. 203 - 215

ONE GENERALIZATION OF THE GEOMETRIC PROBLEM FROM 19TH JUNIOR BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD

Ivaylo Staribratov
E-mail: ivostar@abv.bg
Faculty of Mathematics and Informatics
University of Plovdiv “Paisii Hilendarski”
24, Tzar Assen St.
4000 Plovdiv, Bulgaria
Radka Todorova
E-mail: rad_tod@abv.bg
Mathematical School “Academic Kiril Popov”
11, Chemshir St.
4000 Plovdiv, Bulgaria

Резюме: We present one possible generalization, inspired by the usage of the Dynamic Geometry Software GeoGebra, of the geometric problem from the 19the geometric problem from the \(19{ }^{\text {th }}\) Junior Balkan Mathematical Olympiad. We have presented the process of the generalization in front of students about 16 – 17 years of age from the Mathematical School “Academic Kiril Popov” – Plovdiv. We have use the technique of tree diagrams to ease students’ understanding of the solution and to help them in the steps of the generalization.

Ключови думи: Math Olympiad; Dynamic geometry software; Experiment; Tree diagram

1. Introduction

The discussion on a geometry problem, its proof and its possible generalizations involves oral presentation and pointing at different parts of the figure of the problem. Students have to watch and listen simultaneously. They have to refer to many elements and incorporate them into their memory, as pointed in (Sweller, 1988). The Dynamic Geometry Softwares (DGS) are a valuable tool for its users to facilitate the mentioned problems. DGS can significantly optimize the teaching process (Karaibryamov & al., 2012), (Karaibryamov & al., 2013), (Tsareva & Zlatanov, 2016) and increase its creative elements (Taneva, 2015), (Trifonova & al., 2013), (Tsareva & Todorova, 2013), (Zlatanov, 2014), (Zlatanov, 2017).

A geometry problem is specified with a verbal description, often accompanied by a figure, which was discussed in (Wong & al.,2011). As (Mayer & Sims, 1994) pointed out, students can build more referential connections when verbal and visual materials are presented contiguously than when they are presented separately. It is also noted in (Clements & Battista, 1992) that for a student to successfully prove a problem, he/she must build semantic links between the concepts of geometry and the features of a figure. Through bi-directional connections, students can clearly demonstrate the interrelation between the geometric components in a verbal description and the objects in an accompanied figure (Schnotz, 2002) integrative model of text (descriptive representation) and picture (depictive representation) comprehension emphasizes that good graphic design is crucial for individuals with low prior knowledge who need pictorial support in constructing mental models. The use of DGS in math education gives positive results both in students in math focused high-schools or in ordinary schools and in teaching of bilinguals (Grozdev & al.,2014). DGS strongly helps research work simply because it allows the experimental discovery of new relations between the investigated objects, which leads to their formal proof (Nenkov, 2010), (Grozdev & Nenkov, 2000), (Grozdev & Nenkov, 2015), (Zlatanov, 2018). This style of teaching often leads to interesting generalizations and discoveries of new geometric objects, connected with the studied geometric configuration (Grozdev & Nenkov, 2012), (Grozdev & Nenkov, 2014), (Grozdev & Nenkov, 2017). In the cases when the assumptions do not confirm experimentally by DGS, a lot of time and efforts are saved.

We would like to mention a very powerful computer software “Discover” discovering of new relationships in geometry (Grozdev, Okumura & Dekov, 2018a), (Grozdev, Okumura & Dekov, 2018a).

2. Generalization of geometric problems

Following (Wong & al., 2011) let us say a few words about the techniques of proving of geometry problems. The steps needed to make a formal proof of a geometry problem is presented in Figure 1 (Wong & al., 2011). A student can interact with a dynamic figure, which provides a clear picture of abstract mathematical ideas through concrete object dragging. By manipulating a dynamic figure and observing how it changes, students may be able to avoid over-generalization of theorems from paradigmatic images. DGS allows students to either falsify propositions or enhance the degree to which propositions are believable.

Figure 1

Once the problem is solved, students can start to use the dynamic of the sketch to search for generalizations. We have tried in Figure 2 to expand Figure 1 in the case, when students will be asked to search for a generalization of an already solved problem.

