Математика и Информатика
Вход / Регистрация

2021/3, стр. 335 - 346

КЪДЕ Е ГРЕШКАТА В РЕШЕНИЕТО МИ? ─ РАЗГОВОР ПРЕД БЯЛАТА ДЪСКА С ОЛЕГ МУШКАРОВ

Евгения Сендова
SCOPUS: 6508343252
E-mail: jenny@math.bas.bg
Institute of Mathematics and Informatics
Bulgarian Academy of Sciences
Sofia Bulgaria

Резюме: На 13 май т.г. се навършиха 70 години от рождението на проф. Олег Мушкаров, член-кореспондент на БАН. Основите му научни интереси и резултати са свързани с комплексния анализ и комплексната диференциална геометрия. Бил е ръководител на секция Комплексенанализ, впоследствиеАнализ, геометрия и топология. Председател е на Научния съвет на ИМИ – БАН. Има огромни заслуги за административното и научно ръководство на Института, както и като ръководител на националния отбор по математика и на УчИМИ. През последните години чл.-кор. Мушкаров работи активно за учредяването и утвърждаването на Международния център по математически науки към Института по математика и информатика, чийто директор е от 2020 година. Лауреат е на Почетния знак „Марин Дринов“ на лента. Фокусът на статията е върху преподавателския талант на Олег Мушкаров, илюстриран с един разговор пред бялата дъска, в който говорим за любимите му задачи и един конкретен пример, използван от него в курса му по извънкласна математика. В примера той разкрива убеждението си, че в преподаването е съществено да се разглеждат задачи, в които има грешки в доказателството и от студентите се очаква да ги открият. Затова самият процес на представяне на грешна идея за решение на конкретна задача, осъзнаване на грешката и накрая успешното є коригиране е станал неразделна част от работата му със студенти по математика. Този факт говори красноречиво, че споделянето на подводните камъни в творческия процес е съществено приложение на изследователските таланти на учения и в преподаването.

Ключови думи: грешка в доказателството; олимпийски задачи; извънкласни дейности по математика

The road is always better than the inn.

Cervantes

1. Как подходих към една трудна (но нематематическа) задача

Предложиха ми да направя творчески портрет (словесен, естествено) на чл.-кор. Олег Мушкаров във връзка със 70-годишнината му. Първата ми реакция бе: Моят специалитет е одостихоплетството! Традиционно пиша оди на близки, колеги и приятели по случай рождените им дни, но не съм сигурна, че въпросният жанр е застъпен в текущия формат на списанието. От друга страна, едва ли в няколко строфи могат да се обхванат приносите на такъв комплексен математик в различни области на математиката и ангажираността му с проб-лемите на преподаването в разнообразен контекст – от издирване, насърчаване и подкрепа на математически таланти до приземяване на математиката (по заглавието на Math2Earth, един от серия европейски образователни проекти, на които Олег Мушкаров бе координатор от страна на ИМИ – БАН).

Ето няколко щрихи от биографията му, които не мога да не споделя.

Роден е в Благоевград. Запалил се по математиката благодарение на брат си Гошо Мушкаров. Класирал се с най-висок резултат за Международната олимпиада по математика през 1969 г. Отблагодарил се на тези, които са го ръководели тогава, с това, че той, на свой ред, подготвял и водил българския отбор по олимпиади. Ръководил Ученическия институт 15 години... И един немаловажен факт – станал е математик, без да „получава мая“ в чужбина. Тук е пораснал и се е утвърдил, а днес е известен по целия свят.

Чувала съм един голям учител по математика да съветва учениците си: Не бързайте да разкриете всичките си добри качества наведнъж – дайте шанс на останалите и те да открият нещо във вас… Та и аз ще ви оставя, драги читатели, да откриете това, което най-много ви интересува за математика Олег Мушкаров, в едно кратко негово представяне във Виртуалния музей Математиката и информатиката в България (ММИБ) (MMIB, 2021).

