2017/1, стр. 81 - 93

ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Резюме: В статията са описани някои свойства на точката на Микел за пълния четириъгълник и връзките ѝ с други забележителни точки на четириъгълника.

Ключови думи: quadrilateral, circumcircle, Miquel point, inversion, isogonality

Точката на Микел на четириъгълника е открита през XIX век. Откриването й е свързано с една теорема, публикувана от Микел през 1838 г., откъдето идва и името ѝ. Характеризира се с различни забележителни свойства, някои от които са отбелязани в (Шарыгин, 1986, стр. 68, зад. 263). Точката на Микел, както е показано в (Haimov, 2001), е тясно свързана с брокарианите на четириъгълника. Нещо повече, при разглеждането на ред въпроси е удобно тя да се третира като трета брокариана. В настоящата статия точката на Микел е разгледана в един по-различен аспект и така са открити нейни нови свойства. Особено значение има откриването на едно преобразувание в равнината на четириъгълник, свързано с тази точка. То може да се разглежда като разширение на преобразуванието изогонална спрегнатост (Alexandrov & Haimov, 2003) в цялата равнина на четириъгълника, защото съвпада с него в дефиниционното му множество. Изобразява върховете на четириъгълника в срещуположните им върхове, а някои забележителни точки – в други. Композиция е от осева симетрия и инверсия, които имат съответно ос на симетрия и полюс и степен на инверсия, пряко свързани с четириъгълника. Благодарение на него от свойства на едни забележителни точки в четириъгълника се извеждат свойства на други – образи на първите при преобразуванието. С помощта му се получават важни връзки между някои забележителни точки в четириъгълника, като принадлежността им на една права или пък на една окръжност. Интересно е, че преобразуванието позволява да се обобщи известната теорема на Микел за пълния четириъгълник.

1. Теорема на Микел и точка на Микел. Преди да дефинираме точката на Микел, ще докажем две леми. Без ограничение на общността навсякъде по-нататък ще считаме, че продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) на разглеждания четириъгълник \(A B C D\) се пресичат в точка \(U\), а страните \(A B\) и \(C D\)– в точка \(V\) (фиг. 1). Ще считаме още, че върхът \(C\) лежи между точките \(B\) и \(U\) , както и между точките \(D\) и \(V\).

Лема 1. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Втората обща точка \(M\) на описаните окръжности \(\triangle A B U\) и \(\triangle C D U\) е единствената точка от вътрешността на \(∢ U C V\), за която е изпълнено условието \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\).

Доказателство. Първо ще докажем, че ако \(M\) е от вътрешността на ъгъл \(∢ U C V\), за която е изпълнено условието \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\), то \(M\) съвпада с втората обща точка на описаните окръжности \(\triangle A B U\) и \(\triangle C D U\) (фиг. 1). От условието \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) имаме \(∢ D A M=∢ C B M\), т.е. \(∢ U A M=∢ U B M\) . Следователно четириъгълник \(A B M U\) е вписан в окръжност. Можем да заключим, че точката \(M\) лежи на описаната окръжност на \(\triangle A B U\). От условието \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) имаме още \(∢ A D M=∢ B C M\), откъдето следва, че \(∢ U D M=∢ U C M\). Следователно четириъгълникът \(D C M U\) е вписан в окръжност, т.е. точката \(M\) лежи и на описаната окръжност на \(\triangle D C U\). Убедихме се, че \(M\) е обща точка на описаните окръжности на триъгълниците \(A B U\) и \(D C U\). С помощта на същите разсъждения, проведени в обратен ред, се доказва, че обратно, за втората обща точка \(M\) на тези окръжности е изпълнено \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\).

Забележка 1. Аналогично се доказва, че втората обща точка \(M\) на описаните окръжности на триъгълниците \(A D V\) и \(B C V\) (фиг. 1) е единствената точка от вътрешността на \(∢ U C V\), за която триъгълниците \(A B M\) и \(D C M\) са подобни.

Лема 2. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Ако за точката \(M\) от вътрешността на \(∢ U C V\) е изпълнено условието \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\), то за нея е изпълнено и \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\).

Доказателство.Тъйкато \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\), то \(\cfrac{D M}{C M}=\cfrac{A M}{B M}\) и \(∢ D M A=∢ C M B\) (фиг.

1). Затова имаме \(∢ D M C=∢ D M A+∢ A M C=∢ C M B+∢ A M C=∢ A M B\), т.е. \(∢ D M C=∢ A M B\). Като вземем предвид и получената пропорция, се убеждаваме, че \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\).

