Математика и Информатика
Вход / Регистрация

https://doi.org/10.53656/math2024-2-4-for

2024/2, стр. 132 - 154

ФОРМИРАНЕ НА КОМПЕТЕНТНОСТИ ЧРЕЗ ПРОБЛЕМНО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ

Резюме: Документът анализира ползите и възможностите за успешнатаинтеграция на проблемно базираното обучение (ПрБО) в часовете по матема-тика в първи гимназиален етап, с цел формиране и развитие на ключови ком-петентности, както и на умения за живот и работа през XXI век в контекста наСтратегическата рамка за развитие на образованието, обучението и ученето вРепублика България (2021 — 2030). ПрБО се разглежда като компетентностенподход, който стимулира интереса на обучаваните, предизвиквайки ги да при-ложат знанията и уменията, придобити по време на обучението по математикав реални сценарии. На база анализ на широко използваната компетентност-на рамка на Световния икономически форум е разработена компетентностнарамка на ПрБО като инструмент за ясно определяне на образователните целии внедряване на ефективни методи за оценяване. Представен е и пример зауспешно приложена практика на учене чрез проекти в Американския колежв София. Достигнатите изводи сочат, че чрез внедряване на компетентностнимодели, стимулиране на активно учене и формиране на умения за решаванена проблеми, в допълнение към конвенционалните методи, ПрБО би могло дасе използва като подходящ инструмент за постигане на целите, дефинирани вСтратегическата рамка на МОН; предприети са активни действия от странана МОН както за подготовка на специалисти в сферата на образованието, такаи за адаптиране на учебните програми по математика за 8. – 10. клас, с целуспешното прилагане на компетентностния подход.

Ключови думи: компетентностен подход; проблемно базирано обучение;стратегическа рамка за развитие на МОН; концептуална и компетентностнарамка; надграждащо оценяване

1. Въведение

През последните години България премина през редица реформи с цел подобряване и осъвременяване на образователната система. Един от ключовите документи, които потвърждават ангажимента на страната ни към изпълнението на перспективите, изложени в актуални стратегически документи на глобално и европейско равнище, които формулират общо споделена визия за висококачествено и продължаващо през целия живот образование, е Стратегическата рамка за развитие на образованието, обучението и ученето в Република България (2021 — 2030)1.

В рамките на документа са очертани девет приоритетни области за развитие, както и целите и мерките за постигането им. За да се постигнат така описаните стратегически цели, е необходима подкрепа от страна на образователните политики, както и обучение и подготовка на учителите за успешното прилагане на компетентностния подход. Това заключение се налага от факта, че прилагането на холистичния подход в образованието вече предполага внедряване на компетентностни модели, стимулиране на активно учене и формиране на умения за решаване на проблеми в допълнение към конвенционалните методи.

В тази последователност на разсъжденията може да се достигне до обоснованото заключение, че проблемно базираното обучение (ПрБО) би могло да се използва като подходящ инструмент за постигане на целите, дефинирани в Стратегическата рамка (2021 – 2030). Изследователските въпроси, на които авторът ще се опита да отговори, са:

1. До каква степен ПрБО би могло да се използва като инструмент за постигане на целите, заложени в приоритетните области, дефинирани в Стратегическата рамка?

2. Доколко Учебните програми по математика за 8. — 10. клас, в сила от учебната 2024/2025 учебна година2, са адаптирани към прилагане на ПрБО като инструмент на компетентностния подход в образователния процес?

3. Има ли и какви са инициативите, предприети от държавата, основно в лицето на МОН, за да бъдат подготвени специалисти в сферата на образованието, които успешно да прилагат компетентностния подход?

Обект на изследването са Стратегическата рамка, Учебните програми за задължителна подготовка по математика (8. — 10. клас), в сила от учебната 2024/2025 година, както и Наредба № 11/201612 за оценяване на учениците, в сила от 10.06.2022 г. Предмет на изследването са знания, умения и резултати, кореспондиращи с поставените цели пред българското образование.

За постигане на целите на изследването е използван сравнителен анализ между Стратегическата рамка, учебните програми по математика в първи гимназиален етап и научни публикации, посветени на възприети добри практики за прилагане на проблемно базирано обучение.

2. Компетентностен подход

Компетентностният подход се базира на използването на интерактивни методи и нови технологии за обучение, които спомагат за развитието на самостоятелност, инициатива, творчество и критично мислене у учениците, насочвайки ги към постигане на конкретни и ефективни резултати. Този подход не се фокусира единствено върху усвояването на факти и информация, а поставя акцент върху развитието на широк набор от компетентности. Според (Evans & Vender 2018) този подход се заражда и развива първоначално в САЩ от 60-те до 80-те години на миналия век с цел да отговори на установената необходимост учениците да могат да напредват в своето образование въз основа на владеене на конкретни умения и знания, вместо да бъдат ограничени от конвенционалните образователни подходи. Неформална дефиниция за пръв път е дадена по време на конференция във Виена през 2011 година. Тя най-общо характеризира компетентностния подход като система, при която учениците напредват при овладяване на основни умения и знания, без оглед на време или място.

Фигура 1. Оригинална и преработена дефиниция на

компетентностно базирано обучение

На практика това се онагледява чрез компетентностно базирано обучение, виж (Sturgis et al. 2011), като дефиницията последно е ревизирана през 2019 година в (Levine & Patrick 2019) (фиг. 1).

Широко използваните днес компетентностни рамки – OECD3 , UNESCO4, EU5 и различни бизнес-компетентностни рамки, включват в себе си проблемно базираното учене и способността за решаване на проблеми, като ключова компетентностна област. Проблемно базираното обучение е един от ефективните методи за развитие на способността за решаване на проблеми (Mihnev & Malcheva 2017).

3. Концептуална рамка на проблемно базирано обучение Проблемно базираното обучение за пръв път се прилага като инструмент за реформиране на висшето образование в края на 60-те години на миналия век в резултат на работата на Харолд Бароуз, преподавател по медицина в университета „МакМастър“, Канада, който изучава уменията за аргументация на студентите по медицина и на практикуващите специалисти (Schmidt 2012). Впоследствие е придобило популярност в образователната практика заради своя ориентиран към учениците подход, който насърчава критичното мислене, сътрудничеството и уменията за решаване на проблеми (Orique & McCarthy 2015).

ПрБО е активна форма на обучение, която включва работа в екип с цел да се насърчи решаването на проблеми, съчетавайки абстрактните математически концепции с реални ситуации, а не чрез директно представяне на факти и понятия (Prasad & O’Malley 2022). Въпреки че стимулът е използването на задачи от реалния живот с цел да се свърже теорията с практиката, проблемно базираното обучение развива уменията на учениците за решаване на по-сложни проблеми, и най-вече на ключовите компетентности, както и на умения за живот и работа през XXI век (Suwastini et al. 2021).

Проблемите, пред които се изправяме, често изискват комплексен и многопластов подход, който надхвърля рамките на една конкретна област и изисква сътрудничество между различни експерти и специалисти. Интегрирането на ПрБО в рамката на обучението, основано на компетентности, позволява на учениците да се ангажират активно с материята и да придобият детайлно разбиране на компетентностите, които се очаква да овладеят. Освен това, по естествен начин се подкрепят принципите на самостоятелно насоченото учене (Orique & McCarthy 2015), което е ключов компонент на образованието, основано на компетентности.

Предоставяйки рамка за обучение, която подкрепя активното и екипното учене, основано на убеждението, че ефективното учене се осъществява, когато учениците едновременно конструират и съконструират идеи чрез социални взаимоотношения и самонасочено учене (Yew & Goh 2016), фокусът на обучението се измества от преподаване на знания към овладяване на ключови компетентности и развиване на способности да се решават проблеми. Преподавателят се превръща в медиатор, който подпомага процеса на учене, особено в компонентите за анализ на проблема и докладване на резултати, а също така улеснява изследователските дейности на обучаваните, докато те споделят и обсъждат идеите си (Sousa & Costa 2022).

Учениците до голяма степен самостоятелно поемат отговорност за процеса на обучение, определят областите за усъвършенстване и работят върху усвояването на необходимите компетенции, което е в съответствие с принципите на компетентностните подходи.

Прилагането на ПрБО може да се различава в различните институции и програми, но като цяло, то може да се разглежда като повтарящ се процес, състоящ се първо от фаза на анализ на проблема, последвана от период на самонасочено учене и накрая завършващ с етап на представяне на резултати (Schmidt & Moust 2000). След проучването (Strobel & Barneveld 2009) относно ефективността на ПрБО се стига до извода, че този подход е по-успешен от конвенционалните методи при оценяване на резултатите от обучението, особено когато акцентът е върху развиване на умения за учене през целия живот. Това включва също и оценката на самия процес, чрез който се достига до крайни резултати или придобити умения, с оглед на дългосрочните перспективи.

Резултатите от проучването (Thamrin et al. 2022) показват, че прилагането на хибриден подход на ПрБО е довело до по-високо ниво на независимост и креативност на учениците в сравнение с контролната група. Тези констатации имат значение за преподавателите, оценяващи резултатите от обучението, и предполагат, че включването на хибридни методи на обучение, особено по време на екстрени ситуации, налагащи продължително онлайн обучение, може да повиши качеството на образованието и да отговори на променящите се нужди на съвременното обучение. Като следствие може да се заключи, че този метод би могъл да бъде ефективен и надежден за: образование на компетентни и квалифицирани специалисти, съответстващо на пазара на труда; стимулиране на дългосрочното запазване на информацията и уменията, придобити по време на учебния процес; формиране на умения за професиите на настоящето и бъдещето; учене през целия живот; критично мислене и решаване на проблеми.

4. Компетентностна рамка на проблемно базирано обучение

Стратегическата рамка на МОН представлява унитарен документ с обем от 12 страници, на които в явен и предполагаемо достъпен за широката публика вид са изброени компетентностите, които се очаква да бъдат успешно развити в рамките на програмния период. За разлика от нея, концепцията за ПрБО е развивана от редица автори в последните 60 години, но без да бъде генерализирана в единен документ, описващ компетентностите, които се очаква да бъдат развити чрез прилагането му. Именно за тази цел и предвид научната съпоставка в поставените изследователски въпроси според автора се поражда неминуемата нужда от систематизиране на концепциите и очакваните резултати, за които ПрБО може да допринесе.

Фигура 2. Компетентностна рамка на СИФ

(Източник: https://bg.rpplane.com/blog/21mindset)

Според проучване на Световния икономически форум (СИФ) с цел да бъдат определени уменията, съответстващи на изискванията на пазара на труда през XXI век, изследователи към СИФ са направили метаанализ на изследванията, посветени на уменията на XXI век в рамките на началното и средното образование. Констатациите са обобщени в 16 умения, разпределени в три основни групи, а именно: основополагащи умения, компетентности и качества на характера6.

Предложената от автора компетентностна рамка (табл. 1) се базира на DigComp2.2. (Vuorikari et al. 2022), разработената от СИФ (фиг. 2) и обновените Учебни програми по математика на МОН, които влизат в сила от 2024-2025 учебна година. Тя има за цел да систематизира нужните умения, грамотности и качества на характера, които са от съществено значение при прилагане на ПрБО и в същото време се явяват ключови компетентности и умения за живот и работа в XXI век.

