Математика и Информатика
Вход / Регистрация

https://doi.org/10.53656/math2025-4-1-gcs

2025/4, стр. 365 - 373

A GENERALIZATION OF THE COLLINEARITY OF THE STEREOGRAPHIC PROJECTION AROUND THE LEMOINE POINT

Vladislav Natchev
OrcID: 0009-0008-9568-413X
E-mail: v.natchev2007@gmail.com
American College of Sofia
Sofia Bulgaria

Резюме: Under stereographic projection, the projection point is collinear with the Lemoine points of the projection and the projected triangles or with the centers of their Apollonian circles (Natchev 2025). In the current paper, we generalize the discovered property of stereographic projection by proving that it applies to every point on the plane expressed in the barycentric form \(\left(\delta a^{2}: \varepsilon b^{2}: \rho c^{2}\right)\), where \(\delta, \varepsilon, \rho \in \mathbb{R}\). For a particular case, we investigate the points on the symmedians of the triangle and the tangents to the circumcircle at the vertices, where we derive collinearity of two more notable points of a triangle, namely the feet of the symmedians and the vertices of the tangential triangle. By setting the planimetric equivalent of the newly found facts, we connect the configurations they give rise to with Olympiad geometry.

Ключови думи: stereographic projection; collinearity; Olympiad geometry

1. Introduction

The first goal of the paper is to generalize the newly deduced facts for stereographic projection around the Lemoine point and the centers of the Apollonian circles of a triangle. The second goal of the article is to find applications of the generalization in discovering notable geometric configurations directly related to Olympiad mathematics.

In Section 2, we generalize the newly found property of stereographic projection for all points on the plane that can be described by a specific barycentric expression, and for the points on the symmedians of the triangle and the tangents to the circumcircle at the vertices, in particular. In Section 3, we investigate the applications of the generalization in Olympiad geometry. We formulate and solve synthetically five problems of an Olympiad-level complexity based on an examination of several special cases of the theorems introduced in Section 2. 1

2. A Generalization of the Properties of Stereographic Projection around the Lemoine Point

It appears that the newly discovered properties around the Lemoine point and the centers of the Apollonian circles apply to all points in the plane. In Section 2, we discover the barycentric expression by which the points can be described to satisfy the property of collinearity. We also investigate two particular loci of points, namely the symmedians of a triangle and the tangents to the circumcircle at the vertices.

Theorem 2.1. Let under stereographic projection with a projection point \(O \triangle A B C\) with sides \(a, b, c\) map to \(\triangle A_{1} B_{1} C_{1}\) with sides \(a_{1}, b_{1}, c_{1}\) (see fig. \(1)\). Then point \(O\), every point on the plane through \(\triangle A B C\), expressed in the barycentric form \(\left(\delta a^{2}: \varepsilon b^{2}: \rho c^{2}\right)\), and the point on the plane through \(\triangle A_{1} B_{1} C_{1}\), expressed in the barycentric form ( \(\delta a_{1}^{2}: \varepsilon b_{1}^{2}: \rho c_{1}^{2}\) ), are collinear, where \(\delta, \varepsilon, \rho \in \mathbb{R}\).

Proof. If we denote the reference sphere and the projection plane by \(\Sigma\) and \(\mu\), correspondingly, then, by definition of stereographic projection, it follows that the plane \(\mu\) is perpendicular to the diameter in \(\Sigma\) through \(O\). Therefore, there exists a single sphere \(i(O, r)\) with a center point \(O\) such that the plane \(\mu\) is the radical plane of the spheres \(\Sigma\) and \(i\). Therefore, under inversion \(\Phi\) with an inversion sphere \(i(O, r), \Sigma \xrightarrow{\Phi} \mu\) (and so \(A \xrightarrow{\Phi} A_{1}, B \xrightarrow{\Phi} B_{1}\), and \(C \xrightarrow{\Phi} C_{1}\) ).

By applying the metric property of inversion (Johnson 1960, p. 48), \(a_{1}=\) \(\tfrac{r^{2} \cdot a}{O C \cdot O B}, b_{1}=\tfrac{r^{2} \cdot b}{O A \cdot O C}\), and \(c_{1}=\tfrac{r^{2} \cdot c}{O B \cdot O A}\). Let us take a point \(P\) on the plane through \(\triangle A B C\) with barycentric coordinates with respect to the triangle ( \(\delta a^{2}: \varepsilon b^{2}: \rho c^{2}\) ), where \(\delta, \varepsilon, \rho \in \mathbb{R}\).