След дългогодишно приятелско и професионално сътрудничество с Олег (не, не ми е бил студент, но по-надолу ще се обръщам към него на малко име) аз самата все още продължавам да откривам различни негови достойнства и таланти. За един от тях обаче (преподавателския) си дадох сметка на собствен гръб сравнително наскоро. Беше получил покана от Алина Андрееску (съавтор на подготвяната за публикуване книга Awesome Math: Teaching Mathematics with Problem Based Learning (Andreescu, Cordeiro & Andreescu 2019) да попълни въпросник, свързан със заглавието, т.е. Страхотната математика: преподаване с проблемно базирано учене. От сравнително дългия списък той бе избрал само един въпрос:

What are your favorite problems and why? (Кои са любимите Ви задачи и защо?)

Понеже беше сигурен в моята привързаност и към математиката, и към информатиката, и най-вече – към проблемите, свързани с преподаването им, Олег използва известния програмистки метод rubber duck debugging1), но ме помоли не само да бъда слушател на споделянето му и да вляза в ролята на студентите му, а и да документирам разговора ни във вид на илюстриран текст (Вие педагозите ги умеете тези работи!).

2. За любимите му задачи

Примерът, който илюстрира какъв тип задачи обича да дискутира Олег със студентите си, е от един негов курс за студенти, свързан с извънкласни дейности по математика. За разлика от традиционните ситуации, в които преподавателят очаква студентите да стигнат до решението на добре дефинирана задача (понякога с негова помощ), той им предлага решение, съдържащо някаква грешка, и им хвърля ръкавицата: Намерете грешката!

Олег е срещал лично такива задачи като член на българския отбор, участвал в Балканската математическа олимпиада за студенти и млади изследователи в Букурещ през септември 1971 г. Една от задачите била да се намери грешката в предложено решение към алгебрична задача.

Той споделя убеждението си, че задачи от този вид са съществени, защото всеки математик (дори да е професионалист) прави грешки ежедневно. Същественото обаче е, първо, да почувства, че нещо в разсъжденията му не е наред (да го осъзнае), после да открие къде е грешката, и накрая – да намери вярно решение. Със задачата, която ми представи като илюстрация, се сблъскал преди 30-ина години и първият му опит да я реши, се оказал грешен. Именно самият процес да започне с една невярна идея, да осъзнае къде е грешката в разсъжденията му, и накрая да я поправи, станал съществен елемент от курса му през годините. И този процес той се опита да възпроизведе пред мен, а аз – пред вас.

3. Самата задача

Четири града са представени като върхове на квадрат. Постройте най-късата пътна мрежа, която ги свързва.

Сега да чуем как Олег представя първоначалното си „решение“ на студентите.

Ще използваме два важни математически факта.

Най-късият път между две точки в равнината е отсечката, която ги свързва (фиг. 1).

(2) Ако една непрекъсната функция приема противоположни стойности в краищата на даден интервал, тя се анулира във вътрешността му (Теорема на Болцано2), фиг. 2).

Фигура 1

Фигура 2

Да започнем с произволна пътна мрежа ─ система от пътища, които ще представим като непрекъснати криви, свързващи градовете (в нашия случай – върхове на квадрата ABCD, фиг. 3a):

Фигура 3a

Фигура 3b

Тогава съществува път, свързващ градовете А и С, и път, свързващ градовете B и D. Без загуба на общността можем да приемем, че и двата пътя лежат в квадрата. Според теоремата на Болцано съществува точка М, в която двата пътя се пресичат (фиг. 3b). Новата система пак свързва 4-те града и е по-къса от предишната. По силата на (1) можем да сведем пътищата до отсечки и да скъсим още повече системата, т.е. да я представим като 4 отсечки – AM, BM, CM и DM (фиг. 4a). От неравенството на триъгълника можем да сведем по-следната пътна мрежа до диагоналите на квадрата (фиг. 4b). Оттук следва, че това е най-късата възможна система от пътища, нали?

Фигура 4a

Фигура 4b

Кимнах утвърдително – кой би посмял да се усъмни?

Да, ама не!!! – тържествуващо ме погледна Олег (както един известен български журналист казваше често2)…) И продължи с усмивка:

Когато стигнах до това „решение“, почувствах, че нещо не е както трябва – помнех задачата на Щайнер3) за свързване на три селища A, B и C със система от пътища с минимална обща дължина. Имах и смътен спомен от няколко фигури в прекрасната книга на Курант и Робинс „Що е математика“ (Kurant & Robins 1985), свързани с обобщения на задачата на Щайнер.