Таблица 1. Компетентностна рамка на ПрБО и степен на приложение в 8. – 10. клас в областта на математиката според учебните програми на МОН* (× означава никакво или незначително приложение, а ✓ – значително или пълно)

Областнакомпетентностда/не1.Критичномисленеирешаваненапроблеми–наборотумения,коитопозволяватнаученицитедаанализират,оценяватисинтезиратинформация,задавзематинформиранирешенияУмения1.1.Идентифициранеидефинираненапроблемиили✓предизвикателства.1.2.Критичноанализираненаинформацияиоценява-✓ненанейнатазначимостзапроблема.1.3.Способностзаобективнотълкуванеианализна✓данни.1.4.Оценяванепотенциалнитерешениянапроблемаи✓вземанеинформиранирешенияотноснокрайниярезултат.1.5.Способностдасеправятлогичнииобосновани✓заключениянабазаналичнатаинформация1.6.Предвижданенарезултатитевъзоснованасъщест-×вуващитедоказателства.1.7.Представяненапричиниидоказателствавпод-✓крепаназаключенията.
2.СътрудничествоикомуникацияУмения2.1.Работиефективновразличниекипи.✓2.2.Предаваясноиубедителноидеиирешения.✓2.3.Представяпричиниидоказателствавподкрепаназак-✓люченията.2.4.Активноизслушванеивъзприемчивосткъмалтернатив-✓нигледниточкивекипа.2.5.Приемапредоставенаградивнакритикаотпреподавател✓исеадаптиракъмполученатановаинформация.3.Креативност–умения,коитонасърчаваторигиналнотомислене,иновациитеиспособносттадасегенериратновиидеиУмения3.1.Готовностзапоеманенарискипроучваненанеконвен-×ционалниидеи.3.2.Изследвавъзможниинтердисциплинарнивръзкисцел✓откриваненановирешения.3.3.Умениязаоспорваненатрадиционнотомислене.×3.4.Разбираинадграждаидеитенасъекипницитеси.✓3.5.Управлениенасобственитеемоцииповремена✓творческияпроцес.3.6.Използваналичнитеинструментииматериалипо✓най-ефективенначин.3.7.Генерираненатворческиииновативнирешения✓врамкитенаограниченията.4.Дигиталнакомпетентност–наборотуменияиспособности,коитопозволяватнаобучаемитеефективнодаизползватцифровитетехнологиивразличниаспектиналичнияипрофесионалниясиживотУмения4.1.Основниумениязаизползваненакомпютри,✓операционнисистемиисофтуерниприложения.4.2.Умениезасърфираневинтернет,търсенена✓информацияиоценканаонлайнизточници.4.3.Тълкуванеианализнаданни.✓4.4.Защитаваличнаичувствителнаинформацияонлайн.✓4.5.Умениезаработасдругихорачрезинструментизацифровакомуникацияисътрудничество.
4.6.Умениезаидентифициранеирешаваненаобщи×проблеми,свързанисцифровиустройстваисофтуер.4.7.Познаваненаобичайнитеонлайнзаплахии✓начинитезазащитаоттях.4.8.Критичнаоценканаинформацияимедийно✓съдържание,намеренионлайн.4.9.Отговорноиетичноповедениевонлайнобщ-✓ността(знаекакдаборависъссъбранатаинформация).4.10.Умениязасъздаванеиредактираненацифрово×съдържание.5.Ученепрезцелияживот–включваумениязанепрекъснат,доброволенисамомотивиранстремежкъмзнанияиличностноразвитиеУмения5.1.Определяненаясниучебницелиицелизаличностно×развитие.5.2.Самомотивацияиангажираностсученето.✓5.3.Прилаганенатеоретичнизнаниявпрактически✓ситуации.5.4.Взиманенаинформиранирешениязаинвестиране×навремеиресурсивучебнидейности.5.5.Идентифициранеифокусираневърхунай-важните×целинаученето.5.6.Разработванеиподдържаненаконтактнамрежаот✓учащииексперти.5.7.Оценяваненадостоверносттаинадеждносттана✓информацияотразличниизточници.5.8.Търсененаобратнавръзкаинаставничествоот✓експертивсъответнатаобласт.

В първи гимназиален етап, 8. – 10. клас, предметът математика се изучава като задължителен за общообразователната подготовка на учениците. В съответствие с актуализираните учебни програми, очакваните компетентности по същество са едни и същи, но се представят в различен контекст в зависимост от очакваните математически умения, които би трябвало да се развият при различните нива на обучение. Съответно преподавателите биха могли да адаптират този инструмент в зависимост от конкретните цели на обучението и институционалните изисквания.

5. Оценяването в контекста на проблемно базираното обучение

Според (Vlueten & Schuwirth 2019) надграждащото оценяване е по-добър индикатор за бъдещи резултати, тъй като от гледна точка на философията на ПрБО за обучение на учащи през целия живот това е от особено значение. Надграждащото оценяване се отнася до подход за оценяване на постигнатите резултати, който включва непрекъснато и систематично събиране, анализ и тълкуване на данни с цел подобряване на резултатите от обучението. За разлика от традиционното оценяване, което се фокусира върху отделни изпити или задачи, надграждащото оценяване предполага холистичен поглед върху напредъка на ученика.

В чл. 38а на Наредба за изменение и допълнение на Наредба № 11 от 2016 г. за оценяване на резултатите от обучението на учениците7, в сила от 10.06.2022 г., се предвижда поставянето на отделна оценка за придобитите компетентности. За да бъдат надеждно оценени компетентностите, е от особено значение да се наблегне върху развитието и постиженията на учениците по време на самия процес на обучение, вместо да се фокусира основно върху крайните резултати. По-опитните учители биха могли да разработят конкретни въпросници или тестове за самооценка на напредъка на обучаемите, като информацията от оценяването се претегля и преразпределя между различните области, описани в компетентностната рамка (табл. 2).

От друга страна, по-неопитните колеги биха могли да използват готови безплатни онлайн инструменти8 за оценяване на компетенции. Основните характеристики на надграждащото оценяване включват наличие на повече от един източник на данни: формиращо оценяване (съвкупност от педагогически практики, целящи подобряване на академичните резултати), самооценка на придобити компетентности и накрая – обобщаващо. Целта е крайната текуща оценка върху разработен проект да се базира на повече от едно задание или компонент (фиг. 3). Набляга се върху системното предоставяне на конструктивна обратна връзка в подкрепа на ученето по време на процеса на изготвяне на текущия проект.

Този подход осигурява на учителя по-задълбочена представа за способностите и представянето на даден ученик, като спомага за обективно, обобщаващо оценяване – окончателни оценки на база резултатите от ученето в края на периода. Преподавателите могат да адаптират критериите си въз основа на индивидуалните нужди на учениците, като насърчават по-персонализирано и ефективно обучение. Надграждащото оценяване съответства на компетентностния подход, тъй като фокусът се поставя върху индивидуалния напредък при развиването на знания и умения чрез стимулиране културата за непрекъснато усъвършенстване.

Фигура 3. Схема за надграждащо оценяване

6. Пример за проблемно базирано обучение от практиката на Американския колеж в София

Методиката за прилагане на проблемно базирано обучение включва следните етапи (Sousa & Costa 2022): избор на екип; идентифициране на проблема; идентифициране на необходимите знания и умения за решаването му; дефиниране на проблема; събиране на информация и създаване на хипотеза; разработване на план за действие за решаване на проблема; изграждане на система от възможни решения; аргументиран избор на най-подходящото решение; изготвяне на презентация и представяне пред публика. В началото на учебната година авторът е предвидил част от текущите изпитвания да бъдат заменени с проект, като предварително е обсъдил с колегите си кои теми биха били подходящи. В този случай десетокласниците, обучавани по метода ПрБО, първо получиха проблемите в онлайн платформата на Google Classroom, преди да им бъдат преподадени темите „Проста и сложна лихва“ и „Статистика и обработка на данни“. Следват инструкции към задачите, включени в двата проекта, и определяне на компетентности, които според автора се очаква учениците да развият в контекста на предложената компетентностна рамка (табл. 2) чрез прилагане на проектния подход.

Таблица 2. Очаквани придобити компетентности чрез ПрБО според таблица 1

Очакванипри-Проектдобитикомпе-тентности1.Статистика1.1.Намиранеподходящизточникнареал-4.1;4.2;4.8;5.7ниданни1.2.Обработканаданни1.3;1.61.3.Анализ1.5;1.7;3.21.4.Заключение1.4;1.5;2.3;5.31.5.Презентация(PowerPoint,GoogleDocs,2.1;2.2;4.1;4.5GoogleSheets)2.Простаисложналихва2.1.Събираненареалниофертизапокуп-4.1;4.2;4.3ко-продажба2.2.Анализнаусловиятазаотпусканена4.1;4.2;4.3;4.8;5.7кредитотминимумтрисъществуващибанковиинституции2.3.Използваненашаблонилисъздаване4.1;4.10накредитенкалкулатор2.4.Изготвяненапогасителенпланза5.3изплащаненакредит2.5.Сравнениемеждуусловията,предлага-1.3;5.3ниоттритебанки,катосевзематпредвидвсичкитаксипообслужваненакредит2.6.Заключение1.4;2.32.7.Презентация(PowerPoint,GoogleDocs,4.1;4.5GoogleSheets)

Част първа

След като изгледате внимателно видео уроците подбрани от преподавателя, и прочетете теорията от учебника по математика за 10. клас, решете следните задачи (следват стандартни задачи от различни издания на одобрените от МОН учебници за общообразователна подготовка по математика във формат НВО).

Част втора

1. Изберете интересна за вас тема от реалния живот, свързана с темата „Обработка на данни/лихви“, и обяснете каква е целта на изследването ви.

2. Намерете официален източник на данни/оферти от банки/предложения за покупко-продажба, съответстващи на вашата област на наблюдение, и не забравяйте да го посочите в презентацията си (както и всички използвани източници).

3. Направете презентация, която трябва да включва следната информация: (следват ясни критерии за оценка на всеки елемент). Учениците решиха задачите въз основа на бележките и видеата, които учителят беше подбрал, а също и на обясненията и примерите, дадени в учебниците им. След това представиха решенията си в групи по двама и получиха формираща оценка. На база на получените резултати и възникнали въпроси учителят проведе по два учебни часа за упражнение на двете теми, за да бъде сигурен, че обучаемите ще се справят с втората част от проекта, която беше оценена сумарно.

7. Анализи и дискусия

Чрез съпоставка между петте области на компетентност, които се очаква да бъдат формирани у обучаемите чрез ПрБО и приоритетните области, заложени в СР на МОН (табл. 3), авторът се опитва да идентифицира доколко съществува възможност за успешно прилагане на ПрБО като инструмент за постигане на описаните стратегически цели на МОН.

7.1. Степен на покритие между приоритетните области и проблемно-базирано обучение От табл. 3 се вижда, че авторът не е открил общи точки между следните приоритетни области, заложени в Стратегическата рамка на МОН.

1. Ранно детско развитие. Основната цел е подчертаване на важността на предучилищното образование и грижите в ранна детска възраст като ключов приоритет в образователните политики, като фокусът е върху деца на възраст в интервала 3 – 7 години.

3. Мотивирани и креативни учители. ПрБО има принос към една от поставените цели за постигане на качествено образование чрез пълното прилагане на модел на преподаване и учене, базиран на компетентностния подход, но в случая не е инструмент, чрез който да бъде постигната.

4. Сплотени училищни общности и системна работа с родителите. Целта е изграждането на по-привлекателно и по-качествено образование чрез създаване на ефективни училищни общности. То

Таблица 3. Съответствие между области на компетентност на ПрБО и приоритетните области според СР на МОН

ПриоритетниобластиспоредСРнаМОН(2021–2030)ЦелиОбл.накомпетентностприПрБОспоредтабл.1123451.Раннодетскоразвитие1.1.×××××1.2.×××××2.Компетентностииталанти2.1.✓✓✓✓✓2.2.✓✓×××2.3.×××××3.Мотивираниикреативниучители3.1.×××××3.2.×××××4.Сплотениучилищниобщностиисистемнаработасродителите4.1.×××××4.2.×××××5.Ефективновключване,трайноприобщаванеиобразователнаинтеграция5.1.×××××5.2.×××××5.3.×××××5.4.××✓✓✓5.5.×××××5.6.×××××5.7.×××××5.8.×××××5.9.×××××6.Образователнииновации,дигиталнатрансформацияиустойчиворазвитие6.1.✓✓✓✓✓6.2.×✓×✓×6.3.×××✓×6.4.×××✓×6.5.×××××6.6.×××××7.Реализациявпрофесиитенанастоящетоибъдещето7.1.×××××7.2.✓✓✓✓✓7.3.✓✓✓✓×8.Ученепрезцелияживот8.1.××××✓8.2.××××✓9.Ефикасноуправлениеиучастиевмрежи9.1.✓✓✓×✓9.2.✓✓✓××

ва предполага прилагане на политики, насочени към утвърждаване и задълбочаване на взаимодействието в училищната общност между всички участници в образователния процес – деца, учители, други специалисти и родители. Тук ПрБО отново би могло да помогне на учениците да осъществят връзки с родители и специалисти от съответната област, които биха предали ценен опит при изследването на задачи от реалния живот, но не е инструмент за постигане на съответните цели. Може да се направи извод, че единствено между област 1. и ПрБО няма сечение, докато при области на развитие 3 и 4, макар и не като пряк инструмент за постигане на целите по Стратегическата рамка на МОН, проектният подход би могъл да се използва на следващ етап. При останалите шест приоритетни за МОН области на развитие методът на проектите би могъл да бъде използван, като пряк инструмент за постигането им.

2. Компетентности и таланти. Основната цел е насочена към придобиване на съвременни ключови компетентности с цел развитие на личностния потенциал на ученика. В рамките на обучението акцентът се измества от просто възпроизвеждане на готови знания към развитие на съвременни умения и практическа приложимост на учебното съдържание в интердисциплинарна среда, което има пряка връзка с не една от основните характеристики на компетентностните подходи.

5. Ефективно включване, трайно приобщаване и образователна интеграция. Основната цел е продължаване и надграждане на по-литики, насочени към осигуряване на равен достъп до образование. В т. 5.4. по-конкретно се залага на Споделяне на добри практики при прилагането на индивидуален подход при обучението. Доколкото в допълнение към конвенционалните методи ПрБО позволява избор на учебно съдържание за работа по проект в електронна среда и разработване на критериална матрица за индивидуално оценяване, би могло да се счита, че този подход е подходящ за постигане на целите по т. 5.4.