Figure 2

Once a formal proof is made, it is important to identify the key relationships that were needed in the proof. The choice of the free object in any DGS sketch is important (Karaibryamov & al., 2013). Sometimes it happens that a new sketch is needed to be done in order to choose new free objects. The new sketch will give the student greater dynamic options, which will increase the possibility to find generalizations.

We will illustrated this approach by a generalization of a nontrivial problem.

We introduced a group of 9th and 10th graders of High School of Mathematics “Akademik Kiril Popov”, Plovdiv, Bulgaria with the specific powerful tools of GeoGebra and we presented them the following geometric task from 19th Junior Balkan Mathematical Olympiad June 24-29, 2015, Belgrade, Serbia:

Problem 1. Let \(\triangle A B C\) be an acute triangle. The lines \(l_{1}\) and \(l_{2}\) are perpendicular to \(A B\) at the points \(A\) and \(B\), respectively. Now let \(h\) and \(g\) be the perpendicular lines from the midpoint \(M\) of the side \(A B\) to the lines \(A C\) and BC. Let h and \(g\) intersect the lines \(l_{1}\) and \(l_{2}\) at the points \(E\) and \(F\), i.e. \(h \cap l_{1}=E\) and \(g \cap l_{2}=F\). Let \(D\) be the intersection point of the lines \(E F\) and \(M C\). Prove that \(\angle A D B=\angle E M F\) (Figure 3).

To ease the reader we will mark the main steps of the solution to this nice problem. From the condition it follows that \(M H C G\) is a cyclic quadrilateral. Thus we have

(1)\[ \angle H M C=\angle H G C \]

From the similar rectangular triangles \(\triangle M H A\) and \(\triangle M A E, \triangle M B G\) and \(\triangle M F B\) follow the equalities \(M A: M E=M H: M A\) and \(M B: M F=M G: M B\), which can also be written as \(M A^{2}=M H . M E\) and \(M B^{2}=M G . M F\). If we take into account that \(M A=M B\) we get \(E H G F\) is a cyclic quadrilateral and then

∠FEH = ∠FEM = 1800 – ∠HGF = ∠ (2) HGM

Figure 3

From (1) and (2) we have that \(\angle D E M+\angle E M D=\angle H G M+\angle H G C=90^{\circ}\) or \(C M \perp E F\) and therefore \(M A E D\) and \(M B F D\) are cyclic quadrilaterals. Thus \(\angle D E M=\angle D A M\) and \(\angle D F M=\angle D B M\). Then \(\triangle E M F\) and \(\triangle A D B\) are similar. Therefore and the third pair of their angles are equal as well, i.e. \(\angle A D B=\angle E M F\).

An interesting idea is presented in (Wong & al.,2011), where a tree diagram of the formal proof is presented. The authors refer to this tree diagram as a proof tree. It oferers an outline of a complete geometry proof. By using a proof tree students could better understand the formal proof. This helps students to develop a better understanding of geometry proofs.

Following (Wong & al.,2011) we can draw the proof tree of Problem 1. We have marked the key steps in the proof in gray. We are searching for a generalization that will not change the conclusions that quadrilaterals \(M H C G, E H C G, M A E D\) and \(B F D M\) are cyclic.

Figure 4

Naturally there occurs the question whether the \(90^{\circ}\) angle formed by \(l_{1}\) and \(l_{2}\) intersecting \(A B\) and the angles formed by h and g intersecting \(A C\) and \(B C\) is essential for the statement \(\angle A D B=\angle E M F\) or it may be arbitrary.

We have formulated our hypothesis into the next problem:

Problem 2. Let \(\triangle A B C\) be an acute triangle and let the parallel lines 11 and 12 be going through the points \(A\) and \(B\) respectively, and be forming an angle \(\alpha\) with the line \(A B\). Also let \(M\) be the midpoint of the side \(A B\). From point \(M\) we build the lines \(h\) and \(g\), forming an angle \(a\) with \(A C\) and \(C B\), respectively. Let us mark the intersecting points of the line \(h\) with with the lines \(A C\) and \(l_{1}\), with \(H\) and \(E\) and the intersecting points of the line \(g\) with the lines \(B C\) and \(l_{2}\) with \(G\) and \(F\), respectively. If \(D\) is the intersecting point of \(E F\) and \(M C\), prove that \(\angle A D B=\angle E M F\).