Теорема 1 (Микел). \(A к о\) ABCD е изпъкнал четириъгълник, то описаните окръжности на четирите триъгълника \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\) имат обща точка \(M\).

Доказателство. Нека \(M\) е втората обща точка на описаните окръжности \(\triangle A B U\) и \(\triangle D C U\) (фиг. 1). По лема 1 за нея е изпълнено условието \(\triangle A D M \sim \Delta B C M\) и тя лежи в \(∢ U C V\). Тогава за нея е изпълнено и условието \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\) (по лема 2). Но единствената точка от вътрешността на \(∢ U C V\), отговаряща на последното условие, както следва от забележка 1, е втората обща точка на описаните окръжности на триъгълниците \(A D V\) и \(B C V\). Следователно \(M\) е обща точка на описаните окръжности и на четирите триъгълника \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\), DCU , ADV и BCV , с което теоремата е доказана.

Определение 1. Ако \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, общата точка \(M\)

на описаните окръжности на триъгълниците \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\) се нарича точка на Микел на четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 1).

Ще разгледаме някои свойства на точката на Микел.

Свойство 1М. Точката на Микел \(M\) за четириъгълника \(A B C D\) е единствената точка от вътрешността на \(∢ U C V\), за която триъгълниците \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\). Точката \(M\) е единствената точка от вътрешността на \(∢ U C V\), за която \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\).

Доказателство. Точката на Микел \(M\) е обща на описаните окръжности на триъгълниците \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\) (по определение 1) (фиг. 1).

В частност, тя съвпада с втората обща точка на описаните окръжности на \(\triangle A B U\) и \(\triangle D C U\). По лема 1 можем да заключим, че точката на Микел е единствената точка в \(∢ U C V\), за която \(\triangle A D M \sim \Delta B C M\). Това, че тя е единствената точка в \(∢ U C V\), за която \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\), следва от забележка 1.

Свойство 2М. Ако \(M\) е точката на Микел за четириъгълника \(A B C D\), то \(\triangle D U M \sim \triangle V B M\).

Доказателство. Точката на Микел \(M\) на четириъгълника \(A B C D\) лежи върху описаните окръжности на триъгълниците \(D C U\) и \(B C V\) (по определение 1). Следователно четириъгълниците \(D C M U\) и \(B V M C\) са вписани (фиг. 1). Тогава имаме \(∢ D U M=∢ M C V\) (от четириъгълника \(D C M U\) ) и \(\quad ∢ M C V=∢ M B V \quad\) (вписани ъгли). Следователно \(\quad ∢ D U M=∢ M B V\). От друга страна, имаме \(∢ D M U=∢ D C U=∢ B C V=∢ B M V, \quad\) т.е. \(∢ D M U=∢ B M V\). В триъгълниците \(D U M\) и \(V M B\) получихме две двойки съответно равни ъгли, следователно те са подобни.

Свойство 3М. Ако M е точката на Микел за четириъгълника \(A B C D\), то

са изпълнени равенствата:

(1)\(M A \cdot M C=M B \cdot M D=M U \cdot M V=r^{2}\),

където \(r\) е положителна константа, свързана с четириъгълника.

Доказателство. За точката на Микел \(M\) е изпълнено условието \(\triangle A D M \sim \Delta B C M\) (от свойство 1М) (фиг. 1). Тогава \(\cfrac{M A}{M D}=\cfrac{M B}{M C}\), откъдето имаме \(M A . M C=M B . M D\).MC = MB.MD . В същото време за точката на Микел е изпълнено и условието \(\triangle D U M \sim \Delta V B M\) (от свойство 2М) (фиг. 1). Тогава \(\cfrac{M D}{M U}=\cfrac{M V}{M B}\), откъдето получаваме \(M B \cdot M D=M U \cdot M V\).MD = MU.MV . Така се убедихме, че \(M A . M C=M B . M D=M U . M V\).

Определение 2. Числото \(r\) от равенство (1) ще наричаме константа на Микел за четириъгълника \(A B C D\).

Свойство 4М. Ако M е точката на Микел за четириъгълника \(A B C D\), то ъглите \(A M C, D M B\) и \(U M V\) имат обща ъглополовяща \(m\).