6. Образователни иновации, дигитална трансформация и устойчиво развитие. Основната цел е развитието на дигитални компетентности и умения чрез проблемно базирано обучение както в присъствена форма, така и в обучение в електронна среда. Според (Filho et al. 2016) eдин от методите за стимулиране на проблемно базирано обучение включва прилагането на проблемно базирано обучение. Авторите определят тези подходи като специфично използване на проекти като инструменти за обучение, чрез които се развиват умения, като критично мислене, сътрудничество, стимулиране на творчество и креативност. По-нататък, в т. 6.4 се акцентира върху формирането на умения за безопасно сърфиране в интернет, което е едно от основните умения, необходими за екипна работа по проект.

7. Реализация в професиите на настоящето и бъдещето. Една от целите в т. 7.2. и т. 7.3. е развитие на проблемно базираното обучение в контекста на прилагане на стратегии с цел постигане на професионално образование и обучение с високо качество и иновативен характер, които отговарят на постоянно променящите се изисквания на пазара на труда. Тук ПрБО би могло да се разглежда като използване на иновативен подход за обучение и преподаване, основан на цифрови технологии и отворени онлайн образователни ресурси.

8. Учене през целия живот. Европейската рамка за учене през целия живот9 подчертава важността на обучението през различните фази на живота и включва формални, неформални и самостоятелни форми на учене. В този аспект ПрБО може да се разглежда като холистична методология, която излиза извън рамките на традиционната класна стая. Обучаемите могат да участват в дейности за решаване на проблеми в различни контексти. Тази гъвкавост позволява на хората впоследствие да адаптират учебния си опит към своите индивидуални нужди и интереси, както и да се преквалифицират. По този начин несъмнено се насърчава културата на непрекъснато учене.

9. Ефикасно управление и участие в мрежи. Преобразуването на образованието в хоризонтална политика с подчертан интегриран подход и ефективно взаимодействие на всички нива на управление насърчава стратегическите партньорства, мобилността за обучение и обмена на добри практики. Основният акцент в тази област е върху свързаността между образователните институции, включително споделянето на ресурси, работата по проекти и взаимодействието в мрежи. Част от ключовите умения за успешно постигане на целите, описани в тази област, са решаването на проблеми и вземането на осъзнати решения, комуникационни умения и креативност. Това са част от така наречените „меки умения“. Според проучването (Deep et al. 2020) ПрБО има много по-значима роля спрямо традиционните методи в развиването на „меките“ умения на учениците; обучението чрез проекти трябва да се експериментира във всички области на обучение за оптимизиране на резултатите от обучението, при което акцентът се поставя върху придобиване на редица „меки“ умения (Antonova et al. 2022).

7.2. Преодоляване на предизвикателствата при прилагане на ПрБО

Въпреки неоспоримия потенциал внедряването на проблемно базираното обучение може да изисква преодоляване на определени предизвикателства. Ефективното прилагане на този подход изисква интеграция в учебния процес и сътрудничество между учители, ученици и образователни институции. Необходимо е обучаващите да бъдат подготвени за прилагане на компетентностния подход и да имат достъп до необходимите ресурси, включително подходящи методи за оценка и критериални матрици, които да отразяват усвояването на знания и умения, придобити чрез ПрБО. За да бъдат избегнати неблагоприятни резултати от липсата на подготовката на учителите, в тази насока се предприемат мерки на различни равнища. Едно от тях несъмнено е националното, където компетентностният подход в подготовката на учители е ясно изразен в наскоро актуализираната Наредба за държавните изисквания10 за придобиване на професионална квалификация „учител“ – Постановление №27 от 1 февруари 2021 г. за изменение и допълнение на Наредбата за държавните изисквания за придобиване на професионална квалификация „учител“ (Chavdarova & Kostova 2022).

Все по-широкото прилагане на компетентностния подход в подготовката на учителите е основна част от дейностите на Националната програма „Повишаване компетентностите на преподавателите от държавните висши училища, подготвящи учители“, приета с Решение на Министерския съвет № 47 от 19 януари 2021 година (Chavdarova-Kostova 2022). От своя страна, МОН е предприело необходимите мерки за оказване на помощ на педагогическите специалисти в търсене на нови методи на преподаване, като ясно са определени целта и учебните дейности, които водят до успешно прилагане на компетентностния подход11. Департаментът за информация и усъвършенстване на учители предлага курсове за учители от цялата страна, съобразени с нормативните промени и приоритетите в системата на средното образование, включително и ПрБО12.

Изследването (Antonova et al. 2022) представя промяната в обхвата и интереса към прилагането на курсове за обучение, основано на компетентности, посветени на развиване уменията на XXI век в университетите. Курсът „Умения на 21-ви век“ е замислен като интердисциплинарен курс в бакалавърската степен на обучение към Факултета по математика и информатика на Софийски университет „Св.Климент Охридски“ (СУ). Общата цел на курса е придобиване на умения на XXI век на университетско ниво, като се обхванат както теоретични, така и практически аспекти. Във Факултета по педагогика към СУ се организира курс за следдипломна квалификация на тема „Компетентностен подход и иновации в образованието“13.

8. Изводи и заключения

8.1. Изводи върху изследователски въпрос № 1

След извършен обстоен анализ, в шест от деветте приоритетни области на Стратегическата рамка е идентифицирана възможност за успешно прилагане на ПрБО, като инструмент за постигане на описаните стратегически цели на МОН. ПрБО не само предоставя възможност на учениците за придобиване на математическа грамотност, но и ги подготвя за приложение на математиката при решаване на реални проблеми, което е част от стратегическите цели за развиване на критично мислене и учене през целия живот. В областта на повишаване на образователната достъпност и равенство, ПрБО може да бъде адаптирано, за да отговори на разнообразните образователни нужди и стилове на учене на различните групи ученици. Чрез активното участие на учениците в учебния процес и формиране на ключовите компетентности и придобиване умения за живот и работа през XXI век, в българските училища се подготвят компетентни граждани, готови за успешното си включване в обществото и работния пазар на бъдещето. В обобщение на предходното може да се заключи, че Проблемно-базираното обучение е един от подходящите инструменти за постигане на голяма част от стратегическите образователни цели в контекста на Стратегическата рамка за периода 2021 – 2030, в която са заложени приоритети като повишаване на качеството на образованието, развиване на компетентности и подготовка за успешно интегриране в обществото.

8.2. Изводи върху изследователски въпрос № 2

Като се основава на направения анализ на учебните програми за 8.– 10. клас, авторът счита, че голяма част от предвидените теми за придобиване на нови знания по математика предоставят възможности за прилагане на ПрБО. Като пример могат да бъдат посочени задачите, изискващи анализ на данни, логическо мислене и моделиране на реални сценарии, работата с които може да улесни компетентностната интеграция в образователния процес, спомагайки за развиване на умения за решаване на проблеми, критично мислене, дигитални компетентности, сътрудничество и комуникация. От своя страна компетентностният подход е относим не само до усвояване на математически факти, но и до способността на учениците да прилагат тези знания в различни контексти. Съответно, учебните програми са разработени така, че да насърчават развитието на интердисциплинарни връзки с ИКТ, природни науки, финанси и др. В заключение, успешната адаптация на учебните програми по математика за 8. – 10. клас подчертават стремежа на МОН към холистично образование, което не само развива традиционни умения, но и подготвя учениците за разнообразните и изискващи социални, технологични и културни предизвикателства пред тях.

8.3. Изводи върху изследователски въпрос № 3

МОН играе ключова роля в предоставянето на инициативи, насочени към подготовка и обучение на учители, които да прилагат компетентностния подход в образователния процес. В партньорство с Дирекцията по иновации и училищните технологии (ДИУУ) и Софийския университет (СУ), както и с други неправителствени организации14, се предлагат обучения, фокусирани върху методи и стратегии за внедряване на компетентностния подход в учебните планове и практики. Тези образователни инициативи обхващат различни аспекти на образованието, от началните до висшите образователни институции. Множеството курсове и семинари, предоставяни от тези институции, включват както теоретични, така и практически аспекти на компетентностния подход. Участниците получават възможността не само да осъзнаят необходимостта от повишаване на качеството на образованието и развитие на компетентности у учениците, но и да се запознаят с конкретни методи и инструменти за успешното им приложение в образователния процес. В допълнение, МОН също така подкрепя проекти и инициативи, които насърчават учителите да се включат в активна изследователска дейност и да споделят своите наблюдения и успехи в прилагането на компетентностния подход. В резултат на изложеното може да се заключи, че предприетите активни действия показват стремежа на МОН към модернизация и подобрение на образователната система, като се предоставя подкрепа на учителите за успешното въвеждане на компетентностен подход в учебните среди.

NOTES

1. Стратегическа рамка за развитие на МОН.

https://web.mon.bg/bg/143

2. Учебни програми на МОН в сила от 2024 – 2025 учебна година. https://web.mon.bg/bg/100196

3. Компетентностна рамка на OECD. https://www.oecd.org/

careers/competency_framework_en.pdf

4. Компетентностна рамка на UNESCO. https://en.unesco.org/ sites/default/files/competency_framework_e.pdf

5. Компетентностна рамка на Европа. https://ec.europa.eu/

regional_policy/sources/policy/how/ improving-investment/

competency/eu_competency_framework_en.pdf

6. Необходими умения в XXI век.

https://widgets.weforum.org/nve-2015/chapter1.html

7. Наредба №11/2016 за оценяване на учениците. ДВ, бр. 74 от 2016 г. https://web.mon.bg/bg/100802

8. Онлайн платформа за оценка на дигитални компетентности. https://europa.eu/europass/bg/how-describe-my-digital-skills

9. Европейска квалификационна рамка за учене през целия живот. https://lll.mon.bg/uploaded_files/framework-bg.pdf

10. Постановление на МС №27 от 1 февруари 2021 г. https://ruosofia-grad.com/wp-content/uploads/2021/10/2_0.pdf

11. Компетентностен подход. https://web.mon.bg/bg/100770

12. Обучения в ДИУУ. https://diuu.bg/diuu-training/

13. СДК към Педагогическия факултет на СУ. https://www.unisofia.bg/index.php/bul/universitet_t/fakulteti/fakultet_po_

pedagogika/uchebna_dejnost_bakalavri_magistri_doktoranti_ sdk/sleddiplomna_kvalifikaciya/sdk_kompetentnosten_podhod_ i_inovacii_v_obrazovanieto 14. Образование, основано на компетентности.

https://cpocreativity.com/образование-основано-накомпетентно/

ЛИТЕРАТУРА

ЧАВДАРОВА-КОСТОВА, С., 2022. Наръчник за прилагане на компетентностния подход в обучението на бъдещи учители. Издателство ЕА АД – Плевен. ISBN 978-954-8973-37-3

REFERENCES

ANTONOVA, A., STEFANOVA, E., NIKOLOVA, N., MIHNEV, P., STAMENKOVA, R., ZAFIROVA-MALCHEVA, T., 2022. Evaluating the outcomes of competence-based learning course: The field experience for training 21st Century skills in Sofia University. Information Systems and Technologies, pp. 502 – 511.

https://doi.org/10.1007/978-3-031-04819-7 48

CHAVDAROVA-KOSTOVA, S., 2022. Handbook for the application of the competency approach in the education of future teachers. Publishing house EA AD, Pleven (in Bulgarian). ISBN 978-9548973-37-3.

DEEP, S., AHMED, A., SULEMAN, N., ABBAS, M., NAZA, U., SHAHEEN, H., RAZZAG, A., 2020. The Problem-Based Learning Approach towards Developing Soft Skills: A Systematic Review.

The Qualitative Report, vol. 25, no. 11, pp. 4029 – 4054.

https://nsuworks.nova.edu/tqr/vol25/iss11/13

EVANS, C., VENDER, J., 2018. Competency-Based Education: Educational Reform. A Primer.

https://www.researchgate.net/publication/324780787

FILHO, W., SHIEL, C., PACO, A., 2016. Implementing and operationalising integrative approaches to sustainability in higher education: the role of project-oriented learning. Journal of Cleaner Production, vol. 133, no. 1, pp. 126 – 135.

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S095965 2616305431

LEVINE, E., PATRICK, S., 2019. What is competency-based education? An updated definition. Vienna, VA: Aurora Institute. https://aurora-institute.org/wp-content/uploads/what-is-compet ency-based-education-an-updated-definition-web.pdf

MIHNEV, P., MALCHEVA, T., 2017. E-learning quality assurance in teaching courses design through systematic approach: assessment by results. Proceedings of EDULEARN17 Conference, Barcelona, Spain.

