Педагогика

doi.org/10.53656/ped2024-2s.09

2024/2s, стр. 115 - 129

METHOD FOR SOLVING SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS MXN, \(M=1,2,3\); BASED ON ITS GEOMETRICAL INTERPRETATIONS

Zoran Misajleski
OrcID: 0000-0002-8044-1329
E-mail: misajleski@gf.ukim.edu.mk
St. Cyril and Methodius University in Skopje
Skopje N. Macedonia
Daniel Velinov
OrcID: 0000-0001-8811-4288
E-mail: velinovd@gf.ukim.edu.mk
St. Cyril and Methodius University in Skopje
Skopje N. Macedonia
Aneta Velkoska
OrcID: 0009-0008-2314-9795
E-mail: aneta.velkoska@uist.edu.mk
University of Information Science and Technology St. Paul the Apostle
Ohrid N. Macedonia

Резюме: In this paper, by using the geometrical classification of the types of linear equations or systems of two equations, we determine a method for solving systems of linear equations. The analysis specifically refers to systems of linear equations that reduce to a quadratic system of the second or third order in which all determinants of the system are zero. The methodological significance of the method is also discussed.

Ключови думи: system of linear equations; slassifications of systems; geometrical classification

1. Introduction

We consider a system of \(m\) linear equations with \(\underline{n}\) unknowns ( \(m \times n\) ) over the set of the real numbers. Let \(A\) be the matrix and \(A\) be the augmented matrix of the system \(m \times n\). Let \(r(A)\) and \(r(\bar{A})\) be the ranks of \(A\) and \(\bar{A}\), respectively. Letof a class for \(m \leq n+1 ; D_{i_{1} i_{2} \ldots i_{m}}\), \(m\) of the set \(I_{n+1}^{m}=\{1,2, \ldots, \underline{n}+1\}\)where \(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m}\) i, be a is a minor permutation of \(\bar{A}\) whose columns without repetition are matching with \(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m}\) column of \(A\), respectively.

The generalized Cramer’s rule (Akhtyamov et al. 2017), divides the systems \(m \times n\), into the following three classes (the statement for \(m \leq n\) is given in (Misajleski et al. 2021)):

1. There exists \(D_{i_{1} i_{2} \ldots i_{m}} \neq 0\) for some \(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m} \in I_{n}\). Then the system has a unique solution for \(m=n\), and infinite solutions for \(m \lt n\), expressed through \(n-m\) parameters. The solution can be expressed explicitly by using the Cramer’s formulas.

2. \(D_{i_{1} i_{2} \ldots i_{m}}\) does not exist or \(D_{i_{1} i_{2} \ldots i_{m}}=0\) for every \(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m} \in I_{n}\); and \(D_{i_{1}^{0} i_{2}^{0} \ldots i_{m-1}^{0}(n+1)} \neq 0\) for some \(i_{1}^{0}, i_{2}^{0}, \ldots, i_{m-1}^{0} \in I_{n}\). In this case the system does not have solution.

3. \(D_{i, i_{2} \ldots i_{m}}\) does not exist or \(D_{i, i_{2} \ldots i_{m}}=0\) for every \(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m} \in I_{n+1}\). Then the system does not have a solution or has infinitely many solutions, expressed through \(n-r(A)\) parameters, where \(n-r(A) \in\{n-m+1, \ldots, n-1, n\}\).

These classes will be called Cramer classes.

Definition 1.1. Zero linear equation is the equation in which all coefficients are zero. Contradictory linear equation is the equation in which all coefficients of the system (before unknowns) are zero, while the constant term is different from zero.

Regular linear equation is an equation in which at least one of the coefficients of the system is different than zero. Two linear equations are contradictory to each other if they are regular and do not have a common solution. We say that \(m \geq 2\) equations are equivalent if they have same solutions. One linear equation is in a general position if it is a regular. \(m\) linear equations are in a general position if they consist an \(m-1\) linear equations in a general position and the \(m\)-th equation is not equivalent or contradictory to any linear combination of the \(m-1\)- -th equations.

The next theorem is proven in (Misajleski et al. 2021) for \(m \leq n\). We extend the statement for arbitrary positive integer \(n\).

Theorem 1.2. For the system of \(m\) linear equations with \(n\) unknowns:

1. There exists \(D_{i_{1}^{0} i_{2}^{0} \ldots i_{n}^{0}} \neq 0\), for some \(i_{1}^{0}, i_{2}^{0}, \ldots, i_{m}^{0} \in I_{n}\) if and only if the \(m\)-th equations are in a general position.

2. \(D_{i, i_{2} \ldots i_{m}}\) does not exist or \(D_{i, i_{1} \ldots i_{1}}=0\) for every \(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m} \in I_{n}\) and there exists \(D_{i_{1} i_{2} i_{2} \ldots i_{m-1}^{0}(n+1)}^{i_{1}^{0} \ldots} \neq 0\) for some \(i_{1}^{0}, i_{2}^{0}, \ldots, i_{m-1}^{0} \in I_{n}\) if and only if there exist a \(m-1\) equations in a general position, and the \(m\)-th equation is a contradictory to some linear combination of the other equations.

3. \(D_{i, i_{1} \ldots i_{m}}\) does not exist or \(D_{i, i_{2} \ldots i_{m}}=0\) for every \(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m} \in I_{n+1}\) i if and only if there exist \(m-1\) equations in a general position, and the \(m\)-th equation is an equivalent to some linear combination of the other equations, or do not exist \(m-1\)

equations in a general position.

Proof. For \(m \leq n\) all determinants exist and the theorem is proven in Misajleski

et

then al. (2021). \(n=m-1 . D_{i_{1} i_{2}^{0} \ldots i_{m-1}^{0}(n+1)} \neq 0\) If \(D_{i, i_{2} \ldots i_{m}}, i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m} \in I_{n}\)equations in a general position, andmeans; does not \(m\) \(D_{i_{1}^{0} i_{2}^{0} \ldots i_{m-1}^{0}} \neq 0\) and there exists \(D_{i_{1}^{0} i_{2}^{0} \ldots i_{m-1}^{0}(n+1)}\) -th that: exist equation is a contradictory, i.e. there to exist some \({ }_{1}^{i_{1} i_{2} \ldots l_{m-1}} m-1\) linear combination of the other equations (see the determinants in (Misajleski et al. 2021,

pp.does 42)). not exist So, if for every \(D_{i_{1} i_{2}^{0} \ldots i_{m-1}^{0}(n+1)} \neq 0\) \(i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m} \in I_{n+1}\) iholds 2) and it follows if \(D_{i_{1}^{0} i_{2}^{0} \ldots i_{m-1}^{0}(n+1)}=0\) that \(n \leq m-2\) holdsand then 3). If \(D_{i_{1} i_{2} \ldots i_{m}}\) do not exist \(m-1\) equations in a general position.

The geometrical classes given in Misajleski et al. (2021), will be explained more studiously and counted in another way using the linear combination of the equations. They are the basis of the method of solving systems of linear equations presented in section two.

The set of linear equations with \(n\) unknowns is divided into 3 classes: regular, contradictory and zeros equations. We will call these classes geometric classes for \(m=1\), because of their geometric interpretations. The classes are non-empty for each positive integer \(n\). Since for \(n=3\) regular linear equation is interpreted with the plane, the zero equation with the space, and the contradictory equation with the empty set, we write the classes with the following symbols:

Figure 1. Classification of the linear equations

Let the system of 2 linear equations \(\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}\end{array}\right.\) be given.

Let one of the equations, denoted by \(\Sigma\), be regular. The linear combination \(\lambda \Sigma\) of \(\Sigma\) is the zero equation for \(\lambda=0\) or equivalent equation with \(\Sigma\) for \(\lambda \neq 0\). If the other equation \(\Pi\) is regular and is not equivalent or contradictory to the linear combination of \(\Sigma\), then the equations \(\Sigma\) and \(\Pi\) are in general position (class 1 ). If \(\Pi\) is contradictory to \(\lambda \Sigma\), then for \(\lambda=0, \Pi\) is a contradictory equation (class 2 ) or, , for \(\lambda \neq 0\) the equations \(\Sigma\) and \(\Pi\) are contradictory to each other (class 3 ). If \(\Pi\) is equivalent to \(\lambda \Sigma\), then \(\Pi\) is zero for \(\lambda=0\) (class 4) or for \(\lambda \neq 0\) is equivalent to \(\Sigma\) (class 5). If none of the equations is regular, then it is possible the two equations to be contradictory (class 6), to be contradictory and zero (class 7)) and both to be zero (class 8). In this way, for \(m=2\) we formed 8 geometric classes.

For \(n=3\), two regular equations that are: in general position, equivalent, or contradictory to each other, are interpreted by two planes that intersect, coincide, or are parallel, respectively. Therefore, we can write the geometric classes symbolically as in figure 2. When \(n=1\) the first geometric class is empty. Therefore for \(n=1\) there exist 7 nonempty geometric classes.

1.

2.

3.

\[ \begin{aligned} & \text { 1. } D_{i_{0} j_{0}} \neq 0, i_{0}, j_{0} \in I_{n} ; \text { 2-3. } D_{i j}=0, i, j \in I_{n} ; \text { and there exists } D_{i_{0}(n+1)} \neq 0 \text {, } \\ & i_{0} \in I_{n} \text {, } \end{aligned} \]

4.5.

4 – 8. Dij = 0 , i, j I n +1 .

Figure 2. Classification of the systems of two linear equations

Let the system of 3 linear equations \(\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ a_{31} x_{1}+a_{32} x_{2}+\ldots+a_{3 n} x_{n}=b_{3}\end{array}\right.\) be given.

It is possible that the three equations are in general position (class 1). If there exists two equations \(\Sigma\) and \(\Pi\) in general position, then their linear combination \(\lambda \Sigma+\mu \Pi\) is a zero equation when \(\lambda=\mu=0\); equivalent equation of \(\Sigma\) or \(\Pi\) when exactly one of the coefficients is zero and an equation containing the intersection points of \(\Sigma\) and \(\Pi\) when both coefficients are nonzero. Therefore if the third equation is contradictory to the linear combination, then it is contradictory (class 2), contradictory to one of the two equations (class 3) or contradictory to the equation that contain the intersection points of \(\Sigma\) and \(\Pi\) (class 4); while if it is equivalent to the linear combination, then it is zero (class 5), equivalent to one of the equations (class 6), or an equation that contain the intersection points of \(\Sigma\) and \(\Pi\) (class 7). Let the system do not contain two equations in general position. If the three equations are regular then they can be pairwise mutually contradictory (class 8), two equations to be contradictory to each other and equivalent to the third equation (class 9), and all three to be equivalent (class 10). If the system contains two regular equations, then they can be contradictory to each other and the third one to be contradictory (class 11) or zero (class 12); or the two equations to be equivalent and the third contradictory (class 13) or zero (class 14). If the system has one regular equation then the other two are contradictory (class 15), contradictory and zero (class 16) or both are zero (class 17). If the system does not contain regular equations then the three equations are contradictory (class 18), two contradictory and one zero (class 19), two are zero and one contradictory (class 20) or the three equations are zero (class 21).

For \(n=3\), three equations in general position are interpreted by three planes that intersect at a point. If a plane is a linear combination of two planes with two non-zero coefficients, then the three planes belong to the same sheaf of planes. The other interpretations of the equations are explained earlier. Therefore, the geometric classes for \(m=3\) can be written symbolically as follows:

1.2.3.4.

1. There exists \(D_{i_{0} j_{0} k_{0}} \neq 0, i_{0}, j_{0}, k_{0} \in I_{n}\);

2 – 4. \(D_{i j k}=0, i, j, k \in I_{n}\) and there exists \(D_{i_{0}(n+1)} \neq 0, i_{0} \in I_{n}\).

5.6.7.
8.9.10.
11.12.13.14.
15.16.17.
18.19.20.21.

5 – 21. Dijk = 0 for every i, j, k I n+1 .

Figure 3. Classification of the systems of three linear equations

For \(n \geq 3\) all 21-th class are nonempty. For \(n=2\) there are no three equations in general position, i.e. the first class is empty, so there are 20 nonempty geometric classes. For \(n=1\) there are no two equations in general position, so the first 7 classes are empty and there 14 nonempty geometric classes. The geometric classes are subclasses of the Cramer classes (Misajleski et al. 2021).