Доказателство. Тъй като за точката на Микел имаме \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) (от свойство 1М), то \(∢ D M A=∢ B M C\) (фиг. 1). Следователно ъглите \(D M B\) и \(A M C\) имат обща ъглополовяща \(m\). Понеже \(\triangle D U M \sim \triangle V B M\) (от свойство 2М), то \(∢ D M U=∢ B M V\). Следователно ъглополовящата \(m\) на \(∢ D M B\) е ъглополовяща и на \(∢ U M V\). Така се убедихме, че и трите ъгъла имат обща ъглополовяща \(m\).

Определение 3. Ако \(M\) е точката на Микел за четириъгълника \(A B C D\), общата ъглополовяща \(m\) на ъглите \(A M C, D M B\) и \(U M V\) ще наричаме ос на Микел.

2. Инверсна симетрия. Сега ще припомним едно известно преобразувание в равнината, аналитичният вид на което в комплексната равнина се дава с функцията \(\cfrac{1}{z}\). Както ще видим, то е тясно свързано с точката на

Микел.

Определение 4. Нека \(M\) е точка в равнината, \(m\)– права през \(M\), и \(r\)– дадено положително число. Композицията от симетрията \(g\) спрямо правата \(m\) и инверсията \(Y\) с полюс \(M\) и степен \(r^{2}\) се нарича инверсна симетрия с полюс \(M\), ос \(m\) и степен \(r^{2}\), която ще бележим с \(Y \circ g\).

Ще докажем няколко свойства на инверсната симетрия, които ще са ни необходими по-нататък.

Свойство 1I. Нека \(Y \circ g\) е инверсна симетрия с полюс \(M\), ос \(m\) и степен \(r^{2}\). Ако \(X_{1}\) е образът на точката \(X \neq M\) при преобразуванието \(Y \circ g\), то лъчът \(M X_{1}^{\rightarrow}\) е симетричен на лъча \(M X^{\rightarrow}\) спрямо оста \(m\) и \(M X_{1}=\cfrac{r^{2}}{M X}\).

Доказателство. Образът на точката \(X\) при инверсната симетрия \(Y \circ g\) се получава, като към \(X\) приложим първо симетрията \(g\) с ос \(m\) (фиг. 2). Получаваме точката \(X'\) от лъча \(M P^{\rightarrow}\) , симетричен на лъча \(M X^{\rightarrow}\) спрямо оста \(m\), такава, че \(M X^{\prime}=M X\). Образът на \(X\) при инверсната симетрия \(Y \circ g\) получаваме окончателно, след като към точката \(X^{\prime}\) приложим инверсията \(Y\) с полюс \(M\) и степен \(r^2\) . Получената точка \(X_1\) лежи на лъча \(M P^{\rightarrow}\) и \(M X_{1} \cdot M X^{\prime}=r^{2}\), т.е. \(M X_{1}=\cfrac{r^{2}}{M X^{\prime}}\). От последното равенство и равенството \(M X_{1}=M X^{\prime}\) следва, че \(M X_{1}=\cfrac{r^{2}}{M X}\). Така се убедихме, че лъчът \(M X_{1}^{\rightarrow}\) е симетричен на лъча \(M X \rightarrow\) спрямо оста \(m\) и \(M X_{1}=\cfrac{r^{2}}{M X}\).

Свойство 2I. Нека \(Y \circ g\) е инверсна симетрия с полюс \(M\), ос \(m\) и степен \(r^{2}\). Ако \(A\) и \(B\) са точки, нележащи на една права с точката \(M\), и техните образи при преобразованието \(Y \circ g\) са съответно \(C\) и \(D\), то \(\triangle D C M \sim \triangle A B M\).

Доказателство. Имаме \(Y \circ g(A)=C\) иY \(Y \circ g(B)=D\) (по условие) (фиг. 3). Тогава лъчите \(M C^{\rightarrow}\) и \(M D^{\rightarrow}\) са симетрични съответно на лъчите \(M A^{\rightarrow}\) и \(MB^{\rightarrow}\) спрямо оста \(m\) иMC \(M C=\cfrac{r^{2}}{M A}, M D=\cfrac{r^{2}}{M B}\) (от току-що доказаното свойство 1I). От симетрията на споменатите лъчи следва, че \(∢ C M D=∢ A M B\), а от получените равенства след почленно деление намираме пропорцията \(\cfrac{M C}{M D}=\cfrac{M B}{M A}\). Затова можем да заключим, че \(\triangle D C M \sim \triangle A B M\).

Следващото свойство на инверсната симетрия изяснява връзката на преобразуванието с точката на Микел.