Using GeoGebra environment, we created a dynamic drawing (a snapshot of which is Figure 5) reflecting the conditions of Problem 2.

Figure 5

Now let \(X\) be an arbitrary point in the plain of \(\triangle A B C\) and then \(l_{1}\) will be the line \(A X\), i.e. \(l_{1}=A X\). Thus

(3) \[ \angle X A B=\angle(A X, A B)=\angle\left(l_{1}, A B\right)=a . \]

The construction of the lines \(h\) and \(g\) is preceded by the construction of the lines \(p=A P^{\prime}\) and \(s=B N^{\prime}\) with the help of the tool “Angle with given size” such that

(4) \[ \angle P A P^{\prime} a=\angle N B N^{\prime}=180^{\circ}-a, \]

to ensure that the lines \(h / / A P^{\prime}\) and \(g / / B N^{\prime}\) to cross the lines \(A C\) and \(C B\) in such a way that the quadrangle \(M H C G\) to be a cyclic quadrilateral (\(\angle M H C=180^{\circ}-a\), \(\angle M G C=a\) )

The students experimented by moving the free point X to change the angle \(\alpha\) or by moving the peaks of \(\triangle A B C\) to change it, but each time the hypothesis was confirmed. Then we proceeded to the proof of the new statement.

Solution. The experiments outlined the different locations of the points \(H, M, E\) and \(\mathrm{G} M, F\). We examined in detail the case when the point \(H\) is between the points \(M\) and \(E\), i.e. \(H / M E\) and \(G / M F\) (Figure 6).

Figure 6

Now the line \(h\), passing through the point \(M\) and parallel to the line \(p\), provides the conditions

(5) \[ \angle M H A=P A P^{\prime}=a \]

and

(6) (6) \(\angle M H C=180^{\circ}-\angle M H A=180^{\circ}-a\),

Because \(\angle A H M\) and \(\angle P A P\) are adjacent angles obtained by crossing the parallel lines \(h\) and \(p\) with the line \(A B\).

From (3) and (5) it follows that:

(7) \[ \angle M A E=\angle M H A=a . \]

From (7) and the presence of a common angle it follows that \(\triangle M H A\) and \(\triangle M A E\) are similar. Therefore : \(M E=M H: M A\), which is equivalent to the equality:

(8) \[ M A^{2}=M H . M E, \]

Now from the properties of the external adjacent angels \(\angle M G C\) and \(\angle N B N^{\prime}\) formed by the parallel lines \(s\) and \(g\) crossing \(B C\) we can write

(9) \[ \angle M G C=180^{\circ}-\angle M G B=180^{\circ}-\angle N B N^{\prime}=180^{\circ}-\left(180^{\circ}-a\right)=a . \]

From (6) and (9) we have \(\angle M H C+\angle M G C=180^{\circ}\), i.e. \(M H C G\) is a cyclic quadrilateral. Therefore

(10) \[ \angle H M C=\angle H G C . \]

If we look at \(\triangle M B F\) and \(\triangle M G B\) we can see that they are similar because they have one common angle and \(\angle \mathrm{MBF}=\angle \mathrm{MGB}=180^{\circ}-a\). Therefore, \(M B: M G=M F: M B\) which is equivalent to:

(11) \[ M B^{2}=M G . M F \]

From (8), (1 1) and \(M A=M B\) it follows \(M H . M E=M G . M F\). This sufficient condition allows us to conclude that \(E H G F\) is a cyclic quadrilateral. Therefore, \(\angle F E H+H G F=180^{\circ}\). At the same time, due to the property of the neighboring angles we have. \(\angle H G M+\angle H G F=180^{\circ}\).