We will describe one more classification. A system \(m \times n\) can be classified into a \(2 m+1\) class in relation to \(r(A)\) and \(r(\bar{A})\). Geometric classes are subclasses of this classification as well.

If \(m=3\) for the 1 -th geometric class \(r(A)=r(A)=3\), for the 2-th to 4-th class \(r(A)=2\) and \(r(A)=3\), 5-th to 7-th \(r(A)=r(A)=2\), 8-th to 14-th \(r(A)=1\) and \(r(A)=2,15\)-th to 17-th \(r(A)=r(A)=1\), for 18-th to 20-th \(r(A)=0\) and \(r(A)=1\), for 21-th \(r(A)=r(A)=0\).

If \(m=2\) for the 1-th geometric class \(r(A)=r(A)=2\), 2-th to 3-th \(r(\mathrm{~A})=1\) and \(r(A)=2\), 4-th to 5-th \(r(A)=r(A)=1\), 6-th to 7-th \(r(A)=0\) and \(r(A)=1\) and for 8-th \(r(A)=r(A)=0\).

If \(m=1\) for 1 -th class \(r(A)=r(A)=1\), 2-th \(r(A)=0\) and \(r(\overline{\mathrm{~A}})=1\) and for 3-th \(r(A)=r(A)=0\).

2. Solving systems of linear equations \(m \times n, m \in\{1,2,3\}\) based on the geometrical interpretations on equations

2.1. Solving linear equations

The null equations have infinitely many solutions expressed in terms of \(n\) parameters (the set of solutions is arbitrary \(n\)-tuple of real numbers). Contradictory equations have no solution. Regular equations have a unique solution for \(n=1\) and infinite solutions for \(n \gt 1\) expressed in terms of \(n-1\) parameter. The solutions can easily be written explicitly, such that the unknown whose coefficient is nonzero will be expressed through the others that will be taken for parameters.

Example 2.1.1. The equation \(0 x+0 y+0 z+0 u+0 v=0\) is a z zero equation and the set of solutions is arbitrary 5 -tuple of real numbers.

Example 2.1.2. The equation \(0 x+0 y+0 z=1\) is contradictory, and has no a solution.

Example 2.1.3. The equation \(2 x=3\) is a regular equation with 1 unknown and has a unique solution \(x=\tfrac{3}{2}\).

The equation \(2 x+0 y=3\) is a regular equation with 2 unknowns and has infinite solutions expressed in terms of \(2-1=1\) parameter: \(\left(\tfrac{3}{2}, t\right), t\) real number.

2.2. Discussion on the equations in system of two linear equations

The regular equations:

\[ a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \text { и } a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} . \]

1. Are equivalent if and onlv if there exists a nonzero number \(k\) such that:

\[ a_{21}=k a_{11}, a_{22}=k a_{12}, \ldots, a_{2 n}=k a_{1 n}, b_{2}=k b_{1} . \]

2. Are contradictory to each other if and only if there exists a nonzero number \(k\) such that: \(a_{21}=k a_{11}, a_{22}=k a_{12}, \ldots, a_{2 n}=k a_{1 n}\) a and \(b_{2} \neq k b_{1}\).

3. The equations are in a general position if there exists no nonzero number \(k\) such that: \(a_{21}=k a_{11}, a_{22}=k a_{12}, \ldots, a_{2 n}=k a_{1 n}\).

The number \(a\) is proportional to \(b\), notation \(a: b\), if there exists a nonzero number \(k\) such that \(a=k b\). So, \(0: 0\) and \(a: b, a, b \neq 0\). Otherwise \(a: 0\) when \(a \neq 0\); and \(0 / b\) when \(b \neq 0\).

We say the numbers \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) are respectively proportional to \(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\), notation \(\mathrm{a}_{1}: b_{1}=\mathrm{a}_{2}: b_{2}=\ldots=\mathrm{a}_{n}: b_{n}\), if the proportions \(\mathrm{a}_{i}: b_{i}\), \(i=1,2, \ldots, n\); exist and have a common coefficient of proportion. In that case the numbers \(\mathrm{a}_{i}, b_{i}\) either both are zero or both are non-zero, for each \(i \in I_{n}\). Then \(\mathrm{a}_{i_{1}}, \mathrm{a}_{i_{2}}, \ldots, \mathrm{a}_{i_{k}}, i_{1} \lt i_{2} \lt \ldots \lt i_{k}\); are all nonzero elements of the sequence \(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{n}\) if and only if \(b_{i_{1}}, b_{i_{2}}, \ldots, b_{i_{k}}\) are all nonzero elements of the sequence \(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\) and \(\tfrac{a_{i_{1}}}{b_{i_{1}}}=\tfrac{a_{i_{2}}}{a_{i_{2}}}=\ldots=\tfrac{a_{i_{k}}}{a_{i_{k}}}\). Thus:

1. Two linear equations are equivalent if and only if the coefficients are proportional, i.e. \(a_{21}: a_{11}=a_{22}: a_{12}=\ldots=a_{2 n}: a_{1 n}=b_{2}: b_{1}\),

2. Two linear equations are contradictory to each other if and only if they are regular and the coefficients before the unknowns are proportional, i.e. does not exist\(a_{21}: a_{11}=a_{22}: a_{12}=\ldots=a_{2 n}: a_{1 n}\) \(b_{2}: b_{1}\) or exist \(a_{2 i}, a_{1 i}, b_{2}: b_{1} \neq 0\) a, but all coefficients and \(\tfrac{a_{2 i}}{a_{1 i}} \neq \tfrac{b_{2}}{b_{1}}\) are notfor some proportional, \(i \in I_{n}\). i.e.

3. Two linear equations are in general position if and only if the coefficients before the unknowns are not proportional, i.e. does not exist \(a_{2 i}: a_{1 i}\) for some \(i \in I_{n}\) or there exist a four nonzero coefficients \(a_{2 i}: a_{1 i}, a_{2 j}, a_{1 j} \) such that \(\tfrac{a_{2 i}}{a_{1 i}} \neq \tfrac{a_{2 j}}{a_{1 j}} \) .

2.3. Solving system of two linear equations

Тheorem 2.3.1. Consider the system: \(\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}\end{array}\right.\).

1. If the equations are in a general position, the system has an unique solution for \(n=2\) or infinitely many solutions for \(n \gt 2\), expressed through \(n-2\) parameters.

2. If the system contains a contradictory or two contradictory to each other equations, then the system has no solution.

3. If one of the equations is regular and the other is equivalent to the first equation or is zero, then the solutions of the system coincide with the solutions of the regular equation, so the system has a unique solution for \(n=1\) or infinitely many solutions for \(n \gt 1\), expressed through \(n-1\) parameter.

4. If the two equations in the system are zero, then the set of solutions is expressed through \(n\) parameters.

Proof. The accuracy of the theorem follows directly from the geometrical classification of systems of 2 linear equations.

If two equations are in general position, then \(n \geq 2\) and the system is of geometric class 1. The system is solving by one of the known methods. In the substitution method, one of the unknowns whose coefficient is non-zero is expressing through the remaining \(n-1\) unknowns, and is replacing in the other equation, where another unknown whose coefficient is non-zero is expressing through the remaining \(n-2\) unknowns. Then it is replacing in the first equation and the first variable is expressing through the \(n-2\) unknowns that will be taken as parameters. The system can also be solved with Cramer‘s formulas. Since \(D_{i_{0} j_{0}} \neq 0\) for some \(i_{0}, j_{0} \in I_{n}, i_{0} \lt j_{0}\); the system reduces to \(2 \times 2\), such that all unknowns except \(x_{i_{0}}\) and \(x_{j_{0}}\) (total \(n-2\) ), will be taken as parameters. Then \(x_{i_{0}}=D_{i_{0}(n+1)}^{\prime} / D_{i_{0} j_{0}}\) and \(x_{j_{0}}=D_{j_{0}(n+1)}^{\prime} / D_{i_{0} j_{0}}\), where \(D_{i_{0} j_{0}}\) i is the main, while \(D_{i_{0}(n+1)}^{\prime}\) and \(D_{(n+1) j_{0}}^{\prime}\) the secondary determinants in the newly formed system.

If the system contains contradictory or contradictory to each other equations then it is of class 2, 3, 6 or 7, and has no solution. If one of the equations is regular and the other is equivalent to the first or zero, then the system is of class 4 or 5, and its solutions coincide with the solutions of the regular equation. If both equations are zero, then the system is of class 8 and every ordered \(n\)-tuple is a solution. So, the theorem covers all systems of two equations.

The theorem enables, without solving, to know when the system has no solution, when the solution is unique and in cases in which the system has infinitely many solutions, with how many parameters the solutions are described. The zeros and contradictory equations in the system are obvious. The mutual position of two regular equations is also obvious, where the relations of the pairs of nonzero coefficients are analyzed. To make the analysis clearer, we will consider the following examples.

Example 2.3.2. The equations in the system \(\left\{\begin{array}{c}3 x-y=2 \\ 6 x-2 y=4\end{array}\right.\) are equivalent \(\left(\tfrac{3}{6}=\tfrac{-1}{-2}=\tfrac{2}{4}\right)\). It follows that the system has infinitely many solutions expressed through \(2-1=1\) parameter, which are obtained by rejecting of any of the equations. If the second equation is discarded, the system reduces to the equation \(3 x-y=2\). If \(x=t, t \in \square\), then \(y=3 t-2\). It follows that the solutions are: \((t, 3 t-2)\), for \(t\) real number.

Example 2.3.3. The equations in the system \(\left\{\begin{array}{c}2 x+2 y+4 z=7 \\ x+y+2 z=3\end{array}\right.\) are contradictory to each other \(\left(\tfrac{2}{1}=\tfrac{2}{1}=\tfrac{4}{2} \neq \tfrac{7}{3}\right)\). It follows that the system has no solution.

Example 2.3.4. The equations in the system \(\left\{\begin{array}{c}2 x+0 y+4 z+u=7 \\ x+0 y+2 z+u=3\end{array}\right.\) are in general position \(\left(\tfrac{2}{1} \neq \tfrac{1}{1}\right)\), it follows that the system has infinitely many solutions expressed by \(4-2=2\) parameters. The solutions ( \(4-2 t, k, t,-1\) ), for \(t, k\) real numbers, are obtained by some of the standard methods.

The equations in the system \(\left\{\begin{array}{c}2 x-0 y=2 \\ x+y=3\end{array}\right.\) are in general position \((0 \% 1)\). It follows that the system has a unique solution. From the first equation \(x=1\), and from the second \(y=2\), i.e. the solution is \((1,2)\).

Example 2.3.5. In the system \(\left\{\begin{array}{c}0 x+0 y+0 z=3 \\ x+y+2 z=7\end{array}\right.\) the first equation is contradictory, so the system has no solution.

Example 2.3.6. In the system \(\left\{\begin{array}{l}0 x+0 y=0 \\ 0 x+0 y=0\end{array}\right.\) both equations are zero, so the set of solutions is is arbitrary ordered couple of real numbers.

2.4. Solving a system of three linear equations

The mutual relationship of three regular equations of the geometric classes 1, 4 and 7 is not always obvious. But those classes are in different Cramer classes. Therefore, the following theorem first determines the Cramer classes using a determinants of third order, and then determines the number of solutions using the

geometric classes. Тheorem 2.4.1. Let a system \(\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\ldots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\ldots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ a_{31} x_{1}+a_{32} x_{2}+\ldots+a_{3 n} x_{n}=b_{3}\end{array}\right.\) be given. Then:

1. If there exists a \(D_{i_{0} j_{0} k_{0}} \neq 0, i_{0}, j_{0}, k_{0} \in I_{n}\); then the system has a unique solution for \(n=3\) and infinitely many solutions for \(n \gt 3\) expressed in terms of \(n-3\) parameters.

2. If \(D_{i j k}\) does not exist or \(D_{i j k}=0\) for every \(i, j, k \in I_{n}\); and there exists \(D_{i_{0} j_{0}(n+1)} \neq 0, i_{0}, j_{0} \in I_{n}\); then the system has no solution.

3. If \(D_{i j k}\) does not exist or \(D_{i j k}=0\) for every \(i, j, k \in I_{n+1}\); then the solutions of the system coincide with the solutions of the system obtained by discarding of at least one of the equations. Then:

– 3.1. If the system contains contradictory equation or contradictory to each other equations, then the system has no solution.