ORIQUE, S., McCARTHY, M., 2015. Critical thinking and the use of nontraditional instructional methodologies. Journal of Nursing Education, vol. 54, no. 8, pp. 455 – 459. https://doi.org/10.3928/ 01484834-20150717-06

PRASAD, S., O’MALLEY, C., 2022. An introductory framework of problem-based learning (PBL) and perspectives on enhancing facilitation approaches. HAPS Educator, vol. 26, no. 3, pp. 52 – 58. https://doi.org/10.21692/haps.2022.016

SCHMIDT, H., 2012. A brief history of problem-based learning. OneDay, One-Problem, pp. 21 – 40. https://doi.org/10.1007/978-9814021-75-3 2

SCHMIDT, H., MOUST, J., 2000. Factors affecting small-group tutorial learning: a review of research. In D.H. Evensen, C.E. HmeloSilver (Eds.), Problem-based Learning: A Research Perspective on Learning Interactions, Mahwah, NJ Lawrence Erlbaum, pp. 19 – 52.

SOUSA, M., COSTA, J., 2022. Discovering entrepreneurship competencies through problem-based learning in higher education students. Education Sciences, vol. 12, no. 3.

https://doi.org/10.3390/educsci12030185

STROBEL, J., VAN BARNEVELD, A., 2009. When is PBL more effective? A meta-synthesis of Meta-analyses comparing PBL to conventional classrooms. Interdisciplinary Journal of ProblemBased Learning, vol. 3, no. 1. https://doi.org/10.7771/15415015.1046

STURGIS, C., PATRICK, S., PITTENGER, L., 2011. It’s Not a Matter of Time: Highlights from the 2011 Competency-Based Learning Summit. Synchronizing Policy and Practice for Performance-Based Learning. iNACOL, CCSSO.

SUWASTINI, N., PUSPAWATI, N., ADNYANI, N., DANTES, G., RUSNALASARI, Z., 2021. Problem-based learning and 21st-century skills: Are they compatible? EduLite: Journal of English Education, Literature and Culture, vol. 6, no. 2.

https://doi.org/10.30659/e.6.2.326-340

THAMRIN, T., HUTASUHUT S., ADITIA, R., PUTRI, F., 2022. The effectiveness of the hybrid learning materials with the application of problem based learning model (hybryd-PBL) to improve learning outcomes during the COVID-19 pandemic. Int. Journal of Recent Educational Research, vol. 3, no. 1, pp. 124 – 134. https://doi.org/10.46245/ijorer.v3i1.178

VAN DER VLEUTEN, C., SCHUWIRTH, L., 2019. Assessment in the context of problem-based learning. Advances in Health Sciences Education, vol. 24, no. 5, pp. 903 – 914.

https://doi.org/10.1007/s10459-019-09909-1

VUORIKARI, R., KLUZER, S., PUNIE, Y., 2022. DigComp 2.2: The Digital Competence Framework for Citizens – With new examples of knowledge, skills and attitudes, EUR 31006 EN, Publications Office of the European Union, Luxembourg. ISBN 978-9276-48882-8, doi:10.2760/115376, JRC128415.

YEW, E., GOH, K., 2016. Problem-based learning: An overview of its process and impact on learning. Health Professions Education, vol. 2, no. 2, pp. 75 – 79.

https://doi.org/10.1016/j.hpe.2016.01.004

Dr. Borislava Kirilova, Assist. Prof.

2025 година
Книжка 4
Книжка 3
МОДЕЛИ НА ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА В ОЛИМПИАДНИ ЗАДАЧИ

Драгомир Грозев, Станислав Харизанов

Книжка 1
A NOTE ON A GENERALIZED DYNAMICAL SYSTEM OCCURS IN MODELLING “THE BATTLE OF THE SEXES”: CHAOS IN SOCIOBIOLOGY

Nikolay Kyurkchiev, Anton Iliev, Vesselin Kyurkchiev, Angel Golev, Todorka Terzieva, Asen Rahnev

EDUCATIONAL RESOURCES FOR STUDYING MIDSEGMENTS OF TRIANGLE AND TRAPEZOID

Toni Chehlarova1), Neda Chehlarova2), Georgi Gachev1)

2024 година
Книжка 6
ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ИЗГРАЖДАНЕ НА МЕЖДУПРЕДМЕТНИ ВРЪЗКИ МАТЕМАТИКА – ИНФОРМАТИКА

Елена Каращранова, Ирена Атанасова, Надежда Борисова

Книжка 5
FRAMEWORK FOR DESIGNING VISUALLY ORIENTATED TOOLS TO SUPPORT PROJECT MANAGEMENT

Dalibor Milev,Nadezhda Borisova,Elena Karashtranova

3D ОБРАЗОВАТЕЛЕН ПОДХОД В ОБУЧЕНИЕТО ПО СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пеньо Лебамовски1),Марияна Николова2)

Книжка 4
DYNAMICS OF A NEW CLASS OF OSCILLATORS: MELNIKOV’S APPROACH, POSSIBLE APPLICATION TO ANTENNA ARRAY THEORY

Nikolay Kyurkchiev , Tsvetelin Zaevski Anton Iliev , Vesselin Kyurkchiev , Asen Rahnev

Книжка 3
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Йордан Табов, Станислав Стефанов, Красимир Кънчев, Хаим Хаимов

USING AI TO IMPROVE ANSWER EVALUATION IN AUTOMATED EXAMS

Georgi Cholakov, Asya Stoyanova-Doycheva

Книжка 2
ON INTEGRATION OF STEM MODULES IN MATHEMATICS EDUCATION

Elena Karashtranova , Aharon Goldreich , Nadezhda Borisova

ФОРМИРАНЕ НА КОМПЕТЕНТНОСТИ ЧРЕЗ ПРОБЛЕМНО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ

2. Компетентностен подход Компетентностният подход се базира на използването на инте- рактивни методи и нови технологии за обучение, които спомагат за

Книжка 1
AN APPROACH AND A TOOL FOR EUCLIDEAN GEOMETRY

Dr. Boyko Bantchev, Assoc. Prof.

STUDENT SATISFACTION WITH THE QUALITY OF A BLENDED LEARNING COURSE

Silvia Gaftandzhieva , Rositsa Doneva , Sadiq Hussain Ashis Talukder , Gunadeep Chetia , Nisha Gohain

MODERN ROAD SAFETY TRAINING USING GAME-BASED TOOLS

Assist. Prof. Stefan Stavrev, Assist. Prof. Ivelina Velcheva

ARTIFICIAL INTELLIGENCE FOR GOOD AND BAD IN CYBER AND INFORMATION SECURITY

Nikolay Kasakliev, Elena Somova, Margarita Gocheva

2023 година
Книжка 6
MIRROR (LEFT-RECURSIVE) GRAY CODE

Dr. Valentin Bakoev, Assoc. Prof.

THE CONSTRUCTION OF VALID AND RELIABLE TEST FOR THE DIVISIBILITY AREA

Dr. Daniela Zubović, Dr. Dina Kamber Hamzić

МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL

Велика Кунева, Мариян Милев

Книжка 5
AREAS ASSOCIATED TO A QUADRILATERAL

Oleg Mushkarov, Nikolai Nikolov

ON THE DYNAMICS OF A ClASS OF THIRD- ORDER POLYNOMIAL DIFFERENCE EQUATIONS WITH INFINITE NUMBER OF PERIOD-THREE SOLUTIONS

Prof. Dr. Jasmin Bektešević, Prof. Dr. Vahidin Hadžiabdić, Prof. Dr. Midhat Mehuljić, Prof. Dr. Sadjit Metović, Prof. Dr. Haris Lulić

СИСТЕМА ЗА ИЗВЛИЧАНЕ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НА ДАННИ ОТ ИНТЕРНЕТ

Гл. ас. д-р Георги Чолаков , доц. д-р Емил Дойчев , проф. д-р Светла Коева

EVALUATIОN OF CHILDREN’S BEHAVIOUR IN THE CONTEXT OF AN EDUCATIONAL MOBILE GAME

Dr. Margarita Gocheva, Chief Assist. Prof. Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof. Prof. Dr. Elena Somova

Книжка 4
MULTIPLE REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS IN THE FRAME OF DISTANCE LEARNING

Radoslav Božić , Hajnalka Peics , Aleksandar Milenković

INTEGRATED LESSONS IN CALCULUS USING SOFTWARE

Dr. Pohoriliak Oleksandr, Assoc. Prof. Dr. Olga Syniavska, Assoc. Prof. Dr. Anna Slyvka-Tylyshchak, Assoc. Prof. Dr. Antonina Tegza, Assoc. Prof. Prof. Dr. Alexander Tylyshchak

РЕЗУЛТАТИ ОТ ИЗПОЛЗВАНЕТО НА ВИДЕОИГРИ В ОБРАЗОВАНИЕТО: ПРЕГЛЕД НА НЯКОИ ОСНОВНИ ИЗСЛЕДВАНИЯ ОТ ПОСЛЕДНИТЕ ДЕСЕТ ГОДИНИ

Калин Димитров , проф. д-р Евгения Ковачева „Интелигентният педагогически подход насърчава с инер- гията между технологиите и педагогиката и използва дигиталните игри в учебния процес“. Л. Даниела (Daniela 2020)

Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТИ ОТ ГЕОМЕТРИЯТА НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕСТАНДАРТНИ ЗАДАЧИ

Проф. д.п.н. Йордан Табов, проф. д-р Веселин Ненков, гл. ас. д-р Асен Велчев, гл. ас. д-р Станислав Стефанов

УПРАВЛЕНИЕ НА ЗНАНИЯТА ПО СТРУКТУРИ ОТ ДАННИ ЧРЕЗ СМЕСЕНО ОБУЧЕНИЕ

Гл. ас. д-р Валентина Дянкова, д-р Милко Янков

USING SENSORS TO DETECT AND ANALYZE STUDENTS’ ATTENTION DURING ROAD SAFETY TRAINING IN PRIMARY SCHOOL

Assist. Prof. Dr. Stefan Stavrev Assist. Prof. Dr. Ivelina Velcheva

Книжка 2
ALGORITHMS FOR CONSTRUCTION, CLASSIFICATION AND ENUMERATION OF CLOSED KNIGHT’S PATHS

Prof. DSc. Stoyan Kapralov , Assoc. Prof. Dr.Valentin Bakoev , Kaloyan Kapralov

DUAL FORM OF OBTAINING EDUCATION IN THE MATHEMATICS TEACHERS TRAINING SYSTEM: EMPLOYERS’ POSITION

Dr. Hab. Roman Vernydub, Assist. Prof. Dr. Oxana Trebenko, Prof. DSc. Oleksandr Shkolnyi

Книжка 1
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

THE POWER OF A POINT — A VECTOR PERSPECTIVE

Assoc. Prof. Dr. Boyko Bantchev

ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦАТА НА НЯКОИ ВИДОВЕ МНОГОЪГЪЛНИЦИ И ПРИЛОЖЕНИЕТО ИМ ЗА ДОКАЗВАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ В ТЯХ

Проф. д.п.н. Йордан Табов , гл. ас. д-р Асен Велчев , гл. ас. д-р Станислав Стефанов , маг. мат. Хаим Хаимов

ТЕСТОВИТЕ ЗАДАЧИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ЗА ПРОФИЛИРАЩ УЧЕБЕН ПРЕДМЕТ „ИНФОРМАТИКА“ ПРЕЗ УЧЕБНАТА 2021/2022 ГОДИНА

Доц. д-р Димитър Атанасов , д-р Красимир Манев , доц. д-р Весела Стоименова , държавен експерт Ралица Войнова

2022 година
Книжка 6
BEST E-LEARNING PLATFORMS FOR BLENDED LEARNING IN HIGHER EDUCATION

Kalin Dimitrov, PhD student, Dr. Eugenia Kovatcheva, Assoc. Prof. “When I wanted to learn something outside of school as a kid, cracking open my World Book encyclopedia was the best I could do. Today, all you have to do is go online.” – Bill Gates

MOBILE GAME-BASED MATH LEARNING FOR PRIMARY SCHOOL

Dr. Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Dr. Elena Somova, Prof.

Книжка 5
SECURITY ANALYSIS ON CONTENT MANAGEMENT SYSTEMS

Dr. Lilyana Petkova, Dr. Vasilisa Pavlova, Assist. Prof.

MONITORING OF STUDENT ENROLMENT CAMPAIGN THROUGH DATA ANALYTICS TOOLS

Dr. Silvia Gaftandzhieva, Assoc. Prof. , Prof. Dr. Rositsa Doneva , Milen Bliznakov, PhD

READINESS OF UKRAINIAN MATHEMATICS TEACHERS TO USE COMPUTER GAMES IN THE EDUCATIONAL PROCESS

Dr. Alina Voievoda, Assoc. Prof. , Dr. Svitlana Pudova, Assoc. Prof. , Dr. Oleh Konoshevskyi, Assoc. Prof.