It is clear that \(\overrightarrow{O P}=\tfrac{\delta a^{2} \cdot \overrightarrow{O A}+\varepsilon b^{2} \cdot \overrightarrow{O B}+\rho c^{2} \cdot \overrightarrow{O C}}{\delta a^{2}+\varepsilon b^{2}+\rho c^{2}}\), and so \(\lambda_{1} \overrightarrow{O P}=\)

\(\delta a^{2} \cdot \overrightarrow{O A}+\varepsilon b^{2} \cdot \overrightarrow{O B}+\rho c^{2} \cdot \overrightarrow{O C}\), where \(\lambda_{1}=\delta a^{2}+\varepsilon b^{2}+\rho c^{2}\). Let us denote the unit vectors with respect to \(\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\), and \(\overrightarrow{O C}\) by \(\overrightarrow{O A_{0}}, \overrightarrow{O B_{0}}\), and \(\overrightarrow{O C_{0}}\), correspondingly. Therefore, \(\lambda_{1} \overrightarrow{O P}=\delta a^{2} \cdot O A \cdot \overrightarrow{O A_{0}}+\varepsilon b^{2} \cdot O B \cdot \overrightarrow{O B_{0}}+\rho c^{2} \cdot O C \cdot \overrightarrow{O C_{0}}\).

Let us denote by \(P_{1}\) the point on the plane \(\mu\) with barycentric coordinates with respect to \(\triangle A_{1} B_{1} C_{1}\left(\delta a_{1}^{2}: \varepsilon b_{1}^{2}: \rho c_{1}^{2}\right)\). It is clear that \(\overrightarrow{O P_{1}}=\) \(\tfrac{\delta a_{1}^{2} \cdot \overrightarrow{O A_{1}}+\varepsilon b_{1}^{2} \cdot \overrightarrow{O B_{1}}+\rho c_{1}^{2} \cdot \overrightarrow{O C_{1}}}{\delta a_{1}^{2}+\varepsilon b_{1}^{2}+\rho c_{1}^{2}}\), and \(\lambda_{2} \overrightarrow{O P_{1}}=\delta a_{1}^{2} \cdot \overrightarrow{O A_{1}}+\varepsilon b_{1}^{2} \cdot \overrightarrow{O B_{1}}+\rho c_{1}^{2} \cdot \overrightarrow{O C_{1}}\), where \(\lambda_{2}=\delta a_{1}^{2}+\varepsilon b_{1}^{2}+\rho c_{1}^{2}\). Since \(O A \cdot O A_{1}=r^{2}\), then \(\overrightarrow{O A_{1}}=O A_{1} \cdot \overrightarrow{O A_{0}}=\) \(\tfrac{r^{2} \cdot \overrightarrow{O A_{0}}}{O A}\). Analogously for \(\overrightarrow{O B_{1}}\) and \(\overrightarrow{O C_{1}}\). Therefore, \(\lambda_{2} \overrightarrow{O P_{1}}=\tfrac{\delta a_{1}^{2} \cdot r^{2} \cdot \overrightarrow{O A_{0}}}{O A}+\) \(\tfrac{\varepsilon b_{1}^{2} \cdot r^{2} \cdot \overrightarrow{O B_{0}}}{O B}+\tfrac{\rho c_{1}^{2} \cdot r^{2} \cdot \overrightarrow{O C_{0}}}{O C}\). Now \(\lambda_{3} \overrightarrow{O P_{1}}=\tfrac{\delta a_{1}^{2} \cdot \overrightarrow{O A_{0}}}{O A}+\tfrac{\varepsilon b_{1}^{2} \cdot \overrightarrow{O B_{0}}}{O B}+\tfrac{\rho c_{1}^{2} \cdot \overrightarrow{O C_{0}}}{O C}\), where \(\lambda_{3}=\tfrac{\lambda_{2}}{r^{2}}\).