Therefore,

(12) \[ \angle F E H=\angle H G M=180^{\circ}-\angle \mathrm{HGF} . \]

From (10), (12) and (9) it follows:

(13) \[ \angle H M C+\angle F E H=\angle H G C+\angle H G M=\angle M G C=a . \]

Then \(\angle E M D+\angle D E M=\angle H M C+\angle F E H=a\) and

(14) \[ \angle M D E=180^{\circ}-a . \]

According to (3) and (14) MAED is a cyclic quadrilateral. Therefore,

(15) \[ \angle D E M=\angle D A M . \]

From (14) and the property of the neighbouring angles we have \(\angle M D F=a\). Noting the condition \(\angle M B F=180^{\circ}-a\), we conclude that \(M B F D\) is a cyclic quadrilateral. Therefore,

(16)\[ \angle D F M=\angle D B M \]

From (15) and (16) we have that \(\triangle E M F\) and \(\triangle A D B\) are similar. Then and the third pair of angles are equal as well, i.e. ∠ADB = ∠EMF.e \(\angle A D B=\angle E M F\).

After the discussion on the proof of the generalized problem, students were able to write its proof tree:

Figure 7

We also looked at the case where \(H / M E\) and \(F / M G\) (Figure 3). Once the students have understand the proof, they were able to write the formal proof alone. Since the proof is analogical, we do not give it to the reader.

In the process of the proof we demonstrated the ability of the “Object properties” window to preserve all constructions and after changing some object parameters. We also familiarized students with other GeoGebra tools, such as “Polygon”. They shuddered the cyclic quadrilaterals or the similar triangles to orient more easily in the overwhelmed graph. By setting the angle \(a=90^{\circ}\), the students acquired Figure 1, illustrating the problem from the 19th Junior Balkan Mathematical Olympiad June 24-29, 2015, Belgrade, Serbia. There only exists the possibility \(H / M E\) and G/MF in the original problem. We have set a new assignment: Explore whether the condition that the triangle is acute may be dropped.

The following interesting fact was also noticed: With fixed \(\triangle A B C\), the point D proved to be stationary and not affected by the change of angle \(\alpha\). We discussed this fact and, by clarifying it, we reached the following statements following from the main result:

Corollary 1. The point \(D\) is the common point of the median \(C M\) of \(\triangle A B C\) with the geometrical place of points, from which the side \(A B\) is seen under the angle \(180^{0}-\angle A C E\).

We believe that the current work, inspected by (Wong & al., 2011), will support the process of building creative thinking in geometry classes.

REFERENCES

Clements, D. H., & Battista, M. T. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, New York: Macmillan, 420 – 464.

Grozdev, S., Okumura, H. & Dekov, D. (2018a). Computer Discovered Mathematics: Constructions of Malfatti Squares. Mathematics and Informatics, 1, 10 – 18.

Grozdev, S., Okumura, H. & Dekov, D. (2018b). Computer Discovered Mathematics: An Alternative Construction of Malfatti Squares. Mathematics and Informatics, 2, 171 – 174.

Grozdev, S., Stefanova, D., Vasileva, K., Koleva, S. & Todorova, R. (2014). Creative activity stimulation of bilingual students by dynamic software (In Bulgarian). Mathematics and Informatic, 3, 247 – 273 [Гроздев, С., Стефанова, Д., Василева, С. & Тодорова, Р. (2014). Стимулиране на творческа активност при билингви чрез динамичен софтуер, Математика и информатика, 3, 247 – 273].

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2013). Loci that are generated in the displacement of inscribed quadrilateral (In Bulgarian). Proceedings of the Forty Second Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians, Borovetz, April 2 – 6, 2013, 373 – 382 [Гроздев, С. & Ненков, В. (2013). Геометрични места при движение на вписан четириъгълник, Математика и математическо образование. Доклади на 42. пролетна конференция на Съюза на математиците в България, Боровец, 2 – 6 април, 373 – 382].

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012). Orthocenter of an inscribed quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics Plus, 4, 63 – 69 [Гроздев, С. Ненков, В. (2012). Ортоцентър на вписан четириъгълник, Математика плюс, 4, 63 – 69].

Grozdev S., & Nenkov, V. (2012). Three remarkable points on the median of the triangle. Sofia: Arhimed [Гроздев, С. & Ненков, В. (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника, София: Архимед].