Свойство 3I. Нека \(Y \circ g\) е инверсна симетрия с полюс \(M\), ос \(m\) и степен \(r^{2}\), а \(A\) и \(B\) са точки, нележащи на една права с точката \(M\). Ако \(C\) и \(D\) са образите съответно на точките \(A\) и \(B\) при преобразованието \(Y \circ g\), а полюсът му \(M\) лежи в \(∢ U C V(U=A D \cap B C, V=A B \cap C D)\), то \(M\) е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\).

Доказателство. Понеже \(Y \circ g(A)=C, Y \circ g(B)=D\) и точките \(A\) и \(B\) не лежат на една права с полюса \(M\) (по условие), имаме \(\triangle D C M \sim \triangle A B M\) (от току-що доказаното свойство 2I) (фиг. 3). Но единствената точка \(M\) в \(∢ U C V\) с това свойство е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) (от свойство 1М). С това се убедихме, че полюсът \(M\) на инверсната симетрия \(Y \circ g\) е точка на Микел на четириъгълника \(A B C D\).

3. Инверсна изогоналност. Сега ще дефинираме една специална инверсна симетрия в равнината на изпъкнал четириъгълник.

Определение 5. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, а \(M, m\) и \(r\) са съответно точката, оста и константата на Микел за \(A B C D\). Инверсната симетрия \(Y \circ g\) с полюс \(M\), ос \(m\) и степен \(r^{2}\) ще наричаме инверсна изогоналност относно \(A B C D\).

Както ще видим, инверсната изогоналност изобразява свързания с нея четириъгълник в себе си.

Свойство 4I (Пл. Александров). Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Ако \(Y \circ g\) е инверсната изогоналност спрямо него, то \(Y \circ g(B)=D\), \(Y \circ g(A)=C\) и \(Y \circ g(U)=V\).

Доказателство. Ще докажем, че \(Y \circ g(B)=D\) (фиг. 3). Другите две релации се доказват аналогично. Инверсната изогоналност \(Y \circ g\) спрямо четириъгълника \(A B C D\) е инверсна симетрия с ос - оста \(m\) на Микел на четириъгълника (по определение 5). Последната е ъглополовяща на \(∢ D M B\) (определение 3). Следователно лъчът \(M D \rightarrow\) е симетричен на лъча \(M B \rightarrow\) относно оста \(m\). Тогава, ако \(Y \circ g(B)=B_{1}\), точката \(B_{1}\) лежи на лъча \(M D^{\rightarrow}\) (от свойство 1 M ). От същото свойство имаме \(M B_{1}=\cfrac{r^{2}}{M B}\), където \(r^{2}\) е степента на инверсната симетрия \(Y \circ g\),или с други думи - константата на Микел на \(A B C D\). Последната дефинирахме в определение 2 с равенствата \(M A \cdot M C=M B \cdot M D=M U \cdot M V=r^{2}\). Оттук в частност имаме \(M B \cdot M D=r^{2}\) и \(M D=\cfrac{r^{2}}{M B}\). От получените равенства следва, че \(M B_{1}=M D\). Като вземем предвид, че при това точката \(B_1\) лежи на лъча \(MD^{\rightarrow}\) (по доказаното по-горе), заключаваме, че \(B_{1} \equiv D\). Следователно \(Y \circ g(B)=D\).

Ако две точки се изобразяват една в друга при инверсната изогоналност, ще ги наричаме инверсно изогонални. Както ще видим, разстоянията от инверсно изогоналните точки до върховете на четириъгълника са свързани с прости зависимости.

Теорема 2. Нека дължините на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) на четириъгълника \(A B C D\) са съответно \(a, c\) и \(d\). Ако точките \(X_{1}\) и \(X_{2}\) са инверсно изогонални, то са изпълнени равенствата:

(2)\(\cfrac{A X_{2}}{B X_{2}}=\cfrac{C X_{1}}{D X_{1}} \cdot \cfrac{d}{b}, \cfrac{B X_{2}}{C X_{2}}=\cfrac{D X_{1}}{A X_{1}} \cdot \cfrac{a}{c}, \cfrac{C X_{2}}{D X_{2}}=\cfrac{A X_{1}}{B X_{1}} \cdot \cfrac{b}{d}, \cfrac{D X_{2}}{A X_{2}}=\cfrac{B X_{1}}{C X_{1}} \cdot \cfrac{c}{a}\).