We observe that the vectors \(\overrightarrow{O A_{0}}, \overrightarrow{O B_{0}}\), and \(\overrightarrow{O C_{0}}\) are linearly independent in \(\mathbb{R}^{3}\), and so we can set a coordinate system with a center point \(O\) and a basis \(\overrightarrow{O A_{0}}, \overrightarrow{O B_{0}}\), and \(\overrightarrow{O C_{0}}\). Therefore, \(\lambda_{1} \overrightarrow{O P}=\left(\delta a^{2} . O A, \varepsilon b^{2} . O B, \rho c^{2} . O C\right)\) and \(\lambda_{3} \overrightarrow{O P_{1}}=\left(\tfrac{\delta a_{1}^{2}}{O A}, \tfrac{\varepsilon b_{1}^{2}}{O B}, \tfrac{\rho c_{1}^{2}}{O C}\right)\).

Let \(\kappa=\tfrac{\tfrac{\delta a_{1}^{2}}{O A}}{\delta a^{2} \cdot O A}\). Thus, \(\kappa=\tfrac{\tfrac{\delta a_{1}^{2}}{O A}}{\delta a^{2} \cdot O A}=\tfrac{\tfrac{\delta a^{2} \cdot r^{4}}{O B^{2} \cdot O C^{2}}}{\delta a^{2} \cdot O A^{2}}=\tfrac{\tfrac{r^{4} \cdot b^{2}}{O A^{2} \cdot O C^{2}} \cdot \delta a^{2} \cdot O A^{2}}{b^{2} \cdot O B^{2}}=\) \(\tfrac{\tfrac{b_{1}^{2} \cdot \delta a^{2} \cdot O A^{2}}{b^{2} \cdot O B^{2}}}{\delta a^{2} \cdot O A^{2}}=\tfrac{b_{1}^{2}}{b^{2} \cdot O B^{2}}=\tfrac{\tfrac{\varepsilon b_{1}^{2}}{O B}}{\varepsilon b^{2} \cdot O B}\). Also \(\kappa=\tfrac{b_{1}^{2}}{b^{2} \cdot O B^{2}}=\tfrac{\tfrac{c^{2}}{b^{2}} \cdot \tfrac{O C^{2}}{O B^{2}} \cdot b_{1}^{2}}{\tfrac{c^{2}}{b^{2}} \cdot b^{2} \cdot O C^{2}}=\)

\(\tfrac{\tfrac{r^{4} \cdot c^{2}}{\tfrac{O A^{2} \cdot O B^{2}}{r^{4} \cdot b^{2}}} \cdot b_{1}^{2}}{\tfrac{c^{2} \cdot O^{2}}{b^{2}} \cdot b^{2} \cdot O C^{2}}=\tfrac{\tfrac{c_{1}^{2}}{b_{1}^{2}} \cdot b_{1}^{2}}{\tfrac{c^{2}}{b^{2}} \cdot b^{2} \cdot O C^{2}}=\tfrac{c_{1}^{2}}{c^{2} \cdot O C^{2}}=\tfrac{\tfrac{\rho c_{1}^{2}}{O C}}{\rho c^{2} \cdot O C}\). Therefore, \(\kappa \cdot \lambda_{1} \cdot \overrightarrow{O P}=\) \(\lambda_{3} \cdot \overrightarrow{O P_{1}}\), and so \(\tfrac{\kappa \lambda_{1}}{\lambda_{3}} \cdot \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O P_{1}}\). Consequently, the points \(O, P\), and \(P_{1}\) are collinear.

Figure 1

Remark. Since every point on the plane through \(\triangle A B C\) can be expressed in the barycentric form \(\left(\delta a^{2}: \varepsilon b^{2}: \rho c^{2}\right)\), then the theorem applies for all points on the plane.

Now we will reveal two direct results from the theorem, investigating two cases for the constants’ values. If we set \(\epsilon=\rho=1\), then, taking into account that the barycentric equation for the \(A\)-symmedian of \(\triangle A B C\) is \(b^{2} z-c^{2} y=0\), we get the following result.

Theorem 2.2. Let under stereographic projection with a projection point \(O \triangle A B C\) with sides \(a, b, c\) map to \(\triangle A_{1} B_{1} C_{1}\) with sides \(a_{1}, b_{1}, c_{1}\) (see fig. 2). Then point \(O\), every point on the \(A\)-symmedian for \(\triangle A B C\), expressed in the barycentric form (\(\delta a^{2}: b^{2}: c^{2}\) ) , and the point on the \(A_{1}\)-symmedian for \(\triangle A_{1} B_{1} C_{1}\), expressed in the barycentric form (\(\delta a_{1}^{2}: b_{1}^{2}: c_{1}^{2}\) ), are collinear, where \(\delta \in \mathbb{R} .^{2}\)

Figure 2

Since the barycentric equation for the \(A\)-tangent line, (Schindler & Chen 2012, p. 14), is \(b^{2} z+c^{2} y=0\), then by setting \(\epsilon=1\) and \(\rho=-1\), we get the following fact as well.