TYPES OF SOLUTIONS IN THE DIDACTIC GAME “LOGIC MONSTERS”

Prof. Dr. Nataliya Hristova Pavlova, Michaela Toncheva

Книжка 4
A COMPARATIVE ANALYSIS OF ASSESSMENT RESULTS FROM FACE-TO-FACE AND ONLINE EXAMS

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Neli Baeva, Assist. Prof

ДВАДЕСЕТ И ШЕСТА МЛАДЕЖКА БАЛКАНСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Доц. д-р Ивайло Кортезов, Мирослав Маринов

PERSONAL DATA PROCESSING IN A DIGITAL EDUCATIONAL ENVIRONMENT

Dr. Evgeniya Nikolova, Assoc. Prof., Dr. Mariya Monova-Zheleva, Assoc. Prof., Dr. Yanislav Zhelev, Assoc. Prof.

Книжка 3

CONVERTING NUMERAL TEXT IN BULGARIAN INTO DIGIT NUMBER USING GATE

Dr. Nadezhda Borisova, Assist. Prof., Dr. Elena Karashtranova, Assoc. Prof.

RECOGNITION OF PROBLEMATIC EDUCATIONAL SITUATIONS IN COMPUTER MODELING TRAINING

Dr. Hristo Hristov, Assist. Prof. , Radka Cherneva

EFFECTS OF SHORT-TERM STEM INTERVENTION ON THE ACHIEVEMENT OF 9

Amra Duraković , Senior Teaching Assistant, Dr. Dina Kamber Hamzić , Assist. Prof.

Книжка 2
VOCABULARY ENRICHMENT IN COMPUTER SCIENCE FOR INTERNATIONAL STUDENTS AT THE PREPARATORY DEPARTMENT OF THE UNIVERSITY

Dr. Svetlana Mikhaelis, Assoc. Prof., Dr. Vladimir Mikhaelis, Assoc. Prof., Mr. Dmitrii Mikhaelis

STEM ROBOTICS IN PRIMARY SCHOOL

Tsanko Mihov, Gencho Stoitsov, Ivan Dimitrov

A METAGRAPH MODEL OF CYBER PROTECTION OF AN INFORMATION SYSTEM

Dr. Emiliya Koleva, Assist. Prof., Dr. Evgeni Andreev, Assist. Prof., Dr. Mariya Nikolova, Assoc. Prof.

Книжка 1
CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORKS IN THE TASK OF IMAGE CLASSIFICATION

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

DEVELOPING PROBLEM SOLVING COMPETENCY USING FUNCTIONAL PROGRAMMING STYLE

Muharem Mollov, PhD student , Petar Petrov, PhD student

INNOVATIVE PROPOSALS FOR DATABASE STORAGE AND MANAGEMENT

Yulian Ivanov Petkov, PhD student, Dr. Alexandre Ivanov Chikalanov, Assoc. Prof.

КРИПТОГРАФИЯ И КРИПТОАНАЛИЗ С MS EXCEL

Гл. ас. д-р Деян Михайлов

APPLICATION OF MATHEMATICAL MODELS IN GRAPHIC DESIGN

Dr. Ivaylo Staribratov, Assoc. Prof., Nikol Manolova

КОНТЕКСТУАЛНО ПРЕКОДИРАНЕ

Доц. д-р Юлия Нинова

ДВУПАРАМЕТРИЧНА ЗАДАЧА ЗА ОПТИМАЛНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА РЕСУРСИ

Проф. д-р Росен Николаев, доц. д-р Танка Милкова

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6, 2021 Г.

Задача 1. Дадени са различни естествени числа, всяко от които има прос- ти делители, не по-големи от . Докажете, че произведението на някои три от тези числа е точен куб. Решение: числата са представим във вида . Нека разгледаме квадрат

2021 година
Книжка 6
КРИВОРАЗБРАНИТЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ ТЕСТОВЕ ЗА НАЛИЧИЕ НА ЗАРАЗА

Доц. д-р Маргарита Ламбова, гл. ас. д-р Ваня Стоянова

E-LEARNING DURING COVID-19 PANDEMIC: AN EMPIRICAL RESEARCH

Margarita Gocheva, Assist.Prof., Dr. Nikolay Kasakliev, Assoc. Prof., Prof. Dr. Elena Somova

PRESCHOOL TEACHERS’ KNOWLEDGE, PERSPECTIVES AND PRACTICES IN STEM EDUCATION: AN INTERVIEW STUDY

Dr. Lyubka Aleksieva, Assoc. Prof., Prof. Dr. Iliana Mirtschewa, Snezhana Radeva, PhD Student

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 януари 2022 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg. Скъпи прияте

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Задача 1. Число, което е точен квадрат на естествено число, се записва с няколко единици и една двойка. Докажете, че това число се дели на 11. Решение. Нека е такова число. Можем да го запишем като

Книжка 5
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021

Доц. Ивайло Кортезов, Емил Карлов, Мирослав Маринов

EXCEL’S CALCULATION OF BASIC ASSETS AMORTISATION VALUES

Vehbi Ramaj , Prof. Dr. Sead Rešić , Anes Z. Hadžiomerović , Samira Aganović

EDUCATIONAL ENVIRONMENT AS A FORM FOR DEVELOPMENT OF MATH TEACHERS METHODOLOGICAL COMPETENCE

Prof. Olha Matiash, Dr. Liubov Mykhailenko, Prof.Vasyl Shvets, Prof. Oleksandr Shkolnyi

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 5/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 20 ноември 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в електр

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4, 2021 Г.

Задача 1. Намерете всички взаимно прости естествени числа a и b, за кои- то .

Книжка 4
LEARNING ANALYTICS TOOL FOR BULGARIAN SCHOOL EDUCATION

Assoc. Prof. Silvia Gaftandzhieva, Prof. Rositsa Doneva, Assist. Prof. George Pashev, Mariya Docheva

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 4/2021 Г.

Краен срок за изпращане на решения: 10 октомври 2021 г. В края на 2021 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни реше- ния на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2022 г. Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редак- цията mathinfo@azbuki.bg или в елект

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИТЕ ЗАДАЧИ БРОЙ 3, 2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели . Решение. От тъждеството

Книжка 3
THE PROBLEM OF IMAGES’ CLASSIFICATION: NEURAL NETWORKS

Assoc. Prof. Larisa Zelenina, Assoc. Prof. Liudmila Khaimina, Evgenii Khaimin, D. Khripunov, Assoc. Prof. Inga Zashikhina

MIDLINES OF QUADRILATERAL

Prof. Dr. Sead Rešić, Prof. Dr. Maid Omerović, Anes Z. Hadžiomerović, Ahmed Palić

ВИРТУАЛЕН ЧАС ПО МАТЕМАТИКА

Д-р Севдалина Георгиева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 3/2021 Г.

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа x и y, за които дели 2xy и дели .

РЕШЕНИЯ НА КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 2, 2021 Г.

Задача 1. В равнината са дадени точка A и окръжност k с център O. Наме- рете геометричното място на центровете на описаните окръжности на три- ъгълници ABC, където BC е диаметър на k. Решение. Ако точката A лежи на окръжността k, то всички триъгълници ABC имат център на описаната окръжност точка O. В този случай търсеното множество е точката O. Нека A е външна за окръжността. Да разгледаме диаметър на k, който е перпендикулярен на AO. Центърът на описаната окръжност за е точ- ка S върху

В ПАМЕТ НА ПРОФ. ДОРУ СТЕФАНЕСКУ

С чувство за голяма загуба съобщаваме на нашите читатели, че на 09.05.2021 година на 69-годишна възраст напусна този свят членът на редакционния съ- вет на списание „Математика и информатика“ проф. д.м.н. Дору Стефанеску. Отиде си един уважаван румънски учен математик, старши заместник-пред- седател на Румънското математическо общество и изпълнителен редактор на Бюлетина на това общество, трикратен президент на Математическото обще- ство на Югоизточна Европа. Математическите способности на

Книжка 2
MOBILE MATH GAME PROTOTYPE ON THE BASE OF TEMPLATES FOR PRIMARY SCHOOL

Margarita Gocheva, Elena Somova, Nikolay Kasakliev, Vladimira Angelova

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението:

Задача 3. Положителните числа x, y, z, α , β и γ удовлетворяват равен- ствата:

+ += и 2 cos cos cosx y z xy yz zx ++= + + Да се докаже, че от отсечки с дължини x, y и z може да се построи триъгъл- ник с ъгли , и . Решение. От равенството 0 2 cos cos cos sin sin cos cosx y z xy yz zx y z y z x =++− + + = − + + −

Книжка 1
СЕДЕМНАДЕСЕТА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА И ФИЗИКА АЛМАТИ, 7-12 ЯНУАРИ 2021

Диян Димитров, Светлин Лалов, Стефан Хаджистойков Елена Киселова

ОНЛАЙН СЪСТЕЗАНИЕ „VIVA МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР“

Петър Кендеров, Тони Чехларова, Георги Гачев

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 1/2021

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението: 5 10 2 nn−+= Задача 2. За положителните числа a, b, c и d е изпълнено равенството 1abcd+++ = . Да се докаже, неравенството: 1 18abcd abcd +++ + ≥

2020 година
Книжка 6
ABSTRACT DATA TYPES

Lasko M. Laskov

В ПАМЕТ НА НИКОЛАЙ ХРИСТОВИЧ РОЗОВ 20.02.1938 – 02.11.2020

С голямо прискърбие посрещнахме вестта, че известният математик, високо еру- дираният образователен деятел и член на редколегията на българското списание „Ма- тематика и информатика“ проф. Николай Христович Розов вече не е сред нас. Неочак- ваната смърт го застигна на поста декан на

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ БРОЙ 6

Задача 1. В турнир участвали 799 отбора, като всеки два отбора изиграли по една среща помежду си (всяка среща завършва с победа на единия то двата отбора). Да се докаже, че има 14 отбора, така че всеки от първите 7 отбора е победил всеки от последните 7.

Книжка 5
GAMIFICATION IN CLOUD-BASED COLLABORATIVE LEARNING

Denitza Charkova, Elena Somova, Maria Gachkova

NEURAL NETWORKS IN A CHARACTER RECOGNITION MOBILE APPLICATION

L.I. Zelenina, L.E. Khaimina, E.S. Khaimin, D.I. Antufiev, I.M. Zashikhina

APPLICATIONS OF ANAGLIFIC IMAGES IN MATHEMATICAL TRAINING

Krasimir Harizanov, Stanislava Ivanova

∑

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Вписаната в ∆ABC окръжност се допира до страните AB, BC и CA съответно в точки P, Q и R. Ъглополовящата на ъгъла при върха C пресича PQ в точка S. Да се докаже, че правите AS и RQ са успоредни. Задача 2. Естественото число n се нарича хубаво, ако множества {1, 2, 3,..., п} може да се разбие на k непресичащи се множества така, че всяко от множест- вото да съдържа средното аритметично на елементите си. Намерете всички хубави числа за k = 2 и k = 3. Задача 3. Намерете всички функци

Книжка 4
TECHNOLOGIES AND TOOLS FOR CREATING ADAPTIVE E-LEARNING CONTENT

Todorka Terzieva, Valya Arnaudova, Asen Rahnev, Vanya Ivanova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека . Да се намери сумата на всички ес- тествени числа от интервала , за които се дели на . Росен Николаев и Танка Милкова, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2019

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа , които са решения на уравнението Милен Найденов, Варна Решение: eдно множество от решения на разглежданото уравнение се описва със следните формули: , , където Задача 2. Средите на диагоналите и на изпъкналия четириъгъл- ник са съответно и , а пресечната им точка е . Ако втората пресечна точка на описаните около триъгълниците и окръжнос- ти е и , да се докаже, че правата с

Книжка 3
MATHEMATICAL MODELLING IN LEARNING OUTCOMES ASSESSMENT (BINARY MODEL FOR THE ASSESSMMENT OF STUDENT’S COMPETENCES FORMATION)

L. E. Khaimina, E. A. Demenkova, M. E. Demenkov, E. S. Khaimin, L. I. Zelenina, I. M. Zashikhina

PROBLEMS 2 AND 5 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Равнобедреният трапец има основи с дължини и , като е такъв, че средите на страните му са върхове на квадрат. Ако дължината на бедрото на е , а разстоянието от пресечната точка на диагоналите му до бедрата е , да се докаже, че . Милен Найденов, Варна

( ) ( ) ( ) 2sin 2019 2 cos 2019 2 2 3 10, 25x x xx + = −+

Решение: тъй като , т.е. когато

Книжка 2
ЗА ВЕКТОРНОТО ПРОСТРАНСТВО НА МАГИЧЕСКИТЕ КВАДРАТИ ОТ ТРЕТИ РЕД (В ЗАНИМАТЕЛНАТА МАТЕМАТИКА)

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРЕНТНИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ПРАВИЛНИ МНОГОЪГЪЛНИЦИ