Доказателство. Нека \(Y \circ g\) е инверсната изогоналност относно \(A B C D\). Следователно \(Y \circ g\left(X_{1}\right)=X_{2}, Y \circ g(C)=A\) и \(Y \circ g(D)=B\) (от свойство 4I) (фиг. 4). Тогава \(Y \circ g\left(C X_{1}\right)=A X_{2}\) и \(Y \circ g\left(D X_{1}\right)=B X_{2}\). По формулата за преобразуване на разстоянията при инверсия получаваме \(A X_{2}=\cfrac{C X_{1} \cdot r^{2}}{C M \cdot X_{1} M}\), \(B X_{2}=\cfrac{D X_{1} \cdot r^{2}}{D M \cdot X_{1} M}\). Разделяме почленно тези равенства и получаваме \(\cfrac{A X_{2}}{B X_{2}}=\cfrac{C X_{1}}{D X_{1}} \cdot \cfrac{D M}{C M}\). Понеже \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) (от свойство 1М), същевременно имаме \(\cfrac{D M}{C M}=\cfrac{A D}{B C}\), т.е. \(\cfrac{D M}{C M}=\cfrac{d}{b}\). Заместваме в последното равенство и получаваме \(\cfrac{A X_{2}}{B X_{2}}=\cfrac{C X_{1}}{D X_{1}} \cdot \cfrac{d}{b}\). С това доказахме първото от равенствата (2). Аналогично се доказват и останалите равенства.

Както ще видим сега, ъглите, под които срещуположните страни на четириъгълника се виждат от две инверсно изогонални точки, са тясно свързани.

Свойство 5I. Ако \(X\) и \(X_{1}\) са инверсно изогонални точки в четириъгълника \(A B C D\) и \(∢ A U B=\varphi, ∢ A V D=\psi\), , то са изпълнени равенствата:

(3)\[ ∢ A X_{1} B=∢ D X C+\varphi, ∢ A X D=∢ B X_{1} C+\psi . \]

Доказателство. Нека \(M\) е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 5). Ще разгледаме случая, когато точката \(X\) не лежи на правата \(M C\). Имаме \(Y \circ g(X)=X_{1}\) (по условие) и \(Y \circ g(D)=B\) (от свойство 4I). Към точките \(X\) и \(D\), които не могат да лежат на една права с точката на Микел \(M\), защото \(M\) лежи в \(∢ U C V\), а \(X\) - в четириъгълника, прилагаме свойство 2I на инверсната симетрия и получаваме, че \(\triangle B X_{1} M \sim \triangle X D M\). Следва, че

(4)\[ ∢ M B X_{1}=∢ M X D . \]

Аналогично от \(Y \circ g(X)=X_{1}\) (по условие) и \(Y \circ g(C)=A\) (от свойство 4I), като вземем предвид, че точките \(X\) и \(C\) не лежат на една права с точката на Микел \(M\) (според направената уговорка), получаваме \(\Delta X_{1} A M \sim \Delta C X M\) (от свойство 2I). Следва, че

(5)\[ ∢ M A X_{1}=∢ M X C . \]

Точката на Микел \(M\) на четириъгълника \(A B C D\) лежи върху описаната окръжност на \(\triangle A B U\) (по определение 1), следователно \(∢ A M B=∢ A U B=\varphi\). Като вземем предвид равенства (4) и (5), последното равенство и означим с \(P\) произволна точка от продължението на отсечката \(M X_{1}\), получаваме:

\[ \begin{aligned} & ∢ A X_{1} B=∢ A X_{1} P+∢ B X_{1} P=\left(∢ A M X_{1}+M A X_{1}\right)+\left(∢ B M X_{1}+∢ M B X_{1}\right)= \\ & =\left(∢ A M X_{1}+∢ B M X_{1}\right)+∢ M A X_{1}+∢ M B X_{1}=∢ A M B+∢ M X C+∢ M X D= \\ & =∢ A M B+(∢ M X C+∢ M X D)=∢ A U B+∢ D X C=\varphi+∢ D X C . \end{aligned} \] Така се убедихме, че \(∢ A X_{1} B=∢ D X C+\varphi\), с което първото от равенствата (3) е доказано. Аналогично се доказва и второто равенство.

Преди да разгледаме други важни свойства на инверсната изогоналност, ще приведем още едно определение.

Определение 6. Нека \(A B\) е произволна отсечка в равнината. Ще казваме, че точките \(X\) и \(Y\) са изогонални спрямо отсечката \(A B\), ако те лежат на окръжност, минаваща през точките \(A\) и \(B\).