Theorem 2.3. Let under stereographic projection with a projection point \(O \triangle A B C\) with sides \(a, b, c\) map to \(\triangle A_{1} B_{1} C_{1}\) with sides \(a_{1}, b_{1}, c_{1}\) (see fig. 3). Then point \(O\), every point on the \(A\)-tangent to the circumcircle of \(\triangle A B C\), expressed in the barycentric form ( \(\delta a^{2}: b^{2}:-c^{2}\) ), and the point on the \(A_{1}\) tangent for \(\triangle A_{1} B_{1} C_{1}\), expressed in the barycentric form ( \(\delta a_{1}^{2}: b_{1}^{2}:-c_{1}^{2}\) ), are collinear, where \(\delta \in \mathbb{R} .^{2}\)

Figure 3

3. Applications in Olympiad Geometry

The deduced generalization of collinearity between the center of stereographic projection and given points of the projection and the projected triangles finds application in Olympiad geometry. For this purpose, we reformulate the statements in Theorems 2.2. and 2.3. by the following way: "Let us take the intersecting circles \(k_{1}, k_{2}\), and \(k_{3}\) in the 3D space such that \(k_{1} \cap k_{2}=\{A, D\}, k_{2} \cap k_{3}=\{B, E\}\), and \(k_{1} \cap k_{3}=\{C, F\}\). Let \(A D \cap B E \cap C F=O\). Then point \(O\), the point with barycentric coordinates ( \(\delta a^{2}: b^{2}: \pm c^{2}\) ) with respect to \(\triangle A B C\), and the point with barycentric coordinates ( \(\delta d^{2}: e^{2}: \pm f^{2}\) ) with respect to \(\triangle D E F\) are collinear, where \(\delta \in \mathbb{R}\), and \(a, b, c\) and \(d, e, f\) are the sides of the two triangles." Point \(O\) lies on the radical line of the three circles, and so it will have the same power with respect to them, \(S\). Therefore, we can take an inversion with an inversion sphere with a center point \(O\) and a radius \(\sqrt{S}\), at which \(\triangle A B C\) will map to \(\triangle D E F\). It is clear that there exists a stereographic projection with a projection point \(O\), a reference sphere passing through the points \(A, B, C\), and \(O\), and a projection plane passing through the points \(D, E\), and \(F\). As a result, the restatement is valid. As a consequence, for the particular case when the three circles lie on a plane, we get a set of Olympiad-level planimetric configurations.

DDAABBCCFFEEOOTTEETTDDTTFFSSFFSSDDSSEELL11TTBBTTAALLSSAASSBBSSCCPPCCPPAAPPBBPPFFPPDDPPEEA'A'D'D'B'B'E'E'C'C'

Figure 4

We examine the following special cases for the value of the parameter from Theorem 2.2., in which a given notable point passes from one triangle to another:

• \(\delta=1\) – Lemoine point (synthetically proven in (Natchev 2025)) (see
fig. 4: the line \(O,L,L_1\) )

• \(\delta=0\) – foot of symmedian (see fig. 4: the line \(O,S_A,S_D\) with respect
to \(A\) and \(D\) )

• \(\delta=-\tfrac{1}{2}\) – intersection point of the symmedian with the circumcircle of the triangle (synthetically proven in (Natchev 2025)) (see fig. 4: the line \(O, A^{\prime}, D^{\prime}\) with respect to \(A\) and \(D\) ) (Note: the quadrilaterals \(A B A^{\prime} C\) and \(D E D^{\prime} F\) are harmonic)

• \(\delta=-1\) – vertex of the tangential triangle (see fig. 4: the line \(O,T_A,T_D\) with respect to \(A\) and \(D\) )

As well as for the value of the parameter from Theorem 2.3.:

• \(\delta=1\) – vertex of the tangential triangle

• \(\delta=0\) – center of an Apollonian circle (synthetically proven in (Natchev 2025)) (see fig. 4: the line \(O, P_{A}, P_{D}\) with respect to \(A\) and \(D\) )

Based on the discovered facts, we formulate five Olympiad problems and solve them synthetically. The collinearity of the Lemoine points, the intersection points of the symmedians with the circumcircles, and the centers of the Apollonian circles of the projection and the projected triangles is proven in (Natchev 2025) using inversion, polar reciprocation, and properties of symmedians and Apollonian circles.