Вместо да се ровя в литературата, реших да разбера „къде е заровено кучето“, т.е. къде грешах (много по-интересно ми беше)!

Да се върнем към нашите математичекси факти, а именно към теоремата на Болцано. От нея заключихме, че съществува пресечна точка между двата пътя, свързващи противоположните върхове на квадрата. Пресечна точка? Да, но кой казва, че е единствена? Точното твърдение на Болцано е, че съществува поне една пресечна точка, значи може и да са повече от една! Това беше моментът на просветление за мен!

Осъзнаването на грешното допускане, че пресечната точка е точно една, ми помогна да заменя системата от фиг. 3а (която редуцирах до системата от фиг. 3b) със системата от фиг. 5а, която може да се редуцира до системата от фиг. 5b. Наистина, ако разгледаме първата и последната от пресечните точки на пътищата, свързващи срещуположните върхове на квадрата, и приложим (1), стигаме до задачата за минимизиране на сумата |AM|+ |DM|+ |MN|+ |BN|+ |CN|, където M и N са вътре в квадрата ABCD (фиг. 5b).

Фигура 5a

Фигура 5b

Продължаваме със задачата на Херон за най-късото разстояние5) (фиг. 6), след това въвеждаме два параметъра (за ъглите между пътищата отсечки и страните на квадрата) и с малко тригонометрия получаваме функция на един параметър.

Фигура 6

Като минимизираме тази функция, стигаме до вярното решение (фиг. 7).

Фигура 7

Да отбележим, че задачата има две решения с точност до симетрия (фиг. 8a и 8b).

Фигура 8a

Фигура 8b

Ако парафразирам известна сентенция, биха казала, че една серия от снимки (фиг. 9) е по-красноречива от цяла статия.

Фигура 9

4. Рефлексии след споделеното на дъската

Разбира се, че след като разбрахме къде е заровено кучето, с нови очи се поровихме и в литературата. Всъщност (както отбелязват и авторите на „Що е математика“) задачата на Щайнер за 4 точки би имала първоначалното („грешно“ според Олег) решение, ако бе формулирана по следния начин:

Нека А, B, C, D са различни точки в равнината. Търсим точка М в същата равнина, за която сумата |AM|+ |BM|+ |CM|+ |DM| е минимална.

Ако 4-те точки са върхове на четириъгълник, търсената точка М наистина е пресечната точка на диагоналите на четириъгълника. Но такова обобщение Курант и Робинс окачествяват като „повърхностно“, каквито често се срещат в математическата литература (Kurant & Robins 1985, 349). Едно действително обобщение според тях е да се откажем от търсенето на единствена точка М и да търсим „улична мрежа с минимална дължина“ (което вече е задачата, атакувана от Олег).

Що се отнася до историята на задачата, намерихме редица източници (Gander, Santugini & Steiner 2008; Brazil, Graham, Thomas & Zachariasen 2014; Du, Hwang, Song & Ting 1987; Du, Yao & Hwang 1982). В (Gander, Santugini & Steiner 2008) прочетохме, че задачата за намиране на най-късата пътна мрежа, свързваща няколко града, може да бъде открита още в кореспонденцията между Шумахер и Гаус през 1836 г.

Задачата, от която Шумахер първоначално се интересува, а именно ─ да се намери точка, която свързва дадено множество от точки с най-късата мрежа, датира още от 1638 г., когато Декарт помолил Ферма да изследва криви, за които сумата от разстояния от точките им до четири дадени точки е постоянна. Мотивиран от този въпрос, Ферма поставил през 1643 г. следната задача: Aко са дадени 3 точки, коя точка ще минимизира сумата от разстоянията. Първият, който решил задачата на Ферма за трите точки, бил Торичели – затова тя носи техните имена (задача на Ферма-Торичели).

Фаняно решил случая за 4 точки. Струва си да се отбележи, че докато конструкцията за 3 и 4 точки може да се направи с линийка и пергел, това не е възможно за повече точки в общо положение (резултат, получен с помощта на теорията на Галоа) [ibid.].