– 3.2. If the system contains two equations in general position, then we discard the remaining equation and we solve the newly obtained system \(2 \times n\) which has a unique solution for \(n=2\) and infinitely many solutions for \(n \gt 2\), expressed through \(n-2\) parameters.

– 3.3. If one of the equations is regular, and the other equations are equivalent to it or zero, then the system reduces to the regular equation that has a unique solution for \(n=1\) and infinitely many solutions for , expressed through \(n-1\) parameter.

– 3.4. If the systems contains three zero equations, the set of solutions is \(\square^{n}\), i.e. it is expressed through \(n\) parameters.

Proof. The case 1 contains the nonempty class 1 for systems in which \(n \geq 3\). The case 2, the classes 2 – 4 (Misajleski et al. 2021). The case 3, contains the classes 5 – 21. The case 3.1, the classes \(8,9,11-13,15,16,18-20\) (also applies to 2 and 3 ). The case 3.2, the classes \(5-7\). The classes \(2-7\) are non-empty for \(n \geq 2\). Moreover, if the system contains a zero equation, it is rejected (5), if it contains two equivalent equations, one of them is rejected (6), otherwise, any equation is rejected (7). The case 3.3, the classes 10, 14 and 17; and the case 3.4, the class 21. So, all systems of equations are covered.

The order of the analyzes does not have to be as in Theorem 2.4.1. First we see if there exist zero equations (which are rejected) or contradictory equations (in which case the system has no solution). Then, among the regular equations, if there is a pair of contradictory to each other equations (then the system has no solution), or equivalent equations (then all equivalent equations except one are rejected). After these steps, which can be carried without writing, the system has no solution or is reduced to \(2 \times n\) or is from geometric classes 1, 4 and 7. If the system is from the first Cramer class, then the solutions are obtained according to Cramer‘s formulas, if it is from the second (geometric class 4), it is concluded that the system has no solution, while if it is from the third (geometric class 7), any of the equations should be rejected.

Moreover, we will give examples of systems. We will not give examples for classes 1 and 4 because they are solved on standard way with determinants. For systems of class 2 and 3, there is no need to calculate determinants, because immediately by establishing the existence of contradictory or contradictory to each other equations, it is concluded that they have no solution.

Example 2.4.2. The determinants of the system \(\left\{\begin{array}{c}x+y+z=2 \\ 3 x-2 y-4 z=4 \\ 2 x-3 y-5 z=2\end{array}\right.\) are \(D=D_{x}=D_{y}=D_{z}=0\). Moreover, the sy = Dz zero, contradictory, a pair of mutually contradictory and equivalent equations (the system is of class 7), so we can discard any equation (for example the second one) and reduce it to a systemsolutions of the \(2 \times 3\) that required will be \(3 \times 3\) solvedsystem are: by one of \(\left(\tfrac{8+2 t}{5}, \tfrac{2-7 t}{5}, t\right)\) the standard methods,, for from \(t\) real number where the .

In this system, if we saw the linear dependence of the equations, we did not have to calculate the determinants (this is not always obvious).

Example 2.4.3. The system of equations \(\left\{\begin{array}{c}4 x-2 y-2 z=3 \\ 2 x-y-z=1 \\ 6 x-3 y-3 z=2\end{array}\right.\) has no solution because the first and second equation are contradictory to each other (\(\tfrac{4}{2}=\tfrac{-2}{-1}=\tfrac{-2}{-1} \neq \tfrac{3}{1}\) ). This system belongs to class 8.

Example 2.4.4. The three equations in the system \(\left\{\begin{array}{c}x+2 y+3 z-u=8 \\ 2 x+4 y+6 z-2 u=16 \\ 3 x+6 y+9 z-3 u=24\end{array}\right.\) are equivalent (the system belongs to class 10). It follows that the solutions of the system coincide with the solutions of the equation \(x+2 y+3 z-u=8\) and given by \((8-2 t-3 k+l, t, k, l\),\() , for t, k, l\) real numbers.

Example 2.4.5. The system of equations \(\left\{\begin{array}{l}0 x+0 y=1 \\ 2 x-y=1 \\ 6 x-3 y=2\end{array}\right.\) has no solution since the first equation is contradictory. The system belongs to class 11.

Example 2.4.6. The system \(\left\{\begin{array}{c}0 x+0 y+0 z+0 u+0 v=8 \\ 2 x+4 y+6 z-2 u+2 v=16 \\ 3 x+6 y+9 z-3 u+v=24\end{array}\right.\) has no solution since the first equation is contradictory. The system belongs to class 2.

Example 2.4.7. The system of equations \(\left\{\begin{array}{c}2 x+3 y=1 \\ 2 x-y=1 \\ 6 x-3 y=2\end{array}\right.\) has no solution since the second and third equations are contradictory to each other \(\left(\tfrac{6}{2}=\tfrac{-3}{-1} \neq \tfrac{2}{1}\right)\). The system belongs to class 3.

Example 2.4.8. The first and third equations in the system \(\left\{\begin{array}{c}2 x+0 y+4 z+2 u=6 \\ 2 x+0 y+4 z+u=7 \\ x+0 y+2 z+u=3\end{array}\right.\) are equivalent. By discarding the first equation, the system reduces to the system of example 2.3.4. The system belongs to class 6.

The systems of the other classes either have no solution or are easily reduced to one equation whose solution is also easily determined.

3. Methodological significance of the results

In the secondary and especially in the university education in the Republic of N. Macedonia, the systems of linear equations in form of \(2 \times 2,2 \times 3\), 2 × 3 , and \(3 \times 3\), are studied via determinants (Celakoski et al. 2010; Misajleski 2018;

Misajleski 2019; Trenchevski et al. 2018). Usually systems in which all determinants are zero are considered.

I. By naming the three classes of linear equations and the three mutual positions of a system of two regular linear equations, the systems are briefly discussed, i.e. the number of solutions is determined (in the case when the solutions are infinitely many, we know with how many parameters are expressed). Then the systems are classified and finally solved. Moreover, a systematic discussion of a system of two equations through the relations of their coefficients is given, which applies to all systems, not only to systems containing an equation with nonzero coefficients. Determinants have been successfully incorporated into three equation systems and this approach can be applied in the educational system when the determinants are studied.

II. The geometric interpretation of the equations in the system offers visualization of the mutual positions of the equations. Sketches of the classes for systems \(2 \times 2,2 \times 3\), , and \(3 \times 3\) can be a useful tool for students to determine the various mutual positions of the equations.

III. Geometry class sketches can enable teachers to quickly form systems of equations that exhaust the various mutual positions of the equations.

IV. Greater visibility allows to perceive inaccuracies in the theory of systems of linear equations in school literature in the Republic of N.

Macedonia. So for example for a system \(2 \times 2\) in university textbooks (Georgievska et al. 2002) on page 18 – 19; (Shapkarev et al. 1995) on page \(18-19\); (Shapkarev et al. 1995) on page 67 – 68; (Mitevska et al. 2006) on page 23, (Trenchevski et al. 2018) on page 15, as well as in other textbooks in the Republic of N. Macedonia, it is claimed that: “if \(D=D_{x}=D_{y}=0\) then the system has infinite solutions”. But from the geometric interpretation, it can be seen that the claim is not valid in the case when one equation in the system is contradictory and the other is zero, or both equations are contradictory, which is not emphasized. In some literature such as (Malcheski 2007) on page 10, the statement is correctly formulated, since the contradictory equations are rejected and an example is given that the statement does not hold when one of the equations is contradictory. It is similar in (Misajleski 2018) – (Misajleski 2019). In (Celakoski et al. 2010) on page 26 are discusses the solutions of systems through the ratio of their coefficients, but it is not emphasized that the discussion does not apply to systems in which both equations have at least one zero coefficient.

REFERENCES

AKHTYAMOV, A.; AMRAM, M.; DAGAN, M.; MOUFTAHKOV, A., 2017, Cramer’s rule for nonsingular \(m \times n\) m matrices. The teaching of mathematics, vol. 20, no. 1, pp. 13 – 19.

CELAKOSKI, N.; BAKEVA, V.; MILADINOVIKJ, B.; STEFANOVSKI, J., 2010, Matematika za vtora godina, sredno struchno obrazovanie. Skopje: Grafichki centar. ISBN 978-608-226-050-1.

GEORGIEVSKA, S.; ATANASOVA, Е., 2002, Matematika. Skopje: UKIM. ISBN 9989-9540-3-8.

MALCHESKI, R., 2007. Vektorska i linearna algebra. Skopje: FON.

MISAJLESKI, Z., 2018. Vektorska i linearna algebra. Skopje: UKIM. ISBN 978-9989-43-421-1.

MISAJLESKI, Z.; VELINOV, D.; VELKOSKA, A., 2021, Classifications of Systems of Linear Equations Based on its Geometrical Interpretations. In: R. MALCHESKI (ed.). Proceedings of the Codema 2020, Union of Mathematicians of Macedonia-Armaganka, pp. 39 – 49.

MISAJLESKI, Z., 2019, Resheni zadachi po vektorska i linearna algebra. Skopje: UKIM. ISBN 978-9989-43-435-8.

MITEVSKA, J.; CELAKOSKA-JORDANOVA, V., MARKOSKI, GJ., 2006. Matematika. Skopje: UKIM. ISBN 9989-57-451-0.

SHAPKAREV, I.; KRZHOVSKI, P., 1995, Linearna algebra so analitichka geometrija vo prostor. Skopje: UKIM. ISBN 9989-43-031-4.

TRENCHEVSKI, К.; DIMOVSKI, D.; TRENCHEVSKI, G.; КRSTESKA, B.; KONDINSKA, L., 2002, Matematika za prva godina na reformniranoto gimnazisko obrazovanie. Skopje: Prosvetno delo. ISBN 9989-0-0222-3.

TRENCHEVSKI, К.; КRSTESKA, B.; TRENCHEVSKI, G.;

ZDRAVEVSKA, S., 2004. Linearna algebra \(i\) analitichka geometrija za treta godina gimnazisko obrazovanie. Skopje: Prosvetno delo.

ISBN 9989-0-0386-6.

TRENCHEVSKI, K.; KRSTESKA, B., 2018, Analitichka geometrija.

Skopje: UKIM.ISBN 978-9989-43-420-4.

2025 година
Книжка 9s
Книжка 9
DEVELOPMENT OF DEMOCRATIC CULTURE THROUGH CONTENTS ABOUT THE ROMA IN CLASSROOM TEACHING – STUDENTS’ PERCEPTION

Aleksandra Trbojević, Biljana Jeremić, Hadži Živorad Milenović, Bojan Lazić

Книжка 8
КАТЕГОРИАЛНИ ИЗМЕРЕНИЯ НА ИНФОРМАЦИОННО-КОМУНИКАЦИОННИТЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБУЧЕНИЕТО НА ДЕЦА И УЧЕНИЦИ СЪС СОП

д.п.н Мира Цветкова-Арсова, Данка Щерева, Славина Лозанова, Маргарита Томова

Книжка 7
ВРЪЗКА НА СОЦИАЛНО-ЕМОЦИОНАЛНОТО С КОГНИТИВНОТО РАЗВИТИЕ В ПРИОБЩАВАЩА СРЕДА

Милен Замфиров, Маргарита Бакрачева, Емилия Евгениева

Книжка 6
КОГНИТИВНО РАЗВИТИЕ НА ДЕЦА И УЧЕНИЦИ, ОБХВАНАТИ В ПРИОБЩАВАЩОТО ОБРАЗОВАНИЕ

Милен Замфиров, Емилия Евгениева, Маргарита Бакрачева

Книжка 5
COMPETENCE FOR SOCIAL PEDAGOGICAL PRACTICE: WHAT DO STUDENTS TELL US?