Problem 3.1. Let us take the intersecting circles \(k_{1}, k_{2}\), and \(k_{3}\) in the plane such that \(k_{1} \cap k_{2}=\{A, D\}, k_{2} \cap k_{3}=\{B, E\}\), and \(k_{1} \cap k_{3}=\{C, F\}\). Let \(A D \cap B E \cap C F=O\). Prove that point \(O\), the centers of the Apollonian circles for \(\triangle A B C\), and the corresponding points for \(\triangle D E F\) are collinear.

Problem 3.2. Let us take the intersecting circles \(k_{1}, k_{2}\), and \(k_{3}\) in the plane such that \(k_{1} \cap k_{2}=\{A, D\}, k_{2} \cap k_{3}=\{B, E\}\), and \(k_{1} \cap k_{3}=\{C, F\}\). Let \(A D \cap B E \cap C F=O\). Prove that point \(O\), the intersection points of the symmedians with the circumcircle of \(\triangle A B C\), and the corresponding points for \(\triangle D E F\) are collinear.

Problem 3.3. Let us take the intersecting circles \(k_{1}, k_{2}\), and \(k_{3}\) in the plane such that \(k_{1} \cap k_{2}=\{A, D\}, k_{2} \cap k_{3}=\{B, E\}\), and \(k_{1} \cap k_{3}=\{C, F\}\). Let \(A D \cap B E \cap C F=O\). Prove that point \(O\), the Lemoine point for \(\triangle A B C\), and the Lemoine point for \(\triangle D E F\) are collinear.

Problem 3.4. Let us take the intersecting circles \(k_{1}, k_{2}\), and \(k_{3}\) in the plane such that \(k_{1} \cap k_{2}=\{A, D\}, k_{2} \cap k_{3}=\{B, E\}\), and \(k_{1} \cap k_{3}=\{C, F\}\). Let \(A D \cap B E \cap C F=O\). Prove that point \(O\), the feet of the symmedians for \(\triangle A B C\), and the corresponding points for \(\triangle D E F\) are collinear.

Proof. We will prove the statement with respect to the vertices \(A\) and \(D\). Let us denote the feet of the symmedians by \(S_{A}\) and \(S_{D}\), correspondingly (see fig. 4). From the cyclic quadrilateral \(F E B C\), it follows that \(\triangle O C B \sim \triangle O E F\). Thus, by Steiner isogonality (ratio) theorem, (Rong 2021, p. 4), we know that the points \(O, S_{A}\), and \(S_{D}\) are collinear if and only if \(\tfrac{C S_{A}}{S_{A} B} \cdot \tfrac{E S_{D}}{S_{D} F}=\tfrac{O E^{2}}{O F^{2}}\). From the similarity we have that \(\tfrac{O C}{O B}=\tfrac{O E}{O F}\). But from the cyclic quadrilateral \(D F C A\), it follows that \(\triangle O A C \sim \triangle O F D\), from where \(\tfrac{A C}{D F}=\tfrac{O C}{O D}\), and so \(A C^{2}=\tfrac{D F^{2} \cdot O C^{2}}{O D^{2}}\). From the cyclic quadrilateral \(A B E D\), it follows that \(\triangle O A B \sim \triangle O E D\), from where \(\tfrac{A B}{D E}=\tfrac{O B}{O D}\), and so \(A B^{2}=\tfrac{D E^{2} \cdot O B^{2}}{O D^{2}}\). From the symmedian property, we derive \(\tfrac{C S_{A}}{S_{A} B}=\tfrac{A C^{2}}{A B^{2}}\) and \(\tfrac{F S_{D}}{S_{D} E}=\tfrac{D F^{2}}{D E^{2}}\). Therefore, we have that \(\tfrac{C S_{A}}{S_{A} B} \cdot \tfrac{E S_{D}}{S_{D} F}=\tfrac{A C^{2}}{A B^{2}} \cdot \tfrac{E S_{D}}{S_{D} F}=\) \(\tfrac{\tfrac{D F^{2} \cdot O C^{2}}{O D^{2}}}{\tfrac{D E^{2} \cdot O B^{2}}{O D^{2}}} \cdot \tfrac{E S_{D}}{S_{D} F}=\tfrac{D F^{2}}{D E^{2}} \cdot \tfrac{O C^{2}}{O B^{2}} \cdot \tfrac{E S_{D}}{S_{D} F}=\tfrac{F S_{D}}{S_{D} E} \cdot \tfrac{O E^{2}}{O F^{2}} \cdot \tfrac{E S_{D}}{S_{D} F}=\tfrac{O E^{2}}{O F^{2}}\) that we wanted to prove.