Разбира се – сподели по-късно Олег – ако бях атакувал задачата, след като бях прочел всички тези източници, може би никога не бих тръгнал по този път. И това е проблемът на днешните студенти, които първо проучват какво се знае по даден въпрос или задача, търсят в Google FAQ (често задавани въпроси), преди дори да почнат да мислят за възможни подходи. А за мен истинският проблем бе да намеря грешката в първата си идея за решение (до която стигнах въз основа на интуицията си и на привидно добре известни математически факти).

Намерихме и картинката, която Олег смътно си спомняше (фиг. 11). Тя отразява експеримент с две успоредни стъклени плаки, съединени с перпендикулярни към тях игли и потопени в сапунен разтвор. След изваждането на системата сапунената ципа образува вертикални равнини, свързващи закрепените игли. Проекцията им върху равнината на едно от стъклата дава решението на разглежданата задача. (Поради действието на повърхностното напрежение една сапунена ципа се намира в устойчиво равновесие само ако лицето є е минимално.)

Фигура 10. Демонстрация на най-късата връзка между 4 точки (Kurant & Robins 1985, 378)

В този момент Олег възкликна: Какъв късмет, че бях забравил въпросната картинка, но не и що е това математика!

Интересно как биха реагирали студентите, ако задачата бе дадена за домашно – може би биха попаднали на едно „естествено“ доказателство (фиг. 10), в което пак се използва сапунен разтвор (разбира се, клипчето (MP 2021) в YouTube няма нищо общо със сапунените опери).

Фигура 10

Или пък щяха да намерят една от най-интересните математически теми на месеца (Kenderov, Chehlarova & Sendova 2015) (август 2014, фиг. 11), свързана с намирането на оптималното разположение на антена до няколко къщи (стълбицата от задачи от темата е с нарастваща сложност, като се стига до задачата, решавана от Олег, но в случая за произволен четириъгълник). На участниците се предлага динамичен файл, с който те експериментално могат да получат достатъчно точно приближение на решението.

Фигура 11

Може би прочутият експериментален физик Едингтън6) е прав да мисли, че доказателството е идол, пред който чистите математици се самоизтезават7), но той забравя, че именно мъките и успешният процес на откриване на грешките в разсъжденията ни позволяват да изпитаме чистата радост накрая…

А аз бих добавила, че целта може да се постигне по различни пътища, но именно пътуването показва кой наистина е математик и как разкрива на студентите що е математика.

P.S. Накрая на разговора Олег скромно заяви: Ако ти е интересно, след Нова година може да обсъдим въпроса за евентуална статия, посветена на „Основни принципи при решаване на екстремални геометрични задачи“.

Все още ми е интересно, предполагам и на вас, драги читатели? Да не чакаме следващия юбилей!

Acknowledgements. Статията е написана по повод 70-годишнината на чл.кор. проф. Олег Мушкаров. Сп. „Математика и информатика“ пожелава на чл.-кор. Мушкаров, който е и член на Редакционната колегия на научното списание, дълголетие и нови творчески успехи!

Е.С.

БЕЛЕЖКИ

1. Метод за откриване на грешки в програмата, при който програмистът обяснява програмата си ред по ред на гумено патенце.

2. http://mathworld.wolfram.com/BolzanosTheorem.html

3. Петко Бочаров, Да, ама не!, Сборник коментари 1988 – 1994.

4. Якоб Щайнер – знаменит представител на геометрията в Берлинския университет в началото на XVIII век

5. Една от първите нетривиални оптимизационни задачи е решена от Херон Александрийски (10 – 75 г. от н.е.). Тя гласи: Ако са дадени две точки P и Q, лежащи от едната страна на права, да се намери точка R върху правата, за която сумата |PR|+|RQ| е минимална.

6. Arthur Stanley Eddington , Quotes, Available on: https://goo.gl/B1TJF2 (последно посещение 7 юни 2021 г.).

7. (В оригинал: Proof is the idol before whom the pure mathematician tortures himself)

ЛИТЕРАТУРА

ММИБ, 2021. Кратка справка за Олег Мушкаров, Виртуален музей на Математиката и информатиката в България, http://mmib. math.bas.bg/?page_id=11660 (последно посещение 7 юни 2021 г.)