Maya Tcholakova, Marina Pironkova, Aleksandar Ranev, Yana Staneva

MULTIMODAL COMMUNICATION IN PHYSICAL EDUCATION CLASSES

Cristiana Lucretia Pop, Cristina Filip

Книжка 4s
GAMES IN FUNCTION OF DEVELOPMENT OF MULTIPLICATION SKILLS

Dasare Sylejmani, Vesna Makashevska, Jasmina Jovanovska

Книжка 4
ИЗПОЛЗВАНЕ НА СИСТЕМИТЕ ЗА УПРАВЛЕНИЕ НА ОБУЧЕНИЕТО В КОНТЕКСТА НА ИНТЕРАКТИВНОТО ОБРАЗОВАНИЕ

Силвия Парушева, Борис Банков, Гергана Касабова, Петя Страшимирова

MILITARY AND SOCIAL THREATS AS DETERMINANTS OF THE DEVELOPMENT OF CONTEMPORARY UKRAINIAN HIGHER EDUCATION

Mykola Pantiuk, Tetiana Pantiuk, Nataliia Bakhmat, Olena Nevmerzhytska, Svitlana Ivakh

STEM ОБУЧЕНИЕ НА СТУДЕНТИ ПЕДАГОЗИ В ТРАНСДИСЦИПЛИНАРНА ОБРАЗОВАТЕЛНА СРЕДА

Любен Витанов, Николай Цанев, Людмила Зафирова, Гергана Христова, Катерина Динкова, Калина Георгиева, Жорж Кюшев, Здравка Савчева

ИЗСЛЕДВАНЕ И АНАЛИЗ НА НАГЛАСИТЕ НА СТУДЕНТИТЕ ПРИ ИЗПОЛЗВАНЕ НА ГЕНЕРАТИВЕН ИНСТРУМЕНТ НА ИЗКУСТВЕН ИНТЕЛЕКТ

Николай Янев, Иглика Гетова, Теодора Христова, Ива Костадинова, Георги Димитров

Книжка 3
ДРУГИЯТ КАТО ЦЕННОСТ В УЧИЛИЩЕ

Александър Кръстев

Книжка 2
ASSESSMENTS OF TEACHERS AND PARENTS OF CHILDREN WITH DEVELOPMENTAL DISABILITIES ON INCLUSION IN PRE-SCHOOL INSTITUTIONS

Zagorka Markov, Hadzi Zivorad Milenovic, Biljana Jeremic, Radmila Zecevic, Milica Pavlovic

Книжка 1s
ПРИЛОЖЕНИЕ НА СРЕДСТВАТА ЗА ДОПЪЛВАЩА И АЛТЕРНАТИВНА КОМУНИКАЦИЯ В ОБРАЗОВАТЕЛНИТЕ ИНСТИТУЦИИ В БЪЛГАРИЯ

. Неда Балканска, . Анна Трошева-Асенова, . Пенка Шапкова, Снежина Михайлова

USE OF ARTIFICIAL INTELLIGENCE IN FOREIGN LANGUAGE TEACHING

Ekaterina Sofronieva, Christina Beleva, Galina Georgieva

Книжка 1
Скъпи читатели, автори, приятели на списание „Педагогика“,

В началото на 2025 година в първия брой на нашето списание „Педагогика“ бих искала от името на редакционната колегия и от мое име да Ви пожелая здраве, творческо вдъхновение и професионално удовлетворение от прино- са Ви към педагогическата наука и практика! Вярвам и се надявам, че списание „Педагоги- ка“ ще продължи да осигурява платформа за научен, обективен и откровен диалог, базиран на резултати от научни изследвания, за насто- ящето и бъдещето на обучението и образова- н

2024 година
Книжка 9s
Книжка 9
ANALYSIS AND IMPROVEMENT OF VIDEO LEARNING RESOURCES IN SMALL-SCALE LEARNING SCENARIOS

César Córcoles, Laia Blasco-Soplon, Germán Cobo Rodríguez, Ana-Elena Guerrero-Roldán

Книжка 8
АНГАЖИРАНОСТ КЪМ УЧЕНЕ ЧРЕЗ ИЗПОЛЗВАНЕ НА СМАРТ ТЕХНОЛОГИИТЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Кирилка Тагарева, Дора Левтерова-Гаджалова, Ваня Сивакова

Книжка 7
Книжка 6
Книжка 5s
ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВАТА НА СТАЖАНТСКАТА ПРАКТИКА ПРЕД СТУДЕНТИ – БЪДЕЩИ УЧИТЕЛИ

Илиана Петкова, Марияна Илиева, Владислава Станоева, Георги Чавдаров

Книжка 5
FEATURES OF SPEECH COMPREHENSION TRAINING OF CHILDREN WITH AUTISM SPECTRUM DISORDERS

Maryna Branytska, Svitlana Myronova, Svitlana Mykhalska

OVERVIEW OF THE STEM EDUCATION IN ISRAEL

Aharon Goldreich, Elena Karashtranova

Книжка 4
НАГЛАСИ НА СТУДЕНТИТЕ КЪМ СМАРТ ТЕХНОЛОГИИТЕ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Дора Левтерова-Гаджалова, Кирилка Тагарева, Ваня Сивакова

PROFESSIONAL SUPPORT FOR YOUNG RESEARCHERS

Emina Vukašinović, Marija Veselinović, Milan Milikić

РОБОТИТЕ В ОБУЧЕНИЕТО – ОБРАЗОВАТЕЛНА STEAM ИГРА

Мария Желязкова, Михаил Кожухаров, Даниела Кожухарова

Книжка 3s
Книжка 3
ATTITUDES AND EXPERIENCES OF THE PRESCHOOL TEACHERS IN THE APPLICATION OF DIGITAL TECHNOLOGIES IN ENVIRONMENTAL EDUCATION

Nataša Branković, Gordana Kozoderović, Biljana Jeremić, Danijela Petrović, Bojan Lazić, Slavica Karanović

ДИГИТАЛНИ ТЕХНОЛОГИИ В ПОДКРЕПА НА УЧЕНЕТО

Стоянка Георгиева-Лазарова, Лъчезар Лазаров

PREPARATION OF FUTURE TEACHERS FOR ORGANISING A HEALTH-PRESERVING INCLUSIVE SPACE IN EDUCATIONAL INSTITUTIONS

Nadiya Skotna, Tetiana Nadimyanova, Anna Fedorovych, Myroslava Sosiak, Oksana Yatsiv

Книжка 2s
Книжка 2
ОТ РИСУНКА – КЪМ СНИМКА

Камен Теофилов

Книжка 1s
Книжка 1
„ВТОРОТО“ БЪЛГАРСКО УЧИЛИЩЕ. ГЕНЕЗИСЪТ

Пенка Цонева, Бистра Мизова

2023 година
Книжка 9
EXPLORING THE NARRATIVE IDENTITY OF HUNGARIAN TEACHERS IN SLOVAKIA

Patrik Baka, Terézia Stredl, Kinga Horváth, Zsuzsanna Huszár, Melinda Nagy, Péter Tóth, András Németh

Книжка 8
A QUALITY “ONLINE” TEACHER – WHAT DO STUDENTS APPRECIATE AND VALUE IN TEACHERS DURING DISTANCE LEARNING?

Irena Golubović-Ilić, Ivana Ćirković-Miladinović, Nataša Vukićević

SUPPORT FOR THE INCLUSION OF ROMA CHILDREN THROUGH THE PROJECT TEACHING MODEL

Biljana Jeremić, Aleksandra Trbojević, Bojan Lazić, Gordana Kozoderović

TREND ANALYSIS OF PROFESSIONAL COMPETENCES OF SPORTS TEACHERS AND COACHES

Sergejs Capulis, Valerijs Dombrovskis, Svetlana Guseva, Alona Korniseva

Книжка 7
ЦЕННОСТЕН ПРОФИЛ НА УЧИТЕЛИТЕ В НАЦИОНАЛЕН КОНТЕКСТ

Цветан Давидков, Силвия Цветанска

Книжка 6s
MODELLING OF MARITIME CYBER SECURITY EDUCATION AND TRAINING

Gizem Kayisoglu, Pelin Bolat, Emre Duzenli

INTRODUCING THE USE OF CASE STUDIES METHODOLOGY IN TRAINING FOR SOFT SKILLS IN MARITIME UNIVERSITIES. THE ISOL-MET PROGRAM

Maria Lekakou, Helen Iakovaki, Dimitris Vintzilaios, Markella Gota, Giorgos Georgoulis, Thalia Vintzilaiou

THE ROLE OF MARITIME EDUCATION IN DIGITALIZATION

Kamelia Narleva, Yana Gancheva

Книжка 6
С МИСИЯ ЗА НАЦИОНАЛНА И КУЛТУРНА ИНДИВИДУАЛНОСТ

Надежда Кръстева, Йордан Колев

Книжка 5s
PREFACE

Nikola Vaptsarov Naval Academy is the oldest technical educational institution in Bulgaria. The Naval Academy is one of the symbols of Varna and Bulgaria in the world maritime community. Its history and achievements establish it as the most prestigious center for training of maritime specialists. At present, the Naval Academy trains specialists for the Navy and for the merchant marine in all areas of maritime life. Research and development conducted at the Naval Academy in Varna

A FAIR CONCERN ABOUT ECDIS

Nikolay Sozonov, Dilyan Dimitranov

DATA-DRIVEN LEARNING APPROACH TO MARITIME ENGLISH

Jana Kegalj, Mirjana Borucinsky, Sandra Tominac Coslovich

DEVELOPING CRITICAL THINKING SKILLS THROUGH THE “CASE STUDY” TEACHING METHOD IN MARITIME ENGLISH LANGUAGE TEACHING (MELT)

Tamila Mikeladze, Svetlana Rodinadze, Zurab Bezhanovi, Kristine Zarbazoia, Medea Abashidze, Kristine Iakobadze

MAXIMIZING STUDENTS’ LEARNING IN MARITIME ENGLISH ONLINE COURSE

Valentyna Kudryavtseva, Svitlana Barsuk, Olena Frolova

Книжка 5
Книжка 4s
Книжка 4
Книжка 3s
СПИРАЛАТА ОБЩЕСТВО – ОБРАЗОВАНИЕ

Иванка Шивачева-Пинеда

Книжка 3
ПРОЕКТНО БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ ЗА СОЦИАЛНО-ЕМОЦИОНАЛНИ И ТЕХНОЛОГИЧНИ УМЕНИЯ ЧРЕЗ ПРОГРАМАТА „УМЕНИЯ ЗА ИНОВАЦИИ“

Галин Цоков, Александър Ангелов, Йоанна Минчева, Рени Димова, Мария Цакова

МЕДИЙНАТА ГРАМОТНОСТ И УЧИТЕЛИТЕ

Светла Цанкова, Стела Ангова, Мария Николова, Иван Вълчанов, Илия Вълков, Георги Минев

Книжка 2
INTONATION AND CHILDREN WITH EMOTIONAL AND BEHAVIORAL PROBLEMS

Katerina Zlatkova-Doncheva, Vladislav Marinov

Книжка 1
2022 година
Книжка 9
ТРАНСГРЕСИВНО-СИНЕРГИЧНО КАРИЕРНО РАЗВИТИЕ В „НЕФОРМАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ“ В УНИВЕРСИТЕТА

д.п.н Яна Рашева-Мерджанова, Моника Богданова, Илиана Петкова

Книжка 8
INTEGRATING INTERCULTURAL EDUCATION IN THE PRIMARY SCHOOL CURRICULUM

Bujar Adili, Sonja Petrovska, Gzim Xhambazi

НАГЛАСИ НА БЪДЕЩИТЕ ДЕТСКИ УЧИТЕЛИ КЪМ STEM ПОДХОДА

Наталия Павлова, Михаела Тончева

Книжка 7
НАЦИОНАЛНАТА ИДЕЯ НА ПАИСИЙ ХИЛЕНДАРСКИ

Йордан Колев, Надежда Кръстева

Книжка 6
Книжка 5
ИВАН Д. ШИШМАНОВ – ЕВРОПЕИЗИРАНИЯТ БЪЛГАРИН

Надежда Кръстева, Йордан Колев

THE TECHNOLOGY OF DEVELOPMENT OF COMMUNICATIVE CULTURE OF ELEMENTARY SCHOOL TEACHERS

Mariia Oliiar, Nataliia Blahun, Halyna Bilavych, Nataliia Bakhmat, Tetyana Pantyuk