Problem 3.5. Let us take the intersecting circles \(k_{1}, k_{2}\), and \(k_{3}\) in the plane such that \(k_{1} \cap k_{2}=\{A, D\}, k_{2} \cap k_{3}=\{B, E\}\), and \(k_{1} \cap k_{3}=\{C, F\}\). Let \(A D \cap B E \cap C F=O\). Prove that point \(O\), the vertices of the tangential triangle for \(\triangle A B C\), and the corresponding points for \(\triangle D E F\) are collinear.

Proof. We will prove the condition with respect to the vertices \(A\) and \(D\). Let us denote the vertices of the tangential triangles by \(T_{A}\) and \(T_{D}\), correspondingly (see fig. 4). If we denote the other notable points analogously and the Lemoine points by \(L\) and \(L_{1}\), we observe that \(\left(A, S_{A} ; L, T_{A}\right) \stackrel{C}{=}\) \(\left(A C \cap T_{C} T_{A}, B ; T_{C}, T_{A}\right)=-1\) since \(T_{C} C \cap T_{A} A \cap T_{B} B=L\). By Problems 3.3. and 3.4., we have that the points \(O, A, D ; O, L, L_{1} ; O, S_{A}, S_{D}\) are collinear. Let us construct the line through the points \(D, L_{1}\), and \(S_{D}\), and let us intersect it with the line \(O T_{A}\) at point \(T_{D}^{\prime}\). Therefore, \(-1=\left(A, S_{A} ; L, T_{A}\right) \stackrel{O}{=}\) ( \(D, S_{D} ; L_{1}, T_{D}^{\prime}\) ), but there exists a single point \(T_{D}^{\prime}\) from the line \(D L_{1}\) such that the points \(D, L_{1}, S_{D}\), and \(T_{D}^{\prime}\) are in harmonic division in this order, and we know that \(T_{D}\) is such. Consequently, \(T_{D}^{\prime} \equiv T_{D}\), which we wanted to prove.

4. Conclusion

We expand the newly discovered properties of stereographic projection around the Lemoine point in (Natchev 2025) to every point on the plane that can be expressed in the barycentric form \(\left(\delta a^{2}: \varepsilon b^{2}: \rho c^{2}\right)\). Using inversion and vectors, we prove the desired collinearity of corresponding points between the projection and the projected triangles.

We draw a parallel between the proven generalization and Olympiad geometry. We reformulate the two theorems from Section 2 related to the points on the symmedians and the tangents to the circumcircle at the vertices so that we can evaluate the special case when the construction is planimetric. Then we examine several particular cases for the value of the constant from Theorems 2.2. and 2.3., which leads to the proof of collinearity of two additional notable points of a triangle under stereographic projection as well as to an analytical confirmation of the derived results in (Natchev 2025). Moreover, we formulate the newly found planimetric configurations as Olympiad problems and solve them synthetically using Olympiad methods.

Therefore, in this paper, we managed to: generalize the newly discovered properties of stereographic projection for all points (Theorem 2.1.), for the symmedians (Theorem 2.2.), and for the tangents to the circumcircle at the vertices of the triangle (Theorem 2.3.), formulate Olympiad problems derived from this generalization (Problems 3.1., 3.2., 3.3., 3.4., and 3.5.), and solve them synthetically.

In conclusion, we provide a generalization of the newly found facts around stereographic projection in (Natchev 2025), and as a consequence, we formulate five Olympiad problems. The discovered constructions would be significant for the development of Olympiad geometry and for encouraging further exploration of the topic.

NOTES

1. All statements in this paper refer to the three-dimensional Euclidean space unless otherwise stated.

2. Analogously, the theorem applies to the other vertices.

REFERENCES

JOHNSON, R., 1960. Coaxal Circles and Inversion. Advanced Euclidean Geometry. Dover, p. 48.