Лема 3. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, а \(Y\) е произволна точка в него. Нека \(X\) е точката, изогонална на \(Y\) спрямо всяка от страните \(A D\) и \(B C\), а \(X_{1}\)– точката, изогонална на \(Y\) спрямо всяка от страните \(A B\) и \(D C\). Ако точките \(X\) и \(X_{1}\) лежат в четириъгълника и \(∢ A U B=\varphi, ∢ A V D=\psi\), , то са изпълнени равенствата:

(6)\[ ∢ A X_{1} B=∢ D X C+\varphi, ∢ A X D=∢ B X_{1} C+\psi . \]

Доказателство. Точките \(X_{1}\) и \(Y\) са изогонални спрямо страната \(A B\) и лежат в четириъгълника (по условие). Следователно те лежат на дъга от окръжност с краища точките \(A\) и \(B\) (фиг.6). Тогава имаме:

(7)\[ ∢ A Y B=∢ A X_{1} B . \]

Точките \(X\) и \(Y\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\) и лежат в четириъгълника (по условие). Следователно те лежат на дъга от окръжност с краища точките \(A\) и \(D\) и на дъга от окръжност с краища точките \(B\) и \(C\). Означаваме с \(P\) произволна точка от продължението на отсечката \(X Y\). От вписаните четириъгълници \(A Y X D\) и \(B Y X C\) имаме:

\[ \begin{aligned} & ∢ A Y B=∢ A Y P+∢ B Y P=∢ A D X+∢ B C X=(∢ D X U+∢ D U X)+(∢ C X U+∢ C U X)= \\ & =(∢ D X U+∢ C X U)+(∢ D U X+∢ C U X)=∢ D X C+∢ D U C=∢ D X C+\varphi . \end{aligned} \] От полученото равенството \(∢ A Y B=∢ D X C+\varphi\) и (7) следва \(∢ A X_{1} B=∢ D X C+\varphi\), т.е. първото от равенства (6). Аналогично се доказва и второто равенство.

Следващата теорема дава достатъчно условие две точки в четириъгълника да са инверсно изогонални.

Теорема 3. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, а \(X\) и \(X_{1}\) са две точки в него, за които съществува точка \(Y\), изогонална на \(X\) спрямо страните \(A D\) и \(B C\) и изогонална на \(X_{1}\) спрямо страните \(A B\) и \(C D\). Ако точката \(Y\) и инверсно изогоналната точка \(X^{*}\) на \(X^{*} \equiv X_{1}\) лежат в четириъгълника, то \(X^{*} \equiv X_{1}\), т.е. точката \(X_{1}\) е инверсно изогонална на \(X\).

Доказателство. Означаваме \(∢ A U B=\varphi\) и \(∢ A V D=\psi\) (фиг. 6). Точката \(X\) в четириъгълника е изогонална на \(Y\) спрямо всяка от страните \(A D\) и \(B C\), а точката \(X_{1}\) е изогонална на \(Y\) спрямо всяка от страните \(A B\) и \(C D\) (по условие). Затова според лема 3 са изпълнени равенствата:

(8)\[ ∢ A X_{1} B=∢ D X C+\varphi, ∢ A X D=∢ B X_{1} C+\psi . \]

Точката \(X\) и инверсно изогоналната ѝ \(X^{*}\) лежат в четириъгълника (по условие). Затова от свойство 5I следват равенствата:

(9)\[ ∢ A X^{*} B=∢ D X C+\varphi, ∢ A X D=∢ B X^{*} C+\psi . \]

От (8) и (9) следват равенствата \(∢ A X_{1} B=∢ A X^{*} B\) и \(∢ B X_{1} C=∢ B X^{*} C\). Освен това точките \(X\) и \(X^{*}\) лежат по условие в четириъгълника. Оттук заключаваме, че те лежат на дъга от окръжност с краища точките \(A\) и \(B\) и върху дъга от окръжност с краища точките \(B\) и \(C\). Освен точката \(B\) тези дъги имат още само една обща точка, поради което \(X^{*}\) и \(X_{1}\) съвпадат. Следователно инверсно изогоналната точка \(X^{*}\) на \(X\) съвпада с \(X_{1}\), т.е. \(X_{1}\) е инверсно изогонална на \(X\).

Следващата теорема, както ще видим, е обобщение на теоремата на Микел за пълния четириъгълник (теорема 1).

Теорема 4. Нека \(X\) и \(X_{1}\) са инверсно изогонални точки в изпъкналия четириъгълник \(A B C D\).