Книжка 4
TEACHERS’ATTITUDES BOUT TEACHING AND LEARNING MATHEMATICS

Aleksandra Mihajlović, Emina Kopas-Vukašinović, Vladimir Stanojević

EDUCATION 4.0 – THE CHANGE OF HIGHER EDUCATION INSTITUTIONS AND THE LABOUR MARKET

Gergana Dimitrova, Blaga Madzhurova, Stefan Raychev, Dobrinka Stoyanova

Книжка 3s
DISTANCE LEARNING IN THE CONTEXT OF THE COVID-19 PANDEMICS

Baktybek Keldibekov, Shailoobek Karagulov

DIGITAL UNIVERSITIES: FEATURES AND KEY CHARACTERISTICS

Marina Skiba, Maktagali Bektemessov, Alma Turganbayeva

Книжка 3
Книжка 2
TWO-TIER MODEL OF TRAINING FUTURE TEACHERS FOR COACHING AT OUT-OF-SCHOOL INSTITUTIONS

Borys Savchuk, Tetyana Pantyuk, Natalia Sultanova, Halyna Bilavych, Mykola Pantyuk

Книжка 1
2021 година
Книжка 9
ИЗСЛЕДВАНЕ НА ВЗАИМОДЕЙСТВИЕТО МЕЖДУ ФОРМАЛНОТО И НЕФОРМАЛНОТО ЗДРАВНО ОБРАЗОВАНИЕ

Доц. д-р Вержиния Боянова Гл. ас. д-р Константин Теодосиев Гл. ас. д-р Берджухи Йорданова

FORMATION OF PROFESSIONAL COMPETENCE OF ASSISTANT TEACHER OF INCLUSIVE EDUCATION IN SECONDARY EDUCATION INSTITUTIONS

Prof. Dr. Vladyslava Liubarets, Prof. Dr. Nataliia Bakhmat, Prof. Dr. Olena Matviienko, Oksana Tsykhmeistruk, Inna Feltsan

Книжка 8
ОТНОСНО ЗАДЪЛЖИТЕЛНОСТТА НА ПРЕДУЧИЛИЩНОТО ОБРАЗОВАНИЕ – РЕЗУЛТАТИ ОТ ЕДНО ИЗСЛЕДВАНЕ

Проф. д-р Маргарита Колева, доц. д-р Блага Джорова, д-р Ева Жечева

INFLUENCE OF PSYCHOLOGICAL AND PEDAGOGICAL FEATURES OF STUDENTS ON THEIR ACTIVITY IN SELF-EDUCATION

Dr. Iryna Sereda, Assoc. Prof. Dr. Svitlana Karskanova, Assoc. Prof.

CENTRALISATION AND DECENTRALISATION IN HIGHER EDUCATION: A COMPARATIVE STUDY OF HUNGARY AND GERMANY

Carla Liege Rodrigues Pimenta, Prof. Dr. Zolt†n R–nay, Prof. Dr. Andr†s Nmet

ЗА ПРИОБЩАВАНЕТО, ОБУЧЕНИЕТО И РАЗВИТИЕТО НА ДЕЦА И УЧЕНИЦИ С ИНТЕЛЕКТУАЛНИ ЗАТРУДНЕНИЯ

Златкова-Дончева, К. (2021). Приобщаване, обучение и развитие на деца и ученици с интелектуални затруднения. Бургас: Либра СКОРП, ISBN 978-954-471-705-6

Книжка 7s
CONCEPT OF PRESENT PRACTICE IN CHOOSING OF OPTIMAL NUMBER OF TUGS

Rino Bošnjak, Zvonimir Lušić , Filip Bojić, Dario Medić

S-101 CHARTS, DATABASE TABLES FOR S-101 CHARTS, AUTONOMOUS VESSEL

Vladimir Brozović, Danko Kezić, Rino Bošnjak, Filip Bojić

INFLUENCE OF HYDRO-METEOROLOGICAL ELEMENTS ON THE SHIP MANOEUVRING IN THE CITY PORT OF SPLIT

Zvonimir Lušić , Nenad Leder, Danijel Pušić, Rino Bošnjak

MEETING SUSTAINABLE DEVELOPMENT GOALS – EXPERIENCE FROM THE LARGEST SHIPPING COMPANIES

Katarina Balić , Helena Ukić Boljat, Gorana Jelić Mrčelić, Merica Slišković

OPTIMISING THE REFERENCE POINT WITHIN A JOURNAL BEARING USING LASER ALIGNMENT

Ty Aaron Smith , Guixin Fan , Natalia Nikolova , Kiril Tenekedjiev

REVIEW OF THE CURRENT INCREASE OF NOISE UNIT COST VALUES IN TRANSPORT

Luka Vukić , Ivan Peronja , Mihaela Bukljaš , Alen Jugović

TARGET DETECTION FOR VISUAL COLLISION AVOIDANCE SYSTEM

Miro Petković, Danko Kezić, Igor Vujović, Ivan Pavić

NEW RESULTS FOR TEACHING SHIP HANDLING USING FAST TIME SIMULATION

Knud Benedict , MichŽle Schaub , Michael Baldauf , Michael Gluch , Matthias Kirchhoff , Caspar Krüger

POTENTIAL BENEFITS OF ELECTRICALY DRIVEN FERRY, CASE STUDY

Tina Perić, Ladislav Stazić, Karlo Bratić

SITUATIONAL AWARENESS – KEY SAFETY FACTOR FOR THE OFFICER OF THE WATCH

Hrvoje Jaram, Pero Vidan, Srđan Vukša, Ivan Pavić

Книжка 7
INCLUSIVE INTELLIGENCE

Dr. Aleksandar Krastev, Assist. Prof.

EDUCATION OF MORAL CULTURE OF STUDENT YOUTH IN THE CONDITIONS OF POLYCULTURAL SPACE

Dr. Natalia Bondarenko, Assoc. Prof. Yevhen Rozdymakha Dr. Lyudmila Oderiy, Assoc. Prof. Dr. Anatoly Rozdymakha, Assoc. Prof. Dilyana Arsova, PhD student

PROFESSIONAL DEVELOPMENT IN KOSOVO – RESEARCH OF TRAINING PROGRAMS AND TESTS

Bekim Samadraxha, Veton Alihajdari, Besim Mustafa, Ramë Likaj

Книжка 6s
EVALUATION OF CRUISER TRAFFIC VARIABLES IN SEAPORTS OF THE REPUBLIC OF CROATIA

Maja Račić, Katarina Balić, Mira Pavlinović, Antonija Mišura

COMPARATIVE ANALYSIS OF THE CONTRACTS FOR MARITIME TRANSPORT SERVICES. CHAIN OF CHARTER PARTIES

Svetlana Dimitrakieva, Ognyan Kostadinov, Christiana Atanasova

THE LIGHTSHIP MASS CALCULATION MODEL OF A MERCHANT SHIP BY EMPIRICAL METHODS

Vedran Slapničar , Katarina Zadro , Viktor Ložar , Ivo Ćatipović

ON EDUCATION AND TRAINING IN MARITIME COMMUNICATIONS AND THE GMDSS DURING THE COVID-19

Chavdar Alexandrov, Grozdyu Grozev, Georgi Dimitrov, Avgustin Hristov

AIR POLLUTANT EMISSION MEASUREMENT

Nikola Račić, Branko Lalić, Ivan Komar, Frane Vidović, Ladislav Stazić

ASSESSMENT OF LNG BUNKERING ACCIDENTS

Peter Vidmar, Andrej Androjna

EGR OPERATION INFLUENCE ON THE MARINE ENGINE EFFICIENCY

Delyan Hristov, Ivan Ivanov, Dimitar Popov

THE MEASUREMENT OF EXHAUST GAS EMISSIONS BY TESTO 350 MARITIME – EXHAUST GAS ANALYZER

Bruna Bacalja, Maja Krčum, Tomislav Peša, Marko Zubčić

PROPELLER LOAD MODELLING IN THE CALCULATIONS OF MARINE SHAFTING TORSIONAL VIBRATIONS

Nenad Vulić, Karlo Bratić, Branko Lalić, Ladislav Stazić

MODELING OF THE DEPENDENCE OF CO

Hristo Hristov, Ivailo Bakalov, Bogdan Shopov, Dobromir Yovkov

TECHNICAL DIAGNOSTICS OF MARINE EQUIPMENT WITH PSEUDO-DISCRETE FEATURES

Guixin Fan , Natalia Nikolova , Ty Smith , Kiril Tenekedjiev

CONTRIBUTION TO THE REDUCTION OF THE SHIP’S SWITCHBOARD BY APPLYING SENSOR TECHNOLOGY

Nediljko Kaštelan, Marko Zubčić, Maja Krčum, Miro Petković

THE STAND FOR FIN DRIVES ENERGY TESTING

Andrzej Grządziela , Marcin Kluczyk , Tomislav Batur

INTRODUCTION OF 3D PRINTING INTO MARINE ELECTRICAL ENGINEERING EDUCATION – A CASE STUDY

Ivica Kuzmanić, Igor Vujović, Zlatan Kulenović, Miro Petković

SHIPYARD CRANE MODELING METHODS

Pawel Piskur, Piotr Szymak, Bartosz Larzewski

Книжка 6
TEACHERS' PERSPECTIVE ON THE EDUCATIONAL IMPLICATIONS OF ONLINE TEACHING

Dr. Julien-Ferencz Kiss, Prof. Dr. Florica Orțan, Dr. Laurențiu Mˆndrea

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИ ПРАВИЛА, МОДЕЛИ НА ДОБРИ ПРАКТИКИ И ПРЕПОРЪКИ ПРИ РАБОТАТА И ОБУЧЕНИЕТО НА ДЕЦА И УЧЕНИЦИ С ПОВЕДЕНЧЕСКИ РАЗСТРОЙСТВА

Тричков, Ив., 2019. Психолого-педагогически правила, модели на добри прак- тики и препоръки при работата и обучението на деца и ученици

Книжка 5
ФИДАНА ДАСКАЛОВА ЗА ПЕДАГОГИКАТА

Маргарита Колева, Йордан Колев

ВОЕННОМОРСКОТО ОБРАЗОВАНИЕ – ЕДИН РАЗЛИЧЕН ПОГЛЕД

Кожухаров, А. (2021). Личните академични документи на българската военна образователна система (1892 – 1946). Варна: ВВМУ, ISBN 978-619-7428-55-1

Книжка 4
Книжка 3
НЕВРОДИДАКТИКА

Наталия Витанова

ЗА АСИСТИРАЩИТЕ И ИНФОРМАЦИОННИТЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИЕТО

Сивакова, В. (2020). Асистиращи и информационни технологии

Книжка 2
ОВЛАДЯВАНЕ НА КЛЮЧОВИ КОМПЕТЕНЦИИ ПРИ ОРИЕНТИРАНЕ В СВЕТА

Стоянова, М. (2019). Овладяване на ключови компетенции при ориентиране в света. София: Авангард принт, ISBN 978-954-337-398-7 374

Книжка 1
BULGARIAN SCHOOL – SHOWCASE OF IDENTITY

Veska Gyuviyska, Nikolay Tsankov

ЗА ИЗБОРА НА УЧЕБЕН КОМПЛЕКТ ПО БЪЛГАРСКИ ЕЗИК И ЛИТЕРАТУРА В НАЧАЛЕН ЕТАП. И ЗА ОБУЧЕНИЕТО

Георгиева, А. (2020). Съвременни проекции на обучението по български език

КОНТРОЛ НА СТРЕСА. ПСИХОЛОГИЧЕСКИ И УПРАВЛЕНСКИ РАКУРСИ

Стоянов, В. (2020). Управление на стреса в организацията. Психологически и управленски ракурси. 198 cтр., Варна: Стено, ISBN 978-619-241-119-0

2020 година
Книжка 9
Книжка 8
EDUCATIONAL REASONS FOR EARLY SCHOOL DROP-OUT

Maria Teneva, Zlatka Zhelyazkova

Книжка 7s
TEACHING CHALLENGES IN SPORTS EDUCATION DURING THE PANDEMIC COVID-19

Evelina Savcheva, Galina Domuschieva-Rogleva

THE DIFFERENCES IN STUDENTS’ ATTITUDES ABOUT ONLINE TEACHING DURING COVID-19 PANDEMIC

Aleksić Veljković Aleksandra , Slađana Stanković , Irena Golubović-Ilić , Katarina Herodek

ONLINE EDUCATION DURING PANDEMIC, ACCORDING TO STUDENTS FROM TWO BULGARIAN UNIVERSITIES

Antoaneta Getova¹ , Eleonora Mileva² , Boryana Angelova-Igova²

Книжка 7
ПОДГОТОВКАТА НА ПЕДАГОГИЧЕСКИ КАДРИ ЗА ПРЕДУЧИЛИЩНИТЕ ВЪЗПИТАТЕЛНИ ЗАВЕДЕНИЯ ПРЕЗ ПЕРИОДА 1944 – 1991 ГОДИНА

Въчева, С. (2019). Подготовката на педагогически кадри за предучилищните възпитателни заведения през периода