Grozdev S., & Nenkov, V. (2014). Several properties of Simson lines connected with Euler curves (In Bulgarian). Proceedings of the Forty Third Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians, Borovetz, April 2 – 6, 240 – 247 [Гроздев, С. & Ненков, В. (2014). Няколко свойства на Симсъновите прави, свързани с Ойлерови криви. Математика и математическо образование. Доклади на 43. пролетна конференция на Съюза на математиците в България, Боровец, 2 – 6 април, 240 – 247].

Grozdev S., & Nenkov, V. (2015). Conics with collinear centers. Proceedings of the Forty Fourth Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians SOK “Kamchia”, April 2 – 6, 291 – 298 [Гроздев, С. & Ненков, В. (2015). Конични сечения с колинеарни центрове. Математика и математическо образование. Доклади на 44. пролетна конференция на Съюза на математиците в България, Боровец, 2 – 6 април, 291 – 298].

Grozdev S., & Nenkov, V. (2017). Gaining new knowledge by computer experiments. Journal of Educational Sciences & Psychology. Vol.VII (LXIX), No 1B, 122 – 125.

Karaibryamov, S., Tsareva, B. & Zlatanov, B. (2012). Educational software for interactive training of students on the theme “Mutual Intersecting of Pyramids and Prisms in Axonometry”, Acta Didactica Napocensia 5, 29 – 44.

Karaibryamov, S., Tsareva, B. & Zlatanov, B. (2013). Optimization of the courses in geometry by the usage of dynamic geometry software Sam, The Electronic Journal of Mathematics and Technology, 7, \(22-51\) (and the printed version of the same journal Research Journal of Mathematics & Technology, 2, 1 – 31).

Mayer, R. E. & Sims, V. K. (1994). For whom is a picture worth a thousand words? Extensions of a dual-coding theory of multimedia learning. Journal of Educational Psychology, 86, 389 – 401.

Schnotz, W. (2002). Towards an integrated view of learning from text and visual displays. Educational Psychology Review, 14, 101– 120.

Sweller, J. (1988). Cognitive load during problem solving: Effects on learning, Cognitive Science, 12, 257 – 285.

Taneva, B. (2015). Information technology in help of interactive geometry education. VIII National Conference “Education and Research in the Information Society”, Bulgaria, 219 – 228.

Trifonova, P., Danova, N. & Zlatanova, R. (2013). Research oriented teaching on the topic of “The mid-segment and the centroid of a triangle” in a dynamic geometry environment, “Educational Forum”, 2013/4, 94 – 105 [Трифонова, Р., Данова, Н. Златанова, Р. (2013). Изследователски ориентирано обучение по темата „Средна отсечка и медицентър на триъгълника“ в динамична геометрична среда, Педагогически форум].

Tsareva, B. & Todorova, R. (2013). Interactive Study of Circumscribed Quadrilaterals in Dynamic Environment, Mathematics and Informatics, 56, 142 – 158 [Царева, Б. Тодорова, Б. (2013). Интерактивно изучаване на описани четириъгълници в динамична среда, Математика и информатика, 56, 142 – 158].

Tsareva, B. &Zlatanov, B. (2016). Intersection of polyhedrons and a plane with GeoGebra. North American GeoGebra Journal, 5, 39 – 52.

Wong, W.-K., Yin, S.-K., Yang, H.-H. & Cheng, Y.-H. (2011). Using computer-assisted multiple representations in learning geometry proofs, Educational Technology & Society, 14, 43 – 54.

Zlatanov, B. (2013). Some properties of reflection of quadrangle about point, Annals. Computer Science Series, 11, 79 – 91.

Zlatanov, B. (2014). An etude on one Sharygin’s problem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 3, 50 – 61.

Zlatanov, B. (2017). On a family curves of the second class, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 6, 91 – 105.

Zlatanov, B. (2018). Developing creative thinking in geometry classes (by using dynamic geometry software), Lap Lambert Academic Publishing.

Zlatanov, B., Karaibrqmov, S. & Tsareva, B. (2012). On a new function in the dynamic software, Practical workshop on the project Fibonacci, Borovets.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.