а) Описаните окръжности на триъгълниците \(A X_{1} B, C X_{1} D, A X D\) и \(C X B\) се пресичат в една точка.

б) Описаните окръжности на триъгълниците \(A X_{1} D, B X_{1} C, A X B\) и \(C X D\) се пресичат в една точка.

Доказателство. Означаваме втората обща точка на описаните окръжности \(k_{1}\) и \(k_{2}\) съответно на \(\triangle A X_{1} B\) и \(C X_{1} D\) с \(Y\) (фиг. 6). Ще покажем, че през нея минават и описаните окръжности \(k_{3}\) и \(k_{4}\) съответно на \(\triangle A X D\) и \(\triangle C X B\), с което ще бъде доказано, че и четирите описани окръжности \(k_{1}, k_{2}, k_{3}\) и \(k_{4}\) минават през една точка. Точката \(Y\) е изогонална на \(X\) спрямо страните \(A B\) и \(C D\) (по определение 6). Нека \(X^{\prime}\) е изогоналната точка на \(Y\) спрямо страните \(A D\) и \(B C\). За точките \(X_{1}\) и \(X^{\prime}\) съществува точка, а именно точката та \(Y\) такава, че \(X_{1}\) и \(Y\) са изогонални спрямо страните \(A B\) и \(C D\), а \(X^{\prime}\) и \(Y\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\). По теорема 3 можем да заключим, че инверсно изогоналната точка на \(X\) съвпада с \(X^{\prime}\). Но точката \(Y\) бе изогонална на \(X^{\prime}\) спрямо страните \(A D\) и \(B C\) и затова тя е изогонална на \(X\) спрямо тези страни. Следователно описаните окръжности на \(\triangle A X D\) и \(\triangle B X C\) също минават през \(Y\). С това твърдение а) е доказано. Аналогично се доказва б).

Забележка. От свойство 4I на инверсната изогоналност имаме, че в частност точките \(U\) и \(V\) са инверсно изогонални (фиг. 6). Като приложим токущо доказаната теорема 4 към тези точки, получаваме, че описаните окръжности на четирите триъгълника \(A B U, C D U, A D V\) и \(B C V\) минават през една точка. Но това е точно формулировката на теорема 1 (теоремата на Микел). Виждаме, че теоремата на Микел за пълния четириъгълник е частен случай от теорема 4, т.е. теорема 4 е обобщение на теоремата на Микел.

Както ще видим сега, някои забележителни точки в четириъгълника се изобразяват при инверсната изогоналност в други. Ще ни е необходима следната

Лема 4. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник с пресечна точка на диагоналите \(T\). Ако \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са брокарианите, а \(O\) е псевдоцентърът на \(A B C D\), то са изпълнени следните свойства.

а) Точките \(K_{1}\) и \(T\) са изогонални спрямо страните \(A B\) и \(C D\), а точките \(K_{2}\) и \(T\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\).

б) Точките \(O\) и \(K_{1}\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\), а точките \(O\) и \(K_{2}\) са изогонални спрямо страните \(A B\) и \(C D\).

Доказателство. Брокарианата \(K_{1}\) е втората обща точка на описаните окръжности за \(A B T\) и \(\triangle C D T\)– по определение 1 от (Haimov, 2005) (фиг. 7). Затова точките \(K_{1}\) и \(T\) са изогонални спрямо страните \(A B\) и \(C D\) (по определение 6). Аналогично се доказва, че точките \(K_{2}\) и \(T\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\). Псевдоцентърьт \(O\) и брокарианата \(K_{1}\) лежат на окръжност, минаваща през точките \(A\) и \(D\), и на окръжност, минаваща през точките \(B\) и \(C\)– според забележката след теорема 1 от (Хаимов, 2010). Това означава, че точките \(O\) и \(K_{1}\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\). Аналогично се доказва, че точките \(O\) и \(K_{2}\) са изогонални спрямо страните \(A B\) и \(C D\).

Теорема 5. Нека \(Y \circ g\) е инверсната изогоналност спрямо изпъкналия четириъгълник \(A B C D\). Ако \(T\) е пресечната точка на диагоналите, \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са\(Y \circ g(T)=O\) брокарианите,. а \(O\) е псевдоцентърът на \(A B C D\), то \(Y \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) и

Доказателство. Ще разгледаме случая, когато точките \(K_{1}, K_{2}\) и \(Y \circ g\left(K_{1}\right)\) лежат в четириъгълника (фиг. 7). Другите случаи се разглеждат аналогично. За точките \(K_{1}\) и \(K_{2}\) съществува точка (а именно точката Т), изогонална на \(K_{1}\) спрямо страните \(A B\) и \(C D\) и изогонална на \(K_{2}\) спрямо страните \(A D\) и \(B C\) (по лема 4). При това точките \(K_{1}, K_{2}\) и \(Y \circ g\left(K_{1}\right)\) според направената уговорка лежат в четириъгълника. По теорема 3 можем да заключим, че \(Y \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\). Аналогично се доказва, че \(Y \circ g(T)=O\).