ПАЗАРНИ МЕХАНИЗМИ В УЧИЛИЩНОТО ОБРАЗОВАНИЕ. ТЕОРЕТИКО-ПРИЛОЖНИ ВЪПРОСИ

Първанова, Й. (2020) Пазарни механизми в училищното образование. Теоретико-приложни въпроси. София: Колбис, ISBN 978-619-7284-35-5

Книжка 6
TEACHERS ATTITUDES ABOUT INTEGRATED APPROACH IN TEACHING

Emina Kopas-Vukašinović, Aleksandra Mihajlović, Olivera Cekić-Jovanović

Книжка 5
КОНЦЕПТУАЛНИ МОДЕЛИ ЗА РАЗРАБОТВАНЕ НА ПОЗНАВАТЕЛНИ ОНЛАЙН ИГРИ В ОБЛАСТТА НА КУЛТУРНОТО НАСЛЕДСТВО

Детелин Лучев, Десислава Панева-Мариновa, Радослав Павлов Гита Сенка Лилия Павлова

ТАЛАНТЛИВ ПЕДАГОГ И КУЛТУРЕН ДЕЕЦ

Севда Чобанова, Любен Десев

Книжка 4
A CONTINUUM OF APPROACHES TO SCHOOL INSPECTIONS: CASES FROM EUROPE

Rossitsa Simeonova, Yonka Parvanova Martin Brown, Sarah Gardezi, Joe O’Hara, Gerry McNamara Laura del Castillo Blanco Zacharoula Kechri, Eleni Beniata

Книжка 3
Книжка 2
Книжка 1
2019 година
Книжка 9
Книжка 8
ОБРАЗОВАНИЕ НА БЪДЕЩЕТО

Наталия Витанова

Книжка 7
МОДЕЛ НА РАБОТА В ИНТЕРКУЛТУРНА СРЕДА

(Научноизследователска саморефлексия)

RISK FACTORS FOR EARLY SCHOOL LEAVING IN BULGARIA

Elena Lavrentsova, Petar Valkov

ПРИНОСИ НА ЕЛКА ПЕТРОВА ЗА БЪЛГАРСКОТО ОБРАЗОВАНИЕ

(100 години от рождението на проф. д.п.н. Елка Петрова – 27.10.1919 – 21.12.2012)

НАСОКИ ЗА ПРИОБЩАВАНЕ НА МАРГИНАЛНИ СЕМЕЙНИ ОБЩНОСТИ В ОБРАЗОВАТЕЛНИТЕ ИНСТИТУЦИИ

Нунев, Й. (2019). Насоки за приобщаване на маргинални семейни общности в образователните институции. Велико Търново: Св. св. Кирил и Методий, ISBN 978-619-208-186-7

Книжка 6
ДИОФАНТОВИ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМИ ДИОФАНТОВИ УРАВНЕНИЯ – ТЕОРЕТИЧНИ АСПЕКТИ И МЕТОДИЧЕСКА ПРОЕКЦИЯ В НАЧАЛНИЯ ЕТАП НА ОБРАЗОВАНИЕ

Владимира Ангелова. (2018). Диофантови уравнения и системи диофантови уравнения – теоретични аспекти и методическа проекция в начален етап на образование. Пловдив: Паисий Хилендарски, ISBN 978-619-202-394-2

ЕДНА НОВА КНИГА ЗА ПЕДАГОГИЧЕСКИТЕ УМЕНИЯ НА УЧИТЕЛИТЕ

Николай Колишев. (2018). Теория на педагогическите умения на учителите. София: Захарий Стоянов, ISBN: 9789540912066

Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
ПРИЛОЖЕНИЕ НА ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИЯ ПОДХОД ПРИ ОБУЧЕНИЕ НА СТУДЕНТИ ПЕДАГОЗИ

(върху примера на обучение по академичната дисциплина „Съвременни аспекти на гражданското образование“ на студенти педагози)

LEARNING MATURITY

Alina G“mbuță Daniela-Carmen Berințan Marijana Mikulandra Krzysztof Kij Katja Sivka

Книжка 2
ДЕТЕТО И ПЕДАГОГИКАТА

Рашева-Мерджанова, Ян., Петкова, Ил. & Господинов, Вл. (съст.). (2018). Детето и педагогиката. София: Просвета, ISBN 978-954-01-3806-0

Книжка 1
УВАЖАЕМИ КОЛЕГИ,

Редакционната колегия на списание „Педаго- гика“ ви честити Новата 2019 година! Пожела- ваме ви от сърце тя да бъде щастлива, успешна и благословена! През отминалата юбилейна 2018 г. публику- вахме редица стойностни материали на универ- ситетски преподаватели, учители, разнородни специалисти, работещи в сферата на образова- нието, докторанти. Отбелязани бяха поредица от тематични конференции и юбилейни празни- ци. Получихме и международно признание чрез включването на списанието

УЧЕНИЧЕСКО САМОУПРАВЛЕНИЕ

Желязкова-Тея, Т. & Банчева, М. (2018). Ученическото самоуправление. София: Аз-буки. ISBN: 978-619-7065-20-6

2018 година
Книжка 9
ПРАВАТА НА ДЕТЕТО ПРЕЗ ПОГЛЕДА НА СТУДЕНТИ ПЕДАГОЗИ

Йорданка Николова, Даниела Рачева

Книжка 8
СПОДЕЛЕНО МНЕНИЕ

Николова, М. & Михалева, Б. (2018). С увереност срещу агресията и кон-

Книжка 7
РАДОСТТА ОТ ОБЩУВАНЕТО НА ЧУЖД ЕЗИК В ДЕТСТВОТО

Екатерина Софрониева, Христина Белева

НОВО ТЕОРЕТИКО-ПРАКТИЧЕСКО ИЗСЛЕДВАНЕ НА ДЕТСКОТО ТВОРЧЕСТВО

Енгелс-Критидис, Р. (2018). Децата и творчеството. Юбилеен сборник в чест

ПРОФ. Д-Р ЕЛЕНА РУСИНОВА-БАХУДЕЙЛА

Розалина Енгелс-Критидис

Книжка 6
ПОЗИТИВНА УЧЕБНА СРЕДА

Валентина Шарланова

SENIOR CITIZENS’ EXISTENTIAL NEEDS AND EDUCATION FOR THE MEANING OF LIFE

Joanna Łukasik, Norbert Pikuła, Katarzyna Jagielska

Книжка 5
ПЛАНОМЕРНО ПСИХИЧЕСКО РАЗВИТИЕ

(По случай 115 г. от рождението на П.Я. Галперин)

ПАРАДИГМАТА СЕМИОТИКА – ЕЗИК – ДЕТЕ ПРИ 6 – 7-ГОДИШНИТЕ

Жоржетина Атанасова, Любимка Габрова

ПАРАРОДИТЕЛСКАТА ГРИЖА ВЪВ ФОКУСА НА ЕДИН СОЦИАЛНОПЕДАГОГИЧЕСКИ АНАЛИЗ

Ковачка, Ю. (2017). Социалнопедагогически проблеми при деца с парародителска грижа. Благоевград: УИ „Неофит Рилски“, 144 стр. ISBN: 9789540001340

Книжка 4
ДЕТСКИ КОНФЕРЕНЦИИ

Боряна Иванова

СТЕРЕОТИПИЗАЦИЯ НА ЕТНИЧЕСКИТЕ ВЗАИМООТНОШЕНИЯ ПРИ СЪВРЕМЕННИТЕ МЛАДИ БЪЛГАРИ

Зорница Ганева. (2017). Стереотипизация на етническите взаимоотношения при съвременните млади българи. София: Елестра. ISBN 978-619-7292-03-9

Книжка 3
Книжка 2
СЪВРЕМЕННИ МЕТАМОРФОЗИ НА ВЗАИМООТНОШЕНИЯТА В ДЕТСКАТА ГРУПА

Веселина Иванова, Виолета Кърцелянска-Станчева

SCHOOLS AND UNIVERSITIES AS SOCIAL INSTITUTIONS

Emilj Sulejmani Shikjerije Sulejmani

ОТНОСНО УСЕТА ЗА БРОЕНЕ

Петър Петров, Мима Трифонова

Книжка 1
УВАЖАЕМИ КОЛЕГИ И ПРИЯТЕЛИ,

Редакционната колегия на сп.„Педагогика“ Ви честити Новата 2018 г. Пожелаваме ви тя да бъде здрава, щедра и благословена! Тази година списанието чества своя юбилей – 90 години от неговото публикуване за първи път през 1928 г. с името „Народна просвета“. От деня на създаване до сега, то отразява актуал- ните проблеми на педагогическата наука и прак- тика и остава верен спътник на хиляди научни работници, учители, докторанти. Вярваме, че силата на творческата ни енергия ще пом

ДОБРИ ПРАКТИКИ „ПАРТНЬОРСТВО РОДИТЕЛИ – УЧИЛИЩЕ“

Мехмед Имамов, Калинка Гайтанинчева

2017 година
Книжка 9
ПЕДАГОГИЧЕСКОТО УЧЕНИЕ НА Й. ФР. ХЕРБАРТ – ИСТОРИЯ И СЪВРЕМЕННОСТ

(По повод 240 г. от неговото рождение) Невена Филипова

Книжка 8
ЧЕТЯЩИЯТ СТУДЕНТ, ЧЕТЯЩОТО ДЕТЕ – ЕДНО МАЛКО ПРОЗОРЧЕ, ЕДНА ВЕЛИЧЕСТВЕНА ГЛЕДКА

Мариана Мандева, Боряна Туцева, Габриела Николова, Цветелина Ковачева

Книжка 7
ДИДАКТИЧЕСКИ КОМПЕТЕНТНОСТИ

Нели Митева, Наталия Витанова

Илияна Кунева

Книжка 6
Книжка 5
ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКО ОБУЧЕНИЕ В АКАДЕМИЧНА СРЕДА

(Научно-теоретична рефлексия) Румяна Неминска

ПРИНОС В ПСИХОЛОГИЯТА НА ТВОРЧЕСТВОТО

(120 години от рождението на Лев Семьонович Виготски) Любен Десев

ЛЕВ СEМЬОНОВИЧ ВИГОТСКИ – ПСИХОЛОГ И НА ХХI ВЕК

(по случай 120 години от рождението му)

ИСКУССТВО В ЖИЗНИ ЛЮДЕЙ

Гульнар Омарова

НОВА И ПОЛЕЗНА КНИГА

Йонка Първанова

ПРИНОСЕН ТРУД КЪМ МЕТОДИКАТА НА ОБУЧЕНИЕТО ПО БЪЛГАРСКИ ЕЗИК И ЛИТЕРАТУРА В НАЧАЛНОТО УЧИЛИЩЕ

М. Мандева (2017). Методика на обучението по български език и литература – I – IV клас. Начално ограмотяване. В. Търново: УИ „Св. св. Кирил и Методий“, 120 стр.