Йоана Христова, Геновева Маринова, Никола Кушев, Светослав Апостолов, Цветомир Иванов

A NEW PROOF OF THE FEUERBACH THEOREM

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

PROBLEM 3 ON THE IMO’2019 PAPER

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. По пътя между два града има три тунела с обща дължина 2 ки- лометра и 900 метра. Разликата в дължините на втория и третия е 20 пъти по-малка от дължината на първия тунел. Общата дължина на втория и третия е с 500 метра по-голяма от дължината на първия. Да се намерят дължините на трите тунела, ако третият тунел има най-малка дължина. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. Да се докаже, че във вписан в окръжност четириъгълник е изпълнено неравенството . Хаим Хаи

Книжка 1
GENDER ISSUES IN VIRTUAL TRAINING FOR MATHEMATICAL KANGAROO CONTEST

Mark Applebaum, Erga Heller, Lior Solomovich, Judith Zamir

KLAMKIN’S INEQUALITY AND ITS APPLICATION

Šefket Arslanagić, Daniela Zubović

НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ВЪРТЯЩАТА ХОМОТЕТИЯ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2019

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа, които са дължи- ни в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с телесен диаго- нал . Христо Лесов, Казанлък Решение. Нека са дължините в сантиметри на ръбовете на правоъгълен паралелепипед с диагонал . Изпълнено е равен- ството . Оттук имаме . Следо- вателно . Затова , т.е. . От друга страна, , което означава, че . Затова , т.е. . По този начин получихме, че . Като направим необходимите проверки при

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадени са системите линейни уравнения

2019 година
Книжка 6
DISCRETE MATHEMATICS AND PROGRAMMING – TEACHING AND LEARNING APPROACHES

Mariyana Raykova, Hristina Kostadinova, Stoyan Boev

CONVERTER FROM MOODLE LESSONS TO INTERACTIVE EPUB EBOOKS

Martin Takev, Elena Somova, Miguel Rodríguez-Artacho

ЦИКЛОИДА

Аяпбергенов Азамат, Бокаева Молдир, Чурымбаев Бекнур, Калдыбек Жансуйген

КАРДИОИДА

Евгений Воронцов, Никита Платонов

БОЛГАРСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ

Росен Николаев, Сава Гроздев, Богдана Конева, Нина Патронова, Мария Шабанова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на удовлетворяват равенството Татяна Маджарова, Варна Задача 2. Правоъгълният триъгълник има остри ъгли и , а центърът на вписаната му окръжност е . Точката , лежаща в , е такава, че и . Симетралите

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2019

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

Книжка 5
ДЪЛБОКО КОПИЕ В C++ И JAVA

Христина Костадинова, Марияна Райкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни ра- ционални числа Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2018

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казва- ме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са противоположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свърз- ващи точките и , по които мухата може да мине, когато: а) и ; б) и ; в) и

Книжка 4

THE REARRANGEMENT INEQUALITY

Šefket Arslanagić

АСТРОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

COMPUTER PROGRAMMING IN MATHEMATICS EDUCATION

Marin Marinov, Lasko Laskov

CREATING INTERACTIVE AND TRACEABLE EPUB LEARNING CONTENT FROM MOODLE COURSES

Martin Takev, Miguel Rodríguez-Artacho, Elena Somova

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Да се докаже, че в четириъгълник с перпендикулярни диагонали съществува точка , за която са изпълнени равенствата , , , . Хаим Хаимов, Варна Задача 3. В правилен 13-ъгълник по произволен начин са избрани два диа- гонала. Каква е вероятността избраните диагонали да не се пресичат? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2018

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

Книжка 3
∑

RESULTS OF THE FIRST WEEK OF CYBERSECURITY IN ARKHANGELSK REGION

Olga Troitskaya, Olga Bezumova, Elena Lytkina,Tatyana Shirikova

DIDACTIC POTENTIAL OF REMOTE CONTESTS IN COMPUTER SCIENCE

Natalia Sofronova, Anatoliy Belchusov

∫

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2019 г.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2018

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа е изпълнено равенството: а)

Книжка 2
ЕЛЕКТРОНЕН УЧЕБНИК ПО ОБЗОРНИ ЛЕКЦИИ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ В СРЕДАТА DISPEL

Асен Рахнев, Боян Златанов, Евгения Ангелова, Ивайло Старибратов, Валя Арнаудова, Слав Чолаков

ГЕОМЕТРИЧНИ МЕСТА, ПОРОДЕНИ ОТ РАВНОСТРАННИ ТРИЪГЪЛНИЦИ С ВЪРХОВЕ ВЪРХУ ОКРЪЖНОСТ

Борислав Борисов, Деян Димитров, Николай Нинов, Теодор Христов

ЕКСТРЕМАЛНИ СВОЙСТВА НА ТОЧКАТА НА ЛЕМОАН В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

A TRIANGLE AND A TRAPEZOID WITH A COMMON CONIC

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

2019 cm

Христо Лесов, Казанлък Задача 2. Окръжност с диаметър и правоъгълник с диагонал имат общ център. Да се докаже, че за произволна точка M от е изпълне- но равенството . Милен Найденов, Варна Задача 3. В изпъкналия четириъгълник са изпълнени равенства- та и . Точката е средата на диагонала , а , , и са ортоганалните проекции на съответно върху правите , , и . Ако и са средите съответно на отсечките и , да се докаже, че точките , и лежат на една права.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2018

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна Решение. Въвеждаме означението , където . Съгласно това означение разлежданото уравнение придобива вида не е решение на уравнението. Затова са възможни само случаите 1) и 2) . Разглеж- даме двата случая поотделно. Случай 1): при е изпълнено равенството . Тогава имаме:

Книжка 1
PROBLEM 6. FROM IMO’2018

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2018

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък Решение: тъй като , то не е куб на ес- тествено число и затова . Разглеждаме последователно случаите за . 1) При разглеждаме естествени числа и , за които са изпълнени релациите и . Тогава то , т.е. . Освен това откъдето , т.е. .Така получихме, че . Лесно се проверява, че при и няма естествен

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички цели числа , за които

2018 година
Книжка 6
„ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ“ – МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ В РАМКАХ MITE

Роза Атамуратова, Mихаил Aлфёров, Марина Белорукова, Веселин Ненков, Валерий Майер, Генадий Клековкин, Раиса Овчинникова, Мария Шабанова, Александр Ястребов

A NEW MEANING OF THE NOTION “EXPANSION OF A NUMBER”

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Radan Miryanov

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Точката е левият долен връх на безкрайна шахматна дъска. Една муха тръгва от и се движи само по страните на квадратчетата. Нека е общ връх на някои квадратчета. Казваме, че мухата изминава пътя между и , ако се движи само надясно и нагоре. Ако точките и са проти- воположни върхове на правоъгълник , да се намери броят на пътищата, свързващи и , по които мухата може да мине, когато: а) и n = 6; б) и ; в) m и са произволни естествени числа.

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2018

Задача 1. Да се докаже, че: а) се дели на ; б) се дели на . Христо Лесов, Казанлък Решение на Златка Петрова от Ямбол: а) От дефиницията за факториел имаме . Оттук очевидно следва, че разглежданото число се дели на . б) Лесно се проверява, че е просто число. Затова от теоремата на Уилсън следва, че . Сега, като вземем предвид, че , получаваме което доказва твърдение б).

Книжка 5
ИТОГИ ПРОВЕДЕНИЯ ВТОРОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ОЛИМПИАДЬI ПО ФИНАНСОВОЙ И АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ И СТУДЕНТОВ

Сава Гроздев, Росен Николаев, Мария Шабанова, Лариса Форкунова, Нина Патронова

LEARNING AND ASSESSMENT BASED ON GAMIFIED E-COURSE IN MOODLE

Mariya Gachkova, Martin Takev, Elena Somova

УЛИТКА ПАСКАЛЯ

Дарья Коптева, Ксения Горская

КОМБИНАТОРНИ ЗАДАЧИ, СВЪРЗАНИ С ТРИЪГЪЛНИК

Росен Николаев, Танка Милкова, Катя Чалъкова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако и са съвършени числа, за които целите части на числата и са равни и различни от нула, да се намери .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2017

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението , ако: а) ; б) . Тодор Митев, Русе Решение: а) . Първо да отбележим следните две твърдения: 1) най-големият общ делител на и е или за всяко цяло . Това твърдение следва непосредствено от равенството ; 2) ако е просто число и дели , то дели . Това твърдение се доказва по следния начин. От условието

Книжка 4
ЗА ПРОСТИТЕ ЧИСЛА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИНЦЕНТЪР НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Станислав Стефанов

ЭПИЦИКЛОИДА

Инкар Аскар, Камила Сарсембаева

ГИПОЦИКЛОИДА

Борислав Борисов, Деян Димитров, Иван Стефанов, Николай Нинов, Теодор Христов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички тройки естествени числа , за кои- то е изпълнено равенството: а) ; в) Христо Лесов, Казанлък

∑

Решение: а) 11 1 1 1 1 nx x x x kx x x x ′ ′ − + − +−  −  = = = =   − −   .

Книжка 3
ПОЛИНОМИ ОТ ТРЕТА СТЕПЕН С КОЛИНЕАРНИ КОРЕНИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ЧЕТИРИДЕСЕТ И ПЕТА НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Станислава Стоилова, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши уравнението . Росен Николаев, Дико Суружон, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2017 Г.

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между местата на пър- вата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с по-бавно, то той ще срещне първия мотоциклет след тръгването си, а разстоянието между местата на двете срещи ще бъде . Определете разстоянието , ако скоро

Книжка 2
TWO INTERESTING INEQUALITIES FOR ACUTE TRIANGLES

Šefket Arslanagić, Amar Bašić

ПЕРФЕКТНА ИЗОГОНАЛНОСТ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИК

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

НЯКОИ ТИПОВЕ ЗАДАЧИ СЪС СИМЕТРИЧНИ ЧИСЛА

Росен Николаев, Танка Милкова, Радан Мирянов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число , при което куба с целочислени дължини на ръбовете в сантиметри имат сума на обемите, рав- на на Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2017

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големи- на кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най- много 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество оре- хи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три. Тъй като на Иван му харесало числото с тез

Книжка 1
„Децата не разбират това, което четат, и

където тези проценти са наполовина, в Източна Европа те са около 25%, в

COMPUTER DISCOVERED MATHEMATICS: CONSTRUCTIONS OF MALFATTI SQUARES

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ε

2015! 2016! 2017++

Задача 2. Да се докаже, че всяка от симедианите в триъгълник с лице разделя триъгълника на два триъгълника, лицата на които са корени на урав- нението където и са дължините на прилежащите на симедианата страни на три- ъгълника. Милен Найденов, Варна Задача 3. Четириъгълникът е описан около окръжност с център , като продълженията на страните му и се пресичат в точка . Ако е втората пресечна точка на описаните окръжности на триъгълниците и , да се докаже, че Хаим Х

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2017

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа и , при които стойността на израза е: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък Решение: при и имаме . Следова- телно случай а) има положителен отговор. Тъй като при число- то се дели на , то при и имаме е естестве- но число. Следователно всяко число от разглеждания вид при деление на дава ос

2017 година
Книжка 6
A SURVEY OF MATHEMATICS DISCOVERED BY COMPUTERS. PART 2.

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ТРИ ИНВАРИАНТЫ В ОДНУ ЗАДАЧУ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Асхат Ермекбаев, Арман Жетиру, Азат Бермухамедов, Салтанат Кошер, Лили Стефанова, Ирина Христова, Александра Йовкова

GAMES WITH MODIFIED DICE

Aldiyar Zhumashov

SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS (PART TWO)

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

ЗАНИМАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ТЕМАТА „КАРТИННА ГАЛЕРИЯ“

Мирослав Стоимиров, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се реши в естествени числа уравнението x )!63(1  , ако: а) ; б) . Тодор Митев – Русе

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2017

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което приема най-малка стойност. Христо Лесов – Казанлък Решение: съгласно малката теорема на Ферма за всяко естествено чис- ло и просто число , числото се дели на , т.е. дава оста- тък при деление на . Тъй като е просто число, от тази теорема следва, че дава остатък при деление на и дава остатък

Книжка 5
SOME NUMERICAL SEQUENCES CONCERNING SQUARE ROOTS

Rosen Nikolaev, Tanka Milkova, Yordan Petkov

∑

Слави Харалампиев и Румяна Несторова, Враца

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2016

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките

Книжка 4
ГЕНЕРАТОР НА ТЕСТОВЕ

Ангел Ангелов, Веселин Дзивев

INTERESTING PROOFS OF SOME ALGEBRAIC INEQUALITIES

Šefket Arslanagić, Faruk Zejnulahi

PROBLEMS ON THE BROCARD CIRCLE

Sava Grozdev, Hiroshi Okumura, Deko Dekov

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА В ИКОНОМИКАТА

Велика Кунева, Захаринка Ангелова

СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. От две селища и , разстоянието между които е , ед- новременно тръгнали един срещу друг съответно автомобил и мотоциклет. В момента на срещата им от за тръгнал втори мотоциклет. При срещата на втория мотоциклет с автомобила се оказало, че разстоянието между места- та на първата и втората среща е . Ако автомобилът се движи с

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2016

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едновременно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти, така че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всич- ки редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диа- гоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: прилагаме действието към единия диагонал

Книжка 3
НЯКОЛКО ПРИЛОЖЕНИЯ НА ТЕОРЕМАТА НА МЕНЕЛАЙ ЗА ВПИСАНИ ОКРЪЖНОСТИ

Александра Йовкова, Ирина Христова, Лили Стефанова

НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА

Сава Гроздев, Росен Николаев, Веселин Ненков

СПОМЕН ЗА ПРОФЕСОР АНТОН ШОУРЕК

Александра Трифонова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големина кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най-мно- го 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество орехи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един орех, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три ореха. Тъй като на Иван му харесало бро

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2016 Г.