Следствие. Нека \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са брокарианите на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\). Ако четириъгълникът \(A K_{2} C K_{1}\) е изпъкнал, неговата точка на Микел съвпада с точката на Микел за \(A B C D\).

Доказателство. Ще разглеждаме случая, когато точките \(A\) и \(K_{1}\) не лежат на една права с точката на Микел \(M\) за четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 7). Нека \(Y \circ g\) е инверсната изогоналност спрямо \(A B C D\). Имаме \(Y \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (по теорема 5) и \(Y \circ g(A)=C\) (свойство 4I). При това \(Y \circ g\) е инверсна симетрия с полюс \(M\). Можем да използваме свойство 3I на инверсната симетрия и да заключим, че полюсът \(M\) на инверсната симетрия \(Y \circ g\) е точка на Микел на четириъгълника \(A K_{2} C K_{1}\). Следователно точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) е точка на Микел и за четириъгълника \(A K_{2} C K_{1}\).

Накрая с помощта на инверсната изогоналност ще докажем една връзка между две забележителни точки в четириъгълника.

Теорема 6. Нека \(M\) е точката на Микел за изпъкналия четириъгълник \(A B C D\). Ако правите \(A C\) и \(B D\) не минават през \(M\), то точката \(M\) и псевдоцентърът \(O\) на \(A B C D\) лежат на окръжност, минаваща през точките \(A\) и \(C\), и на окръжност, минаваща през точките \(B\) и \(D\).

Доказателство. При инверсната изогоналност \(Y \circ g\) права, не минаваща през полюса \(M\), се изобразява в окръжност, минаваща през \(M\) (от известно свойство на инверсията). Понеже \(Y \circ g(A)=C\) и \(Y \circ g(C)=A\) (свойство 4I) (фиг. 8), правата \(A C\) се изобразява в окръжност, минаваща през \(C, A\) и \(M\), т.е. в описаната окръжност \(k_{1}\) на \(\triangle A C M\). Аналогично правата \(B D\) се изобразява в описаната окръжност \(k_{2}\) на \(\triangle B D M\). Общата точка \(T\) на правите \(A C\) и \(B D\) се изобразява при преобразуванието \(Y \circ g\) в обща точка на окръжностите \(k_{1}\) и \(k_{2}\). Но точката \(T\) се изобразява при инверсната изогоналност \(Y \circ g\) в псевдоцентъра \(O\) (по теорема 5). Следователно именно псевдоцентърът \(O\) е втората обща точка на описаните окръжности \(k_{1}\) и \(k_{2}\) на триъгълниците \(A C M\) и \(B D M\). Следователно точките \(O\) и \(M\) лежат на окръжност.

REFERENCES / литература

Sharigin, I. (1986). Geometry problems. Plane geometry. Moscow: Nauka. [Шарыгин, И. (1986). Задачи по геометрии. Планиметрия. Москва: Наука.]

Haimov, H. (2001). The Brocardians – notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 6. [Хаимов, Х. (2001). Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6.]

Alexandrov, P. & H. Haimov (2003). Geometry of the Quadrangle Isogonal Conjugated Points. Proceedings of the the International Congress of MASSEE 2003, 141.

Haimov, H. (2005). Brocardian points of a quadrilateral, Mathematics Plus, 5. [Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълник, Математика плюс, 5.]

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral, Mathematics Plus, 2, 28 – 50. [Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника, Математика плюс, 2, 28 – 50.]

Georgieva, M. & S. Grozdev (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4{ }^{\text {th }}\) ed.). Sofia: Publ. House “Iztok-Zapad”. (ISBN 978-619-152-869-1). 327 pages [Георгиева М., Гроздев С. (2016). [Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4то изд.) София: Издателство „Изток – Запад“]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE. (ISBN 978-954-921391-1), 295 pages

Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska (2015). Geometry of complex numbers, Sofia: Arhimedes 2000. (ISBN 978-954-779-1886)