NATCHEV, V., 2025. Apollonian Sphere and Properties of Stereographic Projection around the Lemoine Point. Mathematics and Informatics. 68(1). Available from: https://doi.org/10.53656/math2025-1-3-apo

RONG, V., 2021. Ratio Chasing. Victor Rong Math Olympiad Handouts, p. 4.

SCHINDLER, M. & CHEN, E., 2012. Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry. Evan Chen Olympiad Articles, p. 14.

2025 година
Книжка 6
ENHANCING STUDENT MOTIVATION AND ACHIEVEMENT THROUGH DIGITAL MIND MAPPING

Mikloš Kovač, Mirjana Brdar, Goran Radojev, Radivoje Stojković

OPTIMIZATION VS BOOSTING: COMPARISON OF STRATEGIES ON EDUCATIONAL DATASETS TO EXPLORE LOW-PERFORMING AT-RISK AND DROPOUT STUDENTS

Ranjit Paul, Asmaa Mohamed, Peren Canatalay, Ashima, Kukkar, Sadiq Hussain, Arun Baruah, Jiten Hazarika, Silvia Gaftandzhieva, Esraa Mahareek, Abeer Desuky, Rositsa Doneva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE AS A TOOL FOR PEDAGOGICAL INNOVATIONS IN MATHEMATICS EDUCATION

Stanka Hadzhikoleva, Maria Borisova, , Borislava Kirilova

Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev, Nadezhda Borisova, Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски, Марияна Николова

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev, Tsvetelin Zaevski, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova, Aharon Goldreich, Nadezhda Borisova

Книжка 1
STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Stefan Stavrev, Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
QUALITY OF BLENDED LEARNING COURSES: STUDENTS’ PERSPECTIVE

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Sadiq Hussain, Ashis Talukder, Gunadeep Chetia, Nisha Gohain

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Jasmin Bektešević, Vahidin Hadžiabdić, Midhat Mehuljić, Sadjit Metović, Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Георги Чолаков, Емил Дойчев, Светла Коева

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić, Hajnalka Peics, Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Pohoriliak Oleksandr, Olga Syniavska, Anna Slyvka-Tylyshchak, Antonina Tegza, Alexander Tylyshchak

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Йордан Табов, Веселин Ненков, Асен Велчев, Станислав Стефанов

Книжка 2
Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Йордан Табов, Асен Велчев, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2022 година
Книжка 6
MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Lilyana Petkova, Vasilisa Pavlova

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, Milen Bliznakov

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Evgeniya Nikolova, Mariya Monova-Zheleva, Yanislav Zhelev

Книжка 3
Книжка 2
STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Emiliya Koleva, Evgeni Andreev, Mariya Nikolova

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, Alexandre Ivanov Chikalanov

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Ivaylo Staribratov, Nikol Manolova

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Nikolay Kasakliev, Elena Somova

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj, Sead Rešić, Anes Z. Hadžiomerović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Olha Matiash, Liubov Mykhailenko, Vasyl Shvets, Oleksandr Shkolnyi

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Silvia Gaftandzhieva, Rositsa Doneva, George Pashev, Mariya Docheva

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Larisa Zelenina, Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Sead Rešić, Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Севдалина Георгиева

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Краен срок за изпращане на решения: 0 юни 0 г.

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков, Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

МЕТОД НА ДЕЦАТА В БЛОКА

Ивайло Кортезов

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4
THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina, Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Михаил Алфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

Книжка 1
Драги читатели

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ВРЪЗКИ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Станислав Стефанов, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДА

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

Книжка 5
ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART ONE)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

Книжка 2
ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

Книжка 4
АКТИВНО, УЧАСТВАЩО НАБЛЮДЕНИЕ – ТИП ИНТЕРВЮ

Христо Христов, Христо Крушков

ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

Книжка 3
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

Книжка 1
EDITORIAL / КЪМ ЧИТАТЕЛЯ

Сава Гроздев

STATIONARY NUMBERS

Smaiyl Makyshov

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2015 година
Книжка 6
Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТО

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

2013 година
Книжка 6
Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

Книжка 4
Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

Книжка 1
SEVERAL PROOFS OF AN ALGEBRAIC INEQUALITY

Šefket Arslanagić, Шефкет Арсланагич

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН)

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПРОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
Книжка 3
СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.