ЕДНО ФУНДАМЕНТАЛНО ИНТЕГРАЛНО ИЗСЛЕДВАНЕ НА РОЛЯТА НА ОБРАЗОВАНИЕТО ЗА РАЗВИТИЕТО НА НООСФЕРНИЯ ИНТЕЛЕКТ

Марга Георгиева, Сава Гроздев. (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. София: Изток-Запад, ISBN 978-619-152-869-1

Книжка 4
Книжка 3
СИСТЕМАТИЧНО ВЪВЕДЕНИЕ В ОБЩАТА И ПСИХОЛОГИЧЕСКАТА СИНЕРГЕТИКА

Любен Десев (2015). Синергетика. Въведение и речник. 777 термина. София: ИК „Екопрогрес“. 464 с. ISBN 978-954-2970-37-8

Книжка 2
ПРОБЛЕМИ И ПЕРСПЕКТИВИ В РАЗВИТИЕТО НА ХУДОЖЕСТВЕНОТО ОБРАЗОВАНИЕ У НАС ПРЕЗ ПОГЛЕДА НА ДЕТСКИЯ И НАЧАЛНИЯ УЧИТЕЛ

Теодора Власева, Даниела Гирджева-Валачева, Мария Калоферова, Найден Младенов, Илияна Шотлекова

ЗАКЪСНЯЛО ПРИЗНАНИЕ

Доц. д-р Емилия Николова

Книжка 1
ФАКТОРИ ЗА УСПЕШНО ПРИЛАГАНЕ НА СМЕСЕНО ОБУЧЕНИЕ

Стоянка Георгиева-Лазарова Лъчезар Лазаров

ЗА СТОПЛЕНИТЕ ПЪТЕКИ КЪМ ЛИТЕРАТУРНОТО ПОЗНАНИЕ

Радев, Радослав. 2015. Технология на методите в обучението по литература. Варна: Славена, 247 с., ISBN 978-619-190-041-1

2016 година
Книжка 9
ИНТЕРАКТИВНИ ТЕХНИКИ ЗА ОВЛАДЯВАНЕ НА ЧЕТЕНЕТО В МУЛТИКУЛТУРНАТА КЛАСНА СТАЯ – ПЪРВИ КЛАС

ФОРМИРАНЕ НА РЕЧЕВА КУЛТУРА, В НАЧАЛНА УЧИЛИЩНА ВЪЗРАСТ, (АНАЛИЗ НА АНКЕТА С УЧИТЕЛИ

Кампания

на Института за български език – БАН, и вестник „Аз-буки“

Книжка 8
Книжка 7
IBM SPSS STATISTICS ПРЕЗ ПЕДАГОГИЧЕСКИЯ ПОГЛЕД НА ДОЦ. Д-Р ЗОРНИЦА ГАНЕВА

Зорница Ганева (2016). Да преоткрием статистиката с IBM SPSS Statistics. София: Елестра. 712 стр. ISBN 978-619-7292-01-5

НАЧАЛНОТО ОГРАМОТЯВАНЕ – „КЛЮЧ“ ЗА УСПЕШЕН ЖИВОТ В ПРОМЕНЯЩИЯ СЕ СВЯТ

Мариана Мандева, Диляна Гаджева (2016). Начално ограмотяване

ОТ „ЧУДНА И ДИВНА ДАСКАЛЕТИНКА“ ДО ПЕДАГОГИКА ЗА НАЦИОНАЛНО СЛУЧВАНЕ

Виолета Атанасова (2015) Петко Славейков за образованието. Шумен: Унивeрситетско издателство „Епископ Константин Преславски. 208 с. ISBN 978-619-201-051-5

Книжка 6
УЧИЛИЩЕ ЗА ЧЕТЕНЕ

Петя Георгиева

Кампания

на Института за български език – БАН, и в. „Аз Буки“

ДОШЛА ЛИ Е ИНСПЕКТОРЪТ?

Ванина Сумрова

ЩЕ ТЕ ЧАКАМ В/НА ЦЕНТЪРА

Илияна Гаравалова

ПРАВО В ДЕСЕТКАТА

Ивелина Стоянова

ПРОФ.Д.П.Н. СТОЯНКА ЖЕКОВА

Редколегия на сп. „Педагогика“

Книжка 5
Книжка 4
СИНЕРГЕТИКА – НОВО НАУЧНО ПОЗНАНИЕ

(Синергетика – въведение и речник, София: ИК Екопрогрес, 2015 г.)

Книжка 3
Книжка 2
НОВА ДИНАМИЧНА МОДИФИКАЦИЯ В ГРАНИЦИТЕ НА „АЗ-КОНЦЕПЦИЯТА“ НА МАТЕМАТИЧЕСКОТО МОДЕЛИРАНЕ

Марга Георгиева & Сава Гроздев. (2015). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект, София: Марга Георгиева. 323 стр. ISBN 9786199052204

Книжка 1
IN MEMORIAM

На 10.12.2015 г. ни напусна нашият колега и приятел проф. д-р Иван Пет ков Иванов. Той беше уважаван учен и експерт в областта на педагогическите науки – автор на 10 монографии, 8 учебника, 10 учебни помагала, 6 студии и над 100 статии в специализирани периодич- ни издания и научни сборници; участник в 28 между- народни и национални проекта; председател и член на експертни групи към НАОА, член на редакционната ко- легия на сп. „Педагогика“. Проф. д-р Иван Иванов беше уважаван и оби

2015 година
Книжка 9
Книжка 8
РУСЕНСКИЯТ УНИВЕРСИТЕТ

Златоживка Здравкова

Книжка 7
ДИСКУСИЯТА В УРОКА ПО ЛИТЕРАТУРА

Огняна Георгиева-Тенева

Книжка 6
УЧИТЕЛЯТ ПРАВИ УЧИЛИЩЕТО

ЕЗИКОВАТА ГРАМОТНОСТ НА МАЛКИЯ УЧЕНИК – „КЛЮЧ“ ЗА ОТГОВОРЕН И УСПЕШЕН ЖИВОТ В ПРОМЕНЯЩИЯ СЕ СВЯТ

ГОТОВНОСТ ЗА ОГРАМОТЯВАНЕ

Екатерина Чернева

Книжка 5
Книжка 4
Книжка 3
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ИСТОРИЯ, АКАДЕМИЗЪМ И РЕАЛНИ ПРАКТИКИ В СОЦИАЛНОПЕДАГОГИЧЕСКАТА ДЕЙНОСТ

Академични полета на социалната педагогика, съставител: проф. д.п.н. Клавдия Сапунджиева, научна редакция: проф. дпн Клавдия Сапунджиева, проф. д-р Нели Бояджиева, гл. ас. д-р Марина Пиронкова,

НОВА КНИГА

Клавдия Сапунджиева

Книжка 2
ПРОБЛЕМИ НА СОЦИАЛНАТА АДАПТАЦИЯ НА ПЪТУВАЩИ УЧЕНИЦИ ОТ МАЛКИ НАСЕЛЕНИ МЕСТА1)

Траян Попкочев, Бонка Гергинова, Тереза Карамангалова

Турнир по канадска борба [Arm Wrestling Competition] / Д. Евтимова,

Д. Евтимова, Е. Павлова, И. Радославова и Б. Иванов

Книжка 1
ORGANIZATIONAL CULTURE: THEORY AND REALITY

Inna Leonidovna Fedotenko

ОТЗИВ ЗА КНИГАТА „ОБРАЗОВАТЕЛЕН ДИЗАЙН (КОНЦЕПТУАЛНИ ОСНОВАНИЯ И ПРАКТИЧЕСКИ РЕШЕНИЯ)“

Димова, Д. (2013). Образователен дизайн (концептуални основания

2014 година
Книжка 9
„СОФИЯ – УЧЕЩ СЕ ГРАД“ – МОБИЛЕН СЕМИНАР В ПОДКРЕПА НА НЕФОРМАЛНОТО УЧЕНЕ И ОБРАЗОВАНИЕ В ОБЩНОСТТА

ПЕТЪР ДЪНОВ (БЕИНСÀ ДУНÒ Е И БЕЛЕЖИТ, ПЕДАГОГИЧЕСКИ МИСЛИТЕЛ-ХУМАНИСТ, (ПО ПОВОД НА 0-ГОДИШНИНАТА ОТ РОЖДЕНИЕТО, И 70 ГОДИНИ ОТ КОНЧИНАТА МУ

НА УЧИЛИЩЕ – С УСМИВКА!

Снежана Якимова

НА УЧИЛИЩЕ – С УСМИВКА!

Снежана Якимова

УЧИТЕЛЯТ – ЕТАЛОН ЗА ФОРМИРАНЕ НА ДЕТСКАТА ЛИЧНОСТ

Катя Коруджийска, Янка Маринкова

Книжка 8
Книжка 7
ЗАЕДНО МОЖЕМ ПОВЕЧЕ

Диана Смиленова

Книжка 6
УСПЕШНИЯТ УЧИТЕЛ – МЕЖДУ ПРОФЕСИОНАЛНАТА НОРМА И СТРАСТТА ДА ПРЕПОДАВАШ

Проф. д-р Ангел Петров е преподавател по методика на обучението по български език в СУ „Св. Климент Охридски“. Ръководител е на най- старата катедра по методика на филологически- те дисциплини в страната – Катедрата по ме-

Книжка 5
ВЪЗГЛЕДИТЕ НА ЖАН-ЖАК РУСО И ЛЮБЕН КАРАВЕЛОВ ЗА ВЪЗПИТАНИЕТО

Посвещава се на 180-ата годишнина от рождението на Любен Каравелов (1834 – 1879) Виолета Атанасова

LE PROJET PÉDAGOGIQUE, SOURCE DE MOTIVATION DANS L’ENSEIGNEMENT ET L’APPRENTISSAGE DU FLE

THE EDUCATIONAL PROJECT, MEANS OF MOTIVATION IN TEACHING AND LEARNING FLE

LA PÉDAGOGIE DU PROJET ET LA MOTIVATION DES ÉLÈVES POUR L’APPRENTISSAGE DU FRANÇAIS

PROJECT PEDAGOGY AND PUPILS’ MOTIVATION IN LEARNING FRENCH

Книжка 4
КАЖДЫЙ ДЛЯ МЕНЯ УЧИТЕЛЬ

Ш.А.Амонашвили

Книжка 3
АНТОАНЕТА ЙОВЧЕВА (1952 – 2014)

След трудна борба с тежката болест ни напусна един добър и мил човек, една светла личност – Анто- анета Йовчева, нашата обичана колежка Тони. Нейните колеги и приятели, многобройните автори и сътрудници на сп. „Начално образование“ и на сп. „Педагогика“ ще запазят завинаги спомена за нейната приветлива усмивка, за нейната отзивчивост и преда- ност към работата, за нейната широка култура и стре- меж към познание, към развитие. Родена на 20 март 1952 г. в София в интелигентно се- мей

Книжка 2
ПОСТМОДЕРНИЗЪМ И ВЪЗПИТАНИЕ

Клавдия Сапунджиева

ДЕТСКИ УНИВЕРСИТЕТИ

Боряна Иванова

ПРОФ. Д-Р ЕЛКА ПЕТРОВА

Има личности, в сиянието на които се оглеж- дат цяла плеада последователи, възпитаници, колеги; има личности, без които животът става по беден, дните по-еднообразни, защото в сър- цето остава празно място. Такава личност е професор, доктор на педа- гогическите науки Елка Петрова – най–големият ерудит в областта на предучилищното възпита - ние, учен с международно значение. Дълги години ще свеждаме глави пред нейна- та обаятелна личност, с искрена признателност ще си спомняме свидните

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЦЕНТР ГУМАННОЙ ПЕДАГОГИКИ

Международният център „Хуманна педагогика“ организира XIII педаго- гически четения в периода 20 – 23.03.2014 г. в гр.Тбилиси, Грузия. Форумът се организира със съдействието на грузинското правителство. „Учителят“ е темата, която ще обедини участниците: учители, експерти, родители, универ- ситетски преподаватели, представители на педагогическата общност от мно- го страни, за да се осъществи дискусия за мисията на съвременния учител в съвременния образователен контекст. Ръководството на

Книжка 1
ОСНОВНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА МОБИЛНОТО ОБУЧЕНИЕ

Стоянка Георгиева-Лазарова Лъчезар Лазаров

2013 година
Книжка 9
УЧИТЕЛИ ВЪЗРОЖДЕНЦИ В ТЪРНОВО

Венка Кутева-Цветкова

Книжка 8
ДИМИТЪР ДОНЧЕВ – С ВЪЗХИТА ЗА БЪЛГАРСКИЯ УЧИТЕЛ

100 ГОДИНИ ОТ РОЖДЕНИЕТО НА ДИМИТЪР ЕВСТАТИЕВ ДОНЧЕВ (5.10.1913 – 15.02.1997)

Книжка 7
„СЛЪНЦЕТО“ НА ВЪЗПИТАТЕЛНАТА СИСТЕМА В ТВУ – РАКИТОВО

85 ГОДИНИ ОТ РОЖДЕНИЕТО НА АНГЕЛ УЗУНОВ (1928 – 1999)

ЦЕННОСТИ И ДУХОВНО-НРАВСТВЕНО РАЗВИТИЕ НА МАЛКИЯ УЧЕНИК

Марияна Ешкенази, Гергана Фиданова, Марияна Вишева, Цветанка Годжилова

МАЛКИЯТ УЧЕНИК ЧЕТЕ

Марияна Механджиева Венета Велева

С БАБА И ДЯДО В КЛАС

Цветелин Горанов, Таня Илиева, Цветанка Берова, Нели Иванова, Борка Бончева

РОД РОДА НЕ ХРАНИ, НО ТЕЖКО МУ, КОЙТО ГО НЯМА!