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния Решение. Нека е дискриминанта- та на квадратното спрямо уравнение . Сле- дователно . Оттук получаваме равенството . Предполагаме, че

Книжка 2
NDM-PHILOSOPHY OF EDUCATION IN THE 21

Marga Georgieva, Sava Grozdev

ИЗКУСТВЕНА ИМУННА СИСТЕМА

Йоанна Илиева, Селин Шемсиева, Светлана Вълчева, Сюзан Феимова

ВТОРИ КОЛЕДЕН ЛИНГВИСТИЧЕН ТУРНИР

Иван Держански, Веселин Златилов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа n и k, при които стойността на израза 2017 + 3 + 4 e: а) куб на естествено число; б) сбор от кубовете на две естествени числа; в) сбор от кубовете на три естествени числа. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2016

Задача 1. Редицата на Фибоначи се дефинира с равенствата и . Да се докаже, че всяка от редиците и съдържа безброй много двойки съседни членове, които се де- лят на . Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: в началото ще докажем следната Лема. За всяко числата на Фибоначи притежават свойствата: а) последната цифра на числата и е ; б) последната цифра на числата , , и е ; в) последната цифра на числата , , и е .

Книжка 1
ЗАНИМАТЕЛНИТЕ ЗАДАЧИ НА ПОАСОН И МЕТОДЪТ НА ПЕРЕЛМАН ЗА ТЯХНОТО РЕШАВАНЕ И ИЗСЛЕДВАНЕ

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Мирослав Стоимиров

ГЕОМЕТРИЯ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА, ТОЧКА НА МИКЕЛ, ИНВЕРСНА ИЗОГОНАЛНОСТ

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека , , , , са различни прости числа, по-малки от , за които числото . Да се намери най-малкото естествено число , при което най-малка стойност. Христо Лесов, Казанлък

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2016

Задача 1. За всяко естествено число да се намери растяща редица от естествени числа , , , , , за които е изпълнено равенството Христо Лесов, Казанлък Решение: от условието имаме Затова , , , , и , , .

2016 година
Книжка 6
ПЕРВЫЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СЕТЕВОЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ УЧАЩИХСЯ В РАМКАХ MITE

Мария Шабанова, Марина Белорукова, Роза Атамуратова, Веселин Ненков

НЕКОТОРЫЕ ТРАЕКТОРИИ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ РАВНОБЕДРЕННЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров, Еркен Мудебаев, Казбек Мухамбетов, Адилбек Темирханов, Лили Стефанова, Ирина Христова, Радина Иванова

ПСЕВДОЦЕНТЪР И ОРТОЦЕНТЪР – ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ В ЧЕТИРИЪГЪЛНИКА

Веселин Ненков, Станислав Стефанов, Хаим Хаимов

FUZZY LOGIC

Reinhard Magenreuter

GENETIC ALGORITHM

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Върху правата е взета произволна точка . Точките и лежат в една полуравнина спрямо и са такива, че и са равностранни. Ако е петата на перпендикуляра, спуснат от към , да се намери геометричното място на точката , когато описва . Ксения Горская, Дарья Коптева, Даниил Микуров – Архангелск, Русия

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1/2016

Задача 1. Целочислените редици и са дефинирани чрез равенствата , , , , при . а) Да се докаже, че за всяко цяло число точно едно от числата , и б) Да се определят целите числа , за които и са взаимно прости числа за всяко естествено число . Христо Лесов – Казанлък Решение: дадените рекурентни равенства представяме по следния на- чин: вателно

Книжка 5
NEURAL NETWORKS

Reinhard Magenreuter

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат е записано числото . Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едно- временно . Може ли да се приложи това действие краен брой пъти така, че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всички редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диагоналите да са огледални числа? Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм Задача 2. В окръжност с център е вписан разност

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2015

Задача 1. Дадена е функцията , където m, n, ∈ℕ. Ако и са корените на уравнението и е изпълнено

Книжка 4
ХИПОТЕЗАТА В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Елена Тодорова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа и , при които числата са квадрати на естествени числа. Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2015

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията и . Милен Найденов, Варна Решение. Разделяме двете страни на първото уравнение на и полу- чаваме . Полагаме и уравнението добива вида . Тъй като функцията е растяща (лявата графика на чертежа), то уравнението ално решение . С непосредствена проверка се вижда, че това решение е . Оттук намираме, че е единственото решение на първо- то уравнение. След това разделяме двете страни на второто уравнение на

Книжка 3
{}

Сава Гроздев – София, и Веселин Ненков – Бели Осъм

()

След заместване на намерените две неравенства в дясната страна на . Равенство се достига тогава и само тогава,

Книжка 2
ОЙЛЕР-ВЕН ДИАГРАМИ ИЛИ MZ-КАРТИ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова, Иван Душков

ОБВЪРЗВАНЕ НА ОБУЧЕНИЕТО ПО АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Румяна Маврова, Пенка Рангелова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. За всяко естествено число n да се намери растяща редица

()

Задача 2. Нека P е произволна точка от описаната окръжност на на . Ако докаже, че точките лежат на една права. Хаим Хаимов, Варна, и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение. Ще докажем, че правите ра на описаната около окръжност . Оттук непосредствено следва

Книжка 1
()

МЕЖДУНАРОДНА ЖАУТИКОВСКА ОЛИМПИАДА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

{}

2n ≥

()()

.

2015 година
Книжка 6
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Дадена е функцията , където ,mn∈ . Ако x и x са корените на уравнението f (x) = 0 и е изпълнено (2) (3)ff t xx xx −− ==∈ +  , да се намерят m и n. Росен Николаев, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2015

Задача 1. Параметрите a и b в уравнението 5x + 2x + 4ax  x + 2bx + 4b  a = 0 са такива, че то има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 1 и 2 са корени на даденото уравнение, то след заместване в уравнението се получават съответно равенствата: 5a+2b = 4 и 31a+8b = 188. След решаване на получената система от две уравнения с две неизвестни се полу- чава: a = 4 и b = 8. Заместваме на

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА MATHEMATICS AND INFORMATICS

BULGARIAN EDUCATIONAL JOURNAL ANNUAL CONTENTS / ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ

Книжка 5
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намери сборът от корените на уравненията 3.2 8.3 159000 += и 32.11 56697728 x += . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2014

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра k, за които уравнението ( ) ( ) , 10k ≠ притежава цело- числени корени. Милен Найденов, Варна Решение: Ако x и x са корените на уравнението, то 2 21 1 2 10 10 k xx kk - + = =- -- е цяло число. Затова 1 10 p k = - е цяло. Оттук получаваме 10 1p k p + = . За дискри- минантата D на уравнението намираме 6 24p D p -- = . Тъй като D трябва да е точен квадрат, то 6 24pn- -= за някое цяло число n. Последното равен

Книжка 4
Книжка 3
МОТИВАЦИОННИТЕ ЗАДАЧИ В ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Маврова, Пенка Рангелова, Зара Данаилова-Стойнова

Книжка 2
САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ С EXCEL

Пламен Пенев, Диана Стефанова СОУ „Панайот Волов“ – Шумен ОУ „Никола Йонков Вапцаров“ – Асеновград

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ ВЬIЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЬIМИ

Владимир Жук Республиканская специализированная физико-математическая средняя школа-интернат имени О. Жаутыкова

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2014

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа uxyv , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна Решение: Събираме почленно равенствата и получаваме . Оттук следва равенството ( ) ( )( ) 1 1 1 12xy uv− −+ − −= . Последното равенство е изпълнено при ( ) 1 11 xy − −= и ( )( ) 1 11uv− −= ; ( ) 1 12xy− −= и ( )( ) 1 10uv− −= ; ( ) 1 10xy− −= и ( )( ) 1 12uv− −= . Оттук лесно се вижда, че търсените числа са: 2222, 5231, 1235, 3152, 3512, 5321, 1325,

Книжка 1
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА

Сава Гроздев, Веселин Ненков

Contest Problems Конкурсни задачи Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x

Задача 1. Параметрите a и b са такива, че уравнението 5x + 2x + 4ax - x + 2bx + 4b  a = 0 има за корени числата 1 и 2. Да се намерят останалите корени на уравнението. Сава Гроздев, София Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2014

Задача 1. Ако a  3 е нечетно число и k 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: Означаваме с r търсения остатък. При k = 2 е изпълнено равенството . Тъй като , то . Сега от равенството се получава , къ- дето M е цяло число. Ако k = 2l, l k = 2l + 1, l . В този случай получаваме, че . Разглеждаме случая, при който k = 3. От рела- циите и

2014 година
Книжка 6
КОНКУРЕНТНОСТ, ПОРОДЕНА ОТ ТАНГЕНТИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра , за които уравнението притежава це- лочислени корени. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2014

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a , и c е изпълне- но неравенството Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Решение: Ако , R и са съответно лицето, радиусът на описа- ната окръжност и полупериметърът на триъгълника, то са изпълнени следните релации: и . От двете равенства лесно се вижда, че разглежданото неравенство е еквивалентно с , което съвпада със споменатото неравенство.

Книжка 5
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛАХ РОССИИ

С. А. Бешенков, Э. В. Миндзаева

ОЩЕ ЕВРИСТИКИ С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „П. Волов“ – Шумен

ДВА ПОДХОДА ЗА ИЗУЧАВАНЕ НА УРАВНЕНИЯ В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова, Ирина Вутова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на a, b и c, при които коре- ните на уравнението 10x a b c x ab bc ca++++ +++= са цели числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2013

Задача 1. Да се намерят всички реални функции : 1, 1,fx +∞ → +∞ , за които при и 0y > е изпълнено равенството fx fx= . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния Решение: Нека 1 log ln ye x == . Тогава fx fx fe== . Полагаме 1fe a => . От условието получаваме a fe fx== , откъдето fx a = . Освен това . Затова, като положим α , получаваме, че търсените функции са fx x = за всички α .

Книжка 4
ОБУЧЕНИЕ В СТИЛ EDUTAINMENT С ИЗПОЛЗВАНЕ НА КОМПЮТЪРНА ГРАФИКА

Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова

УРОК ЗА ИЗПОЛЗВАНЕ НА ФУНКЦИИ В ЗАДАЧИ ПО ИКОНОМИКА

Петя Сярова СОУ „Васил Левски“ – Ямбол

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете цифрите , , и в десетична бройна система, ако е изпълнено равенството . Йон Патралику, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2013

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа , за които са изпълнени неравенствата: 2 2 2 28, 6, 3 8.

Книжка 3
ИНВЕРСИЯТА – МЕТОД В НАЧАЛНАТА УЧИЛИЩНА МАТЕМАТИКА

Здравко Лалчев, Маргарита Върбанова

СТИМУЛИРАНЕ НА ТВОРЧЕСКА АКТИВНОСТ ПРИ БИЛИНГВИ ЧРЕЗ ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Сава Гроздев, Диана Стефанова, Калина Василева, Станислава Колева, Радка Тодорова

ПРОГРАМИРАНЕ НА ЧИСЛОВИ РЕДИЦИ

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова Образцова математическа гимназия „Акад. Кирил Попов” „Колкото човек е по-близо, толкова по-малко вижда“ Зрителна измама, филм на Луи Летерие

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Намерете всички естествени четирицифрени числа , за които са изпълнени равенствата и . Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2013

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9 3 15xx x+ +≥ . б) Намерете реалните стойности на , при които за всички , , 1,abc∈ − +∞ , е изпълнено неравенството 31a b c a b c kabc + + + + + +≥ ++ . Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния Решение: а) Разглежданото неравенство е еквивалентно с 13 1 0 xx + −≥ , което е очевидно при . б) От а) следват неравенствата 9 3 15aa a+ +≥ , 9 3 15bb b+ +≥ и 9 3 15cc c+ +≥ . След почленно събиране получаваме 5 31 3 a b c a

Книжка 2
ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ

Валерий Секованов, Елена Селезнева, Светлана Шляхтина

ANALYSIS OF PROBLEM SOLVING IN INFORMATICS FOR 12 – 13 YEAR OLD STUDENTS IN BULGARIA

Ivaylo Staribratov, BistraTaneva High School of Mathematics „Akad. Kiril Popov“

МОДЕЛ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЕДИН КЛАС ЗАДАЧИ ЗА ПОСТРОЕНИЕ С ДИНАМИЧЕН СОФТУЕР

Ваня Бизова-Лалева Национална търговска гимназия

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Ако a ³ 3 е нечетно число и k ³ 2 е естествено число, да се намери остатъкът от делението на a с .