Andreescu, T., Cordeiro, K. & Andreescu, A., 2019. Awesome Math: Teaching Mathematics with Problem Based Learning.

Курант, Р. & Робинс, Х., 1985. Що е математика? София: Наука и изкуство, 344 – 350.

Gander M. J., Santugini K. & Steiner A., 2008. Shortest Road network connecting cities. Bollettino dei docent di matematica (56), 9-19, https:// www.unige.ch/~gander/Preprints/BDM56-GanderE.pdf (последно по-сещение 7 юни 2021 г.)

Brazil, M., Graham, R., Thomas, D. & Zachariasen, M., 2014. On the history of the Euclidean Steiner tree problem, https://www.researchgate.net/ publication/262300152_On_the_history_of_the_Euclidean_Steiner_ tree_problem (последно посещение 7 юни 2021 г.)

Du, D. Z., Hwang, F. K., Song, G. D. & Ting, G. Y., 1987. Steiner Minimal Trees on Sets of Four Points, Discrete Comput Geom (2), 401-414 https:// link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF02187892.pdf (последно по-сещение 7 юни 2021 г.)

Du, D. Z., Yao, E. Y. & Hwang, F. K., 1982. A Short Proof of a Result of Pollak on Steiner Minimal Trees, Journal of Combinatorial Theory. Series A 32, 3966400

MP 2021. Maths Problem: Connect the towns solution (Motorway Problem) https://www.youtube.com/watch?v=dAyDi1aa40E (последно посещение 7 юни 2021 г.)

Kenderov, P., Chehlarova, T. & Sendova, E., 2015. A Web-based Mathematical Theme of the Month, Mathematics Today 51(6), 305-309 ISSN 1361-2042

REFERENCES

MMIB, 2021. Kratka spravka za Oleg Mushkarov, Virtualen muzey na Matematikata i informatikata v Bulgaria, available on: http://mmib.math. bas.bg/?page_id=11660 , Last visited on June 7, 2021 [in Bulgarian].

Andreescu, T., Cordeiro, K. & Andreescu, A., 2019. Awesome Math: Teaching Mathematics with Problem Based Learning.

Kurant, R. & Robins, H., 1985. Shto e matematika? Sofia: Nauka i izkustvo, 344 – 350 [in Bulgarian].

Gander, M. J., Santugini, K. & Steiner, A., 2008. Shortest Road network connecting cities. Bollettino dei docent di matematica (56), 9-19, available on: https://www.unige.ch/~gander/Preprints/BDM56-GanderE.pdf , last visited on June 7, 2021.

Brazil, M., Graham, R. &Thomas, D., Zachariasen, M., 2014. On the history of the Euclidean Steiner tree problem, available on: https:// www.researchgate.net/publication/262300152_On_the_history_of_the_ Euclidean_Steiner_tree_problem , last visited on June 7, 2021.

Du, D. Z., Hwang, F. K., Song, G. D. & Ting, G. Y., 1987. Steiner Minimal Trees on Sets of Four Points, Discrete Comput Geom (2), 401 – 414 Available on: https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/ BF02187892.pdf , last visited on June 7, 2021.

Du, D. Z., Yao, E. Y. & Hwang, F. K., 1982. A Short Proof of a Result of Pollak on Steiner Minimal Trees, Journal of Combinatorial Theory. Series A 32, 3966400

MP 2021. Maths Problem: Connect the towns solution (Motorway Problem). Available on: https://www.youtube.com/watch?v=dAyDi1aa40E , last visited on June 7, 2021.

Kenderov, P., Chehlarova, T. & Sendova, E., 2015. A Web-based Mathematical Theme of the Month, Mathematics Today 51(6), 305-309. ISSN 1361-2042

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Jerfi Canatalay, Ashima Kukkar, Sadiq Hussain, Arun K. Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa A. Mahareek, Abeer S. Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Savova Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели,

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
ФРАГМЕНТИ ОТ ПАМЕТТА

Генчо Скордев

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.