Диляна Вачкова Евелина Димитрова

ДА ПОМОГНЕМ НА ДЕЦАТА ДА ОТВОРЯТ СЪРЦАТА СИ

Иванка Дебелушина Нина Маврикова

ДОБРОТО Е У ВСЕКИ

Мария Наскова

ОТЛИЧЕН ПЕДАГОГ, ПСИХОЛОГ И ПСИХОТЕРАПЕВТ

ДОЦ. СВЕТОСЛАВ СТАМЕНОВ (1939 – 2013)

Книжка 6
ТЕОРЕТИКО-ПРИЛОЖНИ ПРОБЛЕМИ НА КОНСТРУИРАНЕТО НА ТЕСТ ЗА НАЦИОНАЛНО ВЪНШНО ОЦЕНЯВАНЕ ПО „ЧОВЕКЪТ И ОБЩЕСТВОТО“ ЗА 4. КЛАС (2013)

Ваня Петрова, Цонка Каснакова, Мариан Делчев Жана Минчева Радостина Стоянова, Рада Димитрова Мария Темникова

MEDIA IN PRESCHOOL AGE OF CHILD’S LIFE

Sonja Petrovska Jadranka Bocvarova

Книжка 5
ШАЛВА АЛЕКСАНДРОВИЧ АМОНАШВИЛИ – УЧИТЕЛ ОТ БЪДЕЩЕТО

В сложното битие на науката и метамор- фозите на социалната реалност, неотменими и общовалидни остават само най-стойностни- те постижения и безспорни истини, които не само маркират и остойностяват територията на човешко познание, но извисяват самия чо- век, поддържат неговата вяра в доброто, под- хранват чувството му за собствена значимост, укрепват неговия дух. Приемайки извечните послания на класи- ческата философско-педагогическа мъдрост и дълбоко обвързан с педагогическата р

МАНИФЕСТ ГУМАННОЙ ПЕДАГОГИКИ

Преамбула 25 лет тому назад группа учителей новаторов провозгласила манифест „Пе- дагогика сотрудничества“ (Переделкино, 1986 год). В последующие годы были опубликованы отчеты встреч учителей новаторов, в которых рассматри- вались разные аспекты педагогики сотрудничества: „Демократизация лично- сти“ (Цинандали, Телавский район, Грузия, 1987 год), „Методика обновления“ (Москва, 1988 год), „Войдем в новую школу“ (Краснодарский край, 1988 год). Идеи педагогики сотрудничества воодушевленно

ПОРТФОЛИОТО НА УЧЕНИКА КАТО ПРОЦЕС НА САМОПОЗНАНИЕ

Радка Топалска Емилия Вълкова, Албена Атанасова

ДОПИРНИ СВЕТОВЕ

Албена Димитрова Стилияна Гронева

ПРЕДИ ГОДИНА И СЕГА

Веселка Аршинкова

Книжка 4
СВЕЩЕНИК ГЕОРГИ МАРИНОВ ПОЛУГАНОВ – ОСНОВАТЕЛЯТ НА УЧИЛИЩЕТО И ПЪРВИЯТ УЧИТЕЛ В ПОЛИКРАЙЩЕ

Георги Георгиев Трифонка Попниколова Марияна Георгиева–Гроссе

ЕВРОПЕЙСКИ ПРИКАЗКИ

Светла Попова

Книжка 3
ДА ОПАЗИМ ДЕТСКОТО ЗДРАВЕ!

Мая Топалова, Симона Пейчева

КАК ДА ОТГЛЕДАМЕ МАЛЪК ПРИРОДОЛЮБИТЕЛ?

Мадлена Николова Ани Цветкова

Книжка 2
Книжка 1
ИЗКУСТВОТО ЗА ПРЕВЕНЦИЯ НА АГРЕСИВНОТО ПОВЕДЕНИЕ НА ДЕЦАТА

Евгения Миланова Виолета Николова Величка Радева

ПРИЯТЕЛСТВОТО В ЖИВОТА НА ДЕТЕТО

Даниела Димитрова Красимира Василева

ПРЕДАЙ НАТАТЪК

Вилдан Мехмедова

ЗАЕДНО ДА БЪДЕМ ДОБРИ

(ПЕДАГОГИЧЕСКА СИТУАЦИЯ В ПОДГОТВИТЕЛНА ГРУПА)

ПРОФ. ДПН EЛКА ПЕТРОВА EДНА НЕЗАЛИЧИМА СЛЕДА В БЪЛГАРСКОТО ПРЕДУЧИЛИЩНО ОБРАЗОВАНИЕ (1919 – 2012)

Почина проф. дпн Елка Петрова (20.ХІІ.2012 г.) – на- шата любима учителка по изкуството да се живее пъл- ноценно и професионално, създателката на науката за предучилищното възпитание на българските деца, пре- красната жена и велика майка, Неповторима, единствена, съвършена – това е нашата Елка: Примерът за всички нас – хилядите нейни студенти и последователи ! Елка Петрова винаги е първа, винаги е оригинална и авангардна; през 1950–1952 г. поставя началото на Висшия мето

2012 година
Книжка 9
ПЕДАГОГЪТ – РИЦАР НА ДЕТСТВОТО

Януш Корчак бе написал, че животът на великите хора е като легендите: труден, но красив. И се оказва пророчески прав, сякаш е писал за себе си! Наследник на семейство с богата духовна култура и традиции, останал отрано без баща, той не просто се справя с несгодите на сирачеството, но развива у себе си три могъщи извора на живот: любов към свободата и справедливостта, страст към знанието и творчеството, отдаденост на децата и тяхното щастие. Лекарят Корчак лекува децата и душите им. Безплатн

ЯНУШ КОРЧАК – ВЕЛИК ХУМАНИСТ И ПЕДАГОГ

„Със сила и мощ поведох своя живот, който беше привидно неподреден, самотен и чужд. За син избрах идеята да служа на детето и неговото дело. Привидно загубих.“ Бе лекар, писател, мислител. Бе философ, учен, моралист. Издател. Възпи- тател и педагог. Бе герой. Бе скромен. Във всяка от тези области той има изключителни постижения. В течение на по- вече от четиридесет години работи като педагог и писател. Четиридесет години безкористно служене на слабите и беззащитните. Създава съвременна кон

ЕВОЛЮЦИЯ НА ПРАВАТА НА ДЕТЕТО

„Детето има право на сериозно отношение към проблемите му, на справедливото им решаване.“

THE KORCZAK’S RIGHT TO SOCIAL PARTICIPATION OF CHILDREN THE CITIZENSHIP OF CHILDREN

A speech by Marek Michalak, the Ombudsman for Children, given during the seminar„The Polish-Israeli pioneer in the fi eld of human rights, Janusz Korczak (1879–1942) and today’s Convention on Children’s Rights as the part of the international law“, Geneva, the 6 of June 2009

ЗА ДЕТЕТО, ДЕТСТВОТО ИЛИ НАУКА ЗА НЕГО?

В памет на Януш Корчак – по повод 70 г. от неговата смърт и 100 г. от създаването на „Дом за сираци“ във Варшава Албена Чавдарова

Книжка 8
CHANGES IN UNIVERSITY TEACHING – THE ROAD FROM KNOWLEDGE TO COMPETENCIES

Slađana Anđelković Zorica Stanisavljević Petrović

ДОСТОЕН ЖИВОТ, ОТДАДЕН НА ПРОСВЕЩЕНИЕТО… ПРОФ. СТОЙКА ЗДРАВКОВА – ЕДИН СЪВРЕМЕНЕН БУДИТЕЛ НА 70 ГОДИНИ

Неуморна и взискателна! Енергична и всеотдай- на! Работохолик и перфекционист! Това е проф. д-р Стойка Здравкова! Не е за вярване, че в началото на ноември 2012 година навърши 70 години. И не е слу- чайно това, че тази светла дата е непосредствено бли- зо до Деня на будителите. А това, че проф . Здравкова е съвременен български будител, е толкова безспорно и видимо! 70–годишнината ù е един чудесен повод ретрос- пективно да си припомним и проследим най-значи-

Книжка 7
ОЧАКВАНА И ПОЛЕЗНА

Емилия Василева

Книжка 6
Книжка 5
ЦЕННО ПОМАГАЛО ЗА ПСИХОЛОЗИ И ПЕДАГОЗИ (Надежден инструмент за диагностициране смисъла на живота)

Любен Десев Минчев, Борис. Тест на Дж. Крумбъг и Л. Махолик за смисъл в живота. Българска версия. Варна, ВСУ „Черноризец Храбър“,

ГЕОРГИ MАВРОВ ЖИВОТ, ОТДАДЕН НА НАУКАТА И ОБРАЗОВАНИЕТО

Така най-общо, но и най-точно можем да охарак- теризираме дейността на ст. н. с. д-р Георги Петков Мавров. Той ни напусна неочаквано в края на април т.г. И до последния си ден не преставаше да се вълнува от проблемите на образованието. Споделяше инте- ресни мисли относно предстоящото приемане на За- кона за образованието. Пестелив на думи, но щедър на дела – това ясно проличава от неговата богата би- ография.

Книжка 4
ОЩЕ ЕДНА ИДЕЯ

Галина Стоянова

Книжка 3
С ИНОВАТИВЕН ПОГЛЕД КЪМ ЛИЧНОСТТА НА ДЕТЕТО

Маргарита Абрашева Любимка Габрова

БИЗНЕС ОБУЧЕНИЕ В ДЕТСКАТА ГРАДИНА

Красимира Костова Петя Драгоданова

ДЕТСКАТА БЕЗОПАСНОСТ

Любимка Габрова

БАБА ПРИКАЗКИ РАЗКАЗВА... (МИКС ОТ ПРИКАЗКИ)

Кева Захариева, Мария Мичева

Книжка 2
ДЕТЕ ПЪТУВА В АВТОМОБИЛА

Красимира Михайлова

ПРОТИВОПОСТАВЯНЕ

Пюрвя Ердниев, Б. Ердниев

ЗДРАВКА НОВАКОВА – ПРЕПОДАВАТЕЛ И ТВОРЕЦ

Седемдесетгодишният юбилей е вълнуващ повод да проследим трудния, богат и съдържателен професионално-творчески път на доц. д-р Здравка Новакова, да под- чертаем нейната важна роля за утвърждаване на дидактика на математиката като

IN MEMORIAM Иван Марев

Напусна ни проф. Иван Марев – философ, педагог, демократ, родолюбец. В далечната 1975 г., зареден с енергия, пълен с идеи, той създаде в Техническия

Книжка 1
ДЕЛЕГИРАНЕ НА ПРАВА ЧРЕЗ КОМИСИИТЕ В ДЕТСКАТА ГРАДИНА

Маргарита Абрашева Политиката, наречена управление на качеството, не е самоцел, нито поредна обра- зователна „мода“. Тя е практически необходима за поддържане от директора на учеб- ното заведение на един привлекателен образ в условията на конкуренция на пазара на учебни заведения. Това се отнася най-вече за детските градини. Политиката на упра- вление на качеството съдържа недостатъчно използван ресурс, включително за спечел- ване и запазване доверието на потребителя – родителите на децата,

ИНОВАЦИОННИ И ИНТЕРАКТИВНИ МЕТОДИ В КВАЛИФИКАЦИОННАТА ДЕЙНОСТ НА ПЕДАГОГИЧЕСКИЯ КОЛЕКТИВ

Стоилка Ташева, Севда Лукайчева Развиващото се с динамични темпове общество в днешно време налага необ- ходимостта от иновационни промени в областта на образованието. И в предучи- лищната педагогика все по-често се търсят алтернативни педагогически техноло- гии както за възпитанието и обучението на децата, така и при провеждането на квалификационната дейност на самите педагози. Използването на интерактивните методи дава възможност да се възлагат за- дачи, които предполагат съвместна работа,

ТОВА ТРЯБВА ДА ГО ЗНАЕ ВСЯКО ДЕТЕ

Татяна Атанасова, Иванка Пампова

НА УЛИЦАТА Е ОПАСНО

Таня Янчева, Зоя Кацарова