Contest Problems Конкурсни задачи РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2013

24 24 2 2 .2 8. 2 8.1024 8. 1000 1 8.10 . 1 23. 1000 1000     == = = + > + =         557 500 3 8.10 . 1 8.10 . 1 8.10 . 12.10 10.10 10 1000 1000 2  = +> += = > =  

Книжка 1
ЕВРИСТИКА С EXCEL

Пламен Пенев СОУ „Панайот Волов“

ЕДНО ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ПИТАГОР В ИЗВЪНКЛАСНАТА РАБОТА ПО МАТЕМАТИКА

Румяна Несторова Регионален инспекторат по образованието - Враца

SOME INEQUALITIES IN THE TRIANGLE

Šefket Arslanagić

ЕДИНАДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

Иван Держански Българска академя на науките

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че за произволен триъгълник със страни a, b и c е из- пълнено неравенството (a+b+c) (2b c + 2c a + 2a b - a - b - c ) £ 27a b c . Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Ако M е множеството на всички равнобедрени триъгълници, стра- ните и лицето на които са естествени числа, да се намерят три триъгълника от M, различните страни на които са последователни естествени числа. Милен Найденов, Варна

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2013

Задача 1. Реалните числа , , , и са такива, че:

2013 година
Книжка 6
∑

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички реални функции f (x) : (1, + ) (1, + ), за които при x > 1 и y > 0 е изпълнено равенството f (x ) = (f (x)) . Йон Неделку, Плоещ и Лучиан Тутеску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2013

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата 3 cos cos cos 3 1 216 abc abc abc abc ⎡⎤ ++ ++ −≤++< − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ .

MATHEMATICS AND INFORMATICS

ГОДИНА LVI / VOLUME 56, 2013 ГОДИШНО СЪДЪРЖАНИЕ / ANNUAL CONTENT СТРАНИЦИ / PAGES КНИЖКА 1 / NUMBER 1: 1 – 96 КНИЖКА 2 / NUMBER 2: 97 – 200 КНИЖКА 3 / NUMBER 3: 201 – 296 КНИЖКА 4 / NUMBER 4: 297 – 400 КНИЖКА 5 / NUMBER 5: 401 – 496 КНИЖКА 6 / NUMBER 6: 497 - 608

Книжка 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕГАТЬI

Александр Блинков

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички наредени тройки от реални числа (x, y, z), за които са изпълнени неравенствата:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2012

Задача 1. За всяко реално число x означаваме с [x] най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на x. Да се намерят всички прости числа p, за които числото е просто.

GUIDE FOR AUTHORS

Mathematics and Informatics Journal publishes scientifi c, scientifi c-popular, review and information materials. Papers of scientifi c character should report original research and ideas inspected through expert evaluation by two anonymous and independent referees. It is recommended that the manuscripts are sent as attachment fi les to the following addresses mathinfo@azbuki.bg and sava.grozdev@gmail.com. Disks or other electronic devices are admissible too and in such a case the postal a

Книжка 4
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. а) Покажете, че ако , то 9315xx x++≥ .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2012

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа x, y и z, за които е изпълнено равенството . Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм Решение: Тъй като 13 = 2197, 2.11 = 2662 и 3.9 . 2187, то x 12, y 10 и z 8. Освен това x и z имат различна четност. Така с непосредствена проверка се вижда, че когато z = 1,3,5,7 при x = 2,4,6,8,10,12 и z = 2,4,6,8 при x = 1,3,5,7,9,11, само x = 2, y = 10, z = 1 е решение на даденото уравнение.

Книжка 3
АКАДЕМИК ПЕТЪР КЕНДЕРОВ НА 70 ГОДИНИ

чл. кор. Юлиан Ревалски

ОБЛАЧНИ ТЕХНОЛОГИИ И ВЪЗМОЖНОСТИ ЗА ПРИЛОЖЕНИЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

СЪСТЕЗАТЕЛНИ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКА ЗА ГРУПА Е

Ивайло Старибратов, Цветана Димитрова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се сравнят числата Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния Задача 2. Точките E и F са среди съответно на диагоналите AC и BD на чети- риъгълника ABCD. Ако BAE ADE= и , да се докаже, че симе- дианите на триъгълниците ABC, BCD, CDA и DAB съответно през върховете B, C, D и A се пресичат в една точка. Хаим Хаимов, Варна Задача 3. Вписаната в окръжност се допира до , и AB съот-

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2012

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния Решение: Изпълнени са равенствата ! 1! 1 1! 1 !! np Sp C p np + =− +=− +=

Книжка 2
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНАТА МАТЕМАТИКА В УЧИЛИЩЕ

Сава Гроздев, Борислав Лазаров

МАТЕМАТИКА С КОМПЮТЪР

Сава Гроздев, Деко Деков

ЕЛИПТИЧЕН АРБЕЛОС

Пролет Лазарова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Реалните числа , , , и са, такива че:

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2012

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa a bb b  , за които е изпълнено равенството aa a bb b aa a bb b=   . Николай Белухов, Стара Загора Решение: Нека A aa a=  и B bb b=  . От условието следва равенството .10 . A B AB+= , откъдето .10 1 . A AB =− . Тъй като , 11AA −= , то 1|10 A − , откъдето 1 1 2 .5 AA− += . Ако числата 1A − и 1A + са едновременно нечетни, то , а 1A − и 1A + са степени на петицата с разлика две, което е невъзможно. Остава само възмо

Книжка 1
70-ГОДИШЕН ЮБИЛЕЙ

Навършиха се 70 години от рождението на изтъкнатия български математик проф. дмн Генчо Скордев. Юбилярът е член-кореспондент на БАН и дългогодишен главен редактор на сп. „Математика и информатика“. По този повод е следващият материал, в който авторът разказва свои спомени с исторически характер, свързани с активното му участие в образователните процеси в България по математика и информатика.

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата .

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2012

Задача 1. В множеството на реалните числа е дефинирана бинарна опера- ция :⊗ ×→  , където : \0=  , която условно ще наричаме умножение и такава, че за всеки три реални числа , и , където , е в сила ра- венството .ac a bc b ⊗⊗= . Ако е известно, че , да се пресметне 2011 2012 2011 2012⊗⊗⊗ . Живко Желев, Стара Загора Решение: Първи начин (авторско решение). Нека . Тогава .1 11 1 a ata a⊗= ⊗ ⊗ = = . Оттук получаваме 2012. 1 2012 2012 2012 2012 2012 t tt=⊗=⊗ ⊗= =

2012 година
Книжка 6
ДВЕ ДИДАКТИЧЕСКИ СТЪЛБИ

Сава Гроздев, Светлозар Дойчев

ТЕОРЕМА НА ПОНСЕЛЕ ЗА ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ

Сава Гроздев, Веселин Ненков

ИЗЛИЧАНЕ НА ОБЕКТИВНИ ЗНАНИЯ ОТ ИНТЕРНЕТ

Ивайло Пенев, Пламен Пенев

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 1, 2012

Христо Лесов, Казанлък

Книжка 5
ДЕСЕТА МЕЖДУНАРОДНА ОЛИМПИАДА ПО ЛИНГВИСТИКА

доц. д–р Иван А. Держански (ИМИ–БАН) Десетата Международна олимпиада по лингвистика (МОЛ) се проведе в Любляна (Словения) от 30 юли до 3 август 2012 г. В нея взеха участие 131 ученици, съставящи 34 отбора от 26 страни. За първи път свои състезатели изпратиха Гърция, Китай, Израел, Унгария и Япония. Бяха представени също Австралия, Бразилия, България, Великобритания, Германия, Естония, Индия, Ирландия, Канада, Латвия, Нидерландия, Полша, Румъния, Русия, САЩ, Сингапур, Словения, Сърбия, Чехи

ТЕОРЕМА НА ВАН ОБЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Тодорка Глушкова, Боян Златанов

МАТЕМАТИЧЕСКИ КЛУБ „СИГМА” В СВЕТЛИНАТА НА ПР ОЕКТ УСПЕХ

Сава Гроздев, Иванка Марашева, Емил Делинов

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички положителни числа , и , за които е из- пълнено равенството Сава Гроздев, София, Веселин Ненков, Бели Осъм

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 6, 2011

Задача 1. Да се докаже, че за всяко цяло положително число уравнението има безброй много решения в цели положителни числа

I N M E M O R I A M

На 26 септември 2012 г. след продължително боледуване ни напусна проф. дпн Иван Ганчев Донев. Той е първият професор и първият доктор на науките в България по методика на обучението по математика. Роден е на 6 май 1935 г. в с. Страхилово, В. Търновско. След завършване на СУ “Св. Кл. Охридски” става учител по математика в гр. Свищов. Тук той организира първите кръжоци и със- тезания по математика. През 1960 г. Иван Ганчев печели конкурс за асистент в СУ и още през следващата година започ

Книжка 4
КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Нека p е просто число и n е естествено число, по-малко от p . Да се докаже, че числото Йонуц Иваненску, Крайова, Румъния

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 4, 2011

Задача 1. Едно цяло положително число n ще наричаме “интересно”, ако може да бъде записано във вида , където са цели поло- жителни числа и , а дели c . Да се докаже, че само краен брой цели положителни числа не са “интересни” и да се намери сумата им. Решение: 1) Нека , то тересно”. Остава да отбележим, че , и не са “интересни”. 2) Нека

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 5, 2011

Задача 1. На страните AB и на успоредника външно за

Книжка 3
НАЦИОНАЛЕН КОНКУРС „МЛАДИ ТАЛАНТИ” 2012

Георги Дянков През месец май 2012 се проведе финалният кръг на Националния конкурс „Млади таланти”. Състезанието се организира от МОМН и приема разработки на научни проекти от ученици в гимназиален етап и студенти първи курс. Участниците предста- виха свои авторски проекти в различни научни области – естествени науки, социални науки и комуникационни и информационни технологии (ИКТ). Състезанието тази година се отличи с много добри проекти и журито имаше нелеката задача да избере най-добри

СЛУЧАЙНО СЪРФИРАНЕ В ИНТЕРНЕТ

Евгения Стоименова

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ НА БРОЯ

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа aa abb b , за които е изпълнено равенството

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 2, 2011

Задача 1. Да се определят стойностите на параметъра a, за които уравнението log sin 2011 cos 2011tg x cotg x a x x += + има решение и да се реши уравнението за най-малката от намерените стойности на параметъра. Христо Лесов, Казанлък Решение (Христо Лесов): Изпълнени са следните релации: π αα α за всяко и 2 2 sin 2 tg cotg += ≥ за

РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ БРОЙ 3, 2011

Задача 1. Ако , е цяло положително число, да се докаже, че съществуват безброй много цели положителни числа нено равенството . Веселин Ненков, Бели Осъм Решение (Светлозар Дойчев): Като използваме, че за произволно цяло число

Книжка 2
SEEMOUS OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EUROMATH SCIENTIFIC CONFERENCE

Sava Grozdev, Veselin Nenkov

FIVE WAYS TO SOLVE A PROBLEM FOR A TRIANGLE

Šefket Arslanagić, Dragoljub Milošević

ПРОПОРЦИИ

Валя Георгиева

ПЪТЕШЕСТВИЕ В СВЕТА НА КОМБИНАТОРИКАТА

Росица Керчева, Румяна Иванова

ПОЛЗОТВОРНА ПРОМЯНА

Ивайло Старибратов

Книжка 1
ЗА ЕЛЕКТРОННОТО ОБУЧЕНИЕ

Даниела Дурева (Тупарова)

МЕЖДУНАРОДНИ КОНКУРСИ ЗА РАЗРАБОТВАНЕ НА ПРОЕКТИ

І.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕза ученици, ІІ.МеждународенконкурсМАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРАНЕ за учители

МАТЕМАТИКАТА E ЗАБАВНА

Веселина Вълканова

СРАВНЯВАНЕ НА ИЗРАЗИ С КВАДРАТНИ КОРЕНИ

Гинка Бизова, Ваня Лалева

КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ

Рубриката се води от Светлозар Дойчев, и Веселин Ненков

©2005 Национално Издателство Аз-Буки ООД. Всички права запазени.